Pauta Guía UST

8/16/2019 Pauta Guía UST

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Pauta

1) Cuatro libros de matemáticas, seis de física y dos de química han de sercolocados en una estantería ¿Cuantas colocaciones distintas admiten si los librosde cada materia han de estar juntos?

Consideramos cada conjunto de libros de una misma materia como una unidad.Entonces, hay 3! = 6 ordenaciones posibles de las materias. Además hay queconsiderar también las 4! = 24 permutaciones de los libros de matemáticas, asícomo las 6! =720 y las 2! = 2 de los de física y química, respectivamente. Seconcluye así que hay 3!*4!*6!*2! = 207360 colocaciones distintas.

2) ¿De cuántas maneras pueden sentarse 10 personas en un banco si hay 4 sitios

disponibles?

SoluciónNótese que importa el orden en que se sienten las personas, ya que los cuatrositios son diferentes, y que una persona no puede ocupar más de un sitio a la vez.Por lo tanto, hay P10;4 = 10!=6! = 10 * 9 *8 *7 = 5040 maneras.

3) En una clase de 10 alumnos van a distribuirse 3 premios. Averiguar de cuántosmodos puede hacerse si (Bajo el supuesto de que no pueda recibir más de unpremio)

a) los premios son diferentes

b) los premios son iguales.

Solución:

Hay dos supuestos posibles:

si una misma persona no puede recibir más de un premio

a) hay P10;3 = 10* 9* 8 = 720 maneras de distribuir los premios si estos son

diferentes

a) En el caso de que los premios sean iguales, pueden distribuirse de C10;3 =10*9* 8=6=120 maneras.

si una misma persona puede recibir más de un premio:


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a) Se pueden distribuir los premios, si estos son diferentes, de V R10;3=10+10*10 = 1000 maneras.

b) hay CR10;3 = 220 maneras de distribuir los premios si estos son iguales.

4) Hay que colocar a 5 hombres y 4 mujeres en una fila de modo que las mujeresocupen los lugares pares. ¿De cuántas maneras puede hacerse?

Solución:Ya que la fila es de 9 individuos en total, hay 4 posiciones pares (que deben serocupadas por las 4 mujeres) y 5 posiciones impares (para los 5 hombres). Por lotanto, pueden colocarse de P4* P5 = 4!* 5! = 2880

5) ¿Cuántos números de 4 dígitos se pueden formar con las cifras 0,1,. . . ,9

a) permitiendo repeticionesb) sin repeticiones;c) si el último digito tiene que ser 0 y no se permiten repeticiones

Solución Asumamos que para que un número sea de 4 dígitos su primer dígito debe serdistinto de cero.

a) Puesto que debe formarse un número de 4 dígitos, el primero de estos no puede ser cero. Por lo tanto, hay nueve posibilidades para el primer dígito y

diez para cada uno de los tres dígitos restantes, obteniéndose un total de 9*10*10*10 = 9000 números posibles.

b) Al igual que en el apartado anterior, el primer dígito no puede ser cero.Como además no se permiten repeticiones, hay nueve posibilidades para elsegundo dígito: el cero y las ocho no escogidas para el primer dígito. Portanto, se pueden formar 9*9 * 8 * 7 = 4536 números

c) Fijamos el último dígito y, como no puede haber repeticiones, se obtiene untotal de 9¨*8* 7* 1 = 504 números.

6) Un alumno tiene que elegir 7 de las 10 preguntas de un examen. ¿De cuantasmaneras puede elegirlas? ¿Y si las 4 primeras son obligatorias?


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Solución

El orden en que elija las preguntas, que además no podrán repetirse, esirrelevante. Así, puede elegir las preguntas de C10;7 = 10*9*8= (3* 2) = 120maneras.

Por otra parte, si las 4 primeras son obligatorias, debe escoger 3 preguntas entrelas 6 restantes para completar las 7 necesarias, resultando un total de C6;3 = 6* 5*4= (3 * 2) = 20 maneras.

7) ¿De cuántas formas se pueden sentar siete personas en torno a una mesaredonda?

Solución: (7-1)!= 6!

9) Con 7 consonantes y 5 vocales ¿cuántas palabras se pueden formar quetengan 4 consonantes distintas y 3 vocales distintas?

Solución

Podemos formar un total de C7;4 = 35 grupos de 4 consonantes distintas y C5;3 =10 grupos de 3 vocales distintas. Por otra parte, para cada una de las 35 * 10 =350 maneras de escoger 7 letras verificando las condiciones impuestas, hay P7 =7! = 5040 ordenaciones posibles de estas. Se concluye así que el total de palabrasque pueden formarse es 35 *10 * 7! = 350 * 5040 = 1764000

10) En mi closet tengo 3 ternos, uno de color negro, otro blanco y otro azul.

También poseo 5 camisas, las cuales son de color blanco, negro, rojo, verde, azul.

¿De cuantas maneras los puedo combinar?

Solución: 3x5=15 15 maneras

11) En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres

alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?

No importa el orden de los alumnos, por lo tanto el comité sería una combinación

de 35C3=6545.

12) Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de 3

hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede formarse, si:


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a) Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.

b) Una mujer determinada debe pertenecer al comité.

a) 5C3 * 7C3=350

b) 5C2 * 6C2= 150

Probabilidades

1.- En una asignatura de primer curso de una titulación universitaria, asisten aclase regularmente 210 alumnos de los 300 que hay matriculados. Además se

sabe que aprueban el 80 % de los alumnos que asisten a clase y el 15 % de los

que no asisten. Calcular la probabilidad de que si se elige al azar un alumno

matriculado y resulta que:

a) ha asistido a clase.

b) no ha asistido a clase y ha aprobado

c) ha aprobado

Con esto:

a) a) P (ha asistido a clase) = 21/100

b) P (no ha asistido a clase y ha aprobado) =P(no ha asistido a clase) · P(ha aprobado si no ha asistido a clase) =

90/300 * 15/100= 9/200


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c) P(Aprobado) = P(Asiste) · P(Aprueba/asiste) + P(No asiste) · P( Aprueba/noasiste)

210/300 * 80/100 + 90/300*15/100

2.-En un colectivo de inversores bursátiles, el 20 % realiza operaciones víaInternet. De los inversores que realizan operaciones vía Internet, un 80 % consulta

InfoBolsaWeb. De los inversores bursátiles que no realizan operaciones vía

Internet sólo un 20 % consulta InfoBolsaWeb. Se pide:

a) Obtener la probabilidad de que un inversor bursátil elegido al azar en ese

colectivo consulto InfoBolsaWeb.

b) Si se elige al azar un inversor bursátil de este colectivo y resulta que

consulta InfoBolsaWeb, ¿cuál es la probabilidad de que realice operaciones

por Internet?

Tenemos que:

a) P(inversor consulte InfoBolsa) =

= P(Internet) · P(InfoBolsa/Internet) +

+ P(no Internet) · P(InfoBolsa/No Internet) =

0,20 · 0,80 + 0,80 · 0,20 = 0,32

b) P= 0,20*0,80,20*0,8+0,8*0,2

3.- Un estudiante cuenta, para un examen de estadísticas con la ayuda de undespertador, el cual consigue despertarlo en un 80% de los casos. Si oye eldespertador, la probabilidad de que realiza el examen es 0.9 y, en caso contrario,de 0.5.

a) Si va a realizar el examen, ¿cuál es la probabilidad de que haya oído eldespertador?


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b)Si no realiza el examen, ¿cuál es la probabilidad de que no haya oído eldespertador?

4.- Disponemos de dos urnas: la urna A contiene 6 bolas rojas y 4 bolas blancas,la urna B contiene 4 bolas rojas y 8 bolas blancas. Se lanza un dado, si apareceun número menor que 3; nos vamos a la urna A; si el resultado es 3 o más, nos

vamos a la urna B. A continuación extraemos una bola. Se pide:

a) Probabilidad de que sea de la urna B y que la bola sea roja

b) Probabilidad de que la bola sea blanca.


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5.-En una casa hay tres llaveros A, B y C; el primero con cinco llaves, el segundocon siete y el tercero con ocho, de las que sólo una de cada llavero abre la puerta

del trastero. Se escoge al azar un llavero y, de él una llave para abrir el trastero.Se pide:

a) ¿Cuál será la probabilidad de que se acierte con la llave?

b) ¿Cuál será la probabilidad de que el llavero escogido sea el tercero y lallave no abra?


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c) Y si la llave escogida es la correcta, ¿cuál será la probabilidad de quepertenezca al primer llavero A?

6.- Una caja contiene tres monedas. Una moneda es corriente, otra tiene dos

caras y la otra está cargada de modo que la probabilidad de obtener cara es de

1/3. Se selecciona una moneda lanzar y se lanza al aire. Hallar la probabilidad de

que salga cara.

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