1. Mtodo del valor presenteEl mtodo del valor presente de evaluacin de alternativas es muy populardebido a que los gastos o los ingresos futuros se transforman en dlaresequivalentes de ahora. Es decir, todos los flujos futuros de efectivo asociadocon una alternativa se convierten en dlares presentes. En esta forma, es muy fcil, an para una persona que no est familiarizada con el anlisiseconmico, ver la ventaja econmica de una alternativa sobre otra.La comparacin de alternativas con vidas iguales mediante el mtodo del valorpresente es directa. Si se utilizan ambas alternativas con capacidades idnticaspara el mismo periodo de tiempo, estas reciben nombre de alternativas deservicio igual.Con frecuencia, los flujos de efectivo de una alternativa representan solamente desembolsos, es decir, no se estiman entradas. Por ejemplo, se podra estar interesado en identificar el proceso cuyo costo inicial, operacional y demantenimiento equivalente es ms bajo. En otras ocasiones, los flujos deefectivo incluirn entradas y desembolsos. Las entradas, por ejemplo, podranprovenir de las ventas de un producto, de los valores de salvamento de equipoo de ahorros realizables asociados con un aspecto particular de la alternativa.Dado que la mayora de los problemas que se considerarn involucran tantoentradas como desembolsos, estos ltimos se representan como flujosnegativos de efectivo y las entradas como positivos. Por lo tanto, aunque las alternativas comprendan solamente desembolsos, o entradas y desembolsos, se aplican las siguientes guas para seleccionar una alternativa utilizando la medida de valor del valor presente:Una alternativa: Si VP >= 0, la tasa de retorno solicitada es lograda oexcedida y la alternativa es financieramente viableDos alternativas o ms: Cuando slo puede escogerse una alternativa(las alternativas son mutuamente excluyentes), se debe seleccionaraquella con el valor presente que sea mayor en trminos numricos, esdecir, menos negativo o ms positivo, indicando un VP de costos msbajos o VP ms alto de un flujo de efectivo neto de entradas ydesembolsos.En lo sucesivo se utiliza el smbolo VP, en lugar de P, para indicar la cantidaddel valor presente de una alternativaEjemplo: Haga una comparacin del valor presente de las mquinas de servicioigual para las cuales se muestran los costos a continuacin, si la i = 10% anual.TIPO ATIPO B

Costo inicial (P) $25003500

Costo anual de operacin (CAO) $900700

Valor de salvamento (VS) $200350

Vida (aos)55

La solucin queda de la siguiente maneraVPA = -2500 - 900(P/A,10%,5) + 200(P/F,10%,5)= -$5787.54VPB = -3500 - 700(P/A,10%,5) + 350(P/F,10%,5)= -$5936.25Una agente viajera espera comprar un auto usado este ao y ha estimado la siguiente informacin: El costo inicial es $10,000; el valor comercial ser de $500 dentro de 4 aos; el mantenimiento anual y los costos de seguro son de $1,500; y el ingreso anual adicional debido a la capacidad de viaje es de $5,000. Podr la agente viajera obtener una tasa de retorno del 20% anual sobre su compra?Solucin: Calcular el VP de la inversin con i = 20%VP = -10000 + 500(P/F,20%,4) - 1500(P/A,20%,4) + 5000(P/A,20%,4) = -$698.40No obtendr una tasa de retorno del 20% porque VP es menor que cero.1.1. Formulacin de alternativas mutuamente excluyentesProyectos IndependientesDos o ms proyectos son independientes cuando la aceptacin o rechazo de cualquiera de ellos no tiene vinculacin con la aceptacin o rechazo de cualquier otro. Por ejemplo:La compaa BMW est evaluando invertir $ 250.000 y tiene cinco posibilidades de inversin:

Si el costo de capital de BMW es de 11%, y la vida til de los proyectos es de 10 aos, cul o cules proyectos se deben seleccionar.

En este caso los proyecto de mayor TIR y VPN positivo son el N 2; N 3; N 4 y N 5, sin embargo no se tiene el dinero completo para estos 4 proyectos, entonces lo lgico es que se invierta en los proyectos N 3; N 5 y N 2, en este orden ya que se escogen con base en la mayor TIR y mayor VPN y con el dinero disponible para invertir.Proyectos Mutuamente ExcluyentesUn conjunto de proyectos son mutuamente excluyentes cuando de un grupo puede ser aceptado uno solo de ellos. En este caso, el problema se convierte en elegir un solo proyecto, el mejor en el sentido econmico (o rechazarlos todos). Por ejemplo:La compaa BMW est evaluando determinar el mejor tamao de una mquina de proceso para su planta. Cada mquina tiene una vida de 10 aos y no tiene valor de salvamento. La compaa dispone de $ 350.000 y el costo de capital es de 15%, cul mquina debe seleccionar si tiene seis posibilidades de inversin:

La mquina extra grande, a pesar de ser aceptable econmicamente no se tiene presupuesto para aceptarla (se excluye). La mquina econmica no se acepta al tener una TIR < 15 % y un VPN < 0.Si hubiese una solucin con mximo VPN y a su vez con la TIR mxima tendramos una escogencia a priori, sin embargo no es as. Por lo tanto hay que buscar una solucin por el incremento de la inversin para las 4 opciones que quedan:Primero se har la comparacin entre la mquina Regular y Super y se escoger una que luego se comparar con la Delux.

Dado que la inversin incremental tiene una TIR < 15 % y un VPN < 0, entonces se descarta la inversin de la mquina Super. Nuevamente se compara la regular contra la Delux:

Dado que la inversin incremental tiene una TIR > 15 % y un VPN > 0, entonces se descarta la inversin de la mquina Regular. Y ahora se compara la Delux contra la grande:

Dado que la inversin incremental tiene una TIR < 15 % y un VPN < 0, entonces se descarta la inversin de la mquina grande. Y se selecciona la mquina Delux.1.2. Comparacin de alternativas con vidas tiles igualesCOMPARACION DE ALTERNATIVAS CON VIDAS UTILES IGUALESEste mtodo se emplea para comparar proyectos con igual vida til (duracin); y su comparacin es directa. Si las alternativas se utilizaran en idnticas condiciones, se denominan alternativas de igual servicio y los ingresos anuales tendrn el mismo valor numrico.El proceso del mtodo del Valor Presente Neto es el mismo que se uso para encontrar el valor de P, es decir la cantidad en el presente.Ejemplo:1. Cierta empresa tiene que decidir entre 2 activos (equipos para un proceso de produccin). La duracin de estos activos se estima en 5 aos.

Si la trema de la empresa es del 25 %, Qu activo recomendara adquirir?Solucin (miles de pesos):VPNA = -16 + 4.5 (P/F, 25%, 1) + 5.5 (P/F, 25%, 2) + 6 (P/F, 25%, 3) + 7 (P/F, 25%,4) + 12 (P/F, 25%, 5). VPNA = 0.99136 miles de pesos.VPNB = -15 +6.5 (P/F, 25%,1) +7 (P/F, 25%, 2) + 7.5 (P/F, 25 %, 3) + 8 (P/F, 25%, 4) + 12 (P/F, 25%, 5). VPNB = 5.72896 miles de pesos.Como VPNA > VPNB por lo tanto se recomienda adquirir el activo B.COMPARACION DE ALTERNATIVAS CON VIDAS IGUALESTienen capacidades de alternativas idnticas para un mismo periodo de tiempoGua para seleccionar alternativas:1. Para una sola alternativa: Si el VP es > o = a 0, entonces la Tasa de Inters es lograda o excedida y la alternativa es financieramente viable.2. Para 2 o ms alternativas: Se selecciona la alternativa menos negativa o la ms positiva.Comparacin de Alternativas con vidas igualesEjercicios:1. Realice una comparacin del valor presente de las maquinas y seleccione lamedor para las cules se muestran los costos:Concepto Elctrico Gas SolarCosto inicial 2500 3500 6000Costo Anual de operaciones 900 700 50Valor de salvamento 200 350 100Vida en aos 5 5 52. Un agente desea comprar un auto y estima: Costo inicial=$10000, Valor comercial= $500 dentro de 4 aos, el mantenimiento anual y seguro= $1500 y le ingreso anual adicional debido a la capacidad de viaje= $5000, Podr el agente obtener una tasa de retorno del 20% anual de su compra

1.3. Comparacin de alternativas con vidas tiles diferentesCOMPARACION DE ALTERNATIVAS CON VIDAS UTILES DIFERENTES.Al utilizar el mtodo de Valor Presentepara comparar alternativas con diferente vida til, se aplica lo aprendido en la seccin anterior con la siguiente excepcin: las alternativas se deben comparar sobre el mismo nmero de aos. Es decir, el flujo de caja para un ciclo de una alternativa debe multiplicarse por el mnimo comn mltiplo de aos para que el servicio se compare sobre la misma vida til de cada alternativa.Por ejemplo, si se desea comparar alternativas que tienen una vida til de 3 y 2 aos, respectivamente, las alternativas deben compararse sobre un periodo de 6 aos suponiendo la reinversin al final de cada ciclo de vida til. Es importante recordar que cuando una alternativa tiene un valor Terminal de salvamento, este debe tambin incluirse y considerarse como un ingreso en el diagrama de flujo de caja en el momento que se hace la reinversin.Ejemplo 1: un superintendente de planta trata de decidirse por una de dos maquinas, detalladas a continuacin:

Determine cual se debe seleccionar con base en una comparacin de Valor Presente utilizando una tasa de inters del 15%.Solucin: Puesto qu las maquinas tienen una vida til diferente, deben compararse sobre su mnimo comn mltiplo de aos, el cual es 18 aos para este caso. El diagrama de flujo de caja se muestra en la fig. 3.1.2. A.

Comentario: observe que el valor de salvamento de cada mquina debe recuperarse despus de cada ciclo de vida til del activo. El VS de la maquina A se recupero en los aos 6, 12 y 18; mientras que para la maquina B se recupero en los aos 9 y 18.1.4. Clculo del costo capitalizadoEl costo capitalizado (CC) se refiere al valor presente de un proyecto cuya vida til se supone durar para siempre. Algunos proyectos de obras pblicas tales como diques, sistemas de irrigacin y ferrocarriles se encuentran en esta categora. Adems, las dotaciones permanentes de universidades o de organizaciones de caridad se evalan utilizando mtodos de costo capitalizado. En general, el procedimiento seguido al calcular el costo capitalizado de una secuencia infinita de flujos de efectivo es el siguiente: Trace un diagrama de flujo de efectivo que muestre todos los costos y/o ingresos no recurrentes (una vez) y por lo menos dos ciclos de todos los costos y entradas recurrentes (peridicas). Encuentre el valor presente de todas las cantidades no recurrentes. Encuentre el valor anual uniforme equivalente (VA) durante un ciclo de vida de todas las cantidades recurrentes y agregue esto a todas las dems cantidades uniformes que ocurren en los aos 1 hasta el infinito, lo cual genera un valor anual uniforme equivalente total (VA). Divida el VA obtenido en el paso 3 mediante la tasa de inters i para lograr el costo capitalizado. Agregue el valor obtenido en el paso 2 al valor obtenido en el paso 4.El propsito de empezar la solucin trazando un diagrama de flujo de efectivo debe ser evidente. Sin embargo, el diagrama de flujo de efectivo es probablemente ms importante en los clculos de costo capitalizado que en cualquier otra parte, porque ste facilita la diferenciacin entre las cantidades no recurrentes y las recurrentes o peridicas.Costo capitalizado = VA / i VP = VA / i ; P = A / iEjemplo: Calcule el costo capitalizado de un proyecto que tiene un costo inicial de $150,000 y un costo de inversin adicional de $50,000 despus de 10 aos. El costo anual de operacin ser de $5,000 durante los primeros 4 aos y $8,000 de all en adelante. Adems se espera que haya un costo de adaptacin considerable de tipo recurrente por $15000 cada 13 aos. Suponga que i = 15 % anual.P1 = -150,000 - 50,000(P/F,15%,10[0.2472]) = -$162,360.00A1 = -15,000(A/F,15%,13[0.02911] = -$436.65P2 = -436.65 / 0.15 = -$2911.00P3 = 5,000 / 0.15 = -$33,333.33P4 = -3,000 / 0.15 (P/F,15%,4[0.5718]) = -$11,436.00VP = P1 + P2 + P3 + P4 =-$210,040.33Actualmente hay dos lugares en consideracin para la construccin de un puente que cruce el ro Ohio. El lado norte, que conecta una autopista estatal principal haciendo una ruta circular interestatal alrededor de la ciudad, aliviara en gran medida el trfico local. Entre las desventajas de ste lugar se menciona que el puente hara poco para aliviar la congestin de trfico local durante las horas de congestin y tendra que ser alargado de una colina a otra para cubrir la parte ms ancha del ro, las lneas del ferrocarril y las autopistas locales que hay debajo. Por consiguiente, tendra que ser un puente de suspensin. El lado sur requerira un espacio mucho ms corto, permitiendo la construccin de un puente de celosa, pero exigira la construccin de una nueva carretera.El puente de suspensin tendra un costo inicial de $30,000,000 con costos anuales de inspeccin y mantenimiento de $15,000. Adems, el suelo de concreto tendra que ser repavimentado cada 10 aos a un costo de $50,000. Se espera que el puente de celosa y las carreteras cuesten $12,000,000 y tengan costos anuales de mantenimiento de $10,000. As mismo, ste tendra que ser pulido cada 10 aos a un costo de $45,000. Se espera que el costo de adquirir los derechos de va sean de $800,000 para el puente de suspensin y de $10,300,000 para el puente de celosa. Compare las alternativas con base en su costo capitalizado si la tasa de inters es de 6% anual.Solucin:Alternativa 1: P = 30,000,000 + 800,000; A = 15,000; R1 = 50,000 c/10 aos.Alternativa 2: P = 12,000,000 + 10,300,000; A = 8,000; R1 = 10,000 c/ 3 aos; R2 =45,000 c/ 10 aos.VP1 = -30,000,000 - 800,000 -(15,000/0.06) - ((50,000/0.06)(A/F,6%,10)[0.07587]) =-$31,113,225.00VP2 = -12,000,000 - 10,300,000 -- ((10,000/0.06(A/F,6%,3)[0.31411]) - ((45,000/0.06(A/F,6%,10)[0.07587]) = -$22,542,587.50Se debe construir el puente de celosa, puesto que su costo capitalizado es ms bajo.1.5. Comparacin del costo capitalizado de dos alternativasPara comparar dos o ms alternativas con base al costo capitalizado se utiliza el procedimiento del CCT para cada alternativa. Ya que el costo capitalizado representa el valor presente total de financiamiento y mantenimiento, dada una alternativa de vida infinita, las alternativas se compararn para el mismo nmero de aos (es decir, infinito). La alternativa con el menor CC representar la ms econmica, a continuacin se dar un ejemplo de esto.Ejemplo.Se consideran 2 lugares para un puente que cruce un ro. El sitio norte conecta una carretera principal con un cinturn vial alrededor de la ciudad y descongestionara el trfico local. Las desventajas de este sitio son que prcticamente no solucionara la congestin del trfico local durante las horas de mayor afluencia y tendra que extenderse de una colina para abarcar la parte ms ancha del ro, la va frrea y las carreteras locales que pasan por debajo. Por lo tanto ese puente tendra que ser un puente colgante. El sitio sur requiere de una distancia mucho ms corta, lo que permite la construccin de un puente de armadura, pero sera necesario construir una nueva carretera.El puente colgante tendra un costo inicial de de $ 30 millones con costos anuales de inspeccin y mantenimiento de $ 15 000. Adems, la plataforma de concreto tendra que recubrirse cada 10 aos a un costo de $ 50 000. Se espera que el puente de armadura y las carreteras cercanas tengan un costo de $ 12 millones y un costo anual de mantenimiento de $ 8 000. Cada 3 aos se debera pintar el puente a un costo de $ 10 000. Adems, cada 10 aos habra que limpiarlo con arena a presin y pintarlo a un costo de $ 45 000. Se espera que el costo del derecho de va para el puente colgante sea de $ 8 000 y para el puente de armadura sea de $ 10.3 millones. Compare las alternativas en base a su costo capitalizado, si la tasa de inters es del 6 %.Conclusin: se seleccion el puente de armadura porque tiene un costo menor.

2. Mtodo de Valor AnualLa aceptacin o rechazo de un proyecto en el cual una empresa piense en invertir, depende de la utilidad que este brinde en el futuro frente a los ingresos y a las tasas de inters con las que se evalu.En artculos anteriores se han tratado los fundamentos tericos de las matemticas financieras y su aplicacin en la evaluacin de proyectos organizacionales, teniendo claros estos principios se puede llevar a cabo una valoracin ms profunda del mismo y compararlo con otros utilizando las herramientas que sean comunes a los proyectos que van a analizarse y que a su vez pueda medir las ventajas o desventajas de estos.Alternativa Simple. Esta debe aplicarse cuando se evala y se tiene que decidir si un proyecto individual es o no convenienteLas principales herramientas y metodologas que se utilizan para medir la bondad de un proyecto son:CAUE: Costo Anual Uniforme Equivalente.VPN: Valor Presente Neto.VPNI: Valor Presente Neto Incremento.TIR: Tasa Interna de Retorno.TIRI: Tasa Interna de Retorno Incremental.B/C: Relacin Beneficio Costo.PR: Perodo de Recuperacin.CC: Costo Capitalizado.Todos y cada uno de estos instrumentos de anlisis matemtico financiero debe conducir a tomar idnticas decisiones econmicas, lo nica diferencia que se presenta es la metodologa por la cual se llega al valor final, por ello es sumamente importante tener las bases matemticas muy claras para su aplicacin.En ocasiones utilizando una metodologa se toma una decisin; pero si se utiliza otra y la decisin es contradictoria, es porque no se ha hecho una correcta utilizacin de los ndices.En la aplicacin de todas las metodologas se deben tener en cuenta los siguientes factores que dan aplicacin a su estructura funcional:C: Costo inicial o Inversin inicial.K: Vida til en aos.S: Valor de salvamento.CAO: Costo anual de operacin.CAM: Costo anual de mantenimiento.IA: Ingresos anuales.2.1. Ventajas y aplicaciones del anlisis del valor anualEl VA esel valor anual uniforme equivalente de todos los ingresos ydesembolsos, estimados durante el ciclo de vida del proyecto. El VA es elequivalente de los valores VP y VF en la TMARpara n aos. Los tres valores se pueden calcular uno a partir del otro:VA= VP (A/P, i, n) = VF (A/F, i, n)Cuando todas las estimaciones del flujo de efectivo se convierten a un VA, este valor se aplica a cada ao del ciclo de vida y para cada ciclo de vida adicional.El VA debe calcularse exclusivamente para un ciclo devida. Por lo tanto,no es necesario emplear elMCM de las vidas.Supuestos fundamentales del mtodo del VA:Cuando las alternativas que se comparan tienen vidas diferentes, se establecen los siguientes supuestos en el mtodo:Los servicios proporcionados son necesarios al menos durante el MCM de las alternativas de vida.La alternativa elegida se repetir para losciclos de vida subsiguientes.Todos los flujos de efectivo tendrn los mismos valores calculados en cada ciclo de vida.Para la suposicin 1, el periodo de tiempo puede ser el futuro indefinido. En la tercera suposicin, se espera que todos los flujos de efectivo cambien exactamente con la tasa de inflacin. Si sta no fuera una suposicin razonable, deben hacerse estimaciones nuevas de los flujos de efectivo para cada ciclo de vida.El mtodo del VA es til en estudios de reemplazo de activos y de tiempo de retencin para minimizar costos anuales globales, estudios de punto de equilibrio y decisiones de fabricar o comprar, estudios relacionados con costos de fabricacin o produccin, en lo que la medida costo/unidad o rendimiento /unidad constituye el foco de atencin.Valor de salvamento S. valor terminal estimado de los activos al final de su vida til. Tiene un valor de cero si no se anticipa ningn valor de salvamento y es negativo si la disposicin de los activos tendr un costo monetario. S es el valor comercial al final del periodo de estudio. Cantidad anual A. costos exclusivos para alternativas de servicio. El valor anual para una alternativa est conformado por dos elementos: la recuperacin del capital para la inversin inicial P a una tasa de inters establecida y la cantidad anual equivalente A. RC y A son negativos porque representan costos. A se determina a partir de los costos peridicos uniformes y cantidades no peridicas. Los factores P/A y P/F pueden ser necesarios para obtener una cantidad presente y, despus, el factor A/P convierte esta cantidad en el valor A.La recuperacin de capital es el costo anual equivalente de la posesin del activo ms el rendimiento sobre la inversin inicial. A/P se utiliza para convertir P a un costo anual equivalente. Si hay un valor de salvamento positivo anticipado S al final de la vida til del activo, su valor anual equivalente se elimina mediante el factor A/F.2.2. Clculo de la recuperacin de capital y de valores de Valor AnualEn los clculos de recuperacin del capital es importante que stos incluyan la inflacin. Dado que las UM futuras (valores corrientes) tienen menos poder de compra que las UM de hoy (valores constantes), requerimos ms UUMM para recuperar la inversin actual. Esto obliga al uso de la tasa de inters del mercado o la tasa inflada en la frmula [25] (C/VA).Ejercicio 130 (Tasa real, tasa inflada y clculo de la anualidad)Si invertimos hoy UM 5,000 a la tasa real de 15% cuando la tasa de inflacin es del 12% tambin anual, la cantidad anual de capital que debe recuperarse durante 8 aos en UM corrientes (futuros) de entonces ser:1 Calculamos la tasa inflada:i = 0.15; ?? = 0.12; i? =?[52] i? = 0.15 + 0.12 + 0.15(0.12) = 0.2882 Calculamos la cantidad anual a ser recuperada:VA = 5,000; i? = 0.288; n = 8; C =?Respuesta:La cantidad anual que debe recuperarse considerando la tasa real incluida la inflacin es UM 1,659.042.3. Alternativas de evaluacin mediante el anlisis de Valor AnualLa evaluacin de proyectos por medio de mtodos matemticos- Financieros es una herramienta de gran utilidad para la toma de decisiones por parte de los administradores financieros, ya que un anlisis que se anticipe al futuro puede evitar posibles desviaciones y problemas en el largo plazo.La alternativa elegida posee el menor costo anual equivalente o el mayor ingreso equivalente.Directrices de eleccin para el mtodo del VA:Para alternativas mutuamente exclusivas, calcule el VAusando la TMAR:Una alternativa: VA 0, la TMAR se alcanza o se rebasa.Dos o ms alternativas:Se elige el costo mnimo o el ingreso mximo reflejados en el VA.Si los proyectos son independientes, se calcula el VA usando la TMAR. Todos los proyectos que satisfacen la relacin VA 0 son aceptables.

2.4. Valor Anual de una inversin permanenteEsta seccin es acerca del valor anual equivalente del costo capitalizado que sirve para evaluacin de proyectos del sector pblico, exigen la comparacin de alternativas de vidas con tal duracin que podran considerarse infinitas en trminos del anlisis econmico. En este tipo de anlisis, el valor anual de la inversin inicial constituye el inters anual perpetuo ganado sobre la inversin inicial, es decir, A =Pi,Los flujos de efectivo peridicos a intervalos regulares o irregulares se manejan exactamente como en los clculos convencionales del VA; seconvierten a cantidades anuales uniformes equivalentes A paraun ciclo. Se suman los valores de A a la cantidad RC para determinar el VA total.