MEC`NICA DEL - UCLM...Presentación La MecÆnica de los Medios Continuos es una materia clave de...

MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO

II

Nomenclature

III

EDUARDO WALTER VIEIRA CHAVES

Mecanica del Medio Continuo(Conceptos Basicos)

´ ´


IV

Presentación

La Mecánica de los Medios Continuos es una materia clave de varias licenciaturas basadas en la ciencia física, tales como: Ingeniería de Caminos, Ingeniería Industrial, Meteorología, Magnetismo, Oceanografía, Aerodinámica, Hidrodinámica, Ingeniería Marítima, etc.

Este libro surgió de los apuntes de la asignatura de introducción a la Mecánica del Medio Continuo de la carrera de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de la Universidad de Castilla-La Mancha, y está pensado para alumnos que están iniciando una carrera universitaria basada en la ciencia física, y puede ser de gran utilidad para cursos de post-grado. Con el objetivo de aportar mayor claridad para los alumnos, este libro presenta un detalle minucioso a la hora de las demostraciones de las expresiones. En el momento de redactar el libro se ha tenido una gran preocupación por intentar unificar la nomenclatura existente, y con este propósito se han consultado multitud de artículos y libros relacionados con el tema. Con respecto a la notación, el desarrollo de las expresiones y ecuaciones se presentan en notaciones tensorial, indicial y en la notación de Voigt. Otro aspecto a destacar es que el libro está autocontenido, de forma que los conceptos empleados son definidos en el propio texto sin necesidad de recurrir a otros textos.

Finalmente, querría expresar mi gratitud a: Houzeaux (Guillaume), Vázquez (Mariano), Pulido (Loli), Benítez (José María), Casati (María Jesus), Vélez (Eduardo), Solares (Cristina), Olivares (Miguel Ángel), Escobedo (Fernando), Simarro (Gonzalo), Sanz (Ana), Gallego (Inmaculada) por la ayuda destinada a la revisión de esta primera edición, sin la cual este libro jamás hubiera salido a la luz.

Me gustaría agradecer también a dos profesores que marcaron mi carrera docente e investigadora: Prof. Xavier Oliver y Prof. Wilson Venturini.

Eduardo W. V. Chaves

Ciudad Real, 15 de octubre de 2007.

Presentacion ´


VI

Contenido

PRESENTACIÓN ................................................................................................................................................V CONTENIDO...................................................................................................................................................VII NOMENCLATURA ..........................................................................................................................................XV ABREVIATURAS............................................................................................................................................ XIX OPERADORES.................................................................................................................................................XX UNIDADES .................................................................................................................................................... XXI INTRODUCCIÓN....................................................................................................................... 1

1 LA MECÁNICA........................................................................................................................................... 1 2 ¿QUÉ ES LA MECÁNICA DEL CONTINUO?........................................................................................... 1 2.1 Hipótesis de la Mecánica del Continuo ............................................................................................ 1 2.2 El Medio Continuo.............................................................................................................................. 2 3 ESCALAS DE ESTUDIO DE LOS MATERIALES...................................................................................... 3 3.1 Escala de Estudio de la Mecánica del Continuo .............................................................................3 4 PROBLEMAS DE VALOR DE CONTORNO INICIAL .............................................................................. 6 4.1 Solución del Problema ........................................................................................................................ 6 4.2 Simplificaciones del Problema ........................................................................................................... 7

4.2.1 Simplificación desde del Punto de vista de la Cinemática .................................................... 7 4.2.2 Simplificación desde del Punto de vista del Material ............................................................ 7 4.2.3 Simplificación desde del Punto de vista de la Dimensión.................................................... 9

5 PROBLEMAS DE VALOR DE CONTORNO INICIAL .............................................................................. 9 1 TENSORES ............................................................................................................................11

1.1 INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................................11 1.2 VECTORES ............................................................................................................................................12 1.3 SISTEMAS DE COORDENADAS ..........................................................................................................18

1.3.1 Sistema de Coordenadas Rectangulares ................................................................................18 1.3.2 Representación de los Vectores en el Sistema de Coordenadas Cartesianas...................19 1.3.3 Convenio de Suma....................................................................................................................22

1.4 NOTACIÓN INDICIAL .........................................................................................................................23 1.4.1.1 Delta de Kronecker ...............................................................................................................26 1.4.1.2 Símbolo de Permutación ......................................................................................................27

1.5 TENSORES DE ORDEN SUPERIOR....................................................................................................32 1.5.1 Diádicas ......................................................................................................................................32 1.5.2 Operaciones con Tensores ......................................................................................................33 1.5.3 Propiedades de los Tensores...................................................................................................37

1.5.3.1 Transpuesta ....................................................................................................................37 1.5.3.2 Simetría y Antisimetría .................................................................................................38 1.5.3.3 Adjunta de un Tensor ..................................................................................................43 1.5.3.4 Traza de un Tensor.......................................................................................................43 1.5.3.5 Tensores Particulares....................................................................................................45 1.5.3.6 Determinante de un Tensor ........................................................................................47

Contenido


VIII

1.5.3.7 Inversa de un Tensor ................................................................................................... 49 1.5.3.8 Derivada Temporal de Tensores................................................................................ 50

1.5.4 Ley de Transformación de Tensores ..................................................................................... 51 1.5.4.1 Transformada de Coordenadas en 2 Dimensiones ................................................. 57 1.5.4.2 Tensores Ortogonales.................................................................................................. 61

1.5.5 Autovalores y Autovectores de un Tensor........................................................................... 63 1.5.5.1 Ortogonalidad de los Autovalores ............................................................................. 64 1.5.5.2 Invariantes ..................................................................................................................... 65 1.5.5.3 Solución de Ecuación Cúbica ..................................................................................... 66 1.5.5.4 Tensor Definido Positivo............................................................................................ 69 1.5.5.5 Representación Espectral ............................................................................................ 70

1.5.6 Teorema de Cayley-Hamilton................................................................................................. 72 1.5.7 Elipsoide del Tensor ................................................................................................................ 74 1.5.8 Tensor Isótropo y Anisótropo ............................................................................................... 75 1.5.9 Tensores Coaxiales ................................................................................................................... 77 1.5.10 Series de Tensores .................................................................................................................. 77 1.5.11 Descomposición Polar........................................................................................................... 78 1.5.12 Tensor Esférico y Desviador................................................................................................ 78

1.5.12.1 Primer Invariante del Tensor Desviador ................................................................ 79 1.5.12.2 Segundo Invariante del Tensor Desviador............................................................. 79 1.5.12.3 Tercer Invariante del Tensor Desviador................................................................. 81

1.6 FUNCIÓN DE TENSORES ................................................................................................................... 82 1.6.1 Función Isótropa de Tensores ............................................................................................... 82 1.6.2 Derivada Parcial de Función de Tensores ............................................................................ 84 1.6.3 Derivada Parcial de los Invariantes........................................................................................ 87 1.6.4 Casos Particulares de Derivada de Funciones ..................................................................... 88

1.7 NOTACIÓN DE VOIGT....................................................................................................................... 91 1.7.1 Tensores Identidad en Notación de Voigt ........................................................................... 92 1.7.2 Producto Escalar en Notación de Voigt ............................................................................... 92 1.7.3 Leyes de Transformación en Notación de Voigt ................................................................ 93

1.8 CAMPO DE TENSORES ....................................................................................................................... 94 1.8.1 Campo Escalar .......................................................................................................................... 95 1.8.2 Gradiente ................................................................................................................................... 95 1.8.3 Divergencia................................................................................................................................ 98 1.8.4 Rotacional ................................................................................................................................ 100

1.9 TEOREMA CON INTEGRALES ......................................................................................................... 103 1.9.1 Integración por Partes ........................................................................................................... 103 1.9.2 Teorema de la Divergencia ................................................................................................... 103 1.9.3 Identidades de Green............................................................................................................. 104

1.10 COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS ............................................................................. 105 1.10.1 Sistema de Coordenadas Cilíndricas.................................................................................. 105 1.10.2 Sistema de Coordenadas Esféricas .................................................................................... 109

2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO .......................................................................................... 113

2.1 INTRODUCCIÓN................................................................................................................................ 113 2.2 EL MEDIO CONTINUO .................................................................................................................... 113

2.2.1 Densidad de Masa .................................................................................................................. 114 2.2.2 Tipos de Movimientos........................................................................................................... 114

2.2.2.1 Descripción de un Movimiento de Cuerpo Rígido............................................... 114 2.2.3 Tipos de Configuraciones ..................................................................................................... 116

2.3 DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO ................................................................................................. 117 2.3.1 Sistema de Referencia ............................................................................................................ 117 2.3.2 Coordenadas Materiales y Espaciales .................................................................................. 118 2.3.3 Vector Desplazamiento ......................................................................................................... 119 2.3.4 Descripción Lagrangiana y Euleriana .................................................................................. 120

2.3.4.1 Descripción Material o Lagrangiana ........................................................................ 120

CONTENIDO

IX

2.3.4.2 Descripción Espacial o Euleriana.............................................................................121 2.3.4.3 Variables Lagrangianas y Eulerianas ........................................................................122

2.4 DERIVADA MATERIAL .....................................................................................................................125 2.5 VELOCIDAD Y ACELERACIÓN........................................................................................................127

2.5.1 Velocidad..................................................................................................................................127 2.5.2 Aceleración...............................................................................................................................127 2.5.3 Movimiento Estacionario. Líneas de Corriente .................................................................128

2.6 GRADIENTE DE DEFORMACIÓN ...................................................................................................136 2.6.1 Introducción ............................................................................................................................136 2.6.2 Estiramiento y Alargamiento Unitario ................................................................................136 2.6.3 Tensores Gradiente de Deformación Material y Espacial................................................137 2.6.4 Tensor Gradiente de los Desplazamientos (Material y Espacial)....................................140 2.6.5 Derivada Material del Tensor Gradiente de Deformación. Derivada Material del

Jacobiano.................................................................................................................................144 2.6.5.1 Derivada Material de F . Tensor Gradiente de Velocidad Espacial ..................144 2.6.5.2 Derivada Material de 1−F .........................................................................................146 2.6.5.3 Derivada Material del Jacobiano...............................................................................146

2.7 TENSORES DE DEFORMACIÓN FINITA.........................................................................................149 2.7.1 Tensor Material de Deformación .........................................................................................150 2.7.2 Tensor Espacial de Deformación (Tensor de Deformación de Almansi) .....................156 2.7.3 Tasas de los Tensores de Deformación ..............................................................................158

2.7.3.1 Tensor Tasa de Deformación Green-Lagrange .....................................................158 2.7.3.2 Tasa del Tensor Derecho de Deformación de Cauchy-Green............................158 2.7.3.3 Tasa del Tensor Izquierdo de Deformación de Cauchy-Green ..........................158 2.7.3.4 Relación entre el Tensor Tasa de Deformación Lagrangiana y el Tensor

Tasa de Deformación ...................................................................................................159 2.7.3.5 Tensor Tasa de Deformación de Almansi ..............................................................160 2.7.3.6 Relación entre la Tasa del tensor de deformación de Almansi y el Tensor

Tasa de Deformación ...................................................................................................160 2.7.4 Deformación Homogénea. Movimiento de Cuerpo Rígido ............................................162

2.7.4.1 Deformación Homogénea.........................................................................................162 2.7.4.2 Movimiento de Cuerpo Rígido .................................................................................162

2.7.5 Variación de Ángulo. Interpretación Física del Tensor de Deformación de Green-Lagrange ..................................................................................................................................164

2.7.5.1 Variación de Ángulo...................................................................................................164 2.7.5.2 Interpretación Física del Tensor de Deformación de Green-Lagrange .............165 2.7.5.3 Relaciones entre Tensores de Deformación, Estiramiento y Alargamiento

Unitario...........................................................................................................................167 2.8 DESCOMPOSICIÓN POLAR...............................................................................................................169

2.8.1 Representación Espectral de los Tensores de Deformación ...........................................172 2.8.2 Tasa de Deformación Lagrangiana ......................................................................................175 2.8.3 Tasa de Deformación Euleriana ...........................................................................................176

2.9 UNIFICACIÓN DE LOS TENSORES DE DEFORMACIÓN ..............................................................177 2.10 DEFORMACIÓN DE ÁREA Y DE VOLUMEN................................................................................179

2.10.1 Deformación del Diferencial de Área................................................................................179 2.10.1.1 Derivada Material del Diferencial de Área............................................................182

2.10.2 Deformación del Diferencial de Volumen .......................................................................182 2.10.2.1 Derivada Material del Diferencial del Volumen ..................................................183

2.11 SUPERFICIE MATERIAL..................................................................................................................184 2.12 PARTICULARIDADES Y PROPIEDADES DEL TENSOR DE DEFORMACIÓN............................185

2.12.1 Deformación Isocórica, Incompresibilidad......................................................................185 2.12.2 Deformación Volumétrica...................................................................................................186 2.12.3 Descomposición del Tensor de Deformación (Parte Isocórica y Volumétrica).........186

2.12.3.1 Invariantes Principales .............................................................................................188 2.13 DEFORMACIÓN INFINITESIMAL ..................................................................................................189

2.13.1 Tensores de Deformación y Spin Infinitesimales............................................................190


X

2.13.2 Deformaciones Principales ................................................................................................. 192 2.13.3 Tensores de Deformación Esférico y Desviador ............................................................ 192 2.13.4 Deformación Volumétrica .................................................................................................. 192 2.13.5 Tensor de Deformación Infinitesimal en Coordenadas Cilíndricas y Esféricas......... 193

2.13.5.1 Coordenadas Cilíndricas.......................................................................................... 193 2.13.5.2 Coordenadas Esféricas ............................................................................................ 193

2.13.6 Estiramiento. Alargamiento Unitario ................................................................................ 195 2.13.7 Variación de Ángulo entre dos Segmentos Diferenciales en Deformación

Infinitesimal............................................................................................................................ 195 2.13.8 Interpretación Física de las Deformaciones Infinitesimales.......................................... 196 2.13.9 Deformación Plana .............................................................................................................. 197

2.14 MEDIDAS DE DEFORMACIÓN...................................................................................................... 198 2.14.1 Deformación de Cauchy o Ingenieril o Deformación Lineal........................................ 198 2.14.2 Deformación Logarítmica o Deformación de Hencky .................................................. 198 2.14.3 Deformación de Green-Lagrange...................................................................................... 199 2.14.4 Deformación de Almansi .................................................................................................... 199 2.14.5 Deformación de Swaiger ..................................................................................................... 199 2.14.6 Deformación de Kuhn ........................................................................................................ 199

3 TENSIONES........................................................................................................................ 201

3.1 INTRODUCCIÓN................................................................................................................................ 201 3.2 FUERZAS............................................................................................................................................. 201

3.2.1 Fuerzas de Superficie ............................................................................................................. 202 3.2.2 Fuerzas Gravitatorias ............................................................................................................. 202

3.3 TENSOR DE TENSIONES.................................................................................................................. 204 3.3.1 Tensor de Tensiones de Cauchy .......................................................................................... 204

3.3.1.1 Vector Tensión ........................................................................................................... 204 3.3.1.2 Postulado Fundamental de Cauchy ......................................................................... 205

3.3.2 Otras Medidas de Tensión .................................................................................................... 209 3.3.2.1 Primer Tensor de Tensiones de Piola-Kirchhoff .................................................. 209 3.3.2.2 Tensor de Tensiones de Kirchhoff.......................................................................... 210 3.3.2.3 Segundo Tensor de Tensiones de Piola-Kirchhoff............................................... 211 3.3.2.4 Tensor de Tensiones de Biot .................................................................................... 211 3.3.2.5 Tensor de Tensión de Mandel.................................................................................. 212

3.4 RELACIONES ENTRE EL VECTOR TENSIÓN Y EL TENSOR DE TENSIONES........................... 214 3.4.1 Vector Tensión Normal y Tangencial ................................................................................. 216

3.4.1.1 Convenio de Signos....................................................................................................218 3.5 ECUACIÓN DE EQUILIBRIO............................................................................................................ 219

3.5.1 Ecuación de Equilibrio en Notación de Voigt .................................................................. 220 3.5.2 Ecuación de Equilibrio en la Descripción Material .......................................................... 221

3.6 SIMETRÍA DEL TENSOR DE TENSIONES DE CAUCHY................................................................ 222 3.7 LEY DE TRANSFORMACIÓN............................................................................................................ 226

3.7.1 Ley de Transformación en la Notación de Voigt .............................................................. 227 3.8 TENSIONES Y DIRECCIONES PRINCIPALES ................................................................................. 228

3.8.1 Representación Espectral ...................................................................................................... 230 3.8.1.1 Descomposición Espectral en Notación de Voigt................................................ 231

3.8.2 Elipsoide de Tensiones de Lamé ......................................................................................... 234 3.9 MÁXIMA TENSIÓN DE CORTE ....................................................................................................... 235 3.10 CÍRCULO DE MOHR........................................................................................................................ 240

3.10.1 Círculo de Mohr en Tensiones...........................................................................................240 3.10.1.1 Obtención Gráfica del Vector Tensión en el Círculo de Mohr ........................ 243

3.10.2 Círculo de Mohr en Deformaciones.................................................................................. 246 3.11 TENSIONES EN COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS................................................. 247

3.11.1 Coordenadas Cilíndricas...................................................................................................... 247 3.11.1.1 Ecuación de Equilibrio en Coordenadas Cilíndricas .......................................... 248

3.11.2 Coordenadas Esféricas ........................................................................................................ 252

CONTENIDO

XI

3.11.2.1 Ecuación de Equilibrio en Coordenadas Esféricas .............................................253 3.12 PARTICULARIDADES DEL TENSOR DE TENSIONES .................................................................257

3.12.1 Tensión y Presión Media. Estado Hidrostático ...............................................................257 3.12.2 Tensor de Tensiones Esférico y Desviador......................................................................258

3.12.2.1 Tensor Desviador en Notación de Voigt..............................................................259 3.12.2.2 Invariantes del Tensor Desviador ..........................................................................259

3.12.3 Parte Desviadora del Primer y Segundo Tensor de Piola-Kirchhoff ...........................261 3.12.4 Tensiones Octaédricas .........................................................................................................262

3.12.4.1 Espacio de Tensión de Haigh-Westergaard..........................................................264 3.13 ESTADO TENSIONAL EN DOS DIMENSIONES...........................................................................269

3.13.1 Tensión Plana ........................................................................................................................269 3.13.2 Ecuaciones de Equilibrio en 2D.........................................................................................270

3.13.2.1 Ecuaciones de Equilibrio en Coordenadas Polares.............................................270 3.13.3 Ley de Transformación en 2D............................................................................................271 3.13.4 Tensiones y Direcciones Principales en 2D .....................................................................275 3.13.5 Círculo de Mohr en 2D........................................................................................................280

4 LEYES FUNDAMENTALES DE LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO ............................. 285

4.1 INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................285 4.2 DENSIDAD..........................................................................................................................................286

4.2.1 Densidad de Masa...................................................................................................................286 4.3 FLUJO ..................................................................................................................................................287 4.4 LEY DE CONSERVACIÓN .................................................................................................................287

4.4.1 Interpretación Física del teorema de la Divergencia .........................................................288 4.5 TEOREMA DEL TRANSPORTE DE REYNOLDS..............................................................................288

4.5.1 Teorema del Transporte de Reynolds para un Volumen con Discontinuidades..........290 4.6 PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA MASA. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD .....................292

4.6.1 Ecuación de Continuidad en la Descripción Material.......................................................295 4.6.2 Ecuación de Continuidad para Volumen con Discontinuidades ....................................297 4.6.3 Medio Incompresible .............................................................................................................297

4.7 PRINCIPIO DE LA CONSERVACIÓN DEL MOMENTO LINEAL. ECUACIONES DE MOVIMIENTO..................................................................................................................................299

4.7.1 Cantidad de Movimiento Lineal ...........................................................................................299 4.7.2 Balance de la Cantidad de Movimiento Lineal ...................................................................300 4.7.3 Ecuación de Movimiento para Volumen con Discontinuidades ....................................302

4.8 PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR. SIMETRÍA DEL TENSOR DE TENSIONES DE CAUCHY.........................................................................................................304

4.8.1 Cantidad de Momento Angular ............................................................................................304 4.8.2 Principio del Balance del Momento Angular......................................................................305

4.9 PRINCIPIO DE LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA. ECUACIÓN DE ENERGÍA...................308 4.9.1 Energía Cinética. Potencia Mecánica. Potencia Tensional ...............................................308 4.9.2 Teorema de las Fuerzas Vivas...............................................................................................311 4.9.3 Energía Interna........................................................................................................................312 4.9.4 Potencia Calorífica Entrante .................................................................................................312 4.9.5 Ecuación de la Energía. Primer Principio de la Termodinámica ....................................313

4.9.5.1 Ecuación de Energía en la Descripción Material ...................................................315 4.9.6 Ecuación de Energía para Volumen con Discontinuidades ............................................316

4.10 PRINCIPIO DE LA IRREVERSIBILIDAD. DESIGUALDAD DE ENTROPÍA.................................319 4.10.1 Segundo Principio de la Termodinámica ..........................................................................319 4.10.2 Desigualdad de Clausius-Duhem .......................................................................................320 4.10.3 Desigualdad de Clausius-Planck .........................................................................................321 4.10.4 Forma Alternativa de la Desigualdad de Clausius-Duhem ............................................322 4.10.5 Forma Alternativa de la Desigualdad de Clausius-Planck ..............................................323 4.10.6 Procesos Reversibles ............................................................................................................324 4.10.7 Desigualdad de Entropía para Volumen con Discontinuidad.......................................324


XII

5 INTRODUCCIÓN A LAS LEYES CONSTITUTIVAS .................................................................327 5.1 INTRODUCCIÓN................................................................................................................................ 327

5.1.1 Consideraciones Termodinámicas ....................................................................................... 329 5.2 ECUACIONES CONSTITUTIVAS....................................................................................................... 330

5.2.1 Principios Constitutivos ........................................................................................................ 331 5.2.1.1 El Principio del Determinismo de Tensión............................................................ 331 5.2.1.2 El Principio de la Acción Local................................................................................ 331 5.2.1.3 El Principio de la Memoria Limitada ...................................................................... 331 5.2.1.4 El Principio de la Objetividad .................................................................................. 331

5.2.2 Caracterización de las Ecuaciones Constitutivas ............................................................... 332 5.2.2.1 Teoría Termodinámica con Variables Internas ..................................................... 334

5.3 OBJETIVIDAD DE TENSORES ......................................................................................................... 335 5.3.1 Tensor Gradiente de Deformación ................................................................................. 336 5.3.2 Tensores de Deformación..................................................................................................... 338 5.3.3 Tensores de Tensiones .......................................................................................................... 340 5.3.4 Objetividad de Tasas de Tensores ....................................................................................... 340

5.3.4.1 Tasa de Oldroyd ......................................................................................................... 341 5.3.4.2 Tasa de Cotter-Rivlin .................................................................................................342 5.3.4.3 Tasa de Jaumann-Zaremba ....................................................................................... 342 5.3.4.4 Tasa de Green-Naghdi o Tasa Polar ....................................................................... 343 5.3.4.5 Tasas de Tensores de Tensiones .............................................................................. 344

6 PROBLEMAS DE FLUJO.......................................................................................................349

6.1 INTRODUCCIÓN................................................................................................................................ 349 6.2 TRANSFERENCIA DE CALOR........................................................................................................... 349

6.2.1 Conducción Térmica.............................................................................................................. 349 6.2.2 Convección Térmica .............................................................................................................. 353 6.2.3 Radiación.................................................................................................................................. 353 6.2.4 Ecuación del Flujo de Calor.................................................................................................. 354

6.2.4.1 Coordenadas Cilíndricas y Esféricas........................................................................ 356 6.2.4.2 Condiciones de Contorno e Iniciales ...................................................................... 356

6.3 ECUACIÓN CONVECCIÓN-DIFUSIÓN........................................................................................... 357 6.4 FLUJO DE FLUIDO EN MEDIO POROSO (FILTRACIÓN)............................................................. 359 6.5 GENERALIZACIÓN DEL PROBLEMA DE FLUJO........................................................................... 361

7 ELASTICIDAD LINEAL........................................................................................................363

7.1 INTRODUCCIÓN................................................................................................................................ 363 7.2 TENSORES DE DEFORMACIÓN LINEAL ....................................................................................... 364

7.2.1 Interpretación Física de la Deformación Ingenieril .......................................................... 365 7.3 LEY DE HOOKE GENERALIZADA ................................................................................................. 367

7.3.1 Ley de Hooke Generalizada en la Notación de Voigt ...................................................... 368 7.3.2 Simetría del Tensor Constitutivo Elástico.......................................................................... 369

7.3.2.1 Ecuación de Energía .................................................................................................. 369 7.3.2.2 Función Densidad de Energía de Deformación.................................................... 370

7.3.3 Ley de Transformación para la Ley de Hooke Generalizada .......................................... 372 7.3.3.1 Matriz de Transformación de los Tensores de Tensión y de Deformación ..... 372 7.3.3.2 Matriz de Transformación del Tensor de Propiedades Elásticas........................ 374

7.4 TENSOR CONSTITUTIVO ELÁSTICO.............................................................................................. 374 7.4.1 Anisotropía e Isotropía.......................................................................................................... 374 7.4.2 Tipos de Simetría del Tensor Constitutivo Elástico ......................................................... 375

7.4.2.1 Simetría Triclínica ....................................................................................................... 375 7.4.2.2 Simetría Monoclínica (Un Plano de Simetría)........................................................ 376 7.4.2.3 Simetría Ortótropa (Dos Planos de Simetría) ........................................................ 377 7.4.2.4 Simetría Tetragonal .................................................................................................... 378 7.4.2.5 Simetría Transversalmente Ortótropa (Simetría Hexagonal) .............................. 380

CONTENIDO

XIII

7.4.2.6 Simetría Cúbica............................................................................................................382 7.4.2.7 Simetría en Todas Direcciones (Isotropía) .............................................................383

7.5 MATERIAL ISÓTROPO.......................................................................................................................386 7.5.1 Ley Constitutiva ......................................................................................................................386 7.5.2 Determinación de las Constantes Elásticas ........................................................................386

7.5.2.1 Módulo de Elasticidad Longitudinal. Coeficiente de Poisson .............................386 7.5.2.2 Módulo de Elasticidad Transversal. Módulo de Deformación Volumétrica. ...389

7.5.3 Tensor Acústico Elástico.......................................................................................................393 7.6 ENERGÍA DE DEFORMACIÓN.........................................................................................................395

7.6.1.1 Descomposición de la Energía de Deformación............................................................397 7.7 LEY CONSTITUTIVA PARA MATERIAL ORTÓTROPO ..................................................................401 7.8 MATERIAL TRANSVERSALMENTE ORTOGONAL.........................................................................402 7.9 TEOREMA DE LA SUPERPOSICIÓN. PRINCIPIO DE SAINT-VENANT........................................403 7.10 DEFORMACIÓN Y TENSIÓN INICIALES ......................................................................................404

7.10.1 Deformación Térmica..........................................................................................................404 7.10.2 Presión de Poro.....................................................................................................................407

7.11 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ELÁSTICO LINEAL ...........................................................408 7.11.1 Ecuaciones de Gobierno .....................................................................................................408 7.11.2 Condiciones de Contorno e Iniciales.................................................................................409

7.12 ECUACIONES DE NAVIER .............................................................................................................409 7.13 ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL ...................................................................................................412

7.13.1 Estado de Tensión Plana .....................................................................................................412 7.13.1.1 Deformación Inicial..................................................................................................414

7.13.2 Estado de Deformación Plana............................................................................................415 7.13.2.1 Deformación Térmica..............................................................................................417

7.13.3 Sólidos de Revolución..........................................................................................................420 7.14 APLICACIONES DE LA ELASTICIDAD LINEAL A ELEMENTOS ESTRUCTURALES ................423

7.14.1 Elementos Estructurales Unidimensionales .....................................................................423 7.14.1.1 Esfuerzo Normal y Momento Flector...................................................................424 7.14.1.2 Energía de Deformación .........................................................................................427

7.14.2 Placas a Flexión.....................................................................................................................429 7.14.2.1 Hipótesis y Relaciones Básicas de la Teoría de Kirchhoff .................................429 7.14.2.2 Campo de Desplazamientos....................................................................................430 7.14.2.3 Campo de Deformación ..........................................................................................431 7.14.2.4 Campo de Tensión ...................................................................................................431 7.14.2.5 Esfuerzos de Placas ..................................................................................................433 7.14.2.6 Ecuación Diferencial de Placas...............................................................................434 7.14.2.7 Esfuerzo Cortante Equivalente ..............................................................................435 7.14.2.8 Condición de Contorno...........................................................................................437 7.14.2.9 Esfuerzos según un Sistema Genérico de Coordenadas ....................................438 7.14.2.10 Ecuaciones de Placas en Coordenadas Polares..................................................441

7.14.3 Torsión de Saint-Venant......................................................................................................446 BIBLIOGRAFÍA...................................................................................................................... 449 ÍNDICE TEMÁTICO .............................................................................................................. 455


XIV

Nomenclatura

),( tXArr

Aceleración (configuración de referencia) A Matriz de transformación de base

),( txa rr Aceleración (configuración actual) 0B Medio continuo en la configuración de referencia en 0=t B Medio continuo en la configuración actual, en t B∂ Contorno de B

),( txrr

b Fuerzas másicas (por unidad de masa) b Tensor izquierdo de deformación de Cauchy-Green, tensor de deformación

de Finger B Tensor de deformación de Piola B Entropía creada interiormente b Manantial de entropía local por unidad de masa y por unidad de tiempo eC Tensor constitutivo elástico

[ ]C Matriz elástica (notación de Voigt) inC Tensor constitutivo inelástico c Tensor de deformación de Cauchy vC Calor específico a volumen constante pC Calor específico a presión constante

c Cohesión cc Concentración C Tensor derecho de deformación de Cauchy-Green VD Deformación volumétrica D Tensor velocidad de deformación o tensor tasa de deformación o tensor tasa

de deformación Euleriana o tensor estiramiento Ard Diferencial de área en la configuración de referencia ard Diferencial de área en la configuración actual dV Diferencial de volumen E Tensor material de deformación Green-Lagrange, tensor de deformación de

Green, tensor de deformación Green-St. Venant e Tensor de deformación finita Euleriana o tensor de deformación de AlmansiE Módulo de elasticidad longitudinal o módulo de Young ie Base Cartesiana en notación simbólica kji ,, Base Cartesiana

F Gradiente de deformación G Módulo de elasticidad transversal

Notacion ´


XVI

H Tensor de deformación de Biot H Entropía J Jacobiano

),( tXr

J Tensor gradiente espacial de los desplazamientos ),( txrj Tensor gradiente material de los desplazamientos

K Tensor de conductividad térmica K Energía cinética Lr

Cantidad de movimiento lineal l Tensor gradiente espacial de velocidad m Masa total M Tensor de tensiones de Mandel n Vector unitario normal a una superficie (configuración actual) N Vector unitario normal a una superficie (configuración de referencia)

ONr

Momento angular pr

Fuerza por unidad de volumen P Primer tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff, tensor de tensiones

nominales o tensor de tensiones Lagrangiano p Presión media p Presión termodinámica

)(tP Potencia mecánica ),( txr

rq Flujo de calor o vector del flujo no convectivo Q Tensor ortogonal Q Potencia calorífica

),( tr xr Función escalar que describe en forma espacial el calor generado por las fuentes internas por unidad de masa

R Tensor ortogonal de la descomposición polar S Segundo tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff sr Flujo de entropía T Tensor de tensiones de Biot

),,()( nt n txrr

Vector tracción (configuración de referencia) )(

0Nt

r Pseudo vector tensión (configuración de referencia) ),( tT xr Temperatura

t Tiempo 00 =≡ tt Tiempo inicial

U& Potencia tensional u Energía interna específica o densidad de energía interna

),( txrru Vector desplazamiento U Tensor derecho de estiramiento, o tensor de estiramiento Lagrangiano, o

tensor de estiramiento material V Tensor izquierdo de estiramiento, o tensor de estiramiento Euleriano, o

tensor de estiramiento espacial ),( tXV

rr Velocidad (configuración de referencia)

),( txvrr Velocidad (configuración actual)

W Tensor spin o tensor velocidad de rotación Xr

Vector posición coordenada material xr Vector posición coordenada espacial

NOTACIÓN

XVII

α Coeficiente de transferencia térmica de calor convectivo por unidad de área ijδ Delta de Kronecker

321 ,, εεε Deformaciones principales ε Alargamiento unitario ijk Símbolo de permutación, componentes del tensor Levi-Civita Vε Deformación volumétrica (para pequeñas deformaciones) ε Tensor de deformación infinitesimal η Densidad de entropía por unidad de masa y por unidad de tiempo κ Módulo de deformación volumétrico κ Difusividad térmica λ Estiramiento µ,λ Constante de Lamé

λ Multiplicador de Lagrange ν Coeficiente de Poisson ρ Densidad Sρ Densidad de la solución fρ Densidad del fluido

),(0 txr

ρ Densidad en la configuración de referencia ),( txrρ Densidad en la configuración actual

σ Tensor de tensiones de Cauchy o tensor de tensiones verdaderas Nσ

r Componente normal del vector tracción

Sσr

Componente tangencial del vector tracción mσ Tensión media

321 ,, σσσ Tensiones principales

octσr

Tensión normal octaédrica octτr Tensión tangencial octaédrica o tensión de corte octaédrica maxτ Tensión de corte máximo τ Tensor de tensiones de Kirchhoff φ Ángulo de fricción interno ψ Energía libre de Helmholtz por unidad de masa Ψ Energía libre de Helmholtz por unidad de volumen

eΨΨ =)(ε Densidad de energía de deformación ψ Ángulo de dilatancia Ω Tensor tasa del tensor de rotación material ωr

Tensor de vorticidad ••• IIIIII ,, Primer, segundo y tercer invariantes del tensor •

•≡•&

DtD Derivada material de •

•r Vector • Vector unitario (versor) 1 Tensor identidad de segundo orden I Tensor identidad de cuarto orden

I≡symI Parte simétrica del tensor identidad de cuarto orden


XVIII

Abreviaturas

PVCI Problema de Valor de Contorno Inicial PVC Problema de Valor de Contorno MEF Método de los Elementos Finitos MEC Método de los Elementos de Contorno MDF Método de las Diferencias Finitas Latin i.e. id est es decir et al. et alii y otros e.g. exempli gratia por ejemplo etc. et cetera y así sucesivamente v., vs. versus versus viz. vidilicet a saber

Abreviaturas

Operadores

2•+•

=⟨•⟩ paréntesis de MacAuley

• norma Euclidiana de • )(•Tr traza de )(•

T)(• transpuesta de )(• 1)( −• inversa de )(• T−•)( inversa de la transpuesta de )(• sym)(• parte simétrica de )(• anti)(• parte antisimétrica de )(• esf)(• parte esférica de )(• o parte hidrostática dev)(• parte desviadora de )(•

• módulo de • [ ][ ]• salto de • ⋅ producto escalar

( ) •≡•det determinante de ( )• )(•cof Cofactor de • ;

( )•Adj adjunta de ( )• ( )•Tr traza de ( )•

: doble producto escalar 2∇ operador diferencial escalar (Laplaciano)

⊗ producto tensorial )(•≡• grad∇ gradiente de • )(•≡•∇ ⋅ div divergencia de •

∧ producto vectorial

Operadores

Unidades

longitud m - metro energía, trabajo, calor NmJ = - Joules

masa kg - kilogramo potencia WsJ ≡ watio

tiempo s - segundo coeficiente de transferencia de calor Km

W2

temperatura K - Kelvin permeabilidad 2m

velocidad sm viscosidad dinámica

sPa

aceleración 2sm tasa de flujo

sm3

energía NmJ = - Joules conductividad térmica: mKW

fuerza N - Newton frecuencia Hzs≡1 Hertz

presión, tensión 2mNPa ≡ - Pascal densidad 3m

kg

Prefijo Símbolo Potencia 10

Prefijo Símbolo Potencia 10

pico p 1210− kilo k 310 nano η 910− Mega M 610 micro µ 610− Giga G 910 mili m 310− Tera T 1210 centi c 210− deci d 10

Unidades (SI)

A THREE DIMENSIONAL SETTING FOR STRONG DISCONTINUITIES MODELLING IN FAILURE MECHANICS

XXII

MEC`NICA DEL - UCLM...Presentación La MecÆnica de los Medios Continuos es una materia clave de...

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