INTRODUCCIÓN

Con la Revolución Industrial se generalizó la idea de crecimiento económico

constante, entendido como progreso ilimitado, tendente al perfeccionamiento y a la

evolución. Hasta finales del siglo XIX el proceso de industrialización europea, y

modestamente el despegue de la agricultura en los países industriales, coincidieron

con un período de extraordinaria expansión del comercio internacional bajo la premisa

del liberalismo. Cuando las economías de mercado ingresaron en el siglo XX crecieron

importantes y nuevas industrias, las cuales sustentaban su éxito en la acumulación de

capital y las nuevas tecnologías.

Robert Solow desarrolló el modelo neoclásico de crecimiento, para comprender cómo

influyen en la economía la acumulación de capital y el cambio tecnológico, que nos

permite comprender el proceso de crecimiento de los países avanzados, teniendo en

cuenta al capital como un activo acumulable y a la mano de obra como reproducible.

Luego, emerge como variable principal el capital humano por su capacidad para

formar nuevo conocimiento. La teoría neoclásica del crecimiento situó la acumulación

del conocimiento en el centro de atención, ya que sin un nivel apropiado de capital

humano es imposible impulsar el desarrollo, debido a la influencia de este factor sobre

la productividad de los trabajadores.

La presente Monografía consta de dos capítulos, en el primero se abarca todo sobre el

modelo de Solow y; en el segundo capítulo se trata el modelo de Solow y el proceso

de acumulación de conocimiento o capital humano.

Finalmente, el presente trabajo está abierto totalmente a la sugerencia de profesores y

alumnos, y todo lo que se diga para mejorarlo será bienvenido.

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MODELO DE SOLOW Y EL PROCESO DE ACUMULACION DE CONOCIMIENTO

CAPITULO I

I. MODELO DE SOLOW

Cuando las economías de mercado entraron en el siglo XX crecieron importantes y

nuevas industrias en torno al teléfono, el automóvil y la energía eléctrica. La

acumulación de capital y las nuevas tecnologías se convirtieron en la fuerza más

dominante en el desarrollo económico.

Para comprender cómo influyen en la economía la acumulación de capital y el

cambio tecnológico, se debe hacer mención al “modelo neoclásico de crecimiento”.

Éste fue desarrollado por Robert Solow y es un instrumento básico para

comprender el proceso de crecimiento de los países avanzados.

En su modelo, Solow trata de demostrar que si se descarta la hipótesis según la

cual la producción se da en condiciones de proporciones fijas tal como Harrod

plantea en su modelo, el crecimiento regular no sería inestable sino al contrario,

estable. Para llegar a la conclusión de un crecimiento regular estable Solow formuló

un modelo de equilibrio general en el cual modificó un aspecto del Modelo de

Harrod: admitió una función de producción que permite la sustitución de factores (es

decir, capital y trabajo).

En el modelo, Solow incorpora el equilibrio macroeconómico entre ahorro e

inversión; al capital como un activo acumulable y a la mano de obra como

reproducible.

De manera general podemos decir que el Modelo de Solow o el Modelo de la

Síntesis Clásico-Keynesiana se construyó de la siguiente manera:

Del Keynesianismo retomó las siguientes hipótesis:

En el mercado de bienes: El ahorro es función del ingreso.  La  relación entre

ahorro y la tasa de interés del enfoque neoclásico no ha sido considerada;

conservó la ley psicológica fundamental de Keynes.

En el mercado de trabajo: rechazó la teoría neoclásica, en el    sentido de que la

oferta de trabajo es independiente del salario real.

De la óptica clásica o neoclásica retomó:

La función de producción con factores sustitutivos (capital y trabajo).

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I.1. DEFINICIÓN

Modelo de crecimiento de Robert Solow (1956), conocido como el modelo

exógeno de crecimiento o modelo de crecimiento neoclásico, es un

modelo macroeconómico creado para explicar el crecimiento económico y

las variables que inciden en este en el largo plazo.

El modelo de Solow, es un modelo neoclásico que mide el crecimiento económico

y las variables que inciden en este en el largo plazo. Este modelo considera todas

las variables exógenas, de las cuales algunas ayudan a mejorar el crecimiento a

corto plazo, mientras que otras afectan a la tasa de crecimiento de largo plazo.

El modelo de Solow (1956) asume una función de producción que incluye como

insumos el capital y el trabajo, así como un parámetro que indica el estado de la

tecnología.

I.2. SUPUESTOS BASICOS

El modelo neoclásico de crecimiento describe una economía en la que se produce

un único bien homogéneo mediante dos tipos de factores, capital y trabajo. El

crecimiento del trabajo es determinado por fuerzas ajenas a la economía y no se

ve afectado por variables económicas.

Se utiliza una función de producción agregada como instrumento para explicar el

crecimiento:

Y=f (K , L)(L: trabajo y K :capital)

f (K ,L) es una función homogénea de grado uno (exhibe rendimientos

constantes de escala RCE)

f (K ,L) exhibe productos marginales positivos y decrecientes: ley de la

productividad marginal decreciente.

La fuerza de trabajo agregado crece a una tasa constante y exógena: n.

El ahorro agregado, s, es una proporción del ingreso nacional, dado la proporción

marginal al ahorrar.

δ>0 es la tasa de depreciación del capital y es exógena.

La economía es competitiva y que siempre se encuentra en el nivel de pleno

empleo, es decir los empresarios son maximizadores y tomadores de precios.

Los principales ingredientes nuevos en el modelo neoclásico son el capital y el

cambio tecnológico.

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La tecnología permanezca constante y se apunta al papel que desempeña el

capital en el crecimiento económico. Si L es el número de trabajadores (K/L) es la

relación entre capital y trabajo.

La economía no tiene relación con el exterior.

Este modelo se basa según los supuestos de pleno empleo, competencia perfecta

en los mercados de productos y factores, rendimientos decrecientes a escala para

cada factor y por último utiliza la función de producción de Cobb-Douglas.

Solow pone énfasis en el equilibrio o estado estacionario, que muestra la cantidad

de inversión necesaria para mantener el capital constante. Desde esta perspectiva

se analiza el equilibrio de dos fuerzas que influyen en el stock de capital (inversión

y depreciación), también se analiza como varía el equilibrio si hay un aumento en

la inversión y por último se analiza si ocurre un aumento en la tasa de crecimiento

de la población.

I.3. LA ECUACIÓN FUNDAMENTAL

En primer lugar, en la tabla definimos las variables que van a ser objeto de

atención en el desarrollo del modelo, las cuales parten de dos de las tres

perspectivas (oferta y demanda).

A continuación presentamos las ecuaciones que forman parte del modelo, que

agrupamos conceptualmente (donde el subíndice t denota el tiempo).

Variables Simbología

Producción o renta Y=Y(t)

Población N=N(t)

Ahorro s=s(t)

Tasa de depreciación del capital δ

Stock de capital K=K(t)

Inversión I=I(t)

Consumo C=C(t)

Tecnología A=A(t)

Tabla. Definición de las variables del modelo

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La ecuación fundamental es:

∆ k=sk (t )α−(δ+n ) k

Dónde:

sk (t )α, es el ahorro per cápita, y,

(δ+n ) k , es inversión por mantenimiento.

I.4. LA ACUMULACIÓN DE CAPITAL

El modelo de crecimiento de Solow pretende mostrar cómo interactúa el

crecimiento del stock de capital y el crecimiento de la población activa, y cómo

afecta, a su producción total de bienes y servicios. Vamos a desarrollar este

modelo en tres etapas. Primero vamos a averiguar cómo la oferta y la demanda

de bienes determinan la acumulación de capital, suponiendo que la población

activa y la tecnología se mantienen fijas. Luego, abandonamos estos supuestos,

introduciendo los cambios de la población activa.

I.4.1. La Oferta y la Demanda de Bienes.

La oferta y la demanda de bienes desempeñaban un papel fundamental en este

modelo. Analizando la oferta y la demanda de bienes podemos averiguar que

determina la cantidad de producción que se obtiene en un determinado momento

y cómo se asigna esta producción a los distintos fines posibles.

La oferta de bienes y la función de producción

En el modelo de Solow, la oferta de bienes se basa en la función de producción,

que establece que la producción depende del stock de capital y de la población

activa:

Y=F (L, K )

El modelo de crecimiento de Solow supone que la función de producción tiene

rendimientos constantes de escala. Este supuesto suele considerarse realista y,

como veremos enseguida, ayuda a simplificar el análisis. Recuérdense que una

función de producción tiene rendimientos constantes de escala si:

zY=F ( zL , zK ),

Para cualquier número positivo z. Es decir si multiplicamos tanto el capital como

el trabajo por z, también resulta multiplicada por z la cantidad de la producción.

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MPK

1

Producción,

Capital por trabajador

Las funciones de producción que tienen rendimientos constantes de escala nos

permiten analizar todas las magnitudes relevantes de una economía en relación

con el tamaño de la población activa. Para ver que esto es cierto, igualamos z a

1/L en la ecuación anterior para obtener:

Y /L=F (K /L,1 )

Esta ecuación muestra que la cantidad de producción por trabajador, Y/L, es una

función de la cantidad del capital por trabajador, K/L (la cifra “1” es, por supuesto

constante, por lo que podemos ignorarla). El supuesto de los rendimientos

constantes de escala implica que el tamaño de la economía (medido por el

número de trabajadores) no afecta a la relación entre la producción por

trabajador y el capital por trabajador.

Como el tamaño de la economía no es importante, resultará cómodo representar

todas las magnitudes en cantidades por trabajador. Las representamos por

medio de letras minúsculas, de tal manera que y=YL

es la producción por

trabajador y k=KL

es el capital por trabajador. Podemos escribir la función de

producción de la forma siguiente:

y=f (k),

Donde definimos f ( k )=F (k ,1).

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Prod

ucci

ón p

or tr

abaj

ador

k

pág. 7

La pendiente de esta función de producción indica cuánta producción adicional

se obtiene cuando se le da a un trabajador una unidad adicional de capital. Esta

cantidad es el producto marginal del capital, PMK. En términos matemáticos,

PMK=f (k+1 )−f (k ).

Se puede ver en la gráfica, que a medida que aumenta la cantidad de capital, la

función de producción se vuelve más plana, lo que indica que el producto

marginal del capital es decreciente. Cuando el valor de k es bajo, el trabajador

medio solo tiene un poco de capital para trabajar, por lo que una unidad

adicional de capital resulta muy útil y genera una gran cantidad de producción

adicional. Cuando el valor de k es alto, el trabajador medio tiene una gran

cantidad de capital, por lo que una unidad adicional solo eleva un poco la

producción.

La demanda de bienes y la función de consumo.

En el modelo de Solow, la demanda de bienes procede del consumo y la

inversión. En otras palabras, la producción por trabajador, y, se divide entre el

consumo por trabajador, c, y la inversión por trabajador, i:

y=c+i

Esta ecuación es la identidad de la contabilidad nacional de la economía

expresada por trabajador. Obsérvese que emite las compras del Estado (De las

que podemos prescindir en el caso que aquí nos ocupa) y las exportaciones

netas (Porque estamos analizando en el caso de una economía cerrada).

El modelo de Solow supone que todos los años, la gente ahorra una proporción s

de su renta, y consume una proporción (1−s) esta idea puede expresarse con la

siguiente función de consumo:

c=(1−s) y,

Donde s, la tasa de ahorro, es un número comprendido entre 0 y 1.

Para ver qué implica esta función de consumo para la inversión, sustituimos c

por (1−s) y en la Identidad de la Contabilidad Nacional:

y= (1−s ) y+ i

Reordenando los términos, tenemos que:

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i=sy

Esta ecuación indica que la inversión es igual al ahorro. Por tanto la tasa de

ahorro, s, es la proporción de la producción que se dedica a inversión.

Ya hemos presentado los dos principales ingredientes del modelo de Solow, la

función de producción y la función de consumo, que describen la economía en

un momento cualquiera del tiempo. Dado un stock cualquiera de capital k , la

función de producción y=f (k) determina la cantidad de producción que obtiene

la economía y la tasa de ahorro s determina la distribución de esa producción

entre el consumo y la inversión.

I.4.2. El Crecimiento del Stock de Capital y el Estado Estacionario

En cualquier momento del tiempo, el stock de capital es un determinante de la

producción de la economía, pero el stock de capital puede variar con el paso del

tiempo y esas variaciones pueden generar crecimiento económico. En particular,

hay dos fuerzas que influyen en el stock de capital: La inversión, que es el gasto

en nueva planta y equipo, que hace que aumente el stock de capital, y la

depreciación, que es el desgaste del viejo capital, que hace que el stock de

capital disminuya.

Examinemos cada uno de ellos por separado.

Como ya hemos señalado, la inversión por trabajador i es igual a sy.

Sustituyendo y por la función de producción, podemos expresar la inversión por

trabajador en función del stock de capital por trabajador:

i=sf (k)

Esta ecuación relaciona el stock de capital existente, k , con la acumulación de

nuevo capital, i. En la siguiente figura se puede ver la relación. Aquí nos muestra

que, cualquiera que sea el valor de k, la cantidad de producción está

determinada por la función de producción f (k ) y el reparto de esa producción

entre consumo e inversión está determinado por la tasa de ahorro s.

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Capital por trabajador

Depreciación,

Para introducir la

depreciación en el modelo, suponemos que todos los años se desgasta o

deteriora una determinada proporción,δ , del stock del capital. Llamamos tasa de

depreciación aδ . Por ejemplo, si el capital dura en promedio, 25 años, la tasa de

depreciación es del 4% al año (δ=0,04). La cantidad de capital que se deprecia

cada año es de δk . En la siguiente figura se muestra que la cantidad de

depreciación depende del stock de capital.

La influencia de la inversión y de la depreciación en el stock de capital puede

expresarse mediante la siguiente ecuación:

Variación del stock de capital = Inversión - Depreciación

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Capital por trabajador

∆ k=i−δk,

Donde ∆ k es la variación que experimenta el stock de capital de un año a otro.

Como la inversión i es igual ha sf (k ), podemos expresarlo de la forma siguiente:

∆ k=sf (k )−δk

Esta nueva gráfica representa los términos de esta ecuación – la inversión y la

depreciación – correspondientes a diferentes niveles del stock de capital, k.

Cuánto más alto es este, mayores son las cantidades de producción y de

inversión. Sin embargo, cuanto más alto es, mayor es también la cantidad de

depreciación.

Como se ve en la gráfica, hay un único stock de capital con el que la cantidad de

inversión es igual a la depreciación. Si la economía se encuentra alguna vez en

este nivel del stock de capital, el stock de capital no variará debido a que las dos

fuerzas que actúan para alterarlo – la inversión y depreciación- están

exactamente equilibradas. Es decir, en K ¿ ,∆ k=0, por lo que el stock de capital

k, y la producción f (k) son constantes con el paso del tiempo (en lugar de crecer

o disminuir).

Por lo tanto, llamamos K ¿ al nivel de capital existente en el estado estacionario.

pág. 11

i¿=δ k¿

i2

δ k2

i1

δ k1

El estado estacionario es importante por dos razones. Como acabamos de ver,

una economía que se encuentra en estado estacionario permanecerá en él.

Además, y lo que es tan importante como lo anterior, una economía que no se

encuentre en el estado estacionario acabará en él. Es decir, cualquiera que sea

el nivel de capital con el que comience, acabará teniendo el nivel de capital

correspondiente al estado estacionario. En este sentido el estado estacionario

representa el equilibrio de la economía.

Para ver por qué una economía siempre acabará en un estado estacionario,

supongamos que empieza teniendo un nivel de capital inferior al del estado

estacionario, por ejemplo el nivel k 1 de la figura. En este caso, el nivel de

inversión es superior a la cantidad de depreciación. A medida que pasa el

tiempo, el stock de capital aumenta y continúa aumentando – junto con la

producción f(k) – hasta que se aproxime al estado estacionario K ¿.

Supongamos también que la economía comience teniendo un nivel de capital

superior al del estado estacionario, por ejemplo k 2 . En este caso, la inversión es

menor que la depreciación: EL capital está desgastándose más de prisa de lo

que está reponiéndose. El stock de capital disminuye aproximándose de nuevo

al nivel del estado estacionario. Una vez que alcanza el estado estacionario, la

inversión es igual a la depreciación y el stock de capital ni aumenta ni disminuye.

I.4.3. Aproximación al Estado Estacionario

Ejemplo numérico:

Utilicemos un ejemplo numérico para ver cómo funciona el modelo de Solow y

cómo se aproxima la economía al Estado estacionario, para ello supongamos

que la función de producción es:

y=k1/2L1 /2

La función de producción es de Cobb-Douglas en la que el parámetro de la

participación del capital, α , es igual a 1/2. Para hallar la función de producción

por trabajador, f (k) dividimos las dos miembros de la función de producción por

la población activa L.

YL

= k1/2L1 /2

L

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Reordenando tenemos que:YL

=[ KL ]1 /2

Dado que y=YL

y k=KL

, esta ecuación se convierte en y=k1/2, que también

puede expresarse de la forma siguiente: y=√k.

Con esta función de producción, resulta que la producción por trabajador es igual

a la raíz cuadrada de la cantidad de capital por trabajador. Para completar el

ejemplo, supongamos que se ahorra el 30% de la producción (s=0.3), que se

deprecia cada año el 10% del stock de capital (δ=0.1) y que la economía

comienza teniendo 4 unidades de capital por trabajador (k=4). Dadas estas

cifras, ahora podemos ver que ocurre en esta economía con el paso del tiempo.

Comenzamos analizando la producción y su asignación en el primer año, en el

que la economía tiene cuatro unidades de capital. He aquí los pasos que

seguimos:

De acuerdo con la función de producción y=√k, las 4 unidades de capital por

trabajador, k, producen 2 unidades de producción por trabajador, y.

Dado que el 30% de la producción se ahorra y se invierte, y el 70% se consume,

i = 0.6, y c= 1,4.

Como el 10% del stock de capital se deprecia,δk=0.4 .

Con una inversión de 0.6 y una depreciación del 0.4, l variación del stock del

capital es ∆ k=0.2.

Por lo tanto, la economía comienza su segundo año con 4.2 unidades de capital

por trabajador.

Podemos hacer los mismos cálculos con cada año posterior, el cuadro muestra

como progresa la economía año a año. A medida que pasan los años, la

economía se aproxima a un estado estacionario con 9 unidades de capital por

trabajador. En este estado estacionario, la inversión de 0.9 contrarresta

exactamente la depreciación de 0.9, por lo que el stock de capital y la producción

ya no crecen.

Una manera de seguir la evolución de la economía durante muchos años, es

hallar el stock de capital existente en el estado estacionario, pero hay otra que

exige menos cálculos. Recordemos que:

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∆ k=sf (k )−δk

Esta ecuación muestra cómo evoluciona k con el paso del tiempo. Dado que el

estado estacionario es (por definición) el valor de k en el que ∆ k=0, sabemos

que

0=sf ( k¿)−δ k ¿ ; O, en otras palabras, k¿

f (k )= sδ

Esta ecuación permite hallar el nivel de capital por trabajador correspondiente al

estado estacionario, k ¿ .Introduciendo los datos y la función de producción de

nuestro ejemplo, tenemos que:

k¿

√k¿=0.30.1

A continuación, elevando al cuadrado los dos miembros de esta ecuación

obtenemos k*=9.

El stock de capital correspondiente al estado estacionario es de 9 unidades por

trabajador. Este resultado confirma el cálculo del estado estacionario del cuadro.

Supuestos: y=√k ; s = 0.3 δ=0.1 k inicial =4.0

Añ

o

K y C i δk ∆ k

1 4.000 2.000 1.400 0.600 0.400 0.200

2 4.200 2.049 1.435 0.615 0.420 0.195

3 4.395 2.096 1.467 0.629 0.440 0.189

4 4.584 2.141 1.499 0.642 0.458 0.184

5 4.768 2.184 1.529 0.655 0.477 0.178

…

10 5.602 2.367 1.657 0.710 0.560 0.150

…..

25 7.321 2.706 1.894 0.812 0.732 0.080

…

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100 8.962 2.994 2.096 0.898 0.896 0.002

α 9.000 3.000 2.100 0.900 0.900 0.000

I.5. LA REGLA DE ORO DE LA ACUMULACIÓN DE CAPITAL

I.5.1. El Nivel de Capital correspondiente a la Regla de Oro

Hasta ahora hemos utilizado el modelo de Solow para ver como la tasa de

ahorro y de inversión de la economía determina sus niveles de capital y de renta

correspondientes al estado estacionario. Este análisis nos conlleva a pensar que

es bueno que el ahorro sea mayor, pues siempre genera una renta más alta.

Supongamos, sin embargo, que un país tuviera una tasa de ahorro del 100%.

Esto permitiría tener el mayor stock de capital posible y la mayor renta posible.

Pero si toda esa renta se ahorra y nunca se consume ninguna, ¿Qué tiene de

bueno eso?

En este apartado utilizamos el modelo de Solow para ver qué cantidad de

acumulación de capital es óptima desde el punto de vista del bienestar

económico.

I.5.2. La Comparación de Estados Estacionarios

Para simplificar el análisis, supongamos que los responsables de la política

económica puedan fijar la tasa de ahorro en un nivel cualquiera. Al fijarla,

determinan el estado estacionario de la economía. ¿Qué estado estacionario

elegir?

Se supone que cuando los responsables de la política económica eligen un

estado estacionario, su objetivo es maximizar el bienestar de las personas que

componen la sociedad. A estas no les interesa la cantidad de capital de la

economía y ni siquiera la cantidad de producción, si no solo la cantidad de

bienes y servicios que pueden consumir. Por lo tanto, todo responsable

benevolente de la política económica querría elegir el estado estacionario que

proporcionará el nivel de consumo más alto. El valor de k del estado estacionario

que maximiza el consumo se denomina nivel de acumulación de capital

correspondiente a la regla de oro y se representa por medio de k ¿oro.

Para saber que una economía se encuentra en el nivel de la regla de oro

debemos de hallar primero el consumo por trabajador correspondiente al estado

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estacionario. Solo después podremos identificar el estado estacionario que

genera el máximo consumo.

pág. 16

Para hallar el consumo por trabajador correspondiente al estado estacionario,

comenzamos con la Identidad de Contabilidad Nacional.

y=c+i

Reordenando, tenemos que:

c= y−i.

El consumo es simplemente la producción menos la inversión. Dado que

queremos hallar el consumo correspondiente al estado estacionario, sustituimos

la producción y la inversión por sus valores correspondientes al estado

estacionario, sustituimos la producción y la inversión por sus valores

correspondientes a este estado. En el estado estacionario, la producción por

trabajador es f (k¿), donde k ¿, es el stock de capital por trabajador

correspondiente al estado estacionario. Por otra parte, como el stock de capital

no varía en ese estado, la inversión es igual a la depreciación, δ k¿.

Sustituyendo y por f (k¿) e i por δk ¿, podemos expresar el consumo por

trabajador en el estado estacionario de la forma siguiente:

c¿=f (k¿¿¿)−δ k¿¿.

De acuerdo con esta ecuación, el consumo correspondiente al estado

estacionario es lo que queda de la producción del estado estacionario después

de descontar la depreciación del estado estacionario. Esta ecuación muestra que

un aumento del capital del estado estacionario produce dos efectos opuestos en

el consumo del estado estacionario. Por una parte, al haber más capital, hay

más producción. Por otra, al haber más capital también hay que utilizar más

producción para sustituir el capital que se desgasta.

La siguiente figura representa gráficamente la producción y la depreciación

correspondiente al estado estacionario en función del stock de capital

correspondiente a dicho estado. En este, el consumo es la diferencia entre la

producción y la depreciación. Esta figura muestra que hay un nivel de stock de

capital – el nivel de la regla de oro, k ¿oro – que maximiza el consumo.

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Depreciación (e inversión) en el estado estacionario,

Por debajo del estado estacionario de la regla de oro, el aumento del

capital del estado estacionario eleva el consumo del estado

estacionario.

Por encima del estado estacionario de la regla de oro, los aumentos de

capital del estado estacionario reducen el

consumo del estado estacionario.

Producción en el estado estacionario f()

Capital por trabajador en estado estacionario

Cuando comparamos estados estacionarios, debemos tener presente que un

aumento del nivel de capital afecta tanto a la producción como a la depreciación.

Si el stock de capital es menor al nivel de la regla de oro, su incremento eleva la

producción más que la depreciación, por lo que aumenta el consumo. En este

caso, la función de producción tiene más pendiente que la línea recta δ k¿, por lo

que la diferencia entre estas dos curvas – que es igual al consumo – crece a

medida que aumenta k ¿. En cambio si el stock de capital es superior al nivel de

la regla de oro, un aumento del stock de capital reduce el consumo, ya que el

incremento de la producción es menor que la depreciación. En este caso, la

función de producción tiene una pendiente menor que la de la línea resta δ k¿,

por lo que la diferencia entre las curvas – el consumo –disminuye conforme

aumenta k ¿. En el nivel de capital de la regla de oro, la función de producción y la

línea recta δk ¿ tienen la misma pendiente y el consumo se encuentra en su nivel

máximo.

Ahora podemos obtener una sencilla condición que caracterizará el nivel de

capital correspondiente a la regla de oro. Recuérdese que la pendiente de la

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función de producción es el producto marginal del capital PMK. La pendiente de

la línea recta δk ¿ es δ . Como estas dos pendientes coinciden en k ¿oro, la regla de

oro se describe por medio de la ecuación.

PMK=δ.

En el nivel de capital de la regla de oro, el producto marginal del capital es igual

a la tasa de depreciación.

En otras palabras, supongamos que la economía comienza teniendo un stock de

capital en el estado estacionario k ¿ y que los responsables de la política

económica están considerando la posibilidad de aumentarlo a k ¿+1. La cantidad

de producción adicional generada por este aumento del capital sería

f ( k¿+1 )−f (k¿), que es el producto marginal del capital PMK. La cantidad de

depreciación adicional generada por 1 unidad más de capital es la tasa de

depreciación δ . Por lo tanto el efecto neto que produce esta unidad adicional de

capital en el consumo es PMK−δ. Si PMK−δ>0, los aumentos del capital

elevan el consumo, por lo que k ¿ debe ser inferior al nivel de la regla de oro. Si

PMK−δ<0, los aumentos del capital reducen el consumo, por lo que k ¿ debe

ser superior al nivel de la regla de oro. Por lo tanto, la siguiente condición

describe la regla de oro:

PMK−δ=0.

En el nivel de capital correspondiente a la regla de oro, el producto marginal de

capital, una vez descontada la depreciación (PMK−δ), es igual a cero. Como

veremos, los responsables de la política económica pueden utilizar esta

condición para hallar el stock de capital de la regla de oro de una economía.

Conviene tener presente que la economía no tiende automáticamente a

aproximarse al estado de la regla de oro. Si queremos tener un determinado

stock de capital en el estado estacionario, como el de la regla de oro,

necesitamos de una determinada tasa de ahorro que lo permita.

La siguiente figura muestra el estado estacionario si se fija una tasa de ahorro

que genere el nivel de capital de la regla de oro. Si la tasa de ahorro es mayor

que la que se utiliza en esta figura, el stock de capital correspondiente al estado

estacionario será demasiado alta; Si la tasa de ahorro es menor que la que se

utiliza en esta figura, el stock de capital correspondiente al estado estacionario

pág. 19

)

)

Capital por trabajador en el estado estacionario

será demasiado bajo. En cualquiera de los dos casos, el consumo del estado

estacionario será menor que en el estado estacionario de la regla de oro.

I.5.3. El Estado Estacionario de la Regla de Oro

Ejemplo numérico:

Consideremos la decisión de los responsables de la política económica que

tienen que elegir un estado estacionario en la siguiente economía. La función de

producción es idéntica a la del ejemplo anterior:

y=√k

La producción por trabajador es la raíz cuadrada del capital por trabajador. La

depreciación δ es de nuevo del 10% del capital. En esta ocasión, las autoridades

económicas eligen la tasa de ahorro s, y, por lo tanto, el estado estacionario de

la economía.

Para ver las opciones a las que se enfrentan los responsables de las políticas

económicas, recordemos que el estado estacionario se cumple la siguiente

ecuación:

k¿

f (k¿)= sδ.

En esta economía, la ecuación se convierte en: k¿

√k¿=s0.1

pág. 20

Elevando al cuadrado los dos miembros de esta ecuación, hallamos el stock de

capital correspondiente al estado estacionario: k ¿=100 s2

Utilizando este resultado, podemos calcular el stock de capital del estado

estacionario correspondiente a cualquier tasa de ahorro.

El siguiente cuadro muestra algunos cálculos que muestran los estados

estacionarios correspondientes a distintas tasas de ahorro de esta economía.

Supuestos : y=√k δ=0.1

S k ¿ y¿ δk ¿ c¿ PMK PMK – δ

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 ∞ ∞

0.1 1.0 1.0 0.1 0.9 0.500 0.400

0.2 4.0 2.0 0.4 1.6 0.250 0.150

0.3 9.0 3.0 0.9 2.1 0.167 0.067

0.4 16.0 4.0 2.1 2.4 0.125 0.025

0.5 25.0 5.0 2.5 2.5 0.100 0.000

0.6 36.0 6.0 3.6 2.4 0.083 -0.017

0.7 49.0 7.0 4.9 2.1 0.071 -0.029

0.8 64.0 8.0 6.4 1.6 0.062 -0.083

0.9 81.0 9.0 8.1 0.9 0.056 -0.044

1.0 100.0 10.0 10.0 0.0 0.050 -0.050

Observamos que un aumento del ahorro eleva el stock de capital, lo cual

provoca, a su vez, un aumento de la producción y de la depreciación. El

consumo correspondiente al estado estacionario, que es la diferencia entre la

producción y la depreciación, aumenta primero al crecer las tasas de ahorro y

después disminuye. El consumo es máximo cuando la tasa de ahorro es 0,5. Por

lo tanto, una tasa de ahorro de 0,5 produce el estado estacionario de la regla de

oro.

Hay que recordar que también se puede identificar el estado estacionario de la

regla de oro que consiste en hallar el stock de capital con el que el producto

marginal neto del capital (PMK−δ) es igual a cero. En el caso de esta función

de producción, el producto marginal es: PMK= 1

2√k

pág. 21

Utilizando esta fórmula, las dos últimas columnas del cuadro presentan los

valores de PMK y de PMK-δ en los diferentes estados estacionarios. Obsérvese

de nuevo que el producto marginal neto del capital es exactamente cero

cuando la tasa de ahorro se encuentra en su valor de la regla de oro 0,5. A

causa del carácter decreciente del producto marginal, el producto marginal neto

del capital es mayor que cero siempre que la economía ahorre una cantidad

inferior a la de la regla de oro y es menor que cero siempre que ahorre más.

Este ejemplo numérico confirma que la dos manera de identificar el estado

estacionario de la regla de oro – Observar el consumo del estado estacionario o

el producto marginal del capital – dan el mismo resultado. Si queremos saber si

la economía real se encuentra en, por encima, o por debajo de su stock de

capital de la regla de oro, el segundo método suele ser más cómodo, porque es

relativamente más fácil estimar el producto marginal del capital. En cambio, para

evaluar una economía con el primer método se necesita estimaciones del

consumo del estado estacionario correspondiente a muchas tasas de ahorro

distintas; esa información es difícil de obtener.

pág. 22

CAPITULO II

II. MODELO DE SOLOW Y PROCESO DE ACUMULACIÓN DE CONOCIMIENTO

El enfoque tradicional del crecimiento económico razonó como eje central de la

acumulación el capital físico, la creación de grandes empresas, la producción en

serie y a gran escala. Luego, emerge como variable principal la acumulación de

conocimiento o el capital humano por su capacidad para formar nuevo conocimiento

estableciendo retornos progresivos a escala (crecimiento endógeno).

La acumulación de conocimientos es el conjunto de cualificaciones que poseen los

trabajadores de la economía, es a lo que los economistas llaman capital humano.

Una economía que tenga muchos trabajadores cualificados probablemente será

mucho más productiva que una en la que la mayoría no sepa leer o escribir.

El capital humano incluye la suma de capacidades que tienen influencia sobre la

producción y que están incorporadas a los individuos o a las colectividades:

educación (conocimiento, capacidades, y aptitudes generales), formación

profesional (conocimientos y capacidades técnicas), salud, virtudes de la

convivencia, etc. Es, pues, rival, apropiable por los individuos, en cuanto que se

incorpora en ellos, y, por tanto, excluible, a diferencia del conocimiento abstracto y,

por tanto, de la tecnología.

El capital humano es un concepto amplio y multidimensional que recoge muchas

formas distintas de inversión en seres humanos como la salud y la nutrición. Pero el

aspecto clave del capital humano tiene que ver con los conocimientos y habilidades

de la fuerza laboral que se acumulan como resultado de la escolarización, la

formación continua y la experiencia, y que resultan útiles en la producción de

bienes, servicios y nuevos conocimientos.

Para intentar darle un contenido más concreto a esta amplia definición, podría ser

útil distinguir entre los tres componentes siguientes del capital humano:

Capacidades generales

Relacionadas con el alfabetismo lingüístico y cuantitativo y, más generalmente, con

la habilidad para procesar información y utilizarla en la resolución de problemas y

en el aprendizaje. El alfabetismo lingüístico es la capacidad de extraer información

de textos escritos y otros materiales, así como de codificar esa información de una

manera comprensible y organizada.

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El alfabetismo cuantitativo exige el dominio de los rudimentos de las matemáticas

y la capacidad de formular problemas de forma que puedan resolverse mediante

la aplicación de técnicas adecuadas.

Capacidades específicas

Son aquellas relacionadas con la operación de tecnologías o procesos productivos

determinados. Por ejemplo, trabajar con programas de ordenador de distintos

grados de complejidad, o de operar, mantener y reparar distintos tipos de

maquinaria, etc.

El conocimiento técnico y científico

Implica el dominio de distintos cuerpos de conocimiento organizado y de técnicas

analíticas relevantes para la producción o para el avance del conocimiento

tecnológico, tales como la física, la arquitectura o los principios del diseño de

circuitos lógicos.

Existen buenas razones para pensar que el capital humano es un determinante

importante de la productividad, tanto a nivel individual como agregado, y que su

importancia es cada vez mayor en una economía crecientemente intensiva en

conocimientos. Los trabajadores con mayor habilidad para resolver problemas y

mejor capacidad de comunicación deberían poder realizar de manera más eficiente

cualquier tarea, y deberían también aprender más rápidamente. Por tanto, cabe

esperar que los trabajadores cualificados sean más productivos que los menos

cualificados con cualquier proceso productivo dado, y que los primeros sean

también capaces de operar con tecnologías más sofisticadas, y de mantener un

ritmo más elevado de crecimiento de la productividad, tanto a través de la mejora

gradual de los procesos productivos existentes como mediante la adopción y

desarrollo de tecnologías más avanzadas.

La rápida mejora y difusión de las tecnologías de la información y de la

comunicación (TIC) en años recientes es un proceso que ha contribuido de manera

significativa al desarrollo de la economía del conocimiento y a la aceleración de la

tendencia secular que subyace en la creciente importancia del capital humano. Las

implicaciones de las TIC son profundas porque se trata de tecnologías de uso

general con aplicaciones potenciales en casi todos los sectores productivos, y

porque estas tecnologías han aumentado de manera dramática la capacidad

humana de almacenar, organizar y procesar información de manera rápida y con un

coste reducido. Por lo tanto, los avances en las TIC se extenderán gradualmente a

pág. 24

los distintos sectores usuarios, generando procesos de rápido cambio tecnológico y

organizativo en toda la economía, y deberían contribuir a la aceleración del

progreso técnico y a su difusión, al proporcionar a los investigadores poderosas

nuevas herramientas y un acceso prácticamente instantáneo y sin restricciones

territoriales a la información.

Las nuevas tecnologías de la información, por otra parte, aumentarán el grado de

competencia en muchos mercados, al dar a las empresas la posibilidad de buscar

proveedores y clientes en cualquier lugar del mundo, y tenderán a erosionar las

rentas y ventajas de situación mediante la reducción de los costes de transporte

para outputs de carácter informativo.

Ahora nuestras conclusiones se extienden a la acumulación de capital humano. Un

aumento de la tasa de ahorro, la sociedad en forma de capital humano –por medio

de la educación y de la formación en el trabajo- eleva el capital humano por

trabajador en el estado estacionario, lo que aumenta la producción por trabajador.

Cuando se estudia el crecimiento económico en base a modelos en los que el

progreso tecnológico y la acumulación de conocimientos juegan un papel

fundamental, sólo se entiende a uno de los dos grandes objetivos de la teoría del

conocimiento; esto es, explicar el crecimiento de los niveles de vida a lo largo del

tiempo. El otro objetivo, justificar las notables diferencias de renta por habitante

entre las distintas zonas del mundo, no queda suficientemente atendido.

Por lo que, téngase en cuenta que la tecnología es un bien no rival: su uso por un

agente no impide que sea utilizada por otros. Si la tecnología y el conocimiento

están públicamente disponibles, los gestores de los países pobres podrían acceder

a la misma tecnología que la empleada en los países más avanzados y provocar un

notable crecimiento en sus economías, de forma que las diferencias en renta por

habitante entre países se reducirían.

Asimismo, si la tecnología relevante es de propiedad privada, los países menos

desarrollados deberían poner en marcha programas para acceder a esta

tecnología, y de esta forma tratar de acercarse a los niveles de renta por habitante

de los países más avanzados.

La evidencia empírica, sin embargo, nos dice que las rentas por habitante en

determinados países pobres no experimentan aumentos notables. Los problemas a

los que se enfrentan los países pobres no se derivan, pues, de las dificultades para

acceder a las nuevas tecnologías, sino más bien de la falta de capacitación para

pág. 25

usar dicha tecnología. Desde esta perspectiva, lo que se afirma es que la razón

fundamental de las diferencias en los niveles de vida entre países no radica en los

distintos niveles de tecnología o conocimiento, sino en las diferencias existentes en

una serie de factores que permiten a los países ricos obtener el máximo provecho

de las nuevas tecnologías.

II.1. MODELO DE CAPITAL HUMANO O ACUMULACIÓN DE CONOCIMIENTO

El modelo que vamos a presentar1 utiliza una función de producción Cobb –

Douglas en la que incluimos una variable más, que es el capital humano:

Y=K αH β [AN ]1−α−βα>0 , β>0 , α+β=1 (1)

Donde H denota el stock de capital humano2. Mediante N se continua denotando

el numero de trabajadores de forma que un trabajador cualificado oferta una

unidad de trabajo N y una cierta cantidad de capital humano H . La función de

producción (1) implica que hay rendimientos de escala constantes en K , H y N

.

Por lo que respecta al crecimiento del capital y del trabajo, mantenemos los

supuestos tradicionales3, en el sentido de que la tasa de ahorro, es decir, la

fracción de producto dedicada a la acumulación de capital, la supones exógena y

constante, y la denotamos por sk, y por lo que respecta al crecimiento de la

población también continuamos suponiéndolo exógeno y en concreto a la tasa n.

Por lo que respecta al progreso tecnológico suponemos, que su crecimiento es

constante y exógeno, por lo que:

A=g A A (2)

1 El modelo que aquí presentamos se basa en Mankiw, Romer y Weil (1992). Otras versiones más o menos desarrolladas del mismo en Romer (1996), Barro y Sala-i-Martin (1995), Sala-i-Martin (1994).2 Esta manera de introducir el capital humano, como un factor más de la producción, omite las interacciones dinámicas entre el progreso tecnológico, el capital humano y la productividad del trabajo. Los trabajadores más formados son también los más flexibles y los que están en mejores condiciones para adaptarse al cambio tecnológico. El capital humano es, pues, no solo un factor productivo, sino también un elemento de difusión y adopción de nuevas tecnologías. Además, nuestro modelo no incluye ningún mecanismo que explique el incentivo de los trabajadores a acumular capital humano, como, por ejemplo, los diferenciales de salarios.3 Analíticamente estos supuestos se concretan en:K=skYN=nNDonde sk denota la fracción de producto dedicada a la acumulación de capital físico y hemos supuesto que no hay depreciación.

pág. 26

Por último, suponemos que la tecnología para producir nuevo capital humano

combina el empleo de capital físico, capital humano y mano de obra sin cualificar,

de forma similar a como se producen bienes. Así pues:

H=K Eα H E

β [AN E ]1−α−β (3)

Donde K E, H E y N E denotan las cualidades de capital físico, capital humano y

mano de obra sin cualificar dedicadas a la educación. Si además suponemos que

K E=sHK , H E=sHH y N E=sHN , siendo sH la proporción (0<sH<1) de los

recursos dedicados a la acumulación de capital humano, la ecuación (3) podemos

escribirla como sigue:

H=sH [KαH β [AN ]1−α−β ]=sHY (4)

Ecuación que nos viene a decir que la acumulación de capital humano se lleva a

cabo de forma similar a la acumulación de capital físico.

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CONCLUSIONES

Robert Solow desarrolla el modelo neoclásico de crecimiento para comprender

como influye en la economía la acumulación de capital y el cambio tecnológico,

modificando el modelo de Harrod, admitiendo una función de producción que

permita la sustitución de factores. El Modelo de crecimiento de Robert Solow (1956)

es un modelo macroeconómico, que mide el crecimiento económico y las variables

que inciden en este en el largo plazo; asumiendo una función de producción que

incluye como insumo el capital y el trabajo.

En el modelo de Solow, la oferta de bienes se basa en la función de producción,

que establece que la producción depende del stock de capital y de la población

activa; y la demanda de bienes procede del consumo y la inversión. Estos dos

principales ingredientes del modelo de Solow, la función de producción y la función

de consumo, describen la economía en un momento cualquiera del tiempo. Dado

un stock cualquiera de capital k , la función de producción y=f (k) determina la

cantidad de producción que obtiene la economía y la tasa de ahorro s determina la

distribución de esa producción entre el consumo y la inversión.

Una economía que no se encuentre en el estado estacionario acabará en él. Es

decir, cualquiera que sea el nivel de capital con el que comience, acabará teniendo

el nivel de capital correspondiente al estado estacionario. En este sentido el estado

estacionario representa el equilibrio de la economía.

Los responsables de la política económica eligen un estado estacionario, su

objetivo es maximizar el bienestar de las personas que componen la sociedad, a

estas les interesa la cantidad de bienes y servicios que pueden consumir. Por lo

tanto, todo responsable benevolente de la política económica querría elegir el

estado estacionario que proporcionará el nivel de consumo más alto. El valor de k

del estado estacionario que maximiza el consumo se denomina nivel de

acumulación de capital correspondiente a la regla de oro.

La acumulación de conocimientos es el conjunto de cualificaciones que poseen los

trabajadores de la economía, es a lo que los economistas llaman capital humano.

Pero el aspecto clave del capital humano tiene que ver con los conocimientos y

habilidades de la fuerza laboral que se acumulan como resultado de la

escolarización, la formación continua y la experiencia, y que resultan útiles en la

producción de bienes, servicios y nuevos conocimientos.

pág. 28

BIBLIOGRAFÍA

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1997. Editorial McGRAW – HILL. Madrid. España.

2. BLANCHARD, Olivier. Macroeconomía. Cuarta edición. 2006. Editorial Pearson

Educación S.A. Madrid. España.

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Francisco - GÓMEZ ALVIS, Carolina. Diferencias y Similitudes en las Teorías del

Crecimiento Económico. Universidad EAFIT. 2004.

4. DE LA FUENTE, Ángel. Capital Humano y Crecimiento en la Economía del

Conocimiento. Instituto de Análisis Económico. (CSIC). España. 2003.

5. LARRAÍN, Felipe – SACHS Jeffrey. Macroeconomía en la economía global. 2a

edición. Pearson Education S.A. Argentina. 2002.

6. MANKIW, Gregory. Macroeconomía. 6a edición. Antoni Bosch, editor, S.A. España.

2006.

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