Prác%ca3

Sesión4

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Obje%vo

Resolver sistemas de ecuaciones linealesmedianteladescomposiciónLU(vermemoria).Estudio del problema y de una implementaciónparalelabasada enel repartoporbloquesdefilas(sistbf.c).Transformación a una implementación paralelabasadaenelrepartocíclicodefilas(sistcf.c).

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Descripcióndelproblema•  ResolversistemasdeecuacioneslinealesAx=b,dondemedianteladescompo-siciónLU:

§ ObtenerladescomposiciónA=LU(E.Gaussiana)

§ ResolverelsistematriangularinferiorunidadLy=b(elementosdiagonalesdeLigualesa1)

§ ResolverelsistematriangularsuperiorUx=y

3

∈

A∈!nxn,b∈!nx1

ProgramaparaleloproporcionadoElprograma(sistbf.c)generaunsistemalinealAx=byloresuelverealizandounaseriedepasosmarcadosconstep(paso)x:1.   Generarlosdatos.Elproceso0generalamatriz(A),yelvector(b)completos.

Todoslosprocesos(incluidoel0),reservanmemoriaparasumatrizlocal(Aloc).

2.   Distribuir losdatos.Lamatriz sedistribuyeentre losprocesosporbloquesdembfilasconsecu%vas.Elvectorbsereplicaentodoslosprocesos.

3.   DescomposiciónLU.EnestafaselamatrizAsesobreescribeporLyporU.LoselementosdeLquedanenlaparteinferiordeAylosdeUenlasuperior.

4.   Resolver el sistema triangular inferior Ly=b. El vector y se almacena sobre bsobreescribiéndolo.

5.   Resolver el sistema triangular superior Ux=y. El vector y se encuentraalmacenadoenlavariableb,yenestafasesesobreescribeconelvectorx.

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Programaparaleloproporcionado(II)Ejercicio1:Compilayejecutaelprograma.Veamosunapruebacortaenelfrontend.Para5ecuacionesusandotresprocesos:$ mpiexec –n 3 sistbf 5Alejecutarelprograma,apareceránelcontenidodelamatrizAyelvectorb,endis%ntospuntosdelprograma:

5

25 4 3 2 14 25 4 3 23 4 25 5 32 3 4 25 41 2 3 4 25

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

x0x1x2x3x4

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

=

3538393835

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

Programaparaleloproporcionado(III)Trasrealizarelrepartoinicial:Matrix A:---- proc. 0 ----25.000 4.000 3.000 2.000 1.000 4.000 25.000 4.000 3.000 2.000 ---- proc. 1 ----3.000 4.000 25.000 4.000 3.000 2.000 3.000 4.000 25.000 4.000 ---- proc. 2 ----1.000 2.000 3.000 4.000 25.000

Vector b:---- proc. 0 ----35.000 38.000 39.000 38.000 35.000 ---- proc. 1 ----35.000 38.000 39.000 38.000 35.000 ---- proc. 2 ----35.000 38.000 39.000 38.000 35.000

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Fasededistribuciondedatos(I).

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•  Hayquecambiarel%podedistribuciondedatosEjercicio2:1-BloquesdefilasconsecuHvas 2-CíclicaporfilasVariablesA(Matrizglobal),yAloc(Matrizlocal)1-SepuedeefectuarmedianteunMPI_Scatter/* STEP 2: Distribute data (A, b) */

MPI_Bcast(b, n, MPI_DOUBLE, 0, MPI_COMM_WORLD);

MPI_Scatter(A[0], mb * n, MPI_DOUBLE, Aloc[0], mb * n, MPI_DOUBLE, 0, MPI_COMM_WORLD);

Fasededistribuciondedatos(I).

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2-SepuedeefectuarmediantevariosMPI_Scatter:ParaladistribucióncíclicadelamatrizAenpprocesos:•  Lasprimeraspfilasdelamatrizvancadaunaaunproceso.Estoseríauna

operaciónsca;er.•  Lomismoocurreconlassiguientespfilas.Yasísucesivamente.Sepuede

hacermedianteunbucleenelqueencadaiteracióncorrespondeaunaoperaciónsca[er.Hayqueprestaratencióna:

–  Laposición(sobrelamatrizglobalA)dondeempiezanlosdatosaenviarseencadasca;er.–  Laposición(sobrelamatrizlocalAloc)dondedebenrecibirselosdatosencadasca[er

Fasededistribucióndedatos(II)mpiexec –n 3 sistcf 5

Matriz A:---- proc. 0 ---- 25.000 4.000 3.000 2.000 1.000 2.000 3.000 4.000 25.000 4.000 ---- proc. 1 ---- 4.000 25.000 4.000 3.000 2.000 1.000 2.000 3.000 4.000 25.000 ---- proc. 2 ---- 3.000 4.000 25.000 4.000 3.000

Vector b:---- proc. 0 ---- 35.000 38.000 39.000 38.000 35.000 ---- proc. 1 ---- 35.000 38.000 39.000 38.000 35.000 ---- proc. 2 ---- 35.000 38.000 39.000 38.000 35.000

ElrestodedatossonincorrectosyaqueaúnnohemosmodificadolosalgoritmosdeladescomposiciónLU,yderesolucióndesistemastriangulares.

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ImplementaciónparaleladescomposiciónLU

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•  Comolasactualizacionesdefilas(buclei)sonindependientes,repar%remosAporfilas.•  Antesdecadaactualización,lafilapivoteencadaiteración(filak)deberáserenviadaatodoslosprocesosinvolucrados.

•  Hay(n-1)etapas(buclek)

•  Cadaetapamodificaelbloquei=k+1…n-1(filas)yj=k+1…n-1(columnas).

Implementaciónparalela(III)•  Paralelizarelbucleidelalgoritmosecuencial.–  Cadaiteraciónactualizaunafila(lafilai).–  Laactualizacióndecadafilaesindependiente.

•  Cadaprocesoactualizalasfilasentrek-1,yn-1.•  Esnecesariou%lizarlafilapivote.Portantodebedeserenviadaatodoslosprocesos(difusión),antesdeempezarlaactualizacióndelasfilas.

•  Necesitamosusardosfuncionesextra:–  propietario(i):procesopropietariodelafilai.–  iloc(i):indicelocalenAlocdelafilaideA.

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ImplementaciónparaleladescomposiciónLU(II)

•  Necesitamosusardosfuncionesextra:–  propietario(i):procesopropietariodelafilai.–  iloc(i):indicelocalenAlocdelafilaideA.

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Implementaciónparaleladelossistemastriangulares(I)

Traslafactorizaciónhayqueresolverdossistemastriangulares:

§  ResolverelsistematriangularinferiorunidadLy=b(elementosdiagonalesdeLigualesa1)

§  ResolverelsistematriangularsuperiorUx=y.§  Enamboscasoselvectorbsesobreescribeconlasolucióndelsistema.

§  Ambosalgoritmossonmuysimilares.

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Implementaciónparaleladelossistemastriangulares(II)

•  Encadaiteracióndelbucleiseactualizanmedianteelbuclejlos

elementosdelvectorbquehaypordebajodelelementoi(s.triangularinferior)oporencima(s.triangularsuperior).

•  Estaactualizaciónrequiereusarelelementodeb(i).

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i

Implementaciónparaleladelossistemastriangulares(III)

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Laparalelizaciónsebasaen:•  Paralelizarelbuclej,deformaquecadaprocesoactualiceloselementosdelas

filasqueposee.•  Paraelloelvalordeb(i)deberáserpropagadopreviamenteatodoslosprocesos.•  Alfinal,todoslosprocesosacabanconunacopiadelvectordeincógnitas

completo.

Modificacionesarealizar(I)

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Losalgoritmosparalelosdescritossonválidosparacualquieradelasdosformasdedistribuciónestudiadas(usandolasfuncionespropietarioeiloc):

Ejercicio3:Modificarpropietarioeiloc (ownerylocalIndex enelcódigo)paratrabajarconunadistribucióncíclicaforfilas.Elcomportamientodeestasfuncionesdebeser:•  DadouníndicedefilaidelamatrizglobalA,lafunciónownerdebedevolverelíndice

delprocesoque%eneesafilaensumatrizlocalAloc.

•  DadouníndicedefilaidelamatrizglobalA,lafunciónlocalIndexdebedevolverelíndicededichafilaenlamatrizlocalAlocdelprocesopropietariodelafila.

•  TambiénesnecesariomodificarlafunciónnumLocalRows,quedevuelveelnúmero

defilaslocalesdelamatrizenunproceso(eseunnúmeropuedeserdis%ntodemb,puestoqueelunnúmerodefilaspuedenoserdivisibleentreelunnúmerodeprocesos).

Enestecasosefacilitaelcambioarealizar,demaneraquesolohayquedescomentarlapartedecódigoquecorrespondealadistribucióncíclica,ycomentaroeliminarlaotraparte.

Modificacionesarealizar(II)

Matrix LU:---- proc. 0 ---- 25.000 4.000 3.000 2.000 1.000 0.080 0.110 0.140 24.074 3.352---- proc. 1 ----0.160 24.360 3.520 2.680 1.8400.040 0.076 0.108 0.139 24.071---- proc. 2 ---- 0.120 0.144 24.131 3.373 2.614

Vector b after triInf:---- proc. 0 ---- 35.000 32.400 30.118 27.426 24.071---- proc. 1 ---- 35.000 32.400 30.118 27.426 24.071 ---- proc. 2 ---- 35.000 32.400 30.118 27.426 24.071

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Vector b after triSup (system solution): ---- proc. 0 ---- 1.000 1.000 1.000 1.000---- proc. 1 ---- 1.000 1.000 1.000 1.000---- proc. 2 ---- 1.000 1.000 1.000 1.000

Total accumulated error: 0.000000

Unavezhechosloscambios,hayquecomprobarquetodofuncionacorrectamente:

Pruebasgrandimensión•  Efectuarpruebasconuntamañosuficiéntementegrande(entre1000y2000).

•  Comentarlalinea: #define verboseEvitalaimpresióndedatosintermedios.

•  Analizarcualdelasdosversionesesmaseficienteyrazonaraquepuededeberse.

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