Unidad 7

transforMaciones lineales

Objetivos:

Al inalizar la unidad, el alumno:

• Comprenderá los conceptos de dominio e imagen de una transformación.• Distinguirá cuándo una transformación es lineal.• Encontrará el núcleo de una transformación lineal, así como su nulidad

y su rango.

• Distinguirá cuándo una transformación lineal es inyectiva, suprayectiva, biyectiva, y utilizará las propiedades de los isomorfos.

• Realizará operaciones entre transformaciones lineales y encontrará la transformación lineal inversa.

Álgebralineal

237

Introducción

En varias ramas de las matemáticas y de las ciencias sociales, es común

representar fenómenos mediante modelos que emplean funciones de

variable vectorial. Es decir, funciones entre espacios vectoriales.

Estas funciones tienen el nombre de transformaciones y son el primer

paso para estudiar transformaciones con propiedades especiales llamadas

transformaciones lineales.

7.1. Definición de transformación. Dominio e

imagen

Comenzaremos la unidad recordando lo que es una función. Una función

es una regla que asocia cada uno de los elementos de un conjunto A, llamado

dominio, con uno de otro conjunto B, llamado codominio. Es decir, si f: AB

es una función, significa que si a es un elemento de A entonces f(a) es el

elemento de B asociado a a mediante la regla f. Es importante mencionar que

f(a) es único para cada a en A.

Definición 7.1. Sean V y W dos espacios vectoriales. Sea T: V W una

función que asigna a cada vector v de V un vector único w en W.

T se llama transformación y los conjuntos V y W son respectivamente el

dominio y el codominio de la transformación.

Vamos a dar varios ejemplos de transformaciones entre espacios vectoriales

conocidos.

Ejemplo 1

a) Consideremos la relación reflexión que manda a cada vector (x, y) al

vector (x, –y) que es su reflexión con respecto al eje x.

Sea T: R2 R2, tal que T(x,y) = (x, –y). Probaremos que es una

transformación; es decir, probaremos que T(x, y) es único.

Consideremos el vector u = (u1, u

2) en R2 y supongamos que T(u) = (a, b) y

T(u) = (c, d) son dos vectores en W, entonces, por la definición de la relación

tenemos que

238

Unidad 7

(a, b) = T(u) = T(u1, u

2) = (u

1, –u

2) y (c, d) = T(u) = T(u

1, u

2) = (u

1, –u

2) de donde

(a, b) = (c, d) = T(u) por lo que T(u) es único y T es una transformación.

b) Sea la función T: R2 R3 definida por Tx

y

x y

x y

y

=

+−

3

.

Como R2 y R3 son espacios vectoriales, T es una transformación donde R2

es el dominio y R3 es el codominio.

Definición 7.2. Sea T: V W una transformación. Sea v en V, entonces

T(v) en W se llama la imagen de v bajo la transformación T, y el conjunto

{w en W tal que w = T(v) para alguna v en V} se llama imagen de la

transformación T.

Veamos ejemplos de la imagen de algunas transformaciones.

Ejemplo 2

a) Considera la transformación T: R3 R2 dada por T(x, y, z) = (x, y).

La imagen del vector (2, 3, –5) es T(2, 3, –5) = (2, 3) y la imagen de la

transformación es el conjunto de todas los vectores (x, y) de R2, tal que exista un

vector (a, b, c) en R3 tal que T(a, b, c) = (x, y), es decir, T(a, b, c) = (a, b) = (x, y) de

donde a = x, b = y, por lo tanto el rango es todo el plano cartesiano R2.

b) Considera la transformación T: R R tal que T(x) = 0.

Entonces la imagen de toda la transformación es T(R) = {0}. Esto es, la

imagen de T es el vector cero.

c) Sea T: R3 R2 tal que T(x, y, z) = (y, 3y).

La imagen de T es el conjunto de vectores de R2 de la forma (a, 3a).

La imagen del vector (1, –2, 4) es T(1, –2, 4) = (–2, –6).

Álgebralineal

239

Ejercicio 1

1. Di si las siguientes funciones son transformaciones:

a) T: R {1, 2, 3}

b) T: R2 R3 tal que T(x, y) = (x, y, 0)

2. Encuentra el dominio y la imagen de las siguientes transformaciones:

a) T: R2 R2 tal que T(x, y) = (–x, –y)

b) T: R3 R tal que T(x, y, z) = 2x

c) T: Mm×n

Mn×m

tal que T(A) = AT

3. Considera la transformación T: R2 R3 tal que T(x, y) = (–x, –y, x+ y)

Encuentra la imagen de los siguientes vectores:

a) (2, –3)

b) (–3, 0)

c) (6, 2)

d) (–2, 6)

7.2. Definición de transformación lineal.

Propiedades

En esta sección nos ocuparemos de una clase de transformaciones que son

muy útiles, pues preservan la suma y el producto por escalar, que son la base de

los espacios vectoriales. Estudiaremos sus propiedades que nos darán la pauta

para manejar las transformaciones tanto en su representación de funciones

como en su representación por medio de matrices.

Definición 7.3. Sean V y W espacios vectoriales y T: V W una

transformación.

T se llama transformación lineal si satisface las siguientes propiedades:

i) T(u + v) = T(u) + T(v), ∀ ∈u v, V

ii) T(cu) = cT(u), ∀ ∈ ∈u V c R,

240

Unidad 7

Esta definición nos dice que las transformaciones lineales conservan la

suma y el producto por un escalar, es decir, que se obtiene el mismo resultado

si las operaciones de suma y multiplicación por un escalar se efectúan antes

o después de que se aplique la transformación lineal. Debe observarse que las

operaciones pueden ser diferentes a como se indica en el siguiente diagrama

T(u + v) = T(u) + T(v)

T(cu) = cT(u)

Ejemplo 3

a) Considera la transformación T: R2 R2 tal que T(u, v) = (u – v, u + 2v);

probaremos que es una transformación lineal.

i) Sean u = (u1, u

2) y v = (v

1, v

2) en R2, probaremos que T(u + v) = T(u) + T(v).

Recordemos que en R2 u + v = (u1, u

2) + (v

1, v

2) = (u

1 + v

1, u

2 + v

2)

Por la definición de la transformación tenemos que

T(u ) = T(u1, u

2) = (u

1 – u

2, u

1 + 2u

2); T(v) = T(v

1, v

2) = (v

1 – v

2, v

1 + 2v

2)

T(u + v) = T(u1 + v

1, u

2 + v

2) = [(u

1 + v

1) – (u

2 + v

2), (u

1 + v

1) + 2(u

2 + v

2)]

= [u1 + v

1 – u

2 – v

2, u

1 + v

1 + 2u

2 + 2v

2]

Consideremos ahora la suma T(u) + T(v) en R2

T(u) + T(v) = (u1 – u

2, u

1 + 2u

2) + (v

1 – v

2, v

1 + 2v

2) usando la definición de

suma en R2 tenemos

= [(u1 – u

2) + (v

1 – v

2), (u

1+ 2u

2) + (v

1 + 2v

2)], eliminando paréntesis:

Suma en V Suma en W

Multiplicación

por escalar en V

Multiplicación

por escalar en W

Álgebralineal

241

= [u1 – u

2 + v

1 – v

2, u

1 + 2u

2 + v

1 + 2v

2], usando la propiedad conmutativa

en R:

= [u1 + v

1 – u

2 – v

2, u

1 + v

1 + 2u

2 + 2v

2] = T(u + v)

De donde T(u + v) = T(u) + T(v)

ii) Sea c un escalar, entonces probaremos que T(cu) = cT(u)

Por la definición de la transformación lineal tenemos que

T(cu) = T(cu1, cu

2) = (cu

1 – cu

2, cu

1 + 2cu

2)

por otro lado, al multiplicar por un escalar c la imagen de la transformación

tenemos que

cT(u) = c(u1

– u2, u

1 + 2u

2) = [c(u

1–u

2), c(u

1 + 2u

2)] por la propiedad de

transitividad en R:

= (cu1 – cu

2, cu

1 + 2cu

2) = T(cu)

Por lo tanto T(cu) = cT(u)

De i) y ii) tenemos que T es una transformación lineal.

b) Sea A una matriz de 2×2, considera la transformación T: R2 R2 tal que

T(u) = Au

Vamos a probar que T es una transformación lineal.

i) Probaremos que T(u + v) = T(u) + T(v)

Por la definición de la transformación T(u + v) = A(u + v)

Usando la propiedad distributiva de la multiplicación de matrices, tenemos

que A(u + v) = Au + Av = T(u) + T(v) por la definición de la transformación.

De donde T(u + v) = T(u) + T(v)

ii) Comprobaremos que T(cu) = c T(u)

Por la definición de la transformación tenemos que T(cu) = A(cu)

242

Unidad 7

Usando la propiedad de la multiplicación de matrices c(AB) = (cA)B =

A(cB) tenemos que

A(cu) = c(Au) = cT(u)

por lo tanto, T(cu) = cT(u)

De i) y ii) podemos asegurar que T es una transformación lineal.

Es importante mencionar que no todas las transformaciones son lineales.

Veamos un ejemplo de esto.

c) Consideremos la transformación T: R R tal que T(x) = x + 1

Sea T(x + y) = x + y + 1, sin embargo, T(x) + T( y) = (x + 1) + ( y + 1) = x

+ y + 2

Por lo tanto T no es una transformación lineal.

Las transformaciones lineales son importantes dentro del álgebra porque

poseen propiedades especiales como las que se mencionan en el siguiente

teorema.

Teorema 7.1. Sea T: V W una transformación lineal, y sean u, v dos

vectores en V, entonces T tiene las siguientes propiedades:

i) T(0v) = 0w

ii) T(–u) = –T(u)

iii) T(u – v) = T(u) – T(v)

iv) Si v = c1v

1 + c

2v

2 + ... + c

nv

n, entonces

T(v) = T(c1v

1 + c

2v

2 + ... + c

nv

n) = c

1 T(v

1) + c

2 T(v

2) + ... + c

n T(v

n)

Es importante mencionar que en la propiedad i) el primer cero corresponde

al espacio vectorial V mientras que el segundo corresponde al cero del espacio

vectorial W.

Vamos a dar un ejemplo para verificar que se satisface este teorema.

Álgebralineal

243

Ejemplo 4

Consideremos la transformación T: R2 R3 definida por Tx

y

x y

x y

y

=

+−

3

Probaremos que T es una transformación lineal y después que satisface las

propiedades mencionadas en el teorema 7.1.

1) Sean u = u

u

1

2

y v =

v

v

1

2

en R2, entonces u + v =

u v

u v

1 1

2 2

++

T( u + v) = Tu v

u v

u v u v

u v u v

u v

1 1

2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

2 23

++

=

+ + ++ − +

+

( ) ( )

( ) ( )

( )

=

( ) ( )

( ) ( )

u u v v

u u v v

u v

1 2 1 2

1 2 1 2

2 23 3

+ + +− + −

+

T(u) = Tu

u

u u

u u

u

1

2

1 2

1 2

23

=

+−

y T(v) = T

v

v

v v

v v

v

1

2

1 2

1 2

23

=

+−

T(u) + T(v) = T Tu

u

v

v

u u

u u

u

1

2

1

2

1 2

1 2

23

+

=

+−

+

v v

v v

v

u u v v

u u v v

u

1 2

1 2

2

1 2 1 2

1 2 1 2

23 3

+−

=

+ + +− + −

+( ) ( )

( ) ( )

33 2v

De donde T(u + v) = T(u) + T(v)

2) Sea c un escalar, T(cu) = Tcu

cu

cu cu

cu cu

cu

1

2

1 2

1 2

23

=

+−

cT(u) = c Tu

uc

u u

u u

u

cu cu

cu cu

cu

1

2

1 2

1 2

2

1 2

1 2

23 3

=

+−

=

+−

= T(cu)

por 1) y 2) T es una transformación lineal.

Probemos ahora las propiedades del teorema 7.1.

i) Sea 0 en R2, entonces 0 = 0

0

y T(0) = T

0

0

0 0

0 0

3 0

0

0

0

=

+−

=

( )

= 0 en R3

244

Unidad 7

ii) T(–u) = T−−

=

− + −− − −

−

=

− −−u

u

u u

u u

u

u u

u1

2

1 2

1 2

2

1 2

1

3

( )

( )

( )

++−

u

u

2

23

–T(u) = – Tu

u

u u

u u

u

u u

u u

u

1

2

1 2

1 2

2

1 2

1 2

23 3

= −

+−

=

− −− +−

de donde T(–u) = –T(u)

iii) T(u – v) = T[u + (–v)] = T(u) + T(–v) = T(u) + [–T(v)] = T(u) – T(v)

iv) Sea v = c1v

1 + c

2v

2 + ... + c

nv

n, una combinación lineal de vectores de

R2, entonces por ser T una transformación lineal tenemos que

T(v) = T(c1v

1 + c

2v

2 + ... + c

nv

n) = c

1 T(v

1) + c

2 T(v

2) + ... + c

n T(v

n)

Esta propiedad siempre se va a satisfacer por el simple hecho de ser una

transformación lineal si tomamos en cuenta la propiedad asociativa de los

reales.

La propiedad iv) es una propiedad muy importante ya que establece que

una transformación lineal T: V W está determinada por sus efectos sobre

los elementos de una base de V; ya que si {v1, v

2, ..., v

n} es una base de V de

modo que T(v1), T(v

2), ..., T(v

n) estén definidos, entonces T(v) está definida para

cualquier v en V.

Ejemplo 5

Sea B = {i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1)} la base canónica de R3 y sea

T: R3 R3 una transformación lineal tal que T(1, 0, 0) = (2, –1, 4) ; T(0, 1, 0)

= (1, 5, –2) y T(0, 0, 1) = (0, 3, 1)

Encontrar la imagen T(2, 3, –2).

Como (2, 3, –2) = 2(1, 0, 0) + 3(0, 1, 0) –2(0, 0, 1), entonces, por la

propiedad iv) del teorema 7.2 tenemos que

T(2, 3, –2) = 2 T(1, 0, 0) + 3 T(0, 1, 0) –2 T(0, 0, 1 )

= 2(2, –1, 4) + 3(1, 5, –2) –2(0, 3, 1) = (7, 7, 0)

Álgebralineal

245

Lo anterior nos lleva a preguntarnos: Si dos transformaciones lineales

mandan a los elementos de una base a imágenes iguales, ¿serán la misma

transformación?

El siguiente teorema nos da la respuesta.

Teorema 7.2. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita n, B = {v1, v

2,

..., vn} una base de V. Sean T

1: V W y T

2 : V W dos transformaciones

lineales tales que para i = 1, 2, ..., n se tiene que T1 (v

i ) = T

2 (v

i ), entonces

T1 = T

2.

Este teorema nos dice que si T: V W y V es de dimensión finita, entonces

sólo es necesario conocer el efecto de T sobre los vectores de la base de V para

determinar de manera única la imagen de cualquier vector de V.

Sin embargo, surge otra pregunta, si {w1, w

2, ..., w

n} son n vectores de W,

¿existirá alguna transformación lineal T de tal manera que T(vi) = w

i para i = 1,

2, ..., n ? La respuesta nos la muestra el siguiente teorema.

Teorema 7.3. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base

B ={v1, v

2, ..., v

n}. Sea W un espacio vectorial y {w

1, w

2, ..., w

n} un conjunto de

vectores en W.

Entonces existe una transformación lineal única T: V W tal que

T( vi ) = w

i para i = 1, 2, ..., n.

Ejemplo 6

Sea W =

x

y

x

− + =

tales que 2 3 0x y z un subespacio vectorial de R3.

Sean w1 = (1, 2, 0) y w

2 = (0, 3, 1) vectores de W.

Vamos a encontrar una transformación lineal T: R2 W de tal modo que

las imágenes de la base canónica de R2 sean específicamente w1 y w

2.

Definimos T(1, 0) = (1, 2, 0) y T(0, 1) = (0, 3, 1), entonces

246

Unidad 7

T(x, y) = x T(1, 0) + y T(0, 1) = x(1, 2, 0) + y(0, 3, 1) = (x, 2x, 0) + (0, 3y, y) =

(x, 2x + 3y, y) lo cual determina completamente a T.

Ejercicio 2

1. Determina si las siguientes transformaciones son transformaciones

lineales:

a) T: R2 R2 tal que T(x, y) = (x, 1)

b) T: R3 R3 tal que T(x, y, z) = (x + y, x – y, z)

c) T: M2×2

R tal que T(A) = det (A)

d) T: R2 R2 tal que T(x, y) = (0, 0)

e) T: R2 R2 tal que T(x, y) = (x, y)

2. Considera la transformación lineal T: R2 R2 tal que T(1, 1) = (1, 0) y

T(1, –1) = (0, 1):

Encuentra T(1, 0) y T(0, 2).

3. Sea T: R2 R2 una transformación lineal tal que T(1, 0) = (1, 0) y

T(0, 1) = (0, 0)

Determina T(x, y).

7.3. Definición de núcleo de una

transformación lineal. Determinación de núcleos

En esta sección nos ocuparemos de aquellos vectores cuya imagen bajo

una transformación lineal es el vector cero. Este conjunto llamado núcleo está

íntimamente relacionado con la nulidad de una matriz además de que posee,

junto con la imagen, propiedades muy importantes y útiles en el manejo de las

transformaciones lineales.

Definición 7.4. Sea T: V W una transformación lineal. El conjunto

de vectores de V cuya imagen es el vector cero de W se llama núcleo de la

transformación y se denota nu T, es decir,

nu T = {v en V tales que T(v) = 0}.

Álgebralineal

247

Al núcleo de una transformación también se le llama kernel.

Es importante mencionar que el núcleo de una transformación lineal nunca

es un conjunto vacío, ya que la propiedad i) del teorema 7.2 nos garantiza que

al menos contiene al cero del espacio vectorial que actúa como dominio.

Ejemplo 7

a) Consideremos la transformación lineal T: P2 R tal que T ax bx c c( )2 + + =

.

Vamos a encontrar su núcleo.

nu T = {p en P2 tales que T(p) = 0} esto implica que si p = ax bx c2 + + ,

entonces T(p) = T( )ax bx c c2 + + = = 0 lo que nos lleva a concluir que los

vectores de núcleo de T son aquellos polinomios de la forma p = ax bx2 + ; es

decir, nu T = {p en P2 tales que p = ax bx2 + }

b) Sea T: V V tal que T(v) = 0, entonces nu T = V.

A esta transformación lineal se le llama la transformación cero.

c) Sea T: R3 R2 tal que T(x, y, z) = (x, z); donde nu T = {x en R3 tales

que T(x, y, z) = 0}

En este caso T(x, y, z) = 0 implica que T(x, y, z) = (x, z) = (0, 0), entonces

x = z = 0 de donde nu T = {(0, y, 0) en R3}

d) Sea T: V V tal que T(v) = v. Esta transformación se llama

transformación identidad.

nu T = {v en V tal que T(v) = 0} esto nos lleva a que T(v) = v = 0, por tanto

nu T = {0}

El siguiente resultado nos será de gran utilidad cuando se manejen las

representaciones matriciales de una transformación lineal; nos proporcionará

una equivalencia entre el núcleo de una transformación lineal y los

correspondientes núcleo y nulidad de una matriz.

248

Unidad 7

Teorema 7.4. Sea T: V W una transformación lineal, entonces

i) nu T es un subespacio vectorial de V.

ii) Imagen T es un subespacio vectorial de W.

Utilizando las propiedades de las transformaciones lineales, probaremos

este teorema.

i) Sean u, v vectores del núcleo de T, queremos que u + v esté en el núcleo

de T.

Como u, v están en nu T, entonces T(u) = T(v) = 0

T(u + v) = T(u) + T(v) = 0 + 0 = 0, por lo que u + v está en nu T.

Sea c un escalar, veremos si cu está en el núcleo de T.

T(cu) = cT(u) = c(0) = 0, por tanto cu está en nu T

De ambos resultados obtenemos que nu T es un subespacio vectorial de V.

ii) Sean x y w vectores de la imagen de T, queremos que x + w esté en la

imagen de T.

Como x, w son vectores de la imagen, existen u, v vectores de V, tales que

T(u) = x y T(v) = w.

Como T es una transformación lineal, T(u + v) = T(u) + T(v) = x + w, entonces

x + w está en la imagen de T, pues existe u v+ ∈V con T(u + v) = x + w

Sea c un escalar, probaremos que cx está en la imagen de T.

Como T es transformación lineal, T(cu) = cT(u) = cx, de donde cx está en

la imagen de T, por los dos resultados imagen de T es un subespacio vectorial

de W.

Como el núcleo y la imagen son subespacios vectoriales, podemos

considerar su dimensión. Veamos la siguiente definición.

Definición 7.5. Sea T: V W una transformación lineal, entonces a la

dimensión del núcleo de T se le llama nulidad de T, y a la dimensión de la

imagen de T se le llama rango de T y se denotan por

Álgebralineal

249

ν(T) = dim nu T = nulidadρ(T) = dim imagen T = rango

Recordemos que para encontrar la dimensión de un espacio vectorial, basta

encontrar una base de ese espacio, y la dimensión del espacio es el número de

vectores de la base.

Vamos a encontrar el rango y la nulidad de algunas transformaciones

lineales conocidas.

Ejemplo 8

a) Sea T: R3 R3 tal que T(x, y, z) = (x, y, 0).

nu T = {(x, y, z) en R3 tal que T(x, y, z) = (x, y, 0) = (0, 0, 0)} = {(0, 0, z) en R3} el

vector (0, 0, 1) es una base para nu T, por lo tanto la nulidad de T = ν(T) =

1.

imagen T = {(x, y, 0) en R3} de donde {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} es una base para

la imagen T de donde el rango de T = ρ(T) = 2.

b) Sea T: R2 R2 tal que T(x,y) = (x + y, x – y)

nu T = {(x, y) tal que T(x, y) = (0, 0)} = {(x, y) tal que (x + y, x – y) = (0, 0)}

Al resolver el sistema de ecuaciones x y

x y

+ =− =

0

0 obtenemos que x = 0, y = 0,

por lo tanto nu T = {(0, 0)} de donde ν(T) = dim nu T = 0

En este caso obtener una base para la imagen de T no resulta tan fácil,

surge entonces la pregunta: ¿no habrá alguna otra manera de obtener el rango

de la transformación? El siguiente resultado nos brinda la respuesta.

Teorema 7.5. Sea T: V W una transformación lineal donde V es un

espacio vectorial de dimensión n. Entonces la suma de la nulidad y el rango es

igual a la dimensión del dominio.

nulidad + rango = ν(T) + ρ(T) = dim V = n

En el ejemplo anterior observamos que ν(T) = dim nu T = 0 y que la dimensión

de R2 es 2, por lo tanto usando este teorema tenemos que el rangoΤ=ρ(T) = 2.

250

Unidad 7

En cualquier caso, es más fácil encontrar la nulidad de una transformación

lineal y usar el teorema anterior para encontrar el rango de la misma. Veamos

algunos ejemplos.

Ejemplo 9

a) Sea T: R4 R2 tal que T

x

y

z

w

x y

z w

= +

+

una transformación lineal.

Vamos a encontrar su núcleo o kernel.

T

x

y

z

w

x y

z w

= +

+

=

0

0 eso implica que

x y

z w

+ =+ =

0

0 y

x y

z w

= −= −

, por lo tanto

nu T =

−−

=

−

+ −

y

y

w

w

y

y

w

w

0

0

0

0

=

−

+ −

y w

1

1

0

0

0

0

1

1

de donde{(–1, 1, 0, 0), (0, 0, –1, 1)} es una base para el núcleo,

por tanto ν(T) = dim nu T = 2.

Como dim R4 = 4 = νρ(T) + ρ(T) = 2 + ρ(T) entonces el rangoΤ=ρ(T) = 2.

b) Sea T: R2 R3 tal que Tx

y

x

x y

y

= +

una transformación lineal.

nu T = Tx

y

x

x y

y

= +

=

0

0

0

lo que implica que x = y = 0, por lo tanto

nu T = {(0, 0)}, entonces ν(T) = dim nu T = 0. Como dim R2 = 2 = ν(T)

+ ρ(T) = 0 + ρ(T) entonces rangoΤ=ρ(T) = 2.

Álgebralineal

251

Esto nos lleva a que Tx

y

x

x y

y

x

x y

y

x

= +

=

+

=0

0 1

1

0

+

y

0

1

1

de donde

{(1, 1, 0), (0, 1, 1)} es una base para la imagen de T.

Ejercicio 3

1. Encuentra el núcleo de las siguientes transformaciones lineales:

a) T: R R2 tal que T(x) = (x, 2x)

b) T: R2 R2 tal que Tx

y

x y

x y

=

−− +

2

c) T: R3 R2 tal que T

x

y

z

x

y

z

=

1 2 3

4 5 6

d) T: R P3 tal que T(a) = a + ax + ax2 + ax3

2. Encuentra el rango y la nulidad de las transformaciones del ejercicio

anterior.

3. Encuentra una base para la imagen de las transformaciones de los incisos

a), b) y c) del ejercicio 1.

7.4. Transformaciones lineales inyectivas,

suprayectivas y biyectivas. Isomorfismos

En esta sección se estudiarán transformaciones lineales especiales como son

las inyectivas, suprayectivas y biyectivas. Estos tipos de transformaciones

son importantes porque dan origen a los isomorfismos entre espacios

vectoriales, lo que nos permitirá definir clases de espacios vectoriales que

tienen la misma dimensión.

Definición 7.6. Sea T: V W una transformación lineal, se llama

transformación inyectiva si satisface que T(u) = T(v) implica que u = v.

252

Unidad 7

Esta definición nos dice que una transformación inyectiva es aquella donde

elementos del dominio distintos tienen imágenes distintas.

Ejemplo 10

a) T: R2 R2 tal que Tx

y

x y

x y

=

−+

2

; vamos a probar que es inyectiva.

Tx

yT

x

y

x y

x y

x y

x y

1

1

2

2

1 1

1 1

2 2

2 22 2

=

⇒

−+

=

−+

, de donde

x y x y

x y x y

1 1 2 2

1 1 2 22 2

− = −+ = +

al resolver el sistema de ecuaciones anterior obtenemos x x1 2= y y y1 2= por

lo tanto T es inyectiva.

b) T: R2 R2 tal que T(x, y) = (x2, y); vamos a probar que T no es inyectiva.

Para ello basta con exhibir dos elementos distintos que tengan la misma imagen.

Considera los vectores (1, 3) y (–1, 3). Estos son dos vectores diferentes, sin

embargo, sus imágenes T(1, 3) = (12, 3) = (1, 3) y T(–1, 3) = ((–1)2, 3) = (1, 3) son

iguales. Esto nos lleva a decir que T no es inyectiva.

Definición 7.7. Sea T: V W una transformación lineal, entonces T se

llama transformación suprayectiva si la imagen o rango de T es W, es decir,

que para toda w en W existe una v en V, tal que w = T(v).

Ejemplo 11

a) Sea T: R2 R2 tal que T(x, y) = x y

x y

−+

2

, vamos a probar que es

suprayectiva.

Sea (u, v) en R2, queremos encontrar un vector (x, y) en R2 de tal modo que

T(x, y) = (u, v);

T(x, y) = x y

x y

u

v

−+

=

2

de donde x y u

x y v

− =+ =

2 al resolver el sistema

tenemos que x = u v+

3, y =

− +2

3

u v, entonces T(x, y) =

x y

x y

−+

2

,

Álgebralineal

253

pero x – y = u v u v u v u v u

u+ − − + = + + − = =3

2

3

2

3

3

3 y

2x + y = 23

2

3

2 2 2

3

3

3

u v u v u v u v vv

+ + − + = + − + = =

donde T(x, y) = (u, v), por lo tanto, T es suprayectiva.

b) Sea T: R2 R2 tal que T(x, y) = x y

x y

−−

2 2

, probaremos que T no es

suprayectiva, para esto necesitamos encontrar un vector de R2 que no sea imagen

de ningún otro vector. Consideremos el vector (0, 1) y supongamos que existe

un vector (x, y) en R2 tal que T(x, y) = (0, 1) eso quiere decir que x – y = 0 y que

2x – 2y = 1 de donde x – y = 0 x – y = ½, lo cual no puede ser, por lo tanto, no

existen (x, y) tales que T(x, y) = (0, 1), de donde podemos asegurar que (0, 1) no

está en la imagen de T, por lo tanto, T no es suprayectiva.

De las dos definiciones anteriores se desprende el siguiente resultado que

nos habla de las dimensiones de los espacios vectoriales con respecto al tipo de

transformación que se puede definir entre ellos.

Teorema 7.6. Sea T: V W una transformación lineal, entonces

a) Si T es inyectiva dim V ≤ dim W

b) Si T es suprayectiva dim V ≥ dim W

Este resultado nos dice que dependiendo de la dimensión de los espacios

vectoriales, se pueden definir transformaciones inyectivas o suprayectivas.

Ejemplo 12

a) Considera la transformación T: R3 R2 tal que

T

x

y

z

x

y

z

=

1 2 3

4 5 6

Observemos que la dimensión de R3 es mayor que la dimensión de R2, por

lo cual T no puede ser inyectiva.

254

Unidad 7

En efecto, consideremos los vectores (–1, 2, 0) y (2, –4, 3) son elementos

distintos, sin embargo, sus imágenes son iguales:

T

−

=

−

=

1

2

0

1 2 3

4 5 6

1

2

0

3

6 y T

2

4

3

1 2 3

4 5 6

2

4

3

3

6−

=

−

=

y, por

lo tanto T no es inyectiva.

b) Tomemos la transformación T: R2 R3 tal que Tx

y

x

y

=

1 2

3 4

5 6

como la dimensión de R2 es menor que la dimensión de R3, T no puede ser

suprayectiva.

Consideremos el vector (0, 0, 1). Si existiera un vector (x, y) tal que

T(x, y) = (0, 0, 1) tendríamos que Tx

y

x

y

x y

x y

x y

=

=

+++

1 2

3 4

5 6

2

3 4

5 6 =

0

0

1

donde x = y = 0 y al mismo tiempo 5x + 6y = 1, lo que sería una contradicción,

por lo tanto, no existe el vector (x, y) y T no es suprayectiva.

c) Consideremos la transformación lineal T: R R2 definida como

T(x) = (x, x). Como la dimensión de R es menor que la dimensión de R2,

vamos a probar que T es inyectiva.

Sean u, v elementos de R, tales que T(u) = T(v), como T(u) = (u, u) y

T(v) = (v, v), entonces (u, u) = (v, v), por lo tanto u = v, de donde T es inyectiva.

d) Definamos T: R2 R tal que T(x, y) = x + y. Como la dimensión de

R2 es mayor que la de R. Probaremos que T es suprayectiva. Consideremos

un vector x de R, definimos en R2 el vector x = (x/2, x/2), entonces

T(x) = T (x/2, x/2) = x/2 + x/2 = x, por tanto, T es suprayectiva.

Retomando las definiciones de núcleo, rango y dimensión de una

transformación lineal, vamos a determinar cuándo una transformación lineal

es inyectiva o suprayectiva. Consideremos el siguiente resultado:

Álgebralineal

255

Teorema 7.7. Sea T: V W una transformación lineal, entonces

i) T es inyectiva, si y sólo si, nu T = {0}

ii) T es suprayectiva, si y sólo si, el rango de T = ρ(T) = dim W.

Al considerar las transformaciones lineales inyectivas y suprayectivas de

los ejemplos anteriores vamos a corroborar el resultado anterior.

Ejemplo 13

a) Demostraremos que la transformación lineal inyectiva T: R2 R2 tal que

Tx

y

x y

x y

=

−+

2

, tiene como núcleo al vector cero:

nu T = {(x, y) tal que Tx

y

x y

x y

=

−+

=

2

0

0}, entonces

x y

x y

− =+ =

0

2 0 de donde

x = y = 0, por tanto, nu T = {(0, 0)}

b) Consideremos ahora la transformación suprayectiva:

T: R3 R2 tal que T

x

y

z

x

y

z

=

1 2 3

4 5 6 ; probaremos que su rango es

la dimensión de R2.

Como sabemos que es suprayectiva, entonces imagen T = R2, por lo tanto,

su rango que es la dimensión de su imagen es 2 = dim R2.

Si tomamos en cuenta el resultado anterior podemos preguntarnos, ¿cómo

deberán ser los espacios vectoriales para que se pueda definir entre ellos una

transformación que sea al mismo tiempo inyectiva y suprayectiva?, ¿cuáles

serán sus propiedades?

Para responder a estas preguntas necesitamos la siguiente definición.

256

Unidad 7

Definición 7.8. Sea T: V W una transformación lineal, entonces

i) T se llama biyectiva si es inyectiva y suprayectiva.

ii) T se llama isomorfismo si es biyectiva; se dice que V y W son isomorfos

entre sí.

Esta definición describe una manera de concebir diferentes espacios

vectoriales como si fueran “esencialmente iguales”, por lo menos con respecto

a las operaciones de suma vectorial y multiplicación por un escalar.

Ejemplo 14

a) Sea P2 el espacio vectorial de todos los polinomios de grado menor o igual

a 2; definimos la transformación lineal T: R3 P2 tal que T

a

b

c

a bx cx

= + + 2

.

Vamos a probar que es un isomorfismo usando el teorema 7.4.

i) nu T = {(a, b, c) en R3 tales que T

a

b

c

a bx cx

= + + 2 = 0} eso implica que

a = b = c = 0, de donde nu T = {(0, 0, 0)}, por lo tanto, es inyectiva.

ii) Como 3 = dim R3 = ν(T) + ρ(T) = 0 + ρ(T) = ρ(T) y dim P2 = 3 = ρ(T),

entonces T es suprayectiva.

De acuerdo con la definición anterior y con i) y ii) podemos asegurar que

T es un isomorfismo.

Si recordamos el teorema 7.3, éste nos habla de las dimensiones de los

espacios vectoriales relacionados con el tipo de transformaciones que se

pueden definir entre ellos. ¿Qué pasará con los isomorfismos? Veamos el

siguiente resultado:

Álgebralineal

257

Teorema 7.8. Sea T: V W un isomorfismo, entonces dim V = dim W.

Ejemplo 15

En el ejemplo 14 se definió un isomorfismo entre los espacios vectoriales

R3 y el espacio de los polinomios de grado menor o igual a 2. Esto nos lleva,

según el teorema anterior, a que la dimensión de P2 es 3 ya que es la dimensión

del espacio vectorial R3.

a) Consideremos el espacio vectorial M2×2

. Como su dimensión es 4, por lo

tanto, es isomorfo al espacio vectorial R4.

Este resultado, junto con el siguiente teorema, nos indica la similitud entre

los espacios vectoriales isomorfos, hasta el grado de poderlos considerar como

si fueran el mismo, ya que se comportan de la misma forma como vectores,

aun cuando son entidades matemáticas distintas.

Teorema 7.9. Sea T: V W un isomorfismo, si {v1, v

2, ..., v

n} es una base de

V, entonces {T(v1), T(v

2), ..., T(v

n)} es una base de W.

Ejemplo 16

Consideremos el isomorfismo T: R2 R2 tal que Tx

y

x y

x y

=

−+

2

.

Sea {(1, 0), (0, 1)} una base para R2, vamos a obtener las imágenes de cada

uno de los vectores bajo T.

T1

0

1 0

2 1 0

1

2

=

−+

=

( )

T0

1

0 1

2 0 1

1

1

=

−+

=

−

( )

, entonces vamos a probar

que {(1, 2), (–1, 1)} es también una base para R2.

Tomemos una combinación lineal igual a cero, a(1, 2) + b(–1, 1) = (0, 0),

entonces

258

Unidad 7

a – b = 0 y 2a + b = 0 de donde a = b = 0, por lo tanto, {(1, 2), (–1, 1)} es

linealmente independiente.

Sea (x, y) un vector de R2, si definimos ax y

by x= + = −

3

2

3, , entonces

tenemos que

a bx y y x x y x y

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ,1 2 1 13

1 22

31 1

3

2 2

3 + − = + + − − = + +

+

−− + −

x y2 2

3+ − = + + − − = + +

+

−− + −

y x y x2

3

2

3, =(x, y)

por lo tanto, genera a R2 de donde {(1, 2), (–1, 1)} es base para R2.

Ejercicio 4

1. Di si se puede definir una transformación lineal inyectiva, suprayectiva

o isomorfismo entre cada una de las siguientes parejas de espacios vectoriales

y da la razón:

a) De R a R2

b) De R3 a R

c) De R a V = {3x | x ∈ R}

2. Di si las siguientes transformaciones son inyectivas, suprayectivas o

isomorfismos:

a) T: P2 R tal que T ax bx c c( )2 + + =

b) T: R R2 tal que T(x) = (x, 2x)

c) T: R2 R2 tal que Tx

y

x y

x y

=

−− +

2

3. Prueba que la transformación lineal T: R3 R3 definida por

T

x

y

z

x y z

z x

y z

=

+ +−−

2

2

es un isomorfismo y encuentra otra base para R3 aplicando

la transformación a la base canónica.

Álgebralineal

259

7.5. El espacio vectorial de las

transformaciones lineales. Composición de

transformaciones lineales. Transformación lineal

inversa

En esta sección nos dedicaremos al manejo de las transformaciones

lineales como elementos de un espacio vectorial y con ello construiremos las

transformaciones lineales inversas y veremos cuáles son los requisitos para que

una transformación lineal tenga inversa.

Primero probaremos que el conjunto de todas las transformaciones lineales

entre dos espacios vectoriales es, en sí mismo, un espacio vectorial.

a) Sean T1:V W y T

2:V W dos transformaciones lineales, definamos

la transformación [T1

+ T2 ] :V W tal que si v es un vector de V, entonces

[T1

+ T2 ](v) = T

1 (v)

+ T

2 (v); vamos a probar que [T

1 + T

2 ] :V W es una

transformación lineal.

i) Sean u, v vectores de V, usando la definición de T1 + T

2 tenemos que

[T1

+ T2 ] (u + v) = T

1 (u + v)

+ T

2 (u + v)

Como T1 y T

2 son transformaciones lineales:

T1 (u + v)

+ T

2 (u + v) = [T

1 (u)

+ T

1 (v)] + [T

2 (u)

+ T

2 (v)]

Por otro lado, tenemos que usando la definición de T1 + T

2 en los vectores u y v

[T1

+ T2 ](u) + [T

1 + T

2 ](v) = [T

1 (u)

+ T

2 (u)] + [T

1 (v)

+ T

2 (v)]

por lo tanto [T1

+ T2 ] (u + v) = [T

1 + T

2 ](u) + [T

1 + T

2 ](v)

ii) Sea c un escalar, por la definición de T1 + T

2 tenemos

[T1

+ T2 ](cv) = T

1 (cv)

+ T

2 (cv)

Como T1 y T

2 son transformaciones lineales

T1 (cv)

+ T

2 (cv) = cT

1 (v)

+ cT

2 (v)

260

Unidad 7

Por otro lado, al usar la definición de T1 + T

2 tenemos que

c[T1

+ T2 ](v) = c[T

1 (v)

+ T

2 (v)]

Usando la propiedad distributiva de W:

c[T1 (v)

+ T

2 (v)] = cT

1 (v)

+ cT

2 (v)

por lo tanto [T1

+ T2 ](cv) = c[T

1 + T

2 ](v)

de i) y ii) podemos decir que [T1

+ T2

] :V W es una transformación

lineal.

b) Sea c un escalar, definimos la transformación [cT]: V W tal que

[cT](u) = c[T(u)].

probaremos que [cT] es una transformación lineal.

i) Sean u, v vectores de V, usando la definición de cT tenemos que

[cT](u + v) = c[T(u + v)]

Como T es una transformación lineal:

c[T(u + v)] = c[T(u) + T(v)]

usando la propiedad distributiva en W:

c[T(u) + T(v)] = cT(u) + cT(v)

Por otro lado tenemos que:

[cT](u) + [cT](v) = c[T(u)] + c[T(v)], por la definición de cT,

de donde [cT](u + v) = [cT](u) + [cT](v)

ii) Sea a un escalar, por la definición de cT tenemos:

[cT](au) = c[T(au)]

Como T es una transformación lineal entonces:

c[T(au)] = c[aT(u)] = caT(u)

Álgebralineal

261

Usando la propiedad conmutativa de R:

caT(u) = (ac)T(u) = a[cT](u)

de i) y ii) concluimos que [cT]:V W es una transformación lineal.

De a) y b) podemos concluir que el conjunto de las transformaciones lineales

de V en W es un espacio vectorial.

Ahora definiremos una nueva operación entre transformaciones lineales que

se llama composición de transformaciones que es también una transformación

lineal.

Definición 7.9. Sean T: V W y S: W U dos transformaciones

lineales, definimos la composición de T y S como S T : V U donde

S T (v) = S[T(v)]

Probaremos que S T es una transformación lineal.

Sean u, v vectores de V, como T y S son transformaciones lineales, entonces

i) S T (u + v) = S[T(u + v)] = S[T(u) + T(v)] = S[T(u)] + S[T(v)] =

S T (u) + S T (v).

ii) S T (cv) = S[T(cv)] = S[cT(v)] = cS[T(v)] = c S T (v)

de i) y ii) podemos asegurar que S T es una transformación lineal.

Ejemplo 17

Sean T: R4 R3 y S: R3 R2 dos transformaciones lineales definidas por:

T

x

y

z

w

x y

x z

w z

=

+−+

2

2

y S

x

y

z

x y

y z

=

++

2

3 4, encontrar la transformación lineal

S T .

S T : R4 R2 es tal que

262

Unidad 7

S T S T S

x

y

z

w

x

y

z

w

=

=

xx y

x z

w z

x y x z

x z w z

+−+

=

+ + −− + +

=

2

2

2 2

3 4 2

3( ) ( )

( ) ( )

xx y z

x z w

+ −+ +

4

3 5 4

Vamos ahora a dar una definición que nos permita encontrar transformaciones

lineales cuya composición sea la transformación lineal identidad.

Definición 7.10. Sea T: V V una transformación lineal, entonces T se

llama operador lineal.

Ejemplo 18

a) La transformación lineal T: R2 R2 tal que T(x, y) = (x + y, x – y) es un

operador lineal.

b) La transformación lineal I: V V tal que I(v) = v se llama operador

lineal identidad.

Consideremos ahora los siguientes operadores lineales especiales.

Definición 7.11. Sea T: V V un operador lineal, entonces T se llama

invertible o no singular si existe otro operador lineal S: V V tal que S T

sea el operador lineal identidad I, es decir, S T = T S = I. Al operador lineal

S se le llama inversa de T y se le denota T–1.

Ejemplo 19

Sea T: R3 R3 un operador lineal definido por T

x

y

z

x

x y

x z

= +

+

2

2

3

y sea

Álgebralineal

263

S: R3 R3 otro operador lineal definido por S

x

y

z

x

x y

x z

= − +

− +

1 2

1 4 1 2

1 6 1 3

/ ( )

/ ( ) / ( )

/ ( ) / ( ) ,

entonces

S T Sx

y

z

x

x y

x z

x

x

= +

+

= − +

2

2

3

1 2 2

1 4 2 1 2

/ ( )

/ ( ) / (( )

/ ( ) / ( )

x y

x x z

x

y

z

x

y

zR

+− + +

=

=

2

1 6 2 1 3 3

3I

T S Tx

y

z

x

x y

x z

= − +

− +

1 2

1 4 1 2

1 6 1 3

/ ( )

/ ( ) / ( )

/ ( ) / ( ) = + − +

+ − +

2 1 2

1 2 2 1 4 1 2

1 2 3 1 6 1 3

( / )

/ ( / / )

/ ( / / )

x

x x y

x x z =

=

x

y

z

x

y

zR

I 3

Por lo que T es invertible y S = T–1.

Surgen las preguntas: ¿cualquier operador será invertible?; si no, ¿qué

condiciones tiene que cumplir una transformación lineal para ser invertible?

Consideremos el siguiente teorema.

Teorema 7.10. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita n. Sea

T: V V un operador lineal, entonces T es invertible, si y sólo si, T es un

isomorfismo.

Ejemplo 20

Sea T: R3 R3 un operador lineal definido por T

x

y

z

x y

x y

x y z

=

++

+ +

2 2

vamos

a probar que no es un isomorfismo. Consideremos los siguientes vectores de R3

u = (1, 0, 0) y v = (0, 1, 0)

T

1

0

0

2

1

1

=

y T

0

1

0

2

1

1

=

esto indica que T no es inyectiva, por lo tanto,

no es un isomorfismo, lo que implica que no es invertible.

264

Unidad 7

En la siguiente unidad encontraremos un método para encontrar la inversa

de una transformación lineal a través de su matriz asociada.

Ejercicio 5

1. Di si T: R3 R3 definido por T

x

y

z

x y

x z

x y

=

+++

2

3

es un isomorfismo.

2. Encuentra S o T si sabemos que T: R2 R2 y S: R2 R2 son dos

transformaciones lineales definidas por Tx

y

x y

x y

=

−+

2

2 3 y S

x

y

x

x y

= −

2

3. Determina si T: R2 R2 definida por Tx

y

x y

x y

=

−+

2

2 3 es invertible.

Ejercicios resueltos

1. Encuentra la imagen de la transformación T: R2 R3 tal que T(x, y) =

(x, 0, y)

La imagen de T, T(R2) = {(a, b, c) en R3 tales que existe (x, y) en R2 de modo

que T(x, y) = (a, b, c)} eso quiere decir que T(x, y) = (x, 0, y) = (a, b, c) donde

x = a, b = 0, c = y;

por lo tanto, T(R2) = {(a, 0, c) en R3}

2. Considera T: P2 P

2 una transformación lineal. Si sabemos que

T(1) = x; T(x) = 1 + x;

T(x2) = 1 + x + x2, encuentra T(2 – 6x + x2).

Como {1, x, x2} forman una base para P2, entonces 2 – 6x + x2 la podemos

escribir como 2 – 6x + x2 = 1(x2) –6(x) + 2(1), por lo tanto, la imagen se obtiene

usando las imágenes de los elementos de la base con respecto a T.

T(2 – 6x + x2) = 1T(x2) –6T(x) + 2T(1) = 1(1 + x + x2) – 6(1 + x) + 2 (x)

= x2 – 3x – 5.

Álgebralineal

265

3. Sea T: R2 R2 una transformación lineal. Si sabemos que T(1, 0) = (2, 4)

y T(0, 1) = (1, 0), encuentra una expresión para T(x, y).

Como (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1), entonces

T(x, y) = xT(1, 0) + yT(0, 1) = x(2, 4) + y(1, 0) = (2x + y, 4x)

4. Encuentra el núcleo de la transformación T: R2 R tal que T(x, y) = x+y.

nu T = {(x, y) en R2 tal que T(x, y) = 0} = {(x, y) tal que T(x, y) = x + y = 0},

esto implica que x = –y, por lo tanto, nu T = {(–y, y) en R2}

5. Encuentra la nulidad y el rango de la siguiente transformación lineal, así

como una base para el núcleo y para la imagen. T: R2 R3, Tx

y

x

x y

y

= +

2 3 .

nu T = {(x, y) en R2 tal que Tx

y

x

x y

y

= +

=

2 3

0

0

0

, entonces x = 0 = y

de donde

nu T = {(0, 0, 0)}, esto nos lleva a que ν(T) = 0.

Como dim R2 = 2 = ν(Τ) + ρ(Τ) = 0 + ρ(Τ) =ρ(Τ), entonces ρ(T) = 2.

Como el rango de T es 2 vamos a buscar una base para su imagen.

Tx

y

x

x y

y

x

x y

y

= +

=

+

=2 3 2

0

0

3 xx y

1

2

0

0

3

1

+

de donde {(1, 2, 0), (0, 3, 1)}

es una base para la imagen de T.

6. Prueba que la transformación T: R2 R2 tal que T(x, y) = (–x, –y) es un

isomorfismo.

Vamos a probar que es inyectiva. Sean (x, y) y (a, b) en R2 tales que T(x, y)

= T(a, b), entonces (–x, –y) = (–a, –b) de donde x = a, y = b, por lo tanto,

T es inyectiva.

Para ver que es suprayectiva tomemos (x, y) en R2, queremos encontrar (a,

b) en R2 de tal modo que (x, y) = T(a, b).

266

Unidad 7

Definimos a = –x, b = –y, entonces T(a, b) = T(–x, –y) = (–(–x), –(–y))=

(x, y), por lo tanto, T es suprayectiva y un isomorfismo.

7. Sean T: R2 R3 y S: R3 R2 dos transformaciones lineales definidas

por T(x, y) = (x, y, y) y S(x, y, z) = (y, z). Encuentra las transformaciones

lineales S o T y T o S.

[S o T](x, y) = S[T(x, y)] = S(x, y, y) = (y, y)

[T o S](x, y, z) = T[S(x, y, z)] = T(y, z) = (y, z, z)

8. Considera la transformación lineal definida por T(x, y) = (2x, 0). ¿Es

invertible?

nu T = {(x, y) tal que T(x, y) = (2x, 0) = (0, 0)}, entonces x = 0 de donde

nu T = {(0, y)}, por lo tanto, ν(T) = 1 y T no es inyectiva.

Eso nos dice que T no es invertible pues no es un isomorfismo.

Ejercicios propuestos

1. Encuentra el dominio y la imagen de la siguiente transformación:

T: R3 R2 tal que T(x, y, z) = (x, –x)

2. Di si la transformación T: R2 R tal que T(x, y) = x + y es una

transformación lineal.

3. Considera la transformación lineal T: R3 R2 y las imágenes de la base

canónica bajo T:

T(1, 0, 0) = (1, 0); T(0, 1, 0) = (0, 1); T(0, 0, 1) = (1, 0).

Encuentra una expresión para T(x, y, z).

4. Prueba que T: R2 R tal que T(x, y) = x + y es suprayectiva.

5. Prueba que T: R3 R3 tal que T(x, y, z) = (x + y, x – y, 2x) es un

isomorfismo.

Álgebralineal

267

6. Encuentra el núcleo de la transformación

T: P3 P

2 tal que T(a + bx + cx2 + dx3) = a + bx + cx2

7. Encuentra el rango y la nulidad de la transformación lineal T: R4 R3

definida por T

x

y

z

w

x y

z w

x z

=

+++

8. Considera las siguientes transformaciones lineales:

T: R3 R3 tal que T(x, y, z) = (x, y, z)

S: R3 R3 tal que S(x, y, z) = (0, x, 0)

Encuentra S o T y T o S.

268

Unidad 7

Autoevaluación

1. Si T: V W es una tranformación lineal, la imagen de T es un subconjunto de:

a) Vb) Wc) Rd) T(V)

2. Es una transformación inyectiva:

a) T: R {0} tal que T(x) = 0b) T: P

3 R tal que T(a + bx + cx2 + dx3) = a

c) T: R R2 tal que T(x) = (x, 3x)d) T: R2 R tal que T(x, y) = 2x – y

3. Di si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:

a) Una transformación lineal T: R2 R no puede ser un isomorfismo.

b) Si T: V W es inyectiva, dim V > dim W.c) Si T: V W es un isomorfismo, dim V = dim W.

4. Un isomorfismo es una transformación lineal:

a) Inyectiva.b) Suprayectiva.c) Lineal.d) Inyectiva y suprayectiva.

5. Una transformación lineal T: V W es inyectiva si:

a) nu T = {0}b) nu T = dim Vc) Imagen T = Wd) dim V = 0

6. El núcleo de una transformación T: V W se define como:

a) nu T = {v en V tales T(v) = 1}

b) nu T = {v en V tales T(v) = 0}

c) nu T = {v en W tales T(v) = 0}

d) nu T = {v en V tales T(v) = v}

Álgebralineal

269

7. Si T: V W es una transformación lineal, entonces:

a) dim V = dim W

b) dim V = ν(Τ)+ρ(Τ)c) dim V = ν(Τ)−ρ(Τ)d) dim V =ρ(Τ)8.La composición de transformaciones lineales S T (u) está definida por:

a) S(u) + T(u)

b) S(u)T(u)

c) S[T(u)]

d) T[S(u)]

9. Que una transformación lineal sea invertible significa que:

a) Tiene inversa.

b) Es inyectiva.

c) Es un operador lineal.

d) Es suprayectiva.

10. Ser invertible es equivalente a ser:

a) Inyectiva.

b) Suprayectiva.

c) Transformación lineal.

d) Isomorfismo.

Álgebralineal

271

Respuestas a los ejercicios

Ejercicio 1

1.

a) No, porque {1, 2, 3} no es un espacio vectorial (No tiene el cero).

b) Sí es, porque es función entre espacios vectoriales.

2.

a) Dominio = R2, Imagen T = R2

b) Dominio = R3, Imagen T = {2x tal que x esté en R}

c) Dominio = Mm×n

, Imagen T = Mn×m

3.

a) (–2, 3, –1)

b) (3, 0, –3)

c) (–6, –2, 8)

d) (2, –6, 4)

Ejercicio 2

1.

a) No es.

b) Sí es.

c) No es.

d) Sí es.

e) Sí es.

2. T(1, 0) = (1/2 , 1/2); T(0, 2) = (1, –1)

3. T(x, y) = (x, 0)

Ejercicio 3

1.

a) nu T = {0}

b) nu T = {(0, 0)}

c) nu T = {(x, –2x, x) | x ∈R}

d) nu T = {0}

272

Unidad 7

2.

a) nulidad = 0; rango = 1

b) nulidad = 0; rango = 2

c) nulidad = 1; rango = 2

d) nulidad = 0; rango = 1

3.

a) {(1, 2)} es base para la imagen

b) {(1, –1), (–2, 1)}

c) {(1, 0), (0, 1)}

Ejercicio 4

1.

a) Inyectiva ya que dim R < dim R2

b) Suprayectiva ya que dim R3 > dim R

c) Isomorfismo ya que dim R = dim {3x}

2.

a) Suprayectiva.

b) Inyectiva.

c) Isomorfismo.

3.

nu T = {(0, 0, 0)}, por lo tanto, T es un isomorfismo.

{(1, –1, 0), (1, 0, 2), (1, 2, –1)} es una base para R3.

Ejercicio 5

1.

nu T = {(0, 0, 0)}, por lo tanto, es inyectiva.

dim R3 = 3 = ν(Τ)+ρ(Τ)=0+ρ(Τ),por lo tanto, es suprayectiva, donde T

es un isomorfismo.

2. S Tx

y

x y

x y

=

−− −

2 4

5

3. nu T = {(0, 0)}, por lo tanto, es inyectiva e isomorfismo, donde T es

invertible.

Álgebralineal

273

Respuestas a los ejercicios propuestos

1. Dominio = R2, Imagen = {(x, –x)}

2. Sí es lineal.

3. T(x, y, z) = (x + z, y)

4. Sea a en R, entonces (a, 0) está en R2 y además T(a, 0) = a+ 0 = a, por lotanto T es suprayectiva.

5.

Inyectiva: T(a, b, c) = T(x, y, z), entonces (a + b, a – b, 2c) = (x + y, x – y, 2z)

de donde a = x, b = y, c = z, por lo tanto, T es inyectiva.

Suprayectiva: Sea (a, b, c) en R3, definimos xa b

ya b

zc= + = − =

2 2 2; ; ,

entonces T(x, y, z) = (a, b, c), por lo tanto, es suprayectiva y un isomorfismo

6. nu T = {dx3}

7. rango = 3, nulidad = 1

8. S T Sx

y

z

x

y

z

x

=

=

0

0

; T S Tx

y

z

x x

=

=

0

0

0

0

Respuestas a la autoevaluación

1. b)

2. c)

3.

a) V

b) F

c) V

4. d)

5. a)

6. b)

7. b)

8. c)

9. a)

10. d)