Lógica de Enunciados

Tema 3 Lógica de enunciados

Nociones básicas de la Lógica de enunciados

By Ana Carrillo

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1 ª p r u e b a p r e s e n c i a l (9 febrero)

NOCIONES BÁSICAS DE LA LÓGICA DE ENUNCIADOS

ORACIÓN Y ENUNCIADO

FUNCTORES PROPOSICIONALES

Negación «no» (¬) Conjunción «y» (⋀)

Disyunción «o» (⋁)

Condicional «si…, entonces…» ( ) Bicondicional « si y sólo si…, entonces…» ( ) REGLAS DE FORMACIÓN DE FÓRMULAS

FORMALIZACIÓN DEL LENGUAJE NATURAL

EJERCICIOS

BIBLIOGRAFÍA

INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA FORMAL (Alfredo Deaño) Capítulo II ~ páginas 51-XX FORMAS LÓGICAS (Pilar Castrillo C. y Amparo Díez M.) Capítulo II ~ páginas 32-55 LÓGICA SIMBÓLICA (Manuel Garrido) WWW.CIBERNOUS.COM/LOGICA Lógica de enunciados WWW.RINCONDELVAGO.COM Apuntes de Lógica

NOCIONES BÁSICAS DE LA LÓGICA DE ENUNCIADOS

Como ya hemos visto, la lógica de enunciados (o lógica proposicional) trata del estudio de la

composición de enunciados mediante conectores (y, o, si…entonces, etc.). Este nivel de

análisis es el más elemental de la lógica y en él no se analizan los enunciados en sí, sino

aquellas formas válidas de deducir un enunciado a partir de otro sin necesidad de analizar por

dentro cada uno de ellos.



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Dicho de otro modo, la lógica de enunciados estudia la validez de aquellos argumentos que

depende exclusivamente de las conexiones entre los enunciados componentes.

El análisis del lenguaje en que se basa la lógica de proposiciones divide el lenguaje en:

• enunciados o frases enteras del lenguaje natural (variables): p, q, r, s…

• Conjunciones o conectivas o partículas que enlazan las oraciones (constantes): ¬, ⋀,⋁,

→ y ↔

• Signos de puntuación que servirán para señalar el alcance de las conjunciones y evitar

así ambigüedades sintácticas: ( ), { } y [ ]

Esta distinción entre variables y constantes se ve reflejada en la distinción entre forma y

contenido de un razonamiento. Diferencia importante teniendo en cuenta que la lógica de

enunciados no deja de ser la consideración abstracta de la forma de los razonamientos

prescindiendo de su contenido. Veamos:

• el contenido será representado por las variables (enunciados).

• la forma será representada por las constantes (conjunciones).

ORACIÓN Y ENUNCIADO

Mediante las oraciones enunciamos proposiciones. Se pueden hacer muchas oraciones para una misma proposición (v.gr.: la misma oración en distintos idiomas).

Cuando hablamos conjuntamente de una oración y de la proposición que en ella se expresa, lo

estamos haciendo de un enunciado.

Enunciado: Oración + Proposición

Igualmente podemos distinguir dos tipos de enunciados:

• Enunciados atómicos (simples) compuestos por sujeto y predicado.

• Enunciados moleculares (complejos) compuestos por varios enunciados atómicos.

Los enunciados simples (atómicos) se fundamentan en el principio de bivalencia, según el

cual, todo enunciado es verdadero o falso, pero nunca ambas cosas a la vez. Dicho de otro

modo, tienen necesariamente un valor de verdad y su comprobación será una mera tarea

empírica y no un análisis lógico. Lo indicaremos así, considerando la variable p:

p O bien así: p V 1 F 0



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Pero no todos los enunciados son atómicos, existen los enunciados complejos (moleculares)

del discurso que tienen respecto a lo que nos ocupa ahora la peculiaridad de ser veritativo-funcionales, es decir su valor de verdad está en función de los valores de verdad de los

enunciados simples que lo componen. Veamos unos ejemplos:

El cobre es conductor de la electricidad porque es un metal → NO es veritativo-funcional (no es verdadero o falso únicamente en función de sus dos enunciados) El cobre es un conductor de la electricidad y es un metal → SI es veritativo-funcional (pueden ser ciertos o falsos cada uno de sus dos enunciados)

María cree que el autor del Tractatus es Russell → NO es veritativo-funcional (no es verdadero o falso únicamente en función de sus dos enunciados) No es el caso que el autor del Tractatus es Russell → SI es veritativo-funcional (pueden ser ciertos o falsos cada uno de sus dos enunciados)

De la siguiente manera se representarán los valores de verdad de los enunciados moleculares:

Si tomamos dos variables, p y q:

p q 1 1 1 0 0 1 0 0

Si tomamos tres, p, q y r:

p q r 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0

En general, dado un número n de enunciados, el número de combinaciones

posibles de sus valores de verdad será 2n.

Como estamos viendo, a la verdad y falsedad de los enunciados (tanto atómicos como

moleculares) se les da el nombre común de valores de verdad; la primera (verdad) es el valor de

verdad positivo y la segunda (falsedad) el valor de verdad negativo.

Una última consideración respecto a este principio aristotélico de bivalencia: en los últimos

tiempos se ha negado sistemáticamente su validez, lo que ha dado origen a las lógicas no

clásicas, también llamadas lógicas polivalentes o lógicas multivaluadas. A la lógica, sea o no



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tradicional, que acepte el principio de bivalencia, se la llama lógica clásica y es ésta la que es

objeto de esta asignatura.

FUNCTORES PROPOSICIONALES

Veamos ahora los signos cuya misión es servir de enlace y establecer conexiones entre los

enunciados, es decir las conjunciones o constantes lógicas.

• Negación «no» (¬) Sea un enunciado cualquiera p. Este enunciado podemos negarlo. La negación de p será

“no-p”, “no es cierto que p” o “es falso que p” y se simbolizará ¬p.

Ahora bien, ¬p es también un enunciado. Tendrá, pues, un valor de verdad que será el

contrario a p. Es decir, si p es verdadero, ¬p será falso. Veamos:

p ¬p

1 0 0 1

De dos enunciados uno de los cuales (¬p) es la negación del otro (p), se dice que son

contradictorios entre sí (no pueden ser ni verdaderos ni falsos a la vez).

Hay que tener en cuenta que un enunciado negativo puede parecer simple y ser en

realidad molecular. La expresión “la lógica no es difícil” expresa en realidad dos enunciados:

“no ocurre que la lógica sea difícil”.

Igualmente puede ocurrir que esté incluida la partícula no y no constituir un enunciado

contradictorio (o de negación). Por ejemplo: “algunos estudiantes son inteligentes” y “algunos

estudiantes no son inteligentes”. Seguramente ambos enunciados sean verdaderos ya que

algunos estudiantes serán inteligentes y otros no lo serán.

Por otro lado, dos enunciados no pueden ser verdaderos a la vez y ninguno de ellos ser la

negación explícita del otro. Así “Madrid tiene más de cuatro millones de habitantes” y “Madrid

tiene exactamente cuatro millones de habitantes o menos que cuatro”. Son los enunciados

inconsistentes (no pueden ser verdaderos a la vez).

De aquí deducimos que todos los enunciados contradictorios también son inconsistentes,

pero no todos los inconsistentes son contradictorios (ver el ejemplo anterior).

Hay que poner en relieve una diferencia importante entre la negación, por una parte, y, por

otra parte, las siguientes cuatro conectivas que vamos a ver. La diferencia es que la

negación se aplica cada vez a una sola proposición, sea ésta simple (¬p) o compuesta



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¬(p⋁q). Así pues, la negación es una conectiva monádica o singularia. Sin embargo, las

siguientes cuatro conectivas necesitan al menos dos enunciados para poder aplicarse, por

lo que será unas conectivas diádicas o binarias.

• Conjunción «y» (⋀) Sean ahora dos enunciados cualesquiera, p y q. En lenguaje natural los relacionaríamos

con la conjunción “y”, “pero”, “,” etc. En lógica lo haremos con el símbolo ⋀, es decir p⋀q .

Los valores de verdad de p⋀q dependenderán de los valores de verdad de p y q. Veamos

esta afirmación en una tabla:

p q p⋀q

1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0

En la tabla se puede observar que esta conjunción sólo es verdadera cuando los dos

enunciados de los que se compone también sean verdaderos y falsa en todos los demás

casos.

Los miembros de una conjunción –uno de ellos o ambos- pueden también estar negados:

p q ¬q p⋀¬q p ¬p q ¬q ¬p⋀¬q

1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1

Evidentemente, mediante la conjunción “y” podemos unir más de dos enunciados:

p q r p⋀q⋀ r

1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0



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Esta conectiva también está aquejada de alguna falta de correlación con su contrapartida

del lenguaje natural. El conector “⋀ ” representa una operación conmutativa, en el sentido

de que el orden de los enunciados es irrelevante: p⋀q es igual a q⋀p . Hay sin embargo,

construcciones conjuntivas de los lenguajes naturales que carecen de esta propiedad. Es

el caso de “Juan y María se casaron y tuvieron un hijo” que no equivale a “Juan y María tuvieron

un hijo y se casaron”.

De la misma manera la conjunción “y” usada en el lenguaje natural no siempre supone la

unión de dos enunciados. Por ejemplo “Juan y María se casaron” no puede

descomponerse en “Juan se casó” y “María se casó”. Se trata de un solo enunciado formado

por un predicado diádico y dos términos singulares.

• Disyunción «o» (⋁) También podemos aplicar a p y q una operación llamada disyunción, que consistirá en

unirlas mediante la partícula “o”, es decir con el símbolo ⋁: p⋁q .

Pero esta expresión es ambigua. Puede interpretarse en dos sentidos: en sentido

excluyente “o se es pagano o se es cristiano” o en sentido no excluyente “He regresado al

tigre,/aparta o te destrozo”.

En el lenguaje natural es mucho más frecuente la disyunción excluyente a la que se le

puede añadir la cláusula y no ambos a la vez lo que podríamos simbolizar como (p⋁q) ⋀¬

(p⋀q). Pero desde el punto de vista lógico, siempre que no indiquemos lo contrario,

siempre vamos a referirnos a la disyunción no excluyente, que se puede interpretar como

“p” o “q” o ambos a la vez, o lo que es lo mismo p⋁q .

Viendo sus valores de verdad podemos afirmar que para que una disyunción (no

excluyente) sea verdadera basta con que al menos uno de los componentes de la misma

lo sea:

p q p⋁q

1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0

¿Qué significa esta última afirmación? Significa que una disyunción compuesta por un

enunciado y su propia negación (p ⋁ ¬ p) constituye una verdad lógica:



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p ¬p p⋁¬p

1 0 1 0 1 1

Es el llamado principio de tercio excluso (PTE). Algunos lógicos ven en este requisito una

gran limitación y defienden la conveniencia de desarrollar lógicas en las que se admitan

más de dos valores de verdad. Estas lógicas, que no asumirían el principio de bivalencia,

se conocen con el nombre de lógicas polivalentes o lógicas multivaluadas. Nos hemos

referido a ellas al hablar anteriormente de las lógicas clásicas y las no clásicas.

Los miembros de una disyunción –uno de ellos o ambos- pueden también estar negados:

p q ¬q p⋁¬q p ¬p q ¬q ¬p⋁¬q

1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1

p q r (p⋁q)⋁ r

1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0

Cabe hablar en este apartado del silogismo disyuntivo, dado que si la disyunción es

verdadera siempre podemos deducir de la negación de uno de sus componentes, la

afirmación del otro. Pero al contrario no ocurre ya que no puede deducirse de la afirmación

de uno, la negación del otro puesto que pueden ser verdaderos todos los componentes de

la disyunción. Así, podemos definir el silogismo disyuntivo (o regla de inferencia de la

alternativa) como la argumentación cuya premisa está formada por una proposición que

expresa una alternancia que no tiene término medio y, por lo tanto, si uno de los extremos

es verdadero, el otro será falso y viceversa.

• Condicional «si…, entonces…» ( ) o Implicación material Supongamos el enunciado “si cuatro es un número par, entonces es divisible por dos”. La

partícula “si…, entonces…” es también una partícula de unión entre enunciados: Si p,

entonces q (p es condición suficiente pero no necesaria de q). Se simboliza así: p q.



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¿En qué casos será verdadero un enunciado condicional? Viendo su tabla de verdad

podremos observar que lo es en todos los casos y que sólo es falso cuando el antecedente

es verdadero y el consecuente falso:

p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1

Para el primer caso está claro que si tanto el antecedente (p) como el consecuente (q) son verdaderos, el enunciado condicional será verdadero. En el segundo tampoco tiene dudas. El antecedente es verdadero pero no el consecuente, por lo que entonces p no es condición suficiente para q. Así que no es cierto que si p entonces q (p q). Para deducir el tercero hay que tener en cuenta que p q quiere decir que si se da p entonces se dará q, pero p no es necesariamente la única circunstancia en la que pueda darse q. Así que como puede darse q sin p, hemos de admitir como verdadero este caso. Y para el último caso argumentaremos lo que para el tercero. Que no se den p o q no hace falso el condicional por ellos formado (si se diera p tal vez también lo haría q). No queda más remedio que darlo por verdadero.

Estas condiciones veritativas se apartan bastante de los usos habituales del lenguaje

natural y dan valor de verdad positivo a las siguientes afirmaciones:

Primer caso (1-1): “Si cuatro es un número par, entonces es divisible por dos” Tercer caso (0-1): “Si siete es un número par, entonces es mayor que cuatro” Cuarto caso (0-0): “Si siete es un número par, entonces es divisible por dos”

Otro de los aspectos en los que no se corresponde el condicional lógico con el lenguaje

natural es el llamado condicional contrafáctico, esto es, aquel condicional cuyo

antecedente es falso. Y no coincide porque este implicador material ( ) obligaría a

aceptar como verdaderos los siguientes enunciados por el mero hecho de ser falsos sus

antecedentes (Frege no conoció la filosofía de Quine):

“Si Frege hubiera conocido la filosofía de Quine, no la habría aceptado” “Si Frege hubiera conocido la filosofía de Quine, la habría aceptado”

El uso del indicativo aproxima más el lenguaje lógico al natural pero siguen existiendo

diferencias, ya que en lenguaje natural afirmamos una conexión implicadora entre

antecedente y consecuente:

“Si María es madre, entonces es mujer” “Si Juan está soltero, entonces no está casado”



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Ante estas discrepancias algunos autores (entre ellos Grice) han decidido hacer una clara

separación entre lo que estrictamente una oración dice y lo que implica

conversacionalmente (en función del contexto, de las intenciones, etc.). En virtud de esta

diferencia podemos saber que el enunciado “Juan y María se casaron y tuvieron un hijo”

carece de la propiedad conmutativa propia de las conjunciones lógicas.

Calculemos ahora los valores de verdad de una expresión en la que aparecen todos los

functores vistos hasta el momento:

[ (p⋀q) ⋁ r] [ ¬r (p⋀q ) ]

p q r p⋀q (p⋀q)⋁ r ¬r p⋀q ¬r (p⋀q) [(p⋀q)⋁r] [¬r (p⋀q)] 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1

Hemos visto que a la conectiva condicional también la hemos denominado implicación

material, término que no hay que confundir con el de implicación lógica. A saber:

Implicación lógica: Esta expresión se coloca entre fórmulas lógicas. Cuando

decimos que un esquema implica a otro, estamos diciendo que, suponiendo que el

primero sea verdadero, la estructura de ambos garantiza que el segundo también lo

es. Veamos un ejemplo: para una inferencia que es válida, tal que p (p⋁q), la

fórmula condicional correspondiente es siempre verdadera, verdadera para todas las

interpretaciones que puedan hacerse de sus variables p y q. En este caso decimos

que el esquema p implica o implica lógicamente al esquema p⋁q. Podemos, pues,

concluir que la implicación es un condicional válido.

Implicación condicional: Esta expresión se coloca entre enunciados (si p, entonces

q) y no es más que la conectiva que los relaciona ( ), es decir con ella se

construyen las fórmulas que luego pueden tener o no tener una implicación lógica.

• Bicondicional «si y sólo si…, entonces…» ( ) o Coimplicación Ya hemos visto que el condicional implica que p es condición suficiente pero no necesaria

de q. Sin embargo, podríamos querer expresar que p es condición suficiente y necesaria

de q, es decir “si y sólo si p, entonces q”, en cuyo caso también podríamos decir que “si p,



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entonces q y si q, entonces p”. Lo simbolizaríamos así: p q que sería la abreviatura de:

[(p q) ⋀ (q p)]. A esta operación le llamaremos bicondicional y su tabla de verdad será:

p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Un enunciado bicondicional será verdadero cuando tengan el mismo valor de verdad tanto

su antecedente como su consecuente.

Es importante tener en cuenta que existe una tendencia a echar mano del bicondicional

para traducir enunciados que contienen la conectiva “solo si”. Sin embargo, con carácter

general, dicha expresión no puede interpretarse así. El enunciado “Una persona pude ser

Presidente de los EE.UU. sólo si ha nacido en esta nación” no implica que el hecho de haber

nacido allí sea suficiente para ser Presidente. En realidad es un enunciado condicional ya

que podemos traducirlo como “si una persona no ha nacido en los EE.UU. no puede ser

Presidente de dicha nación”.

Igualmente tendemos a considerar la expresión “a menos que” como si de un bicondicional

se tratara. El error de esta interpretación se ve en el enunciado “Juan no aprobará la lógica a

menos que se matricule” ya que en él lo que se expresa es que matricularse es una

condición necesaria pero no suficiente. Nuevamente es una expresión condicional ya que

“no p a menos q” significa “p sólo si q”. Para ser bicondicional tendría que implicar que el

hecho de matricularse haría que Juan aprobara la lógica, es decir “si p, entonces q y si q,

entonces p”.

Probemos ahora a introducir en una misma expresión los cinco signos constantes que

hemos visto:

[ (¬p ⋁ q) r ] [ (p ⋀ ¬q) ⋁ r ]

p q ¬p (¬p ⋁ q) r (¬p ⋁ q) r ¬q (p ⋀ ¬q) r (p ⋀ ¬q) ⋁ r [(¬p⋁q) r] [(p⋀¬q)⋁r] 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1



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Al igual que con la conectiva condicional, con la bicondicional también hay que tener

cuidado en no confundirla con la equivalencia:

Equivalencia: Se dice que dos esquemas son equivalente si cada uno de ellos

implica el otro. Así, la fórmula ¬(p⋁q) es equivalente a la fórmula ¬p⋀¬q. Igualmente

podemos concluir que una equivalencia es un bicondicional válido o verdadero para

todas las interpretaciones posibles de sus componentes.

REGLAS DE FORMACIÓN DE FÓRMULAS

A partir de los elementos del vocabulario lógico se pueden construir fórmulas. Y para ello hay

unas reglas precisas que delimitan con toda exactitud cuándo una secuencia de símbolos

constituye una fórmula en el lenguaje proposicional.

Para especificar tales reglas, nos serviremos de las letras X e Y aunque no pertenezcan al

lenguaje lógico. Con ayuda de estos símbolos metalingüísticos, definiremos la clase de las

fórmulas de la lógica enunciativa del siguiente modo:

1. Toda variable enunciativa es una fórmula.

2. Si X es una fórmula, también los es ¬X.

3. Si X e Y son fórmulas, también los son (X ⋀ Y), (X ⋁ Y), (X Y), (X Y).

4. Sólo son fórmulas las secuencias que satisfacen alguna de las cláusulas anteriores.

Con ayuda de esta definición podemos determinar con toda precisión si una cadena de

símbolos del lenguaje que estamos describiendo es o no es una fórmula de dicho lenguaje.

Veamos un ejemplo:

¬p (q ⋁ r) es una fórmula porque: 1. p, q y r son variables enunciativas y por tanto fórmulas 2. si p es una fórmula, también lo es ¬p. 3. si p, q y r son fórmulas, también lo son (q ⋁ r) y también ¬p (q ⋁ r).

FORMALIZACIÓN DEL LENGUAJE NATURAL

Cuando nos enfrentamos a la tarea de formalizar enunciados moleculares, lo primero que hay

que tener en cuenta es que es preciso hacer explícitos todos y cada uno de los enunciados

incluidos en dicha expresión, teniendo presente que en el habla común muchos de tales

enunciados aparecen de forma sincopada. Así por ejemplo, en un enunciado como:



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Los intelectuales de principios del XVII no podían expresarse libremente pero les quedaba el recurso de ironizar, como hicieron Cervantes y Quevedo.

Se pueden detectar 4 enunciados atómicos:

1. Los intelectuales de principios del XVII no podían expresarse libremente 2. A los intelectuales de principios del XVII les quedaba el recurso de ironizar 3. Cervantes echó mano del recurso de la ironía 4. Quevedo echó mano del recurso de la ironía

Esta tarea de formalización no consiste en simbolizar sin más enunciados aislados unos de

otros, sino teniendo en cuenta el contexto de la inferencia que deseamos evaluar. Veamos los

dos siguientes enunciados:

1. María no preparó el examen de Álgebra y lo aprobó. 2. María preparó el examen de Análisis yno lo aprobó.

En ellos se puede detectar que la expresión “lo aprobó” son, a pesar de su idéntica apariencia, dos enunciados distintos:

q: María aprobó el examen de Álgebra. s: María aprobó el examen de Análisis.

Por ello habríamos de formalizarlos así:

1. ¬p ⋀ q 2. r ⋀ ¬s

Así pues, hemos de respetar el principio de no dar a una misma expresión interpretaciones

diferentes, lo que se traduce al empleo de una variable enunciativa distinta para cada

enunciado diferente. Cuando se produce una violación de este principio, se incurre en lo que se

llama falacia de equivocación. Un ejemplo de ello sería el siguiente razonamiento: “El hombre es

el único animal que tropieza dos veces en la misma piedra. Las mujeres no son hombres. Luego las

mujeres no tropiezan dos veces en la misma piedra”.

E igual que hay que estar atentos a distinguir los distintos enunciados, también hay que saber

detectar un mismo enunciado detrás de las diferencias estilísticas del lenguaje natural. A saber:

Si la historia de la creación incluida en el Génesis es una descripión literal verdadera, entonces los primeros tres días de la existencia de la tierra no hubo sol. El concepto de “día” se define por referencia al sol. No puede ser a la vez el caso de que el concepto se defina así y que la tierra existiera tres días antes de que se creara el sol. De donde se deduce que la historia de la creación dada en el Génesis no es una descripción literal verdadera.

Consideremos los dos siguientes enunciados:

1. Durante los tres primeros días de la existencia de la tierra no hubo sol. 2. La tierra se creó tres días antes de que se creara el sol.

Si omitimos las pequeñas diferencias semánticas de estos dos enunciados y simbolizamos a ambos con la letra q, podremos formalizar la inferencia de la siguiente manera:



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p q r ¬(r ⋀ q)

¬p

Otro requisito para la formalización del lenguaje es elegir correctamente las conectivas que van

a unir los enunciados, esto es, que representen adecuadamente las expresiones del lenguaje

ordinario como “no”, “o”, “si… entonces…” y otras similares.

Otra tarea fundamente es destacar la conectiva dominante o que prima sobre todas las demás.

Es decir, hay que agrupar adecuadamente los fragmentos parafraseados.

En el lenguaje de la lógica de enunciados, las fórmulas compuestas mediante conectivas

pueden incluir como componentes fórmulas a su vez compuestas mediante conectivas. Cada

una de tales conectivas tiene un alcance. Por alcance se entiende la expresión más breve en

que aparece. Así, por ejemplo el alcance de “¬” en las fórmulas ¬p y ¬(p⋀q) es distinto. En la

primera es únicamente “p” y en la segunda es toda la fórmula “(p⋀q)”.

La conectiva que tiene el más amplio alcance en una fórmula se dice que es la conectiva

principal de la misma. Una expresión como p ⋁ q ⋀ r es ambigua precisamente porque no

sabemos cuál es la conectiva principal de la misma. Podría ser interpretada como un esquema

disyuntivo p ⋁ (q ⋀ r) o como un esquema conjuntivo (p ⋁ q) ⋀ r . Como se puede observar, los

paréntesis y corchetes son los símbolos mediante los cuales señalamos el alcance de las

diversas conectivas en una fórmula. Veamos un ejemplo:

Si las hipótesis científicas no pueden dar lugar a predicciones a menos que vayan más allá de lo observado, entonces las hipótesis científicas no son meros resúmenes de observaciones registradas.

Se pueden detectar 3 enunciados atómicos, a los que asignaremos las siguientes variables:

p: Las hipótesis científicas pueden dar lugar a predicciones q: Las hipótesis científicas van más allá de lo observado r. Las hipótesis científicas son meros resúmenes de observaciones registradas

El esquema correspondiente a la forma de este enunciado sería:

(¬q ¬p) ¬r

y no:

¬q (¬p ¬r) Es preciso, por último, tener en cuenta que la negación no siempre afecta a un enunciado

atómico, sino que en ocasiones su alcance es la totalidad de un enunciado molecular. Esto es

lo que ocurre, por ejemplo, en un enunciado como “no ocurre que el dinero pueda comprar la

felicidad o pueda comprar la amistad”, lo que se niega es el enunciado disyuntivo y se formalizaría

así: ¬(p ⋁ q) o así: ¬p ⋀¬q (en la siguiente tabla puede observarse que ambas soluciones son la misma

cosa):



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p q p⋁q ¬(p⋁q ) ¬p ¬q ¬p⋀¬q

1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1

EJERCICIOS

Ejercicio 1 ( p á g i n a 3 5 – A d d e n d a F o rm a s L ó g i c a s )

Decir cuáles de los siguientes pares de enunciados constan de un enunciado y su negación:

a) Todo lo que reluce es oro. No todo lo que reluce es oro.

b) Algunos filósofos son altivos. Algunos filósofos no son altivos.

c) Juan confía en que la lógica no sea difícil. Juan no confía en que la lógica no sea difícil.

d) Juan parte de la base de que la lógica es difícil. Juan parte de la base de que la lógica

no es difícil.

e) María se comió algunos bombones pero no se comió todos.


Poner un par de ejemplos de pares de enunciados que sean inconsistentes, pero en los que

ningún miembro sea la negación del otro miembro del par.

a) “la niña creció este año” y “la niña ya había crecido el año pasado”

b) “La gata tuvo cinco cachorros” y “La gata tuvo cuatro cachorros”



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Indicar cuáles de los enunciados de la serie siguiente son enunciados compuestos susceptibles

de ser formalizados mediante “⋀ ”:

a) Todas las horas hieren. La última mata. b) La soledad y la creación son de la misma partida. c) Russell y Whitehead fueron amigos. d) Russell y Whitehead escribieron los Principia Mathematica. e) Arrojamos el pasado al abismo sin querer inclinarnos para ver si está bien muerto. f) Jean P. Sastre dejó sin escribir una ética aunque siempre escribía sobre ética.


Poner un par de ejemplos de enunciados en los que aparezca “y” pero que no puedan ser

tomados como ejemplos de enunciados conjuntivos desde el punto de vista lógico.

a) “Llegué, ví y vencí”

b) “Pedro y Juán riñeron”


Determinar cuáles de los siguientes enunciados pueden esquematizarse como “p⋁q ”:

a) Entonces era otoño en primavera,/ o tal vez al revés (Ángel González)

b) El trato constante con la paradoja predispone a los matemáticos a la neurosis o al

humor.

c) La filosofía es una batalla contra el embrujamiento de nuestra inteligencia por el

lenguaje o Wittgenstein se equivoca.

d) Toda madre tiene un hijo o una hija.

e) Algunos filósofos son empiristas o ninguno lo es.


Traducir a condicionales estándar los siguientes enunciados:

a) Las células de una planta no pueden sintetizar los alimentos a menos que tengan

clorofila. ¬p q

b) Para que una ley positiva sea legítima es condición necesaria que no atropelle a la

moral. p ¬q

c) Para que un número sea divisible por 2, basta con que sea par. p q

d) No se puede ver a menos que haya luz. ¬p ¬q



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Simbolizar los siguientes enunciados por medio del condicional, reservando p para la «inflación

baja» y q para «se controla el gasto público»:

a) La inflación no bajará a menos que se controle el gasto público. ¬p q

b) Para que la inflación baje es necesario que se controle el gasto público. p q

c) La inflación sólo bajará si se controla el gasto público. p q


Determinar, mediante la oportuna colocación de símbolos de puntuación, las distintas formas

en que podría eliminarse la ambigüedad de la expresión p ⋀ ¬q ⋁ r:

a) p ⋀ ¬(q ⋁ r)

b) p ⋀ (¬q ⋁ r)

c) (p ⋀ ¬q) ⋁ r

Ejercicio 9 ( p á g i n a 50 – A d d e n d a F o rm a s L ó g i c a s )

Esquematizar los siguientes enunciados, prestando especial atención a la colocación de los

paréntesis y demás símbolos de puntuación:

a) Si Wittgenstein está en lo cierto entonces si las leyes de la lógica son tautologías no

contienen ninguna información.

p: Wittgenstein está en lo cierto q: Las leyes de la lógica son tautologías r: Las leyes de la lógica contienen información

p (q ¬r) b) Si Frege tiene razón el que las leyes de la lógica sean formales no implica que no

contengan información.

p: Frege tiene razón q: Las leyes de la lógica son formales r: Las leyes de la lógica contienen información

p ¬(q ¬r) c) Si Frege tiene razón y las leyes de la lógica son informativas entonces no es cierto que

sean tautologías o que Wittgenstein tenga razón.

p: Frege tiene razón q: Las leyes de la lógica son tautologías r: Las leyes de la lógica son informativas s: Wittgenstein está en lo cierto

(p ⋀ r) (¬q ⋁ ¬r)



By Ana Carrillo

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Formalizar las siguientes inferencias:

a) Si mi creencia en que el gato está sobre el felpudo fuera uno de los estados de mi

cerebro, entonces podría determinar que tengo la creencia examinando mi cerebro. Si

pudiera determinar que tengo la creencia examinando mi cerebro, entonces podría

decir que creo que el gato está sobre el felpudo sin adoptar ninguna postura sobre la

situación del gato. Pero puedo decir que el gato está sobre el felpudo precisamente si y

sólo si adopto una postura acerca de la situación. Por consiguiente dicha creencia no

es un estado del cerebro.

p: Creer o decir que el gato está sobre el felpudo q: estado del cerebro r: poder determinar que la creencia está examinando el cerebro s: adoptar una postura sobre la situación del gato

(p q) r r (p ⋀ ¬s) p s p ¬q

b) Si las operaciones de nuestra voluntad no fueran causadas, no podríamos tratar de

influir en la conducta de los demás. Si no pudiéramos tratar de influir en dicha

conducta, argumentar, exhortar y mandar serían gastar saliva en balde. En este caso,

buena parte de las acciones de las que se ocupa la moralidad se convertirían en

irracionales. Suponiendo que la moralidad no excluye la acción racional, entonces

hemos de concluir que las acciones tienen causas.

(Este argumento está entresacado de las páginas dedicadas por Russell en sus Philoshophical

Essays a mostrar que el determinismo no destruye la moral.

Pista: Teniendo en cuenta que todos los enunciados que constituyen el consecuente de la

segunda premisa son los mismo que forman el antecedente de la tercera, simbolícense todos

ellos mediante r)



By Ana Carrillo

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c) Si lo mantenido por Wittgenstein en el Tractatus es correcto entonces la filosofía no es

una ciencia o no consiste en proposiciones. La filosofía consiste en proposiciones o es

una actividad. Si la filosofía no es una ciencia entonces no explica los hechos. Luego si

lo mantenido por Wittgenstein en el Tractatus es correcto entonces la filosofía es una

actividad o no explica los hechos.

p: lo mantenido por Wittgenstein en el Tractatus es correcto q: la filosofía es una ciencia r: la filosofía consiste en proposiciones s: la filosofía es una actividad t: la filosofía explica los hechos

p (¬q ⋁ ¬r) r ⋁ s ¬q ¬t p s ⋁ ¬t

Lógica de Enunciados

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