Ecuaciones diferenciales como modelos matemticos

Modelo matemtico.- descripcin matemtica de un sistema o fenmeno de la vida real.

Proceso de modelado.- El proceso de modelado bsicamente sigue los siguientes pasos:

1. Identificacin de variables estableciendo una notacin matemtica.2. Leyes empricas que se pueden aplicar.3. Planteamiento de las ecuaciones.

FusinSe considera una esfera de hielo que se derrite a razn proporcional al rea de su superficie. Hallar una expresin para el volumen de la esfera en cualquier unidad de tiempo.

1. Variables: La incgnita del problema: volumen (es funcin del tiempo). Notacin matemtica: V = V (t)

2. Leyes empricas que se pueden aplicar: En los datos: La esfera se derrite a razn proporcional al rea de su superficie, es decir, el volumen de la esfera vara a razn proporcional al rea de su superficie.

La variacin de volumen es la derivada de V con respecto al tiempo:

Expresin de la ley en forma matemtica: donder es el radio de la esfera, r = r (t).

3. Planteamiento de la ecuacin: Planteamos la ecuacin con la incgnita inicial V :

Sustituyendo:

Ecuacin diferencial que proporciona el volumen en cualquier tiempo t.

Reacciones QumicasSea la reaccin bimolecular elemental: A + B P, en la que dos sustancias (reactantes) se unen para formar una tercera (producto). Hallar una expresin para las distintas concentraciones en cualquier unidad de tiempo.

1. Variables. Las incgnitas son las concentraciones de los reactantes y el producto (son funciones del tiempo): [A], [B], [P].

2. Leyes empricas que se pueden aplicar: La velocidad de reaccin depende de la concentracin de los reactantes y quizs del producto:

Para las reacciones elementales, la ley de accin de masas: la velocidad de una reaccin es proporcional al producto de las concentraciones de los reactantes:

Velocidad = k [A] [B]

Por ltimo la ley de conservacin: la suma de las concentraciones de los productos y de cualquiera de los reactantes permanece constante a lo largo de la reaccin.

[B] + [P] = B0 + P0[A] + [P] = A0 + P0

A0, B0, P0 son las concentraciones iniciales de cada uno de los componentes.

3. Planteamiento de la ecuacin. Igualando velocidades:

Aplicando la ley de conservacin, se pueden eliminar variables para obtener la ecuacin de [A]:

De la misma forma se obtienen las ecuaciones que proporcionan las dems concentraciones:

EnfriamientosAl sacar un pastel del horno, su temperatura es de 300OF. Tres minutos despus su temperatura es de 200OF. Determinar la temperatura del pastel en cualquier momento, siendo la temperatura ambiente de 70OF.

1. Variables. La temperatura T es funcin del tiempo t.

2. Ley de Newton del enfriamiento: la rapidez con que la temperatura cambia es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura constante del medio que lo rodea.

3. La ecuacin:

4. Condiciones adicionales: T(0) = 300, T(3) = 200.