Macarena Zuñiga-trabajo de Analitico
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Objetivos a TratarObjetivos a Tratar
Conjunto de Numero Reales
Definición de Función
Intervalos
Definición de Limite en una Función
Propiedades de Limites
Calculo de Limites
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Para adentrarnos en el tema tenemos que saber que son los números reales
Conjunto de los números reales
Está formado por el conjunto de los números enteros, racionales e irracionales, y lo denotaremos como R ; gráficamente el conjunto de los números reales lo podemos representar por una recta en la que fijamos un origen y una unidad, que hace que a cada punto de la recta le corresponda un número real y a cada número real le corresponda un punto de la recta. A esta recta la denominamos la recta real
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
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Función :
Es una relación entre los elementos de dos conjuntos, de forma que a determinados elementos del primer conjunto se asocian elementos del segundo conjunto de manera unívoca, es decir que a un elemento del primer conjunto no le podemos asociar más de un elemento del segundo conjunto. A un elemento cualquiera del primer conjunto lo representamos con la letra x, que denominamos variable independiente y al único elemento que le corresponde en el segundo conjunto lo representamos por la letra y, a la que denominamos variable dependiente. A la relación la representamos por la letra f y escribimos y = f (x).
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En el primer caso a cada valor de x le corresponde un
único valor de y. En el segundo caso, hay valores
de x que no están únicamente determinados
Primer CasoPrimer Caso
Segundo CasoSegundo Caso
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Intervalos
Definamos sobre la recta real :
El conjunto [a,b] se llama intervalo cerrado y (a,b) se llama intervalo abierto. En cualquiera de los casos b-a se llama longitud del intervalo.
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Ahora podemos pasar al análisis del limite de variables continuas.
Sea f: R R
Diremos que la función f tiende hacia el limite L
Perteneciente a R, cuando x tiende hacia el valor a perteneciente a R y lo anotaremos como:
lim f (x) = L ssi:
x a0< ع , δ > 0 tal que si x – a > δ f (x) – L > ع
lim f (x) = L
x a
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Esto nos quiere decir que:
Para todo ع tan pequeño como se quiera mayor que cero, existe un δ mayor que cero tal que si la distancia entre x y a es menor que δ (x pertenece ] a – δ, δ + a[), se cumple que la distancia entre las imágenes y el limite es menor que ع.
Ejemplo: Demostrar que lim 3x + 5 = 1
x 2
Solución:
Sea 0< ع , por demostrar δ > 0 tal que si x – a > δ
→ 3x + 5 – 11 > ع
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3x + 5 – 11 > ع
3x – 6 < ع
3 (x - 2) < ع
3 x – 2 < ع
3 x – 2 < ع
x – 2 < 3/ ع
Luego si 0< ع dado, δ = 0< 3/ع tal que x – a < δ= 3/ع
3 x – 2 < ع
3 (x - 2) < ع
3x – 6 < ع
3x + 5 – 11 < ع f (x) – L < ع
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-Si existe lim f (x) = L este es único
x →a
-Si existe lim f (x) = L y lim g (x)= M ( es decir ambos limites existen)
- Entonces:
-lim f (x) + g (x) = lim f (x) + lim g (x)
x → a x → a x → a
lim f (x) – g (x) = lim f (x) – lim g (x)
x → a x → a x →a
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lim f (x) g (x) = lim f (x) lim g (x)
x → a x → a x→ a
lim f (x) lim f (x)
x → a g (x) x → a si g (x) = 0 y
lim g (x) lim g (x) = 0
x → a x → a
lim c f (x) = c lim f (x)
x → a x → a
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CALCULO DE LIMITESCALCULO DE LIMITES
Suele ocurrir que en el calculo de limites se produzcan algunas “ indeterminaciones” evitables.
Para evitar indeterminaciones se recurre frecuentemente a las factorizaciones, las racionalizaciones y los cambios de variables.
Ejemplos:
1.- Calcular lim x2 – 4 = lim (x - 2) (x + 2)
x → a x – 2 x → 2 (x - 2)
lim x + 2 = 4
x → 2
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2.- lim 1/x =1/2
x → 2
3.- lim 2 + x2 – 3 + ex = lim 2 + lim x2 – 3 + lim ex
x→1 x→1 x→1 x→1
lim 2 + lim x2 - 3 + lim ex 2 – 2 + e1
x→1 x→1 x + 2 x→1 3
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