PDS TEMA [1]

SPC-2011/12

CONTENIDOS

Introducción, definición y región de convergencia Propiedades básicas y pares transformados Polos y ceros: estabilidad y causalidad Transformada inversa. Métodos de cálculo Transformada unilateral Conexión con el tratamiento de Fourier Plano z - complejo y eje - periódico Conexión de sistemas LTI en dominio transformado Anexo: notación en bibliografía

SPC-2012/13

BIBLIOGRAFÍA

Manolakis: capítulos 3 y 5 Ingle: capítulo 4 McClellan: capítulo 7 Orfanidis: capítulo 5 Proakis: capítulo 3 Oppenheim: capítulo 3 Alvarado: capítulo 3 Alexander D. Poularikas: capítulo 6

The Handbook of Formulas and Tables for Signal ProcessingCRC Press, 1999. ISBN 0-8493-8579-2

SPC-2012/13

OBJETIVOS Aprender a manipular la herramienta matemática de

la transformada Z (directa e inversa) Asumir la necesidad de dicha herramienta para el

estudio completo de señales y sistemas discretos en el tiempo

Comprender el paralelismo con la transformada de Laplace aplicada a señales y sistemas continuos en el tiempo

Entender la relación existente con la descripción en el dominio tiempo (secuencias, respuestas impulsionales, ecuaciones en diferencias) y en el dominio de la frecuencia (espectros y respuestas en frecuencia)

SPC-2011/12

INTRODUCCIÓN La transformada Z (TZ) es una herramienta

matemática que, para señales y sistemas tiempo-discretos, equivale a la transformada de Laplace para señales y sistemas tiempo-continuos:o transforma convoluciones en productoso extrae funciones racionales de ecuaciones en

diferencias (relación entrada-salida)

Proporciona una manera de caracterizar señales y sistemas tiempo-discretos por medio de polos y ceros en el z-dominio transformado

Puesto que z es una variable compleja, este z-dominio es un plano complejo

SPC-2011/12

INTRODUCCIÓN(TC) SEÑALES + SISTEMAS (TD)

Laplace TZ

Sobre ecuaciones diferenciales Sobre ecuaciones en diferenciasVariable compleja Variable compleja Polos y ceros en el s - plano Polos y ceros en el z - planoNotación cartesiana Notación polarSiempre causal No necesariamente causal (ROC)

s z

jerz js

)()()()( * txthtytx LTI )()()()( sXsHsYsX

][][][][ * nxnhnynx LTI )()()()( zXzHzYzX

)()()(

sXsYsH

)()()(

zXzYzH

SPC-2011/12

INTRODUCCIÓN

Señal TC = = Espectro

Sistema TC = = Respuesta en frecuencia

FT

)ω()()( Laplace XsXtx js

)ω()()( Laplace HsHth js

Señal TD = = Espectro

Sistema TD = = Respuesta en frecuencia

DTFT

)()(][ TZ XzXnx

jez

)()(][ TZ HzHnh

jez

SPC-2011/12

dominio dominio dominiotiempo transformado frecuencia

INTRODUCCIÓN Es una representación alternativa que contiene toda

la información de las representaciones frecuencial(variable real y periódica ) y temporal (variable entera n).

Contiene, además, cierta información adicional

Esta información adicional la hace fundamental en el análisis de estabilidad de sistemas, en el estudio de transitorios con condiciones iniciales no nulas, para el tratamiento de ciertas secuencias habituales no absolutamente sumables y en procesos de diseño, clasificación y caracterización de sistemas

SPC-2012/13

DEFINICIÓN La transformada Z de cierta secuencia discreta f [n]

se define como una serie de potencias sobre la variable compleja z :

Como es la suma de una serie geométrica, solo existe para aquellos valores del plano complejo para los que la suma no diverge. Esto nos lleva al concepto de región de convergencia

zznfzFnfn

n ;][)(][ TZ

SPC-2011/12

REGIÓN DE CONVERGENCIA La región de convergencia (Region of Convergence,

ROC) de una transformada F(z) es el conjunto de todos los valores de la variable compleja z para los que F(z) es finita:

El par transformado no es único hasta que no se añade la información relativa a la ROC

Por ello las tablas de pares z-transformados incluyen una tercera columna relativa a la ROC, que distingue entre las opciones “causal” y “estrictamente anticausal”

n

nznfzFz ][)(;ROC

)(][ zFnf

SPC-2013/14

REGIÓN DE CONVERGENCIA

SPC-2017/18

][nu

]1[ nu

]1[ nu

][ nu

]1[ nu

]1[ nu

causal

estrictamente causal

no causal

anticausal

estrictamente anticausal

no anticausal

REGIÓN DE CONVERGENCIA Ejemplo: usando que

o f1[n]

o f2[n]

Observar que siendo la única diferencia

111

0

AAA

n

n

11

1)()(][ 110

11

azaz

azzFnuan

nn

azaz :ROC:ROC 21

11

11

11)(1

)()()(]1[

1110

11

11 12

zaazza

za

zaazzFnua

kk

kk

nnn

)()( 21 zFzF

SPC-2011/12

ROC: PROPIEDADES La transformada F(z) junto con la ROC definen de

forma inequívoca la secuencia f [n], es decir, sin la información de la ROC, existe indeterminación en el cálculo de la anti-transformada

La ROC de cualquier secuencia tiene simetría circular en torno al origen sobre el z – plano, porque la convergencia solo depende de |z|

La ROC no puede contener polos porque, por definición, la evaluación de F(z) sobre un polo produce divergencia

ul rzrz 0; :ROC

SPC-2011/12

ROC: PROPIEDADES La ROC de secuencias de duración finita (sin polos) es

todo el plano complejo, excepto quizás

o el origen, porque diverge en

o el infinito, porque diverge en

Cualquier función transformada F(z) racional se puede descomponer en términos de la forma

y su ROC será una combinación de ROCs con simetría circular (como las vistas en el ejemplo anterior)

a

az;

11

1

)0( kz k 0z

)0( kzk z

SPC-2011/12

ROC: PROPIEDADES La ROC de una secuencia (estrictamente) anticausal

(con valores nulos en semieje n-positivo) es el interior de una circunferencia

La ROC de una secuencia (estrictamente) causal (con valores nulos en semieje n-negativo) es el exterior de una circunferencia

La ROC de una secuencia bilateral (combinación de causal con estrictamente no causal) puede:o ser una corona circular (si radio parte causal menor que

radio parte anticausal)o no existir (si radio parte causal mayor que radio parte

anticausal y no hay intersección)SPC-2017/18

ROC: PROPIEDADES Secuencias de duración finita: secuencia y ROC

SPC-2014/15

ROC: PROPIEDADES Secuencias de duración infinita: secuencia y ROC

SPC-2014/15

lrz

urz

ul rzr

TZ: PROPIEDADES Linealidad: si

Desplazamiento temporal: si

Escalado en z : si

22TZ

2

11TZ

1ROC),(][ROC),(][

zFnfzFnf

ROC),(][ TZ zFnf

21TZ :ROC),(][ rzrzFnf

212211TZ

2211 ROCROC),()(][][ zFAzFAnfAnfA

0,ROC),(][ TZ zFzknf k

211TZ :ROC),(][ razrazaFnfan

SPC-2011/12

TZ: PROPIEDADES Conjugación: si

Parte real : si

Parte imaginaria: si

ROC),(][ TZ zFnf

ROC*),(][ *TZ* zFnf

ROC),(][ TZ zFnf

originalROCincluye,*)()(21][Re *TZ zFzFnf

ROC),(][ TZ zFnf

originalROCincluye,*)()(21][Im *TZ zFzFjnf

SPC-2017/18

TZ: PROPIEDADES Reflexión en n : si

Diferenciación en z : si

Convolución: si

2121TZ

2*1 ROCROC),()(][][ zFzFnfnf

21TZ :ROC),(][ rzrzFnf

12

1TZ 11 :ROC),(][r

zr

zFnf

ROC),(][ TZ zFnf

0,ROC,)(][ TZdz

zdFznfn

22TZ

2

11TZ

1ROC),(][ROC),(][

zFnfzFnf

SPC-2014/15

TZ: PROPIEDADES Correlación: si

Multiplicación: si

donde C es un contorno cerrado (conteniendo al origen) en la ROC común: (como mínimo)

22TZ

2

11TZ

1

ROC),(][ROC),(][

zFnfzFnf

)()(][][][ 121

TZ*2112

zFzFnkfkfnr

k

22TZ

2

11TZ

1ROC),(][ROC),(][

zFnfzFnf

CdzFF

jzFnfnfnf 1

21TZ

21 )(21)(][][][

uull rrzrr 2121 SPC-2014/15

TZ: PROPIEDADES Inserción de ceros: si

Relación de Parseval: si

donde C es un contorno cerrado (conteniendo al origen) en la ROC común: (como mínimo)

Teorema del valor inicial: si es una secuencia causal][nf )(lim]0[ zFf

z

22TZ

2

11TZ

1ROC),(][ROC),(][

zFnfzFnf

nnfnf ][][ *

21

uull rrzrr 2121

SPC-2013/14

ROC),(][ TZ zFnf

LLzFnLnLnf 1TZ ROC),(0

;]/[

restantes de múltiplosi

CdFFj

1*21 *

1)(21

PARES TRANSFORMADOS (1/2)

Secuencia f [n] Transformada F(z) ROC

1

2

3

4

5

6

][n

][nu

][nuan

]1[ nuan

][nuan n

]1[ nuan n

1

111 z

111

az

111

az

21

1

)1(

azaz

21

1

)1(

azaz

z

1z

az

az

az

az

SPC-2011/12

PARES TRANSFORMADOS (2/2)

Secuencia f [n] Transformada F(z) ROC

7

8

9

10

][)(cos nuno

][)(sin nuno

][)cos( nunr on

][)sin( nunr on

21

1

cos21cos1

zzz

o

o

21

1

cos21sin

zzz

o

o

221

1

cos21cos1

zrzrzr

o

o

221

1

cos21sin

zrzrzr

o

o

1z

1z

rz

rz

SPC-2011/12

POLOS Y CEROS Cualquier función racional F(z) se puede modificar

para obtener polinomios en potencias positivas de z :

o la ecuación proporcionará los ceros de la función

o la ecuación proporcionará los polos de la función

o polos y ceros pueden ser reales o complejos (pares)

o polos y ceros pueden ser simples o múltiples

o el factor z N-M proporciona N-M ceros triviales en el origen si N >M, o M-N polos triviales en el origen si M >N

)()(

)()(

)()()( 1

1

zDzNz

zDzN

zz

zDzNzF MN

N

M

0)( zN

0)( zD

SPC-2017/18

volver a la tabla

POLOS Y CAUSALIDAD Una vez calculados los N polos de la función F(z) cabe

recordar queo la ROC no puede contener polos

o si f [n] es (estrictamente) causal la ROC es el exterior de una circunferencia definida por los polos

o si f [n] es (estrictamente) anticausal la ROC es el interior de una circunferencia definida por los polos

Con ello se establece una relación entre la causalidad de la secuencia f [n] y la localización de los polos de su función transformada F(z)

SPC-2017/18

POLOS Y CAUSALIDAD La ROC de una secuencia

o (estrictamente) anticausal es el interior de la circunferencia determinada por el polo de módulo mínimo

o (estrictamente) causal es el exterior de la circunferencia determinada por el polo de módulo máximo

o bilateral es la corona delimitada por los polos máximo y mínimo de las componentes causal/anticausal:

kk

pz min :ROC

kk

pz max :ROC

kk

kk

pzp 21 minmax :ROC

estrictaanticausal2causal1bilateral ][][][ nfnfnf

SPC-2017/18

POLOS Y ESTABILIDAD La condición necesaria y suficiente que asegura la

estabilidad de una secuencia es que su ROC contenga al círculo unidad. Por tanto f [n] eso estable y (estrictamente) causal todos los

polos están dentro del círculo unidado estable y (estrictamente) anticausal

todos los polos están fuera del círculo unidad

Cuando f [n] presenta polos sobre el círculo unidad se denomina marginalmente estableSegún cuál sea la multiplicidad de estos polos, el comportamiento sobre la variable n será acotado o divergente

kpk 1

kpk 1

SPC-2017/18

POLOS: ESTABILIDAD Y CAUSALIDAD Secuencia causal con polo real simple (positivo):

SPC-2014/15

][1

11 nua

azn

POLOS: ESTABILIDAD Y CAUSALIDAD Secuencia causal con polo real simple (negativo):

][1

11 nua

azn

SPC-2014/15

POLOS: ESTABILIDAD Y CAUSALIDAD Secuencia causal con polo real doble (positivo):

][)1( 21

1nuan

azaz n

SPC-2014/15

POLOS: ESTABILIDAD Y CAUSALIDAD Secuencia causal con polo real doble (negativo):

][)1( 21

1nuan

azaz n

SPC-2014/15

POLOS: ESTABILIDAD Y CAUSALIDAD Secuencia causal con polos complejos conjugados:

][)cos(cos21

cos1221

1nunr

zrzrzr

on

o

o

SPC-2014/15

POLOS: ESTABILIDAD Y CAUSALIDAD Secuencia causal con polos complejos conjugados:

SPC-2014/15

][)cos(]cos21[

2cos)(221

231nunn

zzzzz

oo

o

][)cos(cos21

cos1221

1nunr

zrzrzr

on

o

o

POLOS: ESTABILIDAD Y CAUSALIDAD

f [n] CAUSAL f [n] ANTICAUSAL f [n] BILATERAL

solo potencias negativas solo potencias positivas ambas potencias

si duración finita si duración finita si duración finita

si duración infinita si duración infinita si duración infinita

polos dentro de un círculo polos fuera de un círculo polos fuera de la corona

estable estable estable

)0( kz k )0( kzk )0( kz k

0planoROC z planoROC z ,0planoROC z

lrz :exteriorROC urz :interiorROC ul rzr :coronaROC

lk rpz max uk rpz min min2max1 kk pzp

kpk 1kpkp

k

k

11

2

1kpk 1

SPC-2011/12

TRANSFORMADA INVERSA Definición:

donde C es un contorno cerrado (conteniendo al origen) en la ROC de F(z). La integral se evalúa recorriendo C en sentido levógiro. Definición poco práctica para el cálculo de una transformada inversa

Cálculo por expansión en serie: la idea es expandir F(z)en una serie de potencias que converge dentro de la ROC:

Si F(z) es racional la expansión se obtiene al realizar la división entre los polinomios numerador y denominador

C

dzzzFj

nfzF n 1TZ )(21][)(

1

ncnfzczF nn

nn

][)(

SPC-2011/12

TRANSFORMADA INVERSA Cálculo por descomposición en fracciones simples: la

idea es expresar cierta F(z) racional como una suma de fracciones simples, asociadas a los diversos polos pk con correspondiente multiplicidad Mk :

y recurrir a las tablas de pares transformadoso polo real simple pares 2, 3 (causal); par 4 (anticausal)o polo real doble par 5 (causal); par 6 (anticausal)o polos complejos conjugados pares 7, 8, 9, 10 (causales)NOTA: se supone que F(z) es función racional propia

k m

k

kkzp

AzDzNzF

)1()()()( 1

)1( kMkm

SPC-2015/16

TRANSFORMADA INVERSASalvo en casos muy sencillos, para el cálculo de los residuos Ak conviene:o expresar F(z) como cociente de polinomios en potencias

positivas de z, para obtener los polos y poder factorizar el polinomio denominador

o dividir esta expresión por la variable z y descomponer el cociente en fracciones simples

kk

MNMNpz

zNzzDzNz

zDzNzF )(

)()()(

)()()( 1

1

k k

k

kk

MNpz

Apz

zNzzzzF

)()()(1)(

SPC-2015/16

residuez

TRANSFORMADA INVERSA si p es polo real simple:

si p es polo real con multiplicidad M, genera M fracciones

si p=r e jo es polo complejo, combinado con p* genera

y acaba produciendo

pz

MmMmM

mM

m mm

zzFpz

dzd

mMApz

A

)()()!(

1)(1

pzzzFpzA

pzA

)()(

)(

pzo zzFpzA

rrzzCBz

pzA

pzA

)()(

cos2*)(*

)( 22

2222 cos2)sin(

cos2)cos(

rrzzrN

rrzzrzM

o

o

o

o

SPC-2011/12

TRANSFORMADA INVERSAo recuperar la función original

o expresar los sumandos en potencias negativas de z

si p es polo real simple:

si p es polo real múltiple:

si p=r e jo es polo complejo, acompañado del conjugado

o anti-transformar cada fracción consultando las tablas de pares transformados y la propiedad de desplazamiento

k k

kpz

AzzF)(

)(

)1()( 1

pzA

pzzA

M

m mm

mM

m mm

pzAz

pzzA

1 1

)1(

1 )1()(

221

11

22

2

cos21)sin()cos1(

cos2)sin()cos(

zrzrzrNzrM

rrzzrzNrzzM

o

oo

o

oo

SPC-2014/15

TRANSFORMADA Z UNILATERAL Sea un sistema LTI causal y estable cuya relación

entrada-salida es la ecuación en diferencias

Aplicando TZ con sus propiedades a la ecuación

Calculando la TZ inversa se obtiene que es exclusivamente la componente estado cero de la respuesta, correspondiente a considerar condiciones iniciales nulas (sistema inicialmente en reposo)

MNknxbknyanyM

kk

N

kk

;][][][

01

)(1

)()()()(

1

001

zXza

zbzYzXzbzYzazY N

k

kk

M

k

kkM

k

kk

N

k

kk

)(TZ][ 1 zYny

SPC-2011/12

TRANSFORMADA Z UNILATERAL Para sistemas no inicialmente en reposo, es decir, con

condiciones iniciales no nulas es precisa la transformada Z unilateral, definida por

o no contempla información para n < 0 y por tanto solo es única para secuencias causales, en las que

o verifica que y por tanto su ROC es siempre exterior a cierta circunferencia

o comparte con la transformada Z todas las propiedades vistas, excepto un diferente comportamiento respecto a las operaciones de retardo y adelanto temporal

0]0[ ny

)()( zFzF

][][TZ)( nunfzF

n

nznfzF

0

][)(

SPC-2011/12

TRANSFORMADA Z UNILATERAL Dado el par transformado

o Retardo temporal (k > 0):

o Adelanto temporal (k > 0):

Los términos adicionales en forma de sumatorioo se explican por la contribución de las muestras que

entran/salen del semieje positivo al desplazar la secuencia o permiten incorporar condiciones iniciales no nulas cuando la

TZ+ se aplica sobre ecuaciones en diferencias y, por tanto, calcular la contribución entrada cero

)(][ TZ zFnf

k

n

nk znfzFzknf1

TZ ][)(][

k

n

nk znfzFzknf1

TZ ][)(][

SPC-2011/12

TRANSFORMADA Z Y FOURIER Cuando la secuencia f [n] que se transforma es la

respuesta impulsional (finita o infinita) de un sistema LTI, la correspondiente transformada es la función de transferencia del sistema

Comparando con la definición de la respuesta en frecuencia

se concluye:

que representa la proyección del z - plano complejo sobre el círculo unidad

n

nznhzHnh ][)(][ TZ

n

njenhHnh ][)(][ DTFT

jezzHH )()(

SPC-2011/12

TRANSFORMADA Z Y FOURIER

)(

TZ

)()(

)(][

HArgj

jez

eHH

zHnh

Sistema LTI tiempo-discreto

Señal tiempo-discreta

Respuesta impulsional

Respuesta en frecuencia

Función de transferencia

Respuesta en magnitud

Respuesta en fase

)(

TZ

)()(

)(][

XArgj

jez

eXX

zXnx

Secuencia

Espectro

Función transformada

Espectro en magnitud

Espectro en faseSPC-2011/12

PLANO Z - COMPLEJO Y EJE - PERIÓDICO

Al proyectar sobre el círculo unidad se obtiene el eje (rad/muestra) intrínsecamente periódico con periodo

kez kj ;)π2(

2

SPC-2011/12

PLANO Z - COMPLEJO Y EJE - PERIÓDICO

Cualquier función F() (espectro o respuesta en frecuencia) definida sobre este eje será periódica, y bastará con su estudio sobre

Sobre este periodo fundamental se re-define el concepto de frecuencias bajas/medias/altaso bajas frecuencias en torno a o altas frecuencias en torno a o frecuencias medias en torno a y

También se re-define el eje de simetría hermítica (bajo supuesto de f [n] real) sobre el punto

π20

π20 π

2π 223π

π

SPC-2011/12

PLANO Z - COMPLEJO Y EJE - PERIÓDICO

En general donde tanto el módulo |F()| como el argumento Arg[F()] serán funciones reales de variable real periódica y vendrán conformadas por la posición de polos y ceros de F(z):

)()()( FjArgeFF

N

k k

Mk k

Nk k

Mk kMN

zp

zzF

pz

zzzFzF

11

11

01

1)(0

)1(

)1(

)(

)()(

SPC-2011/12

N

kj

k

Mk

jk

Nk k

j

Mk k

jMNj

ep

ezF

pe

zeeFF

1

10

1

1)(0

)1(

)1(

)(

)()(

jez

PLANO Z - COMPLEJO Y EJE - PERIÓDICO

Respecto al módulo |F()|:

las contribuciones de polos y ceros son siempre términos en la forma |e j - qk| peroo multiplicando en el caso de ceros

o dividiendo en el caso de polos

Es decir, suponiendo expresión en deciBelioso sumando en el caso de ceros

o restando en el caso de polosSPC-2011/12

N

k kj

Mk k

j

pe

zeFF

1

10)(

PLANO Z - COMPLEJO Y EJE - PERIÓDICO

Respecto al argumento Arg[F()]:

las contribuciones de polos y ceros son siempre términos en la forma Arg [e j - qk]- Arg [e j]= , o sumando en el caso de ceros o restando en el caso de polos

Si F0 es una constante real, su contribución Arg [F0] solo puede ser 0º si F0 > 0 ó ±180º cuando F0 < 0

])[][(

])[][()(

1

10

jN

kk

j

jM

kk

j

eArgpeArg

eArgzeArgFArgFArg

SPC-2011/12

PLANO Z - COMPLEJO Y EJE - PERIÓDICO Definiendo el vector de cero/polo como aquel que une

el cero/polo qk sobre el z-plano con el punto que recorre el círculo unidad, se observa que

|| kj qe

][ kj qeArg

je

o cada factor de la forma presente en la expresión de |F()| representa el módulo del vector de cero/polo

o cada término representa el ángulo que forma el vector de cero/polo con el semieje real positivo (en sentido levógiro)

o la contribución a la función Arg[F()] será la diferencia entre este ángulo y el argumento del punto móvil

SPC-2011/12

PLANO Z - COMPLEJO Y EJE - PERIÓDICO Si se dispone de un cero situado sobre el círculo

unidad (de la forma ) se observa que jk ez 1

0|)(| F

SPC-2014/15

o el módulo del vector de cero decrece conforme y se anula totalmente cuando

, lo que supone una frecuencia de rechazo total:

o el ángulo diferencia - experimenta, sobre , una discontinuidad de 180º cruzando por cero con pendiente positiva

º360

º180

º0

º180

PLANO Z - COMPLEJO Y EJE - PERIÓDICO

SPC-2014/15

=0º =30º =60º =90º

=120º =150º =180º

=240º =300º =360º

PLANO Z - COMPLEJO Y EJE - PERIÓDICO

Si se tratase de un polo (simple!) situado sobre el círculo unidad (de la forma ) las conclusiones son similares, pero ahora, sobre ,o el valor nulo del factor de la forma proporciona

una divergencia para la función módulo:

o el ángulo diferencia - experimenta una discontinuidad de 180º cruzando por cero, con contribución a la función Arg[F()] de pendiente negativa por tratarse de un polo

o así se explica, por ejemplo, el espectro en magnitud de un coseno tiempo-discreto causal

jk ep 1

|| jj ee

|)(| F

SPC-2011/12

PLANO Z - COMPLEJO Y EJE - PERIÓDICO Si se dispone de un cero/polo situado dentro del

círculo unidad (de la forma )1; rerq jk

SPC-2014/15

o el módulo del vector de cero/polo va disminuyendo conforme , sin llegar a anularse totalmente. Mínimo (no nulo) en y máximo sobre

o la diferencia - vuelve a experimentar, sobre , un cruce por cero con pendiente positiva y una transición aproximada de 180º

º360

º180

º0

º180

PLANO Z - COMPLEJO Y EJE - PERIÓDICO

SPC-2014/15

=0º =30º =60º =90º

=120º =150º =180º

=240º =300º =360º

PLANO Z - COMPLEJO Y EJE - PERIÓDICO Ejemplo:

SPC-2017/18

33221223 )cos21()cos21(1)cos2)(()( zrzrzrrrzzrzzzF

PLANO Z - COMPLEJO Y EJE - PERIÓDICO

SPC-2017/18

º1800;1)cos21()cos21(1)cos2)(()( 33221223

rzrzrzrrrzzrzzzF

PLANO Z - COMPLEJO Y EJE - PERIÓDICO

SPC-2017/18

º1800;8.0)cos21()cos21(1)cos2)(()( 33221223

rzrzrzrrrzzrzzzF

PLANO Z - COMPLEJO Y EJE - PERIÓDICO Si se dispone de un cero situado fuera del círculo

unidad (de la forma )1; rerq jk

SPC-2014/15

o el módulo del vector de cero va disminuyendo conforme , sin llegar a anularse totalmente. Mínimo (no nulo) en y máximo sobre

o la diferencia - vuelve a experimentar, sobre , un cruce por cero con pendiente positiva y una transición aproximada de 180º

º360

º180

º0

º180

PLANO Z - COMPLEJO Y EJE - PERIÓDICO

SPC-2014/15

=0º =30º =60º =90º

=120º =150º =180º

=240º =300º =360º

PLANO Z - COMPLEJO Y EJE - PERIÓDICO

RESUMEN: cuando el punto móvil se aproxima a la posición de un cero/polo qko se obtiene un valor mínimo para |e j-qk | y por tanto un

mínimo/máximo en |F()| según que qk sea cero o polo respectivamente. El correspondiente valle/pico es tanto más acusado cuanto más próximo se halle el cero/polo del círculo unidad. Un cero/polo de radio unidad produce un factor nulo o una divergencia.

o la función Arg[F()] manifiesta un cruce por cero con una acusada pendiente positiva/negativa según que qk sea cero o polo respectivamente. La pendiente es tanto más acusada cuanto más próximo se halle el cero/polo del círculo unidad. Un cero /polo de radio unidad produce una discontinuidad de fase de ± radianes (pendiente = ± )

je

SPC-2011/12

PLANO Z - COMPLEJO Y EJE - PERIÓDICO

SPC-2012/13

r e j MÓDULO ARGUMENTO

cero

(r =1)

mínimo valor nulo, pendiente positiva

nulo discontinuidad de +180º

polo

(r =1)

máximo valor nulo, pendiente negativa

divergencia discontinuidad de -180º

o siempre que los coeficientes de F(z) son reales cada cero/polo complejo aparece acompañado de su conjugado

o esto preserva la simetría par/impar, respectivamente, de las funciones |F()| y Arg[F()] cuando f [n] también es real

PLANO Z - COMPLEJO Y EJE - PERIÓDICO

Ejemplo con polos y ceroso nueve ceros sobre el círculo unidad, en posiciones

conjugadas, distribuidos regularmente cada 40º: sobre las frecuencias iguales a los argumentos de los ceros se tendrá magnitud nula

SPC-2011/12

o nueve polos triviales sobre el origen o, si se prefiere, un polo en el origen con multiplicidad igual a 9: no hay contribución a la función respuesta en magnitud, pero sí que se produce divergencia de F(z) sobre z = 0

PLANO Z - COMPLEJO Y EJE - PERIÓDICO

SPC-2014/15

o superficie 3D: función |F(z)| sobre el z-plano complejoo curva roja: proyección sobre el círculo unidad |F()|

CONEXIONES DE SISTEMAS Sea fk [n]= hk [n]= respuesta impulsional del k-sistema

LTI, con función de transferencia correspondiente

Aprovechando las propiedades de la transformada Zo en una conexión serie (o cascada):

Resultado evidentemente conmutativo: en una conexión serie el orden de los sistemas es irrelevante

n

nkk znhzH ][)(

)()()(][*][][ 2121 zHzHzHnhnhnh ss

SPC-2011/12

CONEXIONES DE SISTEMASo en una conexión paralelo:

Resultado evidentemente conmutativo: en una conexión paralelo el orden de los sistemas es irrelevante

o en una conexión realimentada:

][][][ 21 nhnhnhp

)()()( 21 zHzHzH p

][*]}[*][][{][ 12 nhnynhnxny

)()}()()({)( 12 zHzYzHzXzY

)()(1)(

)()()(

21

1zHzH

zHzXzYzH f

SPC-2011/12

CONCEPTOS ADQUIRIDOS Cualquier secuencia f [n] queda determinada de forma unívoca

a través del par {función transformada Z + ROC} La transformada F(z) de f [n] es una función compleja de

variable compleja La transformada Z convierte convoluciones en productos y

ecuaciones en diferencias en ecuaciones algebraicas La descripción de un sistema mediante su respuesta

impulsional h[n] produce, bajo transformada Z, una función de transferencia H(z)=TZ {h[n]} que permite identificar los ceros (raíces del numerador) y los polos (raíces del denominador) del sistema

En este sentido la transformada Z representa en el mundo tiempo-discreto el papel de Laplace en tiempo-continuo

SPC-2012/13

CONCEPTOS ADQUIRIDOS La localización de polos en el z-plano determina la ROC y se

relaciona, por tanto, con las características de causalidad La localización de polos en el z-plano determina la ROC y se

relaciona, por tanto, con las características de estabilidad La localización y multiplicidad de los polos conforma la

respuesta natural y la respuesta impulsional de un sistema Para un sistema causal la localización de todos los polos dentro

del círculo unidad asegura la estabilidado Polos estables reales dan contribuciones decrecientes, donde la

velocidad de amortiguamiento depende de la distancia al origeno Polos estables formando pares conjugados dan contribuciones

senoidales decrecientes, donde la velocidad de amortiguamiento depende de la distancia al origen (módulo) y la frecuencia de oscilación del argumento

SPC-2012/13

CONCEPTOS ADQUIRIDOS La transformada Z proporciona una herramienta eficaz para la

resolución de ecuaciones en diferencias y la consiguiente obtención de la salida de un sistema bajo una excitación dada

La transformada Z unilateral permite además contemplar el caso de condiciones iniciales no nulas

La transformada Z conecta con el tratamiento de Fourier tiempo-discreto (DTFT) a través de una proyección sobre el círculo unidad

La localización de ceros y polos en el z-plano conforma las características frecuenciales de la señal/sistema bajo estudio, tanto en magnitud como en fase

Esto permite diseñar sistemas con una respuesta dada mediante la adecuada localización de polos y ceros en el z-plano

SPC-2012/13

ANEXO 1: notación en bibliografía

PDS f [n] (rad/muestra)

F()

McClellan f [n]

IngleDiniz f (n)

Orfanidis f (n)

ProakisAlvarado f (n)

ManolakisOppenheim f [n]

)( jeF

)( jeF

)(F

)( jeF

)(F

SPC-2012/13