1.) Tipos de funciones

Clasificacin de funcionesFunciones algebraicasEn las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adicin, sustraccin, multiplicacin, divisin, potenciacin y radicacin. Las funciones algebraicas pueden ser: Funciones explcitas Si se pueden obtener las imgenes de x por simple sustitucin. f(x) = 5x 2 Funciones implcitas Si no se pueden obtener las imgenes de x por simple sustitucin, sino que es preciso efectuar operaciones. 5x y 2 = 0

Funciones poli nmicasSon las funciones que vienen definidas por un polinomio. f(x) = a0 + a1x + a2x + a2x + + anxn Su dominio es , es decir, cualquier nmero real tiene imagen.

Funciones constantes El criterio viene dado por un nmero real. f(x)= k La grfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas. Funciones poli nmica de primer grado f(x) = mx +n Su grfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la funcin. Funcin afn. Funcin lineal. Funcin identidad. Funciones cuadrticas f(x) = ax + bx +c Son funciones poli nmicas es de segundo grado, siendo su grfica una parbola. Funciones a trozos Son funciones definidas por distintos criterios, segn los intervalos que se consideren. Funciones en valor absoluto. Funcin parte entera de x. Funcin mantisa. Funcin signo.

Funciones racionalesEl criterio viene dado por un cociente entre polinomios:

El dominio lo forman todos los nmeros reales excepto los valores de x que anulan el denominador.

Funciones radicales

El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical. El dominio de una funcin irracional de ndice impar es R. El dominio de una funcin irracional de ndice par est formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

Funciones trascendentesLa variable independiente figura como exponente, o como ndice de la raz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometra.

Funcin exponencial

Sea a un nmero real positivo. La funcin que a cada nmero real x le hace corresponder la potencia ax se llama funcin exponencial de base a y exponente x.

Funciones logartmicasLa funcin logartmica en base a es la funcin inversa de la exponencial en base a.

Funciones trigonomtricasFuncin ceno f(x) = sen x Funcin coseno f(x) = cos x Funcin tangente f(x) = tg x Funcin cosecante f(x) = cosec x Funcin secante f(x) = sec x Funcin cotangente f(x) = cotg x

2.) Funciones constantesLa funcin constante es del tipo: y=n El criterio viene dado por un nmero real. La pendiente es 0. La grfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

Rectas verticalesLas rectas paralelas al eje de ordenadas no son funciones, ya que un valor de x tiene infinitas imgenes y para que sea funcin slo puede tener una. Son del tipo: x=K

3.) Funcin linealLa funcin lineal es del tipo: y = mx Su grfica es una lnea recta que pasa por el origen de coordenadas. y = 2x X y = 2x 0 0 1 2 2 4 3 6 4 8

Pendientem es la pendiente de la recta. La pendiente es la inclinacin de la recta con respecto al eje de abscisas. Si m > 0 la funcin es creciente y el ngulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo.

Si m < 0 la funcin es decreciente y el ngulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso.

Funcin identidadf(x) = x Su grfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

4.) Funcin afnLa funcin afn es del tipo: y = mx + n m es la pendiente de la recta. La pendiente es la inclinacin de la recta con respecto al eje de abscisas. Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.

n es la ordenada en el origen y nos indica el punto de corte de la recta con el eje de ordenadas.

Ejemplos de funciones afinesRepresenta las funciones: 1 y = 2x - 1 x 0 1 y = 2x-1 -1 1

2y = -x - 1 x 0 4 y = -x-1 -1 -4

5.) Funcin cuadrticaSon funciones poli nmicas es de segundo grado, siendo su grfica una parbola. f(x) = ax + bx +c

Representacin grfica de la parbolaPodemos construir una parbola a partir de estos puntos:

1. Vrtice

Por el vrtice pasa el eje de simetra de la parbola. La ecuacin del eje de simetra es:

2. Puntos de corte con el eje OXEn el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos: ax + bx +c = 0 Resolviendo la ecuacin podemos obtener: Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b 4ac > 0 Un punto de corte: (x1, 0) si b 4ac = 0 Ningn punto de corte si b 4ac < 0

3. Punto de corte con el eje OYEn el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos: f(0) = a 0 + b 0 + c = c (0,c)

Representar la funcin f(x) = x 4x + 3. 1. Vrtice x v = (4) / 2 = 2 y v = 2 4 2 + 3 = 1

V(2, 1) 2. Puntos de corte con el eje OX x 4x + 3 = 0

(3, 0)

(1, 0)

3. Punto de corte con el eje OY (0, 3)

6.) Traslaciones de parbolasConstruccin de parbolas a partir de y = xPartimos de y = x x -2 -1 0 1 2 y = x 4 1 0 1 4

1. Traslacin verticaly = x + k Si k > 0, y = x se desplaza hacia arriba k unidades. Si k < 0, y = x se desplaza hacia abajo k unidades. El vrtice de la parbola es: (0, k). El eje de simetra x = 0.

y = x +2 y = x 2

2. Traslacin horizontaly = (x + h) Si h > 0, y = x se desplaza hacia la izquierda h unidades. Si h < 0, y = x se desplaza hacia la derecha h unidades. El vrtice de la parbola es: (h, 0). El eje de simetra es x = h.

y = (x + 2)y = (x 2)

3. Traslacin oblicuay = (x + h) + k

El vrtice de la parbola es: (h, k). El eje de simetra es x = h.

y = (x 2) + 2 y = (x + 2) 2

7.) Dilataciones funcionesUna funcin f(kx) se contrae si K > 1.

y

contracciones

de

Contraccin de una funcin

Dilatacin de una funcinUna funcin f(kx) se dilata si 0 < K < 1.

8.) Funciones racionalesEl criterio viene dado por un cociente entre polinomios:

El dominio lo forman todos los nmeros reales excepto los valores de x que anulan el denominador. Dentro de este tipo tenemos las funciones de proporcionalidad inversa de ecuacin:

.

Sus grficas son hiprbolas. Tambin son hiprbolas las grficas de las funciones.

9.) Traslaciones de hiprbolasLas hiprbolas Sus astontas son los ejes. El centro de la hiprbola, que es el punto donde se cortan las asntotas, es el origen. son las ms sencillas de representar.

A partir de estas hiprbolas se obtienen otras por traslacin.

1. Traslacin vertical

El centro de la hiprbola es: (0, a).

Si a>0,

se desplaza hacia arriba a unidades.

El centro de la hiprbola es: (0, 3)

Si a 0,

se desplaza a la izquierda b unidades.

El centro de la hiprbola es: (-3, 0)

Si b1. Decreciente si a < 1. Las curvas y = ax e y = (1/a)x son simtricas respecto del eje OY.

Ecuaciones exponenciales Ejercicios de ecuaciones exponenciales Sistemas de ecuaciones exponenciales Ejercicios de sistemas de ecuaciones de ecuaciones exponenciales Lmite de la funcin exponencial

14.) Funciones logartmicasLa funcin logartmica en base a es la funcin inversa de la exponencial en base a.

x 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 -3 -2 -1 0 1 2 3

x 1/8 3

1/4 1/2 1 2 4 8

2 1 0 1 2 3

Propiedades de las funciones logartmicasDominio: Recorrido: Es continua. Los puntos (1, 0) y (a, 1) pertenecen a la grfica. Es inyectiva (ninguna imagen tiene ms de un original). Creciente si a>1. Decreciente si a 0 Un punto de corte: (x1, 0) si b - 4ac = 0 Ningn punto de corte si b - 4ac < 0

3. Punto de corte con el eje OY.En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos: f(0)=a 0 + b 0 +c = c (0,c)

Funciones racionalesEl criterio viene dado por un cociente entre polinomios:

El dominio lo forman todos los nmeros reales excepto los valores de x que anulan el denominador. Dentro de este tipo tenemos las funciones de proporcionalidad inversa de ecuacin:

.

Funciones radicalesEl criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.

Funciones definidas a trozosSon funciones definidas por distintos criterios, segn los intervalos que se consideren.

Funciones en valor absolutoLas funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos: 1. Se iguala a cero la funcin, sin el valor absoluto, y se calculan sus races. 2. Se forman intervalos con las races y se evala el signo de cada intervalo. 3. Definimos la funcin a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la funcin. 4 Representamos la funcin resultante.

Funcin exponencialSea a un nmero real positivo. La funcin que a cada nmero real x le hace corresponder la potencia ax se llama funcin exponencial de base a y exponente x.

Funciones logartmicasLa funcin logartmica en base a es la funcin inversa de la exponencial en base a.

Funciones trigonomtricasFuncin ceno

f(x) = sen x

Funcin cosenof(x) = cosen x

Funcin tangentef(x) = tg x

Funcin cotangentef(x) = cotg x

Funcin secantef(x) = sec x

Funcin cosecantef(x) = cosec x