Material Unidad VI-6

Material de Lectura de la Unidad VI: Cantidad de movimiento y choques

2 Emma K. Encarnación E., Javier De Jesús Paulino



INDICE DEL CONTENIDO

Introduccion .......................................................................................... 4

Cantidad de movimiento .......................................................................... 4

Impulso ................................................................................................. 4

Unidades de cantidad de movimiento ......................................................... 4

Conservación de la cantidad de movimiento ................................................ 4

Choque elástico ...................................................................................... 4

Choque inelástico ................................................................................... 4

Centro de masa ...................................................................................... 4

Problemas resueltos ................................................................................ 4

Problemas propuestos ............................................................................. 4

Bibliografia ............................................................................................ 4



Introducción

En mecánica clásica la forma más usual de introducir la cantidad de

movimiento es mediante definición como el producto de la masa de un cuerpo

material por su velocidad, para luego analizar su relación con la ley de Newton

a través del teorema del impulso y la variación de la cantidad de movimiento.

Para luego analizar los diferentes tipos de choque tanto elástico como

inelástico.

Cantidad de movimiento

La cantidad de movimiento, momento lineal, ímpetu o momentum es

una magnitud vectorial, unidad SI: (kg m/s) que, en mecánica clásica, se

define como el producto de la masa del cuerpo multiplicada por su velocidad en

un instante determinado. En cuanto al nombre Galileo Galilei en sus Discursos

sobre dos nuevas ciencias usa el término italiano ímpeto, mientras que Isaac

Newton usa en Principia Mathematica el término latino motus y vis.

La cantidad de movimiento obedece a una ley de conservación, lo cual significa

que la cantidad de movimiento total de todo sistema cerrado (o sea uno que

no es afectado por fuerzas exteriores, y cuyas fuerzas internas no son

disipadoras) no puede ser cambiada y permanece constante en el tiempo.



Se define el impulso recibido por una partícula o un cuerpo como la variación

de la cantidad de movimiento durante un periodo de tiempo dado:

Siendo pf la cantidad de movimiento al final del intervalo y p0 al inicio del

intervalo.

Cantidad de movimiento en mecánica clásica

Mecánica newtoniana

Históricamente el concepto de cantidad de movimiento surgió en el contexto de

la mecánica newtoniana en estrecha relación con el concepto de velocidad y el

de masa. En mecánica newtoniana se define el momento lineal como el

producto de la masa por la velocidad:

La idea intuitiva tras esta definición está en que la "cantidad de movimiento"

dependía tanto de la masa como de la velocidad: si se imagina una mosca y un

camión, ambos moviéndose a 40 km/h, la experiencia cotidiana dice que la

mosca es fácil de detener con la mano mientras que el camión no, aunque los

dos vayan a la misma velocidad. Esta intuición llevó a definir una magnitud

que fuera proporcional tanto a la masa del objeto móvil como a su velocidad.



Impulso

En física, se denomina impulso a la magnitud física, generalmente

representada como (I), definida como la variación en la cantidad de

movimiento que experimenta un objeto en un sistema cerrado. El término

difiere de lo que cotidianamente conocemos como impulso y fue acuñado por

Isaac Newton en su segunda ley, donde la llamó vi motrici refiriéndose a una

especie de fuerza del movimiento.

En la mecánica clásica, a partir de la segunda ley de Newton sobre la fuerza

tenemos que:

si multiplicamos a ambos lados por un :

lo que nos dice que el cambio en la cantidad de movimiento es proporcional a

una fuerza aplicada sobre la partícula durante algún intervalo de tiempo:

A lo que llamamos impulso es ese valor de la integral de la fuerza en el

tiempo:



En el caso de que la fuerza no varié con el tiempo usamos la

siguiente fórmula

Esta fórmula nos dice que el área bajo el gráfico F=f(t) es igual al impulso

El concepto de impulso se puede introducir mucho antes del conocimiento

sobre el cálculo diferencial e integral con algunas consideraciones. Si la masa

no varía en el tiempo, la cantidad de movimiento se puede tomar como el

simple producto entre la velocidad ( ) y la masa ( ). Según la segunda ley de

Newton, si a una masa se le aplica una fuerza aquélla adquiere una

aceleración , de acuerdo con la expresión:

F

t t1 t2

F=f(t)



Multiplicando ambos miembros por el tiempo t en que se aplica la fuerza F:

Como , tenemos:

y finalmente:

que es el equivalente cuando la fuerza no depende del tiempo.

Unidades

Un impulso cambia el momento lineal de un objeto, y tiene las mismas

unidades y dimensiones que el momento lineal. Las unidades del impulso en el

Sistema Internacional son kg·m/s.

Para deducir las unidades podemos utilizar la definición más simple, donde

tenemos:

http://es.wikipedia.org/wiki/Kilogramo

http://es.wikipedia.org/wiki/Metro

http://es.wikipedia.org/wiki/Segundo_%28unidad_de_tiempo%29



Considerando que , y sustituyendo, resulta

y efectivamente,

con lo que hemos comprobado que , por lo que el impulso de la fuerza

aplicada es igual a la cantidad de movimiento que provoca, o dicho de otro

modo, el incremento de la cantidad de movimiento de cualquier cuerpo es igual

al impulso de la fuerza que se ejerce sobre él.

Unidades de cantidad de movimiento e impulso

UNIDADES S I CGS INGLES

P o I Kg m/s = N

s

Gr cm/s = D s Lb s



Conservación de la cantidad de movimiento.

Cuando dos cuerpos interactúan ejerciendo una fuerza entre ellos ya sea a

distancia (gravitación) o por contacto directo (coalición), al aplicarse en estos

casos la tercera ley de Newton, quedaría lo cual significa: la fuerza

que ejerce el cuerpo 1 sobre el cuerpo2 , es igual y opuesta a la fuerza que

ejerce el cuerpo 2 sobre el cuerpo 1 . Por lo cual y de acuerdo a la ecuación 5):

6) que significa que la fuerza que ejerce el cuerpo 1, sobre el cuerpo 2

es igual a la rapidez de cambio de la cantidad de movimiento del cuerpo 2. La

ecuación 7) significa que la fuerza que ejerce el cuerpo 2 sobre el

cuerpo 1 es igual a la rapidez de cambio de la cantidad de movimiento del

cuerpo 1. Sumando ambas ecuaciones

Sustituyendo ; ; o sea, ;

Lo cual significa que si la suma de la rapidez de cambio de las cantidades de

movimiento es cero, entonces la suma de las cantidades de movimiento es

constante (la derivada de una constante es cero) significando también que las

fuerza externas son cero, y que .

De lo anterior se puede decir: la suma de las cantidades de movimiento de un

sistema aislado de dos cuerpos que ejercen fuerzas ante sí, es constante,

independientemente de la forma en que se sumen las fuerzas. A esto se le

llama el principio de la conservación de la cantidad de movimiento.

Para dos cuerpos que se mueven con cierta velocidad antes y después de una

colisión:



Y esto significa que la cantidad de movimiento total antes del choque es igual

a la cantidad de movimiento total después del choque; es decir la cantidad de

movimiento permanece constante. Un caso semejante se tiene en el caso de

una colisión entre 3 o más cuerpos sin la intervención de fuerzas externas.

Choques o colisiones

Choque elástico

En física, en el caso ideal, una colisión perfectamente elástica es un choque

entre dos o más cuerpos que no sufren deformaciones debido al impacto. En

una colisión perfectamente elástica se conservan tanto el momento lineal y la

energía cinética del sistema. Claro está que durante una colisión, aunque sean

de dos sólidos, no se puede considerar perfectamente elástico ya que siempre

hay una deformación. Se cumple para dos cuerpos que tienen un choque

frontal en línea recta esta ecuación es como consecuencia de la conservación

de la cantidad de movimiento.

Y como también se conserva la energía cinética tenemos

Después

Choque

antes



Estas dos ecuaciones son ecuaciones simultáneas donde las incógnitas son ,

y si encontramos la solución tendremos

Donde con esta fórmula se encuentran las velocidades después del choque de

ambos carritos.

Choque inelástico

En un choque inelástico los cuerpos presentan deformaciones luego de su

separación; esto es una consecuencia del trabajo realizado. En el caso ideal de

un choque perfectamente inelástico, los objetos en colisión permanecen

pegados entre sí. El marco de referencia del centro de masas permite

presentar una definición más precisa. En los choques inelásticos la energía

cinética no se conserva, ya que está es "usada" para deformar el cuerpo. Aquí

solo se conserva la cantidad de movimiento para un choque entre dos

partícula.

Siendo y la velocidad de los móvil antes del choque y y la

velocidad después del choque.



Centro de Masa

Es la posición geométrica de un cuerpo rígido en la cual se puede considerar

concentrada toda su masa; corresponde a la posición promedio de todas las

partículas de masa que forman el cuerpo rígido. El centro de masa de

cualquier objeto simétrico homogéneo, se ubica sobre un eje de simetría.

En forma más sencilla podemos decir que el centro de masa es el punto en el

cual se puede considerar concentrada toda la masa de un objeto o un

sistema.

Cuando se estudia el movimiento de un cuerpo rígido se puede considerar la

fuerza neta aplicada en el centro de masa y analizar el movimiento de este

último como si fuera una partícula. Cuando la fuerza es el peso, entonces se

considera aplicado en el centro de gravedad. Para casi todos los cuerpos

cerca de la superficie terrestre, el centro de masa es equivalente al centro de

gravedad, ya que la gravedad es casi constante, es decir, si la gravedad es

constante en toda la masa, el centro de gravedad coincide con el centro de

masa.

Si el objeto está en rotación, el centro de masa se mueve como si fuera una

partícula. Algunas veces el centro de masa se describe como si estuviera en

el punto de equilibrio de un objeto sólido. Por ejemplo, si usted equilibra un

metro sobre su dedo, el centro de masa de la varilla de madera está

localizado directamente sobre su dedo y toda la masa parece estar

concentrada allí.

La segunda ley de Newton se aplica a un sistema cuando se usa el centro de

masa en donde F es la fuerza externa neta, M es la masa total del sistema o



la suma de las masas de las partículas del sistema, y ACM es la aceleración

del centro de masa.

La ecuación dice que el centro de masa de un sistema de partículas se

mueve como si toda la masa del sistema estuviera concentrada allí, y

recibiera la acción de la resultante de todas las fuerzas externas.

Asimismo, si la fuerza externa neta que actúa sobre un sistema de partículas

es cero, la cantidad de movimiento lineal total del centro de masa se

conserva (permanece constante) dado que

Como para una partícula. Esto significa que el centro de masa se mueve con

una velocidad constante o permanece en reposo. Aunque se pueda visualizar

con más facilidad el centro de masa de un objeto sólido, el concepto del

centro de masa se aplica a cualquier sistema de partículas u objetos, aunque

esté en estado gaseoso.

Para un sistema de n partículas dispuestas en una dimensión, a lo largo del

eje x, la posición del centro de masa está dado por:

Esto es, XCM es la coordenada de x del centro de masa de un sistema de

partículas. En una notación corta:



En donde S i indica la suma de los productos mixi para i partículas

(i=1,2,3,…,n).

Si S mixi = 0, entonces XCM = 0, y el centro de masa del sistema

unidimensional está localizado en el origen.

Otras coordenadas del centro de masas para el sistema de partículas se

definen en forma similar. Para una distribución tridimensional de masas, la

posición del centro de masas es

PROBLEMAS RESUELTOS

1

Se mueve un ladrillo de 2 kg con una

velocidad de 6 m/s.

¿Cuál es la magnitud de la fuerza F

necesaria, si se desea detener el

ladrillo en un tiempo de

7x10-4s?

Solución: usando la formula

𝐼=𝑚 y despejando F tenemos

Dándole valores tenemos.



2

Una pelota de 0.20 kg se mueve a

una velocidad de 12 m/s choca

contra una pared y rebota a la

misma velocidad pero en sentido

contrario.

Halla el impulso total que actúa

sobre la pelota.

Solución: usando .

Dándole valores esto es:

3

La fuerza que actúa sobre un cuerpo

está dada por F= 4 t2-2t N.

Halla el impulso que esta trasmite al

cuerpo, cuando el tiempo va de 0 a 2

segundo.

Solución: usando

𝐼= , sustituyendo la fuerza

tenemos:

= 4(2)3/3 -

22

4

Dos partículas de 4 y 8 Kg se

mueven hacia la derecha con

velocidades de 3 y 2 m/s

Solución: hallamos la cantidad de

movimiento de cada partícula y luego la

sumamos.



respectivamente.

Halla la cantidad de movimientos

total del sistema.

P= P1+P2

P1 = m1 v1; P2 = m2 v2:

Dándoles valores tenemos:

P1 = m1 v1= (4kg ) (3 m/s)= 12 N s

P2 = m2 v2= (8kg ) (2 m/s)= 16 N s

P= 28 N s

5

Un cuerpo que tiene una masa de 4

Kg posee una cantidad de

movimiento de 16 N s

Halla el cambio de velocidad.

Solución: usando la formula

despejando tenemos.

= 4 m/s

Que es el cambio de velocidad

6

Un rifle que pesa 6 kg dispara una

bala de 20 gr a una velocidad de 600

m/s.

Encuentre la velocidad con la que

retrocede el rifle.

Solución: aplicando el principio de la

conservación de la cantidad de

movimiento antes y después de que

dispara el rifle tenemos:

Pi=0, Pf = m vi + MV, como la cantidad

de movimiento se conserva tenemos:

Pi= Pf

Esto es 0= m vi + MV , despejando V



Nos da V= -m vi/M dándoles valores

V= -m vi/M = (0.02kg)(600 m/s)/(6

kg)=- 2 m/s

Que sería la velocidad del retroceso del

rifle

7

Una partícula de 3 kg se mueve a lo

largo del eje x con una velocidad

inicial de 4 m/s . Se ejerce una

fuerza F = - 6 N ( es decir, en la

dirección negativa de x) durante un

período de 4 s.

Halla la velocidad final de la partícula

Solución: usando la fórmula

que también la podemos escribir como :

despejando la velocidad

final tenemos:

Dándole valores tenemos:

= (4 s)/3Kg + 4 m/s

8

Halla el impulso en el siguiente

gráfico.

Solución: el área bajo el gráficos F= f(t)

me da el impulso, por lo tanto hallamos el

área bajo el gráfico.



En este caso es un trapecio

I= A= (b+B) h /2 dándole valores

tenemos:

Observando la figura tenemos:

b= 0.8 – 0.4 = 0.4 s

B= 1.0 -0.2 = 0.8 s

h= 80 N

sustituyendo tenemos

I= (b + B) h/2 = (0.4s + 0.8s) 80N/2 =

48 N s

9

Un cuerpo 2 Kg se mueve a una

velocidad de 6 m/s sobre el actúa

un impulso dado por el siguiente

gráfico.

Halla la velocidad final

Solución: usando la fórmula

donde la podemos escribir

como

Despejando la velocidad final

Aquí el I es el área bajo el gráfico que es

A=I= b h/2 =( 0.4 s)(160 N)/2 = 32 N s

Dándole valor a la formula, tenemos:

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 t(s)

F(N)

80

40



= (32N s)/2kg + 6 m/s

10

Una bala que tienen una masa de

0.030 kg se mueve horizontal con

una velocidad vo, choca con un

trozo de madera que tiene masa de

4.0 kg que está en reposo, si

después del choque la bala queda

dentro de la madera y se mueve a

una velocidad de 8 m/s.

Halla la velocidad inicial de la bala.

Siendo m masa de la bala y M masa

de la madera.

Solución : igualando la cantidad de

movimiento antes, con la cantidad de

movimiento después tenemos:

Pi = m vo que es la cantidad de

movimiento antes como la M esta en

reposo la cantidad de movimiento es cero

La cantidad de movimiento final es

Pf = m vo + MV

Pi= Pf esto es:

m vo = m V+ MV= (m + M) V

despejando vo tenemos

= (4.030 kg/0.030 kg) 8

m/s

M vO Antes

m

0 0.2 0.4 0.6 t(s)

F(N)

160

80



11

Tres masas m1=2kg, m2=3 kg,

m3=4 kg se encuentran en la

posiciones (0,0), (2, 3), (4,1).

Respectivamente.

Halla la coordenada de centro de

masa.

Solución: usando en x tenemos:

Donde M= 9 kg dándole valores tenemos

m = 2.44 m

En y tenemos: dándole

valores

m = 1.44 m

M+m

Despué

s



12

Un cuerpo M1= 1.5 Kg aptado a un

hilo que tiene una longitud de un

metro, se deja caer desde la

horizontal y choca con otro cuerpo

M2= 2.0 kg ver figura,

Halla la velocidad de M1 después del

choque.

Solución : como M1 cae en caída libre

para hallar la velocidad con que choca con

M2, la hacemos igualando energía

mecánica entre esto dos punto esto es

despejando la velocidad

tenemos siendo h= 1m por lo

tanto ,ahora tenemos un

choque frontal para hallar usamos

aquí , nos queda

dándole valores

= -0.63 m/s

13

Dos cuerpos chocan en un choque

elástico y frontal m1=2.0 kg y m2=

3 .0 kg siendo las velocidades de

dichas masas 6 y 4 m/s

respectivamente.

Halla las velocidades de ambas

masa después del choque.

Solución: sustituyendo directamente en la

ecuaciones.

Dándole valores tenemos:

1 m

M2

M1



=

14

La figura muestra un péndulo

balístico para medir la rapidez de

una bala. Una bala de masa m, se

dispara contra un bloque de madera

de masa M que cuelga como un

péndulo, y tiene un choque

totalmente inelástico con él.

Después del impacto el bloque oscila

hasta una altura máxima. Si

m=0.005kg, M=2.5 kg, h= 3 cm.

Halla la velocidad de la bala vo.

Solución: en la primera etapa se conserva

la cantidad de movimiento que esto es:

Donde es la velocidad de la bala y V es

la velocidad de la madera y de la bala

Despejando la velocidad de la bala

tenemos:

En la segunda etapa la energía cinética

de la bala madera se convierte a energía

potencial esto es:

despejando la V tenemos:



sustituyendo en la ecuación arriba

tenemos

Dándole valores encontramos:

PROBLEMAS PROPUESTOS

1

Un cuerpo tiene una masa de 2.5 Kg

y se mueve a una velocidad de 8 m/s

.Halla la cantidad de movimiento.

M m vO

Antes m+M

h



2

Se cree que el meteoro cráter en

Arizona se formó por el impacto de

un meteorito con la tierra hace unos

20,000 años. La masa del meteorito

se calcula que fue de 5 x 1010 kg, y

su rapidez en 7.2 km/s

¿Qué rapidez impartiría a la tierra tal

meteorito en una colisión frontal?

3

Un rifle que pesa 5 kg dispara una

bala de 15 gr a una velocidad de 700

m/s.

Encuentre la velocidad con la que

retrocede el rifle.

4

Dos partículas de masas de 3 kg y 4

kg se mueven como indica la

figura

a) Halla la cantidad de movimiento

de cada partícula

b) la cantidad de movimiento total

del sistema



5

Una bala de 8gr se dispara

horizontalmente hacia el interior de

un bloque de madera de 9 kg y se

clava en él. El bloque, que puede

moverse libremente, adquiere una

velocidad de 40cm/s después del

impacto.

Determine la velocidad inicial de la

bala.

6

5 m/s

8 m/s

3 Kg

4 Kg



Una pelota de 0.20 kg choca con una

pared con una velocidad de 12 m/s

Y rebota con una velocidad de 10

m/s

Halla el cambio de la cantidad de

movimiento que tiene la pelota

7

Una masa de 16g se mueve hacia la

derecha a 30cm/s, mientras una

masa de 4g se mueve hacia la

izquierda a 50cm/s, chocan y quedan

unidas

Encuentre la velocidad después de la

10 m/s

0.20 Kg 12 m/s



colisión.

8

Una pelota de 0.25kg se mueve a

13m/s hacia la derecha cuando es

golpeada por un bate Su velocidad

final es de 19m/s hacia la izquierda.

El bate actúa sobre la pelota por

0.10s.

Determine la fuerza promedio F que

ejerce el bate sobre la pelota

9

Un cuerpo 4 Kg se mueve a una

velocidad de 10 m/s sobre el actúa

un impulso dado por el siguiente

grafico.



Halla la velocidad final

10

Localizar el centro de masas de tres

partículas de masas m1 = 2,0 kg,

m2 = 4,0 kg y m3 = 6,0 kg situadas

en los vértices de un triangulo

equilátero que tiene 1,0 m de lado.

11

Sobre un cuerpo de 2 Kg que se

mueve a una velocidad de 12 m/s

actúas una fuerza en contra del

movimiento dadas por el siguiente

grafico,

a) Halla la cantidad de movimiento

0 2 4 6 t(s)

F(N)

40

20



final,

b) la energía final de la partícula.

12

Halla el impulso según el grafico

13

0 2 4 6 8 10 12 t(s)

F(N)

60

20

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 t(s)

F(N)

100

50



Tres masas m1=3kg, m2=5 kg,

m3=4 kg se encuentran en la

posiciones (0.5,1)m, (3, 3)m,

(4,5)m. Respectivamente.

Halla la coordenada de centro de

masa.

14

Una bala que tienen una masa de

0.040 kg se mueve horizontal con

una velocidad 1200 m/s, choca con

un trozo de madera que tiene masa

de 6.0 kg que está en reposo, si

después del choque la bala queda

dentro de la madera

Halla la velocidad final del pedazo

de madera y la bala.

M vO Antes



15

La fuera que actúa sobre un cuerpo

está dada por F= (6 t2 +4t -8 ) N.

Halla el impulso que ésta le trasmite

al cuerpo cuando el tiempo va de 0 a

3 segundo.

16

Dos cuerpos chocan en un choque

elástico y frontal m1=3.0 kg y m2=

1.5 .0 kg siendo las velocidades de

dicha masa 4 m/s y -3 m/s

respectivamente.

Halla las velocidades de ambas

masa después del choque.

17

M+m

Despué

s



Un cuerpo M1= 1.5 Kg atado a un

hilo que tiene una longitud de un

metro, se deja caer desde la

horizontal y choca con otro cuerpo

M2= 3.0 kg ver figura,

Halla que altura sube M1 después

del choque.

18

Deducir la solución para choque

elástico para dos móvil que tienen

un choque frontal donde se cumple

la cantidad de movimiento y la

energía cinética.

1 m

M2

M1



Consultar cualquier libro de Física.

(recordar que son dos ecuaciones

simultáneas)



Bibliografía

Sears, F., Zemansky, M., Young, H., Freedman, R, and Ford L. (2009). Física

universitaria. Editor: Pearson Educación, Addison-Wesley. Volumen 1, Edición

12.

Serway, R and Jewett, J. (2008). Física para ciencias e ingenierías. Editor:

CENGAGE Learning. Volumen 1, 7ma. Edición.

Material Unidad VI-6

Documents

Transcript of Material Unidad VI-6