Ayuda Limites

,

CAPITULO 2 LMITES Y CONTINUIDAD

CASO DE ESTUDIO: EL OTORONGO Y EL MOTELO En la comunidad Awajum un otorongo se encuentra persiguiendo a un motelo, la velocidad del otorongo es el doble que la velocidad del motelo. Si al 1n1c1ar la persecucin el motelo est a un km de distancia del otorongo Alcanza el otorongo al mote lo?

El apu de la comunidad hizo el siguiente razonamiento: "El otorongo el asesino del monte, nunca alcanzar al motelo, porque cuando el otorongo recorra un km, el motelo estar en otro lugar y cuando el otorongo llegue a ese lugar, el motelo se habr adelantado algo ms, y as sucesivamente. Luego por mucho que se acerque al motelo nunca lo alcanzar"

Como el otorongo lleva una velocidad que es doble de la velocidad del motelo, cuando el otorongo recorre en la primera etapa el primer kilometro, el motelo recorre 0,5 km, y mientras el otorongo recorre en la segunda etapa 0,5 Km el motelo recorre 0,25 km, y as sucesivamente

En la tabla siguiente se encuentra las distancias en kilmetros desde el punto de partida del otorongo hasta cada uno de ellos en las distintas etapas:

OBSERVA Y CALCULA

Partida Etapa 1 Etapa 2

otorongo o 1

1+0,5

motel o 1

1+0,5 l+0,5+o,25

a. lQu distancia han recorrido el otorongo y el motelo en la tercera, cuarta y quinta etapa? b. A qu distancia del motelo se encuentra el otorongo en la sexta etapa? c. Es cierta la conclusin a la que llego el apu? d. Si la conclusin del apu es falsa. a qu distancia del punto de partida del otorongo, ste

alcanza al motelo? e. Si la velocidad del otorongo es 15 veces mayor que la velocidad del motelo, la qu distancia

del punto de partida del otorongo, est alcanza el motelo?

l 02 ICAPITULO 2: L1nites y Co11ti1111idad En la larga evolucin del concepto de lmite de una funcin se observa claramente la necesidad

de explicitar y formalizar la nocin, que se utiliza de forma implcita desde la poca griega y que no llega a su forma actual hasta el siglo pasado, en parte para val idar algunos resultados ya obtenidos y en parte para demostrar otros ms generales.

Inicialmente el concepto de lmite aparece como proceso implcito en algunos mtodos como el mtodo de exhaucin que se atribuye a Eudoxo, aunque su utilizacin ms conocida la hizo Arqumedes, el mtodo de los infinitsimos de Kepler (1571-1630) era utilizado para resolver problemas de medidas de volmenes o reas, el mtodo de los indivisibles de Cavalieri (1598-1647) era utilizado para determinar reas de figuras planas y volmenes de cuerpos, el mtodo de Fermat para buscar extremos de curvas fue aplicado a las "parbolas e hiprbolas de Fermat", el mtodo de las tangentes de Fermat y de Descartes y el mtodo de Barrow (1630-1677). Todos estos mtodos fueron el germen del anlisis infinitesimal y surgieron motivados por las exigencias de la mecnica, de la astronoma y de la fsica. El lgebra aport las herramientas necesarias para que algunos de estos mtodos se desarrollaran, destacando el mtodo de las coordenadas, que facilit el estudio de las curvas. Sin embargo, estos mtodos funcionaban de forma separada y no se tena conciencia de su generalidad; faltaba algo que les armonizara y adems les diera ese carcter de universalidad, Faltaba el concepto de lmite. Aparecen los creadores del anlisis: Newton y Leibniz

Newton (1648-1727) es el creador de la teora de las fluxiones, un mtodo de naturaleza geomtrico-mecnica para tratar de forma general los problemas del anlisis infinitesimal.

Leibniz (1646-1716), por su parte preocupado por la claridad de los conceptos y el aspecto formal de la matemtica, contribuye al nacimiento del anlisis infinitesimal con su teora sobre las diferenciales.

Euler (1707-1743) toma como punto de partida el clculo diferencial de Leibniz y el mtodo de fluxiones de Newton y los integra en una rama ms general de las matemticas, que, desde entonces, se llama Anlis is y se ocupa del estudio de los procesos infinitos.

D'Alembert (1717-1783) crea la teora de los lmites al modificar el mtodo de las primeras y lt imas razones de Newton. En el tomo IX de la Encyclopdie, D' Alembert escribe la siguiente definicin de lmite: Se dice que una cantidad es lmite de otra cantidad, cuando la segunda puede aproximarse a la primera ms que cualquier cantidad dada por pequea que se la pueda suponer, sin que, no obstante la cantidad que se aproxima pueda jams sobrepasar a la cantidad a la que se aproxima; de manera que la diferencia entre una tal cantidad y su lmite sea absolutamente inasignable.

Cauchy (1789-1857). Retoma el concepto de lmite de D'Alembert, rechazando el planteamiento de LaGrange, prescinde de la geometra, de los infinitsimos y de las velocidades de cambio, dndole un carcter ms aritmtico, ms riguroso pero an impreciso. La definicin de lmite que propone Cauchy (1821) es la siguiente: ... , cuando los sucesivos valores que toma una variable se aproximan indefinidamente a un valor fijo, de manera que terminan por diferir de l en tan poco como queramos, este ltimo valor se llama el lmite de todos los dems. Cauchy basa todo el anlisis en el concepto de lmite.

Bolzano (1781-1848) da una definicin de continuidad basada en la de lmite. De hecho la obra de Bolzano se desarrolla de forma paralela a la de Cauchy, basada en la misma idea de lmite.

Weierstrass (1815-1897) contribuy con notoriedad a la aritmetizacin del anlisis, dando una definicin de lmite. Esta definicin, que aparece en la obra de su discpulo Heine Elemente, es la siguiente: "Si, dado cualquier E, existe un n0 , tal que para o < n < n0 , la diferencia f(Xo n) - L es menor en valor absoluto que E, entonces se dice que Les el lmite de f(x) para x=x0 ".

CAPITULO 2 U111ites y Co11ti1111idad 1 103 La nocin de lmite es ya, en esta etapa, una nocin matemtica que sirve como soporte a otras como la de continuidad, derivada e integral, hecho que ha contribuido a un uso universalizado de la misma. (Tomado de: http:Uwww.edutecne.utn.edu.ar/calculo-numerico/ferrante.htm)

A continuacin se dar la definicin de lmite de una funcin que actualmente se trabaja en el anlisis matemtico.

2.1. LMITE DE UNA FUNCIN Definicin El conjunto V(a, o) = { x e A/ lx - al < o} es llamado vecindad con centro en a y radio o.

GEOMTRICAMENTE ~~--...,././J/"./.A'#"./././J.L.t~~~

a - o a a+o

Definicin 1 ntuitiva Sea f : R ~ R una funcin y a un punto que no necesariamente pertenece al dominio de la funcin pero que toda vecindad de a contiene puntos del dominio de f; se dice que el lmite de f(x) es L, cuando x tiende hacia a, y se escribe lim f(x) = L, cuando

X"' a

GEOMTRICAMENTE

y f

l + E 0---------/

L

f(x)

+--+---0-----....._---c:>------X O a - o

Propiedades y teoremas de los lmites

l . El lmite de una funcin, si existe, es nico. 2. Si f y g son funciones tales que:

a) f(x) < g(x), 'rf x e V 6 (a), x=t= a b) limf(x) = L y limg(x) = M => L < M

x~a x~a

3. Teorema del Sndwich Sean f, g y h funciones tales que a) f(x)

l 041CAPITULO 2: L1nites y Co11ti1111idad

b) lim f(x) = lim h(x) = L x~a x~a

Entonces lim g(x) = L x~a

4. Sean f y g funciones tales que:

a) lim C =C ; Ces una constante x~a

b) l im [ cf(xl] = c lim [ f(x)]= el X-73 X-73

lim f(x) = L y l im g(x) = M x~a x~a

e) l im [ f(x) + g(x)j = lim f(x) + l im g(x) = L + M x~a x~a x~a

d) lim [ f(x).g(x)j = lim f(x). lim g(x) = L. M X-73 X-73 X-73

[ f(x) J lim f(x) L

e) lim = x~a = - M ; O x~a g(x) lim g(x) M ' x~a

5. Sean f y g dos funciones tales que: a) l im f (x)=O

x~a

b) 3M> O tal que lg(xll< M, 'i/xe V .,(a) con x:;t: a. Entonces lim [ f(x).g(x)]= O

x~a

6. Si lim f(x) = l, entonces lim efff;J = n lim f(x) = efL; L > O si n E z L < O si n es cualquier x-7a x~a x-7a

entero positivo impar.

Ejercicios resueltos

x2 - 4 -- X :;t: 2 x-2

,

l. Calcule lim f(x) si f(x) = x~2

5 , x=2

Solucin 2

lim f(x) = lim x - 4 = lim (x + 2) = 2 + 2 = 4 x~2 x~2 X - 2 x~2

2. Calcule lim ( 3x2

- l ?x + 20 J x~4 4x2 - 25x + 36 Solucin Factorice en el numerador y denominador por el mtodo del aspa simple.

l. ( 3x2

-17x + 20 ) 1. (3x - S)(x - 4) 1. 3x - 5 1m = 1m = 1m -X~4 4x2 - 25X + 36 X~4 (4X - 9)(X - 4) X~4 4X - 9 Por lo tanto:

l. 3x - 17x + 20 1 1m -( 2 ) x~4 4x2 - 25x + 36

3(4)-5 = 1 4(4)- 9

CAPITULO 2 U111ites y Co11ti1111idad 1 105

3. Calcule lim ( x3

-

2x2

-

4x +

8) x-->-2 3x2 + 3x - 6

Solucin Al factorizar el numerador se t iene:

x3 - 2x2 - 4x + 8 = x2 (x - 2) - 4(x - 2) = (x - 2)(x2 - 4) = (x - 2)2 (x + 2)

Al factorizar el denominador por aspa simple se tiene:

3x2 + 3x - 6 = 3(x - 2)(x + 1)

Luego reemplazar en el lmite y se tiene:

16 l. (x

3-2x2 -4x + 8)

1. (x-2)2(x+2)

1. (x - 2)2 1m = 1m ----- = 1m --- - - -

x-->-2 3x2 + 3x - 6 x-->- 2 3(x - l)(x + 2) x-->- 2 3(x - 1)

Por lo tanto,

4. Calcule lim (x: - 1 ) X-->l X - 1

Solucin

1m - --l. (x3

- 2x2-4x+8)- 16

x-->-2 3x2 + 3x - 6 9

Al aplicar cocientes notables en el numerador y denominador:

9

l. x

5 - 1 (x - l )(x4 + x3 + x2 + x + 1) 1m - l im 5 4 3 2

x4

+ x3

+ x2

+ x + 1 5 = lim --------- - -

x-->lx6 -1 x-->l(x- l )(x + x + x +x +x+ l ) x-->1x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1

Por lo tanto, 5

l. X - 1 5 1m - -x-->1x 6 - 1 6

s. ( 2 ) C 1 1 l

. x - (a - l )x - a a cu e 1m

x-->a x2 - (a - 2)x - 2a

Solucin Factorice por aspa simple tanto en el numerador como en el denominar:

Por lo tanto,

x2 - (a - l)x - a x2 - (a - 2)x - 2a X -a

x>--ax - (a - 2)x - 2a x-->a (x + 2)(x - a) x-->a x + 2

. ( x2 - (a - l )x - a J a + 1 hm = --x-->a x2 - (a - 2)x - 2a a+ 2

6


6. Calcule lim ( 2 - 2 ) x""'2 3x - 6 2x2 - Sx + 2

Solucin Factorice el denominador de la segunda fraccin algebraica y se t iene:

l. ( 2 2 ) 1 [ 2 2 J 1m - 1m - -----x""'2 3x - 6 - 2x2 - Sx + 2 - x""'2 3(x - 2) (2x - l)(x - 2)

Factorice 2 en el segundo miembro de la igualdad x-2

hm - = 1m -- --. ( 2 2 ) 1 ( 2 [1 1 J J x""'2 3x - 6 2x2 - Sx + 2 x""'2 (x - 2) 3 2x - 1

Saque mnimo comn mlt iplo a los denominadores

1m ------l. ( 2 2 ) x""'2 3x - 6 2x2 - Sx + 2

. ( 2 [2x - 1 - 3]) = !~ (x - 2) 3(2x - 1)

I' ( 2 [ 2(x - 2) ]) = x~ (x - 2) 3(2x - 1)

. [ 4 J = l1m x"'2 3(2x - 1)

Finalmente aplique el lmite y se obtendr:

lim ( 2 - 2 ) = 4 x""'2 3x - 6 2x2 - Sx + 2 9

7. l. ( X+ 3 ) Calcule: 1m ~ x"'- 3 x2 + 7 - 4

Solucin Racionalice el denominador y se tiene

l. ( x + 3 ) . (x + 3})(~x2 + 7 + 4)

1. (x + 3)(~x2 + 7 + 4) 1m = hm = 1m -------

x""'- 3 ~x2 + 7 - 4 x"'-3(.Jx2 + 7 - 4)(.Jx2 + 7 + 4) x-+-3 x2 + 7 -16 Aplicar diferencia de cuadrados en el denominador, simplificar y aplicar lmite

Por lo tanto,

lim ( x + 3 ) = lim (x + 3)(.Jx2 + 7 + 4) = lim .Jx2 + 7 + 4 - - 4 x"'- 3 ~ x2 + 7 _ 4 x"'-3 (x + 3)(x - 3) x"'-3 x - 3 3


8. (Fx - 8) Calcule lim 3r x~64 vX - 4 Solucin

Hacer el siguiente cambio de variable v6 = x entonces y3 = Fx /\ v2 = ~ . Adems, si x ~ 64 entonces y ~ 2. Luego, reemplace en el lmite la nueva variable y se tiene:

l. '\/X I' ( r,;- -8) (y38) 1m = 1m x~64 $. - 4 y~2 y 2- 4 Aplique productos notables y se obtiene

1m = 1m = 1m =3 l. (.Jx - 8) 1. (y - 2)(y2+2y + 4) 1. (y 2+2y + 4) x~64 $. - 4 y~2 (y + 2)(y - 2) y~2 y + 2 Por lo tanto, el lmite original es

lim = 3 (Fx -8) x~64 $.-4 Nota : Ot ra forma de solucionar el mismo lmite es racionalizando tanto numerador como denominador, es decir:

1m = 1m ---------- = lim l. (.Jx - 8) 1. (x - 64)(:ef;2 + 4$_ + 16) x~64 $. - 4 x~64 (x _ 64)(.Jx + 8) x~64 9. Calcule lim (rfx -Va)

x~a X - a

Solucin

:ef;2 + 4$_ + 16 Fx +8 =3

Multiplique, tanto al numerador como al denominador, por el factor racionalizante del numerador

11n terminos

Por lo tanto, racionalice el denominador y se tiene

. (rfx -Va) Va hm =- a> O ' x~a x - a na

( Fx-1 J 10. Calcule lim -J .J5 x~l 2x + 3 - 5


Solucin Racionalizar el numerador y denominador y se tiene

l. ( .Jx - 1 ) 1. .Jx + 1)(-Jx - 1)(.J2x + 3 + .JS 1m = rm ----r=-- ----;=====-- -=-----;=====- -,=-x""1 .J2x + 3 - .J5 x""1.Jx+ 1)(.J2x + 3 - .J5H.J2x + 3 + .JS

= lim (x -1)(.J2x + 3 + .JS X"'l ( Fx + 1){2X - 2)

_ lim .J2x + 3 + .JSJ = 2.JS X"'l 2(-Fx+l) 2.2

Por lo tanto,

1 ( .Jx - 1 ) .J5 X~ .J2x + 3 - .j5 = 2

11. Calcule lim x""1 lx - 11 + lx - 112

Solucin Al usar las propiedades de valor absoluto se tiene

lim . lx - 11 x2 + x + 1 lx - 11 x2 + x + 1 x2 + x + 1

= l r m --'------,..-'- = 1 i m = 1 i m '--~-,--'-x""l lx - 11 + lx - 112 x""1 lx - 11 + lx - 112 x""l lx - 11 (1 + lx - 11) x""l (1 + lx - l ll

Se apl ica el lmite y se tiene

12. Si lim ( f(x + 2) ) = 8 x"'-2 Hx - 2

Solucin

x3 -1 lim = 3 x""l lx - 11 + lx - 112

l. (g(x + 2)) 3 e 1 1 I' f(x) y 1m = . a cu e 1m -x""-2 x2 - 4 x""o g(x)

Al racionalizar el denominador del primer lmite se tiene

1m - 1m - - 1m = 8 l. ( f(x + 2) ) _ 1. f(x + 2)(Hx + 2) _ -1 1. [ f(x + 2)(.J-2x + 2)] x"' -2 Hx - 2 x"'-2 -2x - 4 2 x"'-2 (x + 2)

Al aplicar d iferencia de cuadrados en el denominador del segundo lmite se obtiene

lim (g(x + 2)) = lim g(x + 2) = 3 x""-2 x2 - 4 x""-2 (x - 2)(x + 2)

De (1) y (2)

(1)

(2)


- 1 lim [f(x + 2)(Hx + 2)] 2 x""'-2 (x + 2) 1 1 = - - 1m

f(x + 2)( Hx + 2) (x + 2)

r [ g(x + 2) J x~"22 (x - 2)(x + 2) 2 '""'-2 g(x + 2)

(x - 2)(x + 2)

=-~ lim [ f(x + 2)(Hx + 2)(x - 2)] = ~ 2 x""'-2 g(x + 2) 3

= -- hm hm (-v - 2x + 2)(x - 2) = -1 . [ f(x + 2)] . [ ~ J 8 2 x""'-2 g(x + 2) x""'-2 3

Aplica el lmite y se t iene

r [ f(x + 2)]( 4 x 4) 8 x~"22 g(x + 2) 2 = 3

Hacer el cambio de variable: y = x + 2; x ~ -2 => y ~O

l im f(y) = 1 Y"'Og(y) 3

Por lo tanto, al cambiar y por x se tiene:

lim f(x) = 1 '""' g(x) 3

13. Si f(x) = X - 2 y g(x + 1) = x2 - x. Calcule lim (f 0 g)(x + l) '""'2 (g o f)(x + 2)

Solucin Al aplicar la definicin de funcin compuesta se tiene

l. (f o g)(x + 1)

1. f(g(x + 1))

1m = 1m----'""'2 (g o f)(x + 2) '""'2 g( f(x + 2))

Al aplicar la definicin de cada funcin se tiene

l. (f og)(x + 1) 1m----

'""'2 (g o f)(x + 2)

Por lo tanto,

= lim f(g(x + 1)) = lim f(x2 - x) = '""'2 g( f(x + 2)) '""'2 g(x)

f(x2 - x) lim----'""'2 g( (x - 1) + 1)

= lim x - x - 2 = lim (x - 2)(x + l ) = lim x + 1 = 3 2 ( ) '""'2 (x - 1)2 - (x - 1) '""'2 (x - 2)(x - 1) '""'2 x - 1

lim (f og)(x + 1) = 3 '""'2 (g o f )(x + 2)

11 OICAPITULO 2: L1nites y Co11ti1111idad

Ejercicios propuestos 2.1.

Nivel 1

l.

2.

3.

4.

s.

Calcule lim [sx2 (3x + 1 ) ] X"'l/ 3

Calcule lim [~x + 4] x--+4

[ 2 ] X - 16 Calcule lim X~4 X - 4

[ 4 ] X - 81 Calcule lim

X--+3 X - 3

[ x2

+ 4x + 3] Calcule lim x-+-3 X+ 3

6. Calcule lim [ 2

x -4 J

X--+4 X - X -12

7. Calcule lim [x2

+ Sx + 6] X--+-2 X+ 2

C 1 1 l. [ y2

+ 4y + 3] 8. a cu e 1m 2 v--+-3 y - 3

9. Calcule lim [ 5:3

+ Sx2

2 ] x--+O 3x -16x

10. Ingreso. El ingreso total para un producto est dado por R(x) = 1 600x - x2 donde x es el nmero de unidades vendidas. Cul es lim R(x)?

x--+100

11. Ganancia. Si la funcin ganancia para un producto es P(x) - 92x - x2 - 1 760, encuentre lim P(x)

x--+40

12. Ventas y capacitacin. El volumen de ventas mensuales promedio (en miles de dlares) de una empresa depende del nmero de horas x de capacitacin de su personal de ventas, de acuerdo

con S(x) = i + 30 + ~, 4 < x < 100. Encuentre lim S(x) X 4 -s

13. Publicidad y ventas. Suponga que las ventas diarias S (en dlares), t das despus de terminar una campaa publicitaria son S(t) = 400 + 2400 encuentre S(O}, lim S(t) y lim S(t)

t + 1 1--+ 7 1--+14

14. promedio. Sic es el costo total en dlares para producir q unidades de un producto, entonces el e

costo promedio por unidad para una produccin de q unidades est dado por e= - . As, si la q

ecuacin de costos totales es e = sooo + 6 . Cul es el valor del costo promedio cuando la q

produccin se acerca a 10 unidades?

15. La funcin utilidad. La funcin de utilidad para un cierto negocio est dado por

P(x) = 224x - 3,lx2 -800; donde x es la cantidad producida. Calcule el valor de la utilidad cuando la produccin se acerca a 10.

Nivel 2

[ sx3

+ sx2

] . [ x4

+ x3

- 24] l . Calcule lim 4 2 2. Calcule hm 2 x--+O 3x -16x X--+2 3X - 4

[ 3 2 ] [ Jx - 2 - 2] 3. c 1 1 r x + x - sx + 3 4. a cu e 1m Calcule lim x--+l x3 + 2x2 - 7x + 4 X--+6 X - 6

s. I I I" [X - 10.JX + 21] 6. . [ J4 +X - 2] Ca cu e 1m .JX Calcule l1m X--+9 3- X X--+0 X

7.

9.

11.

13.

15.

1- .J1 - x2 Calcule lim x--+O X

[X - .[x - 12 ] Calcule lim .[x

x--+ 16 4 - X

. [x3 - 3x + 2] Calcule hm 4 X--+l X - 4X + 3 [ ~- 1] Calcule l im 4 ,--x--+l tx - 1

Calcule lim [ .J2x + 1 - 3 ] X--+4 .Jx - 2 - .Ji.


8 . Calcule lim [ ~ -1] x--+l X - 1 10. . [x

4+ x

3-24] Calcule hm --2- --x--+ 2 X - 4

Calcule lim[ 1 - 3 3 ] X--+1 1 - X 1 - X 12.

14. Calcule lim [~l+ x - l J X--+0 X

16. Calcule l im W-4VX +4 (x - 8)2 x--+8

2 - t - 3 17. Una piscina se queda vaca segn la funcin v(t) = 2 ' , donde ves el volumen expresado t -49 en m3 y t el tiempo en minutos. lA qu valor se aproxima el volumen cuando el tiempo se aproxima a 7 minutos?

Nivel 3

l .

3.

s.

7.

x-.J3x-2-~x + 2 Calcule lim

x-76 x-.Jx + 3-~4x + 3 Calcule lim [ 6 - J9X ]

x--+4 ifj; + ~X - 3 - 3

Calcule lim [ 3~x + 1 - 2.Jx + 1 - 1 ] x--+O X

Calcule 1 i m X--7-3

~r-g;+l -2 2-~x+ll

2.

4.

6.

[1-iX] Calcule lim ar X-->l 1-tX Calcule lim

x--+0

Calcule lim x--+8

{f x3 - 8 + ~32 - x10 .Jx3 + 4 - ~x4 + 16

8. 3 2 2 2

Si f(x) = x - x + ax y lim f(x) = 2a - 5. Halle el valor de a sabiendo que a>O 2ax + x2 x--+l

9. x2

- mx + 3x - 3m 2 Si f(x) = , halle los valores de m, talque lim f(x) = m - 17 x - m x--+m

Si se sabe qu lim f(x) 3

= 4 y lim g(x) 2

= -6 , calcule lim f(x) X--+11 - X X--+11 - X x--+1 g(x) 10.

11. S. 1 f(x + 2) 8 1 g(x + 2) 3 c 1 1 1 f(x) 1 1m = y 1m = . a cu e 1m --x--+-2 .J-2x - 2 x--+-2 x2 - 4 x--+O g(x)

12. Si lim x2

-

1 = L * O . Calcule el valor de a+b

x--+1 ax2 + 2x + b

3 S. 1. f(a + x) 12.Jb 1. g(a + x) 93/(b )2 1 . 1 1m = + x y 1m = v + x . ,......b.Ja + x-.Jb+x ,......b~b+x-~a + x

1 S. 1 kJX - 1 L O h 11 1 ,.Jx + 1 - 1 4. 1 1m = * , a e 1m 7'.'r'= =--x--+1 X - 1 x--+1 Vx + 1 -1

Halle lim f(a + b + x) ....... og(a + b + x)

112 ICAPITULO 2: L1nites y Co11ti1111idad

2.2. LIMITES LATERALES, LMITES AL INFINITO E INFINITOS

A) Limites laterales

Definiremos simblicamente los lmites laterales de una funcin real.

a) Limite lateral por la derecha

L e R es el lmite de la funcin f por la derecha de a s1, dado E >O , 3 o >0 tal que s1 x E ( Dt f\ ]a ;>[ )/\ O < lx - al < o => lf(x)- Lj < E

Notacin lim f(x) = L x~a+

b) Limite lateral por la Izquierda

Le R es el lmite de la funcin f por la izquierda de a s1, dado E >O , 3 o >O tal que s1 x E ( Dt f\ ]-> ;a[ )/\ O < lx - al < o=> lf(x)- Lj < E

Notacin lim f(x) = L

x--+a

Teorema El lmite de una funcin en un punto existe s y slo s los limites laterales existen y son iguales en ese punto. Es decir:

lim f(x) = L ~ lim f(x) = lim f(x) x~a x~a+ x~a-

B) Lmites al infinitos Definicin 1 Escribimos lim f(x) = L y diremos que L e R es el lmite de f(x) cuando x tiende al -f-Q.) .

x~+oo

O cuando x crece infinitamente si para cada E > O existe un nmero N > O tal que si x e Dr A x > N, entonces lf(x) - LI < E Definicin 2 Escribimos lim f(x) = L y decimos que L e R es el lmite de f(x) cuando x tiende al -> .

X...+-

O cuando x decrece infinitamente si para cada E > O existe un nmero N > O tal que s1 x e Dr A x < -N, entonces lf(x) - Lj < E Definicin 3 Escribimos lim f(x) = L y decimos que L e R es el lmite de f(x) cuando x tiende al > (sin signo), si para cada E > O existe un nmero M > O tal que si x e Dr f\ lxl > M, entonces lf(x) - LI < E Teorema Sea "n" un nmero entero positivo cualquiera, entonces se cumple:

. 1 . 1 l . l1m - = O 2. hm - = O

x--++oo xn x...+-oo xn

Teorema Sean las funciones f y g definidas:

f( ) n n-1 ,,,+ x = a0x + a0 _ 1 x + ... + a1 x + a0 ; n E ILI g(x) = bmXm + bm-lXm-l + ... + b1X + bo ; m E z+

Entonces,

Ejemplo

Sea la funcin:

Solucin

" bm

L = lim ( f(x) ) = o X~O> g(X)

O existe o > O tal que:

x~c

O < lx - el < o, entonces f(x) > N Es decir:

lim f(x) = + oo ~ VN > O, 3o > O / si O < lx - el < o => f(x) > N x~c

Definicin 2 Diremos que lim f(x) = - si y slo si dado un nmero N < O existe o > O tal que:

x'c

si x E Dr /\ O < lx - el < o, entonces f(x) < N Es decir:

lim f (x) = - ~ VN < O, 3o > O / si x E Dr " O < lx - el < o => f(x) < N x~c

TEOREMA Sea n un nmero entero positivo cualquiera

l. 1 l. 1m - = + oo x~o+ x"

2 lim _!_ = {+oo x,o- x -

s1 n es par . .

s1 n es impar

3. s1 lim f(x) = L :t O y lim g(x) = O , entonces: X'a X'a

l l 41CAPITULO 2: L1nites y Co11ti1111idad

L

a) Si g(x) > O , 'lx =f. a entonces lim f(x) = ""' g(x)

- = + co o+

L - = -co o+

L - = - co

b) Si g(x) < O, 'lx =f. a . f(x) entonces hm = o-

Ejemplo

Calcule lim [ 1 J x"'4 X - 4

Solucin Calcule los lmites laterales.

""'g(x) L - = +CIJ o-

a) lim [ 1 J = lim [ 1 J = __!__ = +co x"'4+ X - 4 x"'4+ X - 4 Q+

x>4

Por lo tanto, el lmite en x=4 no existe.


A) Lmites laterales

l . Sean las siguientes grficas a) Y b) y

M. H OO.>. O - O. O.> O O O> >O OO.> O -. . . .

' ' . ' . . . . .

' ' ' o ' ' u- .... 2 -uu-- -H : L .. + l L. +

: ~.~. i....... ... . . .... l ...... L .. 1 ..... .

. . . . . . . . .

, o . . X ' 2

*if.-, --.,;.~ ---=2i---1.;.........,o:+-i~ X . . . . . . .

j .. {....... . .... ~. -~- -+- I + ...... t ++ . . . - 1 I +.. ............ ..... . ...

. ' . . ' .... - -.................. -

' . . . ...... ...... - --- ..

Calcule los siguientes lmites.

si L > O

si L < O

si L >O

si L < O

e) y ...... .... - ... . .. - .

. . ! .

. . .

..... .. + 2 ... . . + ....

;+-+--'-"'C)C--4H ._.., X - i o l ~

..... 1~ - t- -:- ....

....... ~ ... + + . . . . . . . . . . . . . . . .

a) (1) lim f(x) (2) l im f(x) (3) lim f(x) x"'2- x"'2+

b) (1) lim f(x) (2) lim f(x) x"'-3+

Dar el valor de verdad de los siguientes lmites. e) l. lim f(x) = 1 2. l im f(x) = 1 3.

+ x"'-2 -X"'O

s. l im f(x) = O 6. lim f(x) = O 7.

x"'2

l im f(x) existe X"'O

4. lim f(x) = 1 X"'O

lim f(x) = O 8. lim f(x) = lim f(x) X"'l x"'o- x"'o+ x"'o- x"'o+

9. lim f(x) = O 10. lim f(x) = 2 11. lim f (x) = 2 12. lim f(x) = 1 X"'O x"'2- x"'-2+ X"'l

CAPITULO 2 U111ites y Co11ti1111idad 1 115 Solucin a) (1) lim f(x) = -2 , (2) lim f (x) = 2 (3) lim f(x) j

x~2- x~2+ x~2

b) (1) lim f(x) = 1 , (2) lim f(x) = 2 (3) lim f(x) t x~-3- x~-3+ x~-3

e) 1. lim f(x) = 1 2. lim f (x) = 1 3. lim f(x) existe 4. lim f(x) = 1

x~-2+ x~o- x~O x~O Falso Falso Verdadero Falso

s. lim f(x) = O 6. lim f(x) = O 7. lim f(x) = O 8. lim f (x) = lim f(x) x~l x~o- x~o+ x~o- x~o+

Falso Verdadero Verdadero Verdadero 9. lim f(x) = O 10. lim f(x) = 2 11. lim f(x) = 2 12. lim f(x) = 1

x~O x~2- + x~l x~-2 Verdadero Falso Verdadero Falso

x2 +1 ; si x < 1 2. Calcule, si existen, lim f(x) y lim f(x), donde: f(x) = x + 1 ; si 1 < x < 4

x~l x~4 4 - X ; Si X > 4

Solucin a) Analice el lmite en x=l . Lmite por la derecha:

lim f(x) = lim (x + 1) = 1+1 = 2 x~l+ x~l+ x>l

Lmite por la izquierda: lim f(x) = lim (x2 + 1) = 12 + 1 = 2 x~l- x~l-x< l

Por lo tanto, lim f(x) = 2 x~l

b) Analice el lmite en x=4. Lmite por la derecha:

lim f(x) = lim (4 - x) = 4 - 4 = O x~4+ x~4+ x>4

Lmite por la izquierda:

lim f(x) = lim (x + 1) = 4 + 1 = 5 x~4- x~4-x


x3 - 2x2 - Sx + 6 x-3

3. Calcule, si existe, lim f(x) donde f(x) = .Jx + 1 - 2 X"""*3

x-3

Solucin Analice los lmites laterales para calcular el valor de lim f(x).

X"""*3 Lmite por la izquierda

lim f(x) = lim (x3 - 2x2 - Sx + 6) X"""*3- X"""*3- X - 3 x 3

1m x = l1m = l. f( ) . [(x - l)(x + 2)~] X"""*3- X"""*3- 0 lim [(x-l)(x + 2)]=10 X"""*3-x3

Racionalice el numerador y obtendr

l. f( ) 1. [(.../x + 1 - 2) (.../x + 1 + 2)] 1. [ x + 1- 4 ] 1m x = 1m x = 1m x"'3- """*3- x - 3 (.../x + 1 + 2) x"'3- (x - 3)(.../x + 1 + 2) x

5. e 1 1 l. ( x3 - 2x2 - 4x + 8J a cu e 1m I I x~2 X - 2 Solucin Anal ice los lmites lateras en x=2 Lmite lateral por la derecha

CAPITULO 2 U111ites y Co11ti1111idad 1 11 7

lim (x3 - 2x2 - 4x + 8J = lim (x3 - 2x2 __ 4x + 8) = lim ~(x2 - 4) = O x~2 lx - 21 x~2+ X 2 x~2+ y"

x>2 x>2

Lmite lateral por la izquierda

hm = hm = l1m r-- ""1 = O . (x3

- 2x2 - 4x + 8) . (x3 - 2x2 - 4x + 8) . tv ~(x2 - 4) x~2- lx - 21 x~2- 2 - X x~2- -(y") x


7. Calcule lim X--'>Ji.-

2[ x2 +1] + lx + 21- 2 [3x + 2]

Solucin Al aplicar propiedades de la funcin mximo entero se tiene:

. 2[x2 + 1]+1x+2l-2 . hm = hm

r.;- [3x + 2) r::-X--'>v X--'>v2 x

B) Lmites infinitos

l. Calcule lim [ x + 1 ] X--+2 .Jx + 2 - 2

Solucin

Anal ice los lmites laterales en x=2 Limite por la derecha


lim = lim = l1m = - =+oo [ x + l J [ x + l J . [ x + l J 3 X--+2+ .Jx + 2 - 2 X--+2+ .Jx + 2 - 2 X--+2+ .Jx + 2 - 2 o + x > 2 x+2 > 4 ../x+2 > 2

Limite por la izquierda

hm = l1m = l1m = - = -CIJ . [ x + l J . [ x+l J . [ x + l J 3 x--+2- .Jx + 2 - 2 x--+2< .Jx + 2 - 2 x--+2- .Jx + 2 - 2 o -x < 2 x+2 < 4 ../x+2 < 2

Por lo tanto, el lmite en x=2 no existe

2. Calcule lim_ [ 4x 2 J

x--+1 1- X

Solucin Aplique el lmite y se t iene:

3. Calcule lim [ x + 4 ] x--+4- X - 4

Solucin Aplique el lmite y se t iene:

4. Calcule lim [ 1 J x--+1+ x2 - 1

Solucin Aplique el lmite y se tiene:

1m =-=+ CO l. [ 4x J 4 x--+1- 1- x2 o +

hm =--=- =-CO . [x +4] 4 x--+4- X - 4 Q

lim [ 1 J = 2_= +co x--+1+ x2 - 1 o +


s. R+1 Calcule lim X'l x2 - 1

Solucin Analice los lmites laterales en x=l.

Limite por la derecha

R+1 R +1 = lim

x2 - 1 x,1+ (x - l)(x + 1) x> l


Por lo tanto, el lmite en x=l no existe.

6. Calcule lim [ JX + 1 ] X' X

Solucin Analice los lmites laterales en x=O. Limite por la derecha

R +1 (x - l)(x + 1)

l im [j; + 1]= ~ = +ctJ x-*l+ X 0


Por lo tanto, el lmite en x=l no existe

C) Lmites al infinito

l . Calcule lim X+ .J9x2 + 2

Solucin

2 =-=+OC>

o+

2 =-=-OC>

o-

Divide tanto el numerador como al denominador entre x, y se obtiene

1+ .J9x2 + 2 X

3-~ X

CAPITULO 2 U111ites y Co11ti1111idad 1 121 Ingrese la variable x a la raz cuadrada y se obtiene

lim x + .J9x2 + 2 = lim x~+co 3X - 3 X_,.,,,+

l+R 3- 3

X

Aplique el lmite y se t iene

lim X-?+C:O

X+ .J9x2 + 2 3x- 3

- 1 + ,J9 + o _ 1 + 3 - 4 - - --3- o 3 3

[2x3 - 3x + 7]

8

2. Calcule lim --5---

x""'oo X + 6

Solucin Observe que el denominador tiene grado mayor que el numerador, entonces el lmite de esa funcin cuando x tiende al infinito es cero. Es decir:

l. [ 2x3 - 3x + 7]8 1m = O x"'oo x5 + 6

3. [

3 5 4 ] e 1 1 l. Gx - 2x + 2x - 7x + 8 a cu e 1m

x"'oo 3x6 - 5x2 + 4x - 7x2 + 8

Solucin Al igual que el ejercicio anterior, el grado del denominador es mayor que el grado del numerador entonces el lmite es

hm = O . [ Gx3

-2x5

+2x4

-7x+8] x"'oo 3x6 - 5x2 + 4x - 7x2 + 8

e 1 1 l. [ 7x3

- 5x2

+ x - 1] 4. a cu e 1m ---2----

'""'' X + 2

Solucin En este caso, el grado del numerador es mayor que el grado del denominador por lo tanto el lmite es infinito. Es decir

1m = J l. [ 7x3 - 5x2 + x - 1] x"'oo X2 + 2

1221CAPITULO 2: L1nites y Co11ti1111idad

s. Calcule lim x~+oo

Solucin

2x2 + 3 5x2 -1

Divide en el numerador y denominador del rad icando y obtendrs

lim X--++oo

Aplique el lmite y se t iene

2x2 +3 ---= lim Sx2 - 1 x--++oo

lim X--++oo

3 2+ -x2 -

s-2-x2

2x2 + 3 = (2 sx2 -1 -Vs

lim (2 + ~) X--++o:> X

lim (s-2-) X--++OO X2

6. Calcule lim [ 4x2

+ 3x +

9] x~oo Sx2 + 1

Solucin Como el numerador y el denominador tienen el mismo grado, se divide el numerador y el denominador entre la variable con el mayor exponente. Es decir:

3 9 4 + -+-

x x2 1m = 1m l. [ 4x2

+3x+9] 1. x~oo 5x2 + 1 x~oo 1 5+ -x2

Aplique el lmite y se t iene:

7. Calcule lim X...+00

Solucin

{)x3 + 2x -1 x + l

1m --l. [4x2

+ 3x+9 ] _4 x~00 Sx2 + 1 5

Divide tanto al numerador como al denominador entre x, y se tiene:

{)x3 + 2x -1 2 1 {)x3 + 2x -1 31+---

lim = lim X = lim x2 x3 ~

= - =1 X--+OO x+l X...+00 1 X--+OO 1 1 1+ - 1+ -

X X


8. Calcule lim [ .Jx + 1 + .Jx + 4 ] x"' +oo .Jx + 7 + .Jx + 6

Solucin Divide tanto al numerador como al denominador por raz cuadrada de x. Es decir:

l. [.Jx + 1 + .Jx + 4] 1. 1m = 1m x"'+oo .Jx + 7 + .Jx + 6 x"' +oo

9. Calcule lim [.Jx2 - x - x] ""'-

Solucin Racionalice y se obtiene:

.Jx + 1 .Jx + 4 ---+-~-.JX .JX

.Jx + 7 .Jx + 6 --- +-~-

.JX .JX = lim

X-7+00

l im [ .Jx2 - x - x] = lim x~+co X-7+00

( J 2 ) (.Jx2

- x + x) '\/X - X - X X ----r==--

(.Jx2 - x + x) [ x2

- x - x2 ]

= lim x"'+oo .Jx2 - X + X

= lim X-7+00

-x

2 1 X (1- -) +X X

= lim X--7+00

-x

Aplicando el lmit e se tiene:

lm [.Jx2 - x - x] = _.!_ x"'+oo 2

10. .Jx2 +2 -.J4x2 -5 Calcule lim

7x - 1 + .J9x2 + 1 X-7 - 00

Solucin Divide tanto al numerador como al denominador entre x y se t iene:

X-7-C::O

.Jx2 + 2 - .J4x2 - 5 = lim

7x - 1 + .J9x2 + 1 X X

-1

Observe que x es negativo, entonces al ingresar a la raz, la raz debe quedar multiplicado por el signo

. P . 1 J3 ~ E 1 . . . d negativo. or eemp o - = - - . ntonces e eerc1c10 que a: - 2 4


.Jx2 +2 -.J4x2 -5 = lim lim

7x - 1 + .J9x2 + 1

-~1 + 2 + ~4 5 x2 x2

7 - ~- ~9+ 1 x~-oo Aplique el lmite y se t iene:

11. Calcule lim x~+oo

Solucin

lim x~-co

.Jx2 + 2 - .J4x2 - 5

7x - 1 + .J9x2 + 1

.Jx2 + 2 - .J4x2 - 5

x~-oo

-Ji +J4 7- J9

Divide tanto al numerador como al denominador entre x:

X . x2

-1 + 2 1 -

--

7 - 3 4

lim Jx2 + 2 - J4x2 - 5 = lim X X x~+co 7x - 1 + J9x2 + 1 x~+oo

Observe que x es positivo, entonces no hay problema al ingresar a la raz. Es decir:

lim x~+oo

Aplique el lmite y se t iene:

lim x~+co

7x - 1 + J9x2 + 1

.Jx2 +2 -.J4x2 - 5

7x - 1 + .J9x2 + 1

12. Calcule lim [ .Jx + 1 - JX] x~oo

Solucin Racionalice los radicales

r,T _ r;-s v,. v


13. Calcule lim [ -Jx2 + 1 -,Jx2 - 1] X_,.00

Solucin Racionalice las races

[ J ( -Jx2 + 1 - -Jx2 - 1 )( -Jx2 + 1 + -Jx2 - 1)

lim ,Jx2 + 1 - ,Jx2 - 1 = lim ,J ,J x_,.oo x_,.oo x2 + 1 + x2 - 1

1m x + - x - = 1m = 1m l. [-J 2 1 ,J 2 1 ] 1 [ x2

+ 1 - (x2

- 1) J 1 [ 2 ] x_,.oo x_,.oo ,Jx2 + 1 + ,Jx2 _ 1 x_,.oo ,Jx2 + 1 + ,Jx2 _ 1 Observe que al igual que el ejercicio anterior hay variable slo en el denominador, entonces el lmite es cero. Es decir:

14. Calcule lim [-Jx2 + Sx + 6 - x] X_,.+oo

Solucin Racionalice y se tiene:

[ J ( ,Jx2 + Sx + 6 - x )( ,Jx2 + Sx + 6 + x)

lim ,Jx2 + Sx + 6 - x = lim x_,.+oo x_,.+oo ( ,J x 2 + Sx + 6 + x)

llm x + Sx + 6 - x = l1m = l1m . [.J 2 J . [ x2 + Sx + 6 - x2 ] . [ Sx + 6 ] x_,.+oo x_,.+oo ,J x2 + Sx + 6 + x x_,.+oo ,J x2 + Sx + 6 + x

Ahora divide tanto al numerador como al denominador entre x

lim [ -Jx2 + Sx + 6 - x]= lim X~+> X~+c:o

Aplicaciones

6 5+ -x

5 6 1+-+- +1 X x2

1. La cochera Municipal cobra S/. 2.00 por 2 o menos horas de servicio de estacionamiento y SO centavos por hora extra o fraccin de hora despus del minuto de 2 horas.

a) Hallar la funcin, que dependa del t iempo, que describa el cobro por serv1c10 de estacionamiento durante las primeras 5 horas.

b) Encuentre lim f(t), si existe t_,. 1

e) Encuentre lim f(t), si existe t_,.2


Solucin a) La funcin que modela ste problema es la siguiente:

2 ;O < t < 2 f(t) = 2 + o.5([t] - ll ; te (2,5) - {3,4}

2 + 0.5(t - 2) ;t E {3,4,5} b) lim f(t) = 2 y lim f(t) = 2. Por lo tanto: lim f(t) = 2

t~l- t~l+ t~l

c) lim f(t) = 2 y lim f(t) = 2.5 . Por lo tanto: lim f(t) no existe. t~2- t~2+ t~2

2. Cargos telefnicos Una llamada de marcacin directa de Savannah, Georgia, a Atlanta, Georgia, cuesta $0,10 por el primer minuto y $0,07por cada minuto adicional o fraccin de minuto. Si C=C(t) es el cargo por una llamada que dura t minutos, construya una tabla de los cargos por llamadas con una duracin de casi 1 minuto y sela para encontrar los siguientes lmites, si existen. a) lim C(t) b) lim C(t)

t~l-

Solucin

t 0,8 C(t) 0,10

De la tabla se observa que: a) lim C(t) = 0,10

b) lim C(t) = 0,17 t~l+

t~1+

0,9 0,10

0,99 0,10

c) lim C(t) no existe, pues lim C(t) :t l im C(t) t~l t~l- t~l+

c) lim C(t) t~l

1 1,09 1,1 1,13 X 0,17 0,17 0,17

3. El servicio de traumatologa de un hospital va a implantar un nuevo sistema que pretende reducir a corto plazo las listas de espera. Se prev que a partir de ahora la siguiente funcin indicar en cada momento (t, en meses) el porcentaje de pacientes que podr ser operado sin necesidad de entrar en lista de espera:

P(t) = t 2 - 8t + 50 ; o < t < 10 38t-100

; t > 10 0,4t

a) Analizar el porcentaje de pacientes que pueden ser operados sin necesidad de entrar en lista de espera cuando estamos cercanos al dcimo mes.

b) Por mucho tiempo que pase, la qu porcentaje no se llegar nunca?

Solucin Esta funcin puede tambin ser expresada como:

P(t) = t 2 - 8t + 50 ; o < t < 10

95 - 250 ; t > 10 t

a) Debemos calcular el siguiente lmite: lim P(t). Para ello se analizan los limites laterales: t~lO

lim P(t) = lim [ t2 - 8t + 50) = 102 - 8(10) + 50 = 70 t~lO- t~lO-


l. ( ) 1 [ 250] 250 1m P t = 1m 95 - - = 95 - - = 70 t~10+ t~10+ t 10

Por lo tanto, lim P(t) = 70 t~lO

Esto significa que, el 70% de los pacientes pueden ser operadores sin necesidad de entrar en lista de espera, cuando nos aproximamos al dcimo mes.

b) Esta pregunta sugiere calcular el siguiente lmite: lim P(t) t~+oo

lim P(t) = lim [95- 25] = 95- O= 95 t~- t~- t

Por lo tanto nunca se llegar a un 95% en la lista de espera, slo se estar prximo a tal porcentaje.

4. Impuestos federales sobre la renta. La tabla siguiente muestra las tasas tributarias federales en 1991 para los matrimonios que declaran de manera conjunta.

Ingreso gravable Mayor que Pero no mayor que Tasa tributaria (en dlares) (en dlares) (%)

o 34000 15 34000 82 150 28 82150 31

Sea la funcin T= f(x), donde Tes igual al pasivo tributario (en dlares) para personas casadas que declaran de manera conjunta y x equivale al ingreso gravable (en dlares). Calcule lim f(x), si

~ 82150 existe.

Solucin Del ejercicio resuelto nmero 22 del captulo 1 sesin 1, se tiene:

15%X ; 0 < X < 34 000 T = f(x) = 28%x - 4420 ; 34000 < x < 82150

31%x - 6884,5 ; 82150 < X

Aplique lmites laterales en x = 82 150

Limite por la derecha

lim f(x) = lim [28%x - 4420) = 28%(82150)- 4420 = 18582


lim f(x) = lim [31%x - 6884, 5) = 31%(82150) - 6884,5 = 18582 ~ 82150+ ~ 82150+

Por lo tanto, si el ingreso gravable de la pareja de esposo se acerca a $ 82 150 entonces el pasivo tributario se acerca a $ 18 582.

12 SI CAPITULO 2: L1nites y Co11ti1111idad

5. Para estudiar la tasa con la que aprenden los animales, un estudiante de psicologa realiz un experimento en el que enviaba a una rata repetidamente a travs de un laberinto. Suponga que el tiempo requerido (en minutos) para que la rata atraviese el laberinto en el n-simo intento esta dado por la siguiente funcin: T(n) = [ 5n ~ 17] Qu sucede con el tiempo a medida que la rata aumenta el nmero de intentos en atravesar el laberinto?

Solucin Esta pregunta sugiere calcular el siguiente lmite: lim T(n) Entonces,

. . [ Sn + 17] . [ 17] . . 17 hm T(n) = hm = hm 5 + - = hm 5 + hm - = 5 + O = 5 n-++> ~- n n-+- n n-++> n-++> n

Esto significa que, a medida que la rata aumenta el nmero de intentos en a travesar el laberinto, el tiempo que se demora estar cada vez ms cerca a los 5 minutos pero nunca tardar 5 minutos exactamente.

6. El lenguado es una especie de gran importancia para el Per y Chile por su alto valor nutritivo y comercial. Se conoce poco sobre su potencial de cultivo en el Per. La siguiente ecuacin muestra el crecimiento en longitud del lenguado en centmetros, en funcin de su edad t dada en aos:

L(t) = [ 60tt- 1 J lQu sucede con el crecimiento del lenguado a medida que pasan los aos?

Solucin Esta pregunta sugiere calcular el siguiente lmite:

l. ( ) 1 60t - 1 1 ( 1) 1 1 1 1m L t = 1m = 1m 60 - - = 1m 60 - 1m - = 60 - O = 60 t-++> t-+- t t-++> t t-+- t-+- t

Esto significa que, a medida que pasan los aos, la longitud del lenguado se aproximar a los 60 cm pero nunca llegara a mediar 60 cm exactamente.

7. El ingreso semanal de la pelcula "Cmo casarse y mantenerse soltero", estrenada recientemente, est dada por la siguiente funcin:

R(t) = 5-t + 99,

Donde R(t) est dada en millones de dlares y t est dada en semanas. lQu sucede con el ingreso a medida que aumentan las semanas?

Solucin Esta pregunta sugiere calcular el siguiente lmite: lim R(t)

t-++CO

lim R(t) = lim [s-t + 99] = lim s-t + lim 99 = O+ 99 = 99 t-++co t-++CO t-++co t-++CO

Esto significa que, a medida que pasan las semanas, el ingreso semanal de la pelcula se aproximar a los 99 millones de dlares pero nunca llegara a recaudar 99 millones de dlares exactamente.

CAPITULO 2 U111ites y Co11ti1111idad 1 129 8. Suponga que la demanda de un artculo no perecible (en miles de unidades) est dado por la

f . , f( ) 320x-o4 + 90 d 1 , d d , d 1 1 . d 1 unc1on x = _04 . Don e x es e numero e semanas espues e anzam1ento e 4x + 9 producto al mercado nacional. Determine la demanda al inicio del lanzamiento y cuando x ~ 3

2. Calcule, si existe, lim f(x) donde f(x) = {- x

2

+ 1 si x < 1

X~l - X + 4x - 1 si X > 1

3 . Calcule si existe lim f(x) donde f(x) = x~3


x + 3 x-2 x2 - 9 x - 3

si X < 3

si X > 3


. [-2x -1] 4. hm x--+co - 4X + 2 l

. [ 9x2 + 3x + 9] s. 1m x--+oo Sx 2 + 3x [

2 ] l. 2x + Sx 6. 1m x--++oo 3x2 + 8x - 2

. [ 8x2 - 8x40 + Sx] hm 1. x--+00 2x40 + 2x - 9

lim [123x2 - 3x5 + 2x4 - 7x + 8] a. x--+00 98x6 - 2x2 + Sx + 8

lim [5x6 ~ 5x2 + x - 1]

9. X--+00 X + 2X - 1

lim [2xs: 4x2 + x] 10. X--+00 X + 2x

r [ G J 13. x~~+ X - 5

lim 11. X--+


3. lim [ (x + 3)3(3x - 2)2] X""*CO XS + 5

10 +.Jx2 +10 4. lim X""*t X

S. lim 5x + .J2sx2 + 2

Resuelva los siguientes problemas.


[2x2 - 3x - 4 ] 7. lim

X""*OO .Jx4 +1

11.Explique que se quiere dar a entender con lim f(x) = 3 y lim f(x) = 7. En esta situacin, es X""*l- X""*l+

posible que lim f(x) exista? D una explicacin. X""*l

12.Se pronostica que la poblacin de cierta ciudad pequea t aos a partir de ahora ser 2ooo 1 bl . ' 1 1 d . 1 N = 50000 - . Determine a po ac1on a argo pazo, esto es, eterm1ne 1m N t + 1 X""*OO

13.Si se siembra cierto cultivo en una tierra donde el nivel de nitrgeno es N, entonces el volum en de

la cosecha, Y puede modelarse con la funcin de Michaelis-Menten Y(N) = AN N > O donde A B+ N

y B son constantes positivas. Qu le sucede a la cosecha cuando el nivel de nitrgeno se incrementan indefinidamente?

14.Costo promedio. Un director de una empresa determina que el costo total de producir x unidades de un producto dado se puede modelar por la funcin C(x) = 7,Sx + 120000 dlares. El costo promedio es C(x) = C(x). Encuentre lim C(x) e intrprete su resultado.

X X""*OO

15.En una relacin particular husped-parsito, se determin que cuando la densidad de husped (nmero de husped por unidad de rea) es x, el nmero de huspedes parasitados en un periodo

900x es Y=

10 +

45x, si la densidad de husped aumenta indefinidamente, a qu valor se

aproxima ra?

16.Para una relacin particular presa-depredador, se determin que el nmero de y de presas consumidas por un depredador a lo largo de un periodo fue una funcin de presas x (el nmero

20x de presas por unidad de rea). Suponga y = --- Si la densidad de presas aumenta sin cota, 1 + 0,2x

a qu valor se aproximara y?

Nivel 3 Resuelva los siguientes problemas:


l. En teora de la relatividad la masa de la partcula con velocidad o - mo es m - n , donde mo \)2

1- -c2

es la masa en reposo, de la partcula y c es la velocidad de la luz. Qu pasa cuando u -7 e-?

2. Funcin demanda. La funcin de demanda de un producto est dada por P = 200 donde x 2 + O.lx

es el nmero de unidades y P el precio en dlares a) Trace la grfica de la funcin de demanda para O < x < 250 b) Alguna vez llega la demanda a cero

3. Psicologa experimental. Para estudiar la tasa con la que aprenden los animales, un estudiante de psicologa realiz un experimento en el que enviaba a una rata repetidamente a travs de un laberinto. Suponga que el tiempo requerido para que la rata atraviese el laberinto en el n-simo . . d ( ) 5n + 17 . intento era aproxima amente T n = minutos.

n a) Qu ocurre con el tiempo que tarda la rata en atravesar el laberinto a medida que

aumenta indefinidamente el nmero de intentos n? b) Interprete su resultado y trace la grfica de esta funcin.

4. En algunas especies animales, el consumo de comida se afecta por la intensidad de la vigilancia a la que se somete al animal mientras come. En realidad, es difcil comer mucho mientras se siente la vig ilancia de un depredador que se lo puede comer a usted, en cierto modelo, si el animal est buscando alimento en plantas que brindan un bocado de tamao S, la tasa de

as consumo de alimento l(S) est dada por una funcin de la forma l(S) = , donde a y c son

S+c constantes positivas. a) Qu le ocurre al consumo de alimentos l(S) cuando un bocado de tamao S aumenta

indefinidamente? Intrprete su resultado. b) Trace la grfica de esta funcin.

5. El programa de tasa tributaria para contribuyentes casados que presentan una declaracin conjunta (que se muestra en la tabla) parece tenar un salto en los impuestos para ingresos gravables en $ 109 250.

Sobre (dlares) Pero no sobre (dlares) Tasa tribu ta ria (%) o 45 200 15

45 200 27,5 109 250

109 250 30,5 166 500

166 500 35,5 297 350

297 350 39,1

a) Utilice la tabla y escriba la funcin que asigna el impuesto sobre la renta para contribuyentes casados como una funcin del ingreso gravable.

b) Analice el impuesto cuando el contribuyente tiene un ingreso gravable cercano a 109 250 6. En 1990, los impuestos federales sobre la renta para un matrimonio que declara en forma

conjunta fueron los que se proporcional en la tabla adjunta. Halle la funcin matemtica que permita a la pareja su pasivo tributario, dado su ingreso gravable. Analice la tasa tributara si el matrimonio tiene un ingreso gravable cercano a$ 78 400.

CAPITULO 2 U111ites y Co11ti1111idad 1 133 Tasas de Impuestos de 1990

(Matrimonio que declara en forma conjunta)

Mayor que o

32450 78400

162770


7. lim [.fx + ..Jx - 9 - 3] x"'9- .Jx2 - 81

8. llm 1- - + - - -+ + -~-. [ 1 1 1 (-l)n-l ] x""oo 3 9 27 3n-l

Ingreso gravable Pero no mayor que Tasa tributaria

32450 15 78400 28 162770 33

40

11. lim [.Jx(x + a) - Fx] X"'+oo

12. x~~[ x( .Jx2 + 1 - Fx) J 13. lim [x + ~1- x3 J

X"'+oo

9. lim '"'" ~X + .Jx + .j; l

. [ .Jb+-Fc-..Jx+b - ..Jx+c ] 14. 1m ,--x""o+ vx

10. lim [..Jx + a - Fx] x~+oo

2.3. LMITES TRIGONOMTRICOS

Antes de empezar a resolver lmites trigonom tricos mencionaremos a algunas identidades trigonomtricas

Razones trigonomtricas en un tringulo rectngulo e

b a sen(x) = - . csc(x) = -I

a b c a

cos(x) = - . sec(x) = -I b

a c

b c tg(x) = - . ctg(x) = -I c b

X

A c B

Razones trigonomtricas Inversas

1 l. tg(x) = --ctg(x)

Identidades Trigonomtricas

l. sen 2 (x) + cos2 (x )= 1 3. tg 2(x) + 1 = sec2(x)

1 2. sec(x) = --cos(x) 3.

1 csc(x) = --

sen( x)

2. ctg 2(x) + 1 = csc2(x) 4. sen2(x) = 1-cos 2(x)


Identidades Trigonomtricas de suma y diferencia de dos ngulos

l. sen(A + B) = sen(A)cos(B) + sen(B)cos(A) 2. cos(A + B) = cos(A)cos(B) + sen(A)sen(B) 3. tg(A + B) = tg(A) tg(B)

1 + tg(A)tg(B)

Transformaciones trigonomtricas

l. A+B A+ B sen(A) + sen(B) = 2sen( )cos( ) 2 2

A+ B A- B cos(A) + cos(B) = 2cos( )cos( )

2 2 2.

A+B A-B cos(A) - cos(B) = - 2sen( )sen( )

2 2 3.

Identidades Trigonomtricas del ngulo doble l. sen(2A) = 2sen(A)cos(A)

2. 2 (A) 1 - cos(2A)

3. cos(2A) = cos2 (A) - sen2 (A)

5. sen(2A) = 2sen(A)cos(A) 6. cos(2A) = cos2 (A) - sen2 (A)

Algunos lmites trigonomtricos notables

l . l im sen(x) = O X-+0

l. [ X J 5. 1m = 1 X-+0 tg(X)

2. lim sen(x) = 1 x-+O X

6. lim cos(x) = 1 X-+0

sen =----2

4. cos2 (A) = 1 + cos(2A) 2

l. [ X ] 3. 1m = 1 x-+O sen(x)

4. lim [ tg(x)J = 1 x-+O X

7 l. [cos(x) - 1]- 1m - O x-+O X

S. lim [ cos(x) - 1] = .!_ x-+O x2 2

Lmites de las funciones trigonomtricas inversas

l. lim arcsen(x) = O lim [ arcsen(x) J = 1 3. lim arctg(x) = -~ x-+0 2. x-+O X x-+-

CAPITULO 2 U111ites y Co11ti1111idad 1 135 Solucin Escribir todo en fu ncin de seno y coseno

l. [tg(x)- sen(x)J 1. 1m = 1m x~o x3 x~o

sen(x) ( ) ---senx cos(x) = lim [ sen(x)- sen(x)cos(x)]

x~o x3 cos(x)

= lim [sen(x)(l- cos(x))]= lim [sen(x) ( l - cos(x)) 1 ] x~o x3 cos(x) x~o x x2 cos(x)

= 1m 1m 1m = 1 x - x 1 l. [sen(x)J 1 [ 1 - cos(x)J 1 [ 1 J 1 x~ x x~ x2 x~o cos(x) 2

Por lo tanto,

l. [ tg(x) - sen(x)l _ 1 1m - -x~o x3 2

2. 1m l. [ 1 - cos(3x) J x~o 1 - cos(4x)

Solucin Al multiplicar y dividir al num erador y denominador por (3x)2 y ( 4x)2 respectivamente se tiene:

1m = hm l. [ 1 - cos(3x)J . x~o 1- cos(4x) x~o

Por lo tanto,

l. [ x - sen(ax)J 3. 1m ; x~o x + sen(bx) b ;t -1

Solucin

(3x)2 [ 1- cos(3x)] (3x)2

(4x)2 [ 1- cos(4x)] (4x)2

[ lim 1- cos(3x)]

_ 9 x~o (3x)2 - 16 [ . 1- cos(4x)] hm----x~o (4x)2

r [ 1 - cos(3x) J 9 x~ 1 - cos(4x) = 16

9 16

Dividir entre x al numerador y denominador, luego multiplicar y dividi r a la razn trigonomtrica en el numerador y denominador por (a) y (b) respectivamente.

Por tanto,

x~o ax 1- a l. [x - sen(ax)J 1. 1m = 1m 1 _ (a) sen(ax)

ax

1 + (b) sen(bx) bx

-

1- a lim [sen(ax) J

1 +b lim [ sen(bx)J 1- b x~o bx x~o x + sen(bx) x~o

l. [x - sen(ax)J 1- a 1m - --x~o x + sen(bx) 1- b


4. lim [ 1 + COS(7tx)J x--+l x2 + 2x + 1

Solucin Hacer el cambio de variable h = x- 1 entonces x = h +l, adems si x ~ 1, h ~O. Luego, el lmite con la nueva variable es:

lim[l+ cos(7tx)J = lim [ l+ cos(7tx)] = lim[l+ cos(7th+ 7t)J x--+1 x2 + 2x + 1 x--+l (x + 1)2 x--+l h2

= lim [ 1 + cos(7th)cos(7t) - sen(7th)sen(7t)J h--+0 h2

Recordar que cos(n) = -1 /\ sen(n) = O, entonces se tiene:

l. [1 + COS(7tx) J - 1 [ 1- COS(7th)J - 21 [1- cosnh] - 7t2 1m - 1m - 7t 1m - -x--+l x2 + 2x + 1 h--+0 h2 h--+O (1th)2 2

Por lo tanto,

5. lim [ cos(t) J t 1T 7t - 2t --+-

2

Solucin

l. [ 1 + cos(7tx) ] - 7t2

1m - -x--+l x2 + 2x + 1 2

Hacer el cambio de variable h = t- ~,entonces t = h + ~ y si t ~ ~, h ~O. 2 2 2

Luego, el lmite con la nueva variable ser:

lim [ cos(t) J t 1T 7t - 2t --+-

2 - lim h--+0

1t cos(h + - )

2 -2h

Al aplicar identidad trigonomtrica se t iene:

l. [ cos(t) J 1. 1m = 1m t--+ 1T 7t - 2 t h--+0

2

Por lo tanto,

6. lim [sec(x)- tg(x)] 1t

X--+-2

Solucin

7t 1t cos(h) cos(- ) - sen(h) sen(- )

2 2 -2h

l. [ cos( t) J _ 1 1m - -t--+~ 7t - 2t 2

2

Escribir todo en funcin de seno y coseno.

_ 1. [-sen(h) J _ 1 - 1m - -h--+O - 2h 2


lim [sec(x)- tg(x)] = lim - = lim [ 1 sen(x)] [ 1-sen(x)] x~ x~ cos(x) cos(x) x~ cos(x)

2 2 2

Multiplicar al numerador y al denominador por 1 + sen(x) y se tiene:

= lim cos2 (x)

lim [sec(x) -tg(x)] 1t X""'-2

1t X-4-

2 cos(x)[l + sen(x)] cos(x)[l + sen(x)]

Por tanto,

7. lim X-40

~x4 - x4sen2 (x) 1- cos(x)

Solucin

_ r [ cos(x) ] O x'.:1it 1 + sen(x) = 2

2

lim [sec(x) -tg(x)] =o 1t

X""'-2

Factorice en el radicando y sacar raz cuadrada al factor comn

lim X-40

~x4 - x4sen2 (x) 1- cos(x) = l im x~O

~x4 [1- sen2 (x)] 1- cos(x) = lim X~

x2 ~1- sen 2(x) 1- cos(x)

Aplicar identidad trigonomtrica, sacar raz cuadrada y usar extremos y medios

cos(x) lim[cos(x)] _ x~O 1 ~x4 - x4sen2 (x)

1- cos(x) = lim x~O --------lim [1- cos(x)J Por lo tanto,

8 lim[ 2 - --1- ] x~o sen2 (x) 1- cos(x)

Solucin

lim x~O

~x4 - x4sen2 (x) 1- cos(x)

Sacar mnimo comn mltiplo a los denominadores

x~o x2

=2

1m - = 1m l. [ 2 1 ] 1. [2[1- cos(x))- sen2(x)] x~o sen2 (x) 1- cos(x) x~o sen2 (x)[l- cos(x)]

1 2


Al usar identidad trigonomtrica y diferencia de cuadrados, se tiene

lim [ 2

- --

1--]

x"'o sen2 (x) 1- cos(x) _ lim [2[i- cos(x)] - [i- cos2(x)] ] - lim [(1- cos(x)][2 - (1 + cos(x))]]

x"'o [i - cos2 (x)][i - cos(x)] x"'o (1 + cos(x)][l - cos(x)] 2

~ = lim

x"'o (1 + cos(x)]~ = lim [ 1 J = i x"' 1 + cos(x) 2

Por lo tanto,

1m - -l. [ 2 1 ] i x"'o sen2 (x) 1- cos(x) - 2

g, lim [.ji + sen(x) - .ji - sen(x)] X"' X

Solucin Al racionalizar el numerador se tiene

lim [.Ji+ sen(x)-.}i- sen(x) ] = lim [ .Ji + sen(x)-.ji- sen(x)][.ji + sen(x) +.Ji- sen(x)]] x"'o x x"'o x[ .Ji+ sen(x) +.Ji- sen(x)]

- 1m l. [ 2 sen(x) ] - x"'o x[.ji+ sen(x) + .Ji-sen(x)]

= 1m 1m l. [ sen(x)] 1. [ 2 J x"'o x x"'o [.Ji+ sen(x) + .Ji - sen(x) ]

Por lo tanto,

lim [.Ji+ sen(x) - .Ji - sen(x) ] = 1 X'O X

lO. lim [ioosen(3x) + 200cos(x)J X"'- X

Solucin Aplicando propiedades de lmites e tiene

lim [ ioosen(3x) + 200 cos(x)J = 300 lim [ sen(3x)J + 200 lim [ cos(x)J x"'- x x"'- 3x x__._ x

Luego, en nuestro problema tenemos f(x) = i , g(x) = sen(x) y h(x) = cos(x) cumplen con la hiptesis X

del teorema del Sndwich, por lo tanto:

lim [ioosen(3x) + 200cos(x)J = 0 X-7- X

11. sen(.Jx 2+4 - 2)

lim X-'>0 X 2


Solucin

Multiplicando tanto numerador como denominador por (.Jx 2 +4 - 2), tenemos:

l. sen(.Jx 2+4 - 2) 1m -

X-'> X 2

Usando propiedad del lmite de un producto tenemos:

l. sen(.Jx 2+4 - 2) 1. (.Jx

2+4 - 2) 1. sen(.Jx

2+4 - 2)

1m ---~2--- - 1m 2 1m X-'>0 X X-'>0 X X-'>0 ,,) X 2 +4 _ 2

Racionalizando el numerador en el primer lmite se tiene:

l. sen(.Jx 2+4 -2)

1. x 2+4- 4

1. sen(.Jx 2+4 - 2)

1m ---~-- = 1m 1m ---.==~--x-'>D X 2 X-'>0 X 2(.Jx 2+4 + 2) X-'>0 .Jx 2+4 - 2 l. sen(.Jx 2+4 - 2) 1. x

2 1. sen(.Jx

2+4 - 2) 1m ------ = 1m 1m ---.==~--

x-'>D X 2 X-'>0 X 2(.Jx 2+4 + 2) X-'>0 .Jx 2+4 - 2 l. sen(.Jx 2+4 - 2)

1. 1

1. sen(.Jx 2+4 - 2) 1m ------ = 1m 1m ---.==~--

x-'>O x2 x-'>o(.Jx2+4 + 2) x-'>D .Jx2+4 - 2

Por tanto aplicando el lmite tenemos:

l. sen(.Jx 2+4-2} 1 1m - -

X-'>0 X 2 4

12. Calcule lim [ 7t - Zarccos(x)J x--+O X

Solucin

Hagamos t = arccos(x) entonces x = cos(t) y si x -t O, t -t 1t - . Luego el lmite con la nueva variable es: 2

lim [ 7t - 2arccos(x)J = lim [n - 2t ] x--+O x 1_,,~ cos(t)

2

1t 1t 1t Ahora hagamos otro cambio de variable: h = t -- entonces t = h + - . Si t-t - , h-t O. Luego el

2 2 2 lmite es:


l. [7t - 2t ] 1 1m = 1m t-->!!. cos(t) h-->O

2

Por tanto,

-2h 7t

cos(h + - ) 2

- lim h-->0

-2h 7t 7t

cos(h)cos(- ) - sen(h)sen(- ) 2 2

lim [7t - 2arccos(x)J = 2 x-->O X

= 2 lim [ h J = 2 h-->O sen(h)

13. Ca cu e 1m 1 1 l. [ 2tgx - arcsen(x)J x-->O sen(x)

Solucin Dividiendo entre x tanto numerador como denominador tenemos:

l. [2tgx - arcsen(x)J 1 1m = 1m x-->O sen(x) x-->O

Por lo tanto,

2tgx - arcsen(x) X

sen(x) X

-

2 lim [ tgx ]- lim [ arcsen(x)J X-->0 X X-->0 X

l. sen(x) 1m--

x-->O X

lim [2tgx - arcsen(x)J = 1 x-->0 sen(x)


Nive l 1

l. Calcule lim [ Sen(7x) -Sen(2x) J 8. r [ cos(x)- sen(x) ] Calcule 1m x-->0 Sen(x) x--'>1t/4 cos(2x)

2. I I I [ tg(x) - Sen(x) J [ tan(x) J Ca cu e 1m 9. Calcule lim X--'>0 Sen (x) X--'>0 X 3. 1 1 r [ sen3 (3x)] [ x - sen(2x)] Ca cu e 1m 3 10. Calcule lim X-70 3X

x--'>o x + se n(3x) 4. Calcule lim [ sen(Sx) J [ cos(x) ] 11. Calcule lim x--> o 2x

x--'>rr./2 cot(x) 5. 1 1 r [ tan {3x)] r [ cos(x)- cos(3x)] Ca cu e 1m

x-->0 tan(Sx) 12. Calcule 1m 2 x--'>O X

6. Calcule lim [ tan(3xl J 13. Calcule lim [ x ] X-7 O X

lsen(x)I x--'>o sen(x) 7. Calcule lim

x-->O- X

14. Calcule, si existen, lim f(x), donde f(x) = x--+0

Nivel 2

l. Calcule lim [ sen(x) ] X"'1t X - 7t

l. [ sen(senx) ] 2. Calcule 1m x"'O X

C 1 1 [Ji - ~2 +Cosx ] 3. a cu e lim 2 x--70 Sen x

[Ji + Sen(x)-J-1---Se-n(-x) J 4. Calcule lim x--70 tg(x) S. Calcule lim [ 1 - c;s(x)J

X"' 0 X

6. Calcule lim [cos(x)- cos(a)J x"'a x- a

. [ cos(x)-sen(x)] 7. Calcule l1m ( ) X-+~ COS 2X

4

. [ xsen(x!)J 8. Calcule hm 2

x--+co X + 1

Nivel 3

l .

2.

3.

4.

s.

6.

Ca cu e 1m 1 1 l. [ arccos(x)] x--+1- .J- ln(x)

1 l. [2-/2 - [cos(x) + sen(x)]3 J Calcu e 1m x--+~ 1 - sen(2x)

4

. [tan(x)-sen(x) ] Calcule llm 3 X"' X

[ xsen(x) ]

Calcule lim ( ) x"'O 1-COS X

l. cos(mx)- cos(nx) Calcule 1m 3

2 x"'O X

Calcule llm . [ J1 + xsen(x) -Jcos(2x)] x""'o tan2 (x / 2)


1- .Jcosx x2 si X <

-x +sen(2x) x + sen(3x) SI < X

sen2 (6x) + tan(3x)

9 . Calcule Lim 1t

X-+-3

10. Calcule lim X "'lt

3X-7t

sen2 (2x)

cos2 (~)

[ sen(3x)sen(Sx)] 11. Calcule lim 3 2

X-40 (1 -X )

12. Calcule lim x-40

13. Calcule lim x-40

14. Calcule lim 1t

X-+-2

X

J1 + sen(x) - J1 - sen(x) (1- cos(x) )2

ctg3 (x)-sen3 (x) (1- sen(x) )3

(1 + cos(2x) )3


7.

8.

Calcule lim x~l

Calcule Lim x--l-0

7tX cos(-)

2 1-JX

arcos(l-x) ~2x-x2

X 6

Calcule lim 9. [tg(x)-sen(x)]2 x--l-0

10. Calcule lim 1t X~

3

1-2cos(x)

sen( x- ;)

l. [ tg(l + cos(x))] 11. Calcule 1m x~1t cos(tg(x))-1

lim [cos(x)-co2s(sen(2x)) ] 12. Calcule

x--l-0 X

l ,~[sen(x)+x] 13. Calcule x~ X

4

14. Calcule li m [ tg(ax) J x~1t (1- cos(ax) + x)(sec(ax)

2.4 . LIMITES EXPONENCIALES El nmero e se define como la serie infinita:

1 e=l+ -+

1! 1 -+ 2!

Ahora mencionaremos los siguientes teoremas:

Teorema 1

1 3!

Sea f : R ~ R, definida por f(x) = ( 1 + ~) x , entonces Teorema 2

1 + ... +-+ ...

n!

lim f(x) = lim (1 + 1 )x =e x~oo x--+oo X

Si lim f(x) = L >O entonces lim [log bf(xl) = logb lim f(x) = log b L x~a x~a x~a

Algunos lmites notables

lim(l+ 1 )x =e lim (1 + ~)x =e x--+co X X'' X


l im (1 + x) x = e X--+0

Lmites de la forma lim [ f(x)] g{x) X--+a

Se considera tres casos

Caso 1:

l. a X -1 1 ( ) Q 1m = n a , a> , a :;t 1 x--+O X

Si los lmites lim f(x) = A, lim g(x) = B existen y son finitos, entonces x--+a x--+a

lim [ f(x)j g(x} = A8 X--+a

Caso 2: Si lim f(x) =A :;t 1, lim g(x) = + (X), entonces

x--+a x--+a

lim [ f(x)j(g{x)I = X--+a

Caso 3:

..,,, { ; O< A < 1 A = +>;A>l

--oo { ; A > 1 A -+>;O < A < 1

Si lim f(x) = 1, lim g(x) = + (X), entonces se t iene la forma indeterminada 1 oo. En este caso se define x--+a x--+a

una nueva funcin h(x) = f(x) - 1, ta l que l im h(x) = o.

Entonces,


l . Calcule lim [1 + _!_Jx X--+OO 2X

Solucin

X--+a

lim h(x}g(x} l im[f(x)]g(x} = [e]x--+a X--+a

Dar forma para aplicar el lmite notable, es decir

Por lo tanto,

lim [1 + _!_J x - lim [1 + _!_]; -x--+oo 2x x--+oo 2x (

1 )2x l im 1+ -x--too 2x

[ 1 ]X ~ l im 1+ - = e2

X--+OO 2X

1 2 1

= e2


1 X

2. Calcule lim [ 1 + 2x] X"'O

Solucin Dar forma para aplicar el lmite notable y se tiene

1 ~(2) 1 2 X 2X lim [ 1 + 2x] = lim [ 1 + 2x] X"'O X"'O

2x 2 - lim[1+2x] = e

X"'O Por lo tanto,

1 -

X lim [ 1 + 2x] = e2 X"'O

[ 1J x+2 3. Calcule lim 1 + -

X"""' X

Solucin Usando teora de exponentes y propiedades de los lmites se t iene

[ l ] X+2 ( l)x( 1)2 [ l ]x [ 1] 2 lim 1 + - = lim 1 + - 1 + - = lim 1 + - lim 1 + - = (e)(l) X""" X x""'oo X X X""" X x""'oo X

Por lo tanto,

[ l] x+2

lim 1 + - = e X"""' X

[ 2J x+l

4. Calcule lim 1 + -X"'+oo X

Solucin Aplicando teora de exponentes y propiedades de lmites se obt iene

Por lo tanto,

5. [ ]X

x-1 lim

x"'+oo X+ 1

Solucin

( 2)x+l

lim 1 + - = e2 X"'+oo X

Dividir tanto numerador como denominador entre "x" y aplicar propiedad de lmites se tiene


1 X lim 1- -'"'-KX> -1

(1+ lx ) - x [ ]' r x-1 X e - lim - = - = e-2 X~~ X+l - -1 X~+oo lim [ 1+ 1 ] '

e 1 + -X

'"'+"' X

Por lo tanto,

[ ]

X x-1 lim = e-2

X'+oo X+ 1

1 6. lim[l + sen(x)]x

""'

Solucin Multiplicando y dividiendo en el exponente por sen( x), se t iene

1 ( 1 )(sen(x)) lim [ 1 + sen(x)]; = lim [ 1 + sen(x)] sen(x) x ""' '""'

1 sen(x)

- lim ( 1 + senx) '""'

Por lo tanto, 1 -

lim (1 + senx) = e '""'

Otra forma de solucionar este lmite es usando el caso 3, es decir:

1 r ( sen(x)) h(x) = sen(x) ::::> lim (1 + sen(x))x = e'~ x = e

'""'

1

7. lim [l-sen(3x)] 2' '""'

Solucin

l. sen{x) 1m--

'' X

Multiplicando al numerador y denominador por sen(3x) en el exponente se tiene

1

lim [ 1 - sen(3x)] 2' '""'

Por lo tanto,

( 1 )(-sen{3x}) - sen(3x} 2x

- lim [ 1 + (-sen(3x))] '""' ~ lim (-sen(3x})

2x'O 3x - lim (1 + (-sen(3x))) (-s~{3xi)

'""'

1

lim [ 1- sen(3x)] 2 '""'

-3 =e 2

= el


8. lim [ ~1 + sen(3x) ] [ sen(J3x)] X"'O

Solucin

Multiplicando y dividiendo en el exponente por sen(3x) se tiene

lim [ ~1 + sen(3x) J [ sen(~x)] = 3 lim [1+ sen(3x)j [ 1 sen(3x) ] sen(3x) x sen( J3x) X"'O X"'O

3 [ se~3x ] lim[l + sen(3x)] X"'O

. [ 3se;~3x) ] llm ,.....:.,~~~

x"'O ,/3sen(,/3x) J3x

Por lo tanto, racionalizando en el exponente del radicando se tiene

lim [ ~1 + sen(3x) J [ sen(~x) ] = efJ3 X"'O

9. lim {x [ln(x + 1)- ln(xll} x"'+oo

Solucin Usando propiedad de logaritmos se tiene

lim {x[ln(x + 1)- ln(x)j} = lim { x[1n(x + 1) ] } = lim 1n( 1+ 1) x = ln(lim (1+ 1 x) = In e X--HOO x"'+oo X x"'+oo X x"'O X

Por lo tanto,

l im { x[ln(x + 1)- ln(x)j} = 1 X"'+oo

,2+2

10. l im [ x3 + 2x + 3] X"""' X3 + 4

Solucin Sumando y restando 1 en la base de la potencia tenemos:


x2+2 x2+2 l. [ x

3 + 2x + 3] 1. [ x

3 + 2x + 3 ] 1.

x3+4

[l + 2x - l ] 2x-1

x3 + 4 1m = 1m 1 + - 1 = 1m

X""" x3 + 4 X--+CX> x3 + 4 X--+CX>

Aplicando lmite al infin ito en el exponente se tiene:

Ejercicios propuestos. 2.4.

Nivel 1 [ 4X _ 2X] l. Calcule lim

X--+ O 6x - 5x

[ ex-e-x ] 2. Calcule lim x--+0 X

[ 2X + 3X - 2] 3. Calcule lim X--+0 X

1 1 r [ sen(x)- 2 + 1] 4. Ca cu e 1m x--+ o X

2x [ 1 JX+l 5. Calcule lim 2 X--+CX> X

x2 6. Calcule lim [ x2 +2 ]

x--+ex> 2x2+1

7. Calcule lim [ x Jx x--+"' X + 1

Nivel 2

[2n+l + 3n+l ]

l. Calcule lim X--+0 2 + 3

2. Calcule lim [ sx-l + x - 2] X--+1 X - 1

x2+2 lim[x3 + 2x+3] =e2

X--+CX> x3 + 4

8 . Calcule lim { x [ln(x + 1)- ln(xl]} X--+ CX>

9. [ 3X+2 + 2X] Calcule lim _2 X--+CX> 3X

10. Calcule lim [ 1+ ~ ]x X--l>


3. [ tg(x)-8x + 1 ] Calcule lim x~O X

( )X x-1 4. Calcule lim x--+oo X + 3

s. Calcule lim [ log(l + lOx) J x-+oo X

6. Calcule lim [ n(~ - ll] ;a > O n--+oo

[ ex-ebx ] 7. Calcule lim ;a,bER-{o} X--+0 X

8. Calcule lim (1 + sen(x))11x x--+0

Nivel 3

[ ax+ b Jx

1 Calcule lim ; a < e x--++oo ex + d

x2

[ 2 ] -3x - x + 1 1-x2 2. Calcule lim --2 ---x--+oo 2x + X + 1

3. Calcule lim [ 1 1n ~] X--+0 X V~

4. Calcule lim (cosx)1/x x--+0

c 1 1 r ln(cosx) s. a cu e 1m 2 x--+O X

C 1 1 l. [ ln(l + ex)] 6. a cu e 1m X--+OO X

1

Calcule lim [ ~+ 4 5t ]t 7. t~O 5 5 8.

x-1-Vs Calcule lim [ ,J2x + 3 - x ] x2-sx+6

X--+3 ,Jx + 1 - X + 1

11.

12.

13.

14.

15.

9.

Calcule lim [ cosh(x) - 1 J x--+ o x2

Calcule lim [ tanh(x)] X-7-CO

Calcule lim [ cos20(xl] n--+oo

1 ( 1 + tg(x)) senx Calcule lim X~ 1-tg(x)

Calcule lim [In( x +1 ) -x] x~O x

Calcule lim X--+l

(37txcx.) cos --2

ln(2x - $)

(x .J )3 cos(x) x+2

10. Calcule lim x--+O

n.J(sec(x)sen(x) - 1 ) csc(x)

ctg(x)

[ (ex + x)tg(x) ] x

11. Calcule lim x--+O (1 + sen(x))x

12. Calcule lim [ (l + x) - 1 ] x--+O ln(l+x)

[ ax + ax + ax + ... ax

13. Calcule lim 1 2 3 n X--+0 n

1

] sen(x)

14. Calcule lim [ tg(3x) + cos(4x)- cos(2x) ] x--+0 1n,J1 + 3x - 1n,J1 - 3x

15. Calcule lim X--+OO COS 27! ( X )ex.

x+l

x2

ex.EN J


2.5. ASNTOTAS DE UNA FUNCIN Definicin

Sea una recta L con un punto A que se desplaza a lo largo de la curva y = f(x), si la distancia entre la recta L y el punto A tiende a cero, cuando A tiende al infinito, entonces a la recta L se le llama asntota de la curva y = f(x) .

Geomtricamente: y

: .... ::- ............ : .. . ...... ~ ........ ..... . . .

. . .

. . .

. . .

. .

. .

. . . . . . . . . . . . . !!! ...... ....... t .. "!' ~ .. . . . . '

' ' ' ' . . ' . . . ' . . . . . . ' . . . r .. 1 A .. .,.. ~ 1 .... - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

~ ....... t - ~t .. r .. ;, . .. . ... ' .. . ...... ....... .. ~- .. L. """' L . ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .. :x . . .

......... ...... ...... ......... .... .... ... -.... --- . . ' . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ' . . .

......... ..... . . ... ............ - ----

. . ' . . . ' . . . . ' . . . .

: : : : : : : : . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .... . .............. -.... - .. -... -- . . . . . . ' . '

' . . . . . . . .

. . . . . . .

; ....... ~ ....... ; ....... ...... ; ..... + -+ +---~ -; ' . . . . ' . . . . . . . . . . . . . ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... .. .. . . . . .. .. .. . . ... .. .. . . . . . . . ................................... ~ ....... .

Definicin (Asntota vertical)

La recta x = a es una asntota vertical de la curva y = f(x) si se cumple una de las relaciones siguientes. y

(i) lim f(x) = +O'.) Asintoia L .... '-1' .. -1' ; ! ' - ' -. ---!- --

: : X"' a : ;

(ii i) lim f(x) = +O'.) X"'a

. ! ! ! O-- -or-- -!- -o~- --1-o w

'..., !-',~, =::::, ::,:::::,t.-1-_!_, -''.-2' +J X ,.- -r----1---.. -; - -;----

... .. .. . (ii) lim f(x) = +>

x~a+

r ... , --- -

' l . ' ' - - ---. . . .. ~- --+- .... .... --- .., __ .... -

!.. . . .l --!-. ..J_ .... L ..... :. . .. i ___ -~- ... : .... :._ . ; ; ; ;

. ; ...... :1-; .. - -- - --; ; ;

. .

,_ -----'- .. ~ O>--- ... ..... __ , __ .., . .. ... -- Figura a

Definicin (Asntota Horizontal)

La recta y = b es una asntota horizontal de la curva y = f(x) si se cumple una de las relaciones siguientes: (i) lim f(x) = b y 1- -- .... . .. --- - - ... -

' ! '

(iii) lim f(x) = b x~-oo

.... _ i " ;.--- -- - .... . As1ntota; , ..... :: :-:- ....... ; .... . f-o - -1-1- - I >-- - - -o - ,. .. ; .... ..... --o - -i-n - -

l... ; .. .... ; .. __ . ; ... - '. .. --- . : ; '

.. .... , ... T" -(ii) lim f(x) = b

X"'OO . ' '

, : X . . .

~... .. . .. L- -L ..l- - ... . .... :._ - .... J ..... ' ' ' ' ' ; ' : ~" ! -!-" ! !-' " !n-! ... ~-" - . . ' ..... - - _.,_.,_ .L ... L-.. - _

. . . - - . .. ..... - o - - _,. _ -

Figura b


Definicin (Asntota Oblicua)

La recta y = mx + n; m :t O es una asntota oblicua de la curva y = f (x) si se cumple que:

( 1. f(x) 1 1m - = m x-+oo X

/\ (ii) lim [ f(x) - mx] = n x--+to

y - .. -... ...T .. l .. ~ ... _ ,_ --~- i- i. - .... -

- -- .. ; -

' Asntota' - +-' ; ; '

.._. . .....__..___.._. __.._. --+-:...+-...._..__-....i X - ... L .. _ L .. t - :;....,.., -1 i :

.. _T .. " _,_ .. ..-4-- ... .... ~-~ ... r--, . . . . .

... ~ ,. --- -- .... . ... _ -\- --. ! i ....... ; ... ' ;- ~---!--... ------; ... - - - . --; i ; i ; i ;

1- ...... L .... .. .. _l.. ..... ..... .. ... l... .. .. ~ Figura c


En los siguientes ejercicios, halle las asntotas de cada una de las funciones que se dan a continuacin:

l. 1 y =--x -1

Solucin A) Asntota Vertical

Anal ice los lmites laterales en x=l

a) lim 1 = ~ = + oo x--+1+ X - 1 0+

b) lim 1 = ~ = - oo x--+1- X - 1 0-

1 Por lo tanto, la funcin racional y = t iene una asntota en x=l x- 1

B) Asntota Horizontal l. 1 1m = O; por teorema x--+co X - 1

Por lo tanto, y = O es asntota horizontal

C) Asntota Oblicua 1

m = lim x - 1 = lim 1 = O x--+00 x x--+oo x2 - x

Por lo tanto, la funcin y = 1 no tiene asntota oblicua. x -1


2. f(x) = 1- 2x X


Analice los lmites laterales en x=O

a) . 1- 2x 1 hm = - = +co x~o+ X 0+

b) . 1-2x 1 hm = - = - co x~o- x o-

Por lo tanto, la funcin racional f(x) = l - 2x tiene una asntota en x=O X

B) Asntota Horizontal

l. 1- 2x 1. (1 l 1m = 1m - - 2 = -2 x~co X x~oo X

Por lo tanto, la funcin racional f(x) = l - 2x tiene una asntota horizontal en y=- 2 X

C) Asntota Oblicua 1-2x

1- 2x m = lim __ x_ = lim = O

x~oo X x~oo X2

Por lo tanto, la funcin f(x) = -1- 2-x no t iene asntota oblicua X

3. x2

v= --x-1


Analice los lmites laterales en x=l x2 1

a) lim = - = +co x~l+ X -1 0 + x2 1 b) lim = - = - co x~l- X -1 0-

x2 Por lo tanto la funcin y = tiene una asntota vertical en x=l

x-1

B) Asntota Horizontal 2

l. X

1. 1 1 1m = 1m --- = - = +co x~oo X - 1 x~oo 1 1 Q+

X x2

x2 Por lo tanto, la funcin y = no tiene asntota horizontal

x-1


C) Asntota Oblicua x2

m = lim x - 1 - lim x = 1 x~co x x~ x -1 . x2 . x2 . x2 - x2 + x x

n = hm [ - mx] = hm [ - x] = hm [ ] = lim [ ] = 1 x~co X - 1 x~co X - 1 x~ X - 1 x~co X - 1

Por lo tanto, la asntota oblicua es: y =x + l

2 4. f(x) = X - 4

X


Analice los lmites laterales en x=O

a) x2 -4 - 4

lim = - = -


a) . 3x2 + 2 5

hm =-= +oo x~-1+ X+ 1 Q+ 2

b) l. 3x + 2 _ 5 _ 1m - - - - oo x~-1- X+ 1 Q-

2 Por lo tanto, la funcin racional f (x) = 3x + 2 tiene una asntota en x=-1

x+ l


l. 3x + 2 1m = +oo x~oo X + 1

Por lo tanto, la funcin f no tiene asntota vert ical

C) Asntota Oblicua 3x2 + 2

2 m = lim [ x + 1 ] = lim 3x + 21 = 3 x~ X x~oo x2 + x

l. [ 3x2

+ 2 ) 1. 1-3x + 21 n = 1m - 3x = 1m = -3 x~oo X + 1 x~oo X + 1

Por lo tanto, la asntota oblicua es:

2 6. f(x) = X + l

2x-1


Anal ice los lmites laterales en x= 1 2

5

a) 2

. X +1 4 l1m = - = +oo + 2x -1 o+ x~2

5 x2 +1 b) lim = -1.... = -oo ~i- 2x -1 o-x~2

y= 3x - 3

2 Por lo tanto, la funcin racional f (x) = x + 1

2x - 1 . . 1 tiene una as1ntota en x= -


l. X + 1 1m = oo x~oo2x - 1

2 Por lo tanto, la funcin f (x) = x + 1 no t iene asntota horizontal

2x - 1

2


C) Asntota Oblicua x2 +1

lim 2x-1 _ x2

+1 1 m= - lim 2 --x~c::o+ X x~oo+ 2x - X 2

. x2 + 1 x 1 2x2 + 2 - 2x2 + x

n = l1m [ --] = 1m ------ 2 + x 1 lim - -x~+ 2x -1 2 x~oo+ 2(2x - 1)

Por lo tanto, la asntota oblicua es

X 7. f(x) = -

2--

x -1

Solucin

A) Asntotas Verticales

Analice los lmites laterales en x= +1

x~+ 2(2x -1)

1 1 y= - X+ -

2 4

a) l. X 1. X -1 1m 2 = 1m = - = -

Solucin

A) Asntota Vertical

Anal ice los lmites laterales en x=O

lim Ji= l im ~ = l im .../x = O x'o+ ..Jx x"'o+ ..Jx x"'+


Por lo tanto la funcin racional f(x) = ~ no tiene asntota vertical B) Asntota Horizontal

l. lxl 1 x 1 r 1m - = 1m - = 1m '\/X = +oo X~+ .../x X~+ .../x X~+ Por lo tanto, la funcin f(x) = ~ no tiene asntota horizontal. C) Asntota Oblicua

lxl

l. .../x I" X I" l 0 m = 1m -- = 1m 1m - = x'co+ X x'co+ x.../x x'co+ .../x

Por lo tanto, la funcin f(x) = ~ no tiene asntota oblicua 9. 3 +X - X

2 f(x)= ---

x-2


Analice los lmites laterales en x= 2 3 + X - x2 1

a) lim = - = +oo x~2+ X - 2 0+ 2

b) lim 3 +X - X = ~ = - 00 x~2- x- 2 o-

, 3 +X - X2 Por lo tanto la funcion racional f(x) = tiene una asntota en x=2

B) Asntota Horizontal 3 1

- + - -1

x-2

l. 3 +X - X2 1m ----

x"'"' X - 2 2 X -1 lim X = - = -

1561CAPITULO 2: L1nites y Co11ti1111idad 2 2 2

l. (3 +X - X 1 1 (3 + X - X +X - 2xl 1 (3 - xi n = 1m + x = 1m = 1m = -1 x~+ X - 2 x"'oo+ X - 2 x"'oo+ X - 2

Por lo tanto, la asntota oblicua es:

10. f(x) = ,Jx4 + 2 4- x2

Solucin

A) Asntota Vertical

Analice los lmites laterales en x= 2

y = x - 1

a) l. -f x4 + 2 _ 1. -f x4 + 2 _ .Jl8 _ 1m - 1m - - -oo x--72+ 4 - x2 x--72+ (2 - x)(2 + x) o-

b) lim -Jx4 + 2 = lim -Jx4 + 2 = .J18 = +oo x--72- 4 - x2 x--72- (2 - x)(2 + x) o+

C) l. -f x4 + 2 1. -f x4 + 2 .Jl8 1m = 1m = = +oo x--7-2+ 4 - x2 x-+-2+ (2 - x)(2 + x) o+

d) lim -Jx4 +22

= lim -Jx4

+ 2 .Jl8 = -oo X--7-2- 4 - X X--7-2- (2 - x)(2 + x) o-

p 1 1 f . , 1 f() -Jx4

+ 2 1 2 2 or o tanto a unc1on raciona x = 2 tiene como as1ntotas vert1ca es a x= ; x= - . 4-x


-fx4 + 2 ~ lim =lim'V .. ' 7=-1 x"'oo 4 - X 2 x"'oo ~ - 1

x2

. ,Jx4 + 2 Por lo tanto, la funcion f(x) = 2 tiene como asntota horizontal a la recta y = - 1 4-x C) Asntota Oblicua

Jx4 + 2 l. 4 - x2 1 ,Jx4 + 2 O m = 1m = 1m = X~ X X~ 4x-x3

1 1 f f(x) -- ,Jx4

+ 2 bl Por o tanto, a uncion no tiene as1ntota o icua 4- x2

2x3 11. f(x) = -2---

x - X+ 1 Solucin

A) Asntota Vertical Los valores de que anulan al denominador son los candidatos a ser asntota vertical, por lo tanto esta funcin no tiene asntotas verticales puesto que el denominador es un polinomio cuadrtico que no se factoriza en el campo de los nmeros reales.

CAPITULO 2 U111ites y Co11ti1111idad 1 15 7 B) Asntota Horizontal

. 2x3 hm = -1 x

2+ 1

,

Solucin

x+l + 1

X < -1 x2

+ 2x + 2 .

. X < -1 , I f(x) = x+l x+l -

2x2 -

2x2 X > -1 . . X > -1 x

2+ 1

,

x2 +1 ,

A) Asntota Vertical Analice slo cuando el denominador se hace cero. Es decir:

Por lo tanto, la funcin f t iene una asntota vertical en x = -1.

B) Asntota Horizontal Para x -1

[ 2 ] . . X + 2X+2 hm f(x) = hm = -


C) Asntota Oblicua Para x --

x2

+ 2x + 2 x+l

X = lim [x2 + 2x + 2] = 1

X--'>--> X 2 + X

2 2 2 n= lim [f(x)-mx)= lim [x + 2x+ 2 -x) = lim [ x + 1x+ 2 -x -xl= lim [x + 2)=1

X--'>- 00 X--'>-00 X + 1 X--'>-00 X + 1 X--'>-- X + 1

Por lo tanto, la asntota oblicua para x - 1

m = 1m - = 1m (

2x2

) x2 +1

= lim =O l. [ f(x)J 1. X--'>+00 X X--'>+co X [

2x2

] X--'>+co x3 + X

Por lo tanto, no existe asntota oblicua para x > -1

13. f(x) = 1 3 - x2

1 -1 1 X j -2

Solucin

-x+2 . X < -.J3 /\ X ::/; -2 I 2- x2

-.J3 < x < 0 l 3 - x2 l -1

f(x) = -x- 2 --lxl-2 2- x2 O < x < .f3 . I

x-2

x+2 ; x > .f3 A x=t2

A) Asntota Vertical Anal ice los lmites laterales en x = +2

a) lim f(x)= lim l 3 -x2

l -l_ lim x2

-

3-l _ lim x

2-

4- lim ~~+2)=4

X--'>2+ X--'>2+ 1 X l -2 X--'>2+ X - 2 X--'>2+ X - 2 X--'>2+ ~ L

b) l. f( ) 1. 1 3 - x2

l -1 1. x2

- 3 - 1 1. x2

- 4 1. ~(x + 2) 4 1m x = 1m = 1m = 1m = 1m = X--'>2- X--'>2- 1 X 1 -2 X--'>2- X - 2 X--'>2- X - 2 X--'>2- 0

Por lo tanto, lim f(x) = 4 X--'>2


c) 1 3 x2 1 1 x2 - 3 - 1 x2 - 4 /v ...,....,f(x - 2)

l im f(x) = l im - - - lim - lim = lim ~ '' = 4 x"'-2+ x"'- 2+ 1 X 1-2 x"'-2+ -X - 2 x"'-2+ -X - 2 x"'-2+ -(~

d)

Por lo tanto, lim f (x) = 4

x"'-2

l3 - x2 l - 1 Por lo tanto, la funcin f(x) = no posee asntotas verticales en x = 2

1 X l-2


a) l. f( ) 1. 1 3 - x2

1 - 1 x2 - 3 - 1 1. x2

- 4 1m x = 1m = lim - 1m -X"'i X"'+co 1 X 1 -2 X"'+oo X - 2 X"'i X - 2

lim (x +2) = ~ X"'i

b) 1 3 - x2 1 - 1 x2 - 3 - 1 x2 - 4

lim f(x) = lim = lim = lim --- = lim (2 - x) = ~ X""'-00 X""'-00 1 X l - 2 x""'-00 - x - 2 x""'--oo-(x + 2) X""'-00

l3 - x2 l - 1 Por lo tanto, la funcin f(x) = no t iene asntotas horizontales.

1 X l - 2

C) Asntota Oblicua

l3 -x2 l-1

l. f(x)

1. lx l-2

1. x

2-3-1

1 m= 1m -= 1m ---- - 1m = x~oo x2 - 2x X

n= x2 - 3 - 1 . x2 - 4 . -4 + 2x

lim [ f(x)- mx) = lim [ - x) = hm [ - x) = hm [ ) = 2 X - 2 x""'+oo X - 2 X""'i X - 2 X-?+C::O X-?+OO

La recta, y = x + 2 no es una asntota oblicua pues es parte de la funcin para x > .J3 /\ x =F 2

l3 -x2 l-1

l. f(x)

1 lxl -2

1 x

2-3-1

1 m= 1m -= 1m ~~-- - 1m =-x""'+oo -x2 - 2x x~-oo X X-?-00 X

2 2 X - 3 - 1 X - 4 -4 - 2X n = lim [ f(x)- mx) = lim [ + x) = lim [ + x) = lim [ ) = 2

x"'-oo x"'-oo -X - 2 X'-> -X - 2 x"'+oo - X - 2

La recta, y = -x + 2 no es una asntota oblicua pues es parte de la funcin f para x


Solucin 3

Despejando la variable y, se tiene: y = x 2 2(x + 1)

A) Asntota Vertical . x3 -1 hm = - = -oo ~-1 2(x + 1)2 o+

Por lo tanto, la funcin Y= 2(x + l )2 tiene una asntota en x= - 1


l. X 1m = oo ~00 2(x + 1)2 x3

Por lo tanto, la funcin Y = 2(x + 12 no tiene asntotas horizontales

C) Asntota Oblicua x3

1 l. 2(x + 1)2

1 x

3 1.

m= 1m--- = 1m = 1m --~00 2x(x + 1)2 ~00 2x3 + 4x2 + 2x x~oo X 2 3 x3 2 2 X X X -X-X

n = lim [f(x)- mx) = lim [--~ - -) = lim [ - -) = lim [ ) = -1 ~00 ~00 2(x + 1)2 2 x~00 2x2 + 4x + 2 2 x~00 2x2 + 4x + 2

Por lo tanto, la funcin tiene una asntota oblicua.


X y= --1 2

Del 1 al 15 encuentre las asntotas de las siguientes funciones.

Nivel 1

l. f(x) = x-1 x2 6. f(x) = ..} 3x + 2 x2 -1 2. f(x) = 2- x

2 f(x) = x2 + 3 7. X

..fx2 + 1 X - 4 3. f(x) = 2x2 - 3x + 5 (x - 2)2 8. f(x) = 1 -x-1

4. f(x) = x2 + 2x -1 x2 - 4 9. f(x) = 2x - 3 X 5. f(x) =

x2

+ 1 x + 3 10. f(x) = x+l

x3 11. f(x) =

2(x + 1)2 x2

12. f(x) = x

4 - 12x2 + 2x3 - Bx + 32

13. f(x) = X x2

- 4x + 3

14. f(x) = x3

x2 + 9 2

f(X) = X + 1 15. ..fx2 - 1


Nivel 2


l.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

14.

2 f(x) = x - Sx + 1

3x + 7

f(x)= x2 -l x2 + 3x + 2

f(x) = (x + 32 x2 + 4

f(x) = X + 1 x2 (x - 4 )

f(x) = 4x + 3 x +~

1 f(x) = --1- ex

f(x) = e11x

8.

9.

10.

11.

2x3 f(x) = -X + 1 + --::.===== .Jx4 - 13x2 + 36

x2 f(x) = 3 - 2x - ---====

.Jx2 - X - 2 6 4 2

f(x) = X + 4 X - 9x - X + 9

f(x) = ~ V-;=4 x2 - 5

x2 12. f(x) = + X - 5

.Jx2 + 4 13. f(x) = sen(x)

X

Calcule las asntotas de la funcin f(x) = ~y esboza su grfico. V-;=4 15. La funcin f(x) cumple las dos propiedades siguientes:

1. y= 3x + 5 es una asntota derecha de la grfica de f . ii. f(x) = f(-x), Vx E IR

f(x) Calcula los l imites de ~ ,

3x2 + sen(x)

Nivel 3


l.

2.

3.

4.

5.

x2 + Sx + 6 f(x) = ------

2x3 + x2 - Sx + 2 X

f(x) = ,J x2 - 1

X -X

f(x) = e - e eX +e-X

2

f(x) = x ; lx

[2 + ~] ; X < -3 -3 < 1 , _ x <

1 f(x) =

(x - 1)3 . --- , x > l (x + 1)2

6.

7.

8.

3x - ,J16x2 - 4 f(x)= -----

x-3 (x2 - 4x - 21)(x2 + 2x + 3} .

3 ---------; SI X < -(x - 1)2 (2x 2 - 3x + 5) x3 + x2 - 2x

; si X E ( - 3, 2), X * 1 f(x) = (x - 2)(x2 + 2x - 3} ; si X > 2

~; X < - 3 3 f(x) = 3lx + 31 . - 3 < X < 2, X* -1

x+l ,

[s+~]; x > 2


9. Halle las constantes k y b que cumplen lim ( kx + b- x: + 1) =O. Interpreta este resultado. X_,, X + 1

lx _ 11 + 7x2 3 .Jx2 + 5 I 10. Halle las asntotas de la funcin f(x) =

36- X2 I lxl < 6 11. Halle las asntotas de la curva dada por y = ~x3 - 3x2 - 9x + 27 y traza la grfica mostrando sus

asntotas. 12. Grafica la curva y = f(x) mostrando sus asntotas:

f(x) =

~x: 3 , si x > O X3 -X

-----, si-3 < x < O (x + l)(x + 4) -.J1 + x2 , si x < 3

13. Grafica la curva cuya ecuacin es y 3x2 -y2 + y+ 2 = O, mostrando sus asntotas.

14. Grafica la curva cuya ecuacin es x2 (x - y)2 = 4(x2 + y2 ), mostrando sus asntotas. 15. Grafica la curva cuya ecuacin es xy2 + yx2 = 27, mostrando sus asntotas.

2.6. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIN. Criterio de continuidad

Una funcin f : R ~ R definida en un intervalo abierto 1 que contiene al punto b es continua en dicho punto si se cumple

i) f(b) existe ii) lim f(x) existe x"'b

iii) lim f(x) = f (b) x"'b

Diremos que fes continua en un intervalo abierto 1 si fes continua en cada punto del intervalo 1

Propiedades de continuidad

Sean f y g dos funciones continuas en el punto c , entonces: a) f + g es continua en c. b) kf es continua en c. c) f.g es continua en c. d) La funcin polinomial p(x) = a0x + a0_1 xn-l + .... + a1 x + a0 es continua.

e) La funcin racional f(x) ; g(x) '* O es continua. g(x)

f) Si ges continua en c y f es continua en g(c) entonces la funcin compuesta es continua en c.

CAPITULO 2 U111ites y Co11ti1111idad 1 163 Definicin de funcin discontinua

Una funcin se llama discontinua si no es continua

Tipos de discontinuidad

l. Discontinuidad removible o evitable

Diremos que una funcin tiene continuidad evitable o removible en x =a, si se cumple las siguientes caractersticas:

a) Existe lim f(x) . X--73

b) lim f(x) :f. f(a) o no existe f(x) consecuentemente podemos redefinir la funcin: X--73

f(x) SI X :f. a f (x) =

lim f(x), SI x = a X--73

En este caso diremos que la funcin f es una extensin continua de la funcin f .

2. Discontinuidad no removible o no evitable

a) De primera clase Diremos que la funcin f tiene una discontinuidad de primera clase en "a" si existen los lmites laterales. Es decir:

lim f(x) /\ lim f(x) existen, son finitos y diferentes. X--73+ X--73

b) De segunda clase Diremos que una funcin f tiene una discontinuidad de segunda clase en el punto x = a s1 no existe lim f(x) o si uno de los lmites es + a:) .

X--73


l. Dadas las funciones, determine si es continua en el valor de x especificado. Si es discontinua indica el tipo de discontinuidad.

l . f(x) = x - 1 ; x=l x+l

Solucin

Use el criterio de continuidad en un punto para analizar la continuidad. Es decir:

a) f(l) = O b) . X -1 0 hm = - =O

x--71 X+ 1 2

Por lo tanto, la funcin fes continua en x=l.

2. x- 1 f(x) = -- ; X+ 1

x=-1

c) lim f(x) = f(l) = O X--71


Solucin Use el criterio de continuidad en un punto para analizar la continuidad. Es decir:

a) f(- 1) = no existe b) lim = - -1

.

, X = - 1

Aplique el criterio de continuidad en un punto para analizar la continuidad. Es decir:

a) f(-1) = -2

b) Anal ice los lmites laterales. lim f(x) = lim (x 2 - 3) = -2

x--+-1+ x--+-1+

Entonces, lim f(x) = -2 x--+2

e) lim f(x) = f(-1) x--+-1

Por lo tanto, la funcin fes continua en x=-1.


2 lim f(x) = lim x - 1 lim (x - 1) = - 2

X--+- 1- X--+-1- X + 1 X--+-1-

11. En los siguientes ejercicios enumerar todos los valores de x para los cuales la funcin dada no es continua y decir que tipo de discontinuidad posee.

l. f(x) = X+ l x-1

Solucin

Aplique el criterio de continuidad en un x=l. Es decir:

a) b)

f(l) no existe lim f(x) = l im x + 1 =


2X + 3; X < 1 l. f (x) = X + 2 ; X = 1

6x -1; X> 1

Solucin

Aplique el criterio de continuidad en un punto para analizar la continuidad en el punto x=l. Es decir:

a) f(1)=3 b) Anal ice los lmites laterales

lim f(x) = lim (6x - 1) = 5 x"l + x"1+

Entonces, lim f(x) = 5 x"l

c) lim f(x) t: f(l) x"l

l im f(x) = lim (2x + 3) = 5 X"l- X"l +

Por lo tanto, la funcin f tiene discontinuidad evitable en x=l y su extensin se define

2X + 3; X < 1

Ayuda Limites

Documents

Transcript of Ayuda Limites