UNIVERSIDAD DE CONCEPCIONFACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICADEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA

LISTADO 4Matematica I (525105)

Exponencial y Logaritmo

1) Resolver las siguientes ecuaciones e inecuaciones: (En practica a), c), d), j) y l))

a) log3 (7 x) log3 (1 x) = 1

b)

(1

2

)x2= 832x

c) 2 log2 (x) + 6 log4 (2) = log2 ( 132)d) 4x 4x = 2e) e4x4 1f) ex ex = 2

g) log (x) = log (x 1)

h) 23x5 =1

16i) log2 (x) log2 (x 3) = 1j) eln (2x) = 16

k) 105x2 = 7

l)1 + log (x2)

log (x)= 3

2) En las siguientes ecuaciones despeje la variable x en funcion del resto de las variables. (Enpractica b) y d))

a) ln (x) = w

b) loga (x) = y

c)1

2log3 (x) + 3 log3 (N) = 1

d) ln (x) = RLt+ ln (I0)

3) Obtener la inversa de las siguientes funciones reales, para ello determine dominio y recorrido, ydibuje f y su inversa en un mismo sistema coordenado: (En practica b))

a) f(x) = 3x b) f(x) =

(1

4

)xc) f(x) = 4x

4) Simplifique las siguientes expresiones: (En practica b))

a) a(x) = log4 (16x)

b) b(x) = e ln (x2+1)

c) c(x) = 55 log 1

5(x)

d) d(x) = 42 log2 (x)

5) El numero de bacterias de un cultivo sigue la ecuacion

N(t) = 5et,

y se sabe que N(4) = 2N(2), Cual debe ser el valor de ? Cual es la formula de la funcionN(t)?

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6) Estroncio 90 se usa en reactores nucleares y se desintegra de acuerdo a la funcion

E(t) = E0e0,0248t,

donde E(t) es la cantidad que queda despues de t anos.

a) Un reactor es provisto inicialmente con 500 miligramos de estroncio 90. Cuanto que-dara despues de transcurridos 10 anos?

b) Cual es la vida media del estroncio?

c) Cuanto tiempo se necesita para que solo quede un 1 % de la cantidad inicial? (Enpractica)

7) El sismologo F. Richter (1900-1985) ideo, en 1935, la Escala de Richter que compara la fuerzade diferentes terremotos. En ella, la magnitud R de un terremoto se define por

R = log

(A

A0

),

donde A es la amplitud de la onda ssmica mayor y A0 es la amplitud de referencia que corres-ponde a una magnitud R = 0.

La intesidad del terremoto de Chillan del ano 1939 fue de 7, 8 en la escala de Richter, la delterremoto de San Francisco de 1979 fue de 5, 95 y la del terremoto de Turqua fue de 6, 4. Cuantomayor fue la amplitud de la onda en el terremoto de Chillan comparada con los terremotos deSan Francisco y Turqua?

8) Un maestro de cocina saca un pastel desde el horno que esta a 200C y lo deja enfriar en unambiente que esta a una temperatura constante de 20C.

Luego de r minutos, encuentra que la temperatura bajo a 100C. Diez minutos mas tarde, latemperatura ha descendido a 75C.De la teora, se sabe que la funcion que describe la temperatura en funcion del tiempo es

T (t) = (T0 Ta)ekt + Ta, t 0,

donde t se mide en minutos, T0 es la temperatura inicial, Ta es la temperatura ambiente y k esuna constante que depende del material. As,

a) Determine k.

b) Determine r. (En practica)

9) La vida media del C14 es de 5730 anos. Si una muestra de C14 tiene una masa de 20 microgramosen el instante inicial (t = 0):

a) Cuanto quedara despues de 2000 anos?

b) Cuanto tiempo debera transcurrir hasta que queden 10 miligramos? 5 miligramos?

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10) Hall (1964) estudio el cambio del tamano de la poblacion de las especies de zooplancton Daphniagaleata mendota en Base line Lake (Michigan, USA).

El tamano de la poblacion, N(t), en el instante t, lo modelo por la ecuacion

N(t) = N0ert,

siendo N0 el tamano de la poblacion al inicio del experimento. La constante r, en este caso, sedenomina velocidad de crecimiento intrnseca, y se puede apreciar que es uno de los parametrosimportantes del modelo, pues describe la velocidad de cambio de la poblacion.

a) Si N0 = 100, determine en cu al caso la poblacion crece mas rapido: si r = 2 o si r = 3.

b) Para determinar r, usualmente requerimos dos medidas conocidas, por ejemplo al principioy al final de un perodo de tiempo de longitud finita. Si en t = t1 haban 200 individuos ytranscurrido una unidad de tiempo, es decir, t = t1 + 1 hay 250 individuos, determine r.(En practica)

11) Los peces no cesan de crecer durante su vida. El crecimiento de su longitud en funcion de laedad se puede modelar mediante la funcion de von Bertanlaffy:

L(t) = L(1 ekt), t 0,

donde k es la constante de decaimiento, y L es una constante positiva, siendo ambas constantesespecficas para la especie de peces en estudio.

a) Para k = 1, obtenga el valor de t para que la longitud sea el 90 % de L.

b) Repita el calculo para el 99 % de L. (En practica)

12) Las secuencias de ADN evolucionan en el tiempo mediante varios procesos. Uno de esos procesoses la sustitucion de un nucleotido por otro.

La proporcion p de diferencias de nucleotidos observadas entre dos secuencias que comparten unantepasado comun se puede emplear para obtener un estimador del numero real K = K(p) desustituciones por posicion desde el momento de la divergencia, va el esquema de sustitucion deLukes y Cantor (1969), esto es,

K(p) = 34

ln

(1 3

4p

),

suponiendo que p no es muy grande.

a) Suponga que dos secuencias de 150 nucleotidos de longitud se diferencian entre s en 23

nucleotidos, es decir, p =23

150. Utilice su calculadora para determinar el numero real de

sustituciones por posicion en tal caso.

b) Suponga que dos secuencias de ADN de un origen comun, cada una con 300 nucleotidos delongitud, se diferencian en 47 nucleotidos. Utilice el modelo e Jukes y Cantor para estimarel numero de sustituciones por posicion K.

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13) Una medida de comunidad que tiene en cuenta tanto la abundancia como la riqueza de especieses el ndice de diversidad de Shannon (1948). Para calcularlo, se utiliza la proporcion pi deespecies i en la comunidad.

Suponga que la comunidad consta de N especies, entonces, el ndice de diversidad de Shannones

H(N) = (p1 ln (p1) + p2 ln (p2) + . . .+ pN ln (pN )).a) Suponga que N = 5, y que todas las especies son igualmente abundantes. Es decir, p1 =

p2 = . . . = p5. Determine H(5). Repetir, si N = 10.

b) Para los casos anteriores, determine la medida de equidad en la distribucion de especies, esdecir, H(N) = ln(N).

c) Demuestre que, en general, si hay N especies y todas ellas son igualmente abundante,entonces, la medida de equidad en la distribucion de especies es 1. (En practica)

14) Una funcion logstica (Verhulst (1840)) es de la forma

f(x) =1

1 + e(b+mx),

donde m y b son constantes. Observe que 0 < f(x) < 1, para cualquier x R.Demuestre que

ln

(f(x)

1 f(x))

= b+mx.

LBA/lba 5 de marzo de 2015

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