MÉTODOS MATEMÁTICOS (Curso 2011-2012)Tercer Curso de Ingeniería Aeronáutica

Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla

LECCIÓN 3: MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ECUACIONES

DIFERENCIALES ORDINARIAS

Resumen: Estudiamos en esta lección algunos aspectos de los métodos de mayor uso para laintegración numérica de problemas de valor inicial en ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferen-ciales ordinarias (EDOs). En concreto, explicamos los elementos que permiten un correcto uso delas rutinas que a tal efecto están disponibles hoy día en los paquetes de software, incluidos loscorrespondientes comandos de Matlab.

Índice

1. Introducción 11.1. Ejemplo: Modelo de reacción química . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Cuestiones de Repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. El método de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Métodos numéricos 62.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2. Métodos Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3. Convergencia. Error global y error local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4. Pares encajados de métodos Runge Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3. Comandos de Matlab 193.1. Aspectos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2. Problemas de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4. Cuestiones y problemas 27

1. Introducción

Las ecuaciones diferenciales son una de las herramientas matemáticas más usadas en el modeladode problemas técnicos y científicos. Puesto que la gran mayoría de las ecuaciones diferencialesque aparecen en dichos modelos no pueden resolverse analíticamente, la integración numérica delas ecuaciones diferenciales (ordinarias o en derivadas parciales) suele considerarse la parte másimportante del Análisis Numérico. En esta lección vamos a estudiar y analizar métodos numéricospara resolver problemas de valores iniciales de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias.

1

1.1. Ejemplo: Modelo de reacción química

Tomaremos como ejemplo el modelo de reacción química conocido como “Brusselator” (véase [1],§ I.16) en el que seis sustancias, A, B, D, E, X e Y reaccionan del siguiente modo

Ak1!" X,

B +Xk2!" Y +D,

2X + Yk3!" 3X,

Xk4!" E,

Denotando por A(t), B(t), . . . , las concentraciones de cada sustancia en el instante t (pues, enprincipio, varían con el tiempo a partir del estado inicial en el que se encuentren) por la Ley deAcción de Masas tendremos que

A! = !k1A,

B! = !k2BX,

D! = k2BX,

E ! = k4X,

X ! = k1A! k2BX + k3X2Y ! k4X,

Y ! = k2BX ! k3X2Y,

donde la prima denota derivada con respecto a t. Podemos simplificar este sistema del siguientemodo. Nos olvidamos de las ecuaciones de D y E, puesto que no afectan al resto; mediante unmecanismo adecuado es posible en la práctica mantener los niveles de A y B constantes (y positivos).Suponiendo este extremo y tomando unidades adecuadas para que los regímenes de reacción tomenvalor 1, si denotamos

u = X, v = Y, obtenemos el sistema

!

u! = A+ u2v ! (B + 1)u,v! = Bu! u2v.

(1)

El sistema (1) para A = 1 y B = 3 tiene solución periódica estable y esto puede observarse en elcomportamiento asintóticamente periódico de la solución en Fig. 1.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

1

2

3

4

5

t

u,v

u

v

Figura 1: Solución del Brusselator con condiciones inicales u(0) = 1,5 y v(0) = 3.

2

1.2. Cuestiones de Repaso

En el ejemplo anterior la evolución de las concentraciones viene regida por un sistema de ecua-ciones diferenciales ordinarias (EDOs). Escribiremos dichos sistemas de modo general como

"

#

$

#

%

y!1(t) = f1(t, y1(t), ..., ym(t)),...

......

y!m(t) = fm(t, y1(t), ..., ym(t)),

donde m es el número de ecuaciones (tantas como incógnitas y1(t), . . . , ym(t), y donde cada fj esuna función (en general) de m+1 argumentos. El sistema anterior suele escribirse en notación máscompacta como

y!(t) = f(t, y(t)),

donde, para cada t,

y(t) =

&

'

(

y1(t)...

ym(t)

)

*

+

# Rm, f(t, y(t)) =

&

'

(

f1(t, y1(t), . . . , ym(t))...

fm(t, y1(t), . . . , ym(t))

)

*

+

# Rm.

En general, y siempre que no dé lugar a confusión suprimiremos la referencia explícita a la depen-dencia de t.

En buena parte de las aplicaciones prácticas las funciones o campos f son regulares, en elsentido de ser diferenciables con continuidad varias veces. Supondremos en esta lección que f es tanregular como nos sea necesario. Recuerde que las correspondientes soluciones y tienen una derivada(respecto de t) más que el número de veces que sea diferenciable f .

Recuerde así mismo que la soluciones pueden no existir para todo t, dependiendo de la naturalezade f . Aquí nos centraremos exclusivamente en los problemas con soluciones definidas para todo t. Nohabrá olvidado que un sistema de EDOs tiene infinitas soluciones, pero (si f es regular) solamenteuna que en un instante de tiempo tome un valor determinado. Se entiende por problema de valorinicial (PVI) o problema de Cauchy en un intervalo [t0, tf ], al dado por un sistema de EDOs y unacondición incial

y!(t) = f(t, y(t)),y(t0) = y0,

,

, t # [t0, tf ].

Recuerde así mismo las nociones de dependencia continua de las condiciones iniciales. Si y y zson dos soluciones

y! = f(t, y), z! = f(t, z), tales que y(t), z(t) # !, $t # [t0, tf ],

donde ! es una region de Rm, y L constante de Lipschitz adecuada en [t0, tf ] % !, como una cotade la derivada parcial de f respecto de y, esto es

&fy(t, y)& ' L, $t # [t0, tf ], y # !, (2)

donde

fy =

&

'

'

'

(

!f1!y1

. . . !f1!ym

......

!fm!y1

. . . !fm!ym

)

*

*

*

+

,

3

entonces se tiene que

&y(t)! z(t)& ' eL(t"t0) &y(t0)! z(t0)& , t # [t0, tf ], (3)

o dicho de otro modo, si f es suficientemente regular, a datos iniciales próximos les correspondensoluciones próximas .

1.3. El método de Euler

Como quiera que en la mayor parte de las ecuaciones diferenciales y sistemas de EDOs de interésno se puede obtener una solución expresable en términos de funciones elementales, de antaño se vieneutilizando el método de Euler para obtener aproximaciones a una solución, método que le habráncontado en los cursos de ecuaciones diferenciales. Recuerde que es como sigue. Para el problema deCauchy

y!(t) = f(t, y(t)),y(t0) = y0,

,

, t # [t0, tf ].

se considera una particiónt0 < t1 < . . . < tN = tf

del intervalo [t0, tf ], y se obtienen aproximaciones

yn ( y(tn), n = 1, 2, . . . , N,

mediante la recurrencia

yn+1 = yn + hnf(tn, yn), n = 0, 1, . . . , N ! 1,

dondehn = tn+1 ! tn, n = 0, 1, . . . , N ! 1.

También recordará que la idea del método de Euler es, en cada subintervalo [tn, tn+1], sustituir lacurva solución por su recta tangente, tal y como indicamos en la figura.1

hn

yn

yn+1

tn tn+1

solucion

1En éste y en todos los gráficos de la lección, las leyendas están en inglés, pues, al no permitir Matlab escribiracentos, hemos preferido esta opción antes que escribir incorrectamente en nuestra lengua.

4

Le habrán informado que el método de Euler converge en el sentido de que tomando particionescada vez más finas del intervalo [t0, tf ], las poligonales que obtenemos uniendo las aproximaciones ynpor segmentos se parecen cada vez más a la gráfica de la solución y(t) y, de hecho, la correspondientefunción lineal a trozos converge a la solución y(t) en cada t # [t0, tf ], tal y como se ve en la Fig 2,donde representamos una solución y, y las funciones lineales a trozos que construimos con lasaproximaciones del método de Euler tomando particiones uniformes (con todos los incrementos hj

iguales a h) para valores de h = (tf ! t0)/4, h = (tf ! t0)/8 y h = (tf ! t0)/16. De hecho, es

y0

y(t)

Figura 2: Aproximaciones obtenidas por el método de Euler con h = (tf ! t0)/4, h/2 y h/4.

posible que le hayan explicado que, llamando Ih a la función lineal a trozos obtenida a partir de lasaproximaciones yn, esto es,

Ih(t) = yn +yn+1 ! yntn+1 ! tn

(t! tn), t # [tn, tn+1], n = 0, . . . , N ! 1,

se tiene que

maxt#[t0,tf ]

&y(t)! Ih(t)& 'eL(tf"t0) ! 1

2Lmax

t#[t0,tf ]&y!!(t)& h, (4)

dondeh = max

n=0,...,N"1hn,

y L es una constante de Lipschitz adecuada como la indicada en (2) (véase por ejemplo [1], § II.3).Note entonces cómo se aprecia en Fig. 2 que al dividir h por dos en igual proporción se divide

la distancia entre el valor de las poligonales y la solución y.

5

2. Métodos numéricos

2.1. Introducción

Es posible que haya oído hablar de la existencia de otros métodos numéricos para ODEs, como elafamado método Runge-Kutta (sepa Vd. que no es un método, son muchos, y que los mismos Rungey Kutta crearon varios métodos distintos). Tanto Runge como Kutta, como otros muchos comoAdams, Bashford, Moulton, Heun, y más recientemente, Rallston, Hull, Gill, Felhberg, Dormand,Prince, etc, parten de la igualdad

y(tn+1) = y(tn) +

- tn+1

tn

y!(t) dt = y(tn) +

- tn+1

tn

f(t, y(t)) dt (5)

y aproximan esta integral por alguna fórmula de cuadratura adecuada. Por ejemplo, el método deEuler se obtiene mediante la fórmula de cuadratura conocida como la regla del rectángulo

- tn+1

tn

f(t, y(t)) dt (- tn+1

tn

f(tn, y(tn)) dt = hnf(tn, y(tn)),

en la que se aproxima el integrando por su valor en el extremo inferior del intervalo de integración,

f(t, y(t)) ( f(tn, y(tn)), t # [tn, tn+1].

La regla del rectángulo es una fórmula de cuadratura de grado 0 (solo integra exactamentefunciones constantes, que son polinomios de grado 0). Como quiera que la regla del punto medio esde grado 1 (esto es, integra exactamente polinomios de grado menor o igual que 1) y, por tanto, engeneral más precisa (como podemos apreciar en este dibujo)

Rectángulo P. Medio

una idea para méjorar el método de Euler es entonces utilizar la regla del punto medio, aproximandoel integrando en (5) como

f(t, y(t)) ( f(tn+1/2, y(tn+1/2)), t # [tn, tn+1], donde tn+1/2 = tn +hn

2=

tn + tn+1

2.

Notemos sin embargo que esto es inviable, pues de la solución y(t), sólo conocemos su condicióninicial (supongamos que n = 0 y que queremos dar un paso) pero no su valor en el punto me-dio tn+1/2 = (tn + tn+1)/2 del intervalo [tn, tn+1]. La idea es entonces aproximar y(tn+1/2) medianteel método de Euler, partiendo de y(tn) con un paso de longitud hn/2, esto es

f(tn +hn

2, y(tn +

hn

2)) ( f(tn +

hn

2, yn +

hn

2f(tn, yn)),

6

que nos proporciona el método de Euler mejorado,

yn+1 = yn + hnk2,

k1 = f(tn, yn),

k2 = f(tn +hn

2 , yn +hn

2 k1).

Al igual que en el método de Euler, el valor de yn+1 es el que toma una recta que en tn toma elvalor yn, pero, a diferencia del método de Euler donde la pendiente de esta recta es f(tn, yn) (la dadapor la ecuación diferencial y! = f(t, y) en (tn, yn)) en el método de Euler mejorado, la pendiente dedicha recta es la dada por la ecuación diferencial en (tn+1/2, yn+

hn

2 f(tn, yn)), tal y como indicamosen el siguiente gráfico (a la derecha, detalle de la zona recuadrada en el gráfico de la izquierda)

Y1

hn

yn

yn+1

tn tn+1

solutioncurve

yn+1

solutioncurve

donde, para el punto auxiliar Y1 = yn + hn

2 f(tn, yn), hemos representado con un segmento delínea continua la pendiente f(tn+1/2, yn+1/2) dada por la ecuación diferencial y! = f(t, y), para quese aprecie que es la misma que la del segmento que une yn e yn+1. El resultado es un métodoconsiderablemente más preciso, tal y como pone de manifiesto la Fig. 3.

2.2. Métodos Runge-Kutta

La idea del método de Euler mejorado (que en realidad se debe a Runge) esto es, utilizar unafórmula de cuadratura en [tn, tn+1] y calcular (aproximar) los valores del integrando en los nodosmediante el método de Euler utilizado con pasos más pequeños, es la que subyace en buena partede los Métodos Runge-Kutta. Así, el conocido como método Runge-Kutta clásico es de la forma

yn+1 = yn +hn

6 (k1 + 2k2 + 2k3 + k4),

k1 = f(tn, yn),

k2 = f(tn +hn

2 , yn +hn

2 k1),

k3 = f(tn +hn

2 , yn +hn

2 k2),

k4 = f(tn + hn, yn + hnk3).

7

y0

y(t)

Euler

Eulermejorado

Figura 3: Aproximaciones obtenidas con los métodos de Euler y de Euler mejorado sobre una reduniforme de diámetro h = (tf ! t0)/4.

Para aproximar la integral en (5) este método utiliza la regla de Simpson- tn+1

tn

f(t, y(t)) dt (hn

6

.

f(tn, y(tn)) + 4f(tn +hn

2, y(tn +

hn

2)) + f(tn+1, y(tn+1))

/

,

y aproxima los valores del integrando como

f(tn +hn

2, y(tn +

hn

2)) (

1

2(k2 + k3), f(tn+1, y(tn+1)) ( k4.

Otros métodos Runge-Kutta son, por ejemplo, el método de Heun

yn+1 = yn +hn

4 (k1 + 3k3),

k1 = f(tn, yn),

k2 = f(tn +hn

3 , yn +hn

3 k1),

k3 = f(tn +23hn, yn +

23hnk2),

o la regla de los 3/8yn+1 = yn +

hn

8 (k1 + 3k2 + 3k3 + k4),

k1 = f(tn, yn),

k2 = f(tn +hn

3 , yn +hn

3 k1),

k3 = f(tn +23hn, yn +

hn

3 (3k2 ! k1)),

k4 = f(tn + hn, yn + hn(k1 ! k2 + k3)).

8

Estos métodos son ejemplos de lo que se conocen como métodos Runge-Kutta explícitos de setapas , que son de la forma

yn+1 = yn + hn(b1k1 + · · ·+ bsks),

k1 = f(tn, yn),

k2 = f(tn + c2hn, yn + hna21k1),

k3 = f(tn + c3hn, yn + hn(a31k1 + a32k2)),

......

ks = f(tn + cshn, yn + hn(as1k1 + · · ·+ as,s"1ks"1)).

(6)

Así, por ejemplo, el método de Euler mejorado es de s = 2 etapas, el de Heun de tres etapas, yel método Runge-Kutta clásico y la regla de los 3/8 son de cuatro etapas. El método de Euler esde una etapa.

Fue en 1964 cuando el neozelandés J. C. Butcher escribió los coeficientes de un método Runge-Kutta en lo que desde entonces se conoce como tablero de Butcher del mísmo, que es de la forma

0 0c2 a21c3 a31 a32...

......

. . .cs as1 as2 . . . as,s"1

b1 b2 . . . bs"1 bs

Así por ejemplo, los tableros del método de Euler, Euler mejorado, y Runge-Kutta clásico son

Euler Euler mejorado RK clásico

0 01

0 0

12

12

0 1

0 0

12

12

12 0 1

21 0 0 1

16

13

13

16

Salvo alguna excepción de poca importancia práctica, todos los métodos Runge-Kutta satisfacenque

0

j

aij = ci, i = 1, 2, . . . , s,

propiedad que supondremos se cumple en todos los casos.Observando que en (6) yn+1 se expresa como suma de yn y una combinación lineal de las etapas kj,

y éstas son a su vez el valor de f en expresiones similares, podemos describir de modo general un

9

método Runge-Kutta explícito como

yn+1 = yn + hn"(tn, yn, hn), n = 0, 1, . . . , N ! 1.

De hecho, esta forma de escribir de modo general un método de integración es válida para otrosmétodos distintos de los Runge-Kutta.

2.3. Convergencia. Error global y error local

En la Fig. 2 hemos visto cómo al tomar particiones cada vez más finas del intervalo [t0, tf ], lasaproximaciones yn distan cada vez menos de los verdaderos valores y(tn) que queremos aproximar.Esta idea se puede (y debe) expresar con precisión, así como explicar a qué se debe dicho fenónemo.

Dada un problema de Cauchy

y!(t) = f(t, y(t)),y(t0) = y0,

,

, t # [t0, tf ]. (7)

y un método numérico

yn+1 = yn + hn"(tn, yn, hn), n = 0, 1, . . . , N ! 1, (8)

(bien sea éste cualquiera de los métodos vistos hasta ahora o los que veremos más adelante) sobreuna partición determinada

t0 < t1 < . . . < tN = tf ,

llamaremos error global o, simplemente, error, a la diferencias

y(tn)! yn, n = 0, 1, . . . , N,

esto es, a la diferencia entre las aproximaciones numéricas y los valores de la solución de (7) sobrelos correspondientes puntos que definen la partición de [t0, tf ].

Se dice entonces que el método (8) es convergente si para todo problema de Cauchy (7) con fsuficientemente regular se tiene

max0$n$N

&y(tn)! yn& " 0, cuando h = max0$n$N"1

hn " 0,

y se dice convergente de orden p cuando además se verifica que

max0$n$N

&y(tn)! yn& = O(hp).

recibiendo el valor p el nombre de orden de convergencia del método.

Observación 1 Es importante que note que, puesto que mantenemos el convenio de que tN = tf ,entonces cuando h " 0 se tiene que N " ). Piense por ejemplo en el caso de una red uniformede equiespaciado h, donde se tiene que tf = t0 +Nh, o lo que es lo mismo, N = (tf ! t0)/h; luegocuando h " 0, claramente N " ). En realidad, más claro es escribir maxt0$tn$tf &y(tn)! yn&,expresión que utilizaremos a menudo.

10

De acuerdo entonces con la cota (4), el método de Euler es de orden p = 1. Los órdenes deconvergencia de los otros métodos vistos son los siguientes:

Método de Euler mejorado, p = 2.

Método de Heun, p = 3.

Método Runge-Kutta clásico, p = 4.

Regla de los tres octavos, p = 4.

Determinar cómo son los errores globales es tarea harto difícil, aunque no tanto acotar su valor.Para entender por qué decaen con h basta fijarse por ejemplo en la Fig. 3 para notar que los valores ynsólo coinciden en general con el valor y(tn) para el primer punto, n = 0. Por los demás puntos ynpasarán en general otras soluciones (que corresponderán a condiciones inciales en t0 distintas de y0).

y0

y1

y2 y3

y(t)otras soluciones

Al dar un paso de un valor yn al siguiente yn+1, éste se desvía de la solución zn(t) de z! = f(t, z)que toma valor yn en tn, esto es, la solución del problema

z!(t) = f(t, z(t)),z(tn) = yn,

,

, t # [t0, tf ]. (9)

Recibe el nombre de error local en tn la diferencia

en = zn(tn+1)! yn+1 = zn(tn+1)! yn ! hn"(tn, yn, hn)), n = 0, 1, . . . , N ! 1,

11

esto es, el error cometido en tn+1 con respecto a la solución que en tn coincide con el valor numérico tn,

y0

y1

y2 y3

y(t)

e0

e1 e2

local

que no se deben confundir con los errores globales y(tn)! yn.

y0

y1

y2 y3

y(t)

global

Notemos que también se tiene que

en = zn(tn+1)! zn+1(tn+1), n = 0, . . . , N ! 1.

y, en virtud de la dependencia continua respecto de las condiciones iniciales que vimos en (3), ladiferencia de estas dos soluciones en otro instante posterior, digamos tN , se podrá acotar en términos

12

y0

y1

y2

yN

y(t)e0

e1

EN

E1

E0

Figura 4: El abanico de Lady Windermere.

de su valor en un instante anterior, tal y como indicamos en la Fig. 4 donde vemos los siguienteshechos:

i) El error global y(tN)! yN es

y(tN)! yN = E0 + E1 + · · ·+ EN"1,

ii) Los sumandos En son la diferencia de dos soluciones que en el instante tn+1 distan en, y deacuerdo con (3) serán por tanto,

&En& ' eL(tN"tn+1) &en& , n = 0, 1, . . . , N ! 1,

donde L será una constante de Lipschitz de f en una región donde se encuentran las solucio-nes zn, n = 0, . . . , N ! 1.

Por tanto, podemos acotar el error global como

&y(tN)! yN& 'N"10

n=0

eL(tN"tn+1) &en& .

Dividiendo y multiplicando cada término de esta suma por hn tenemos que

&y(tN)! yN& 'N"10

n=0

eL(tN"tn+1)hn

1

1

enhn

1

1 ' max0$n$N"1

1

1

enhn

1

1

N"10

n=0

hneL(tN"tn+1).

13

Observando que esta última suma es una suma inferior de Rieman de la integral de eL(tN"t), en[t0, tf ]

tt0 t1 t2 t3 tN

exp

se tendrá por tanto que

N"10

n=0

hneL(tN"tn+1) '

- tN

t0

eL(tN"t) dt =eL(tN"t0) ! 1

L,

de donde se sigue que el error global en tN se acota en términos de los errores locales (dividido cadauno por su incremento hn correspondiente) como

&y(tN)! yN& 'eL(tN"t0) ! 1

Lmax

0$n$N"1

1

1

enhn

1

1.

Dado que en el procedimiento anterior podemos cambiar N por cualquier otro valor n =1, 2, . . . , N ! 1, obtenemos que

max0$n$N

&y(tn)! yn& 'eL(tf"t0) ! 1

Lmax

0$n$N"1

1

1

enhn

1

1. (10)

14

Vemos pues que un método es convergente de orden p si sus errores locales son O(hp+1). Cuandolos errores locales son O(hp+1), se dice que el método es consistente de orden p. Para los méto-dos Runge-Kutta, pues, consistencia y convergencia son conceptos equivalente (no así para otrosmétodos).

Observando que el error local en tn será el similar al de t0 pero cambiando la solución zn de (9)que satisface zn(tn) = yn por la solución y de (7) que se desea aproximar, basta pues estudiar elerror local en t0 para saber el orden de convergencia del método.

Ejemplo 1 Estudiemos el error local en t0 del método de Euler.

e0 = y(t1)! y1 = y(t1)! (y0 + h0f(t0, y0)) = y(t1)! (y(t0) + hy!(t0)). (11)

Por otro lado, calculando el desarrollo de Taylor de y(t) en t0,

y(t0 + s) = y(t0) + sy!(t0) +s2

2y!!("),

para algún " en (t0, t0 + s). Cambiando en la expresión anterior s por h0, y sustituyendo en (11)tenemos que

e0 =h20

2y!!(") * &e0& = O(h2

0) = O(h2).

Nota 1 En general los errores locales de los métodos Runge-Kutta no tienen expresiones tan sen-cillas como la del método de Euler (haga el Ejercicio 4). Denotaremos entonces dichas expresionesgenéricamente como #(yn), esto es

en = hp+1n #(yn) +O(hp+2),

entendiendo que cada método tiene una función # diferente.

Nota 2 Cotas del error global más finas que las aquí presentadas, se pueden conseguir con un análi-sis similar basado en los errores de truncación2 (ver por ejemplo [1], § II.3). El error de truncanciónen tn es lo que le falta a la solución y de (7) para satisfacer la relación que satisface el métodonumérico. Para el método (8) es, por tanto,

Tn = y(tn+1)! y(tn)! hn"(tn, y(tn), hn),

Es como el error localen = zn(tn+1)! yn ! hn"(tn, yn, hn)),

o tambiénen = zn(tn+1)! zn(tn)! hn"(tn, zn(tn), hn)),

pero con y(t) en vez de zn(t). El error de truncación se calcula del mismo modo que el error local,y, de hecho, es el que se estudia para determinar el orden de un método.

2Aunque empleado en la comunidad científica española, debe saber que la Real Academia de la Lengua Españolano ha recogido el vocablo “truncación” en su diccionario; recoge no obstante el vocablo truncamiento, que es de pocouso en el habla matemática.

15

2.4. Pares encajados de métodos Runge Kutta

Ya en los años 70 estaba claro que es poco práctico tomar todos los incrementos hn iguales, estoes hn = h = (tf ! t0)/N . La razón es que en la expresión del error local, hay puntos tn donde #(yn)toma valores mucho más grandes que en otros, debiéndose en aquéllos equilibrar con un valor de hn

más pequeño que en estos segundos.Hoy día el procedimiento que se ha probado como más eficaz es el de los pares encajados de

métodos Runge-Kutta. Estos pares están formados por dos métodos Runge-Kutta que compartencoeficientes c y A,

c A

bT

bTcon

c A

bTde orden p, y

c A

bTde orden p.

Ejemplos de tales pares son por ejemplo el Runge-Kutta-Fehlberg RKF2(3)B, debido a Fehlberg en1968, de tablero

0 0

14

14

2740 !189

800729800

1 214891

133

650891

bi214891

133

650891 0

bi5332106 0 800

1053 ! 178

con órdenes p = 2 y p = 3, y y el DOPRI5(4), debido a Dormad y Prince en 1980, de tablero

0 0

15

15

310

340

940

45

4445 !56

15329

89

193726561 !25360

2187644486561 !212

729

1 90173168 !355

33467325247

49176 ! 5103

18656

1 35384 0 500

1113125192 !2187

67841184

bi35384 0 500

1113125192 !2187

67841184 0

bi517957600 0 7571

16695393640 ! 92097

3392001872100

140

con p = 5 y p = 4.En un par encajado siempre se utiliza el método de orden p para calcular las aproximaciones

(avanzar), y el método de orden p para estimar el error local de la manera que mostraremos enbreve. Originalmente, como en el par RKF23B, se tomaba p > p. De esta manera se estimaba

16

realmente el error que se comete en los cálculos. Hoy día, sin embargo, se toma p > p, pues se hacomprobado que es una opción más eficaz en la práctica.

Obtener yn+1 = yn + hn(b1k1 + · · · + bsks) una vez obtenido yn+1 tiene poco costo, pues escombinar linealmente las etapas ki ya calculadas para obtener yn+1. Pero, como es frecuente hoydía, si p < p, para los errores locales se tiene que

z(tn+1)! yn+1 = #(yn)hp+1n +O(hp+2

n ),z(tn+1)! yn+1 = #(yn)hp+1

n +O(hp+2n ),

y restando,yn+1 ! yn+1 = #(yn)hp+1

n +O(hp+2n ),

se obtiene, como término dominante, el error local del método de orden más bajo p. La norma deesta cantidad

ESTn = &yn+1 ! yn+1&

se toma como estimación del error local en tn, y se compara con una tolerancia TOL. De ser másgrande, no se acepta como válido el valor de yn+1 calculado, y se vuelve a calcular con otro valorde hn. ¿Qué valor? El “razonamiento” es como sigue:

tenemos que con hn, ESTn = &z(tn + hn)! yn+1(hn)& (1

1#(yn)1

1hp+1n > TOL,

y queremos que con h!n, EST!n = &z(tn + h!

n)! yn+1(h!n)& (

1

1#(yn)1

1h!p+1n = TOL,

por tanto h!n deberá ser

h!n = p+1

2

TOL1

1#(yn)1

1

( hn p+1

2

TOL1

1#(yn)1

1hp+1n

( hnp+1

3

TOL

ESTn.

Se toma, pues,

h!n = 0,9hn

p+1

3

TOL

ESTn,

donde el factor 0,9 se coloca por seguridad, puesto que en el razonamiento anterior hemos despre-ciado los términos de orden superior.

Si, por el contrario ESTn ' TOL, el valor de yn+1 calculado se da por bueno y se procede a calcularyn+2 tras ajustar el paso para que la siguiente estimación ESTn+1 del error local salga con valor TOL,esto es,

hn+1 = mín( hmax , hnfacmax , 0,9hnp+1

3

TOL

ESTn),

donde, también por precaución, se limita el paso hn+1 por un hn máximo, y no se permite que unpaso supere facmax veces el paso anterior.

También es frecuente en la práctica tomar como estimación una combinación de la estimaciónde los errores absoluto y relativo

ESTn

1 + RTOLTOL &yn+1&

,

o incluso expresiones como la anterior pero para cada una de las componentes de (el vector) yn+1 #Rm.

17

10−4 10−3 10−2 10−110−15

10−10

10−5

100

CPU time

erro

r

Brusselator: errors at tf=20

!t=0.25

!t=0.125

!t=0.0625

!t=2−8

!t=2−9

− − − fixed stepsize !t

TOL=10−3

TOL=10−5

TOL=10−7

TOL=10−11

TOL=10−13

variable stepsize !tn

Figura 5: Diagrama de eficiencia para el Brusselator (1) con u(0) = 1,5 y v(0) = 3. Errores frentea costo para el par encajado DOPRI5(4) y el mismo método sin cambiar de paso

Ejemplo Aproximamos numéricamente la solución de (1) con u(0) = 1,5 y v(0) = 3, problema delque hemos mostrado la solución en la Fig. 1. En la Fig. 5 mostramos la diferencia que hay entre usarla técnica de paso variable descrita anteriormente y no usarla, en el caso del método DOPRI5(4). Seejecutó este método tomando valores de TOL iguales a 10"3, 10"5, 10"7, 10"9, 10"11 y 10"13, y, paracada uno de estos cálculos, se midió el tiempo de ejecución (en segundos de CPU) y el error global&y(20)! yN& en t = 20. Cada par (segundos de CPU, error) aparece marcado en el gráfico conun +, y los diversos pares aparecen unidos por un segmento continuo para dar idea de qué hubieraocurrido de haberse usado valores de TOL intermedios a los usados. Observamos que a medida quedisminuimos la tolerancia TOL, los errores disminuyen, pero el costo aumenta pues el método debetomar valores de hn más pequeños para satisfacer el test de error, y por tanto dar más pasos parallegar a t = 20. Notamos sin embargo que de usar TOL = 10"3 a usar TOL = 10"13 el error se divideaproximadamente por 10"11; sin embargo, el costo sólo se multiplica por 50.

También aparecen representadas en la Fig. 5 los resultados de ejecutar el método de orden 5del par DOPRI5(4) con paso fijo (marcados con cruces y unidos por línea de trazos). Se usaronlos valores de hn = 2"2, 2"3, . . . , 2"9. Vemos que efectivamente el método de paso variable es máseficiente que el método de paso fijo (salvo quizá para errores mayores que 10"2) pues seleccionandoun nivel de error inferior a 10"3 (esto es trazando una línea horizontal en el dibujo), siempre estámás a la izquierda el resultado de paso variable (línea continua) que el de paso fijo (línea de trazos),refejando el hecho de que para alcanzar dicho error, el método de paso variable requiere menos costo(tiempo de CPU) que el de paso fijo.

18

La razón de este fenómeno puede verse en la Fig. 6, donde se muestran las longitudes de paso hn

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2010−3

10−2

10−1

100

t

step

size !t

n

Evolution of stepsizes for TOL=10−7

Figura 6: Evolución de las longitudes de paso hn para TOL = 10"7

que el método DOPRI5(4) tomó con tolerancia TOL = 10"7. Observando a la vez la Fig. 1, vemosque en aquellas partes en las que la solución presenta cambios más acusados y por tanto derivadas(de las que dependen el tamaño de los errores locales) el método toma valores de hn más pequeñospara ajustar el tamaño del error local al valor de la tolerancia TOL, mientras que en aquellas partesmás lisas aumenta la longitud de paso hn.

Mostramos por último una comparación de los pares DOPRI5(4) y RKDF23B en la Fig. 7.Puede apreciarse cómo a medida que se demanda mayor precisión el método de orden 5 es cada vezmás ventajoso sobre el de orden 2.

3. Comandos de Matlab

3.1. Aspectos generales

Hay diversos comandos de Matlab para resolver sistemas de EDOs. Salvo que el PVI quequeramos resolver tenga alguna característica específica que aconseje lo contrario, el comando quese recomienda es ode45, o en su defecto, ode23. El comando ode45 integra un PVI utilizando el parencajado DOPRI5(4) de Dormand y Prince visto en el apartado anterior, esto es, avanza (obtienelas aproximaciones yn) con un método de orden 5 mientras que el comando ode23 lo hace con unmétodo de segundo orden debido a Bogacki y Shampine.

Ambos comandos tienen diversas maneras de ejecutarse. De todas ellas aquí nos centraremos endos. Para un problema de Cauchy

y!(t) = f(t, y(t)),y(t0) = y0,

,

, t # [t0, tf ]. (12)

se ejecutan del siguiente modo

[T,Y]=ode45(@funcion,tiempos,y0)

o

[T,Y]=ode45(@funcion,tiempos,y0,opciones)

19

10−4 10−3 10−2 10−110−14

10−12

10−10

10−8

10−6

10−4

10−2

100

CPU time

erro

r

Brusselator: errors at tf=20

RKF23B

TOL=10−3

TOL=10−5

TOL=10−7

TOL=10−11

DOPRI5(4)

TOL=10−3

TOL=10−5

TOL=10−7

TOL=10−11

Figura 7: Diagrama de eficiencia para el Brusselator (1) con u(0) = 1,5 y v(0) = 3. Errores frentea costo para los pares encajados DOPRI5(4) y RKF23B

donde

funcion es el nombre de un fichero que contiene la función de Matlab que, dados t e y, devuelveel valor f(t, y) del segundo miembro del sistema de EDOs y! = f(t, y).

tiempos o bien es el vector [t0, tf ] (o [t0, tf ]T ) con los extremos del intervalo de integración, o bienes un vector [t0, t1, . . . , tl] (o [t0, t1, . . . , tl]T ), cuyas componentes constituyen una partición

t0 < t1 < . . . < tl = tf

de dicho intervalo. En el primer caso, el comando ode45 devuelve en T una partición delintervalo [t0, tf ] de su propia conveniencia, y en el segundo, el comando ode45 devuelve en Tla misma partición que la contenida en el vector tiempos.

y0 vector con la condición inicial y0 en (12).

opciones estructura creada con el comando odeset donde podemos indicar, entre otros, los valoresde TOL y RTOL de las tolerancias para el control del error local que indicamos en la secciónanterior.

T vector columna cuyo contenido hemos comentado al explicar el argumento tiempos.

20

Y matriz de m columnas (tantas como componentes tenga y0) y tantas filas como componentes tengael vector T, con las aproximaciones (traspuestas, pues se guardan por filas) en los valores delas componentes de T a la solución y de (12)

Ejemplo 2 Tomemos el sistema del Brusselator visto al principio de la lección,

u! = A+ u2v ! (B + 1)u,v! = Bu! u2v,

(13)

con A = 1 y B = 3, en el intervalo [0, 20], y condición incial

y0 =

4

u(0)v(0)

5

=

4

1,53

5

. (14)

Para poder integrar numéricamente este problema, construimos la función de Matlab que evalúeel segundo miembro,

function f=bruss(t,y)% segundo miembro del Brusselatorp=y(2)*y(1)^2;f=[1+p-4*y(1); 3*y(1)-p];

Si lo que queremos es una representación gráfica de las dos componentes de la solución, podemostomar una partición del intervalo [0, 20] de 400 subintervalos,

tiempos=[0:0.05:20];

calcular una aproximación numérica en los puntos de esta partición a la solución y(t) = [u(t), v(t)]T

de (13), y dibujar la gráfica de ambas componentes u y v,

[T,Y]=ode45(@bruss,tiempos,[1.5 3]’);clf;subplot(2,1,1);plot(T,Y(:,1));hold;plot(T,Y(:,2),’--’)xlabel(’t’);ylabel(’u,v’)text(11.5,0.9,’u’);text(11,4.5,’v’)

obteniendo el gráfico en la Fig. 1 de esta lección (con los comandos xlabel e ylabel escribimos enel gráfico qué representa cada eje, y el comando text escribe las palabras que vayan entre apóstrofesen su tercer argumento en el punto del gráfico cuyas coordenadas indiquemos en los dos primerosargumentos). Si queremos saber con qué tolerancias TOL para el valor absoluto del error localy RTOL para el valor relativo del mísmo ha controlado la longitud de paso el comando ode45,podemos averiguar los valores que utiliza por defecto el comando ode45 ejecutando el comandoodeset sin argumentos,

odesetAbsTol: [ positive scalar or vector {1e-6} ]RelTol: [ positive scalar {1e-3} ]

NormControl: [ on | {off} ]OutputFcn: [ function ]OutputSel: [ vector of integers ]

21

Refine: [ positive integer ]Stats: [ on | {off} ]

InitialStep: [ positive scalar ]MaxStep: [ positive scalar ]

BDF: [ on | {off} ]MaxOrder: [ 1 | 2 | 3 | 4 | {5} ]Jacobian: [ matrix | function ]JPattern: [ sparse matrix ]

Vectorized: [ on | {off} ]Mass: [ matrix | function ]

MStateDependence: [ none | weak | strong ]MvPattern: [ sparse matrix ]

MassSingular: [ yes | no | {maybe} ]InitialSlope: [ vector ]

Events: [ function ]

que devuelve las posibles opciones que se le pueden dar al comando ode45 así como los valores queutiliza por defecto (que aparecen indicados entre llaves en caso de haberlos). De este modo vemosque, en los cálculos que hemos realizado, el valor de TOL utilizado es el que figura entre llaves enla opción AbsTol, que es 10"6, y el valor de RTOL ha sido de 10"3 al ser éste el que figura entrellaves en la opción RelTol.

Si quisiésemos ahora obtener las aproximaciones con TOL = RTOL = 10"8 podemos crearnuestras propias opciones, también con el comando odeset, del siguiente modo

misopciones=odeset(’AbsTol’,1e-8,’RelTol’,1e-8,’Stats’,’on’);

donde también hemos activado la opción ’Stats’ para que nos informe de cuántos pasos da, cuántosrechaza, etc. Así, si tras ejecutar el comando anterior, ejecutamos ahora

[T08,Y08]=ode45(@bruss,tiempos,[1.5 3]’,misopciones);

aparte de devolver en Y 08 las nuevas aproximaciones obtenidas, muestra por pantalla también lasiguiente información

336 successful steps7 failed attempts2059 function evaluations0 partial derivatives0 LU decompositions0 solutions of linear systems

que nos indica que ha intentado 336+7 veces dar un paso, y que en siete ocasiones lo ha tenido querechazar por ser la estimación mayor que la tolerancia dada.

Note que el número de pasos dado, 336, es inferior al número de componentes del vector T,401, que son los valores de la variable t a los que corresponden los valores de Y . La razón es queode45 calcula aproximaciones yn en instantes tn que se obtienen según la estrategia de cambio depaso indicada en la sección anterior. Dado que estos valores tn no coincidirán en general con los

22

valores en el vector tiempos (que son los mismos que los de T), el comando ode45 calcula medianteinterpolación las aproximaciones que devuelve en Y. Esta aproximación es de orden 4 (véase [1],§ II.5).

Por último, si quisiésemos calcular una aproximación todavía más precisa, podemos cambiar losvalores de las tolerancias del siguiente modo

misopciones=odeset(misopciones,’AbsTol’,1e-12,’RelTol’,1e-12)

Note que al poner misopciones como primer argumento del comando odeset no creamos unasopciones nuevas, sino simplemente cambiamos los valores indicados de AbsTol y RelTol, respetandolas demás opciones que hubiésemos fijado anteriormante (si no hubiésemos puesto misopcionescomo primer argumento, habría tomado el valor por defecto de la opción Stats, que es off.

Si ahora ejecutamos

[T12,Y12]=ode45(@bruss,tiempos,[1.5 3]’,misopciones);

obtenemos unos valores de y(t) más precisos que los anteriores. Podemos hacernos idea del errorcometido con las aproximaciones Y e Y08 comparándolas con Y12. De esta manera, si ejecutamos

erru08=max(abs(Y12(:,1)-Y08(:,1))./abs(Y12(:,1)));errv08=max(abs(Y12(:,2)-Y08(:,2))./abs(Y12(:,2)));[erru08,errv08]

obtenemos

ans =1.0e-06 *0.1817 0.2370

errores 20 veces mayores que los valores de las tolerancias usados en el cálculo de Y08, y si ejecutamos

erru06=max(abs(Y12(:,1)-Y(:,1))./abs(Y12(:,1)));errv06=max(abs(Y12(:,2)-Y(:,2))./abs(Y12(:,2)));[erru06,errv06]

obtenemos

ans =0.1817 0.2370

valores 100 veces más grandes que el valor de RTOL = 10"3 empleado en el cálculo de Y.Este ejemplo aconseja pues no relacionar con demasiada alegría los valores de las tolerancias

empleados y el error global correspondiente.

23

3.2. Problemas de segundo orden

Recuerde que un problema de valor incial asociado a una ecuación (o sistema de ecuaciones)y!! = f(t, y, y!) viene dado por

y!! = f(t, y, y!),y(t0) = y0,y!(t0) = y!0.

6

7

8

, t # [t0, tf ]. (15)

Aunque hay métodos numéricos específicos para problemas de segundo orden, Matlab, al menos demomento, no los incorpora. Sin embargo, los problemas de segundo orden aparecen con frecuenciaen la práctica pues provienen de la segunda ley de Newton. Recuerde no obstante que se conviertenfácilmente en problemas de primer orden introduciendo la variable z = y!,

u! =

4

y!

z!

5

= F (t, u) =

4

zf(t, y, z)

5

,

u(t0) =

4

y0y!0

5

.

6

#

#

7

#

#

8

t # [t0, tf ], (16)

de modo que pueden ser tratados con los comandos para problemas de primer orden.También es frecuente en la práctica, sobre todo en cálculos con el método de los elementos

finitos, tener que integrar sistemas de la forma

My! = f(t, y), o bien, Ky!! = f(t, y, y!).

donde M y K son matrices que en general son simétricas e invertibles3. En estos casos, más quetratar de reescribir el sistema de la forma

y! = g(t, y), o bien, y!! = g(t, y, y!),

(donde g obviamente es g = M"1f o g = K"1f) suele ser más eficiente dejar que Matlab seencarge de la matriz M . Esto se hace mediante el comando odeset, proporcionando la matriz Men la opción Mass.

Ejemplo 3 Consideramos el problema4

4 11 4

5 4

y!!1y!!2

5

=

4

y2 ! 2y1y1 ! 2y2

5

,

4

y1(0)y2(0)

5

=

4

20

5

,

4

y!1(0)y!2(0)

5

=

4

!11

5

,

problema que podemos escribir como uno de primer orden para la variable u = [y1, y2, y!1, y!2], como

&

'

'

(

1 0 0 00 1 0 00 0 4 10 0 1 4

)

*

*

+

&

'

'

(

u!1

u!2

u!3

u!4

)

*

*

+

=

&

'

'

(

u3

u4

u2 ! 2u1

u1 ! 2u2

)

*

*

+

,

&

'

'

(

u1(0)u2(0)u3(0)u4(0)

)

*

*

+

=

&

'

'

(

20!11

)

*

*

+

, (17)

3De hecho, suelen ser definitidas positivas o semidefinidas positvas (¿Se acuerda de qué eran estos conceptos?).

24

o de manera abreviada, Mu = F (u), u(0) = [2, 0, 1,!1]T , donde

M =

&

'

'

(

1 0 0 00 1 0 00 0 4 10 0 1 4

)

*

*

+

, F (u) =

&

'

'

(

u3

u4

u2 ! 2u1

u1 ! 2u2

)

*

*

+

.

Para integrar numéricamente el problema (17) creamos una función de Matlab que evalúe elsegundo miembro

function f=famp(t,u)% evalua segundo miembro.f=[u(3:4);u(2)-2*u(1);u(1)-2*u(2)];

y a continuación inicializamos los valores de t donde queremos las aproximaciones, las toleranciaspara el control de paso, y advertimos a ode45 que u! va multiplicado por la matriz M .

M=[1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 4 1;0 0 1 4];tiempos=[0:0.1:10]; u0=[2 0 -1 1]’;TOL=1e-6;op2=odeset(’AbsTol’,TOL,’RelTol’,TOL,’Mass’,M);[T,U]=ode45(@famp,tiempos,u0,op2);

Las dos componentes y1 e y2 obtenidas son las que aparecen en el siguiente gráfico, y1 en trazocontinuo e y2 en trazo discontinuo

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−3

−2

−1

0

1

2

t

y2

y1

(Véase el Ejercicio 18). Si por el contrario resolvemos el problema

&

'

'

(

v!1v!2v!3v!4

)

*

*

+

=

&

'

'

(

v3v4

v2 ! 2v1v1 ! 2v2

)

*

*

+

,

&

'

'

(

v1(0)v2(0)v3(0)v4(0)

)

*

*

+

=

&

'

'

(

20!11

)

*

*

+

, (18)

que es como el anterior pero sin la matriz M ejecutando,

op3=odeset(’AbsTol’,TOL,’RelTol’,TOL);[T,V]=ode45(@famp,tiempos,u0,op3);

25

(observe que en op3 no hemos activado la opción Mass) las componentes v1 y v2 obtenidas son

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−3

−2

−1

0

1

2

t

v1

v2

Como puede verse, sólo se parecen en que toman los mismos valores en t = 0.

26

4. Cuestiones y problemas

CUESTIONES

Ejercicio 1 Para el problema de valor inicial

y! = y,y(0) = 1,

,

,

determine explícitamente la solución numérica yk(h), k = 0, 1, 2, ..., proporcionada por el método deEuler para un paso fijo h > 0. Compruebe que

lımN%+&

yN(1/N) = e.

Interprete este límite en términos de la convergencia del método de Euler.

Ejercicio 2 Escriba el tablero del método de Heun.

Ejercicio 3 El método de Runge de orden 3 tiene por tablero

0 0

12

12

1 0 1

1 0 0 1

16

23 0 1

6

Calcule la expresion de yn+1 en función de yn y de sus cuatro etapas k1, k2, k3, y k4, y las de éstasen función de yn y de sí mismas.

Ejercicio 4 Para una ecuación autónoma y! = f(y) (donde f no depende de t), calcule el errorlocal del método de Euler mejorado y comprobar que efectivamente es de orden 2.

Ejercicio 5 Resuelva la ecuación y! = !y2, para todos los valores iniciales posibles.

Ejercicio 6 Obtenga la solución general de la ecuación y!! + 2y! + y = 1.

Ejercicio 7 Obtenga el paso n-ésimo del método de Euler aplicado a la ecuación

y! = ty(0) = A

,

cuando A > 0.

Ejercicio 8 Dado un paso h > 0, obtenga la forma general de los valores asignados por el métodode Euler al problema

y! = y,y(0) = 1,

,

t # [0, T ].

27

Ejercicio 9 Compruebe que un método Runge-Kutta es consistente si y sólo si

s0

i=1

bi = 1.

Ejercicio 10 Compruebe que si y! = f(y) (ecuación diferencial autónoma), entonces se tiene quey!! = f !(y)f(y). Encuentre una expresión similar para y!!!.

Ejercicio 11 Considere las etapas

ki = f(yn + hi"10

j=1

aijkj),

un método Runge-Kutta en una ecuación autónoma y! = f(y). Observe que para un yn dado, lasetapas peuden verse como función de h, esto es, ki = ki(h). Calcule k!

i(h).

Ejercicio 12 Compruebe que un método Runge-Kutta (para el que9

j aij = ci, para todo i =1, . . . , s) es consistente de orden 2 si y sólo si

s0

i=1

bi = 1, ys

0

i=1

bici =1

2

Ejercicio 13 Si aplicamos el método de Euler a y! = #y, obtenemos que yn+1 = (1+z)yn, donde z =#h. ¿Qué expresión (como función de z = #h) si en vez del método de Euler aplicamos el métodode Euler mejorado?

Ejercicio 14 Compruebe que si aplicamos un método Runge-Kutta explícito de s-etapas a y! = #yobtenemos que yn+1 = R(z)yn, donde R es un polinomio de grado a lo sumo s y z = #h.

Indicación: vea por el procedimiento de inducción que cada etapa ki es de la forma ki = #pi(z)yndonde pi es un polinomio de grado a lo sumo i! 1.

Ejercicio 15 Haga el ejericio anterior. Si R(z) = a0 + a1z + · · ·+ aszs y el método es de orden p,¿cómo son entonces a0, a1, . . ., ap?

Ejercicio 16 A la vista de los dos ejercicios anteriores, ¿cómo es el polinomio R(z) en el casodel método Runge-Kutta clásico? ¿Y en el caso de la regla de los tres octavos? ¿Qué conclusionespodemos sacar?

Ejercicio 17 Calcule la solución del PVI (18).

Ejercicio 18 Si no supiésemos que la solución del PVI (17) es

y1(t) = cos(t/,5) + cos(t)! sen(t), y2(t) = cos(t/

,5)! cos(t) + sen(t),

¿cómo podríamos calcularla?

28

Ejercicio 19 La tabla de Butcher correspondiente al método de Nystrom es

0 0

23

23

23 0 2

3

28

38

38

¿Es consistente?Para el problema de valor inicial

y! = t+ y,y(0) = 1,

,

,

obtenga la expresión del término general yk+1 en función de yk y tk, es decir, obtenga los coeficientesA,B y C en función del paso h > 0 tales que

yk+1 = Ayk +Btk + C.

Finalmente, estime la solución del problema anterior en t = 1 con el método de Nystrom y pasoh = 1.

29

PROBLEMAS

Problema 1 Se trata en este problema de familiarizarse con los comandos de Matlab. Lea aten-tamente la Sección 3. Repetiremos algunos de los cálculos allí hechos para las ecuaciones del movi-miento de un sólido rígido propuestas por el mismo Euler, y = f(y), que componente a componenteson

y!1 =I2 ! I3

I1y2y3 + b1/I1,

y!2 =I3 ! I1

I2y3y1 + b2/I2,

y!3 =I1 ! I2

I3y1y2 + b3/I3,

6

#

#

#

#

#

#

#

7

#

#

#

#

#

#

#

8

(19)

donde y1, y2 e y3 son las tres componentes de la velocidad angular, I1, I2 e I3 son los momentosprincipales de inercia del sólido, y b1, b2 y b3 son las tres componentes de un campo externo demomentos.

1. Escriba una función que dados t e y devuelva el segundo miembro de (19), para

I1 = 0,5, I2 = 2, I3 = 3,

y con fuerza externa b = 0.

2. Utilizando TOL = RTOL = 10"6 con el comando ode45, integre en [0, 20] el problemay! = f(y), con y(0) = [1, 0, 0,9]T , obteniendo aproximaciones numéricas cada 0,1 unidades detiempo. Dibuje las tres componentes de la solución y escriba el número de pasos, de rechazosy de evaluaciones de función.

3. Repita los cálculos del apartado anterior anterior utilizando TOL = RTOL = 10"12 y tf =200.

4. Utilizando la solución anterior como solución exacta, mida los errores y los tiempos de ejecu-ción del método DOPRI54 (comando ode45) y de otros métodos, como los métodos de Adams(ver por ejemplo [1],§ III.1) que están implementados en el comando ode113, para toleranciasTOL = RTOL = 10"2k, para k = 2, 3, 4, 5, 6, y elabore un gráfico de eficiencia como el dela Fig. 5. Haga que los comandos de Matlab devuelva aproximaciones sólamente en t = 0,t = 100 y t = 200. Explique qué método es más eficiente.

Problema 2 Hay diversas cosas que todo estudiante de una carrera técnica o científica debe hacer.Una es programar la eliminación gaussiana, que ya hicimos en su día. Otra programar un métodoRunge-Kutta. Empezaremos por el método de Euler.

1. Elabore una función de Matlab que aplique el método de Euler con paso fijo (hn = h paratodo n) a un problema de valor inicial en un intervalo [t0, tf ]. Los argumentos de entradadeben ser el nombre de la función que evalua el segundo miembro de la ecuación y! = f(t, y),los instantes inicial t0 y final tf , la condición inicial y el paso h. Los argumentos de salidadeben ser un vector T con los tiempos tn y una matriz Y donde, para cada n, la fila n-ésimacontenga yTn . Note que los argumentos de salida son como los de los comandos de Matlab.

30

2. Aprenda esto: Siempre que se hace un programa para integrar PVI, se debe probar con elproblema,

4

y!1y!2

5

=

4

y1!y2

5

,

4

y1(0)y2(0)

5

=

4

11

5

,

cuya solución es y(t) = [et, e"t]T . Hágalo con la función del apartado anterior y obtenga unatabla de errores &y(1)! yN&, para N = 1/h, y h = 0,1, 0,01, 0,001, 0,0001. ¿Es convergente elmétodo programado? ¿De qué orden?

3. Repita los dos apartados anteriores con el método Runge-Kutta clásico. ¿Es convergente elmétodo programado? ¿De qué orden? Explique el comportamiento de los errores.

4. Repita los cálculos del apartado anterior pero con tf = 200 y el PVI

4

y!1y!2

5

=

4

y2!y1

5

,

4

y1(0)y2(0)

5

=

4

10

5

,

cuya solución es y(t) = [cos(t),!sen(t)]T . y midiendo el tiempo de ejecución, obteniendo unatabla de costo-error. Obtenga una tabla similar pero integrado con el comando ode45, conTOL = RTOL = 10"4, 10"8, 10"12 (haga que el ode45 saque valores en t0, (t0 + tf)/2, tf).¿Qué procedimiento de integración es más eficiente?

Problema 3 En este problema encajaremos un par de orden 3 al método Runge-Kutta clásico.Cosidere el método Runge-kutta de 5 etapas de tablero

0 0

12

12

12 0 1

21 0 0 1

1 16

13

13

16

16

13

13 0 1

6

Observe que las cuatro primeras etapas son las del método Runge-Kutta clásico.

1. Modifique el programa del método Runge-Kutta clásico del problema anterior para que integrecon el nuevo método de 5 etapas.

2. Pruebe el método del apartado anterior en el PVI

4

y!1y!2

5

=

4

y1!y2

5

,

4

y1(0)y2(0)

5

=

4

11

5

,

cuya solución es y(t) = [et, e"t]T . Midiendo los errores correspondientes a h = 0,1, h = 0,01y h = 0,001, determine experimentalmente el orden de método.

31

3. El método del apartado 1 puede utilizarse para controlar la logitud de paso del método RKclásico en el par encajado de tablero

0 0

12

12

12 0 1

21 0 0 1

1 16

13

13

16

bi16

13

13

16

bi16

13

13 0 1

6

Modifique el programa del apartado 1 para que integre con este par encajado. En los argu-mentos de entrada, cambie la longitud de paso h por las tolerancias TOL y RTOL. Tomecomo longitud de paso inicial h = TOL(1/4). Tome como facmax el valor 5, y como hmax=0.5.Pruébelo con el PVI del apartado 2.

4. Compare la eficiencia de este método con el método DOPRI54 (comando ode45) en el PVI (13–14) asociado al Brusselator. ¿Qué método es más eficiente?

Problema 4 (Junio 2009) Expresado en radianes, el ángulo y con la vertical de la varilla de unpéndulo de longitud l metros satisface la ecuación diferencial

y!! = !9,8

lsen(y),

1. Para l = 1, y(0) = 1,5 e y!(0) = 0 se sabe que en t = 0,8 segundos el valor de y! es

y!(0,8) = !3,378757998590581 . . . rad/s. Calcule el valor de y!(1,6) (escriba el resultado con 4dígitos significativos correctos).

2. Para l = 1, y(0) = 1,5 e y!(0) = 0 determinar el valor de medio periodo (el tiempo que tarda y!

en tomar el valor 0 rad/s). Escriba los valores pedidos con diez dígitos signifcativos correctos.

3. Idem pero para Para l = 1, y(0) = 1 e y!(0) = 0.

4. Para l = 1 e y!(0) = 0, determinar el valor de y(0) para que el valor de medio periodosea exactamente 1,1 segundos (escriba dicho valor con ocho cifras significativas correctas).Explique cómo lo ha calculado.

Problema 5 Un paracaidista de 80 kilos se lanza desde un avión a una altura de 600 metros.Después de 5 segundos abre el paracaídas. La altura instantánea del paracaidista verifica la ecuacióndiferencial

y!! = !9,8 +1

80$(t),

donde

$(t) =

!

115 [y

!(t) + 4 tanh(y!(t))]2, si t < 5%[y!(t) + 4 tanh(y!(t))]2, si t - 5

.

32

1. Para % = 14, se sabe que después de 50 segundos de haberse lanzado, la altura a la que seencuentra es

y(50) = 318,1759173968247 metros.

Calcule la altura en t = 140 (escriba el resultado con diez dígitos significativos correctos).

2. Para % = 14, determine el tiempo que tarda en alcanzar el suelo y la velocidad de impacto.

3. Repita el apartado dos con % = 16.

4. Determine el valor de % para que el tiempo que tarde en alcanzar el suelo sea exactamente150 segundos.

Problema 6 Considere el problema de valor inicial

y!!! + yy! + 3#5 sh(#t/2)

ch3(#t/2)= 0, t > 0,

y(0) = 3, y!(0) = 0, y!!(0) = !3/2,

donde sh y ch denotan, respectivamente, el seno y coseno hiperbólicos y # es un paramétro real. Sesabe que para # = 1, una aproximación a y/4) con 21 cifras significativas correctas es

y(4) = 0,211952474559493397059.

1. Para # = 1, calcule y(5) y escriba sus ocho primeras cifras significativas. Asegúrese de queson correctas.

2. Idem pero con # = 0,9

3. Determine con al menos ocho cifras significativas correctas el valor de # para el cual y(5) = 1.

4. Encuentre en términos de V y de y, la ecuación diferencial que satisface la función

V (t) =1

1 + t

- t

0

y(x)dx.

¿Cuánto vale V (0)? Amplíe el problema de valor inicial que venimos considerando para queincluya dicha ecuación diferncial y su condición inicial. Para el valor de # obtenido en elapartado tres, calcule con ocho cifras significativas correctas el valor de V en t = 40.

Problema 7 Considere el sistema del Brusselator!

u! = 1 + u2v ! 4uv! = 3u! u2v

,

para la condición inicial u(0) = 1,5 y v(0) = 3. Calcule con ocho cifras significativas correctas elvalor de

u(20) y de

- 20

0

v2(t)dt.

Bibliografía[1] E. Hairer, S. P. Nørsett & G. Wanner, Solving Ordinary Di!erential Equations I (2nd. Ed.)

(Springer-Verlag, Berlin, 1993).

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