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Modelos de Valoración de Opciones

Roberto Knop

Enero 2018

Índice general

1. Introducción 3

2. Black Scholes 4

2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2. Premisas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3. Esquema básico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4. La volatilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.5. El modelo sin dividendos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.6. Extensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.6.1. Opciones sobre activos con dividendos . . . . . . . . . . . . . . . . 122.6.2. Opciones sobre divisas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.6.3. Opciones sobre futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.7. Las griegas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.7.1. La delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.7.1.1. Signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.7.1.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.7.1.3. Delta Neutral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.7.2. La gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.7.2.1. Signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.7.2.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.7.3. La vega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.7.3.1. Signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.7.3.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.7.4. La Theta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.7.4.1. Signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.7.4.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.7.5. El Rho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.7.5.1. Signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.7.6. El Phi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.7.6.1. Signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.7.7. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1

ÍNDICE GENERAL ÍNDICE GENERAL

3. Modelo Binomial 33

3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2. Esquema básico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3. Formalización del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3.1. Las griegas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4. Simulación de MonteCarlo 40

4.1. Implementación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2. Griegas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.2.1. Simulacion de aleatorios correlacionados . . . . . . . . . . . . . . . 43

2 Roberto Knop-2018

Capítulo 1

Introducción

La determinación del valor de las opciones depende en gran medida del tipo de payo�de cada una de ellas. En el caso de las opciones plain vanilla se trata de hallar el precioa pagar por opciones que den derecho a cobrar:

Call = Maximo(0, S −K)Put = Maximo(0,K − S)dondeS: subyacente a vencimientoK: precio de ejercicio o strikeEn el caso de las opciones exóticas, se trataran de payo� diferentes a los que deberán

adaptarse las vías de solución existentes. Existen dos grandes vias de solución:� Analítica: fórmula cerrada, habitualmente en el entorno Black Scholes que además

facilita el cálculo de griegas a partir de derivadas parciales de dicha función de valoración.� Numérica: técnicas de proyección de los valores de la variable subyacente de la opción

bien por procesos de simulación, bien por generación de árboles de comportamiento o porintegración numérica (cuadratura, trapecios, Romberg,. . . )

V aloracion

Analıtica

{Black Scholes

Otros c/formula cerrada

Numerica

Simulacion

Arboles

Integracion

3

Capítulo 2

Black Scholes

2.1. Introducción

A principios de los 70 Robert Merton, Fischer Black y Myron Scholes desarrollaronun modelo cuya divulgación ha sido trascendental en los mercados �nancieros para lavaloración de opciones sobre activos �nancieros. El modelo de Black-Scholes replica elvalor de la opción a través de una cartera construida sobre la base de acciones en lasque está denominada la opción y bonos libres de riesgo que generan una rentabilidaddeterminada.

El modelo tiene su origen en la física, describiendo el comportamiento de partículas�pesadas� en un entorno de otras pequeñas con las que colisiona de forma aleatoria. Estascolisiones van moviendo suavemente a la partícula mayor; la dirección y magnitud sonaleatorias e independientes de otras colisiones, pero la naturaleza de esta aleatoriedadno cambia entre las distintas colisiones. Es decir, cada choque es un evento aleatorioindependiente e idénticamente distribuido (normalmente).

Existe una asunción sobre la función de distribución de probabilidades que rige lasvariaciones de los precios del activo subyacente. A ello se añade una variable que el modelorequiere, comúnmente conocida como volatilidad implícita. De este modo, dada una dis-tribución esperada de las variaciones de la variable y una volatilidad o variación esperadadeterminada que acota el rango probable de precios futuros esperados, se consigue unvalor esperado de la variable. En última instancia el valor de una opción viene dado porla agregación de los resultados posibles del ejercicio de la opción (PayO�) multiplicadospor sus correspondientes probabilidades que son función de la distribución y la volatilidadesperada de la variable:

n∑i=1

PayOffi × Probabilidad(Distribucion, V olatilidad) (2.1)

2.2. Premisas

En �nanzas, las asunciones básicas del modelo de Black Scholes son:

4

2.2. PREMISAS CAPÍTULO 2. BLACK SCHOLES

� La variación de un activo entre el momento actual y un momento próximo en eltiempo se distribuye según una función Normal.

� La media de la distribución es µ(rentabilidad esperada) veces el tiempo y la desvia-ción típica es σ(volatilidad) veces la raíz cuadrada el tiempo.

Media = µ− σ2

2T (2.2)

Desviacion tıpica = σ√T (2.3)

Esto genera dos consecuencias inmediatas:1) La desviación típica de los rendimientos aumenta en proporción a la raíz cuadrada

del tiempo. Ello supone que según pasa el tiempo la magnitud de �uctuación del activotiende a ser mayor.

2) La tasa esperada de rendimiento varía proporcionalmente al tiempo pero no ala tasa instantánea de rendimiento. En virtud de ello, se puede a�rmar que la tasa derendimiento a corto plazo, por sí sola, no es un buen estimador de los rendimientos a largoplazo. De forma práctica, si un activo tiene una tasa de rendimiento instantánea del 5%

y una volatilidad del 20%, en un año el rendimiento esperado será del 3% (5 %− 20 %2

2 )y en dos años un 6% (3% x 2).

En el entorno de valoración de opciones de uno de los modelos de mayor difusión comoBlack Scholes, aplicado a opciones de tipo europeo, los principales supuestos que manejason:

1. Los mercados funcionan sin costes de transacción ni impuestos. Los valores que senegocian son in�nitamente divisibles y se puede operar continuamente.

2. El tipo de interés libre de riesgo es conocido y constante a lo largo del tiempo.3. Los inversores pueden prestar y endeudarse al tipo libre de riesgo.

4. No existe limitación para la venta en descubierto.

5. El precio de la acción es una variable aleatoria en tiempo continuo cuya tasa de rendi-miento instantánea sigue un proceso de media y varianza constantes que da lugar a unadistribución lognormal. Variaciones relativas del precio son igualmente probables sobre lamedia.

Ln

(STS0

)→ N(µT, σ2T ) (2.4)

De tal modo que el modelo de evolución del subyacente es:

Ln

(STS0

)= (r − q)T −

(σ2

2T

)+ σ√TN (2.5)

en donde:N: normal con media ≈ (r − q)y varianza σ2TEmpíricamente, para arropar la asunción de normalidad, se puede observar en un

periodo de tiempo lo su�cientemente largo (1000 datos) como por ejemplo, las variacionesde un índice como el Ibex 35, se distribuye:

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2.2. PREMISAS CAPÍTULO 2. BLACK SCHOLES

El valor de una call o put europea (el ejercicio sólo es posible en la fecha de vencimientode la opción) es función de:

� Precio del activo subyacente (S ): precio de mercado del activo sobre el que estádenominada la opción

� Precio de ejercicio de la opción (K ): precio de compra (call) o venta (put) pactadoen la opción.

� Volatilidad implícita (σ): volatilidad cotizada en el mercado y por tanto, la que ésteasigna a la evolución futura del precio del activo subyacente para la vida de la opción.

� Tipo de interés libre de riesgo (r): tipo de interés de mercado correspondiente alplazo existente entre la fecha de valoración y el vencimiento de la opción.

� Dividendos que paga el activo subyacente (q): dividendos devengados por el activosobre el cual está denominada la opción durante la vida de la misma:

� Tiempo al vencimiento de la opción (T): fracción de año entre la fecha de valoracióny la de vencimiento.

Todas estas variables van a determinar los dos componentes de la prima de una opción.Componente Variable

Valor Intrinseco Precio SubyacentePrecio EjercicioTipo de interésDividendo

Valor Temporal VolatilidadTiempo

6 Roberto Knop-2018

2.3. ESQUEMA BÁSICO CAPÍTULO 2. BLACK SCHOLES

2.3. Esquema básico

El modelo de Black-Scholes se apoya, como ya se mencionó, en la asunción de nor-malidad en las tasas de variaciones de tal modo que dado el precio actual del activosubyacente se proyecta al vencimiento considerando el tipo de interés libre de riesgo, losdividendos estimados y la volatilidad implícita. Esta proyección, encuadrada en el ámbitode una distribución normal permite de�nir las cotas máximas y mínimas esperadas de lasvariaciones del subyacente (y por tanto del propio precio del subyacente). El valor de laopción justamente dependerá de la diferencia entre alguna de esas cotas y el strike, segúnse trate de una call o una put.

2.4. La volatilidad

El modelo de Black requiere de una estimación de la volatilidad del activo subyacentepara la vida de la opción que acabará siendo uno de los aspectos más relevantes en ladeterminación del valor de la opción. Igualmente, la volatilidad realizada durante la vidade la opción será determinante en evolución del valor de la misma. La estimación dela volatilidad, es decir la denominada volatilidad implícita requiere en cada opción sudeterminación bidimensional de�niendo la super�cie de volatilidad:� Vencimiento (skew)� Strike versus subyacente (smile)

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2.4. LA VOLATILIDAD CAPÍTULO 2. BLACK SCHOLES

La relación volatilidad histórica e implícita es estrecha aunque, en ningún caso, fun-cionalmente cerrada. Ha de tenerse en cuenta que la volatilidad histórica es la observadaen el pasado y que la implícita es la que se espera que vaya a haber durante la vida dela opción. Justamente las expectativas de menor o mayor volatilidad son las que condi-cionan la mayor demanda u oferta de opciones, ya que la compra de ellas por razones deprotección o cobertura dependerá de la �inestabilidad esperada�. Ante mayor inestabili-dad esperada, habrá, mayor demanda de opciones y por tanto mayor volatilidad implícitacotizada y más caras serán las opciones, y viceversa. Por la parte de la oferta, hay queconsiderar que los vendedores de opciones tienen un riesgo ilimitado, por cuya asunciónsiempre tenderán a cargar una �prima de riesgo� en las volatilidades cuyo límite vendrádado por la elasticidad de la demanda. Simpli�cando al extremo podriamos decir que

σimplicita = σhistorica + primade riesgo (2.6)

En cualquier caso, la utilización de conos de volatilidad histórica es una prácticahabitual dentro del proceso de estimación de las implícitas. Para generarlos el proceso seresume en:

1) Dados los precios del activo, se calculan las tasas de variación. En el entorno Black,asumiendo normalidad en las tasas de variación tendremos:

Ln(

SiSi−1

)2) Dadas las tasas de variación es posible calcular la volatilidad con una dimensión de

la ventana de datos determinada

σ =

√√√√√ n∑i=1

(ri−r)2

N−1

3) De igual modo podría haberse calculado otras tantas volatilidades con la mismafrecuencia pero en los siguientes intervalos: [i-1, n-1] [i-2,n-2] . [i-j,n-j]

4) De todas las volatilidades calculadas para la misma frecuencia se calculan� Máximo� Mínimo� Percentil 20%,50% y 80%5) Finalmente, se realiza el mismo proceso para distintos tamaños de ventanas tem-

porales (o frecuencia)

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2.4. LA VOLATILIDAD CAPÍTULO 2. BLACK SCHOLES

Ejemplo

Con 1001 precios del Ibex35 (datos de 4 años), calcularemos 1000 tasas de variaciónque nos permitirán calcular volatilidades para ventanas:

Mensuales (23 días): 978 volatilidadesBimensuales (43 días): 958 volatilidadesTrimestrales (62 días): 939 volatilidadesSemestrales (124 días): 877 volatilidadesAnuales (252 días): 749 volatilidadesBianual (504 días): 497 volatilidadesTrianual (756 días): 245 volatilidades

9 Roberto Knop-2018

2.5. EL MODELO SIN DIVIDENDOS CAPÍTULO 2. BLACK SCHOLES

2.5. El modelo sin dividendos

Así tenemos, en el caso de opciones sobre activos que no paguen dividendos:

Call = S N(d1)−K e−rtN(d2) (2.7)

Put = −S N(−d1) +K e−rtN(−d2) (2.8)

d1 =Ln(SK

)+(r + 1

2σ2)T

σ√T

(2.9)

d2 = d1 − σ√T (2.10)

σv= volatilidadS= precio del activo subyacenteK= precio de ejercicior= tipo de interés libre de riesgoT= tiempo, en añosN= valor de la normal de la variableEn el caso del modelo de Black Scholes, se requiere el valor que adquiere la distribución

Normal la variable d1 y d2.

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2.5. EL MODELO SIN DIVIDENDOS CAPÍTULO 2. BLACK SCHOLES


2.6. EXTENSIONES CAPÍTULO 2. BLACK SCHOLES

Por ejemplo, el valor de la normal para el 1,03 es 0,84849. En Excel, se obtiene con lafunción =DISTR.NORM.ESTAND(valor)

Ejemplo

Valoraremos una call europea de nominal 100.000.000 euros sobre un índice bursátilbajo las siguientes condiciones:

S: 4.000K: 4.000T: 1 añor: 4%q: no existen pagos de dividendosσ : 25%

Call = S N(d1)−K e−rtN(d2)

Call = 4000N(0, 285)− 4000 2, 7182−4 %1N(0, 035)

d1 =Ln(

40004000

)+(

4 % + 25 %2

2

)1

25 %√

1= 0, 28519

d2 = d1 − 25 %√

1 = 0, 03519

El valor de la normal de d1 es decir N(d1)= 0,61225El valor de la normal de d2 es decir N(d2)= 0,51404

Call = 4000× 0, 28519− 4000× 2, 7182−4 %1 0, 03519 = 473, 481

Esta opción costaría 473,481 puntos del índice, o lo que es lo mismo, un: 11,837% delnominal (473,481/4.000) ó 11.837.046 euros (11,837046% x 100.000.000)

2.6. Extensiones

El planteamiento que acabamos de exponer es el modelo original de Black Scholes.Posteriormente, y en función de las características de los activos subyacentes, se han idodesarrollando un conjunto de extensiones que pasamos a comentar.

2.6.1. Opciones sobre activos con dividendos

Se busca valorar opciones sobre activos que generan dividendos durante la vida dela opción. Para ello, respecto al modelo de BS estándar se incorpora la rentabilidadpor dividendos (q) en términos anualizados como variable relevante en la proyección delprecio del activo subyacente al vencimiento de la opción de cara a la determinación de suvalor. La transformación de los dividendos discretos a rentabilidad por dividendos parasu incorporación en el modelo también se recoge a continuación.

Call = S e−qtN(d1)−K e−rtN(d2) (2.11)


2.6. EXTENSIONES CAPÍTULO 2. BLACK SCHOLES

Put = −S e−qtN(−d1) +K e−rtN(−d2) (2.12)

d1 =Ln(SK

)+(r − q + 1

2σ2)T

σ√T

(2.13)

d2 = d1 − σ√T (2.14)

S= precio del activo subyacenteK= precio de ejercicior= tipo de interés libre de riesgo

q= dividend yield =−1T Ln

[1− V AN(dividendos)

S

]σv= volatilidadT= tiempo, en años

2.6.2. Opciones sobre divisas

El modelo apenas di�ere del anterior. Sólo el precio al contado pasa a ser un tipo decambio y los tipos de interés son los de las dos divisa implicadas en lugar de considerarun tipo libre de riesgo y una rentabilidad por dividendo como ocurría en Black Scholesestándar.

Call = S e−r2tN(d1)−K e−r1tN(d2) (2.15)

Put = −S e−r2tN(−d1) +K e−r1tN(−d2) (2.16)

d1 =Ln(SK

)+(r1 − r2 + 1

2σ2)T

σ√T

(2.17)

d2 = d1 − σ√T (2.18)

S= precio del activo subyacenteK= precio de ejercicior1= tipo de interés libre de riesgo divisa 1r2= tipo de interés libre de riesgo divisa 2σv= volatilidadT= tiempo, en añosLa forma de identi�car adecuadamente los tipos de interés es función de la forma de

cotización. En el caso de las opciones sobre acciones teníamosForma de cotización ¿ por 1 acción

Rentabilidad del euro r: tipo de interésRentabilidad de la acción q: dividend yield

En las divisas, la lógica es la misma a expensas, por tanto de la forma de cotizaciónde cada par:


2.7. LAS GRIEGAS CAPÍTULO 2. BLACK SCHOLES

Forma de cotización divisa 1 por 1 divisa 2

Rentabilidad de divisa 1 r1: tipo de interés 1Rentabilidad de divisa 2 r2: tipo de interés 2

Por ejemplo en el par $/¿Forma de cotización $ por 1¿

Rentabilidad de $ r1: tipo de interés $Rentabilidad de ¿ r2: tipo de interés ¿

2.6.3. Opciones sobre futuros

La diferencia fundamental de este modelo es que el activo subyacente relevante es elprecio a futuro como input, no así el precio al contado del mismo.

Call = e−rt (F N(d1)−KN(d2)) (2.19)

Put = e−rt (−F N(−d1) +KN(−d2)) (2.20)

d1 =Ln(FK

)+(

12σ

2)T

σ√T

(2.21)

d2 = d1 − σ√T (2.22)

F= precio del activo subyacente; el futuroK= precio de ejercicior= tipo de interés libre de riesgoσv= volatilidadT= tiempo, en años

2.7. Las griegas

De las anteriores expresiones podemos obtener analíticamente las sensibilidades dela opción a las distintas variables relevantes para el modelo de valoración de opcionessobre activos que paguen dividendos. Las sensibilidades, conocidas como griegas, son lasmedidas de elasticidad por excelencia que nos permitirán estimar el cambio del valor dela opción ante movimientos de las variables �nancieras relevantes en el modelo.



VARIABLE CALL PUT GRIEGA DEFINICION

Precio subyacente ⇑ ⇓ Delta-Gamma (δ) Variación del precio de la opciónpor variación unitaria delsubyacente

Precio ejercicio ⇓ ⇑Tipo interés ⇑ ⇓ Rho (ρ) Variación del precio de la opción

por variación unitaria del tipode interés

Dividendos ⇓ ⇑ Phi (π) Variación del precio de la opciónpor variación unitaria deldividend yield

Tiempo ⇑ ⇑ Theta (θ) Variación del precio de la opciónpor variación unitaria deltiempo

Volatilidad ⇑ ⇑ Vega Variación del precio de la opciónpor variación unitaria de lavolatilidad

Por tanto, podemos decir que la variación del precio de una opción (∆) es aproximan-damente:

∆opcion = δ ×∆S +1

2× γ ×∆S2 + V ega× σ + .... (2.23)

2.7.1. La delta

Existen 3 de�niciones formales de la delta.De�nición (1): Matemática. Derivada primera del valor de la opción respecto al activo

subyacente.δCall = e−qTN(d1) (2.24)

δPut = e−qT (N(d1)− 1) (2.25)



De�nición (2): Riesgo. Representa la variación que tendrá el valor de la opción antevariaciones unitarias del precio del activo subyacente.

De�nición (3): Gestión. Proporción del activo subyacente representada por la opción.Es decir la cantidad equivalente monetaria de la opción en términos del activo subyacente.

Subyacente equivalente = Nominal ×Delta (2.26)

Aproximación. En muchas ocasiones se asocia la delta de una opción a su probabilidadde ejercicio. Realmente, la probabilidad de ejercicio de una opción viene dada por la N(d2)de la expresión de valoración de la opciónEjemplo

Supongamos que hemos comprado una put europea a un año con strike 11,00 eurossobre una acción cuyo precio actual es 11,17 euros. El tipo de interés libre de riesgo yla rentabilidad por dividendos es de un 5%. La volatilidad implícita de mercado es del10%. Con estos parámetros el valor de la opción por Black Scholes sería 0,3446 euros. Sicalculamos la delta de esta opción obtendremos -0,40. Analicemos las interpretaciones dela delta:

1) Como medida de sensibilidad nos indica que si el subyacente baja (sube) 0,01 euro,el valor de la opción aumentaría (disminuiría) aproximadamente 0,0040 euros. Se puedecomprobar que justamente si el subyacente pasará en la realidad de 11,17 a 11,16, la putvaldría 0,3486 (0,3446+0,0040).

2) Como proporción del activo subyacente nos indica que tendríamos el mismo riesgoprecio que si tuviésemos una posición del -40% en el nominal del subyacente, es decir conla venta de 11,17 x 40%= 4,47 euros de la acción. Si vendemos un 40% de la acción yel precio baja (sube) ganaríamos (perderíamos) lo mismo que la put comprada en esteejemplo.

2.7.1.1. Signo

Pone de mani�esto la relación causal entre la evolución del precio del activo subyacentey el valor de la opción.

� Delta es siempre positiva para las call compradas.� Delta es siempre negativa para las put compradas. Las opciones vendidas ven cam-

biado el signo �original� de la delta correspondiente:� Delta es siempre negativa para las call vendidas.� Delta es siempre positiva para las put vendidas

2.7.1.2. Propiedades

La delta es completamente aditiva. La suma de todos los riesgos de cada una delas opciones que integran una cartera de�ne su riesgo direccional, considerando los signoscorrespondientes ponderados por los nominales. Una cartera de opciones con delta positiva(negativa) re�eja un posicionamiento alcista (bajista) en el activo subyacente.

2.7.1.3. Delta Neutral

Los gestores profesionales de opciones o �traders de volatilidad� (como se les suelellamar) mantienen habitualmente ciertas premisas ortodoxas de actuación en su gestión.



Ciertamente, dependiendo del nivel de aversión al riesgo o políticas de gestión, la formade manejar la cartera puede diferir. No obstante, en muchas ocasiones el trader opta porneutralizar el riesgo direccional de precio que tiene en su cartera de opciones, lo que máscomúnmente se denomina gestión de delta neutral. Como su nombre lo indica, es unagestión encaminada a que una opción o cartera de opciones de�na insensibilidad a lavariación del precio del activo subyacente, objetivo que se consigue situando la delta dela opción o cartera en niveles nulos o próximos a cero.

¾Cómo conseguir un riesgo direccional de este tipo?.Actuando tanto sobre opciones o sobre el subyacenteEjemplo

Dada una cartera de opciones sobre acciones formada por: +100 CALL 108,00¿ condelta 0,4520 -100 PUT 106,00¿ con delta -0,40

Delta total= [+100 x 108 x 0,4520] � [100 x 106 x(-0,40)]= 642 eurosSi la acción valiese al contado 107¿, se deberían VENDER 642/107= 6 acciones para

tener una posición delta neutralVeamos a continuación la gestión delta en las cuatro estrategias básicas de las opciones:Compra call

Esta estrategia tiene delta positiva (subida del subyacente favorece la posición). Lacobertura delta viene dada por la VENTA DE SUBYACENTE que deberá graduarse enfunción de la magnitud de la delta.

Subyacente : S < K S = K S > K

Delta : //0 % 50 % 100 %

Situacion : OTM ATM ITM

Cober.δ : V enta S(δ% < 50 %) V enta S (δ% = 50 %) V enta S (δ% > 50 %)

Compra Put

Esta estrategia tiene delta negativa (bajada del subyacente favorece la posición). Lacobertura delta viene dada por la COMPRA DE SUBYACENTE que deberá graduarseen función de la magnitud de la delta



Precio Subyacente : S < K S = K S > K

Delta : //−100 % 50 % 0 %

Situacion OTM ATM ITM

Cobertura δ CompraS en δ%(> 50 %) CompraS en δ%(= 50 %) CompraS en δ%(< 50 %)

Venta call

Esta estrategia tiene delta Negativa (bajada del subyacente favorece la posición). Lacobertura delta viene dada por la COMPRA DE SUBYACENTE que deberá graduarseen función de la magnitud de la delta.


Delta : //0 % 50 % −100 %


Cober. δ : CompraS (δ% < 50 %) CompraS (δ% = 50 %) CompraS (δ% > 50 %)

Venta Put

Esta estrategia tiene delta Positiva (subida del subyacente favorece la posición). La cobertura delta viene dada por la VENTA DE SUBYACENTE que deberá graduarse en función de la magnitud de la delta.


Delta : //100 % 50 % 0 %


Cober. δ : V enta S (δ% > 50 %) V enta S (δ% = 50 %) V enta S (δ% < 50 %)



Cuando se han COMPRADO opciones la cobertura delta induce la realización de

bene�cios.+ CALL (delta +): si sube subyacente se debe vender. Si baja, reducir ventas (recom-

prar a precios más bajos).+ PUT (delta -): si sube subyacente se debe reducir compras (revender a precios más

altos). Si baja, reforzar comprasEste inducción a resultados positivos se debe al efecto de la gamma positiva que

veremos más adelante existe en las opciones compradas. En el caso de la compra decall, la delta positiva de la opción se cubre aumentando las ventas a precios mayoresy reduciéndolas en caso de bajada a precios menores. En el caso de la put comprada,tambien la cobertura induce a vender tras subidas y comprar tras bajadas.

Cuando se han VENDIDO opciones la cobertura delta induce la realización de

pérdidas .- CALL (delta -): si sube subyacente se debe comprar más. Si baja, reducir compras

(vender a precios más bajos).- PUT (delta +): si sube subyacente se debe reducir ventas (recomprar a precios más

altos). Si baja, reforzar ventas (vender a precios más bajos).Este inducción a resultados positivos se debe al efecto de la gamma negativa que

veremos más adelante existe en la opciones vendidas.

Veamos a continuación, algunos ejemplos grá�cos de la delta de opciones europeas:

Call Comprada

S 150K 150r 5%q 5%T 10 díasσ 10%

Prima 2,38Delta(δ) 0,503

Put Comprada

S 150K 150r 5%q 5%T 10 díasσ 10%

Prima 2,38Delta(δ) -0,496



La Delta de la call para distintos precios del subyacente y días al vencimiento es:

La Delta de la put para distintos precios del subyacente y días al vencimiento es:

Como se puede observar en los grá�cos, la delta suele ser inferior a 0,50 o 50% (-50%en las put) cuando el precio subyacente está por debajo del strike en las call (por encimadel strike en las put). En dichas circunstancias, en un mundo de riesgo neutro también



diríamos que la posibilidad de ejercer la opción es inferior al 50%. Todo lo contrarioocurre en opciones In the money (ITM) en las que el precio del subyacente supera alstrike en las calls y se sitúa por debajo en las put. En las opciones ITM en las que dichaprobabilidad es, en principio, superior al 50% (-50% en las put), su delta también lo es.

2.7.2. La gamma

Representa las variaciones que tendrá la delta ante variaciones unitarias del activosubyacente, es decir, es una medida de sensibilidad de la delta. Esta elasticidad se calculacomo la derivada parcial de la delta de la opción respecto al precio del activo subyacente.[

1√2πe

(−d212

)]e−qT

Sσ√T

(2.27)

2.7.2.1. Signo

Pone de mani�esto la posición que se tiene en la opción.� Gamma es siempre negativa para las call y put vendidas.� Gamma es siempre positiva para las call y put compradas.


La gamma se carateriza por ser positiva (en opciones compradas) y simétrica:� Positividad: la gamma es una medida de convexidad, por tanto, las opciones estándar

siempre tienen gamma positiva. Para transformarla a negativa, deben venderse.� Simetría: la gamma de call y put de una misma serie son la misma.La gamma (convexidad) de las opciones es máximas para opciones ATM y próximas

al vencimiento. En estas situaciones, aproximar el valor de una opción usando sólo ladelta puede entrañar grandes �defectos� de gestión. Como es propia de la convexidad,la gamma mide el error que se comete cuando se aproxima linealmente el valor de unaopción mediante el uso de la delta. Mientras la delta mide el riesgo direccional de unaopción, la gamma es una medida del riesgo de �estabilidad�.

Símil físico: la delta equivale a la velocidad y la gamma a la aceleración.La gamma de una cartera de opciones es la suma algebraica de sus gammas indivi-

duales.La gamma siempre va a favor del que está �largo de ella�.Una cartera con gamma

positiva, como ya comentamos re�eja un posicionamiento comprador de opciones y devolatilidad. Una cartera con gamma negativa re�eja un posicionamiento vendedor deopciones y de volatilidad. La estabilidad direccional se consigue con delta neutral y gammabaja.

El riesgo gamma de una cartera de opciones se cubre �perfectamente� sólo con opcionessobre el mismo activo.



Call Comprada

S 150K 150r 5%q 5%T 10 díasσ 10%

Prima 2,38Gamma(γ) 0,16

Put Comprada

S 150K 150r 5%q 5%T 10 díasσ 10%

Prima 2,38Gamma(γ) 0,16

Siendo los per�les de gamma para call y put los mismos, si por contra, las opcionesestuviesen vendidas, serían:



Como se puede observar en los grá�cos, la gamma suele decaer cuando el precio sub-yacente está por debajo o encima del strike independientemente que sean calls o puts.Se maximiza en situación at the money (ATM), es decir cuando el precio del subyacen-te iguala al strike. En dichas circunstancias, lo que se pone de mani�esto una elevadainestabilidad de la delta que justamente variará al ritmo que la gamma indica.

Ejemplo

Supongamos que tenemos:1) Comprada una call con strike 150 a un mes sobre una acción que paga dividendos.2) Vendida una put con strike 145 a un mes sobre la misma acción que paga dividendos.Considerando para ambas opciones un precio del subyacente de 150, la volatilidad

implícita es 10%, una rentabilidad por dividendos y tipo de interés libre de riesgo del5%, calcularemos la GAMMA de la cartera de estas dos opciones.

GammasCall 150 = 0,0924Put 145 = -0,0451Gamma TOTAL= 0,0472

2.7.3. La vega

Representa las variaciones que tendrá el valor de la opción ante variaciones de un 1%de la volatilidad implícita. Esta elasticidad se calcula como la derivada parcial del valorde la opción respecto a la volatilidad implícita.

S√T

[1√2πe

(−d212

)]e−qT

100(2.28)



2.7.3.1. Signo

Pone de mani�esto la posición que se tiene en términos de volatilidad de la opción.� Vega es siempre negativa para las call y put vendidas.� Vega es siempre positiva para las call y put compradas.


La sensibilidad de la opción a la volatilidad es máxima cuanto más lejana está de suvencimiento. La sensibilidad de la opción a la volatilidad es máxima para opciones ATMy mínima para opciones ITM u OTM. La vega es aditiva, es decir, la vega de una carterade opciones es la suma algebraica de sus vegas individuales.

Call Comprada

S 150K 150r 5%q 5%T 10 díasσ 10%

Prima 2,38Vega 0,09

Put Comprada

S 150K 150r 5%q 5%T 10 díasσ 10%

Prima 2,38Vega 0,09



Siendo los per�les de vega para call y put los mismos, si por contra, las opcionesestuviesen vendidas, serían:

Como se puede observar en los grá�cos, la vega suele decaer cuando el precio sub-yacente está por debajo o encima del strike independientemente que sean calls o puts.



Se maximiza en situación at the money (ATM), es decir cuando el precio del subyacenteiguala al strike. En dichas circunstancias, lo que se pone de mani�esto es una elevadasensibilidad de la opción a variaciones de la volatilidad implícita.

Ejemplo

Supongamos que tenemos:1) Comprada una call con strike 150 (100.000 euros de nominal) a un mes sobre una

acción que paga dividendos.2) Vendida una put con strike 145 (50.000 euros de nominal) a un mes sobre la misma

acción que paga dividendos. Considerando para ambas opciones un precio del subyacentede 150, la volatilidad implícita es 10%, una rentabilidad por dividendos y tipo de interéslibre de riesgo del 5%, calcularemos la VEGA de la cartera de estas dos opciones.

VegasCall 150 = 0,1708Put 145 = -0,0835En euros:Call 150 = 0,1708 x 100.000 = 17.083 eurosPut 145 = -0,0835 x 50.000 = -4.173 eurosVega TOTAL= +0,08747En euros = 12.910Para cubrir la vega sólo se puede hacer con opciones. Por ejemplo, si vendiéramos una

call 145,16 de nominal 147.798 a un mes sobre el mismo activo (suponiendo las mismascondiciones para el resto de variables) tendríamos:

Vega Call 145,16 = -0,0873 x147.798 = - 12.910 euros. Con lo que la vega de las dosopciones primarias quedaría cubierta. Otra cosa es que el resto de sensibilidades no loestén.

2.7.4. La Theta

Representa las variaciones que tendrá el valor de una call como consecuencia deltranscurso de un día, con las demás variables constantes.

−Se−qTN(d1)

2√T

+ qSN(d1)e−qt − rKe−rTN(d2) (2.29)

Para una put:

−Se−qTN(d1)

2√T

− qSN(−d1)e−qt + rKe−rTN(−d2) (2.30)

Esta elasticidad se calcula como la derivada parcial del valor de la opción respecto altiempo.

2.7.4.1. Signo

Pone de mani�esto la posición que se tiene en la opción en relación con el transcursodel tiempo.

� Convencionalmente, suele ser positiva para las call y put vendidas.� Convencionalmente, suele ser negativa para las call y put compradas.




En opciones muy ITM, el paso del tiempo puede suponer ligeros incrementos del valorde la opción; distinto impacto del paso del tiempo sobre el valor intrínseco y temporalde la opción. Por lo general, dominará el efecto de decaimiento temporal respecto al deincremento de valor intrínseco. El riesgo theta es máximo para opciones de mayor valortemporal (ATM) y próximos a su vencimiento (con gamma alta). De hecho, el riesgo thetay el gamma de una misma opción son cualitativamente muy similares. La theta es aditiva:la theta de una cartera de opciones es la suma algebraica de sus thetas individuales. Elriesgo theta de una cartera sólo se puede cubrir con opciones (comprando o vendiendo).

Call Comprada

S 150K 150r 5%q 5%T 10 díasσ 10%

Prima 2,38Theta(θ) -0,05

Put Comprada

S 150K 150r 5%q 5%T 10 díasσ 10%

Prima 2,38Theta(θ) -0,05

Siendo los per�les de Theta para call y put los mismos, si por contra, las opcionesestuviesen vendidas, serían:



Convencionalmente, la theta tendrá signo negativo tanto para calls como para puts,siempre que estén compradas, como en los ejemplos adjuntos. En caso de estar vendidasse expresarán con signo positivo. Como se puede observar en los grá�cos, la THETA sueledecaer cuando el precio subyacente está por debajo o encima del strike independientementeque sean calls o puts. Se maximiza en situación at the money (ATM), es decir cuandoel precio del subyacente iguala al strike. En dichas circunstancias, lo que se pone demani�esto es una elevada sensibilidad de la opción al paso del tiempo.

2.7.5. El Rho

Elasticidad que representa el cambio del valor de la opción respecto al tipo de interéslibre de riesgo. Se calcula como la derivada parcial opción respecto al tipo de interéspor lo que representa las variaciones que tendrá el valor de una call como consecuenciavariaciones de un 1% en el tipo de interés al vencimiento de la opción. Para una call:

TKe−rtN(d2) (2.31)

para una put

−TKe−rtN(−d2) (2.32)

2.7.5.1. Signo

Subidas de los tipos de interés favorecen el valor de una call europea, con las demásvariables constantes. Por esto, las call compradas tendrán un rho con signo positivo y las



vendidas, negativo. En el caso de las puts ocurre justamente lo contrario: put compradatiene rho negativo y la vendida, positivo.

Call Comprada

S 150K 150r 5%q 5%T 10 díasσ 10%

Prima 2,38Rho(ρ) 0,02

Put Comprada

S 150K 150r 5%q 5%T 10 díasσ 10%

Prima 2,38Rho(ρ) -0,02

La Rho de la call para distintos precios del subyacente y días al vencimiento es:

La Rho de la put para distintos precios del subyacente y días al vencimiento es:



2.7.6. El Phi

Elasticidad que representa el cambio del valor de la opción respecto al dividend yield.Se calcula como la derivada parcial opción respecto al dividend yield por lo que representalas variaciones que tendrá el valor de la opción como consecuencia variaciones de un 1%en dich variable durante la vida de la call.

−TKe−qtN(d1) (2.33)

para la put

TKe−qtN(−d1) (2.34)

2.7.6.1. Signo

Subidas del dividend yield favorecen el valor de una put europea, con las demás va-riables constantes. Por esto, las put compradas tendrán un phi con signo positivo y lasvendidas, negativo. En el caso de las call ocurre justamente lo contrario: call compradatiene phi negativo y la vendida, positivo. La relación negativa entre los dividendos y lacall se entiende en la medida en la cual la opción es una alternativa a la compra de laacción en la que la se renuncia al cobro de los dividendos que cuanto mayores sean, menosatractivo y menos valor por tanto le darán a la call.



Call Comprada

S 150K 150r 5%q 5%T 10 díasσ 10%

Prima 2,38Phi(π) 0,02

Put Comprada

S 150K 150r 5%q 5%T 10 díasσ 10%

Prima 2,38Phi(π) -0,02

La Phi de la call para distintos precios del subyacente y días al vencimiento es:

La Phi de la put para distintos precios del subyacente y días al vencimiento es:



2.7.7. Resumen

De todo lo anterior cabe extraer unas conclusiones genéricas que sintetizan los riesgosde las opciones.

Al comprador de una call le bene�cia (al vendedor le perjudica):� Subidas del precio del activo subyacente.� Aumento de la volatilidad del precio del activo subyacente.� Subida del tipo de interés hasta el vencimiento de la opción.� Bajadas de los dividendos pagados por el activo subyacente.

Al comprador de una put le bene�cia (al vendedor le perjudica):� Bajadas del precio del activo subyacente.� Aumento de la volatilidad del precio del activo subyacente.� Bajada del tipo de interés hasta el vencimiento de la opción.� Subidas de los dividendos pagados por el activo subyacente.Además, con carácter general los riesgos asumidos por el comprador de call o put

están limitados a la prima pagada por la opción, mientras quien las vende tiene un riesgo�ilimitado� por las variables ya señaladas. El comprador de opciones, sufre el transcursodel tiempo, que de forma natural le detrae valor a la opción hasta su fecha de vencimiento.


Capítulo 3

Modelo Binomial

3.1. Introducción

El modelo binomial fue desarrollado por Cox, Ross y Rubinstein en 1979. Está ba-sado en la ley de probabilidad binomial, no sólo es conceptualmente sencillo, sino quesu �exibilidad permite su aplicación a muy diversas situaciones, como la valoración deopciones de tipo americano, incluyendo en este campo aquellas cuyo activo subyacentepague dividendos. No es un método analítico, sino numérico. Las hipótesis fundamentalesson:

� El precio del activo sigue un proceso binomial. El precio puede adoptar en cadamomento solo uno de dos posibles valores.

� Se asumirá inicialmente que el subyacente de la call a valorar es un activo que nopaga dividendos.

� Los mercados son perfectos sin costes de transacción ni impuestos.� Existe un tipo de interés sin riesgo, conocido y constante para el período considerado,

al que el mercado puede prestar y tomar prestado.� La volatilidad del subyacente es constante en el tiempo.� No existen restricciones a la venta al descubierto.

3.2. Esquema básico

El precio de una opción valorada por un árbol binomial está asociado a la evolucióndel precio de la acción subyacente (S). El modelo básico se basa en la generación de �2�árboles binomiales paralelos que modelicen el comportamiento de S y del payo� asociado.Se parte de cuatro premisas fundamentales:

1) Partimos del precio actual de mercado de la acción subyacente S0

2) S0 sólo se puede mover al alza o a la baja, de tal modo que el precio de la acciónsólo puede tomar dos valores para el período siguiente: uS si la acción sube y dS si baja,siendo:

u = 1 + subida de la acción en tanto por unod = 1 � bajada de la acción en tanto por uno

33

3.2. ESQUEMA BÁSICO CAPÍTULO 3. MODELO BINOMIAL

Por esto el precio del subyacente al �nal del período será función del precio del mismoen el período anterior, u y d, es decir, ST es f(S,u,d).

3) Se conoce el precio de ejercicio o strike (K) de tal modo que se conoce el payo�,por ejemplo para una opción call (C):

C = Max(0, Sf −K) (3.1)

4) Debemos obtener en el árbol una p (probabilidad de subida) y una q (probabilidadde bajada) tal que:

C = pCµ+ q Cd (3.2)

siendo:Cµ : precio de la opción (C) en caso de subida de la acción (S)Cd: precio de la opción (C) en caso de bajada de la acción (S)La rentabilidad esperada de una inversión en un activo que paga dividendos viene

dada por:

µ = e(r−q)T (3.3)

r: tipo de interés libre de riesgoq: dividend yieldque en de�nitiva es el factor que incorpora el coste de �nanciación que permita comprar

el activo y la rentabilidad que este genera por su tenencia.Para ello:

p =µ− du− d

(3.4)

q = 1− p (3.5)

u = eσ√t/n (3.6)

d = e−σ√t/n (3.7)

y donde:µ: rentabilidad esperadat: añosn: sub-periodosPara σ=0 se tiene:

p =1− du− d

(3.8)

q = 1− p (3.9)

De cara al tratamiento de los tipos de interés, debe tenerse en consideración que dadoun tipo de interés simple i, su expresión en términos continuos r viene dada por:


3.2. ESQUEMA BÁSICO CAPÍTULO 3. MODELO BINOMIAL

r =365

dıasLn(1 + i

dias

Base) (3.10)

En particular: r=Ln(1+i) es el tipo anual efectivo En sentido contrario, podemosobtener el tipo simple haciendo:

i =Base

dıase(r diasBase−1) (3.11)

En la construcción del árbol se deberá considerar simultáneamente la acción y elpayo� asociado. Se construye el árbol progresivo partiendo del precio spot de la acciónsubyacente.

El árbol regresivo que parte de los nodos del paso �nal, de�nido por:

C = Max(0, ST −K) (3.12)

, y se calcula regresivamente de tal modo que al llegar al inicio del árbol, el valorobtenido es el precio de la opción en términos del subyacente.

Ejemplo

Calcularemos el valor de una call americana, dadas las siguientes condiciones:S: precio de la acción = 7,80K: precio de ejercicio = 8r: 5%q: 0%T: 2 añosσ: 25%Pasos (n): 4Calculamos el tipo de interés de cada periodo

rp = erTn − 1 = e5 % 2

4 − 1 = 2, 532 %

Calculamos u y d:

u = eσ√t/n = e25 %

√2/4 = 1, 1934

d =1

u=

1

1, 1934= 0, 8380


3.3. FORMALIZACIÓN DEL MODELO CAPÍTULO 3. MODELO BINOMIAL

Calculamos p y q:

p =e(r−q)T − du− d

=e(5 %−0 %) 2

4 − 0, 8380

1, 1934− 0, 8380= 52, 72 %

q = 1− p = 1− 0, 5272 = 47, 28 %

Construimos el árbol progresivo en el que cada valor es el del nodo anterior por u opor d, según de donde proceda. Por ejemplo, en el penúltimo nodo, el valor superior de13,26 se obtiene: 11,11 x 1,1934

Construimos el árbol regresivo desde el último tramo de nodos hacia el inicio. El últimose evalúa el payo� de la opción. En este caso al tratarse de una call estandar: Maximo(0, S-K). en los tramos precedentes vamos descontando, hasta llegar al valor de la opción.pSi,i−qSi,j

1+rp

El valor de la opción en el primer nodo se obtendría: (2,20×52,72 %)+(0,42×47,28 %)1+2,352 % =

1, 3256

3.3. Formalización del modelo

Para 1 periodo tenemos:S: precio de la acciónK: precio de ejercicior: 1+tipo de interés sin riesgoµS: precio de la acción tras subidadS: precio de la acción tras bajadaCu: precio de la opción tras subidaCd: precio de la opción tras bajada



Si además consideramos:4= número de accionesB = nominal del bono o activo cupón ceroReplicaremos los posibles valores de la opción a vencimiento construyendo una cartera

con acciones (sobre las que está denominada la opción) e inversiones (bonos) sin riesgo alplazo del vencimiento de la opción. Se deben cumplir las siguientes igualdades

4uS + rB = Cu (3.13)

4dS + rB = Cd (3.14)

Resolviendo el sistema de ecuaciones:

4 =Cu − Cd(u− d)S

(3.15)

B =uCd − dCu

(u− d)r(3.16)

Para evitar oportunidades de arbitraje entre la cartera que replica a la opción y lapropia opción se debe exigir que:

C = 4S +B (3.17)

Sustituyendo 4 y B

C =[ r−du−dCu+ u−r

u−dCd]r ó

C = [pCu+(1−p)Cd]r

con p = r−du−d

Ejemplo

Calcularemos el valor de una call americana, dadas las siguientes condiciones:S: precio de la acción = 100K: precio de ejercicio = 100r: 1+tipo de interés sin riesgo (10%)= 1,1uS: precio de la acción tras subida = 150dS: precio de la acción tras bajada = 50

4 =Cu − Cd(u− d)S

=50− 0

(1, 5− 0, 5)100= 0, 5



B =uCd − dCu

(u− d)r=

0− 0, 5 50

(1, 5− 0, 5) 1, 1= −22, 73

uS = 1504S + rB = 0, 5× 150− 1, 1× 22, 73 = 50 = CudS = 504S + rB = 0, 5× 50− 22, 73 = 27, 27o bienC = [pCu+(1−p)Cd]

rconp = r−d

u−d = 0,60

C = [0,6 50+(1−0,60)0]1,1 = 27, 27

Para replicar la opción sobre la acción S se debe construir una cartera formada por:� Compra de 4: 0,5 unidades de acción� Tomar prestado B:22,73 para �nanciar parcialmente la compra de la acción.El precio de la opción es lo que falta para acabar de construir la cartera.El cálculo del valor de la opción bajo estas premisas supone:1. Independencia de las preferencias subjetivas de los inversores2. El parámetro p es la probabilidad de subida de la acción en caso de neutralidad

frente al riesgo. Si p = r−du−dentonces la rentabilidad esperada de la acción sería:

p uS + (1− p)dS = rSque coincidiría con la del activo sin riesgos. Sólo ocurre esto cuando los inversores son

neutrales frente al riesgo.Para 2 periodos:

Si resolvemos el árbol binomial desde el �nal hacia el inicio, calcular el valor de laopción en t=1 es el problema que se acaba de resolver.

Cuu = [pCuu+(1−p)Cud]r

Cd = [pCud+(1−p)Cdd]r

sustituyendo, tenemos: C =[p2Cuu+2p(1−p)Cud+(1−p)2Cdd]

r2

para n periodos: C =[∑ni=1

n!j!(n−j)!p

j(1−p)n−jMax(0,ujdn−jS−K)]rn

Si llamamos �a� al número mínimo de subida de la acción necesario para que la opciónsea ejercitada a vencimiento, se simpli�ca la expresión:

uadn−aS > Kentonces para todo j<a se cumple Max(0, ujdn−jS −K) = 0Para todo j>=a se cumple Max(0, ujdn−jS −K) = ujdn−jS −KSe puede reescribir �a�, tomando logaritmos y de�niéndola como el menor entero no

negativo que de�ne:Ln( K

S dn )

Ln(ud )

C =[∑nj=a

n!j!(n−j)!p

j(1−p)n−j(ujdn−jS−K)]rn



Para opciones americanas, la única alteración requerida es introducir en cada nodo lacondición de elección de:

a) El valor de la opción obtenido recursivamente.b) El valor del ejercicio inmediato.Esto es:

Max(S −K, [pCu + (1− p)Cdu]

rpara las call (3.18)

Max(K − S, [pPu + (1− p)P du]

rpara las put (3.19)

3.3.1. Las griegas

Dado el siguiente esquema de difusión básico:

Delta

δ =V+ − V−S(u− d)

(3.20)

Gamma

γ =

V23−V22

S(u2−1) −V22−V21

S(1−d2)

S+ − S−(3.21)

S+ =S u2 + S

2(3.22)

S− =S + S d2

2(3.23)

S+ − S− =S u2 + S d2

2(3.24)

Vega: En este caso hacemos dos árboles, uno con la volatilidad original y otro (V*)con la volatilidad + una pequeña variación:

ν =V ∗0 − V0

4σ(3.25)


Capítulo 4

Simulación de MonteCarlo

Los modelos de valoración de opciones asumen que los movimientos de los activos sub-yacentes se producen en campos continuos de variación. De este modo, el precio forwardteórico estimado (S1) en el momento actual de un activo (S0) que genera dividendos vienedado por:.

S1 = S0e(r−q)T (4.1)

en donde r y q son los tipos de interés libre de riesgo y rentabilidad por dividendosen campo continuo, respectivamente. El precio S1 es la estimación del precio a futurodel activo considerando el coste de �nanciación y la rentabilidad que genere la operaciónque cubriría perfectamente un compromiso de venta a futuro a dicho precio. Esto nosigni�ca que el precio de mercado que en un futuro se registre realmente vaya a ser el queestimamos ya que en dicho precio acabarán afectando variables que a priori se desconocenpor tener un componente aleatorio.

Si incorporamos el hecho de que en el tiempo existe un componente aleatorio quecondicionará la evolución del activo y que dicha evolución sigue un proceso estocásticocontinuo de Markov (el precio �nal es independiente de lo que ha hecho el activo durantesu vida) también conocido como movimiento Browniano, la expresión anterior quedarede�nida como:

S1 = S0e(r−q−σ22 )T+(σε

√T ) (4.2)

S1: subyacente en momento 1S0: subyacente en momento inicialr: tipo de interés libre de riesgo para Tq: rentabilidad por dividendo de S para Tσ= volatilidad del subyacenteT = tiempo entre 0 y 1ε= aleatorio de una distribución normal estandarizada con media 0 y desviación típica

1

40

4.1. IMPLEMENTACIÓN CAPÍTULO 4. SIMULACIÓN DE MONTECARLO

4.1. Implementación

A continuación se describe el proceso de implementación general de valoración porMonteCarñp

1.- Generación de aleatorios. Obtenido, por ejemplo, un número aleatorio uniforme, lonormalizaremos.

2.- Determinación de la volatilidad del proceso y de su deriva. (r − q σ2

2 )dtdT = Tiempo en años (Nº pasos a simular)3.- Ejecución de las n simulaciones

Sn = S0e(r−q−σ22 )T+(σεn

√T ) (4.3)

En caso de tratarse de una opción multiasset, habrá que tener en cuenta la correlaciónde los activos (ver apéndice de este apartado).

4.- Cálculo de estadísticos para la determinación del pay-o� (PO) �nal de la opción:PO = Max(0, S −K) para call plain, Max(0, X si S > K) para call digital, etc,. . .5.- Expresión de dicho pay-o� (PO) en valor presente:V P (PO) = PO e−rT

6.- Cálculo de la prima o valor de la opción como media de los pay-o� obtenidos:

Prima =

n∑i=1

V P (PO)nn

(4.4)

Al igual que para calcular el precio de la opción hacemos la media de su vector de payo�descontado (VP(PO)), podemos calcular el error de la estimación haciendo la desviacióntípica del mismo y dividiéndolo por el número de simulaciones empleadas:

Error =

√V arianza(V P (PO)n)√

n(4.5)

Con el valor estimado de la opción y su error, podemos construir intervalos de con-�anza.

Como podemos ver, para reducir el error de la estimación podemos:- Aumentar el número de simulaciones. Esta solución puede no ser viable en casos de

opciones muy complejas debido a las limitaciones tecnológicas.- Reducir la varianza de la estimación. Hay diversos métodos: técnica de variable

antitética, moment matching, secuencias quasialeatorias, variable de control, . . .


4.2. GRIEGAS CAPÍTULO 4. SIMULACIÓN DE MONTECARLO

La técnica de la variable antitética es muy sencilla. Se utilizan las variables aleatoriasεn y −εn para generar las trayectorias:

Sn+ = S0e(r−q−σ22 )T+(σεn

√T ) (4.6)

Sn− = S0e(r−q−σ22 )T−(σεn

√T ) (4.7)

y repetimos los pasos anteriores con la diferencia de que ahora tendremos dos VP(PO)llamadosV P (PO)n+y V P (PO)n−.

Calculamos el vector promedio de ambos vectores:

V P (PO)antitetica =V P (PO)n+ + V P (PO)n−

2(4.8)

y de nuevo calculamos el valor de la opción como la media del vector resultante asícomo el error de la estimación que en este caso será menor.

Prima =

n∑i=1

V P (PO)antitetican

(4.9)

Error =

√V arianza(V P (PO)antitetica)√

n(4.10)

4.2. Griegas

Para calcular las griegas por montecarlo recalculamos la opción en los parámetrosiniciales alterados por una pequeña variación y posteriormente la diferencia entre el nuevovalor y el original, ponderado por el cambio experimentado. De esta forma la delta será:

δ =V P (S0 +4S0)− V P (S0)

4S0(4.11)

O calculada por diferencias centrales:

δ =V P (S0 +4S0)− V P (S0 −4S0)

24S0(4.12)

de esta forma la gamma será:

γ =V P (S0 +4S0)− 2V P (S0) + V P (S0 −4S0)

24S20

(4.13)

Y para la vega alteramos la volatilidad inicial y repetimos el cálculo:

V ega =V P (σ0 +4σ0)− V P (σ0)

4σ0(4.14)



4.2.1. Simulacion de aleatorios correlacionados

Para simular correctamente varias series se debe tener en cuenta la correlación entreellas. Esto se consigue a través de procesos como la descomposición de la matriz decovarianzas/correlaciones de Cholesky, siempre y cuando la matriz sea de�nida positiva.Asumamos 2 factores de riesgo (k, j) cuyas variaciones son independientes. Variacionesdiarias bajo supuesto de normalidad vendrían representadas por:4Xk = σkZ1

4Xj = σjZ2

que matricialmente es:[4Xk

4Xj

]=

[σk 00 σj

] [Z1

Z2

]si k y j tuvieran correlación 1 (perfectamente positiva)4Xk = σkZ1

4Xj = σjZ1

que matricialmente es:[4Xk

4Xj

]=

[σk 0σj 0

] [Z1

Z2

]De forma general[4Xk

4Xj

]=

[A1,1 A1,2

A2,1 A2,2

] [Z1

Z2

]en donde A transforma los 2 números independientes Z1 y Z2 (obtenidos de una

distribución normal uniforme) en variaciones correlacionadas de los factores k y j. Lamatriz A sólo debe depender en ciertas combinaciones de volatilidades y correlacionesde los 2 factores. Una forma de resolver A es por la descomposición de la matriz decovarianzas de Cholesky. Además se cumple:

A×AT =

[A1,1 0A2,1 A2,2

] [A1,1 A2,1

0 A2,2

]= V

en donde V es la matriz de varianzas y covarianzas:

V =

[σ2k σkσjρk,j

σkσjρk,j σ2j

]Luego:

A =

[σk 0

σkσjρk,j σj√

1− ρ2k,j

]Obteniendo:4Xk = σkZ1

4Xj = σjρk,jZ1 + σj√

1− ρ2k,jZ2

Si lo aplicamos a la matriz de correlación en lugar de la matriz de covarianzas, lamatriz A sería:

A =

[1 0

ρk,j j

√1− ρ2

k,j

]sustituyendo obtenemos:4Xk = Z1

4Xj = ρk,jZ1 +√

1− ρ2k,jZ2

La interpretación que debemos hacer es:



El primer factor k es simulado por un componente aleatorio Z1 como si fuera un factorúnico. El segundo factor j es simulado por dos componentes aleatorios, relacionados conla correlación. Este proceso se puede generalizar a N factores.


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