METODO DEL MARCO EQUIVALENTE

JOSE ALONSO MENDOZA DELGADO

El método del marco equivalente es una análisis para cargas gravitacionales que convierte un marco tridimensional, formado por losas conectadas a columnas a través de elementos torsionantes, en un marco en dos direcciones, formado por una losa transformada en elementos viga-losa y columnas que ven incrementada su rigidez por la colaboración del elemento sujeto a torsión, como se muestra en la figura. A.1.

El ancho del Marco Equivalente toma una distancia del centro del claro a un lado de la columna a el otro centro del claro, de la misma figura, como se muestra en la figuras A.2 y A.3.

Un análisis completo de una sisema de losas en dos direcciones, usando este método, consiste en analizar una serie de marcos equivalentes interiores y exteriores tomados longitudinalmente y transversalmente en el edificio, como se muestra en la figura A.2.

Se permite que para cargas gravitacionales, las losas de cada entrepiso se diseñen por separado considerando los extremos de las columnas empotradas o restringida la rotación .

El método de Marco Equivalente es un método elástico aplicado a edificios o construcciones con columnas arregladas en forma ortogonal y es un método aplicable a losas con o sin vigas entre las columnas o soportes. (solo se estudiara losas sin vigas entre los apoyos).

El metodod del marco equivalente puede también utilizarse para el análisis de cargas laterales, si la rigidez de los elementos que lo constituyen son bien defiinidos y se toman en cuenta los efectos de agrietamiento asi como también algunos factores de suma importancia como el tipo de sistema de losa y los detales de colocación del acero de refuerzo. El ACI 318 menciona:

“UN SISTEMA DE LOSA PUEDE SER DISEÑADO POR CUALQUIER PROCEDIMIENTO QUE SATISFAGA LAS CONDICIONES DE EQUILIBRIO Y LA COMPATIBILIDAD GEOMETRICA SI SE DEMUESTRA QUE EL ESFUERZO DE DISEÑO EN LA SECCION ES CUANDO MENOS IGUAL AL ESFUERZO REQUERIDO, Y LAS CONDICIONES DE SERIVICIO SEAN CUMPLIDAS”.

MARCOS IDEALIZADOS POR EL METODO DE MARCO EQUIVALENTE.

El procedimiento que se ilustra a continuación, es el producto de transformar marcos tridimensionales a marcos paralelos, en dos direcciones. El método contempla analizar separadamente cada marco y, posteriormente, conjuntar todos los resultados para obtener el análisis de la estructura.

Se corta la estructura por medio de planos verticales, a la mitad de la distancia entre columnas, para dividir el edificio en dos conjuntos de marcos paralelos, como se muestra en la figura A.2.

DESCRIPCION DE LOS ELEMENTOS DEL MARCO EQUIVALENTE

VIGA-LOSA

Esta formada por la unión de la losa con la viga; si la hay, su calculo depende de las rigideces de ambas; en nuestro caso, solo existe losa, por lo cual, como se muestra en la figura A.4, y usando las inercias que se muestran en la figura, se puede calcular fácilmente la rigidez de la losa-viga.

El procedimiento para el calculo de la rigidez se basa en las siguientes consideraciones:

1.- El momento de inercia de la viga-losa entre los paños de los apoyos se calcula tomando el área total de la sección transversal del concreto.

2.-Un apoyo se define como la columna, un capitel, una mensula o un muro, nunca se considerará como apoyo una viga.

• 3.- El momento de inercia de la viga-losa, desde el paño del apoyo hasta el eje del mismo, se calcula tomando el momento de inercia de la viga-losa en el paño del apoyo dividida entre (1-C2/2) siendo C2 la dimensión de la columna en la dirección transversal a la de diseño. Este factor provocará que la viga-losa sea al menos un elemento semi-rigido; es decir, que las rotaciones no sean libres ni totalmente restringidas; por lo cual, los factores de rigidez y transporte, para miembros prismáticos, no pueden ser aplicados a este sistema.

El método consiste en los siguientes pasos:

a) Idealización de la estructura tridimensional en marcos bidimensionales contituidos por columnas y vigas.

b) Determinación de la rigideces de los elementos que forman los marcos.

c) Analisis estructural de los marcos.

d) Distribución de los momentos flexionantes y fuerzas cortantes obtenidos en el análisis, entre los elementos que forman la estructura tridimensional.

e) Dimensionamiento de los elementos de la estructura.

a) Idealización de la estructura.

Se debe idealizar la estructura por una serie de marcos en dos direcciones. Como se muestran en la fig rayadas.

Las columnas de los marcos equivalentes son iguales a las columnas de la estructura, modificadas de tal manera que, además de la columna propiamente dicha, incluyen la viga perpendicular a la dirección del marco equivalente, como se muestra en la fig. 19.17. Esta modificación se hace para tomar en cuenta el efecto de restricción por torsión que ejercen las vigas sobre la losa (ver fig. 19.2.3).

En sistemas de piso sin vigas se supone que existe una viga cuyo peralte es igual al de la losa y cuyo ancho es igual al de la columna o capitel en la dirección del marco equivalente.

En sistemas de piso con vigas se supone que las vigas transversales son vigas T o L, cuyo ancho de patin es igual a la proyección de la viga encima o debajo de la losa, rigiendo la mayor, pero sin exceder cuatro veces el espesor de la losa. En la fig. 19.18

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En losas apoyadas sobre columnas, las vigas de los marcos estan formadas por los tramos de losa comprendidos entre los ejes centrales de los tableros. La manera de transformar los tramos de losa en vigas equivalentes se indica en la siguiente sección.

19.5.2- determinación de las rigideces de los elementos.

Solo se consideran secciones gruesas de concreto sin agrietar y sin tomar en cuenta el acero de refuerzo.

a) Vigas del marco equivalente en sistemas de piso sin vigas.

Este caso se presenta en la fig 19.19 a, la cual representa un sistema que incluye ábaco capitel.

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El momento de inercia de la sección A-A es el de una sección rectangular (fig. 19.19b).

La sección B-B, que corresponde al ábaco, se calcula como el de la sección T mostrada en la fig. 19.19c.

La sección C-C mostrada en la fig. 19.19d es de peralte variable, sin embargo por simplicidad se supone que el momento de inercia, del eje de la columna al extremo del capitel, o a la cara de la columna si no hay capitel, es constante e igual al momento de inercia en la sección del ábaco, dividido entre el factor (1-c2/l2)^2, donde c2 y l2 son las dimensiones del capitel o de la columna y del claro, en dirección transversal a la del marco equivalente considerado.

El factor de reducción es el mismo para capiteles redondos o cuadrados. La distribución de valores 1/EI a lo largo del claro se muestra en la fig. 19.19e.

En el apéndice D se presentan factores para calcular la rigidez y los factores de transporte con los criterios anteriores para varios casos.

b) Vigas del marco equivalente en sistemas de piso con vigas.En la figura 19.20 se ilustra

la forma de calcular el valor de l en distintas secciones. En la zona interior del claro, sección A-A, el momento de inercia es el de una sección T con ancho de patín igual al claro transversal, l2. Entre los ejes de columnas y los paños de columnas o capiteles, sección B-B, se usa el valor del momento de inercia en la sección A-A, dividido entre el factor (1-c2/l2)^2

Las secciones C-C y D-D de la figura 19.20, ilustran la manera de tratar el caso en que la viga transversal es mas ancha que la columna.

C) Columnas de marco equivalente. La columna equivalente esta formada por la columna y una viga que trabaja a torsión, restringiendo la losa, fig. 19.17. Para calcular la rigidez de este elemento compuesto, se parte de la hipótesis de que su flexibilidad, o sea, el reciproco de su rigidez, es igual a la suma de las flexibilidades a flexión de los tramos de columna encima y debajo del nivel de piso y de la flexibilidad a torsión de la viga. Esta consideración se expresa mediante la siguiente ecuación:

En la fig. 19.21, se presenta la variación en los valores de 1/EI de una columna, en sistemas con vigas, el tramo de rigidez infinita se toma como el comprendido entre el lecho superior de la losa y el lecho inferior de la viga de mayor peralte (fig. 19.22). Para calcular las rigideces se considera que la altura de las columnas se mide centro a centro de las losas como se aprecia en la fig. 19.21 y 19.22).

La rigidez torsionante, Kt, de la trabe unida a la columna (fig.19.17), puede calcularse con la siguiente ecuación:

La sumatoria que aparece en la ecuación 19.21, se refiere a los rectángulos en que puede descomponerse la sección T o L de la viga de la fig. 19.17, se expresa en la fig. 19.23, debe usarse el mayor valor de C que se pueda obtener.

A partir de los valores Kc y Kt se calcula la rigidez de la columna equivalente, Kec, con la ecuación 19.19.

Cuando el tablero tiene un viga paralela a la dirección en que actúa el momento flexionante, la hipótesis ya no es valida. Se recomienda para este caso multiplicar el valor Kt por el factor Ia/Is, donde Is es el momento de inercia de un ancho de losa igual al ancho del tablero, l2, excluyendo la parte del alma de la viga que se proyecta arriba y debajo de la losa, e Ia es el momento de inercia de la misma losa, incluyendo la parte de la viga que se proyecta arriba y abajo de la losa. Por lo tanto, Is es el momento de inercia de un rectángulo con base l2 y altura igual al espesor de la losa, e Ia es el momento de inercia de una sección T o L si es tablero de borde. La rigidez torsionante modificada por la presencia de la viga paralela es

Análisis estructural de los marcos• Se debe realizar el análisis estructural por los procedimientos usuales para

marcos bidimensionales. El análisis por carga vertical puede llevarse a cabo aislando cada uno de los pisos y suponiendo que las columnas superior e inferior estan empotradas en sus extremos opuesto. En el análisis por carga horizontal (sismo o viento) deben analizarse los marcos completos.

• Cuando se conoce la distribución de la carga viva, el análisis se hace para tal distribución. Si no se conoce la distribución de la carga viva, el análisis se hace para tal distribución. Si no se conoce la distribución y la carga viva no excede de las tres cuartas partes de la carga muerta, o no hay posibilidad de que la carga viva varié significativamente de uno a otro tablero , el análisis se efectúa suponiendo que todos los claros del marco están cargados.

• Cuando no se cumplen estas condiciones, el momento positivo máximo en un claro dado se calcula suponiendo que el claro esta cargado con las tres cuartas partes de la carga viva y con la carga muerta total, y que los claros adyacentes estan cargados únicamente con la carga muerta. El momento negativo máximo en un nudo dado, se calcula suponiendo que el claro esta cargado con las tres cuartas partes de la carga viva y con la carga muerta total, y que los claros adyacentes estan cargados únicamente con la carga muerta.

• El momento negativo máximo en un nudo dado, se calcula suponiendo que los dos claros adyacentes al nudo están cargados ¾ partes de la carga viva total, y los claros siguientes estan descargados. En la fig. 19.24 se ilustran las condiciones desfavorables de carga descritas anteriormente y la simplificación de la estructura que puede hacerse para efectos de calculo por carga vertical.

• En ningún caso debe diseñarse para momentos flexionantes menores que los obtenidos con carga viva total en todos los claros.

• En nudos interiores, la sección critica por momento negativo esta localizada en las caras de las columnas, pero a una distancia no mayor de 0.175 L1 del centro de la columna. En apoyos exteriores con capiteles, la sección critica por momento negativo esta localizada a la mitad de la distancia entre la cara de la columna y el extremo del capitel.