Modelos Matematicos

1

Introducción a la InformáticaIntroducción a los Modelos

Introducción a los Modelos Matemáticos Discretos

Modelo Matemático: Modelo en que se establecen correspondencias entre los valores de las variables del modelo y las magnitudes, estados o propiedades.

2

Introducción a la Informática

Introducción a Modelos

X YE

Y = F(X, E)

E = T (X,E)

Modelo matemático de respuesta inmediata

3

Introducción a la InformáticaIntroducción a Modelos Matemáticos

0 0,2 0,4 0,6 0,8

29,6

22,8

15,6

8

Mts.

Seg.

Mts.

Seg.

Modelo a intervalos discretos

Modelos a intervalos continuos

4

Introducción a la InformáticaIntroducción a Modelos

Modelos Matemáticos a Intervalos Discretos

X[t] Y[t]E[t]

Variables a intervalos de tiempo discretos

T = 0,1,2,3... El tiempo como una variable discreteaConjuntos de variables que toman valores o enteros

X[t] variables que describen las entradas al instante t

Y[t] variables que describen las salidas en el instante t

E[t] variables que describen el estado al instante t

Y[t] = F(X[t],E[t]) las salidas en función de las entradas y el estado del sistema si se considera una respuesta inmediata o instantánea.

Y[t+1] = F(X[t],E(t) las salidas en función de las entradas y el estado del sistema si se considera un tiempo de respuesta de un intervalo.

E[t+1] = T(X[t],E[t])

5

Introducción a la InformáticaIntroducción a Modelos Matemáticos

X[t], Y[t] coordenadas

Vx[t], Vy[t] velocidades proyectadas en ejes x e y

g aceleración de gravedad

Vy Vx

m * g

Y

X

6



Método de Desarrollo de Modelos.

1. Descripción gráfica y narrativa del sistema a modelar

2. Identificación de variables.

3. Conjunto de valores para la variables.

4. Formular de relaciones variables.

5. Definición de escenarios.

6. Simulación.

7. Ajuste de modelos

7


Modelos MatemáticosConjuntos de números

• Números naturales.

• Enteros

• Racionales

• Reales

• Imaginarios.

• Complejos.

8



• Números Naturales

N = {0, 1, 2, 3,…, 9, 10, 11, 12,…}

Ejemplo: La edad de una persona

• Números Enteros.Z = {…, -11, -10, -9,…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…, 9, 10, 11,…}

Ejemplo: La altura de una ciudad en relación al nivel del mar

9



• Números racionales. ½, 2/4, 3/6 Ejemplo: El peso de una cantidad de alimento.

• Número irracionalPi = 3.1459265358979323846El conjunto de los números racionales e irracionales forman

el conjunto de los número reales.

10


Introducción a Modelos MatemáticosDiscretos

Ejemplo de Variable, Constante y Parámetro

Variable Const. Param.

Mes Producc. Mat. Imp. ($)

Costo mat. importada

Precio Dolar

Enero 2000 0.25 500 1900

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Diciembre 5000 0.25 1250 1900

11



Ejemplo de Variable, Constante y Parámetro

Variable Const. Param.

Modelo Precio Intereses Número Meses

Modelo 1 30000000 0.25 12,24,36

Modelo 2 40000000 - - - - - 12,24,36

Modelo 3 50000000 0.25 12,24,36

12



Conceptos de Escenario y Simulación

Escenario: Caracterización del experimento a simular.

Objetivo de la simulación: La simulación tiene como principal objetivo, la producción, es decir, puede mostrar la que sucedera en un sistema real cuando se realicen determinados cambios bajo determinados cambios.

13


Modelos Matemáticos a Intervalos DiscretosEjemplo No. 1

Velocidad inicial eje X

Velocidad inicial eje X

GravedadProyectil

Velocidad eje X [t]

Velocidad eje Y [t]

1. Descripción narrativa del sistema

14



2. Identificar las variables.

X[t], Y[t] coordenadas

Vx[t], Vy[t] velocidades proyectadas en ejes x e y

g aceleración de gravedad

15



3. Conjunto de valores para las variables

X,Y Conjunto de los número racionales.

Vx, Vy = Conjunto de los número naturales.

G = Gravedad (Constante) Conjunto de los número naturales

16



Vx[t+1] = Vx[t] No hay roce ni fuerza que se oponga sobre el eje x, luego la velocidad es constante.

Vy[t+1] = Vy[t] – g*t La velocidad sobre el eje y crece o decrece según la aceleración de gravedad “g”. Esta es una aproximacióon si “dt” tiende a cero.

X[t+1] = X[t] + Vx[t]*dt Cambio de posición en eje X.

Y[t+1] = Y[t] + Vy[t]*dt Cambio de posición en eje, éstas son aproximacione válidas si “dt” es muy pequeño.

4. Formular relaciones entre la variables.

17



Modelo de un año

Modelo para los 5 años

Alumnos que ingresan Alumnos que egresan

Alumnos que abandonan

Año 1

Año 2

Año3

Año4

Año5

1. Descripición gráfica del problema

Alumnos en cada año.

18



AP[i-1,t-1] AP[i,t]AL[i,t]

AB[i,t]

19


Modelos Matemáticos a Intervalos Discretos2. Identificación de las variables (año de estudio “i” en al año calendario “t”).

AL[i,t] Alumnos cursan año de estudios i en año t

IN[1,t] Alumnos que ingresan al primer año de estudios en t.

AB[i,t] Alumnos que abandonan la carrera el año t, estando en años de estudios i

AP[i,t] Alumnos que aprueban el año de estudios i en año t

RE [i,t] Alumnos que repiten el año de estudios i en año t

20


Modelos Matemáticos a Intervalos Discretos3. Conjunto de valores para la las variables

AL[i,t]: Conjunto de los números naturales.

IN[1,t]: Conjunto de los números naturales.

AB[i,t]: Conjunto de los números naturales.

AP[i,t]: Conjunto de los números naturales.

RE [i,t] Conjunto de los números naturales.

21



4. Formular relaciones entre las variables.

HIPOTESIS:

ABAND [i]: Tasa de abandono en año de estuidos i

APROB [i]: Tasa de aprobación en año de estudios i

REPET [i]: Tasa de repitencia en años de estudios i

22


Modelos Matemáticos a Intervalos Discretos4. Establecer relaciones entre las variables (Cont.).

a) AP[i,t] = APROB[i]*AL[i,t] Alum. que aprueban el año de estudios en año t

b) AB[i,t] = ABAND[i]*AL[i,t] Alum. que abandonan la carrera en año t, cursando el año de estudios i.

c) RE[i,t] = REPET[I]*AL[i,t] Alum. que repiten el curso i (año de estudios) el año t

d) AL[1,t] = IN[t]+RE[1,t-1] Alum. Del primer año de estudios son los que ingresan más los que repitieron el añon anterior.

e) AL[i,t] = AP[i-1,t-1] +RE[i,t-1]

Alumnos del año de estudios i, son los que aprobaron el curso i-1 anterior al año anterior más los que repitieron el curso i el año anterior.

AL[i,t] = AP[i-1,t-1] RE[i,t-1]

Los alumnos del año de est. I, son los que aprob. El curso i-1 anterior más los que reptitieron el curso i en el año anterior

23


Modelos Matemáticos – Simulación - Ejemplos

Año de estudio 1 2 3 4 5

% de repitencia 20 15 10 10 15



5.Definición de escenario.

24



1. Descripción gráfica y narrativa del sistema a modelar.

Deuda Total: 23. 000 M US$

Exportaciones: 6.000 M US$

Importaciones: 4.500 M $

Plazo de contratación de la deuda: Entre 5 y 20 años.

Tasa de interés: 8% y 16%

Monto a pagar este año: 2.5000 M$ en intereses y 2.000 M$ en amortizaciones

Capital disponible: 1.500 M$

25



1. Descripción gráfica y narrativa del sistema a modelar (Cont.)

Otros paises

País Bancos

Ingresos exporataciones

Gastos importaciones

Pagos

26



DEUDA [t] Deuda total al año t.

INTDE [t] Intereses a pagar por la deuda en año t.

AMORT [t] Amortización a pagar por la deuda en año t

EXPTR [t] Valor de exportaciones tradicionales en año t.

EXPNO [t] Valor de exportaciones no tradicionales en año t.

IMPORT [t] Valor de importaciones en año t

2 y 3. Identificación de las variables y parámetros y conjunto de valores que puede tomar las variables.

27



2 y 3. Identificación de variables y parámetros y conjunto de valores que puede tomar (Cont).

I tasa de interés de deuda, a negociar (6% a 9%).

P fracción del valor de las exportaciones que se dedica a pagos de la deuda externa (10% a 20%).

AT tasa anual de invremento de exportaciones tradicionales (0,5% a 1%).

AN tasa anual de incremento no tradicionales (3% a 6%).

Todas las variables toman valores de los conjunto de números reales.

28


Modelos Matemáticos a Intervalos Discretos3. Formulación de relaciones entre variables:

EXPTR[t+1] = EXPTR[t+1] + AT*EXPTR[t]

Crecimiento de exportaciones no tradicionales.

EXPNO[t+1] = EXPNO[t] + AN*EXPNO[t]

Crecimiento de exportaciones no tradicionales.

INTDE[t] = I*DEUDA[t] Interés de pagar por la deuda en año t.

AMORT[t] = P*(EXPTR[t]+EXPNO[t] – INTDE[t]

Se amortiza lo disponible luego de pagar los intereses siempre se paga una fracción P de las exportaciones. Si no se cubren los intereses, la amortización es negativa e implica capitalización de intereses

29


Modelos Matemáticos a Intervalos DiscretosFormulación de relaciones entre variables (Cont.):

IMPORT[t] =

(1-P)*(EXPTR[t]+EXPNO[t])

Las importaciones son una fracción de las exportaciones.

DEUDA[t+1] = DEUDA[t] – AMORT[t]

La deuda se amortiza cada año t.

30



5. Definición de escenarios:

Condiciones iniciales

EXPTR[1] = 4200; EXPONO[1] = 1800; DEUDA[1] = 23.000

Parámetros:

I = 0,06 (6%); AN = 0,06 (6%); AT 0 0,01 (1%) P = 0,2 (20%)

Variables exógenas no hay.

31



1. Descripción gráfica del sistema a modelar.

Conejos

C[t]

Lobos

L[t]

CL[t]Conejos cazados

Caza

L[t]

C[t] Población de conejos en el periodo t

L[t] Población de lobos en el periodo t

CL[t] Conejos que se comen los lobos en el periodo t

32



2 y 3. Identificación de las variables y conjuntos de valores que pueden tomar:

C[t] = población de conejos en el periodo t

L[t] = población de lobos en el periodo t

CL[t] = conejos que se comen los lobos en el periodo t

Todas las variables toman valores del conjunto de números naturales

33

Introducción a la informáticaintroducción a Modelos


a) CL[t] = D*C[t]*L[t] Conejos cazados por lobos en periodo t.

b) C[t+1] = C[t]+A*C[t]- CL[t]

Los conejos en el periodo t+1 son:

Los conejos del periodo t

Mas el aumentos de conejos en periodo t

Menos los que son cazados en periodo t

c) L[t+1] = L[t] – B*L[t] +E*CL[t]

Los lobos al periodo t+1 son:

Los lobos del período y

Menos los que mueren en periodo t

Mas el aumento de acuerdo al alimento consumido

4. Formulación de relaciones entre las variables.

34

Intoducción a la informáticaIntroducción a Modelos


5. Definición de escenarios:

Situación inicial : C[1] = 1000; L[1] = 100

Parámetros y coeficientes:

A = 0,2; B = 0,07; D = 0,002; E = 0,02

35

Intoducción a la InformáticaIntroducción a los Modelos

Modelos Matemáticos Discretos

Egresos

Ingresos

Pérdida

Ganancia

Dinero

Tiempo

36

Intoducción a la InformáticaIntroducción a los Modelos

Modelos Matemáticos Discretos- Ejercicio

Inventario Inicial Bs. 40.000.000Num. Inicial Vídeos 2.000Costo Video Bs. 20.000Costos Fijos Mes Bs. 5.000.000Num. Inic. Cltes. 500Incr. Mens. Cltes. 2%Num. Interc. Sem. 3Costo Interc. Bs. 2000Costo Bolsa Bs. 500Inflac. Mens. 2%

37

Intoducción a la InformáticaIntroducción a los modelos

Modelos Matemáticos Discretos- Ejercicio2 y 3 Identificacón de Variables y conjunto de valores que

puede tomar

Inventario Inicial Constante, Natural

Num. Inicial Vídeos Constante, Natural

Costo Video Constante, Natural

Costos Fijos Mes Constante, Natural

Num. Inic. Cltes. Constante, Natural

Incr. Mens. Cltes. Parametro

Num. Interc. Sem. Constante, Natural

Costo Interc. Constante, Natural

Costo Bolsa Constante, Natural

Inflac. Mens. Parametro

Tiempo Retorno Variable, Natural

38

Intoducción a la InformáticaIntroducción a los modelos

Modelos Matemáticos Discretos- Ejercicio4. Establecer relaciones entre las variables

CLIENTES (I+1) = CLIENTES (I)*0,1 Los clientes se incrementan en 10% cada mes.

INGRESOS (I+1) = CLIENTES (I+1)*12*2000 Los ingresos son iguales al número de clientes ese mes multiplicado por el valor del cambio del vídeo y por el número de cambios hechos por mes.

COSTO BOLSA (I+1) = COSTO BOLSA (I) + COSTO BOLSA (I)*0,02

El costo de una bolsa se incremente en 2% mensual.

COSTO CAMBIO (I) = CLIENTES (I)*COSTO BOLSA El costo de cambio (o sea el costo de las bolsas suministradas a los cliente) es igual al número de clientes que existen en ese mes multiplicado por el costo de una bolsa.

COSTO ALQUILER LOCAL (I+1) = (COSTO ALQUILER LOCAL (I) + COSTO ALQUILER LOCAL(I)*0.2

El costo alquiler del local cada mes se incrementa en un 2%.

GANANCIA (I+1) = GANANCIA (I) + GANANCIA (I+1) La ganancia acumulada es igual a la ganancia del año anterior mas la ganancia del mes actual.

Modelos Matematicos

Documents

Transcript of Modelos Matematicos