Si bien estas escuelas son diferentes la escuela de la primer infancia, la escuela de la infancia, la de la adolescencia y la de la juventud , no queremos que se enseen cosas diferentes, sino las mismas cosas de maneras distintas. Queremos decir las cosas que pueden hacer al hombre verdaderamente hombre, a los sabios verdaderamente sabios, acercarlos segn la edad y el nivel de preparacinque debe siempre tender a elevarlos ulteriormente Jan Amos Komenski (Comenius) el Galileo de la Educacin EDUCADORES MATEMTICOS De Izquierda a derecha y de arriba hacia abajo: GuyBrousseau(TeoradeSituacionesDidcticas),GeorgePolya(ProblemSolving),Raymond Duval(TeoradeRepresentacionesSemiticas),YvesChevallard(TransposicinDidctica), Ubiriatn DAmbrosio (Etnomatemtica), Allan Schoenfeld (Problem Solving) COMIT ORGANIZADOR DR. CARLOS RONDERO GUERRERO DRA. ANNA TARASENKO DR. JUAN ALBERTO ACOSTA HERNNDEZ DR. OLEKSANDR KARELIN Introduccin Porquinsistirenlaeducacinmatemtica?Porquuncoloquiodematemtica educativa? Est justificado dedicarle tanto tiempo a este asunto, en lugar de dedicarlo a otro tipo de investigacin? Laformacindeprofesoresesunmbitoquehasidodescuidadoporelsistema educativomexicano.Losprofesoresdematemticasdemandanatencinrespectoasus necesidadesdeformacintantoenladisciplinadelapropiamatemticacomoenlos que se refiere a su didctica especfica, la didctica de la matemtica. Esdeentendersequelabuenapreparacindeunprofesordematemticastieneuna incidenciadirectaenlosaprendizajesdelosestudiantes,demaneratalqueserequiere deuncompromisodecadaunodelosprofesoresydelasdiferentesinstancias institucionalesparafomentardemaneradecididaypermanentementelaformacinde profesoresentodasformasposibles.Cabesealarquenoesparanadarecomendable que los programas que se impulsen sobre formacin sean producto de la improvisacin obiendelaopininsubjetivadelproponente.Porelcontrario,desdenuestra perspectiva, tales programas deben ser producto y debern ser el resultado de proyectos de investigacin en didctica de la matemtica, precisamente en lo que corresponde a la formacin de profesores. Sireflexionamossobrelaimportanciaquetienehoyunaculturamatemtica, entendindolacomounhbitomentalmatemticomsqueunasumade conocimientos, nos daremos cuenta de la responsabilidad que tienen el redactor deprogramas,losprofesoresdematemticasacualquiernivel,ylaescuela toda1 Porloregularlosprofesoresdematemticastratandemotivarasusdiscpulosaque estudien matemticas, en primera porque son necesarias; en segunda por que son tiles; enterceraporquenecesitanaprobarelcursoyunacuartaraznporquecuandose empiezan a entender pueden ser hastadivertidas.Las frasesque los profesores utilizan paratratardemotivarasusestudiantesaestudiarlassobran:lasmatemticasestn desdequeelhombreexistegraciasalasmatemticaspuedesusaresetelfono celular sin matemticas no habra tecnologa hasta la ropa que traes puesta tiene que ver con matemticas y as se podran citar una cantidad enorme de ejemplos, que a decirverdadnotienenecoentrelosestudiantes,queconapataeindiferenciamuchas veces responden - y a m qu? total, alguien ya invent todo eso, yo nada ms lo uso, ademsporesovoyaestudiarLeyes,CienciasdelaComunicacin,Mercadotecnia, Psicologa, Msica, etc.- Conunaslidaformacinenmatemticasyendidctica,elprofesordematemticas tendr ms elementos para contra argumentar este tipo de ideas. Sobre la Cultura Matemtica

1Castelnuovo Emma, Didctica de la matemtica moderna. Ed. Trillas, Mxico. Parece naturalquelamayoradela poblacin desconozca casitodosobrelas matemticasyquesurelacinconestacienciaselimitealascuatrooperaciones aritmticasbsicas.Estedistanciamientocontrastaconlaimportancia que las matemticas tienen hoy en la sociedad. Lasmatemticasestnenelcentrodenuestraculturaysuhistoriaseconfunde,a menudo,conladelafilosofa.Deigualmodoquelasteorascosmolgicasydela evolucin han ejercido notable influencia en la concepcin que los humanos tenemos de nosotrosmismos,lasgeometrasnoeucldeashanpermitidonuevasideassobreel universo,porotroladolosteoremasdelalgicamatemticahanpuestodemanifiesto las limitaciones del mtodo deductivo. Tambin en el arte hay matemticas. Desdeque Pitgoras,elmatemticomsclebre,descubrierarazonesnumricasenlaarmona musical hasta ahora la relacin de las matemticas con el arte ha sido permanente. Las matemticas las utilizamos en la vida cotidiana y son necesarias para comprendery analizarlaabundanteinformacinquenosllega.Perosuusovamuchomsall:en prcticamente todas las ramas del saber humano se recurre a modelos matemticos, y no sloenlafsica,sinoquegraciasalosavancestecnolgicosencomputacin,las matemticasseaplicanatodaslasdisciplinas,demodoqueestnenlabasedelas ingenieras, de las tecnologas ms avanzadas, como las de los vuelos espaciales, de las modernastcnicasdediagnsticomdico,comolatomografaaxialcomputadorizada, delameteorologa,delosestudiosfinancieros,delaingenieragentica. Sinembargo,nosedebeolvidarquelasmatemticassonunacienciapura,cuyos problemasporsmismossuponenunapasionanteretoparalainteligencia;Jacobi pensaba que lafinalidadnica de las matemticas era rendir honor al espritu humano. Sulenguajeuniversallasconvierteenherramientaeficazparalacooperacinentre pasesmsymenosdesarrollados,favorecerunmbitodecolaboracinquemejorela convivencia y fomentar la paz entre los pueblos. Nobasta,enefectoconproducirlariqueza;senecesitaprocurartambinque sudistribucinlleguesinretardosnidispersiones.Ynoeslacienciauna riqueza, la ms preciosa de las riquezas, aquella que forma nuestro orgullo y es lafuentedelasalegrasmspuras?Nodebemosfacilitaranuestros semejantes la adquisicin del saber que es, al mismo tiempo poder y felicidad?2 Las matemticas son lgica, precisin, rigor, abstraccin,formalizacinybelleza,y se espera que a travs de esas cualidades se alcancen la capacidad de discernir lo esencial delosuperfluo,elaprecioporlaobraintelectualmentebellaylavaloracindel potencialdelaciencia.Todaslasmateriasescolaresdebencontribuiralcultivoy desarrollo de la inteligencia, los sentimientos y la personalidad, pero a las matemticas corresponde un lugar destacado en la formacin de la inteligencia y por ende de mejores ciudadanos.

2 dem Lasrelacionesentrelascompetenciasmatemticasylasdiferentesexpresionesde pensamiento matemtico Porsmismas,lascompetenciasmatemticasdadasporPISA,nosonnecesariamente lasnicas,peroademstampocosepuedeasegurarqueessuficienteponerlasenel escenario escolar, adems tampoco PISA nos dice cmo hacerlo ni los efectos que ello tiene sobre los aprendizajes de los estudiantes. Desde nuestra perspectiva, no basta tener identificadasalascompetenciasmatemticas,serequieretenermselementos,que marquen pautas acerca de cmo pueden ponerseen el escenario didctico, tomando en consideracin tanto al medio educativo de que se trate, como a las caractersticas de de losprofesoresdematemticas,endosaspectos,loquecorrespondeasuformacin adquirida en una licenciatura, bien sea en normal superior o en universidad, considerada comoinicialyalaformacinquetienequeadquirirparamejoraryampliar considerablemente su desempeo profesional y por supuesto su prctica docente. Lascompetenciasmatemticasensmismasnoresuelvenlaproblemticadel aprendizaje, se requiere por tanto tener identificados diferentes aspectos para intentar su adecuada puesta en escena, empezando por el hecho mismo detectado en el proyecto de investigacinquelagranmayoradelosprofesoresnolasconocenentrminos generales, mucho menos en las particularidades que podran corresponderal mbito de cmo emplearlas en una clase cualquiera de matemticas. Por otra parte se ha logrado identificar que para posibilitar una mejor puesta en escena delascompetenciasmatemticasserequieredeponerlasenconcordanciaconlos diferentes tipos de pensamiento matemtico que usualmente aparecen, muchas veces sin darle la importancia debida por parte de los profesores, en las clases de matemticas de secundaria o bachillerato. Los ms usuales son:-Pensamiento numrico -Pensamiento geomtrico -Pensamiento algebraico -Pensamiento lgico -Pensamiento variacional -Pensamiento promedial Estosdiferentestiposdepensamientoconformanloqueengeneralsedenominael pensamientomatemtico,aunqueesimportanteaclararqueenlamedidaqueestos diferentes pensamientos se logren instalar y articular adecuadamente en la cognicin de un estudiante, esoda ms posibilidades de ir conformando al pensamiento matemtico avanzado,tannecesariosobretodoenelnivelsuperiorparapoderteneraccesoalos saberesquesetrabajanenelpreclculo,elclculoyasignaturasposteriorescomolas EcuacionesDiferenciales,VariableCompleja,TransformadadeFourierylgebra Lineal entre otras. Sobre la importancia social de las matemticas EncadaedicindelyatradicionalColoquiodeMatemticaEducativapara Profesores celebrado ao con ao en el Instituto de Ciencias Bsicas e Ingeniera de la UniversidadAutnomadelEstadodeHidalgo,sepersiguecomounodelosobjetivos primordiales,elintercambiodeopinionesypuntosdevistadedirectivos, investigadores, educadores y profesores de los diferentes niveles educativos, en torno al complejo problema del aprendizaje de las matemticas. En cada una de las ediciones anteriores,se ha elegido un tema central para ser debatido durante el evento; esta edicin no es la excepcin, para elV Coloquio de Matemtica EducativaparaProfesores,ladiscusingiraentornoalaimportanciasocialdelas matemticas, en esta ocasin nos queremos centrar en los problemas de tipo social que estn a nuestro alrededor y que gracias al desarrollo de competencias matemticas y de otrasperspectivastericas,sepuedenentendermejor.Unproblemacentraleselque correspondealaformacindeprofesoresdematemticascomounobjetode investigacin y su incidencia en las prcticas educativas. Agradecemoslaparticipacindetodosustedesysuconfianza,esperamosqueeste nuestroeventoacadmicoseafructferoparalosprofesoresylosinvestigadoresque intervienen en el mismo. Comit Organizador PROGRAMA GENERAL DEL QUINTO COLOQUIO DE MATEMTICA EDUCATIVA PARA PROFESORES HORARIOMIRCOLES 7 DIC. 2011JUEVES 8 DIC. 2011VIERNES 10 DIC. 2011 8:00 9:00REGISTRO 9:00 10:00INAUGURACINCONFERENCIACONFERENCIA 10:00 10:30 10:30 11:00CONFERENCIA MAGISTRALTALLER ITALLER II 11:00 11:30 11:30 12:00CAF Y GALLETAS 12:00 13:00MESA TEMTICA III 13:00 14:00CURSOS ICURSOS IICLAUSURA/BRINDIS 14:00 15:00COMIDACOMIDACOMIDA/EVENTO CULTURAL 15:00 16:00MESA TEMTICA IMESA TEMTICA II 16:00 18:00CURSOS I (continuacin)CURSOS II (continuacin) 18:00 19:00EVENTO CULTURAL/BRINDISEVENTO CULTURAL Todas las Mesas Temticas y Conferencias sern en el Auditorio Ing. Luis Espinosa Faras, Edif. A. Mensaje de Bienvenida Estimado Colega, la Universidad Autnoma del Estado de Hidalgo (UAEH) a travs del Instituto de Ciencias Bsicas e Ingenieras (ICBI) y el rea Acadmica de Matemticas yFsica(AAMF),ledalamscordialBienvenidaalasactividadesdelQuinto ColoquiodeMatemticaEducativaparaProfesores,lerecordamosqueelobjetivo deesteeventoesfomentareldesarrollodeunaculturamatemticaatravsdel intercambio de experiencias entre los profesores e investigadores participantes. Paralograrloanteriorsehapreparadounprogramaconactividadesacadmico-culturales que estamos convencidos sern de su agradoy en beneficio desu formacin docente y personal. Lerecordamosquedurantesuestanciadeberinscribirseyparticiparactivamenteen doscursos(mircolesyjueves),cadacursotieneunaduracindecuatrohoras; igualmentedeberinscribirseyparticiparendostalleres(juevesyviernes)cadauno con duracin de dos horas; en el caso de que algn taller tenga cuatro horas de duracin, deber asistir a la primera parte el jueves y a la segunda parte del mismo el viernes.Igualmentelerecordamosquecomopartedelasactividades,setienencontempladas tres conferencias y tres mesas temticas de debate, a las cuales deber asistir como parte de las actividades que como asistente al coloquio deber cubrir para hacerse acreedor a constancia de participacin. Parasucomodidadycomoayudaadecidirenqucursosytalleresseinscribir,le presentamos a continuacin los resmenes y extensos de cada uno; para la inscripcin y para resolver cualquierduda que le pueda surgir, deber dirigirse a la mesa de registro; le recordamos que estas actividades se dividen por nivel educativo al que van dirigidos; en este caso al igual que en ediciones anteriores, contamos con dos categoras en cursos y talleres: i) Nivel Secundaria y Medio Superior ii) Nivel Medio Superior y Superior. Programa de Conferencias Mircoles 7 de Diciembre de 2011 de 10:00 a 11:30 a.m. -Dr. Carlos Rondero Guerrero. Algunos elementos tericos sobre la formacin de profesores de matemticas. Jueves 8 de Diciembre de 2011 de 9:00 a 10:00 a.m. -Dr. Crislogo Dolores Flores. La educacin y la educacin matemtica en la secundaria mexicana. Retos y desafos. Viernes 9 de Diciembre de 2011 de 9:00 a 10:00 a.m. -M. en C. Daniela Reyes Gasperini Empoderamientodocentedesdeunavisin Socioepistemolgica:Estudiodelosfactoresde cambioenlasprcticasdelprofesorde matemticas. Mesas de debate Mesa Temtica I (Mircoles 7 de Diciembre de 15:00-16:00) TEMA: La formacin de profesores como objeto de investigacin -Moderador: Ing. Rubn Oscar Costiglia Garino. -Dr. Carlos Rondero Guerrero -Dra. Selene Rosamary Lara Villanueva -Dr. Octaviano Garca Robelo Mesa Temtica II (Jueves 8 de Diciembre de 15:00-16:00) TEMA: La prctica educativa del profesor de matemticas -Moderador: Dr. Aarn Reyes Rodrguez -Dr. Ismael Arcos Quesada -Dr. Orlando vila Pozos -Dr. Fernando Barrera Mora Mesa Temtica III (Viernes 9 de Diciembre de 12:00-13:00) TEMA: La formacin del profesor de matemticas y de otras ciencias -Moderador: Dr. Juan Alberto Acosta Hernndez -Dr. Ricardo Cantoral Uriza -Dr. Carlos Arturo Soto Campos -Ing. Rubn Oscar Costiglia Garino Lista de CursosCursos I (Da Mircoles de 12:00-14:00 y 16:00-18:00) Nivel Secundaria y Medio Superior -Regularidades numricas en el Tringulo AritmticoM. en C. Gabriela Medina Njera (Saln A) -Fotnica M. en C. Ignacio Urquijo Islas (Laboratorio de Fsica) Nivel Medio Superior y Superior -Aproximaciones numricas y visuales a problemas de optimizacin con el uso de un software dinmico Dr. Aarn Reyes Rodrguez (Laboratorio de cmputo, CIMA) -Una propuesta para el empleo de un blog en la clase de matemticas en nivel licenciatura M. en C. Agustn Torres Rodrguezy M. en C. Marcos Campos Nava (Laboratorio de cmputo, CITIS) Cursos II (Da Jueves de 12:00-14:00 y 16:00-18:00) NivelSecundaria y Medio Superior -La Linealidad como nocin matemtica Dr. Juan Alberto Acosta Hernndez (Saln A) -Los promedios como elementos de clculo Dr. Carlos Rondero Guerrero (Saln B) Nivel Medio Superior y Superior -Un ambiente de aprendizaje con nfasis en los registros de representacin Dr. Eugenio Daz-Barriga Arceo (Laboratorio de cmputo, CIMA) -Sobre los axiomas de la linealidad Dr. Oleksandr Karelin (Saln C) -Modelado, simulacin y control de robots. Dr. Omar Arturo Domnguez Ramrez (Saln de usos mltiples del CITIS) Lista de Talleres Taller I (Jueves 8 de Diciembre de 10:00-12:00) Secundaria y Medio Superior -Calculando Races n-simas Dr. Roberto vila Pozos (Saln A) -Anlisis dimensional en fsica. Dr. Roberto Noriega Papaqui (Saln B) Medio Superior y Superior -Didctica Cuevas-PluvinageM. en C. Jos Dionicio Zacaras Flores (Saln C) -Exponencial y logaritmo. De operaciones bsicas o funciones inversas Dra. Anna Tarasenko y M. en C. Mara del Lourdes Prez Ruz (Saln D) (Taller de 4 horas) -La ecuacin cbica en el lgebra rabe del Medievo y la matemtica escolar actual en el bachillerato Dr. Ismael Arcos Quesada (Saln E) (Taller de 4 horas) Taller II (Viernes 9 de Diciembre de 10:00-12:00) Medio Superior y Superior -Matemticas y la Modelacin de Fenmenos Fsicos Dr. Fernando Donado Prez(Saln A) -Exponencial y logaritmo. De operaciones bsicas o funciones inversas Dra. Anna Tarasenko y M. en C. Mara del Lourdes Prez Ruz (Saln B) (Taller de 4 horas) -La ecuacin cbica en el lgebra rabe del Medievo y la matemtica escolar actual en el bachillerato Dr. Ismael Arcos Quesada (Saln C) (Taller de 4 horas) -Las familias de curvas un saber de articulacin. Dr. Arturo Criollo Prez (Saln D) Aproximaciones numricas y visuales a problemas de optimizacin con el uso de un software dinmico Aarn Reyes Rodrguez Universidad Autnoma del Estado de Hidalgo Algunas propuestas didcticas como la de los Principios y Estndares para la Educacin Matemtica(NationalCouncilofTeachersofMathematics[NCTM],2000)establecen que ideas como funcin y el anlisis del cambio deben tener un lugar prominenteen el currculodematemticasporquepermitenalosestudiantesentenderotrasideasy conectarconceptosdediferentesreasdelasmatemticas.Sinembargo,la investigacin en educacin matemtica ha documentado que, incluso estudiantes de los primerosaosdelniveluniversitarioquehanaprobadodiferentescursosde matemticasnoentiendenelconceptodefuncin(Breindenbachetal.,1992).En dnde radican esas dificultades de entendimiento? LA ECUACIN CBICA EN EL LGEBRA RABE DEL MEDIEVO Y LA MATEMTICA ESCOLAR ACTUAL EN EL BACHILLERATO Ismael Arcos Quezada Facultad de Ingeniera, UAEMx ismael_arcos@msn.com LageometradelaGreciaantiguabrillenormemente,perolosmatemticosgriegosno abordaronlasolucinsistemticadeecuacionesalgebraicas.Estofueunaaportacindelos matemticosrabesquienesdesarrollaronsusideasmientrasenEuropatranscurralaEdad Media.As,enelsigloIXdenuestraera,AlJwarizmi,basndoseenideasgeomtricas, establecienEllibrodellgebraalgoritmosparalasolucindelosdistintoscasosdela ecuacin cuadrtica. Unosdossiglosdespus,perotambindurantelapocaenlaquelaculturarabeera protagonista en el mbito cientfico, Omar Jayyam, el poeta matemtico, escribi su lgebra, en laquesededicprincipalmentearesolvergeomtricamentelaecuacincbicamediante secciones cnicas, especficamente mediante circunferencias, parbolas e hiprbolas equilteras, con lo que se violaba la norma introducida por los matemticos griegos, en cuanto a utilizar slo regla y comps, de manera que se admitan slo rectas y circunferencias. En este documento se describe la solucin de algunos casos de la ecuacin cbica, con base en el trabajo de Moreno Castillo sobre la obra matemtica de Omar Jayyam. La linealidad una nocin metamatemtica Juan Alberto Acosta Hernndez Enestecursocortoseplanteaunaaproximacindeunapropuestadidcticade naturalezatransversal,lacualpermiteestudiaralanocindelinealidaddesdevarios objetos matemticos, donde se manifiestan sus diversos significados. EXPONECIAL Y LOGARITMO. DE OPERACIONES BSICAS O FUNCIONES INVERSAS Mara de Lourdes Prez Ruiz, Carlos Rondero Guerrero, Anna Tarasenko En este cursose discute una investigacin hecha acerca de la problemtica educativa en Mxico, y trata sobre los estudiantes de los niveles educativos, nivel medio bsico, nivel mediosuperiorysuperior,enrelacinaladisminucindeconocimientossobre logaritmos y exponentes. Se realiz un anlisis de las condiciones sociohistricas en las queseoriginaydesarrollalaeducacinenMxico.Semuestralaelaboracin, aplicacinyanlisisdeexmenessobrelossaberespreviosalanocinlogaritmoy exponencialconlafinalidaddeestablecerelconocimientorealquelosestudiantes tienen sobre dichos nociones en los diversos niveles educativos. Regularidades numricas en el Tringulo AritmticoM. en C. Gabriela Medina Njera gmedina@uaeh.edu.mx EltringuloaritmticotambinconocidocomoTringulodePascaloTringulode Tartaglia,esunmodelomatemticodeinteresantesregularidadesyrelaciones numricas,ascomo,geomtricas.Lamayoradelasvecesselerelacionaconlos coeficientesbinomialesdeNewtonperoexistenotroselementosquetomarencuenta, como lo son sucesiones de algunos nmeros figurados (Nmeros Triangulares, Nmeros Cuadrados),lapopularsucesindeFibonacciylasucesindelSistemaBinario( )n2que utilizan las computadoras digitales por slo mencionar algunos ejemplos; lo anterior con la finalidad de identificar las regularidades numricas y generar su trmino general con la manipulacin de las filas y diagonales de el tringulo aritmtico. Un ambiente de aprendizaje con nfasis en los registros de representacin. Eugenio Daz Barriga Arceo. Facultad de Ingeniera, Universidad Autnoma del Estado de Mxico. e-mail: eugeniux@fi.uaemex.mx stecursosededicaralaconstruccindediversasactividadesdeaprendizajeyde evaluacin que girarn alrededor del tratamiento de los distintos registros semiticos de representacin. El conjunto de ejercicios por desarrollar abarcan temas desde educacin elementalhastamatemticasavanzadas,entreotros:reconocimientodefigurasy cuerposgeomtricos,trucosaritmticos,tablasconproblemasalgebraicos, complementacin de textos, ejercicios de asociacin entre descripciones de figuras y sus ecuaciones, etc. Los promedios como elementos de clculo Dr. Carlos Rondero Guerrrero Losdiferentestiposdepromedioscomosonlamediaaritmtica,mediageomtricay mediaarmnica,entreotros,sonpocoreconocidosrespectoasuampliacapacidadde clculo. A travs de los promedios es posible calcular reas de figuras regulares, sumas de progresionesaritmticas, races cuadradas denmeros enteros positivos e integrales definidas, entre una gran diversidad de aspectos. Enestecursosemostrarcmoesposibleocuparparticularmentelostrestiposde promediosmencionadospararealizardiferentestiposdeclculoenloscualesseven involucradosalmismotiempounoodosdeellos,todolocualresultareveladordesde una perspectiva matemticay que a su vez se puede ocupar en la didctica relacionada con la nocin de promediacin. FOTONICA M. en C. Ignacio Urquijo Islas En nuestro curso veremos temas como: Naturaleza de la luz, reflexin y refraccin, interferencia, difraccin, polarizacin, laser, holografa,fibraspticas,CCDyelefectofotoelctrico,efectoSpeckle,haciendo nfasis en las aplicaciones. UNA PROPUESTA PARA EL EMPLEO DE UN BLOG EN LA CLASE DE MATEMTICAS EN NIVEL LICENCIATURA Campos Nava, Marcos; Torres Rodrguez, Agustn Alfredo.Instituto Tecnolgico de Atitalaquia.Mkcampos77@yahoo.com.mx; angust68@yahoo.com.mx En este trabajo presentamos una propuesta para abordar algunos contenidos y actividades en laclasedelgebralineal,paraestudiantesdeingeniera,atravsdeunaexperiencia documentadacondosgruposdeestudiantesyunprofesordeunainstitucindeeducacin superior,atravsdelempleodeunblogconstruidoporelpropiodocente.Elpropsitode crear ambientes deesta naturaleza esapoyar la comprensin y profundizacin requeridos en algunos tpicos, mediante la presentacin de materiales didcticos diversos, tales como videos ydocumentosconlecturasy/oejercicios,ademsdepodercompartiralgunasherramientas queproporciona el blog, como son la discusin, el trabajo colaborativo y su funcin como un canal adicional de comunicacin entre el docente y sus estudiantes. La hiptesis de trabajo es que la participacin de los estudiantes en este blog coadyuva a una mejora en su desempeo general en la clase, mediante un cambio en su actitud hacia la misma.Enestecurso,sepresentarnlosresultadosobservadosalimplementarenclasedichoblog como parte de las actividades a trabajar por los estudiantes,se espera guiar a los profesores participantesparaquepuedangenerarespaciosdeaprendizajevirtualesentpicosde matemticasparafuturoscursosquevayanaimpartir,pormedioderecursostalescomo youtube o wordpress. Calculando Races n-simas Roberto vila Pozos Unodelosproblemasinteresantesdellgebraconsisteenencontrarracesde ecuaciones.Elteoremafundamentaldellgebranosproporcionaunaideaclaradela formadelasracesdeunaecuacinconcoeficientesrealesoimaginarios.La demostracindesteteoremafuepropuestaporDAlembert,porWeierstrassypor Gauss. Pensemosenelcasoparticulardelaecuacin

.Lasolucindesta ecuacinesequivalenteaobtenerlarazn-simadeC.Enestetallerrevisaremosdos mtodos para obtener la raz n-sima de un nmero real. Anlisis Dimensional en Fsica Dr. Roberto Noriega Papaqui rea Acadmica de Matemticas y Fsica. Elanlisisdimensionalesunaherramientaenfsicaquenospermitesimplificarel estudio de fenmenos que involucren diversas magnitudes fsicas a travs de relacionar las magnitudes derivadas en trminos de las magnitudes bsicas. Todos los procesos en fsica son descritos por frmulas matemticas, estas expresiones son relaciones entre los diferentes tipos de magnitudes bsicas y/o derivadas. El objetivo del anlisis dimensional se basa en pedir que en ambos lados de la igualdad setengaelmismotipodeunidades,estaideasencillapermiteconocercantidades desconocidas. En este taller se realizar lo siguiente: 1)Se describir que se entiende por una magnitud bsica y una magnitud derivada. 2)Se describir el Sistema Internacional de unidades. 3) Se aplicar el anlisis dimensional para describir el movimiento uniformemente acelerado. Didctica Cuevas-Pluvinage M. en C. Jos Dinicio Zacaras Flores C. Gladys Denisse Salgado Surez Demanerarecientehanacidobajoelcobijodelaescuelaactiva,unadidcticamuy especializada, que tiene como propsito el promover el aprendizaje de las matemticas, la cual aunque en un inicio ha sido utilizada para los niveles Media Superior y Superior, sus principios pueden ser aplicados en los diferentes niveles educativos. Las familias de curvas, un saber de articulacin Arturo Criollo Universidad Autnoma del Estado de Hidalgo Unadelasrazonesquehacenquelamatemticaresultecomplicadaesquemuchas vecesseestudiansusdiversasramasdesarticuladamente,olvidandoquelamatemtica seconstruyeamaneradeedificio,dondetodassuspartesseencuentranfuertemente interrelacionadas,lapartequecorrespondealoscimientoseslateoradeconjuntos, sobreelladescansanlageometraylaaritmticacomounprimerpiso,enseguida aparecenellgebraylatrigonometra,sobreestaslageometraanaltica,despus emergeelclculo,finalmentehacensuaparicinelanlisisylasecuaciones diferenciales. Uno de los puntos centrales en la comprensin de la geometra analtica se centra en entender el vnculoqueexisteentreobjetosgeomtricosyecuacionesalgebraicas,cuandotrabajamoscon familiasdecurvasfortalecemoslaarticulacinconceptualentrecadaunodelossiguientesaspectos: 1. Aspectos variacionales. 2. Conjuntos discretos (finitos o infinitos) y conjuntos continuos (acotados o no acotados) . 3. Solucin de ecuaciones y desigualdades de primero y segundo grados. 4. Regiones en el plano. 5. Uso de Software. Matemticas y la Modelacin de Fenmenos Fsicos Dr. Fernando Donado Prez Ladescripcindelosfenmenosfsicosprecisaderelacionarmatemticamente cantidades asociadas propiedades fsicas. Estas relaciones frecuentemente son entidades matemticas que se ensean comnmente en los cursos elementales de matemticas. Por ejemplo, una ecuacin de primer grado modela el movimiento uniforme y una ecuacin general de segundo grado modela el tiro parablico, entre muchas otras relaciones. En el presentetallerpresentamosdiversoscomportamientosgeneralestomadosdediferentes temas de fsica y los relacionamos con los objetos matemticos de los cursos bsicos de matemticas.Conbaseennuestrosconocimientosdelcomportamientodelosentes matemticos predeciremos comportamientos fsicos. Nivel secundaria y medio superior: Regularidades numricas en el Tringulo AritmticoM. en C. Gabriela Medina Njera gmedina@uaeh.edu.mx Introduccin ElTringulodePascaldebesunombrealfilsofoymatemticoBlaisePascal(1623-1662). Sin embargo, como en muchos casos matemticos, su origen es muy anterior. Se tienenreferenciasquedatandelsigloXIIenChina.Dehecho,algunasdesus propiedadesyafueronestudiadasporelmatemticochinoYangHui(sigloXIII),as como el persa Omar Khayyam (siglo XII). Recordemosbrevementesuconstruccin.Eltringuloseconstruyedesdelacspide haciaabajo.Elprimerelementoeselnmero1,formandolafila0.Lafila1est formadapordoselementos,ambostambinelnmero1.Apartirdeaqu,la construccin es como sigue: cada fila est formada por un elemento ms que la anterior. Elelementoprimeroyltimodecadaunasiempreserelnmero1,ycadaelemento interior ser el nmero resultado de sumar los dos elementos que se sitan encima de l y adyacentes en la fila superior. EnlasiguientefigurasemuestraunadelasrepresentacionesdelTringuloAritmtico con celdas de un panal de abejas. Lamodernaconceptualizacindelosnmerosestbasadaenlanocindesistema, hablandoconciertaprecisinnonosreferiremosaconceptosnumricossimplemente, sinoasistemasoestructurasnumricas.Unaestructuranumricaconsisteenun conjunto de entes abstractos expresados simblicamente, dotados de unas operaciones o modos de componer esos nmerosy de unas relaciones, mediante las que se comparan dichos entes. La consideracin conjunta de los entes, sus operaciones y sus relaciones es loquecaracterizaunaestructuranumrica.Laestructuradecadasistemaviene determinada por un grupo reducido de grande y potentes ideas. (Castro, Exploracin de patrones numricos mediante configuraciones puntuales, 1995) Las regularidades numricas llevan consigo un tipo de representacin3 aunque no sea la nica, debido a que se les puede relacionar ya sea con una representacin geomtrica o conunarepresentacinalgebraica.(Duval,1999)Establecequeunarepresentacines unmediodeexteriorizarlasrepresentacionesmentales,parahacerlasvisiblesy accesiblesaotrosyqueunregistroderepresentacinseentiendecomounsistemade signosutilizadospararepresentarunaideauobjetomatemticoyqueademscumple conlascaractersticasdeseridentificable,posibilitaeltratamiento(esdecir,la manipulacinytransformacindentrodelmismoregistro)yporltimo,permitela conversin consistente en la transformacin total o parcial en otro registro. Nmeros Figurados Lahistorianosinformadeotrosistemagrficoderepresentacinparalosnaturales, descuidado por el currculo escolar de matemticas. Nos referimos a las configuraciones puntuales,utilizadaspararepresentarnmerosfiguradosyquetuvieronsuorigeny desarrolloenelconceptodenmerodelaescuelapitagrica.Paralospitagricos,el nmero no era simplemente una etiqueta para una coleccin, el smbolo de una cantidad ounaconstruccinintelectual,sinoalgoquetenaconsistenciaensmismo;los nmeroserancomounasuertedetomosque,ensusdiversascomposicionesy relaciones,dabanlaesenciamismadeloqueeslavariedaddelmundoexistente. (Castro, Exploracin de patrones numricos mediante configuraciones puntuales, 1995) Utilizandolasconfiguracionespuntualesquerealizaronlospitagricos,sepuede disponer de los nmeros enteros formando figuras geomtricas, por ejemplo 3 guijarros (piedritas)sepuedendisponerparaformaruntringulo,4formanuncuadrado,5 forman un pentgono y as sucesivamente. As los pitagricos construyeron:

3RepresentacinesuntrminoquesehaempleadofrecuentementeenPsicologayDidcticadela Matemticaparadescribir,tantolaactividadcognitiva,comoalgunasformasdeexpresindelos sujetos. Lo caracterstico de la representacin es rebasar lo inmediato, aumentando las dimensiones en elespacioyeneltiempodelcampodelaadaptacin,oseaevocarloquesobrepasaalterreno perceptivo ymotor. Quien dice representacin, dice porconsiguiente reunin de un significador que permitelaevocacindeunsignificadoprocuradoporelpensamiento. http://www.imced.edu.mx/Ethos/Archivo/44/44-93.pdf Nmeros Triangulares Losnmerostriangularestienenlarepresentacinnumrica:1,3,6,10,15,...yson nmeros enteros de la forma:n N + + + + = ... 3 2 1 Losnmerostriangularesestnpresenteseneltringuloaritmticotalcualsepuede notar en la siguiente figura: En el triangulo se visualizan 12 elementos de la sucesin numrica de lostriangulares, paralocualesindispensableutilizarelprincipiodeinduccinmatemticaparala generacindestasecuencianumricaydeestamanerallegaralncleogeneradorde stos primeros nmeros figurados. n a aa aa aa aa aa aan n+ == + = + == + = + == + = + == + = + == + = + ==16 64 53 42 31 21...21 6 15 615 5 10 510 4 6 46 3 3 33 2 1 21 Losnmerostriangularesensuformageomtricasonrepresentadosenlasiguiente figura: Nmeros Cuadrados Losnmeroscuadrados(1,4,9,16,25,...)sonenterosdeltipo ( ) 1 2 ... 5 3 1 + + + + = n N Revisandoladiagonalendondeseencuentranlosnmerostriangulares,esposible detectarlosnmeroscuadrados,msan,porlaoperacindesumaentreelloses posible generar estos nmeros. Realicemos el desarrollo matemtico para dar cuenta de ello: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 1 2...36 1 6 2 25 1 225 1 5 2 16 1 216 1 4 2 9 1 29 1 3 2 4 1 24 1 2 2 1 1 2116 64 53 42 31 21 + == + = + == + = + == + = + == + = + == + = + ==n a an a an a an a an a an a aan n El desarrollo anterior es un ncleo generador recursivo, lo cual nos indica que existen otrosncleosparaproducirlosnmeroscuadrados.Mostraremosacontinuacinla representacin geomtrica. Sucesin de Fibonacci LaseriedeFibonaccipuedeserencontradatambineneltringulodePascal. Dividiendoalmismosegnlaslneasquemostramoseneldiagrama,losnmeros atrapadosentreellassumancadaunodeloselementosdeestasucesin.Recordemos queestasucesin(que,porcierto,seconstruyedemanerasimilaraltringulode Pascal), es: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... 1 , 1 con 1 0 1 1= = + = +a a a a an n n Lasucesinsepuedegenerarconeltrminogeneralrecursivoquesemostrcon anterioridad junto con las condiciones iniciales, el cual desarrollaremos en este curso y conoceremos que no es la nica forma de generar stos nmeros. Ejemplos de en donde podemos visualizar sta sucesin, es la mayora de las veces en la naturaleza y en el arte Como se puede visualizar en el logo de Apple Inc., el diseo de su imagen conserva los valores de la sucesin de Fibonacci en los dimetros de las circunferencias que generan a la manzanita. Sucesin de Fibonacci en la naturaleza. El caracol Nautilus es un claro ejemplo de la sucesin de Fibonacci vista desde un punto vista grfico. Suma de las filas en el tringulo aritmtico Lasumadeloselementosdecualquierfilageneraunasucesinmuyconocidaenel mundo de la computacin. ,... 32 , 16 , 8 , 4 , 2 , 1 EstosnmerossonutilizadosenlascapacidadesdememoriasEEPROM4quese encuentranenpresentacionesporttilesconconexinapuertosUSB5ysemanifiestan en unidades de almacenamiento de GigaBytes6 (GB). a1a2a3a4an 1248? Porelcomportamientodelasucesinnumricatieneunafuerterelacinconla naturalezadeunaprogresingeomtrica.Cadatrminoenunasucesingeomtrica puede obtenerse de forma recursiva a partir del trmino que le precede multiplicndolo por r: (Demana, Waits, & Foley, 2007) ( ) 2 ntoda para *1> =r a an n

4EEPROM:ElectricallyErasableProgrammableReadOnlyMemory.MemoriadeSoloLectura Programable y Borrable Elctricamente. 5 USB: Universal Serial Bus. Canal o medio Serial Universal. 6 Gigabytes (GB): Representa 1*109 bytes Realizaremos el desarrollo matemtico con la frmula de la progresin geomtrica para generar los elementos de la sucesin. =====543211aaaaa Actividades Deacuerdoalosdesarrollosanterioresenloscualesutilizamoscasosespecficospara conocerelementosiguientedelasucesinyllegarauntrminogeneralyasea recursivo o una frmula general, realice lo siguiente: Actividad No. 1. IdentifiqueeneltringuloaritmticoalosnmerosTetradricosyrealicela representacin numrica. Actividad No. 2. Identifiquelasucesinnumricadelasiguienterepresentacingeomtricaylocalice sta sucesin en el tringulo aritmtico. Actividad No. 3. De acuerdo a la siguiente representacin geomtrica, identifique la sucesin numricay determine el trmino general a travs del principio de induccin matemtica. Actividad No. 4 De acuerdo a la siguiente sucesin numrica: a1a2a3a4a10 161528? Encontrar el dcimo elemento de sta sucesin y cul sera su trmino general recursivo. Actividad No. 5 Realice la sucesin numrica y la representacin geomtrica de los nmeros triangulares tambin llamados Oblongos Actividad No. 6 De la siguiente representacin geomtrica, identificar la representacin numrica de los siguientes3elementosyculserasuncleorecursivootrminogeneralquepuede generar a los nmeros piramidales cuadrados. Bibliografa Castro, E. (1995). Exploracin de patrones numricos mediante configuraciones puntuales. Buenos Aires: Comares Coleccin MATHEMA. Castro, E., Rico, L., & Romero, I. (1997). Sistemas de representacin y aprendizaje de estructuras numricas. Enseanza de las ciencias, DEBATES , Vol. 15 (3), 361-371. Demana, F., Waits, B., & Foley, G. (2007). Preclculo. Mxico: Pearson Addison Wesley. Duval, R. (1999). Semiosis y pensamiento humano (Registros semiticos y Aprendizajes Intelectuales). Cali: Artes Grficas Univalle. kaput, J. (1987). Representation Systems and Mathematics. New Jersey: En Janvier. Santos Trigo, L. M. (1997). Principios y mtodos de la resolucin de problemas en el aprendizaje de las matemticas. Mxico: Grupo Editorial Iberoamericana S.A. de C.V. Velasco, F. (1999). Sugerencias para resolver problemas (Vol. 17). (N. C. Methematics, Ed., & F. V. Coba, Trad.) Mxico: Trillas. UniversidaddelosAndes.RepositoriodigitaldedocumentosenEducacin Matemtica.MinisteriodeEducacinNacional,RepblicadeColombia. http://funes.uniandes.edu.co/1451/ FOTNICA. M. en C. Ignacio Urquijo Islas Universidad Autnoma del Estado de Hidalgo Definiciones Fotnica es la ciencia del apoderamiento de la luz. Fotnica engloba la generacin de la luz,ladeteccindelaluz,lagestindelaluzmedianteelguiado,manipuladoy amplificacin, y lo ms importante, su utilizacin para el beneficio de la humanidad'El sector tecnolgico defotnicay la ptica es de mxima relevancia para los grandes retosdelsigloXXI.LaUninEuropeadeclarlafotnicacomounatecnologa habilitadora clave (KET), reconociendo as la importancia del sector en los desafos que afronta la sociedad actualmente y en el futuro. LapticaeslaviejayvenerableramadelaFsicaqueinvolucralageneracin, propagacinydeteccindelaluz.Tresdesarrollosfundamentaleslogradosenlos ltimos40aossonresponsablesdelrejuvenecimientodelapticaydesucreciente importancia en la tecnologa moderna con toda una revolucin: La invencin del Lser, La fabricacin de fibras pticas de baja prdida y La introduccin de dispositivos pticos semiconductores. Esta ha asumido una importancia incrementada no slo en fsica, sino en otras ciencias, ingeniera, la industria y en la vida diaria. ComofactordominanteesteldescubrimientoydesarrollodemuchasformasdeLser. Las notables propiedades de la radiacin coherente de un dispositivo Lser han conducidoaunariquezadenuevastcnicasenlafsicacomopticanolineal, enfriamiento y atrapamiento de tomos, dinmica de femtosegundos y electro ptica.El haberentendido quees la luz, de que esta hecha (graciasa Maxwell)y al tremendo impulsodelaFsicaCunticahangeneradounacolosalmiradadeaplicaciones. Tambinsehaengendradounprofundoentendimientodelaradiacinptica involucradaencoherenciaypticacunticaylastcnicasdecoherenciapticahan tendido un primordial impacto en la fsica atmica. Como resultado de estos desarrollos, emergen nuevas disciplinas y nuevos trminos que las describen: Electro-ptica Optoelectrnica Electrnica cuntica ptica cuntica Tecnologa de ondas de luz entre otros.Aunquenoexisteunacuerdocompletodelusoprecisodeestostrminos,hayun consenso general con respecto a su significado.Electro-pticasereservageneralmenteparadispositivospticosenloscualeslos efectoselctricosjueganunpapelfundamental(Lser,moduladoresyconmutadores electro-pticos). Optoelectrnica tpicamente se refiere a dispositivos y sistemas que son esencialmente electrnicos por naturaleza, pero involucran luz (diodos emisores de luz, dispositivos de despliegue de cristal lquido y arreglos de fotodetectores). Electrnicacunticaseusaenconexincondispositivosysistemasquesebasan principalmente en la interaccin de la luz con la materia (Lser y dispositivos pticos no lineales usados para amplificadores pticos y mezcladores de ondas pticas). ptica cuntica estudia las propiedades cunticas y coherentes de la luz.Tecnologadeondasdeluzseusaparadescribirdispositivosysistemasqueson usados en Comunicaciones pticas, Procesamiento de seales pticas y Metrologa ptica.En analoga con laElectrnica, en aos recientes surge el trminoFotnica, reflejando elimportantevnculoentrelapticaaplicadaylaelectrnica,forjadoporelcreciente papelquelosmaterialesydispositivossemiconductoresjueganenlossistemas fotnicos. El campo de la ptica es amplio y contina manteniendo alto potencial de explotacin. As como la Electrnica involucra el control de flujo de carga elctrica en el vaco o en la materia, la Fotnica involucra el control de fotones en el espacio libre o en la materia.Lasdosdisciplinasclaramenteserelacionanpuestoqueloselectronescomnmente controlan el flujo de fotones, y los fotones controlan el flujo de electronesComo en ptica moderna se da ahora igual nfasis a los aspectos de fotn y de onda de la radiacin ptica,estetrmino Fotnica reflejalaimportancia deambos aspectosen elentendimientodenuevosdesarrollosqueelLserhatradoalcampo,comoel desarrollo de fibras pticas y tecnologa de semiconductorespara emisores y detectorespticos.As el trminoFotnica refleja la importancia de la naturaleza defotn de la luz enla descripcin de la operacin de muchos dispositivos pticos. AplicacionesNo solo la fsica sino otras reas de la ciencia y la tecnologa se han mejorado por el uso de mtodos basados en Lser en qumica, biologa, ingeniera y medicina.Estohaconducidoaunmaravillosombitodenuevasaplicacionescomoholografa, comunicacionespticas,sensoresdepicosegundosyfemtosegundos,optoelectrnica, imgenes mdicasy tomografa ptica coherente.Una cantidad de aplicaciones se han vuelto prominentes en la industria y la vida diaria: La generacin y el controlde luz coherente de un Lsero luz incoherente de fuentes luminiscentes como los LED,Latransmisindeluzenelespaciolibre,atravsdecomponentespticos convencionalescomolentes,aperturasysistemasdeimgenesoatravsdeguasde onda como fibras pticas, La modulacin, conmutacin y rastreo de laluz por el uso de dispositivos controlados elctricamente, acsticamente u pticamente,Laamplificacinyconversindefrecuenciadelaluzporelusodeinteraccinde ondas en materiales no lineales, La deteccin de la luz. Radiometra y Fotometra.Todas estas reas han encontrado aplicaciones crecientes en: Comunicaciones pticas, Procesamiento de seales, Computacin ptica, Sensado, Metrologa ptica, Despliegue, impresin, Transporte de energa Uso en la industria.LaFotnicaenlaIngenieraElctricaseintroduceespecialmenteconlafibraptica paracomunicacionesperotambinelLserenotrasreasparafavorecerprocesos tecnolgicos. Aplicaciones por reasmultidisciplinaria, seran para valorar, probary disear equipos en caso de no existir, amenor costo, o paracierta parte de la investigacin, montar un prototipo para luego adquirir un equipo comercial y mejorar un proceso.Algunas ideas y reas.ConLserypticaaplicadaunqumicopuedeanalizarelcontenidodeunamuestra con mayor precisin, Un fsico puede caracterizar una pelcula delgada que representa un jabn, Un bilogo puede reconocer diversas capas en la formacin de un tallo,Uningenieromecnicopuedemedirmicrovibracionespormediodeholografao taladrar un micro rectngulo en una lmina de 6 milmetros de espesor sin deformacin, Un ingenieroelctricopuede sensar los estados de un proceso deun tanque deagua caliente o hacer controles remotos con infrarrojo,Uningenieroqumicopuedeverentiemporealconluzcoherenteelprocesode fermentacin de la melaza,Unagrnomoademsdepodersacarcurvasdenivelconprecisinpuedeusarun sistema que le d los movimientos de tierra con precisin,UngelogopuedenotarconunLserelgradodelevantamientodeunaplacaoun terreno con el tiempo,Uningenierocivilpuedemedirlaalturadeuncerroounamontaadesdeunsolo punto lejano adems depoder verificar la deformacin de un puente o la fatiga de una placa de concreto de un muelle usando holografa de granulado "speckle", Un tecnlogo de alimentos puede usar la difraccin de la luz para revisar el tamao de partculas de grasa que no deben ser mayores de cierto tamao sin tomar muestras,Unespecialistaenmaterialespuedemedirmicrofisurasenunladrilloolminade plstico, o un qumico medir la contaminacin de la atmsfera, entre otros.UnLserindustrialpuedeunirseaunsistemaderobotycrearunaherramienta poderosa.ExistenaparatosconlapartedelLserquesirveparaentendermslatecnologay procesarmaterialesylapartedecontrolyrobotsirveaMecatrnicaparaestudiary adaptar su diseo a otros proyectos. Existen las tcnicas de Lser y ptica aplicada para usar el LIDAR o radar Lser para medirlacontaminacindelaatmsferaosensarlaincidenciaderayosconms precisin.Laholografavirtualdespecklepermitesensarymedirlacondicindegranosde caf o macadamiza as como lquidos como leche para anlisis qumico.Estaseraunaactividadmultidisciplinariadondeunaseriedeexpertostrabajanconel equipoylastcnicasparafavorecerelquehaceruniversitariodeinvestigacin, desarrollo,academiayventadeserviciosademsdeproyectarsefueraenlaindustria nacional y afuera del pas. Tpicos de inters (adaptado de una entrevista a Luis Arizmendi) Esto de la fotnica" suena a pelcula de ciencia-ficcin, Se podra arrojar algo de luz sobre lo que significa, para empezar? La electrnica funciona con corrientes de electrones, y estamos muy acostumbrados ausaraparatoselectrnicoscomolaradio,latelevisin,eltelfono,elordenador,etc. Porelcontrario, lafotnicafuncionaconcorrientesdepartculasluminosas,los fotones. No estamos an muy acostumbrados a usar en la vida diaria aparatos fotnicos, aunque cada vez las aplicaciones fotnicas estn ms presentes a nuestro alrededor. Astenemosalgunosaparatosclsicoscomolascmarasfotogrficas,telescopiosy microscopios, y otros ms recientes como los lectores de cdigos de barras, los punteros lser,loslseresdelasdiscotecas,etc.Casitodosestosaparatoscombinanunaparte electrnica y otra fotnica, como los televisores LCD y las pantallas de los ordenadores, los proyectores de video, las cmaras fotogrficas digitales, y muchos otros. Deuntiempoaestaparteparecequeestamosrodeadosdelseres:impresoraslser, lectoras de DVD. Se podra comentar algo sobre este aspecto? Si, laluzlserposeeunaspropiedadesmuyespeciales,quelahacenenormemente til,yademscadavezseinventannuevoslseresdecoloresdistintos,demayor potenciaycontamaoscadavezmsreducidos.Laluzlser sedirigedeformamuy precisa comparadaconlaluzdeunabombilla,ademsesdecolormuypuro,ymuy brillante.Estassoncualidadesesencialesparamultituddeaplicaciones(ciruga, industria,investigacin).Cadadaseencuentrannuevasaplicacionesparaestetipode luz. Fibra ptica, comunicaciones pticas, a la velocidad de la luz? Si,cadadaserequieremsmovimientodeinformacin.Internet,latelevisindigital porcable Sehacenecesariounsistemadealtacapacidaddetransmisin.Los conductoreselctricosquedansaturados.Porlasfibraspticaspodemosenviarla informacinenformadeluzlseralavelocidaddelaluz.Adems, lamsmoderna tecnologa permite enviar muchas comunicaciones a la vez por la misma fibra, una enorme ventaja respecto a los cables elctricos, simplemente usando luces de varios colores distintos. Cada color lleva una comunicacin, y no se mezclan en la fibra! Le han sorprendido los hologramas? cmo funcionan? Intentar explicarlo de forma sencilla. En una fotografa normal la imagen est impresa en el papel. Es la imagen de intensidad de luz de un objeto 3D que tom la cmara con su objetivo sobre el sensor plano (2D). Por el contrario, con el holograma conseguimos fabricarunacopiadelasondasluminosasquevenandesdeelobjeto.Escomosi tuvisemos delante el mismo objeto (slo pticamente, ya que el objeto ahora no est). En su lugar est el holograma, que nos enva informacin de la intensidad de luzy del relieve del objeto, as que lo veremos en 3D. Es realista pensar en una proyeccin de escenas en 3D en un futuro cercano? Unaprimeraaproximacinsonlosnuevostelevisores3D,queutilizanlas propiedades de la luz filtradas por gafas especiales para darnos una imagen ligeramente diferente en cada ojo, produciendo la sensacin espacial 3D. Ms avanzado sera formar realmenteunaimagentridimensionalenelespacio.Aquhayqueconsiderardos aspectos, la cantidad de informacin que hay que transmitir para producir un holograma, ylaresolucindelelementoqueformalaimagen. Paraproducirimgenes3Den movimientodebemosrealizarnumerososfotogramashologrficos.Cada fotograma hologrfico constar de al menos 100 Megabytes, y por cada segundo de imgenesdebemosformar25fotogramas.Estaesunacantidaddedatosaltsima, incluso para las comunicaciones pticas actuales. Porotraparte,laspelculasquepermitengrabarhologramassonmuyespeciales,de muyaltaresolucin,conmsde25000puntosporpulgada.Porelmomentolos proyectores de video tienen una resolucin muy inferior, y tendremos que esperar a que sta mejore notablemente. Parece que an estamos algo lejos de esta aplicacin fotnica, aunque la tecnologa sedesarrollamuyrpidamenteenestecampo.Ansetardarunosaosenquesea realidad la TV hologrfica. No me gustara que nos centrsemos nicamente en los aspectos ms mundanos, cuales son los principales retos en este campo? Uno de los retos importantes de la fotnica es la computacin ptica. Los ordenadores personalesactualesnopasanmuchomsalldelos3.000.000.000desencillas operaciones por segundo, y an as a veces nos parecen lentos, pero estamos cerca del lmitedevelocidadconcorrientesdeelectrones. Unaventajaimportantedelaluz esquesetransmitesinnecesidaddecables,yquealcontrariodelascorrientes elctricas se pueden cruzar en el espacio sin alterar su trayectoria. Con luz se podr realizarunprocesadodeinformacinenparalelo.Usandolaluzpodramosan aumentarmucholavelocidaddeclculo,talvezhacerlosunmillndevecesms rpidos. Cmo se imagina un experto en fotnica el futuro? Brillante? Cadadaquepasaaparecennuevasaplicacionesdelafotnica.Laluzlserestcada vezmspresenteennuestrascasas.Enel campodelasalud tambinavanzan rpidamentelasaplicacionesfotnicas.Porejemplo, dentrodemuypocolas radiografasseharnconluzlservisible,queesmuchomenospeligrosaquelos rayos X. En la industriacada vez son ms los procesos que estn controlados mediante la luz y las imgenes. Realmente es un panorama muy brillante,y enpases avanzados comoEstadosUnidoslosexpertosentecnologafotnicaestnmuycotizados.Enla UTT se pretende formar este tipo de profesionales en nuestro pas. La interrelacin de la fotnica con otros campos de la fsica? La luz interacciona con la materia,y por tanto es un instrumento eficaz para el estudio delosmateriales,tambinsegeneraenlamateria,deahsurelacinconlafsica atmica y molecular y con la fsica de slidos. Laluzestcompuestaporpequeasunidades,losfotones,quetienenpropiedadesde fsica cuntica. Algunas de estas propiedades an no han sido aplicadas, aunque parece que pueden tener mucho inters en campos como el de la computacin ptica. Laluztambinestrelacionadaconlarelatividadyconlaastrofsica.Lainformacin querecibimosdelosobjetosespacialesesprincipalmenteenformaderadiacin luminosa.Losefectosrelativistasobservadosenlaluzquenosllegadelasestrellas permiten obtener datos sobre el origen del universo. Comosepuedeapreciar,existeunagranrelacinconotroscamposdelafsica,yen muchas ocasiones no est clara la frontera entre estos campos. En nuestro curso veremos temas como: Naturaleza de la luz, reflexin y refraccin, interferencia, difraccin, polarizacin, laser, holografa,fibraspticas,CCDyelefectofotoelctrico,efectoSpeckle,haciendo nfasis en las aplicaciones. La linealidad una nocin metamatemtica Juan Alberto Acosta Hernndez Introduccin Elestudiodelasnocionesyenparticularladelalinealidad,hasidomotivado principalmenteporlaproblemticaquepresentaelaprendizajedelamatemticaenel Sistema Educativo Mexicano. Poner en escena escolar a una nocin7 y sus significados, requieretenerencuentaunenfoquesistmicoparaello.Estoimplicalapremisade considerar,alasdimensionessociocultural,epistemolgica,cognitivaydidcticapara lograr el aprendizaje de dicha nocin. Se parte del hecho que la nocin delinealidad, al igual que otras nociones8 tienen una naturalezametamatemtica,ydarevidenciadelaimportanciadeplantearpuentes articuladoresentresussignificadosmanifiestosenlosniveleseducativos,espropsito del presente captulo. En este curso corto se muestran algunos aspectos acerca de los significados de la nocin delinealidad,atravsdeobjetosmatemticosescolarestalescomo:laproporcin directa, la recta, los sistemas de ecuaciones lineales y algunos elementos introductorios al lgebra lineal. Sedacuentademanerabrevecomosehanidoposicionandolossignificadosdela linealidadenlaescuela,desdelamatemticaelementalhastalosiniciosdela matemtica avanzada, desde la proporcionalidad, cualitativa y cuantitativa. Se incorporan pequeos referentes histricos, resaltando eventualidades epistemolgicas ysocioculturalespasadas,quehanintermediadoparaquelossabereseruditosde determinadas etapas, se hayan convertido en un objeto de enseanza. Seresaltaelhechodequelanocindelinealidadadoptadeterminadosestatus didcticos(Chevallard,1997),desdesussignificados,comonocin:paramatemtica, protomatemtica,matemticaymetamatemtica,extradodelosobjetosmatemticos que muestran los libros de texto. Lasnocionesprotomatemticassonaquellascuyaspropiedadessonempleadasenlo cotidiano para resolver ciertos problemas, pero de tal manera que la nocin misma no es reconocida ni como objeto de estudio ni como instrumento til para el estudio de otros objetos.Unacercamientodeestoesconsiderarelpapeldesarticuladoquejuegala proporcionalidaddirectacuando,porejemploelobjetomatemticodeestudioesla rectaenelplanocartesianoenuncursodeGeometraAnaltica.Sereflexionadesde estainvestigacin,quelaproporcionalidaddirectadebieraconsiderarsecomouna nocinparamatemtica,envirtuddeconceptualizarla,desdeelrescateepistemolgico evidenciadoenestetrabajo,comouninstrumentoquedebepermitirabordarala linealidadapartirdelestudiodelarectaenbachillerato.Lasnocionesmatemticasde linealidadyproporcionalidaddirecta,sonobjetosdeconocimientoconstruidos,con posibilidaddeseraprendidosyemplearseenusosprcticos.Elcarcterdenocin

7 En estas notas la nocin se interpreta como un saber susceptible de ser enseado y aprendido en ambiente escolar. (Chevallard, 1997). 8 Promediacin, variacin, acumulacin, modelacin, prediccin matemticadelalinealidadyproporcionalidadespeculiaridadintrnsecadelgrado escolar en que se aborda, y paramatemtica en otros momentos del currculum, cuando ellassontilescomoinstrumentoepistemolgicodidctico.Porloquerespectaalas nocionesdelinealidadyproporcionalidad,comonocionesmetamatemticas,seles consideracomotal,desdelaperspectivaampliadequebrindanelementosde informacin y conocimiento acerca del funcionamiento en general del aprendizaje de las matemticas,estoes,dichasnocionesfuncionancomoorganizadorasdenociones protomatemticas, paramatemticas y matemticas (Chevallard, 1997). A travs de los procesos cognitivos, didcticos, epistemolgicos y socioculturales se ha identificadolaratiomutabilitasconstantrazndecambioconstante-.Comolaidea germinal,de la nocin de linealidad (Acosta, 2011). Esto debido al rol que tiene en la construccindeconocimientoasociadoalamismanocin,ysucolocacincomoun movilizadortantodeprocesos,comodesignificados,loscualesseedificandeforma progresiva, alcanzndose su total significado epistmico. Se ponen en juego actividades que llevan a la reflexin alrededor de la idea germinal que surge desde los significados de la nocin de linealidad vistos desde los objetos matemticos escolares, que por otra parte han emergido de culturas ancestrales. Estecursopretendeplantearunaestrategiadidcticatransversalparalanocinde linealidad,quepermitaincorporarelementosarticuladoresentrelosdistintosniveles educativos. La proporcin directa Elprimerantecedenteconceptualquetieneunestudiantedenivelbsicoacercade linealidad es la proporcionalidad directa.Paraelloesimportanteelconceptoderaznentredosnmeros,referidoalcociente (resultado de su divisin) entre ellos. Razn entre dos nmeros a y b es el cociente entre

Ejemplos:la razn entre 30 y 3 es 10 , ya que

Y la razn entre los nmeros 0,45y0,9es

Entonces, a la igualdad de dos razones se le llama proporcin. Los nmeros a, b, c y d constituyen una proporcin, si la razn entre a y b es igual que la razn entre c y d. Esto es

Ledo se dice: a es a b como c es a d En particular a y d se llaman extremos, y b y c se llaman medios. De lo anterior se desprende la propiedad fundamental de las proporciones: en toda proporcin, el producto de los extremos es igual al de los medios.

Ejemplos Los nmeros 3,7y9,21 forman una proporcin, debido a que la razn entre 3 y 7 es igual a la razn entre 9 y 21.

Esto es

Se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios 3(21)=7(9) 63=63 En general

Si se escribe la proporcin:

Da pie a la regla de tres simple

Cabe aclarar que la proporcin puede darse en dos sentidos: Uno cuando una magnitud aumenta, la otra tambin aumenta: , Esto es si A aumenta, B tambin aumenta, se trata una proporcin directa; y en el otro sentido,siunadelasmagnitudesaumenta,laotradisminuyeeselcasodeuna proporcin inversa:

, Ejemplo Un costal de naranjas pesa 20 kg Cunto pesan 2 costales, o 3 costales, etc.? N de costales12350 Peso en kg2040601000

Se mira que

Lasmagnitudesnmerodecostalesyelpesoenkgsondirectamenteproporcionales. Ademsseentrevunamagnitudquepermaneceinvariable,lacuales20,eneste ejemplo, la cual se denomina como constante de proporcionalidad. Regla de tres simple directa Ejemplo En 75 litros de una solucin hay 1.5 kg de cloruro de sodio. Cuntos litros de solucin tendran disuelta 3.2 kg de dicha sal? Si se representa por x el nmero de litros de solucin que tienen disueltos los 3.2 kgde NaCl, y se representa en la siguiente tabla: Litros de solucin75x Kilogramos de NaCl1.53.2 Se verifica la proporcin:

Y como en toda proporcin el producto de medios es igual al producto de extremos

Como regla de tres

donde La forma anterior de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce como regla de tres simple directa. Laproporcindirectaolaregladetressimpledirectaseempleaenproblemas estequiomtricos de clculo de cantidades en una reaccin qumica Ejemplo Sireaccionan9g.dealuminioconsuficienteacidosulfrico,quemasadesulfatode aluminioseproduce?Quvolumendehidrgenogaseososeobtieneencondiciones normales de presin y temperatura? La reaccin qumica es

DesdeelpuntodevistadelaEstequiometra,parahacerestetipodeclculos,sedebe garantizarqueestconsideradalaleydelaconservacindelamateria(masade reactivos = masa de productos), esto significa que la reaccin est balanceada:

Entonces las masas de las sustancias9 involucradas se dan en la siguiente tabla: 54 g294 g342 g6 g

9 gxV

9 Las masas atmicas son: aluminio 27 g., hidrgeno 1 g., azufre 32 g. y oxgeno 16 g.; entonces el peso molecular del acido sulfrico es 2(1)+32+4(16)=98g/mol; y de tres moles de cido sulfrico es 294 g. Entonceslaproporcindirectaolaregladetressimpledirectaquedaplanteadadela siguiente forma: Para el sulfato de aluminio:

x=16gdesulfatode aluminioqueseproducen con 9 g. de aluminio Paradeterminarelvolumendehidrgenoqueencondicionesnormalesdepresiny temperatura (1 atm.y 0o C), se obtiene con 9 g. de aluminio, hay que considerar que 1 mol (masa molecular) de cualquier gas en dichas condiciones ocupa un volumen de 22.4 l/mol, entonces:

V=67.2ldehidrgeno gaseosoqueseproducen con 9 g de aluminio Nota histrica Lamatemticaanterioralagriega,enparticularlababilnicaylaegipcia,habrande alcanzar un alto grado de desarrollo de la habilidad operatoria, para abordar todo tipo de problemas de la vida cotidiana, desde la reparticin de una herencia, hasta el clculo de interscompuesto.Laaritmticababilnicafuncionabaparahacerclculos astronmicos y mercantiles, o lo relacionado con reas y volmenes, donde esta ltimo est inmiscuida la proporcin directa (Filloy, 1998). Haciaelao370a.C.EudoxiodeCnido(408?355?)profundizaenlasideasde Anaxgoras, tomando a lageometraantigua como un caso particular,enel sentido de que dos magnitudes no pueden formar una razn si la menor de ellas no puede hacerse msgrandequelamayormediantesumultiplicacinpornmerosenteros,definiendo indirectamentelaigualdaddedosrazonesa:byc:d,exigiendoquealelegirdos nmeros dados cualesquiera m y n resulte siendom amenor o mayor o igual a nb, sea mcmenoromayoroigualand(Hofmann,2002).Estehechorelevanteresultaun antecedenteepistemolgicodelaecuacindelarectay=mx,dondeporsupuestoest implcitalanocindelinealidad,cuyaperspectivageomtricaenelplanoseinicia desdelostrabajosdeDescartes,ylacualenlaactualidadseestudiaenelnivelmedio superior. La recta Lasecuacionesdelarectapuedenadoptarunestatusdiferente,segnelrolqueestn desempeandoenladidctica,porloqueellasmismaspuedenbloquearla interpretacin de algunos otros conceptos. Laenseanzadelarectaenbachilleratoseiniciaconlaecuaciny=mx+b,como nocin matemtica, donde m= tan y es el ngulo de inclinacin con respecto al eje x (Lehmann, 2001). La forma ay=bx, la cual es herencia epistemolgica de la igualdad de dosrazonesa:byc:dplanteadaporlosgriegosdelaantigedad,representauna transformacinlineal,sinembargolaecuacinpendienteordenadaalorigennoloes (Acosta, Rondero y Tarasenko, 2008). Ello no se aclara en el nivel medio superior, ni en el sentido del estatus didctico que tiene en la escena escolar, ni por ser un antecedente histricoepistemolgico,ycomoconsecuencia,estavaguedadsobrevivehastalos cursos iniciales de licenciatura. Nota histrica Enlaculturaegipcia,nosloseresolvieronproblemasaritmticos,sinosedieron elementos de solucin a ecuaciones lineales, que escritas en simbologa moderna son de la formab ax x = +oc bx ax x = + + .En el Papiro de Rhind, se muestra la solucin de este tipo de ecuaciones, empleando un mtodo que en nuestros das se conoce como el mtodo de la falsa posicin (Boyer, 1991). Adems,enelprimerpostuladodelprimerlibro,Sobrelaesferayelcilindro, Arqumedes, da la definicin ms empleada de la recta hasta nuestros das:La recta es lalneamscortaqueunesuspuntosextremos.Adems,Arqumedesaplicala proporcionalidad directa entre variables de la misma dimensin, aunque Euclides haba probadoquelarelacinentrelosvolmenesdedosesferasdependedelcubodesus dimetros (Torija, 1999). Sin embargo tal definicin se plante desde el punto de vista geomtrico,sinquehubieraeneseentoncesalgnvestigioniantecedenteremotodel sistema cartesiano, donde pudiera caracterizarse a la recta como hoy en da. Actividad Siquierestrasladartedelaesquinainferiorizquierda,alasuperiorderecha,dela siguiente cuadrcula, 1.Cul es la trayectoria ms corta?2.Propn un sistema de referencia y plantea una ecuacin. 3.El seor Prez es tres veces mayor que su hija. Dentro de trece aos l tendr el doble de edad que su hija. Cul es la edad actual del seor Prez? 4.Grafica la ecuacin de primer grado que obtuviste en el problema anterior. 5.Qu vnculo conceptual hay entre los objetos matemticos involucradosen los desarrollos anteriores? Aspectos didcticos Tambinenelmbitodidcticoactual,engeneralnosehacenfasisalostrabajosde FermatyDescartesbasadosenlosresultadosobtenidosporApoloniosiglosantes, donde definen la ecuacin de una recta referida a un sistema de coordenadas cartesianas, el cual la proporcionalidad toma la forma analtica b x = a, y donde se dan los primeros elementos conceptuales de la nocin de linealidad, sin que por supuesto sea el objeto de estudio, esto es que slo presente un carcter paramatemtico. Enlosprimerossemestresdelicenciaturaseaborda,aunquedemaneraaisladacon respectoaltemadelarectadelnivelmediosuperior,laecuacinax+by=0 conociendodospuntos(x1,y1)y(x2,y2)pormediodeldeterminante2x2igualadoa cero:

pero ello no se articula, ni con la proporcionalidad, ni con la dependencia lineal, lo cual auspicia un referente matemtico escolar pobre en significados. En Willerding & Hoffman (1971) est escrito que a cada matriz cuadrada se le asocia un nmero llamado el determinante de la matriz. Para una matriz cuadrada de orden 2

El determinante se define como el nmero real

. Cuandoseabordaestetemaenbachillerato,eldeterminante,cuyadefinicin, generalmenteseestudiaenlosprimeroscursosdelgebralineal,tomaelrol paramatemtico(instrumentoparadescribirotrosobjetosmatemticos,peronosele considera como objeto de estudio en s mismo, y por lo tanto no es sujeto de evaluacin directa.) Acosta (2011). Ejemplo Empleandolaanteriordefinicindedeterminantedesegundoordendeterminela ecuacin de la recta que pasa por los puntos (-2,-1) y (2,1)

Esto es:

Obtenindose:

La cual grficamente representa una recta que pasa por el origen, con pendiente

. Reflexin didctica Lanocindelinealidadesunelementodearticulacinenlamatemticaescolaryse puedeapreciarsucaractersticadetransversalidadconceptualentrelamatemtica elemental y la matemtica avanzada, en el entendido de que la nocin adopta diferentes estadiosdidcticos,avecesmanifiestosporlaspropiasecuacionesdelarecta,que tienensuexpresinenlosconceptosquegeneranyqueasuvezaportannuevos significados a la misma. Un obstculo importante que tiene repercusin en la didctica, es por la desarticulacin manifiestaentrelaigualdaddedosrazonesa:byc:dconlarectaquepasaporel origen,bx = ay, y con la funcin lineal f(x)= ax +b. Se cree que esto sucede porque la nocindelinealidadpresentandistintossignificadosqueseentrevnporlas ecuaciones. Nota histrica Hacia finales del siglo XVII, hay un florecimiento de la matemtica, en el sentido de la unificacindeconocimientosnuevosapartirdetrabajosantiguos.FermatyDescartes tomanloobtenidoporApoloniodePrgamo(262?-190?a.C.),desdesuescritoLa Cnicayestablecenlaunificacingeomtrica-algebraicadelarecta,proponiendosu ecuacin:Ensuempeodedarplenosentidoalostrabajosantiguossobrelugares geomtricos,seleocurriaFermat,comoaDescartes,decuyasobrasnoconoca nadaentonces,determinarlasituacindeunpuntoenunplanoporsuposicin respecto al eje de las x. Ya da a la recta que pasa por el origen, la forma b x = a yy considera a x + b y = c como la ecuacin de una recta en su forma general y la ampla alproblemadellugargeomtricodeApolonio,reconociendoque = + + d c y b x ai i i es la ecuacin de una recta (Hofmann, 2002). Aspectos didcticos Lasnocionesformandistintosestratosdelfuncionamientodelconocimiento matemticoescolarlascualessedividenendosgrupos(Chevallard,1997):las nociones explcitas que estn conformadas por las nociones matemticas (Son objeto de estudio y evaluacin en si mismas, adems sirven como instrumento para el estudio de otrosobjetos.);ylasnocionesimplcitasconformadasporlasnociones paramatemticas (son las que se utilizan conscientemente, esto es que son reconocidas ydesignadascomoinstrumentosparadescribirotrosobjetosmatemticos,peronose lesconsideracomoobjetosdeestudioensimismas,yporlotantonosonobjetosde evaluacin directa.) y las nociones protomatemticas (Son las nociones que se emplean en la prctica para resolver ciertos problemas, pero de forma que la nocin misma no es reconocida ni como objeto de estudio ni como instrumento til para el estudio de otros objetos.) (Martnez, 2002). Se sostiene que la nocin de linealidad en la didctica del nivel superior no es explcita desde las distintas representaciones analticas de la recta en el plano, ni se vincula con la proporcindirecta.Ademslalinealidadadoptaunestatusdidcticodiferente,de acuerdo al curso y al grado escolar. Resolucin de sistemas de ecuaciones simultaneas Nota histrica Enlasculturasancestraleschina,egipciaybabilnicayaseconocanmtodosde solucindesistemasdeecuacionessimultneas.Sinembargo,unodelosprimeros ejemplossignificativosdesutratamientoanaltico,apareceenellibrodeEuler, publicadoen1750,SuruneContradictionApparentedanslaDoctrinedesLignes Courbes.Esteestudiolollevalhechodequecualquiersistemadenecuaciones lineales con n incgnitas tiene solucin nica, lo cual era una creenciageneralizada en esemomento.Aunqueestonoeratansignificativoparalosmatemticosdelapoca, puesnoofrecanuevosmtodosdesolucin,lonovedosofuelaaproximacin descriptiva y cualitativa de su estudio (Dorier, 2000). EnsigloXVIII,CramerpublicuntratadotituladoIntroductionlAnalysedes Courbes Algbriques. Este documento es el primero donde aparece una notacin para la escritura de sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes no especficos. Aunque en 1693, Leibniz haba escrito una carta con contenidos semejantes,la cual se public por primeravezen1850.EnellibrodeCramersepresentaunareglaparaobtenerla solucindesistemasconelmismonmerodeecuacionesquedeincgnitas,como funcin de sus coeficientes, empleando lo que ahora se conoce como determinantes. A partirdeestetrabajolosdeterminanteshansidoampliamenteutilizadosyconstituyen un tpico importante de las matemticas, de modo tal que la teora de los determinantes haconstituidounmarcoindispensableparaelestudiodelossistemasdeecuaciones lineales. Cabe sealar que la aproximacin intuitiva de Euler, no permaneci con tanta influenciacomolosdeterminantesenelestudiodelossistemasdeecuacioneslineales (citado en Dorier, 2000). Uso de los sistemas de ecuaciones simultaneas y su solucin, en la qumica Loscambios qumicos que sucedenen la naturaleza secaracterizan por que mantienen igualcantidaddemateriaduranteeltranscursodelosmismos,dichodeotromodo,la masa de los reactivos es igual a la masa de los productos, esta es la conocida Ley de la Conservacin de la Materia o Ley de Lavoisier. Cantidad de reactivos = Cantidad de productos El accidente de aos pasados en que ocurri la desafortunada explosin del Challenger, fue causada por la reaccin entre el oxgeno con el hidrgeno, activada con calor: O H H O2 2 2+ A(1) ParahacerpartcipealaleydelaConservacindelamateriaenestareaccin,se incluyenloscoeficientesqueequilibrenlasmasasdereactivosylasmasasdelos productos 1 2 22 2 2O H H O + A(2) De otra manera, calculando las masas moleculares, por medio de los pesos atmicos10 16 x 2+2 x 2 x 1=2 x (2 x 1+16) 36=36 vemos que se cumple la Ley de Lavoisier. Para encontrar los coeficientes que equilibran la reaccin (1), contamos con los mtodos tradicionales de la qumica para balanceo: tanteo y xido-reduccin. Tambin se conoce un mtodo basado en el lgebra elemental, que consiste en el planteamiento y solucin deunsistemadeecuacionessimultneasdeprimergrado,dondehabratantas ecuacionescomoelementosqumicosparticipenenlareaccin,considerandolos subndicesquedenotanelnmerodetomospormolcula.Asporejemploenla reaccindereferencia,haydoselementos,oxgenoehidrgeno,yambasmolculas contienendostomos.Sirepresentamosloscoeficientesdesconocidosdeloxgeno, hidrgeno y agua porx x x1 2 3, ,la ecuacin (1) queda: x O x H x H O1 2 2 2 3 2+ A por lo que la ecuacin que incluye la transformacin de oxgeno molecular a oxgeno incluido en el agua es 3 12 x x = ,

10 Las masas atmicas del oxgeno y del hidrgeno, son 16 y 1 respectivamente. Como sus molculas son biatmicas, sus respectivas masas moleculares son 32 y 2. la del hidrgeno es 2 22 3x x = , comoelvalordeunaincgnitadependedelvalordelasotras(estenfuncindelas otras), podemos asignar arbitrariamente un nmero a una de ellas, y obtener los dems. Si x x y tambien xy simplificando resulta x x x1 2 31 2 36 12 121 2 2= = == = =,: , , que corresponden a los coeficientes que balancean a la reaccin Ejemplos Alhacerpasarvapordeaguasobregrafitocaliente,enpresenciadeuncatalizadorse obtiene hidrgeno y como subproducto anhdrido carbnico11: C H O H COCat+ +2 2 2. La reaccin con los coeficientes desconocidos queda x C x H O x H x COCat1 2 2 3 2 4 2+ +. las ecuaciones por elemento son C x xH x xO x x1 42 32 42 22=== comoelvalordeunaincgnitadependedelvalordelasotras(estenfuncindelas otras), asignamos arbitrariamente un nmero a una de ellas, y obtenemos los dems. Si x x x xy simplificando resulta x x x x1 4 2 31 2 3 46 6 12 121 2 2 1= = = == = = = : , , , Actividad Balancear la reaccin: KMnO H SO FeSO Fe SO K SO MnSO H O4 2 4 4 2 4 3 2 4 4 2+ + + + + ( ) Nota histrica El surgimiento incipiente del lgebra lineal se da con algunas ideas de Euler y Cramer a partirdelsigloXVIII.Suiniciopartidelanlisisdelasolucindesistemasde ecuacioneslineales.Posteriormente,conceptoscomomatrices,determinantes, dependenciaeindependencialineal,transformacioneslinealesyespaciosvectoriales. Sin embargo en este desarrollo histrico epistemolgico del lgebra Lineal, no se aclara laimportanciaconceptualdelaproporcionalidad,nisuvinculoconlaecuacindela rectaenR2,niconlanocindelinealidad,circunstanciaqueseheredaalaestructura temtica y conceptual de los ambientes didcticos modernos.

11 Este es un mtodo industrial para la obtencin de hidrgeno Elementos de lgebra lineal Hayunaramadelamatemticallamadalgebralineal,queseestudiafrecuentemente enlosprimerossemestresdelicenciaturasdecienciaseingenieras,lacualaborda inicialmente la resolucin de sistemas de ecuaciones, generalmente a travs de mtodos comoelplanteadoporGauss.Eneseafndeobtenerlasolucindeunsistemade ecuaciones,sefueteorizandoalrededordeello,dandopautaaconceptostalescomo: matriz, determinante, rango, dependencia e independencia lineal, transformacin lineal, espacio vectorial, entre otros. Nota histrica Es durante el siglo XVIII, donde se da el inicio incipiente del lgebra Lineal, tomando enconsideracinalgunasideasdeEulerydeCramer,entreotros.Sevacreandouna teoradesistemasdeecuacioneslineales,tratndoseelcasodenecuacionesconm incgnitas, elestudio delos determinantesy el rango de un sistema. Posteriormente se incorporanconceptoscomomatrices,dependenciaeindependencialineal,espacios vectoriales y transformaciones lineales. Todo lo cual lleva a una estructuracin temtica yconceptual del lgebraLineal, donde el ejeepistemolgico sobre el que descansaes precisamente la nocin de linealidad. En trminos actuales significa que las ecuaciones son linealmente independientes, pero de manera cauta, Dorier (2000) afirma que Eulerrefiere como un accidente el hecho de que las cantidades desconocidas permanecen indeterminadas, aunque que provienen de lasrelacioneslinealesdelasecuaciones,porloquelatareainicialenesapocaes resolver el sistema de ecuaciones. El enfoque de Euler va hacia el ajuste de ecuaciones, entantoelconceptodedependencialinealesmsgeneral,vlidoparaunagran cantidaddeobjetos.AlainclusindeunaecuacinenotraEuler,citadoporDorier (2000) le llama dependencia inclusiva, la cual domin la concepcin en problemas con ecuacioneslinealesduranteelsigloXIX.Estaexplicacindelcasoexcepcionalde dependenciainclusivaensistemasconelmismonmerodeecuacionesquede incgnitas,fueuncambioenelpuntodevistaenlaaproximacindeecuaciones lineales.Finalmente,sepuededecirqueEulernopropusoningunaaproximacintericadela dependencia lineal, pero s enfatiz ciertos hechos intuitivos que tendranimplicaciones importantesenesadireccin.Enparticular,cuandoseestudiaeltemadedependencia lineal no es comn que sea abordado, partiendo de la proporcionalidad. Ejemplo Si se traza el segmento dirigido desde el origenal puntoen el plano x y , se tieneentonceselvector

;deformaanlogaelvector

est representadoporelsegmentodirigido,quevadesdeelorigenalpunto. Grficamente ambos vectores son colineales, Actividad Graficar ambos vectores. Porotraparte

,dichodeotramanera

esmltiplode

.Entrminosde proporcionalidad:

es proporcional a

. En un lxico de lgebra lineal se dice que dichos vectores son linealmente dependientes, ya que se pueden escribir como la combinacin lineal:

En algunos textos de lgebra lineal lo anterior se menciona de la siguiente forma:Dos vectores v1 y v2 definidos en Rn, con1 > n , se dice que son linealmente dependientes s y slo si la combinacin lineal02 2 1 1= + v c v c , se cumple cuando01 = c02 = c . Aspectos didcticos Unaspectodidcticoeselquerefiereacmoserelacionanconceptualmentela dependencia lineal y la proporcionalidad directa. Se puede ver de la definicin anterior, que se cumplen las proporcionalidades directas, 21 21( ) ,cv vc= siempre y cuando01 = c , o bien12 12( ) ,cv vc= si02 = c(Rondero, Tarasenko, Acosta, 2009).Elquedosvectoresseanlinealmentedependientesimplicaquegeomtricamentesean paralelosocolineales,yelloestrelacionadoconceptualmenteconlaideade paralelismoentrerectasenelplanocartesiano.Talessignificadostendranqueser resaltados en la didctica para una articulacin apropiada de saberes en el curso inicial lgebraLineal.Sinembargoenladidcticaescolarnoseagregandichoselementos, privilegiando lo algortmico y memorstico. Actividades Deacuerdoaloanteriordetermine,grficamenteyanalticamentesilossiguientes vectoressonlinealmentedependientesparalelosocolineales-oproporcionales, argumente sus respuestas:

Nota histrica En el primer postulado del primer libroSobre la esferay el cilindroen Torija (1999), Arqumedes, da la definicin de recta, ms empleada hasta nuestros das: 1. La recta es la lnea ms corta que une sus puntos extremos. 2.Dedoslneasconvexasqueunendospuntossituadosenelmismo lado de la recta que los une, y donde una de las cuales envuelve a otra, la envolvente es la de mayor longitud La proporcionalidad y la Transformacin lineal Para el caso de proporcionalidad entre dos nmeros reales cualesquiera, siempre existe una constante real k tal que m=kn, excepto que n=0 ym diferente de cero; donde aqu knoesunatasadevariacin,sinounaconstantedeproporcionalidad.Sinembargola constante de proporcionalidad k si es un antecedente conceptual de la tasa de variacin constante.-Latasadevariacinconstanteesunconceptomselaborado,dondeyase involucran variables.-EnladefinicindetransformacinlinealT(ax+by)=aT(x)+bT(y),dondeaybson nmerosreales,yxyysonvectoresenespaciodedimensinn,dondenesun nmeronatural,yaqupuedemirarselatasadevariacinconstante.Enelcaso particular cuando b=0, esto es, la tasa de variacin constante es a= T(ax)/T(x). Conclusiones Sehapretendidocaracterizaralgunosreferentesqueposibilitenundiscursodidctico congruenteyarticulado,enlamatemticaescolar.Paraesto,elrescatedelos significadosdelanocindelinealidad,apartirdediferentestemasdelamatemtica,posibilita identificar y proponer elementos conceptuales incidentes enla didctica de la matemtica.Enfuncindelanlisisdelosresultadosobtenidos,seresaltaquelasnocionesde proporcionalidad y linealidad, tienen un estatus metamatemtico y deben ser elementos articuladores transversales en la didctica de la matemtica. El problema de la enseanza de los significados de la nocin de linealidad en ambiente escolar, es un fenmeno complejo y en tanto, un hecho de naturaleza sistmica. En la enseanza institucionalizada, la diversidad de significados que tiene la nocin de linealidad, hacen que no se perciba en su estatus metamatemtico. Est involucrada en prcticamentetodaslasetapasescolaresysuconcepcinencadaniveleducativo,es vista de manera aislada y sin conexin una de la otra, esto es, no hay articulacin de la nocin,atravsdesussignificados,enelmbitoescolardeunestudiante,yaqueel discursoescolarnolopropicia,nitampocoelmediosocio-culturalledemandatal congruencia de saberes. Referencias bibliogrficas Acosta,J.(2011)Anlisisepistemolgico,cognitivoysocioculturaldelanocinde linealidad. Tesis doctoral no publicada. Mxico: CICATA-IPN.Acosta,J.(1999).LaMatemticaylaleydeLavoisier.MATE(Num.2,pp.58). SubnodoRegionaldeMatemticaEducativa.Revistadedivulgacindeaspectos matemticos, Universidad Autnoma del Estado de Hidalgo. Mxico. Acosta,J.,Rondero,C.,Tarasenko,A.yKarelin,O.(2008).Unenfoquehistricoy epistemolgicodelanocindelinealidad.MemoriadelHistoryandPedagogyof Mathematics 2008, ICME, Mxico. Acosta,J.,Rondero,C.,Tarasenko,A.(2010)Laresignificacindelanocinde linealidad. ALME 23 (enviado para su publicacin). Mxico: CLAME. Acosta,J.,Rondero,C.,Tarasenko,A.(2010)Laresignificacindelanocinde linealidad. ALME 23 (enviado para su publicacin). Mxico: CLAME. Boyer, C.(1991)A History of Mathematics.New York, USA: John Wiley. Cantoral,R.yFarfn,R.(2004a).DesarrolloConceptualdelClculo.Mxico,D.F., Mxico: Thomson Editores. Chevallard,Y.(1997).Latransposicindidctica.Delsabersabioalsaberenseado. Editorial Aique. Buenos Aires: Argentina.Grossman, S. (1996). lgebra lineal. (5a ed.). Mxico: Editorial McGraw Hill Hofmann, J. (2002) Historia de la matemtica. Mxico: Editorial Limusa.Hogg,J.,Bickel,Ch.,Nicholson,M.yWik,H.(1970).Qumicaunenfoquemoderno. Mxico: Editorial Reverte Mexicana, S. A. Kolman, B. y Hill, D. (2006). lgebra Lineal. (8a ed.). Mxico: PEARSON Educacin. Lehmann, C. (2001) Geometra Analtica. Editorial LIMUSA, Mxico. Lehmann, C. (2007). Geometra Analtica. Mxico: Limusa Rondero,C.,Tarasenko,A.Acosta,J.(2009).Algunasincongruenciasconceptuales sobre la nocin de linealidad. ALME 22, Mxico. Struik,D.(1986).Historiaconcisadelasmatemticas.(2aed.).[SerieMaestrosdel Pensamiento Cientfico]. Mxico: Instituto Politcnico Nacional. Torija,R.(1999).Arqumedes.Alrededordelcrculo.(2aed.)[Lamatemticaensus personajes]. Espaa: NIVOLA. Los promedios como elementos de clculo Dr. Carlos Rondero Guerrrero La media aritmtica Es posible hacer la identificacin del mtodo del exceso-defecto, para dos valores reales positivos a y b, con a< b, para lo cual procedemos de la siguiente forma, el exceso de a respecto a un valor intermedio x, con a < x < b, que tiene la caracterstica conceptual de ser el que equipara, es x-a, mientras que el defecto de b respecto a x, es x-b, en forma tal que al equipararse se tiene, considerando que x-a, es un valor positivo, mientras que x-b, es negativo x -a +x-b=0 de donde, 2x =a+b o sea, 2b ax+= 2b ax+= ab Actividades -Usando el exceso y el defecto, hagaver que 8 no es la media aritmtica de 5 y 13. Explique por qu x=12, no puede ser la media aritmtica de los valoes 7 y 10. Demuestre algebraicamente que la media aritmtica de a y b, se puede tambin expresar de la forma X= a + (b-a)/2X=b-(b-a)/2. Usandoundiagrama,expliquegrficamenteelsignificadodecadaunadelasdos expresiones anteriores. Demuestrequeparaa . La media aritmtica de estas dos aproximaciones es: 20 01a A aa+=lacualesunaaproximacinpordefecto,luegoentoncessetienequeesuna aproximacin por exceso. Repitiendo el proceso se llega a la expresin recurrente del mtodo: 21nnnaAaa+=+ Es de resaltar el hecho de que adems de ser utilizada la media aritmtica como mtodo de clculo, en esencia se tiene construido un mtodo de aproximacin por exceso y por defecto, el cualconlleva no slo una cierta belleza esttica, sino toda una concepcin de clculo y de metodologa aproximativa. PodemospasaraverunejemplodecmoutilizarelmtododeHerndeAlejandra, para el clculo de. Partiendo de la ecuacin, 02= n x , o bien, n x =Si se parte de x0, considerado como un valor por defecto, se tiene entonces que 0xn, es un valor por exceso. Luego, si se calcula la media aritmtica de ambos, el nuevo valor es: ) (2100 1xnx x + = , la siguiente aproximacin se calcula como, ) (2111 2xnx x + =De manera tal que la expresin de recurrencia queda de la forma: Lacualesposibleidentificarlacomolamediaaritmticadelasdosaproximaciones anteriores,aunqueademsseinvolucraunmtodorecursivo,alocupardos aproximacionesanterioresxny nxnparacalcularlasiguienteaproximacinan . Unavezmselconstructoepistemolgicodelexcesoyeldefectohacesuaparicin, ahoracomounprocesoaproximativodecarcternumrico,queenprincipiopermite construirunasucesindenmerosracionalesconvergenteaunirracionalrepresentado porn . Actividades -Paracalcular,porelmtododeHern,sepuedepartirdeunaprimera aproximacin por la izquierda que sea x0=1, evale las otras tres aproximaciones que son: x1=3/2;x3= 17/12 ;x3= 577/408. -Paraelclculodesepuedetomara1comounaprimeraaproximacin, obtenga por el procedimiento anterior las tres siguientes aproximaciones. -Mencionesisonporexcesoopordefectocadaunadelasaproximaciones anteriores. La media geomtrica Lamediageomtricaparadosvaloresa>oyb>o,estdadaentrminosdelaraz cuadrada del producto de ambos, es decir, ab G=De cualquier forma al igual que la media aritmtica, G es un valor entre a y b, pero en general G 0,estdadaentrminosdela media aritmtica de los recprocos correspondientes de a y b, esto es, ((

+=b aH1 1211, Es decir,21 11b aH+= , abb ab a H+= + =1 1 2, 221Gxabb aH=+= xGH2=Estaexpresinrelacionaparadosvaloresdadosa>0yb>0,alasmediasaritmtica, geomtrica y armnica. Otra propiedad que se desprende es que la media geomtrica se puede expresar como, xH G = . De esta ltima relacin se identifica una de las muchasformas en que las tres medias se interrelacionan. Esdehacersenotarqueladefinicindelamediaarmnicaestdadaentrminosdel recprocodelamediaaritmticadelosrecprocosdelosvaloresayb.Detalmanera que de se modo se garantiza que H tenga las mismas dimensiones que tienen a y b. Es posible demostrar que para dos valores dados, a>0 y b>0, se cumple la desigualdad, H< G< X, Para demostrar que X>G, se puede partir de considerar que (a-b)2 >0, de donde a2 -2ab+b2>0, a2-2ab+4ab+b2>4ab a2+2ab+b2>4ab (a+b)2>4ab Nota histrica La media armnica debe su nombre probablemente a Archytas quien asllam a esta terceramedia.Laexplicacinsobreelnombrepareceserasurelacinconlas frecuencias fundamentales de la escala pitagrica. En tal caso, la media armnica de 1 y 2 vale 4/3, de manera tal que la sucesin de frecuencias est dada por 1, 4/3, 2, que a su vez da los intervalos fundamentales de la escala pitagrica, a saber: la octava entre 1y 2,conrelacin2/1,lacuartaentre1y4/3,conrelacin4/3,ylaquintaentre4/3y2, con relacin 2/4/3=3/2. Bajo esta consideracin, es entonces explicable el nombre de la mediaarmnica,perohacefaltaampliaranmssusignificadotodolocualayudaa propiciar los aprendizajes. Conlafinalidaddemostrarlaformaenqueestnrelacionadaslosdiferentestiposde promedios,sepuedeprocederarealizarunatablacomparativaentrelasmedias geomtricas, aritmticas y armnicas, usando valores de la tabla anterior. abGxH 1425/28/5 28410/216/5 312615/224/5 Actividades -Compruebe para todos los valores dados en la tabla que se cumple la propiedad, xH G = . -Compruebe para todos los valores dados en la tabla que se cumple la propiedad, xGH2= . - Compruebe que en caso para los valores dados de a y b en la tabla, se cumple que H< G < x. - Siguiendo el patrn numrico dado en la tabla anterior, cuando a = 6, identifique sin realizar clculos los correspondientes valores de b y de cada una de las medias aritmtica, geomtrica y armnica. - Realice lo mismo que en la actividad anterior, pero ahora considere el valor de b = 28. No haga clculos, slo identifique patrones numricos. -Realice los clculos correspondientes para los tres tipos de medias, aritmtica, geomtrica y armnica, y compruebe que los valores obtenidos en las dos actividades anteriores son correctos. -Muestre que cuando a=b, las tres medias son iguales, esto es, H=G=x. Clculo de races, mtodo aritmtico - armnico Habrqueinsistirenlapropiedaddadaanteriormenteenlaqueabsepuedeexpresar como el producto de la media aritmtica por la media geomtrica, esto es de la relacin: abb ab a H+= + =1 1 2, abb aH+=2 Hb aab2+=(((((

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\|++=b ab aab1 12112 Siahoraconsideramosestapropiedadcuandoa=1yb=2,referidosaunrectngulode tales dimensiones y rea 2, se tiene: 2 1 Lascorrespondientesmediaaritmticax=3/2ylamediaarmnicaH=4/3.Setiene ahora un rectngulo de dimensiones 3/2 y 4/3, con rea 2, esto es, Si se repiten los clculos para estos nuevos valores, la media aritmtica esx= 17/12,y la media armnica H=24/17, donde el rea es (17/12) (24/17)=2. Sepuedehacernotarquesisecontinaelprocedimientoseobtienendossucesiones calculadas por medias aritmticas y medias armnicas de los valores previamente dados, de manera tal que se puede identificar un cuadrado lmite de rea 2, cuyos valores de los lados respectivos se aproximan a2 .Esteprocedimientodeclculoderacescuadradas,seleatribuyealosbabilonios, aunquetambinselehallamadomusicalyseconsideraaArchytascomosuautor. Poresteprocedimientoaritmtico-armnico,sepuedencalculardecimalesquese aproximan a2 . Actividades -Calculelosdossiguientesvaloresdelasmediasaritmticasygeomtricasque siguen tomando como valores de inicio, 17/12 y 24/17. -Calculelosvaloresdecimalescorrespondientesalasucesindemedias aritmticas,1,3/2,17/12,,incluyalosdosvalorescalculadosenlaprimera actividad. -Calculelosvaloresdecimalesquecorrespondenalasucesindemedias armnicas,2,4/3,24/17,,incluyalosdosvalorescalculadosenlaprimera actividad. Unaconsideracinadicionalrespectoalassucesionescalculadasporlamedia aritmtica: 1, 3/2, 17/12, 577/408, .,y por la media armnica: 2,4/3, 24/17, 816/577; ,esqueambasconvergena2 ,siendoquelaprimeralohaceporladerechayla segunda por la izquierda de2 . Este procedimiento es realmente sorprendente ya que permite obtener dos sucesiones de nmeros racionales que convergen al irracional2 , unaconvaloresmayoresperocadavezmsprximosylaotraconvaloresmenores cada vez ms cercanos a2 . 24/17 17/12 3/2 4/3 Nivel medio superior y superior UNA PROPUESTA PARA EL EMPLEO DE UN BLOG EN LA CLASE DE MATEMTICAS EN NIVEL LICENCIATURA Campos Nava, Marcos; Torres Rodrguez, Agustn Alfredo. Departamento de Ciencias Bsicas Instituto Tecnolgico de Atitalaquia.mkmpos77@yahoo.com.mx; angust68@yahoo.com.mx INTRODUCCIN Enelcasodelaenseanzadelasmatemticasengeneral,yenlosprimeroscursos universitariosenparticularsehanidentificadodiferentesaspectosqueenmuchas ocasiones se constituyen en dificultades cognitivas, dado que limitan la comprensin de los estudiantes para poder avanzar en el estudio de sus contenidos. Las dificultades que sepresentantienendiversascausas,comoyahasidoreconocidopornumerosos estudios,perounadeellaseslaactitudqueelestudiantepromediomuestrahacialas matemticas,ascomotambinalgunasdeficienciasenlosconocimientospreviosque debe poseer el alumno que ingresa a una carrera de ingeniera. Estaproblemticasevereflejadaenlosndices dereprobacindelasasignaturasque formaneltroncocomndevariascarreras,entrelasculesseencuentranelclculo diferencial e integral, laestadsticay el lgebra lineal. Por ello no resultasorprendente quetalesasignaturasseanlosprimerosobstculosdeunestudiantedeingeniera,y presenten altos ndices de reprobacin.

En el otro lado de esta problemtica, tenemos al docente. Cuando se imparten este tipo decursosdurantelosprimerossemestresdelnivelsuperior,setiendeasoslayarel desarrollodealgunascompetenciasqueelestudianterequiere,comoporejemplola capacidad de comunicar sus resultados, o de exponer argumentos a favor o en contra de algn razonamiento, adems de poder explicar algunos conceptos o nociones, dentro del contexto de alguna aplicacin o de las relaciones que ese concepto puede tener con otros contenidoso disciplinas, dnde el estudiante pueda percatarse de la aplicabilidad de los conocimientosqueestadquiriendo.Envezdeellolamayoradelasocasionesel profesorponemayornfasisenlahabilidaddelestudianteporresolverejerciciosy/o problemas, pero slo destacando la parte del conocimiento algortmico. Esta perspectiva delprofesorposiblementetienesuorigenenlaformaenqueeranenseadaslas matemticasenlasgeneracionesdeestudiantesdelosltimosaosdelsiglopasadoy losprimerosdelpresente,antesdeladvenimientodenuevosenfoquesymodelos educativos, como e