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Medidas de Riesgo Coherentes Dinámicas: Aplicación a un Portafolio de TES

VIII Congreso de Riesgo FinancieroCartagena, 20 de noviembre de 2009

Matemáticas Aplicadas

Diego Jara

Plan de la presentación

Medidas de Riesgo Medidas Estáticas y Dinámicas Propiedades “Deseables” (Axiomas) Representación

Curva de Rendimientos Descomposición (Componentes Principales) Modelo de Proyección

Portafolio de TES Proyección en Factores de Riesgo Distribución de la Pérdida Riesgo Estático y Dinámico: Medición y Comparación

Conclusiones

Medidas de Riesgo

NecesidadDado un Portafolio, cuánto dinero es conveniente

provisionar para asumir posibles pérdidas? Elementos usados para contestar la pregunta:

Horizonte de Inversión Tfinal

Factores de Riesgo Función de Valoración – o de Pérdidas – (en términos de

estos factores) Distribución de los factores, y del valor del portafolio Medición del Riesgo

Provisión necesaria = Medida de Riesgo

Medidas de Riesgo Estáticas

Se arranca de un espacio de probabilidad dado

es el conjunto de posibles “estados del mundo” en el futuro, es el conjunto de “eventos” y P es una función probabilidad sobre los eventos

La PERDIDA de un portafolio, Z, es una variable aleatoria en este espacio

Una medida estática de riesgo es una función que le asigna un número real a pérdidas finales de portafolios:

Supongamos tasas de interés iguales a 0, por simplicidad enAleatoriasVariables:

P,,


Qué propiedades debe cumplir ?Adoptemos los axiomas de Coherencia. Sean Z, Z1 y Z2

pérdidas de portafolios (variables aleatorias en ):1. Monotonicidad:

2. Homogeneidad Positiva:

3. Subaditividad:

4. Invarianza bajo Traslación:

)()( 2121 ZZZZ

)()( ZaaZa

)()()( 2121 ZZZZ

aZaZa )()(


Axiomas introducidos por Artzner, Delbaen, Eber, Heath (1999)

Alternativa: Follmer y Schied (2002) relajaron homogeneidad y subaditividad por convexidad

Teorema: es coherente si y solo si existe un conjunto de probabilidades tal que

PZEZ P |][sup)(


Ejemplo 1: VaR Para un nivel de confianza (e.g., 95%),

-1x]P[X :x inf (X) aR V


Ejemplo 2: CVaR (AVaR, ES) Para un nivel de confianza ,

)(|(X) aR XVaRXXECV

CVaR


VaR no es coherente:No cumple subaditividad (en ocasiones, fomenta la desdiversificación) aunque típicamente los contraejemplos son “fabricados”:

CVaR sí es coherente

0

3%

3%

94%

0

100

0

3%

3%

94%

100

0

Z1 Z2

Confianza: 95%VaR (Z1)=0VaR (Z2)=0

VaR (Z1+Z2)=100

Medidas de Riesgo Dinámicas

Si se trabaja en una plataforma multiperiódica, debe incluirse: Información en periodos intermedios (nuevos precios de mercado,

flujos de caja del portafolio, etc.) Posibilidad de quiebra en periodos intermedios Pueden tomarse acciones en periodos intermedios En un periodo, el capital era una provisión al principio, y riqueza de

los accionistas al final; cuál es el papel del capital en varios periodos?

Cómo se pueden extender los axiomas anteriores a este caso? Hay muchas propuestas … adoptemos una Pero primero, definamos qué es una medida de riesgo

dinámica


Se enriquece el espacio con la posible información nueva, que se representa con una filtración:

Seguimos la información del portafolio mediante sus flujos de caja (proceso estocástico adaptado)

Flujos negativos se interpretan con signo positivo (analizamos pérdidas)

Pensemos en estos flujos como los flujos que deberían agregarse al portafolio (en los tiempos correspondientes) para terminar igual que se empezó

tt :

tZ t :


El flujo final incluye la pérdida total del portafolioUna medida dinámica le asigna un número real a cada

posible proceso de flujos, para cada tiempo:

finalT hasta t desde enosEstocásticProcesos:t ,: tt


Axiomas “deseables” (Riedel (2003))1. Monotonicidad Dinámica:

2. Homogeneidad Positiva Dinámica:

3. Subaditividad Dinámica:

4. Invarianza bajo Traslación Dinámica (Tfinal T t):

t todopara t todopara )()( )()( 2121 ZZtZtZ tt

)()( ZaaZa tt

)()()( 2121 ZZZZ ttt

aZaZa tt )()(Ten perdido"" ,


5. Independencia del Pasado:

Hasta aquí llega la típica definición de coherencia. Pero usualmente se adicionan otras propiedades “deseables”:

6. Consistencia Dinámica:

7. Relevancia:

)()( )()( 2121 ts todopara ZZsZsZ tt

)()()()()()( 22112111 tZZtZZZZ tttt

01 },{ tt


Posibilidad 1: Calcular la medida estática en el tiempo 0, y esperar hasta el finalNo parece muy prudente ignorar información nuevaEsto de hecho violaría casi todos los axiomas

Posibilidad 2: Calcular la medida estática en el tiempo 0. En cada periodo intermedio, recalcular, y rebalancear la provisión de riesgo en caso necesarioP. ej., el caso CVaR. Problema: Violaría el axioma de consistencia temporal


Nivel de confianza: 95%

Z1

0

0

0

0

5

10

97%

3%

6%

94%

100%

Z2

0

0

0

0

8.33

10

97%

3%

3%

97%

100%

8CVaR(0)

10

5CVaR(1)

33.9CVaR(0)

10

5CVaR(1)


Posibilidad 1: Calcular la medida estática en el tiempo 0, y esperar hasta el finalNo parece muy prudente ignorar información nueva.Esto de hecho violaría casi todos los axiomas.

Posibilidad 2: Calcular la medida estática en el tiempo 0. En cada periodo intermedio, recalcular, y rebalancear la provisión de riesgo en caso necesarioP. ej., el caso CVaR. Problema: Violaría el axioma de consistencia temporal.Adicionalmente, es posible que se necesite rebalancear excesivamente la provisión de riesgo, que no sería ideal para el administrador.


Posibilidad 3: Inventarse una extensión basada en una medida estática

Por ejemplo, CVaR dinámico CVaR estático, pero tomando como entrada la medida de riesgo del siguiente periodo:

En el tiempo Tfinal - 2, se vería así (suponiendo cero flujos de caja antes de Tfinal)

)())(()( 1 tZZCVaRDCVaRZCVaRD tt


…

…

1

i

N

1,1 Z1,1

…

1,2 Z1,2

…

i,1 Zi,1

i,2 Zi,2

…

N,1 ZN,1

N,2 ZN,2

CVaR(1,1)

CVaR(1,i)

CVaR(1,N)

CVaRD(0)


Por ejemplo, CVaR dinámico CVaR estático, pero tomando como entrada el CVaR dinámico del siguiente periodo:

Por ejemplo, en el tiempo Tfinal - 2, se vería así (suponiendo cero flujos de caja antes de Tfinal)

Computacionalmente intensivo Fórmulas cerradas para ciertas distribuciones (normal,

lognormal, log-elípticas) (Hardy y Wirch (2003), y Valdez (2004))

Esta medida satisface todos los axiomas dinámicos

)())(()( 1 tZZCVaRDCVaRZCVaRD tt


Teorema: satisface los axiomas dinámicos si y solo si existe un conjunto de probabilidades tal que

Vamos a medir el riesgo de un portafolio de TES para comparar estas medidas

PZEZ ttPt ||sup)(





Conclusiones

Curva de Rendimientos

Enfoquemos el experimento en TES Tasa Fija Curva Cero Cupón Primero: Construcción histórica de la curva

Se calibra a precios de mercado (no a tasas) Se podría ponderar por liquidez, duración, etc. Curva paramétrica o no paramétrica

Por ejemplo, usando un modelo de Diebold y Li (2006), que es una variación de Nelson-Siegel (1987), y tomando precios para Octubre 19 de 2009:


A partir de la serie de tiempo de los cambios de estas curvas, se toman puntos significativos (1, 2, 3, 5, 7, 10, 12, 15 años), y se calculan los Componentes Principales:


Dada la historia de los “pesos” de los cambios de la curva sobre los Componentes Principales, se puede hacer un modelo de proyección de estos cambios

Frecuencia: diaria (días hábiles) Ajuste de un VAR

Se rechaza la Hipótesis de Series no Estacionaria Rezago óptimo: 9 días

Errores se suponen normales para el experimento Simulación de caminos (tridimensionales) Cada punto en cada camino se interpreta como un

cambio en la curva Si arrancamos de la curva actual, cada camino da una

posible evolución de la curva


0 5 10 15-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

%

Movimientos Componente 1, 10 Días

0 5 10 15-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6Movimientos Componente 3, 10 Dias

0 5 10 15-1

-0.5

0

0.5

1

Años

%

Movimientos Componente 2, 10 Días

0 5 10 15-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Años

Movimiento Total de la Curva, 10 Días


0 5 10 152

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Años

%

"Distribución" de Curvas, 10 Días





Conclusiones

Portafolio de TES

Dado un portafolio de TES, se calcula la exposición a cada componente principal: Si el componente i cambia en 1 unidad, en cuánto cambia el

valor del portafolio? Por ejemplo, si el portafolio es el TES 2020, con un

nocional de $100:

Comp. 1 Comp. 2 Comp. 3

Valor -$0.675 -$0.0565 $0.0588

Portafolio de TES

A partir de la distribución de los componentes, se genera una distribución del valor del portafolio

Por ejemplo, si el portafolio es el TES 2020, con un nocional de $100, su pérdida a 10 días se vería así:

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

$, Pesos

Pérdida de $100 del TES 2020, 10 Días

Portafolio de TES

Consideremos un portafolio más general:

Sensibilidad de este portafolio a los componentes principales

Comp. 1 Comp. 2 Comp. 3

Valor -$55.77 -$6.63 $0.15

Feb 10 Abr 12 Sep 14 Oct 15 Oct 18 Jul 20 Jul 24

3000 1000 2000 -4000 2000 5000 2000

Portafolio de TES

10,000 simulaciones T = 10 días = 95%VaR = $301.8 CVaR = $393.5

-1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 8000

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600Pérdida del Portafolio de TES, a 10 Días

$, Pesos

Portafolio de TES

Ahora usemos dos y tres periodos en el análisisMidamos el “riesgo dinámico” En nuestro experimento, usaremos la distribución sin

ajustarAlternativa: ajustar la distribución a una forma especial

con fórmula analítica (normal, lognormal, log-elíptica) Para nuestro caso, no tenemos fórmula analítica

Simulación de evolución de los componentes principales de la curva

Portafolio de TES

Observación inmediata: las medidas dinámicas crecen rápido con el número de periodos

Intuición: en el caso de dos periodos, el esquema propone tomar el “worst-case” del “worst-case”. En el caso de tres periodos es el “worst-case”3

Es muy conservador

Periodos

Simulaciones

VaR Est.

VaR Din.

cVaR Est.

cVaR Din.

1 100,000 $297.9 $297.9 $383.4 $383.4

2 1,0002 $424.4 $603.5 $542.1 $778.2

3 1003 $483.2 $1243.5 $676.7 $1497.1

Portafolio de TES

Y entonces … hay esperanza?Alternativa, usar la noción de “worst-case” en el último

periodo, pero relajar el nivel de confianza para periodos anteriores

Problema: relajar cuánto? La subjetividad de determinar un nivel de confianza adecuado se multiplica a determinar niveles adecuados de confianza para cada periodo

Portafolio de TES

Por ejemplo, tomemos un bono cero cupón, valorado con una tasa r : P = e-r

Modelemos las pérdidas a dos periodos con la fórmula P = e-r(1-e-y-z), con y, z i.i.d. ~ N(0, 2t/2)

VaR95% = e-r(1-e-1.645t) Suponiendo conocida y, faltando un periodo la pérdida total

del bono es P = e-r(1-e-y-z), con z ~ N(0, 2t/2), y

VaR95%(y) = Para igualar el VaR inicial, se necesita

Esto se da con un nivel de confianza de 75%

2/645.11 tyr ee

2/)12(645.1 ty

Portafolio de TES

Extendiendo a tres periodos, el nivel de confianza necesario para igualar el VaR inicial es 70%

Para nuestro experimento, usemos 95%, faltando un periodo 75%, faltando dos periodos 70%, faltando tres periodos

Periodos

Simulaciones

VaR Est.

VaR Din.

cVaR Est.

cVaR Din.

1 100,000 $297.9 $297.9 $383.4 $383.4

2 1,0002 $423.9 $432.6 $544.6 $637.9

3 1003 $524.4 $629.1 $676.7 $1076.4





Conclusiones

Conclusiones

Observación: la medida de riesgo dinámica propuesta es muy conservadora si no se relaja el nivel de confianza (dinámico)

Problema: diseñar niveles de confianza dinámicos que satisfagan al regulador, y sean prácticos para los administradores de riesgo

Antecedente: esto se ha venido madurando con el nivel de confianza usando el VaR

Ventaja: la medida dinámica estudiada indica – por construcción – la probabilidad de necesitar provisionar más capital en el futuro

Desventaja: si no se suponen distribuciones particulares, la medida es muy demandante computacionalmente

Conclusiones

Por revisar: rebalanceo de las provisiones Los axiomas (propiedades deseables) obedecen a

requerimientos de reguladores y participantes. Es importante coincidir en ellos.

Referencias

1. Artzner, Delbaen, Eber, Heath (1999). Coherent Measures of Risk. Mathematical Finance 9, 203-228.

2. Artzner, Delbaen, Eber, Heath, Hyejin (2003). Coherent Multiperiod Risk Adjusted Values and Bellman’s Principle. Annals of Operations Research 152, 1, 5-22.

3. Hardy, Wirch (2003). The Iterated CTE – A Dynamic Risk Measure. Institute of Insurance and Pension Research, Univ. of Waterloo Research Report 03-19.

4. Riedel (2004). Dynamic Coherent Risk Measures. Stochastic Processes and Applications 112, 185-200.

5. Föllmer, Schied (2002). Convex Measures of Risk and Trading Constraints. Finance and Stochastics 6, 429–447.

6. Valdez (2004). The Iterated TCE for the Log-Elliptical Loss Process. Working Paper, Univ. of South Wales.

GRACIAS

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