1. Mtodo Gauss Jordan 2. Introduccin Matriz inversa: Si es una matriz cuadrada, se llama matriz inversa de Ay se denota A-1 a una matriz del mismo orden que A que verifica la siguiente igualdad:A. A11A .AI(Siendo I la matriz identidad de igual orden que A) Si una matriz posee inversa se dice que es invertible encaso contrario se llama singular, debido a que no todas las matrices cuadradas pueden tener inversa. 3. Ejemplo: A. A 2 11 1.Sea A=1a b2 11 , hallar si es posible A-1 1I 1 0c d0 12a c 2b d1 0a c0 1b dMultiplico los elementos de las filas de la primer matriz por los elementos de las columnas de la segunda y sumo los productos: Para la fila 1, columna 1: 2.a+(-1).c=2.a-c Para la fila 1, columna 2: 2.b+(-1).d=2.b-d Para la fila 2, columna 1: 1.a+1.c=a+c Para la fila 2, columna 2: 1.b+a.d=b+dAhora a partir de esto puedo armar un sistema de ecuaciones que me permita hallar A-1 4. Ejemplo:2 1Sea A=2a c 2b d1 0a c0 1b d2a c 12b da c 0 2a c 1 a c 0 3a 0c 1 3a 12b dA partir de esta igualdad podemos deducir las siguientes ecuaciones: 2.a-c=1 2b-d=0 a+c=0 b+d=1b d 1a c c1/ 3 a 1/ 301 , hallar si es posible A-1 1 Armar estos sistemas de ecuaciones0b d 1 3b 0d 1 3b 1 b 1/ 3 d d1 b 1 1/ 3d2/3Y resolverlos por alguno de los mtodos vistos (suma, resta, igualacin, sustitucin, etc)En este caso fue resuelto por la suma de las ecuaciones del sistema y el posterior despeje de las incgnitas. 5. Ejemplo:Sea A=2 11 , hallar si es posible A-1 1Ahora que se el valor de mis incgnitas las ubico en la matriz y verifico que sea la matriz inversa de AA. A 2 1 2 11 1.1abcId1 1 3 . 1 1 31 3 2 31 0 0 1Para la fila 1, columna 1: 2.(1/3)+(-1).(-1/3)= 1 Para la fila 1, columna 2: 2.(1/3)+(-1).(2/3)=0 Para la fila 2, columna 1: 1.a+1.c=a+c Para la fila 2, columna 2: 1.b+a.d=b+d El resultado coincide con los valores de la identidad 6. Ejemplo:Sea A=2 11 , hallar si es posible A-1 1 lo que significa que hemos encontrado la matriz inversa de AA11 3 1 31 3 2 3 7. El mtodo recin explicado resulta sencillo con unamatriz de 2x2 pero al querer aplicarlo en matrices mas grandes se hace mas complicado el despeje de las incgnitas. es por ello que veremos el mtodo Gauss Jordan. 8. Mtodo Gauss Jordan. 1 Preparacin de la matriz:A=01122211Para facilitar el entendimiento del mtodo utilizaremos una grilla 1. En la parte izquierda de la grilla ingresamos los elementos de nuestra matriz en orden y respetando su ubicacin original111001 2 2.0 2 12 10 01 00 1Mientras que en la parte izquierda ingresamos los valores de la matriz identidad 9. Mtodo Gauss Jordan. Mecnica del procedimiento: 1. Se elige como pivote cualquier elemento no nulo de la matriz dada, y se divide por l la fila correspondiente. En este caso elijo el 1 para ahorrar cuentas, ya que debo dividir cada elemento de la fila por el numero que elijo.Por lo tanto, debido a que eleg el 1 se mantienen los valores de la fila1011001 22 12 10 01 00 1101001 10. Mtodo Gauss Jordan. Mecnica del procedimiento: 2. Los restantes elementos de la columna del pivote se transforman en cero. 1011001 22 12 10 01 00 1101000 01 11. Mtodo Gauss Jordan. Mecnica del procedimiento:3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la columna del pivote se determina por la regla del rectngulo Seleccionamos el elemento a transformar Entre el pivote y el elemento seleccionado hay un rectngulo imaginario Siendo la diagonal la lnea que va del pivote al 2 la contra diagonal seria la que va del 0 al 11011001 22 12 10 01 00 1101000201Que consiste en restarle a dicho elemento el producto contra diagonal dividido por el pivote Entonces, para determinar este elemento debemos hacer la sig. cuenta 2-(1.0)/1= 2 Y lo ubicamos en la tabla 12. Mtodo Gauss Jordan. Mecnica del procedimiento:3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la columna del pivote se determina por la regla del rectngulo Ahora seleccionamos otro elemento a transformar101100Armamos el rectngulo imaginario1 22 12 10 01 00 1Y determinamos los elementos de la contra diagonal para hacer la transformacin101000201-1-2 - [1.(-1)]/1 = -2 - (-1) = -2 + 1 = -1 Y as sucesivamente hasta completar la tabla 13. Mtodo Gauss Jordan. Mecnica del procedimiento:3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la columna del pivote se determina por la regla del rectngulo1011001 22 12 10 01 00 1101000201-1-1 0-( 1 . 1 )/1= -1 14. Mtodo Gauss Jordan. Mecnica del procedimiento:3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la columna del pivote se determina por la regla del rectngulo1011001 22 12 10 01 00 1101000201-1-11 1-( 1 . 0 )/1= 1 15. Mtodo Gauss Jordan. Mecnica del procedimiento:3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la columna del pivote se determina por la regla del rectngulo1011001 22 12 10 01 00 110100021001-1-1 0-( 1 . 0 )/1=0 16. Mtodo Gauss Jordan. Mecnica del procedimiento:3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la columna del pivote se determina por la regla del rectngulo1011001 22 12 10 01 00 11010002 -11001-1-1 -1-( 2 . 0 )/1=-1 17. Mtodo Gauss Jordan. Mecnica del procedimiento:3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la columna del pivote se determina por la regla del rectngulo1011001 22 12 10 01 00 11010002 -11001-1 3-1 1-( 2 . -1 )/1=3 18. Mtodo Gauss Jordan. Mecnica del procedimiento:3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la columna del pivote se determina por la regla del rectngulo1011001 22 12 10 01 00 11010002 -1-1 -21001-1 3 0-( 2 . 1 )/1=-2 19. Mtodo Gauss Jordan. Mecnica del procedimiento:3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la columna del pivote se determina por la regla del rectngulo1011001 22 12 10 01 00 11010002 -1-1 -21 0001-1 3 0-( 2 . 0 )/1=0 20. Mtodo Gauss Jordan. Mecnica del procedimiento:3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la columna del pivote se determina por la regla del rectngulo1011001 22 12 10 01 00 11010002 -1-1 -21 00 101-1 3 1-( 2 . 0 )/1=1 21. Mtodo Gauss Jordan. 1Los restantes elementos de la columna del pivote se transforman en cero.11001 2 Se elige otro pivote que no pertenezca ni a la fila ni a la columna del pivote anterior, y se divide por l la fila correspondiente.0 2 12 10 01 00 11010002 -1-1 3-1 -21 00 1-- 010 0100 22. Mtodo Gauss Jordan. Seleccionamos el elemento a transformarSiendo la diagonal la lnea que va del pivote al 1 la contra diagonal seria la que va del 0 al 0011001 22 12 10 01 00 11010000Entre el pivote y el elemento seleccionado hay un rectngulo imaginario12 -1-1 3-1 -21 00 11001-- 010El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la columna del pivote se determina por la regla del rectngulo Entonces, para determinar este elemento debemos hacer la sig. cuenta 1-(0.0)/1= 1 Y lo ubicamos en la tabla 23. Mtodo Gauss Jordan. 1011001 22 12 10 01 00 110100002 -1-1 3-1 -21 00 11001-- 0010Y ahora se repiten los pasos hasta que se completa la tabla.0-(0.-1)/2= 0 24. Mtodo Gauss Jordan. 1011001 22 12 10 01 00 110100002 -1-1 3-1 -21 00 11001-- 005/210Y ahora se repiten los pasos hasta que se completa la tabla.3-(-1.-1)/2= 5/2 25. Mtodo Gauss Jordan. 1011001 22 12 10 01 00 110100002 -1-1 3-1 -21 00 11001-- 005/2-5/210Y ahora se repiten los pasos hasta que se completa la tabla.-2-(-1.-1)/2= -5/2 26. Mtodo Gauss Jordan. 1011001 22 12 10 01 00 110100002 -1-1 3-1 -21 00 11001-005/2- -5/2 10Y ahora se repiten los pasos hasta que se completa la tabla.0-(-1.1)/2= 1/2 27. Mtodo Gauss Jordan. 1011001 22 12 10 01 00 110100002 -1-1 3-1 -21 00 11001-005/2- -5/2 101Y ahora se repiten los pasos hasta que se completa la tabla.1-(-1.0)/2= 1 28. Mtodo Gauss Jordan. 1011001 22 12 10 01 00 110100002 -1-1 -21 00 11001-005/21-1 30- -5/2 01Y ahora se repiten los pasos hasta que se completa la tabla.0-(0.0)/2= 0 29. Mtodo Gauss Jordan. 1011001 22 12 10 01 00 110100002 -1-1 -21 00 1100001-0005/2- -5/2 1-1 31Y ahora se repiten los pasos hasta que se completa la tabla.0-(1.0)/2= 0 30. Mtodo Gauss Jordan. 1011001 22 12 10 01 00 110100002 -1-1 -21 00 11010001-0005/2- -5/2 1-1 31Y ahora se repiten los pasos hasta que se completa la tabla.1-(-1.0)/2= 1 31. Mtodo Gauss Jordan. 1011001 22 12 10 01 00 110100002 -1-1 3-1 -21 00 110-110001-0005/2- -5/2 11Y ahora se repiten los pasos hasta que se completa la tabla.-1-(-1.0)/2= -1 32. Mtodo Gauss Jordan. 1011001 22 12 10 01 00 110100002 -1-1 3-1 -21 00 110-110001-0005/2- -5/2 11Una vez completa, repito los pasos hasta obtener una matriz identidad en la columna A y la inversa de A en la columna I Como puede verse aqu aun hace falta otro cuadrante para cumplir con la condicin 33. Mtodo Gauss Jordan. 1Reemplazo por 0 los elementos de la columna1002 12 10 01 00 11010002 -1-1 3-10 Divido los elementos de su fila por el pivote11 2 Elijo mi tercer pivote01 00 110-110001-0005/2- -5/2 11101-(-1.0)/5/2= 10 001Una vez completa, repito los pasos hasta obtener una matriz identidad Y aplico la en la columna A y regla del la inversa de A en cuadrado al la columna I resto de los Como puede verse elementos aqu aun hace falta otro cuadrante para cumplir con la condicin-11/52/5 34. Mtodo Gauss Jordan. 1Reemplazo por 0 los elementos de la columna1002 12 10 01 00 11010002 -1-1 3-10 Divido los elementos de su fila por el pivote11 2 Elijo mi tercer pivote01 00 110-110001-0005/2- -5/2 100110-(-1.0)/5/2= 00 001Y aplico la regla del cuadrado al resto de los elementos-11/52/5 35. Mtodo Gauss Jordan. 1Reemplazo por 0 los elementos de la columna1002 12 10 01 00 11010002 -1-1 3-10 Divido los elementos de su fila por el pivote11 2 Elijo mi tercer pivote01 00 110-110001-0005/2- -5/2 100100101Y aplico la regla del cuadrado al resto de los elementos11-(-1/2.0)/5/2= 1 -11/52/5 36. Mtodo Gauss Jordan. 1Reemplazo por 0 los elementos de la columna1002 12 10 01 00 11010002 -1-1 3-10 Divido los elementos de su fila por el pivote11 2 Elijo mi tercer pivote01 00 110-110001-0005/2- -5/2 1000100011Y aplico la regla del cuadrado al resto de los elementos11-(-1/2.0)/5/2= 1 -11/52/5 37. Mtodo Gauss Jordan. 1Reemplazo por 0 los elementos de la columna1002 12 10 01 00 11010002 -1-1 3-10 Divido los elementos de su fila por el pivote11 2 Elijo mi tercer pivote01 00 110-110001-0005/2- -5/2 100010-1001-111/512/5Y aplico la regla del cuadrado al resto de los elementos-1/2-(-1/2.-5/2)/5/2= -1 38. Mtodo Gauss Jordan. 1Reemplazo por 0 los elementos de la columna1002 12 10 01 00 11010002 -1-1 3-10 Divido los elementos de su fila por el pivote11 2 Elijo mi tercer pivote01 00 110-110001-0005/2- -5/2 100010-13/5001-11/5112/5Y aplico la regla del cuadrado al resto de los elementos1/2-(-1/2.1/2)/5/2= 3/5 39. Mtodo Gauss Jordan. 1Reemplazo por 0 los elementos de la columna1002 12 10 01 00 11010002 -1-1 3-10 Divido los elementos de su fila por el pivote11 2 Elijo mi tercer pivote01 00 110-110001-0005/2- -5/2 100010-13/51/5001-11/52/511Y aplico la regla del cuadrado al resto de los elementos0-(-1/2.1)/5/2= 1/5 40. Mtodo Gauss Jordan. 1Reemplazo por 0 los elementos de la columna1002 12 10 01 00 11010002 -1-1 3-10 Divido los elementos de su fila por el pivote11 2 Elijo mi tercer pivote01 00 110-110001-0005/2- -5/2 1000010-13/51/5001-11/52/511Y aplico la regla del cuadrado al resto de los elementos1-(-1.-5/2)/5/2= 0 41. Mtodo Gauss Jordan. 1Reemplazo por 0 los elementos de la columna1002 12 10 01 00 11010002 -1-1 3-10 Divido los elementos de su fila por el pivote11 2 Elijo mi tercer pivote01 00 110-110001-0005/2- -5/2 10001/5010-13/51/5001-11/52/511Y aplico la regla del cuadrado al resto de los elementos0-(1/2.-1)/5/2= 1/5 42. Mtodo Gauss Jordan. 1Reemplazo por 0 los elementos de la columna1002 12 10 01 00 11010002 -1-1 3-10 Divido los elementos de su fila por el pivote11 2 Elijo mi tercer pivote01 00 110-110001-0005/2- -5/2 10001/52/5010-13/51/5001-11/52/511Y aplico la regla del cuadrado al resto de los elementos0-(-1.1)/5/2= 2/5 43. Mtodo Gauss Jordan. 1011001 22 12 10 01 00 1101000-1 3-102 -11 00 110-110001-0005/2- -5/2 10001001101/52/50-13/51/51-11/52/5 Esta seria nuestra matriz inversa 44. Mtodo Gauss Jordan. Entonces, resulta que la inversa de A es:01/ 5 2 / 51 3 / 5 1/ 5 1 1/ 5 2 / 5