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Obra protegida por SEP - INDAUTOR Registro Público 03-2009-121509555000-01. 03-2009-121510091800-14. La piratería es un delito.
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AutorÁngel Luna
Caja Pitagórica6° de Primaria
Base de datos03-2009-121509555000-01
Dibujo03-2009-121510091800-14
Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, sin autorización escrita del titular de los derechos patrimoniales.
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• LOS NATURALES • FRACCIONES (DECIMALES) • OPERACIONES BÁSICAS
PITÁGORAS DE LO ABSTRACTO A LO CONCRETO
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Índice
Lista de materiales de la Caja PitagóricaIntroducciónJustificaciónObjetivos generales Actividades con números naturalesActividad 1 • Valor posicional en sistema decimal de numeraciónActividad 2 • Cálculo mental (Juego del Triángulo Pitagórico)Actividad 3 • Reproducción a escala por altura, largo y anchoActividad 4 • SimetríaActividad 5 • Medir ángulos utilizando el transportadorActividad 6 • Productos de factores igualesActividad 7 • Perímetro y área del triánguloActividad 8 • Sucesiones numéricasActividad 9 • Volumen
El cuadrado mágicoIntroducción • Antecedentes • Cuadrado mágico, el juego clásico • AplicacionesActividad 10 • EjerciciosEl cuadrado mágico de 4×4Actividad 11 • EjerciciosEl cuadrado perfectoEl cuadrado del caballo
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Pitágoras sin palabrasActividad 12 • Asociar establece una relación entre dos conjuntosActividad 13 • Nos acercamos a PitágorasActividad 14 • Del tangram a PitágorasActividad 15 • Demostrando a PitágorasActividad 16 • Corta y construye a Pitágoras Actividad 17 • No debemos cortar siempre para construir a PitágorasActividad 18 • Construye un triángulo rectánguloActividad 19 • Áreas y PitágorasActividad 20 • El recíproco de PitágorasActividad 21 • Construyendo teselas a partir de PitágorasActividad 22 • Ejercicios libres
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Lista de materiales de la
Caja Pitagórica
1 Tablero de 8×8 casillas
1 Tablero de 10×10 casillas
1 Triángulo pitagórico
100 Cubos de 1×1×1 20 Tabletas de 2×2×1 10 Tabletas de 5×5×1
1 Tablero de 6×6 casillas
3 Acetatos de 18×18(compás)
3 Acetatos de 18×18 (ruleta)
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4 Tangramas 2 Tangramas gigantes
10 Regletas de 10×1×1 10 Regletas de 5×1×1
14 Tabletas de 10×10×1
10 Regletas de 2×1×1
25 Fichas azules 25 Fichas blancas
64 Fichas rosas 50 Fichas amarillas 36 Fichas verdes
122 Fichas numéricas
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75 Tarjetas comodines 3 Compáses
36 Cuadriláteros(3 colecciones de 12)
12 Triángulosrectángulos de 30º y 60º
3 Ruletas pitagóricas3 Adaptadores
1 Abanico pitagórico
1 Dado dodecaedro
* El color real del contenido de la Caja Pitagórica puede variar respecto al mostrado en esta guía didáctica
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En nuestro Sistema Educativo Nacional un objetivo primordial es elevar la calidad de la educación, lo cual coadyuva al desarrollo integral del país.
Dentro de esa perspectiva, es importante considerar un proceso de competencia con-tinuo en los diferentes niveles escolares. Los avances de las distintas áreas de conocimien-to están vinculados con la problemática de los procesos de la enseñanza y el aprendizaje de las diversas materias que conforman los programas de estudio.
El alumno que comienza el sexto grado de primaria entiende que las matemáticas son funcionales y flexibles, ya que puede emplearlas para resolver algunos problemas de di-versos ámbitos: desde los más sencillos que se le presentan en la vida cotidiana, hasta los más complejos, y algunos de éstos los aborda durante su curso.
El maestro, con base en su experiencia y conocimientos sobre la Caja Pitagórica, imple-menta actividades dirigidas a facilitar los procesos de aprendizaje, es decir, al conocer los factores que inciden en estos procesos, aplica recursos técnicos y prácticos para favorecer el aprendizaje.
En este escenario, el material didáctico de la Caja Pitagórica sigue facilitando la cons-trucción de algunos aprendizajes significativos, los cuales propician la reflexión, el análi-sis, los cuestionamientos y las respuestas de los alumnos, quienes de esta manera asumen una función activa en su aprendizaje.
El alumno está a punto de concluir su instrucción primaria. Lo aprendido durante este nivel y preescolar será determinante para su ingreso a la secundaria, donde abordará temas diversos en física, química, biología, etc., y las matemáticas constituirán el marco teórico para su estudio.
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JustificaciónEs de interés que el alumno adquiera los conocimientos de la matemática propios de cada grado. Importa sobremanera que desarrolle paulatinamente, a lo largo de la educación bá-sica, habilidades intelectuales que le permitan, entre otras cosas, manejar el contenido de diversas formas y realizar procesos en los que tenga que utilizar estrategias para resolver problemas.
Dichas habilidades son: resolución de problemas, clasificación, flexibilidad del pensa-miento, estimación, reversibilidad del pensamiento, generalización, imaginación espacial.
Con el material didáctico de la Caja Pitagórica se consideran tres ejes fundamentales, a lo largo de la educación primaria, que requieren de una atención especial:
La naturaleza del número. Se pretende que el alumno comprenda que los números pueden representar tanto cantidades obtenidas de procesos de conteo o medición, como relaciones entre cantidades y que entienda para qué sirven los números y qué representan.
El desarrollo de la intuición geométrica y de la imaginación espacial, a través del estudio de la geometría, en particular de los contenidos relacionados con las formas −las figuras geométricas−, sus propiedades y algunas transformaciones, conservando sus ca-racterísticas.
La resolución de problemas. Se intenta que el alumno desarrolle habilidades en esta dirección.
El programa de sexto grado es fundamentalmente un programa de afirmación de conocimientos, con base en un método trabajado a lo largo de toda la primaria. El desa-rrollo de los contenidos temáticos se realiza por medio de problemas en cuya solución se utilizan, en forma integrada, diversos conocimientos matemáticos adquiridos en los grados anteriores.
Objetivos generales En la escuela primaria, los alumnos deberán adquirir conocimientos básicos de las mate-máticas y desarrollar:
• La capacidad de utilizar las matemáticas como un instrumento para reconocer, plantear y resolver problemas.• Las habilidades operatorias y comunicativas para adquirir seguridad y destreza, además de fomentar la curiosidad y la imaginación creativa, a fin de adoptar estrate- gias adecuadas en la resolución diversos problemas.• El razonamiento deductivo.• La capacidad de comunicar e interpretar información matemática.• La imaginación espacial.• La destreza en el uso de ciertos instrumentos de medición, dibujo y cálculo.• El pensamiento abstracto, por medio de distintas formas de razonamiento, entre otras, la sistematización y generalización de procedimientos y estrategias.• El reconocimiento de que un problema puede resolverse de distintas formas.
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• La habilidad para desarrollar procesos que permitan ubicar objetos en el plano y en el espacio, así como imaginar los efectos que se producen en las formas geométricas al someterlas a transformaciones, estimar longitudes y áreas.• El logro de los mecanismos del cálculo operatorio elemental.• La comprensión para utilizar distintas unidades de medida.• La creatividad.
Las actividades diseñadas por el maestro deberán estar enfocadas en la com-prensión y asimilación de los conceptos de la matemática. Deberán partir de la manipulación que el alumno haga de los materiales o recursos didácticos. En este sentido, el juego dirigido es una fuente de actividades interesantes para el alum-no, a través de él pueden crearse situaciones que le permitan descubrir relaciones o favorecer la construcción de conocimientos.
La implementación de las actividades puede modificarse a criterio del maestro, según lo considere conveniente.
Observación:
Observación:
Es conveniente fomentar el trabajo en equipo, de manera que permita el intercambio de puntos de vista y la confrontación de las ideas. Esto propiciará actitudes de análisis e investigación que gradualmente se irán reforzando, a medida que se formalicen los con-ceptos y los métodos.
Para aprender, los alumnos necesitan “hacer matemáticas”, es decir, deben enfrentar numerosas situaciones que les presenten un problema, un reto, y generar sus propios recursos para resolverlas, utilizando los conocimientos que ya poseen. Sus recursos serán informales al principio, pero poco a poco, con la experiencia, la interacción con sus com-pañeros y la ayuda del maestro, evolucionarán hacia la formalización del conocimiento.
En consecuencia, los conocimientos matemáticos y los problemas no pueden separar-se. No se trata de aprender matemáticas para después aplicarlas a la resolución de proble-mas, sino de aprender matemáticas al resolver problemas. Es decir es indispensable “cul-tivar” la capacidad de plantear y resolver problemas, así como la de realizar mediciones y cálculos precisos, al tiempo que se propicia la comprensión y el disfrute del conocimiento matemático.
Para facilitar la comprensión del uso de la Caja Pitagórica, se recomienda consultar al final de esta guía, los ejes temáticos planteados en cada una de las actividades.
Maestro:
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Actividades con
números naturales
Actividad 1
Valor posicional en sistema decimal de numeración
Al reverso del Triángulo Pitagórico se muestra la utilización del material con fichas de colores, con el cual el alumno puede interactuar y aprender sobre uno de los conceptos fundamentales de la matemática: el número y el sistema de numeración decimal, que se usa actualmente y que es el resultado de muchos siglos de desarrollo de la humanidad y a cuya estructuración contribuyeron varios sistemas de numeración usados en la Anti-güedad. No se analizarán aquí tales sistemas; lo que interesa son las características de los sistemas de numeración de base de notación posicional.
Lo que en esta actividad se pretende es que el alumno comprenda la característica de los sistemas de numeración de base de notación posicional: la base de nuestro sistema de numeración es diez, porque necesitamos 10 unidades simples para formar una unidad del segundo orden o decena; 10 decenas para formar una unidad del tercer orden o centena, y así sucesivamente, cada diez unidades de cualquier or-den forman una unidad del orden inmediato superior.
Los sistemas de base posicional resultan más eficaces que otros que les precedieron históricamente, ya que mediante ellos es posible: representar a los números de manera no ambigua; así como efectuar técnicas operatorias con cierta facilidad y representar a los números de una manera que sea fácil manejarlos y memorizarlos. En esta actividad se mencionan los aspectos que deben tomarse en cuenta para propiciar el aprendizaje del sistema de numeración decimal:
El campo formativo del material didáctico del Triángulo Pitagórico en el sistema de numeración cubre el programa de educación primaria y secundaria en cada uno de los aspectos siguientes:
• Estructura del sistema de numeración: ley de cambio: agrupamiento, desagrupamiento, comparación, antecesor y sucesor.• Representación: valor posicional, codificación y decodificación.• Nombre de los números.• Operaciones: suma y resta.
Las actividades de agrupamiento y desagrupamiento constituyen uno de los ejes centrales a trabajar, ya que, a través de ellas, los alumnos pondrán en práctica una de las características del sistema: la base. Las actividades de comparación de cantidades incluyen los siguientes puntos: determinar la ma-
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yor o menor de dos o más cantidades dadas, ordenar una serie de cantidades de mayor a menor y viceversa, determinar cantidades mayores y menores a una
dada, determinar una cantidad entre dos dadas; por ejemplo, encontrar cantidades equivalentes a una dada: 5 decenas y 2 unidades son equivalentes a 2 decenas y 32 unida-
des, o a 52 unidades, etc. Las actividades de sucesor y antecesor amplían el conocimiento sobre el sistema (agrupar y desagrupar) y continúan trabajando sobre la serie numérica (para conocer el sucesor de una cantidad dada se agrega una unidad, para conocer el an-tecesor se resta una).
Las actividades de representación están diseñadas para que los alumnos, primero, re-gistren cantidades como ellos crean conveniente: dibujos, marcas, letras o números, de manera que su registro pueda ser entendido por otros. Así se busca su evolución hacia la representación convencional, es decir, registrar cantidades. En el caso del nombre de los números, solamente es necesario introducir el nombre de los primeros de ellos, confor-me los alumnos lo van demandando.
En el caso del juego, con los dados vamos a jugar para resolver operaciones de suma o resta. Para ello, es necesario que hayan comprendido previamente algunas de las propie-dades del sistema de numeración decimal, tales como la ley de agrupamiento y desagru-pamiento y el valor posicional de las cifras.
Ejercicios:
1.- Diga a los alumnos cómo está formado el número:
1 3 8
Centenas 1 decenas 3 unidades 8
No olvidar que deben colocarse las fichas en el Tablero Pitagórico y que cada lugar en el sistema posicional tiene un valor diferente.
• Para alumnos de tercer grado en adelante, además de colocar con las fichas la cifra, considerando el lugar que ocupe, deben escribir en un cuaderno la notación desarrollada de los siguientes números:
3 9 3 8 = 3000 + 900 + 30 + 8
Recuerde que utilizamos el valor de posición cuando escribimos símbolos para repre-sentar número naturales. El valor aumenta en potencias de 10.
En los números, cada cifra tiene un valor de acuerdo con el lugar que ocupa. Siempre debe considerarse que un número se escribe y se lee de izquierda a de-recha.
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De esta manera, pueden realizarse varios ejercicios de práctica, quedando en la creati-vidad del maestro otras variantes.
2.- Una sugerencia para jugar con el sistema numérico del tablero del Triángulo Pi-tagórico: utilizar cuatro dados (que el maestro facilite); uno representa las unidades, otro las decenas, el siguiente las centenas y el último los millares de unidad. Tirar, primero, con dos dados; después, con tres y, por último, con los cuatro.
El maestro explica que la actividad consiste en que cuando el alumno tira los dados, deben escribirse los números en el pizarrón. Cada equi-po o alumno, según como se decida, represen-tará con las fichas dicho número en el tablero del material del Triángulo Pitagórico. Ganan los equipos o alumnos que logren representar el ma-yor número en forma correcta. Con las fichas de colores pueden asignarse valores incondicional-mente, de acuerdo con el criterio del maestro. Por ejemplo:
3.- Otro juego consiste en formar tres equi-pos de cuatro alumnos. Cada equipo esco-
ge un tablero para jugar, Cada integrante de un equipo lanza dos dados, suma o
resta los puntos y coloca en la casi-lla el número que sale después de
realizar la operación y representarlo como las unidades. Después, el si-
guiente alumno tira los dos dados, suma o resta los puntos, colo-ca en la casilla el número que representa las decenas, y así sucesivamente, hasta las unida-des de millar.
• Queda a criterio del maes-tro el método de evaluación en esta actividad.
Amarillo = 1000Verde = 100Rojo = 10Azul = 1
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4.- Representen con fichas en el Tablero Pitagórico los siguientes números:
• Escriban en su cuaderno los mismos números en notación desarrollada, como por ejemplo:
4 000 + 300 + 0 + 6
• Escriban en su cuaderno los mismos números y especifiquen los diferentes órdenes, como el ejemplo:
4 unidades de millar + 3 centenas + 0 decenas + 6 unidades
Considerar el grado escolar de los alumnos, desde el primer año de primaria con las unidades y decenas, y así sucesivamente con los demás grados de estudio.
Observación:
a) 4 3 0 6b) 8 7 9 2c) 5 3 7 9d) 5 8 1 0
Cálculo mental
Juego del Triángulo Pitagórico
Objetivos:
• Desarrollar habilidades prácticas de operaciones matemáticas básicas como suma, resta, multiplicación etc., por medio de la práctica del cálculo mental, en donde la coordinación ojo-mano juega un papel importante.• Comprender la interpretación geométrica, algebraica y aritmética del Teorema de Pitágoras.• Desarrollar la aplicación de la representación de unidades de millar, centenas, decenas y unidades del sistema numérico.• Aplicar de manera inmediata al trabajo real los aprendizajes adquiridos, cumpliendo con la característica de “aprender haciendo”.
Ejercicios:
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Integrantes:
• Todos los miembros del grupo participan, divididos en parejas, tríadas o equipos.• Disposición del grupo: en forma de círculo o semicírculo, para que todos observen la ejecución de la actividad. Recursos materiales:
• El material didáctico del Triángulo Pitagórico.• Hojas blancas tamaño carta y lápiz.
Introducción:
• Explique al grupo que aprenderán a manejar el material didáctico y a realizar una serie de pasos para ejecutar una actividad.
Desarrollo:
• Comprobarán que la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos de un triángulo rectángulo es igual al área del cuadrado construido sobre la hipote- nusa. Organice al grupo para que todos observen y escuchen.
1.- Empiece el ejercicio, colocando las medidas de los catetos y dejando la longitud de la hipotenusa. Después, realice el cálculo mental de las áreas del cuadrado de los catetos. De esa suma obtendremos el área cuadrado de la hipotenusa como resultado. Procedemos a embonar los cubos con las cantidades obtenidas de acuerdo con los cálculos mentales que realizaron los equipos de trabajo.
Ejemplo:
En cualquier triángulo rectángulo si a=3 y b=4 son las longitudes de los catetos enton-ces c=5 es la longitud de la hipotenusa.
• Considere los ejercicios de la segunda actividad, utilizando el material didáctico.
• Todos los miembros de grupo participan, divididos en parejas, tríadas o equipos para jugar con el Triángulo Pitagórico.
• Ejecute el procedimiento completo, explicando qué se hace y cómo se hace, a un ritmo menor que el empleado en la realidad, con el fin de facilitar la comprensión.
• Repita la ejecución cuantas veces sea necesario y practique con el ejemplo de esta guía.
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• Cuando termine la demostración, invite al grupo, de acuerdo con su decisión de trabajar, sea en parejas, tríadas o equipos, para comenzar el juego recreativo, pidién-doles como reto solucionar correctamente todos los ejercicios del material didáctico Triángulo Pitagórico, según sea su nivel académico.
• El equipo que resuelva todos los ejercicios de este material a la primera, ejecutando cálculo mental, será el equipo ganador del juego. También puede considerarse tiempo límite.
2.- Con las siguientes ternas de medidas de longitud del triángulo rectángulo, efectúen operaciones de cálculo mental, como en el ejemplo anterior:
a) 12b) 8c) 12d) 16e) 8f) 21g) 24h) 10
569121520724
13101520 17 292526
área= 42
área= 52
área= 32
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Reproducción a escala por altura, largo y ancho
1.- Con los cubos 1×1×1 del material didáctico de la Caja Pitagórica, realice las siguientes construcciones:
• Determinen la relación que existe entre las longitudes de dos figuras dadas a escala.• Al observar la construcción con los cubos 1×1×1, pida a los alumnos que reproduz-can a escala de 2 a 1. En el trazo y reproducción de esta construcción, utilicen regla y compás y anoten en el cuaderno. Quedaría como la muestra siguiente:
2.- Realice con los cubos 1×1×1 un rectángulo y pida a los alumnos que reproduzcan a escala 2 a 1, de la figura grande a la figura pequeña, como se muestra:
En conclusión, la figura pequeña es una reproducción a escala, 1 a 2, de la figura grande.
Ejercicios:
Construcción muestra Reproducción a escala 2:1 con respecto a la altura
Reproducción a escala 2:1 con respecto a lo largo y alto
Actividad 32.8
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3.- Realice las mismas observaciones con otros dibujos a escala. Como, por ejem-plo, un cuadrado y un triángulo su reproducción a escala podría ser 2:1 y 3:1. Dé la
respuesta.
• En los casos del cuadrado y triángulo, al realizar el ejercicio con los alumnos, se ob-serva que la razón entre el área de una reproducción y el área de la figura original es el cuadrado de la escala. En consecuencia, con una escala 2:1, la razón entre las áreas es 2² = 4; con una escala 3:1, la razón entre las áreas es 3² = 9. En las siguientes figuras se muestra un cuadrado y su reproducción a escala 2:1. Como
se observa, el cuadrado original cabe cuatro veces en la reproducción. Realice con las piezas del tangram o con los cubos 1×1×1 lo siguiente:
Si el cuadrado y el triangulo originales se amplifican tres veces, cada uno cabe nueve veces en la reproducción correspondiente. Con los cubos 1×1×1 y piezas del tangram, realicen lo que se muestra en las siguientes figuras.
Se comprueba que la proporción entre las áreas es el cuadrado de la proporción entre los lados. Esto sucede con todas las figuras a escala.
4.- Observen el dibujo a escala 1 a 10 de la fachada del salón de clase que les presente el maestro.
• Midan la altura de la puerta dibujada.• Midan la altura de la puerta del salón.• Comparen ambas medidas y observen que la altura de la puerta es 10 veces mayor que la altura representada en el dibujo.• Comparen otras longitudes reales del salón con las correspondientes del dibujo.
5.- Realicen otros ejercicios semejantes.
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Simetría
1.- Realicen con los cubos 1×1×1 del Triángulo Pitagórico la siguiente figura que tiene dos ejes de simetría:
2.- Recorten varias figuras de revistas y periódicos. Busquen los ejes de simetría de esas figuras y trácenlos. Pero cuidado: no todas las figuras son simétricas.
Ejercicios:
Preguntas:
• ¿Cuál es la figura con más ejes de simetría?• ¿Cuántos ejes tiene?• ¿Qué hacer para que las figuras sin ejes de simetríatengan un eje de simetría?
Actividad 41.6
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Medir ángulos utilizando el transportador
Esta actividad tiene como objetivo resolver problemas en los cuales los alumnos apliquen sus conocimientos sobre las medidas de los ángulos.
1.- Trace un segmento de recta y coloque un lápiz sobre el piso. Haga girar el lápiz sobre uno de sus extremos, asentándolo en el borde superior del cubo construido con 10 ta-bletas de 10×10×1. Coloque el transportador en la punta del lápiz para medir su ángulo (amplitud de cada giro).
2.- Realice otro giro con el lápiz sobre uno de sus extremos, asentándolo en el borde superior del cubo construido con 5 tabletas de 10×10×1. Coloque el transportador en la punta del lápiz para medir su ángulo (amplitud de cada giro).
3.- Mida diversos ángulos con diferentes cantidades de tabletas de 10×10×1, con la ayuda del transportador.
4.- Mida sus ángulos internos e indique la suma de dichos ángulos del triángulo.
Ejercicios:
Actividad 51.7
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Productos de factores iguales
Con las tabletas 2×2×1 realicen la siguiente actividad:
• Exprese en forma exponencial productos de factores iguales.
1.- Pida a los alumnos que observen los agrupamientos como 4 grupos de tabletas, cada grupo con 4 tabletas y cada tableta con 4 cubos 1×1×1.
2.- Represente la situación anterior con una multiplicación de factores iguales: 4×4×4.
• Pida a los alumnos que indiquen cuál es el total de cubos.• Realice otros ejercicios semejantes.
Comente con los alumnos el significado de cada uno de los términos de la expresión: 5³.
Llame exponente al número pequeño escrito en la parte superior dere-cha y que indica las veces que el otro número se repite como factor.
Ejercicios:
Pregunta:
• ¿Cómo calculan el total de cubos?
La multiplicación de factores iguales también puede re-presentarse en forma abreviada: 4×4×4 = 43
Observación:
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Perímetro y área del triángulo
Explique a los alumnos lo que significa la figura triángulo, cuántos lados y ángulos tiene. Dibújelo. Explique también cómo se obtiene, por medio de fórmulas, su perímetro y área. Realicen ejercicios de cálculos.
Los puntos de intersección son los vértices del triángulo A, B y C. Cada uno de los segmentos AB, BC y CA son los lados del triángulo, que normalmente se designan por una letra minúscula e igual a la del vértice opuesto; así, el lado AB se denomina c, ya que el vértice C es el opuesto a dicho lado. .
Los lados forman los ángulos interiores que se designan por las letras de los vértices o por minúsculas de los mismos. Por lo tanto un triángulo tiene 3 ángulos, 3 lados y 3 vértices.
Fórmulas de perímetro y área del triángulo
Perímetro:
Es la medida del contorno de una figura geométrica. Se representa con la letra P.
P = a + b + c A = (b) (h) 2
Área:
Es la medida de una superficie. Se representa con la letra A.
Actividad 7
Vértices: A, B, CSegmentos: AB, BC y CA Lados: c, a, y b, respectivamente
Ángulos: A, B, CNotación: ΔABC
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1.- Hallen el perímetro y el área de un triángulo cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 5 cm, respectivamente.
2.- Calculen las áreas y perímetros de los siguientes triángulos. Coloquen los resultados en la tabla.
• Calculen el perímetro de los triángulos con la fórmula P =a + b + c.
Ejercicios:
• Apliquen las siguientes fórmulas para perímetro y área:
P = a +b +c A = (b) (h) 2
Los resultados de este ejercicio son: P= 12 cm, A= 6 m²
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• Calculen el área de los triángulos, de acuerdo con la fórmula A= (b) (h) 2
Las respuestas se encuentran al final de este apartado.
Observación:
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Sucesiones numéricas
Con los cubos 1×1×1 del material didáctico, realicen construcciones de sucesiones de números, mediante cantidades de objetos dispuestos geométricamente. En este caso, la variación de un número implica la variación del otro. Por ejemplo, los triangulares son 1, 3, 6, 10, 15, porque se representan como los siguientes arreglos:
a) Números triangulares:
b) Números cuadrados:
c) Números pentagonales:
Ejercicio:
• Construye los arreglos de los siguientes tres nú-meros triangulares.
• Construye los arreglos de los siguientes tres nú-meros cuadrados.
• Construye los arreglos de los siguientes tres nú-meros pentagonales.
Pregunta:
• ¿Encuentras alguna relación entre los números triangulares, cuadrados y pentagonales?• Pida a los alumnos que observen y escriban las relaciones que encuentren.
Actividad 8
1 3 6 10 15
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Ejercicios:
Volumen
Se sabe que el volumen de un prisma es la cantidad de unidades cúbicas que caben en él. Un ejemplo de unidad cúbica es el centímetro cúbico, que se abrevia cm³ y es un volumen que tiene un cubo cuyos lados miden un centímetro.
• La fórmula para calcular el área de cada cara de un cubo es:
A = a²
• La fórmula para calcular el área total de las seis caras de un cubo es:
T = 6 x a² (unidades cuadradas)
• La fórmula para calcular el volumen de un cubo es:
V= a³ (unidades cúbicas).
1.- Construye las estructuras con los cubos 1×1×1 y las regletas de la Caja Pitagórica.2.- Calcula el área total y el volumen de un cubo que mide 5 cm en cada una de sus arista.
Respuesta: El área total del cubo es de 150 cm² y su volumen es de 125 cm³.
3.- ¿Cuál es el volumen del sólido B, considerando que la unidad de volumen es el sólido A?Constrúyelo con los cubos 1×1×1.
El volumen de un sólido se calcula determinando cuántas unidades de volumen o unidades cúbicas caben en él. Una unidad cúbica es un cubo de lado 1.
Observación:
Actividad 95.3
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Respuesta: El sólido A cabe 12 veces en el B. Por tanto, el volumen de B es 12 A, como se muestra en la figura.
4.- Calcula el volumen en cm³ del siguiente prisma. Constrúyelo con los cubos 1×1×1.
Respuesta:42 cm³.
5.- Actividades con prismas y cubos.
Construye el prisma con los cubos 1×1×1.
a) Construye el prisma de 3 cm de ancho, 8 cm de largo y 4 cm de alto.
b) Usando los cubos 1×1×1 de 1 cm³, formen los prismas que se indican.
• En su cuaderno dibujen la tabla que se muestra, para que la completen con los datos de cada prisma:
Preguntas:
• ¿Cuántos cubos de un centímetro cúbico se necesitan para formar otro prisma de las mismas dimensiones?• ¿Cuántos pisos tendrá?• ¿Cuántos centímetros cúbicos tendrá por piso?
Prismas
Volumen por capa
Número de capas
Volumen total en cm3
A
1
7
7
B
10
2
20
C
4
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40
D
24
3
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Preguntas:
• ¿Cuáles son las medidas del rectángulo de la base del prisma B?• ¿Cuál es su área?• Multiplicando por la altura del prisma su resultado es:• ¿Cuál es el área de la base del prisma E?• Multiplicando por la altura del prisma su resultado es:• ¿Coincide este resultado con algún número de la tabla que realizó el alumno?
Respuestas
Actividad 2
Actividad 7
1.- a) P = 15cm b) P= 19dm c) P= 17mm d) P= 21hm e) P = 9.5cm
2.- a) A = 40cm² b) A = 42m² c) A = 42mm² d) A = 300dm² e) A = 63mm2
a) b)c)d)e)f )g) h)
169 cubos =100 cubos =225 cubos =400 cubos =289 cubos =841 cubos =625 cubos =676 cubos =
144 cubos64 cubos144 cubos256 cubos64 cubos441 cubos576 cubos100 cubos
+ 25 cubos + 36 cubos+ 81 cubos+ 144 cubos+ 225 cubos+ 400 cubos+ 49 cubos + 576 cubos
c² + a² + b²
Hipotenusa = Catetos
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El cuadrado
mágicoIntroducción
Las matemáticas son el resultado del quehacer humano. El desarrollo de esta disciplina se ha debido al intento de resolver problemas concretos. Los alumnos de sexto grado po-seen una preparación más sólida, pues han desarrollado y reforzado habilidades matemá-ticas. Esto les facilita la construcción de nuevos conocimientos matemáticos, a partir de experiencias concretas. El éxito en su aprendizaje ha descansado en el diseño de activida-des que promueven la construcción de conceptos a partir de dichas experiencias, donde utilizan los conocimientos previamente adquiridos. En estas actividades, las matemáticas son funcionales y flexibles, de forma tal que les permitan resolver los problemas que se les planteen, claro está, utilizando dichos conocimientos.
El alumno debe concluir, a partir de estas experiencias de aprendizaje, que las mate-máticas le permiten resolver problemas diversos, tanto de naturaleza científica, técnica y artística como de la vida cotidiana.
El contar con las habilidades, conocimientos y formas de expresión que la escuela proporciona permite la comunicación y comprensión de la información matemática pre-sentada a través de medios de distinta índole.
Antecedentes
Una de las actividades recreativas de gran importancia en el proceso de aprendizaje de los alumnos de sexto grado corresponde al conocido como cuadrado mágico. El alumno podría considerar este pasatiempo como muy visto. Sin embargo podrá concluir, después de desarrollar las actividades descritas a continuación, que sigue siendo muy flexible, al involucrar en su solución a los números naturales y racionales (expresados como cociente de enteros o expresados en forma decimal) y permitirle reforzar las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división, además de abordar los conceptos de múltiplos, series numéricas, etcétera
En el famoso cuadro Melancolía, del pintor alemán Albrecth Dürer, aparece el dibujo de un cuadrado mágico. Un cuadrado mágico está constituido por números dispuestos de tal forma que al ser sumados en renglones, columnas o diagonales dan el mismo resultado. En la siguiente figura se ilustra el grabado donde aparece el cuadrado mág ico hallado por el artista alemán.
Este cuadrado satisface que la suma de las cantidades localizadas en las casillas centrales es 34. Dürer logró además introducir en las colum-nas centrales del renglón localizado en la parte inferior el año 1514 (año de realización del cuadro). Grandes matemáticos, como Euler y Cayley, des-cubrieron que eran entretenidos e interesantes para ser estudiados. El propio Benjamin Franklin creó uno, conocido como el cuadrado mágico perfecto
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(más adelante se ilustra). Por cier-to, Euler construyó un cuadrado mágico para un caballo (ilustrado también más adelante).
Estudiar el cuadrado mágico permite reforzar los métodos de conteo e involucra aspectos que conciernen a la manipulación de objetos de cierta naturaleza (no-ciones de conjuntos), siendo en este caso números y la combina-ción de los mismos para obtener el resultado deseado.
Posiblemente, este es uno de los juegos matemáticos más utilizados por los maestros para involucrar a los alumnos en la operación básica de la suma, pero a lo largo de la dis-cusión podremos concluir que puede utilizarse también en la solución de las operaciones de resta, multiplicación y división. Podemos encontrar en la literatura un sinfín de infor-mación acerca de este interesante juego que tiene como objetivo familiarizar al lector con algunas técnicas para la resolución de ciertos tipos de cuadrados mágicos. Nos interesa inducir algunos procedimientos que permitan al maestro darle un mayor alcance al cua-drado mágico en cuanto a la utilidad, así como usar algunos procedimientos elementales para observar que la aplicación del mismo tiene tal alcance.
Las actividades están diseñadas para implementarse en sexto grado, ya que permiten reforzar significativamente las operaciones de suma y resta con números naturales de hasta seis cifras. Es decir, utilizamos desde unidades hasta centenas de millar. Además se involucran las operaciones de multiplicación con números terminados en ceros, la cons-trucción de series numéricas y la operación de división. Asimismo, ponemos en práctica métodos de razonamiento que involucran combinaciones de operaciones y permiten la obtención de una solución, utilizando números naturales, racionales y decimales (éstos, asociados en algunos casos con números racionales, se consideran números decimales
Melancolía, del pintor alemánAlbrecht Dürer.
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con expansiones decimales finitas; en el caso de infinitas, éstas son periódicas).Debido a la naturaleza del cuadrado mágico, éste nos permite abordar los siguientes
aspectos de manera muy general:• Estudio de los números naturales o enteros positivos, la relación de orden, leyes de
tricotomía, valor posicional, localización en la recta numérica, sucesor y antecesor.• Reforzamiento de los métodos de conteo (sumas y restas), las propiedades asociativas
y conmutativas en los números, así como estímulo del cálculo mental.• Reforzamiento de los conceptos de horizontal, vertical y perpendicular, relacionados
con los conceptos de renglón y columna en una matriz, así como introducción del con-cepto de diagonal.
• Introducción de los conceptos de sucesión, serie, matriz cuadrada, diagonal, sistema de referencia.
• Estímulo del razonamiento matemático.
Lo anterior considera aspectos muy generales, los cuales pueden inducirse de manera adecuada en sexto grado, teniendo en consideración que, en muchas ocasiones, la imple-mentación de conceptos es de forma implícita y no explícita, pues en muchos casos no es necesario conocer de manera formal un concepto matemático, sino sólo familiarizarse con él o intuirlo para poder utilizarlo (relación número-operaciones). Por ejemplo, los tableros incluidos en el material didáctico pueden permitir la introducción del concepto de matriz (haciendo énfasis en el alumno que la figura representa en particular a este ente matemático) o simplemente llamado tablero. Este permite manejar conceptos como reglones o columnas, horizontales, verticales, perpendicularidad y diagonales, así como diferenciar los conceptos de vertical y perpendicularidad. Por ejemplo, si es vertical es per-pendicular y el reciproco no es cierto; para ello basta poner el tablero en posición vertical y perpendicular (con respecto a) para observar la diferencia. El tablero permite además utilizar un sistema de referencia (posición) para diferenciar que un objeto y otro están colocados en distintos lugares o en el mismo (como en el ajedrez).
Utilizamos el cuadrado mágico para obtener las sumas de cierto tipo de series de núme-ros y abordamos la generalización del cuadrado mágico de 3×3. Este mismo permite dis-cutir un procedimiento aplicable para el caso del cuadrado mágico de 4×4 (muy laborioso) y el general. En el caso del cuadrado de 3×3, el método permite hallar la generalización de este cuadrado con las restricciones que involucran al mismo; a su vez, aplicando este mé-todo, podemos concluir por qué no existe un cuadrado mágico de tamaño 2×2, cuya so-lución no sea la trivial. Podemos dar respuesta asimismo a preguntas como, por ejemplo: si utilizamos los primeros nueve números naturales ¿por qué en el cuadrado mágico de 3×3 la suma debe ser 15? Justificamos además ¿por qué en el cuadrado mágico de tamaño 4×4, la suma debe ser 34, si utilizamos los primeros 16 números naturales en su solución? o ¿por qué, en el caso del cuadrado mágico de tamaño 8 ×8, si utilizamos los primeros 64 números naturales, la suma debe ser 260?; Finalmente, podemos garantizar que cualquier cuadrado mágico admite siempre una solución (conclusión obtenida a partir de un método algebraico elemen-tal, aquí hacemos referencia a la conclusión y no al procedimiento, el cual es realmente laborioso).
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Cuadrado mágico, el juego clásico
Describimos el problema más clásico del cuadrado mágico, el cual corresponde a la siguiente situación: considere los números del 1 al 9, utilizando la matriz cuadrada de ta-
maño 3×3, como se muestra en la figura. La intención es colocar los números de tal forma que al realizar la suma en las direcciones horizontal, perpendicular (renglones, columnas) y en ambas diagonales, el resultado sea 15. Puede verificarse que una solución es:
La pregunta natural que surge es: ¿cuántos cuadrados mágicos hay? En caso de consi-derar que los valores que pueden utilizarse son números reales, la respuesta es: una infini-dad. El siguiente método permite hallar tales cuadrados mágicos.
A continuación, discutimos un método de solución general para el cuadrado mágico de tamaño 3×3, pero debemos hacer hincapié en que esta discusión es exclusiva para el maestro, con la intención de que él pueda construir cualquier cuadrado mágico de dicho tamaño. El método utilizado hace uso de la aplicación de sistemas de ecuaciones lineales (tema que se aborda en secundaria, inicialmente en un sistema de una ecuación en una in-cógnita, para finalmente estudiar un sistema de dos ecuaciones en dos incógnitas; además se abordan algunos métodos de solución) y del método de eliminación que se aplica en la solución de un sistema de dos ecuaciones en dos incógnitas. El método de eliminación puede generalizarse para la resolución de sistemas de n ecuaciones lineales en m incóg-nitas. Este método generalizado recibe el nombre de método de eliminación gaussiana (puede consultarse en cualquier libro de álgebra lineal). Este método es, sin duda, el más poderoso para resolver sistemas de ecuaciones lineales, además su implementación com-putacional es la más eficiente.
Más adelante podemos garantizar que, además, esta solución es única, salvo ro-taciones y reflexiones.
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Consideramos el cuadrado mágico de 3×3, pero suponemos que se desea encontrar una colección de nueve números consecutivos, de tal forma que cumpla la condición es-tipulada para el cuadrado mágico (la diferencia o distancia entre dos consecutivos siempre es 1) y se satisfaga además que su suma sea n. Tenemos la siguiente situación:
Sean a, b, c, d, e, f, g, h, i los números reales (no se especifica su orden) distribuidos como lo muestra la siguiente figura:
Más aún, tales números hacen del cuadrado anterior un cuadrado mágico para el valor n. La situación planteada se describe matemáticamente por el siguiente sistema de ecua-ciones lineales (este planteamiento es un modelo matemático lineal):
Obtenemos así un sistema de 8 ecuaciones en 9 incógnitas. La teoría que refiere este tipo particular de sistema de ecuaciones, es decir con estas características, garantiza que el sistema admite una infinidad de soluciones. De ello concluimos que hay una infinidad de cuadrados mágicos. Aplicando el método de elimina-ción gaussiana a la matriz que describe el sistema y llevando la solución a la forma escalonada reducida, la solución del mismo queda descrita por el siguiente sistema de ecuaciones:
a + b + c = nd + e + f = ng + h + i = na + d + g = nb + e + h = nc + f + i = na + e + i = nc + e + g = n
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Sistema de ecuaciones 2
Observamos que la solución general involucra, salvo la solución de la variable e, dos valores independientes, a saber h e i si asignamos a n el valor de 15 y tomamos h=7 e i=2, hallamos la solución descrita para el cuadrado mágico, que se muestra al inicio de la dis-cusión de esta sección. Podemos además tomar los valores de h=1 e i=6 y mantenemos n=15. Obtenemos una segunda solución, la cual resulta ser equivalente a la obtenida con los valores anteriormente asignados a h e i. Éstas dos sustituciones nos permiten tener como espacio de solución para el cuadrado mágico los números del 1 al 9, además las sustituciones h=9, i=4; h=3, i=8; h=2, i=2; h=7, i=6; h=1, i=8; h=3, i=4; y mantenemos n=15 el espacio de solución son los números del 1 al 9, es decir, si nosotros asignamos valores distintos a h e i de éstos y mantenemos el valor de n=15, obtendremos otras solu-ciones, pero con la diferencia de que ya no se tiene como espacio de solución de éste los números del 1 al 9.
Estamos ahora en posibilidad de justificar la siguiente pregunta: ¿por qué la suma debe ser 15? Sumemos las tres primeras ecuaciones del sistema anterior de ecuaciones. Obte-nemos:
a + b + c + d + e + f + g + h + i = 3n
Sistema de ecuaciones 3
Si los valores a tomar por las variables a, b, c, d, e, f, g, h, i deben ser uno y sólo uno de los elementos del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, entonces el lado izquierdo de la igualdad nos pide hallar la suma (no están ordenados, pero recordemos que la suma es conmuta-tiva) de los primeros nueve números naturales. Un simple cálculo muestra que la suma obtenida es 45. Luego de la ecuación anterior obtenemos que n=15.
La solución del sistema permite implementar el siguiente procedimiento (que aplicare-mos en los ejercicios):
• Ordene la sucesión de los nueve números consecutivos en forma ascendente, es decir:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
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• Subdividamos los números en bloques de tres, de tal forma que la suma de cada bloque debe ser 15. Obtenemos así lo siguientes dos casos:
1 + 5 + 9 = 15 3 + 5 + 7 = 15 a) 2 + 6 + 7 = 15 b) 2 + 9 + 4 = 15 3 + 4 + 8 = 15 1 + 6 + 8 = 15
Podemos además señalar que no es posible hallar otras combinaciones diferentes de las dos anteriores que satisfagan las condiciones pedidas. Estas combinaciones indican todo el espacio de soluciones para este caso. Tenemos que la quinta ecuación del sistema 3 nos indica que la combinación 1 + 5 + 9 ó 3 + 5 + 7 debe colocarse en la segunda fila del cuadrado mágico. A partir de esto, obtenemos la solución y podemos observar que ambas son la misma (es única salvo rotaciones y reflexiones) y coinciden con la presen-tada al inicio de esta sección.
Podemos concluir, además, que si nosotros consideramos a n=15 en el sistema de ecuaciones y a las variables h e i les asignamos cualesquiera otros valores, obtenemos diferentes soluciones para cada pareja de números que se den. Por ejemplo si h=8 e i=6, puede verificarse que el cuadrado correspondiente es:
Este ejemplo nos muestra que el espacio de soluciones de un cuadrado mágico no se restringe al conjunto de los números naturales. Este último cuadrado nos muestra el número 0 (cero), el cual recibe el nombre de la identidad aditiva.
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Aplicaciones
Analizaremos casos particulares que nos permitan trabajar con números natu-rales o enteros positivos. Sin embargo, con lo anteriormente discutido, el espacio de
ejemplos es infinito.Un sencillo planteamiento basado en el análisis anterior nos permite concluir por qué
no es posible obtener un cuadrado mágico de tamaño 2×2 (se excluye en este y en todos los casos de cuadrados mágicos la solución llamada solución trivial, y se concluye que en el caso del cuadrado 2×2 , la única solución es la trivial y por eso no existe interés en estudiarlo, por ejemplo, para el caso del cuadrado mágico de 3×3 la solución trivial para n=15 corresponde a que todas las variables sean iguales a 5).
Los ejercicios que a continuación se enlistan están expuestos en forma gradual, con la intención de que los alumnos se familiaricen con el cuadrado mágico.
Observación:
Ejercicio 1
En este caso el ejemplo puede aplicarse a los alumnos de todos los niveles. Considere las siguientes fichas:
Solicite al alumno que tome los primeros nueve números naturales. Una vez realizado esto, pídale que los ordene en forma ascendente o descendente. En este punto, aprenderá a diferenciar los números entre sí y a establecer la relación de orden entre ellos, como lo muestra la siguiente figura.
Ejercicios:
Actividad 105.1
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Solicítele que obtenga, de ser posible, la suma de ellos; si no, basta con que los separe en grupos de 3 fichas, de tal manera que al sumar cada bloque el resultado sea 15 (aplica-ción de cálculo metal). Después, indíquele que coloque las fichas del bloque de izquierda a derecha o de derecha a izquierda (utilizamos las dos soluciones del cuadrado mágico). Luego, pídale que coloque los bloques de arriba hacia abajo o viceversa (debemos indi-carle un número en el bloque, para que lo tome como referencia y pueda efectuar lo que se le solicita). Enseguida, debe colocarlos en el cuadrado, respetando el orden considera-do previamente. Finalmente, consideren todas las combinaciones de sumas que determi-na al cuadrado mágico. En este punto apliquen cálculo mental. La siguiente figura ilustra una solución equivalente a la mostrada al inicio de la sección:
El alumno de sexto grado observa así el uso de orden en una serie numérica, los conceptos de antecesor y sucesor, valor posicional y construcción de una serie numérica (sucesión de los naturales).
Además se utiliza de forma natural la multiplicación de cantidades con números terminados en ceros.
Puede realizarse la siguiente modificación: considere que los dígitos asociados describen decenas, centenas, unidades de millar, decenas de millar o centenas de millar; obtendríamos cuadrados mágicos para decenas, centenas, unidades de millar, decenas de millar y centenas de millar, respectivamente. Es decir, obtendríamos cua-drados mágicos cuya sumas serían igual a: 15 decenas, equivalentes a 150 unidades; 15 centenas, equivalentes a 1500 unidades; 15 unidades de millar, equivalentes a 15 000 unidades; 15 decenas de millar, equivalentes a 150 unidades de millar o 150 000 unidades, y así sucesivamente.
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Ejercicio 2
Solicite al alumno que le proporcione un número múltiplo de tres (o divisible entre tres) mayor que 15 y menor o igual a 39. Una vez proporcionado el número, en caso
de ser posible, obtenga el resultado de dividir al mismo entre 3 para obtener n (o indique el número a considerar). Dado el número, pídale que extraiga del grupo de las 25 fichas los cuatros números consecutivos anteriores a él (el antecesor de éste, el antecesor del antecesor de éste, y así sucesivamente) y los cuatro siguientes consecutivos a él (el sucesor de éste, el sucesor del sucesor de éste, y así sucesivamente).
Ahora separen los números en bloques de tres, de tal forma que la suma de cada uno de ellos dé cómo resultado el valor previamente hallado. Solicite finalmente el cuadrado mágico correspondiente.
En este ejercicio, seguimos trabajando con enteros positivos y aplicando el concepto de serie numérica. Más aún, podemos iniciar el estudio de una serie aritmética.
Puede plantear como ejercicio adicional el siguiente: considere las fichas de la 1 a la 17 y pregunte a los estudiantes por qué bajo la condición de ser el número solicitado múl-tiplo de tres y tomando en consideración las 17 fichas (bajo las restricciones de nuestro cuadrado mágico), el espacio de solución únicamente nos permiten obtener 9 cuadrados mágicos diferentes con estas fichas que satisfagan la condición solicitada (restricción).
Veamos un ejemplo: Para n = 21, obtenemos el valor de 7. Luego las fichas requeridas son:
El cuadrado mágico correspondiente es:
Puede aplicarse aquí la implementación discutida en el ejemplo 1, es decir, utili-zando decenas, centenas o unidades de millar, asociadas a los números naturales obtenidos, estaremos aplicando el concepto de serie aritmética (se incrementa en términos de decenas, centenas o unidades de millar, según sea el caso) e involu-crando además el concepto de múltiplo de 10, 100 y 1000, equivalentemente la multiplicación por cantidades terminadas en ceros.
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Ejercicio 3
Obtengan el cuadrado mágico cuya suma sea 27 unidades (decenas, centenas, unidades de millar o decenas de millar) y que los números que lo conforman sean 9 naturales con-secutivos. Obtengan un cuadrado mágico con la misma condición, pero sin la restricción de que los números sean 9 enteros consecutivos. Proporcione los números considerados en el cuadrado mágico y solicite que construyan el cuadrado mágico correspondiente. Puede verificar que si en el sistema de ecuaciones anterior, reemplazamos h e i, para 5 y 7, respectivamente, obtendremos los restantes valores que involucran la solución que mostramos a continuación:
Para los casos siguientes, analice los valores asignados a h e i. Obtenemos los cuadrados mágicos de 48 y 51, como se muestran a continuación:
Ahora, si sustituimos los valores de h e i correspondientes en la solución descrita por el sistema de ecuaciones 2, obtenemos las soluciones descritas previamente, además de que estas soluciones describen series aritméticas.
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Realicemos finalmente sobre el cuadrado mágico clásico las siguientes modifica-ciones, motivadas por lo antes discutido. Nuestro cuadrado mágico a considerar es:
Indique al alumno que sume a cada ficha el número 5, sustituyéndolo posteriormente por la ficha correspondiente al resultado de esta operación y respete la ubicación de ésta en la anterior disposición. Obtenemos así lo siguiente:
Claramente observamos que este es de nuevo un cuadrado mágico. Esto, a su vez, nos sugiere la implementación con respecto a multiplicaciones y sumas.
En esta actividad, el maestro debe tener en consideración que las soluciones a los cua-drados mágicos deben involucrar únicamente números naturales. Por esa razón se reco-mienda al maestro realizar los cálculos correspondientes para que esto ocurra, y además, facilitar los números que se utilizarán en cada una de estas actividades.
Las operaciones que realizamos con los cuadrados mágicos, es decir, sumas, restas, multiplicaciones, son aplicables a un ente matemático llamado matriz (recuerde que un cuadrado mágico puede verse como un arreglo matricial de n renglones y n columnas).
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Ejercicio 4
Estudiaremos ejemplos diversos que utilizan números fraccionarios en la construcción del cuadrado mágico. En el caso de este material didáctico se incluyen fichas con de-nominadores 2, 3 y 4. Sin embargo, el maestro puede anexar fichas con distintos deno-minadores, según convenga, para presentar algún tema en particular. Recordemos que estamos introduciendo una restricción en la construcción de cuadros mágicos, y es que entre los elementos de la sucesión numérica la diferencia (o distancia) entre dos números consecutivos es 1 (serie aritmética). No obstante, en los ejercicios que se proponen más adelante ya no hay restricciones. En esta aplicación consideraremos cantidades fracciona-rias (propias e impropias) con el mismo denominador común para operar sumas y restas. En el caso de fracciones con diferente denominador, haremos uso del mínimo común múltiplo.
Tome el grupo de fichas que corresponden a fracciones, pida que extraigan todas las fichas con denominador 2 y que sean mayores o iguales a 1/2 y menores o iguales a 17/2 y que las ordenen en forma ascendente o descendente. Por ejemplo, la disposición ascendente es:
Solicite, por ejemplo, que determinen la distancia o diferencia del primer y último término, entre términos consecutivos. Posteriormente, solicite que realicen la suma de todos estos términos. El alumno, al observar que todas las cantidades poseen el mismo denominador, puede concluir que para hallar tal suma el problema se reduce a obtener la suma de los numeradores, quedando así:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 81
equivalentemente:
1/2 + 3/2 + 5/2 + 7/2 + 9/2 + 11/2 + 13/2 + 15/2 + 17/2 = 81/2
Se observa que en una de las expresiones anteriores estamos obtenien-do la suma de los primeros nueve números impares (obtenemos así un ejemplo de serie aritmética, en donde la diferencia entre dos términos consecutivos es 2). Solicite que escriban el término general de la serie numérica). Indique que obtengan un cuadrado mágico cuya suma sea 27/2, y pida que justifiquen esto.
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Compare este cuadrado mágico con el cuadrado mágico para n=27. Para ello considere la tabla del dos.
Los conocimientos adquiridos por los alumnos en curso previos acerca del cuadrado mágico, permiten obtener el siguiente:
Discuta con los alumnos cómo pueden construir el cuadrado mágico anterior (la dis-
cusión del mismo se ha desarrollado en la guía de cuarto grado)
Pregunta:
• ¿Existe alguna similitud entre los cuadrados mágicos? Justifique su respuesta.
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Ejercicio 5
Consideremos nuevamente el cuadrado mágico clásico:
Sume entrada a entrada el cuadrado mágico, pero considere la siguiente modificación: un cuadrado mágico representa unidades y el otro representa decenas. Entonces el cua-drado mágico que se obtiene es el siguiente:
Ahora sume al mismo 5 centenas en cada entrada. Describa cuál es el cuadrado mági-co que se obtiene.
Considere ahora la siguiente modificación, motivada por lo discutido en el ejercicio 4: cuando uno aborda operaciones con números decimales, debe tomar en cuenta los siguientes dos aspectos: la notación utilizada para escribirlos y cómo nos referimos a ellos para mencionarlos o nombrarlos. Por ejemplo, al expresar 8 décimos nos referimos a la notación matemática 0.8, si decimos 8 centésimos su notación matemática es 0.08. Esto nos facilita el uso del cuadrado mágico al aplicarlo a la suma de números decimales. Así podemos mencionar que en el cuadrado mágico se representan centési-mos.
Es decir, tenemos 13 centésimos, 8 centésimos, 9 centésimos y así sucesivamente, y podemos sumar a otro cuadrado mágico, por ejemplo el clásico, y que éste represente décimos. Sumamos ambos sólo toman-do en consideración cómo debe realizar la suma, y utilizando el lenguaje correcto para referirnos a ello. A su vez, trabajamos con la división entre 10, 100, y así sucesivamente.
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El cuadrado mágico de 4 x 4
Al inicio de la sección, mencionamos un cuadrado mágico plasmado por el pintor alemán Dürer. Trabajaremos sobre él para obtener algunos ejemplos de cuadrados
mágicos, aplicando las operaciones utilizadas en lo discutido previamente, como son sumas, restas, multiplicaciones y divisiones.
Sin embargo, ilustraremos parte de la dificultad (laborioso) de intentar obtener una solución general para este caso, pues si consideramos el cuadrado mágico de 4×4, obte-nemos un sistema de al menos 10 ecuaciones en 16 incógnitas. Tal situación se ilustra a continuación:
Deseamos que el anterior arreglo cuadrangular satisfaga las condiciones de un cuadra-do mágico. Obtenemos así el siguiente sistema de ecuaciones:
a + b + c + d = t e + f + g + h = t i + j + k + l = tm + n + o + p = ta + e + i + m = t b + f + j + n = tc + g + k + o = td + h + l + p = ta + f + k + p = t d + g + j + m = t
Sistema de ecuaciones 4
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Consideremos que, por ejemplo, el cuadrado mágico mostrado al inicio de esta discu-sión satisface además las siguientes ecuaciones (el cuadrado mágico construido por Dürer adiciona al menos las siguientes condiciones: los cuatro términos del interior del cuadrado mágico y los cuatro términos de las esquinas suman, respectivamente, 34; los términos 3, 2, 15 y 14, así como 5, 9, 8 y 12, suman también respectivamente, 34. Esto adiciona cuatro ecuaciones más al sistema inicial, y aún con éstas, el sistema tiene una infinidad de soluciones):
Esto implica que el sistema sería ahora de 14 ecuaciones en 16 incógnitas (aun así, el sistema admite soluciones no triviales). Es fácil observar que, cuando intentamos aplicar el método de eliminación gaussiana, aun aplicando notación matricial, requerimos un número considerable de operaciones elementales para poder llevar a la matriz del sistema a su forma escalonada reducida (la matriz de coeficientes aumentada para el sistema de 10 ecuaciones en 16 incógnitas es de tamaño 10×17) y requerimos para el mismo la utilización de un pro-grama numérico, aunque el maestro puede consultar algún texto de álgebra lineal y estudiar el método con mayor detalle, paciencia y tiempo para resolver el sistema.
En este punto, retomamos la mención de lo dificultoso que es resolver un cuadrado mágico de tamaño m×m, con m un número natural mayor a tres. Puede ser que el alumno cuestione la importancia de una generalización de esta naturaleza. Debemos indicarle que el interés reside en la implementación y estudio de diversos métodos utilizados para resolver problemas de esta naturaleza, y que los mismos tienen aplicación en diversos campos de estudio.
Sin embargo, podemos dar respuesta a otro tipo de preguntas que implican a este cuadrado mágico. Por ejemplo, por qué al utilizar los 16 primeros números naturales, el cuadrado mágico debe satisfacer la condición de que la suma deba ser 34. Para ello basta considerar que al obtener la suma de los primeros 16 números naturales, obtenemos:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 136
Pero el sistema de ecuaciones nos indica que las primeras cuatro ecuaciones del mismo coinciden con la suma de los primeros 16 números naturales. Luego debemos dividir al 136 entre 4, obteniendo que la suma es 34 (podemos concluir así que para un cuadrado de 5×5, si consideramos a los 25 primeros números naturales, la suma en el cuadrado má-gico es 65; para un cuadrado de 6×6, si se consideran los 36 primeros números naturales, la suma es 111, y así sucesivamente).
f + g + j + k = ta + d + m + p = tb + c + n + o = te + i + h + l = t
Los ejercicios de la siguiente sección tienen como objetivo aplicar las operaciones de suma, resta, división o multiplicación al cuadrado mágico de Dürer. Para obtener otros se sugieren ejercicios para el cuadrado mágico de 3×3.
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Ejercicios:
Ejercicio 1
Obtenga los cuadrados mágicos de tamaño 3×3 para los valores de n=18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, considerando que deben utilizarse para su construcción nueve enteros conse-cutivos. ¿Puede construir el cuadrado mágico correspondiente para n=9 que cumpla con las restricciones?
Divida los cuadrados mágicos entre 10, 100 y 1000 y obtenga las soluciones correspon-dientes, utilizando números fraccionarios. Distinga las fracciones. Considere otros ejem-plos con diferente denominador, utilizando los sistemas de ecuaciones para construirlos.
Ejercicio 2
Obtenga los cuadrados mágicos de tamaño 3×3, para los valores de n=21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, utilizando para su construcción valores de h e i que el maestro proponga y el sistema de solución descrito por el sistema de ecuaciones 2. Debemos considerar que las soluciones involucren únicamente números naturales.
Ejercicio 3
Obtenga tres cuadrado mágico distintos para n=21, 24, 39.
Ejercicio 4
Obtenga, a partir del cuadrado mágico de tamaño 4×4, cuadrados mágicos para los va-lores siguientes
{102, 210, 340, 480, 540}
Recuerde que puede implementar de manera natural lo discutido para el cuadrado de 3×3, es decir puede sumar, restar, multiplicar, según sea el caso. Más aún, puede aplicar combinaciones de operaciones al cuadrado mágico, aunque se recomienda se haga una a la vez.
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Actividad 111.4
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Ejercicio 5
En el cuadrado mágico de tamaño 8×8, si utilizamos los primeros 64 números naturales, cuál es el valor de n.
Ejercicio 6
Halle la suma de los primeros 100 números naturales.
Ejercicio 7
Construyan dos cuadrados mágicos distintos, colocando uno seguido del otro o incluso uno sobre el otro, de tal forma que las fichas que estén una sobre la otra sumen o resten (se indica sólo una operación que debe ser la misma para todas las demás fichas). El alumno obtiene como resultado un cuadrado mágico.
Ejercicio 8
Generalice el resultado anterior a m cuadrados mágicos (todos obviamente del mismo tamaño).
Ejercicio 9
El maestro debe construir diversos cuadrados mágicos, para utilizarlos con sus alumnos. La dificultad de los mismos debe ser en función de su nivel de enseñanza.
Ejercicio 10
Dé un ejemplo de un cuadrado mágico de tamaño 2×2, tal que su suma sea 16.
Ejercicio 11
Dé un ejemplo de un cuadrado mágico, donde un valor se repita al menos2 veces en el mismo.
Ejercicio 12
Utilizando el cuadrado mágico clásico, considere 9 números que de-ban satisfacer la condición de determinar un cuadrado mágico. Colóque-
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los en forma ascendente y haga lo mismo con los números del 1 al 9. Con ambos juegos de fichas forme dos líneas respetando el orden indicado en los números
(ascendente), reemplace la posición del número 1 en el cuadrado clásico, por el nú-mero que se localiza por debajo (o arriba) de él en la otra línea. Realice lo mismo con
la posición de la ficha 2, y así sucesivamente, hasta completar la operación con los nueve números. ¿El cuadrado obtenido después de realizar este proceso es mágico?
Ejercicio 13
Aplique lo anteriormente discutido al cuadrado mágico de 4×4, y obtendrá que el cuadra-do correspondiente es mágico.
Ejercicio 14
Complete los siguientes arreglos de números y obtenga las sumas en las direcciones ho-rizontales, verticales y diagonales.
Ejercicio 15
Obtenga las sumas de los siguientes arreglos (puede considerar unidades, decenas o cen-tenas), ya sea horizontal, vertical o diagonalmente. Extraiga los números localizados en diversas posiciones y ordénelos.
Ejercicio 16
Utilice decenas, centenas, unidades y decenas de millar para construir cuadrados mágicos.
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Benjamin Franklin1 no resistió la tentación de involucrarse con los cuadrados mágicos, y construyó uno lleno de trucos (aquí mismo se muestra). Utilizó en su construcción los primeros 64 números naturales. Sabemos que debe satisfacer que cada fila suma 260 y deteniéndose a la mitad de cada una da 130. Trazando una línea diagonal de puntos se obtienen 260. Las cuatro esquinas más los cuatro números de en medio suman 260. La suma de cuatro casillas (cuadrado de tamaño 2×2) es 130, así como la suma de cuatro números cualesquiera equidistantes diametralmente del centro.
1 Formó parte del comité designado para redactar la Declaración de Independencia de los Estados Unidos de América, junto con Thomas Jefferson y John Adams.
El cuadrado perfecto
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El cuadrado del caballo
Leonhard Euler es considerado uno de los matemáticos más influyentes y prolíferos de todos los tiempos. Él construyó el cuadrado de tamaño 8×8, el cual se muestra arriba y que utiliza los primeros 64 números naturales. Con base en lo previamente discutido, no es difícil concluir que en este cuadrado mágico la suma es 260.
Este cuadrado mágico tiene además la siguiente característica: al detenerse a la mitad de una fila horizontal el resultado de la suma es 130. Pero lo más intrigante es que un caballo de ajedrez que empieza sus movimientos (líneas negras) desde la casilla 1, puede pasar por las 64 casillas (sin repetición) en orden numérico.
Puede utilizar este cuadrado para implementar un ejercicio de memorización. ¡Inténtelo!
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2 Aplicación del concepto distancia-tiempo.3 Únicamente se considera la distancia en un plano o en el espacio.4 Nos referimos a que podemos trabajar con el Teorema de Pitágoras sin referirnos a él por su nombre.
Pitágoras
sin palabrasUna de las motivaciones para iniciar el estudio del Teorema de Pitágoras en la instrucción primaria, descansa en su utilidad en actividades de uso cotidiano, en una de las aplicacio-nes indirectas de dicho teorema. Para ello mencionemos la siguiente situación (los demás casos se adaptan a una situación como la que se plantea a continuación): coloquemos a un niño que ya camina sin dificultad en la esquina de una habitación rectangular, y en el lado diametralmente opuesto, un regalo (sobre la diagonal del rectángulo). Le pedimos al menor que vaya por el regalo. Si repetimos varias veces este experimento, podremos ob-servar que, la mayoría de las veces, la trayectoria que aproximadamente sigue (salvo casos excepcionales) es la que describe la diagonal. Inconscientemente el niño hace uso, de ma-nera implícita, de una de las consecuencias del Teorema de Pitágoras, a saber, la que expresa “la distancia más corta entre dos puntos en un plano es una línea recta”. Podríamos re-producir la situación en otros niños y más aún en otro tipo de seres vivos. Por ejemplo, si utilizamos a un perro o a un gato y colocamos alimento según, sea el caso, obtendríamos una conclusión similar sobre la trayectoria por donde se desplazarían. Nos preguntamos entonces de manera natural: ¿conocen estos animales el Teorema de Pitágoras? Salvo que alguien demuestre lo contrario, la respuesta es: no. Podríamos aludir que la decisión de moverse a lo largo de esa trayectoria está ligada con la experiencia adquirida de manera empírica en cuanto al tiempo requerido para desplazarse de un lugar a otro2. Por lo tanto, tomar esa trayectoria o camino involucra un problema de optimización. Sin embargo, si utilizamos a una rata en el experimento, observaremos que se desplaza por las paredes la mayoría de las veces. ¿Por qué sucede esto?
Podemos entonces concluir que el Teorema de Pitágoras está relacionado con, al menos, una situación de carácter real y que involucra una situación de distancia3 (aplicaciones en geometría, física, etc.) la cual puede formularse utilizando una expresión matemática.
Aclaremos que los alcances del Teorema de Pitágoras no se limitan a una aplicación como la mencionada en el párrafo anterior, sus alcances y aplicaciones son tales que, introdu-cirlo de manera informal4, facilita al alumno el uso de conceptos y aspectos matemáticos relacionados con el mismo.
La Caja Pitagórica es un material didáctico que permite a los alumnos de primaria traba-jar de manera implícita con dicho teorema. Esto es posible porque éste expone de manera aritmética y geométrica al famoso resultado.
Parte del propósito de este material es estimular las áreas cognoscitivas y lúdi-cas de los alumnos de este nivel. Esto se realiza utilizando los principios concreto-abstracto y abstracto-concreto, lo cual le permite relacionar aspectos aritméticos y geométricos, bajo ciertas dinámicas de procedi-mientos de aprendizaje, cuyo objetivo general es estimular los campos formativos de espacio, forma y medida.
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Este material permite trabajar el aspecto concreto-abstracto, estimulando áreas de creatividad, destreza, razonamiento deductivo, etc. Además se aborda el aspecto abs-
tracto-concreto, con el objetivo de que el alumno pueda aplicar, en caso de ser posible, un aspecto teórico a situaciones concretas, estimulando nuevamente el razonamiento
deductivo. También se realizan actividades de construcción de diversos tipos de figuras.Por otro lado, debido a la naturaleza de los materiales didácticos, el maestro puede
diseñar e implementar actividades adicionales con los mismos, e incorporar tales activi-dades, según convenga.
Asociar establece una relación entre dos conjuntos
El conteo nos permitir abordar temas matemáticos más complejos. El alumno de sex-to grado ha desarrollado, de manera más formal, la habilidad de contar. Lo siguiente le permitirá determinar entre dos colecciones, cuál tiene más, menos o si tienen la misma (igual) cantidad de objetos. Esto sin la necesidad de saber contar o enumerar. Para ello, sólo basta asociar los elementos de un grupo con los del otro. Sin embargo, el asociar a estos elementos términos de series numéricas, facilita conclusiones. Debemos aclarar que, en este caso, la serie numérica utilizada corresponde a los números naturales, que sa-tisfacen la condición de que entre dos números consecutivos su diferencia es siempre 1.
Integre equipos de cuatro alumnos y pida que se subdividan en dos e indique un nombre para cada subequipo. Entregue a cada uno diferentes cantida-des de cuadriláteros iguales (puede utilizar otras pie-zas del material didáctico como, por ejemplo, los cu-bos de tamaño 1×1×1 o las regletas, según requiera la actividad) e indíqueles que depositen sobre la mesa dos grupos de cuadriláteros o cubos, sin contar. Por ejemplo, como se muestra en la siguiente figura:
Ejercicio:
Las siguientes actividades permiten reforzar habilidades referentes a: manipula-ción, comparación, conteo y estimulación de los procesos de razonamiento, ya que el alumno realiza comparación entre objetos, agrega o quita objetos, etc.; y además se abordan temas relacionados con geometría. Con estos conocimientos básicos obtendremos construcciones que conciernen al Teorema de Pitágoras. Es importe recordar que no se requiere hacer mención del teorema para desarrollar estas actividades.
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Actividad 123.3
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• En el primer grupo de las figuras anteriores dis-tinga entre los dos grupos. Por ejemplo, llame a uno el grupo A y al otro grupo B. Tome un elemento del grupo A y apílelo sobre un elemento del grupo B, de forma tal que uno cubra a otro completamente (puede realizarlo con orden o sin orden). Reproduzca el paso anterior hasta utilizar todos los elementos del grupo A; en este caso, como lo muestra la figura, el grupo A tiene menos elementos que el grupo B, pues los elementos del grupo A se terminaron y no cubri-mos a todos los elementos del grupo B.
• En el segundo caso, tenemos que ambos gru-pos tienen el mismo número de elementos. La figura muestra que los elementos del grupo A nos permiten cubrir a los elementos del grupo B y no hay piezas sobrantes en ninguno de los grupos.
• En el último caso, tenemos que hay más elementos en el grupo
A, pues cubrimos a todos los elementos del grupo B y nos so-bran elementos del grupo A (tal como lo muestra la figura).
Hemos así analizado los tres casos posibles. Esto facilita-rá, más adelante, abordar los conceptos de mayor que, me-nor que o igual, además de visualizar que sólo es posible que ocurra una y sólo una de las situaciones anteriores.
Podemos modificar la actividad anterior. Por ejemplo considere piezas de diferentes tamaños, arme dos grupos y pregunte ¿cuál grupo tiene más? ¿El tamaño de las piezas modifica la respuesta? Recuerde al alumno que se está con-siderando solamente el número de piezas en cada grupo, y no se refiere a la característica de las piezas.
Indíqueles además que proporcionen numéricamente el total de piezas en cada caso.
Asociar el valor numérico que corresponde al número de piezas que con-tiene cada conjunto, permite, sin necesidad de interactuar con los conjun-tos, determinar cuál tiene más objetos o si tienen la misma cantidad.
Observación:
Preguntas:
• ¿Se modifican las conclusiones obtenidas previamente?• Al utilizar el valor numérico, ¿qué criterio se aplica para obtener la conclusión?
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Nos acercamos a Pitágoras
1.- Solicite a los alumnos que tomen cuatro cuadriláteros del mismo tamaño, o propor-cione los mismos a equipos de dos integrantes. Indíqueles que armen dos cuadrados, uno hueco y el otro no. Tal como se muestra en la figura siguiente:
Recuerde a los alumnos que la pieza armada recibe el nombre de cuadrado. Pida que cada miembro del equipo arme uno de ellos. Por ejemplo, puede solicitar que armen los cuadrados sin hueco y coloquen todos, por ejemplo, en orden ascendente o descendente.
Haga lo mismo con los cuadrados huecos. Solicite que unos armen un cuadrado con hueco y otros los cuadrados sin hueco, y pida que los coloquen según se les indique.
• Solicite al alumno que arme otro tipo de figuras y la muestre a sus compañeros.
Preguntas:
• ¿Qué forma tienen las figuras que armó?• ¿Qué otras disposiciones propone?• ¿Qué sucede si agrega más piezas al grupo de piezas originales?• ¿Con 5 piezas iguales puedo construir un cuadrado? • ¿Con 6 piezas iguales puedo construir un rectángulo?• ¿Calculen el área de los cuadrados o aproxímen a la misma?
El cuadrilátero tiene un área equivalente a la cuarta parte del cuadrado que se cons-truye con estas piezas.
Observación:
Actividad 131.5
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2.- Utilizando 4 cuadriláteros iguales, construya el cuadrado sin hueco correspondiente. A partir de estas piezas, construya otras figuras. ¿Qué características tienen dichas figuras? ¿Las áreas que cubren son las mismas? Justifiquen su respuesta.
2.- Solicite que armen el cuadrado con hueco y respondan lo siguiente: ¿qué forma tiene el hueco?
4.- Considere todos los cuadriláteros. Forme los tres grupos distintos en función de su tamaño. Respondan lo siguiente: ¿Qué grupo tiene más? Justifiquen su respuesta.
• Una actividad adicional es la siguiente: el área que posee el cuadrado formado por los cuadriláteros es cuatro veces el área de cada uno de los que lo conforman. Justifique su respuesta. Equivalentemente, el cuadrilátero tiene un área que es la cuarta parte del área del cuadrado que construye. Por ejemplo, si construimos un rectángulo a partir de dos cuadrados iguales, concluimos que el área del rectángulo es el doble del área del cuadrado, o equivalentemente, el área del cuadrado es la mitad del área del rectángulo. Más aún, el rectángulo tiene ocho veces el área del cuadrilátero que forma al cuadrado que forma a este último o, equivalentemente, el cuadrilátero tiene un área que es la octava parte del área del rectángulo, y así sucesivamente. Podemos implementar esto con el tangram, y obtendremos muchas variantes, ya que podemos construir medios, tercios, cuartos, etc. Describa algunos ejemplos.
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Del tangram a Pitágoras
Utilizaremos los dos tangrams. Permita a los alumnos manipular las piezas. Solicite que mencionen el nombre de cada pieza.
a) Con el primer tangram construya un cuadrado.b) Con el otro tangram construya dos cuadrados del mismo tamaño (mencione que para
armar uno de los dos cuadrados se utilizan dos piezas iguales, las restantes cinco permiten construir el otro cuadrado). Es claro entonces que los dos cuadrados iguales cubren la misma área que el cuadrado mayor. ¿Por qué?
Ahora, solicite a cada equipo que arme los cuadrados mostrados. En caso de dificultad, el maestro debe apoyar al alumno.
Considere al cuadrado más grande como una unidad.
Ejercicios:
Preguntas:
• ¿Cuál cuadrado es más fácil de armar?• ¿Cuál es el más difícil?• ¿Qué figuras planas constituyen al tangram?• Determinen el área de cada una. Expresen la misma en centímetros cuadrados, en decímetros cuadrados, en metros cuadrados y en milímetros cuadrados.• ¿Qué les parece la actividad?
Preguntas:
• El área de cada uno de los otros dos cuadrados construidos con 2 y 5 piezas, res-pectivamente, ¿qué área representa del cuadrado grande? Responda lo correspon-diente para cada una de las piezas.• Ahora invierta la pregunta, es decir, si el área del triángulo isósceles es una unidad cuadra-da ¿cuántas unidades cuadradas tendrá de área cada uno de los cuadrados construidos?
Actividad 141.5
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Solicite que construyan sus propias figuras, a partir de las piezas de un tangram o que, utilizando las tarjetas, armen las figuras sugeridas. ¿El área de cualquier figura armada es la misma utilizando el tangram? Justifique su respuesta. Construya o dibuje figuras donde el área sea mayor o menor al área que cubren las piezas del tangram.
Utilizando los cuadriláteros y las piezas del tangram, ordénelos, primero en función de la longitud y después del área, de menor a mayor. ¿Cuántas piezas tienen la misma longi-tud? ¿Cuántas la misma área?
El problema de comparar la superficie de dos figuras por superposición y recubri-miento, permite al alumno de primaria, estudiar de manera indirecta al Teorema de Pitágoras. ¿Cuántas veces hemos oído mencionar la siguiente frase: “Pitágoras no se equivocó”, sin referirnos de manera explícita al resultado como tal? El teorema lleva su nombre porque la tradición es unánime en atribuir a Pitágoras el descubrimiento independiente del teo-rema del triángulo rectángulo que ahora lleva universalmente su nombre, y que enuncia lo siguiente: el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Como se menciona en un párrafo anterior, el problema de comparación entre super-ficies nos va a permitir hallar algunas demostraciones del Teorema de Pitágoras, las cuales descansan en esa idea geométrica. Reiteramos que no es necesario mencionar el teorema, pues el alumno, a partir de tales actividades, podrá obtener sus propias conclusiones, las cuales son equivalentes a lo que enuncia el teorema.
Demostrando a Pitágoras
Para efectuar la actividad, utilizaremos los 36 cuadriláteros. Solicite a los alumnos que los separen en grupos del mismo tamaño (o color). Independientemente del criterio de selección que se haya solicitado (color o tamaño) cada grupo contiene 12 piezas iguales. El alumno debe concluir así que, en ocasiones, existen objetos que pue-den elegirse con diversos criterios y obtener aún así los mismos resultados (poseen más de una característica común).
Ejercicio:
Actividad 151.5
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Tome 8 piezas iguales y arme los cuadrados de la actividad 13, utilizando 4 piezas para cada armado.
Comente al alumno que, aunque los cuadrados son de diferente tamaño y las áreas que abarcan son distintas, así como su perímetro no lo es el área que cubren, esta última es la misma. Solicite a los alumnos que justifiquen lo anteriormente expuesto.
El proceso permite obtener 3 cuadrados huecos y 3 no huecos, Una vez cumplido el objetivo, subdividan en 2 grupos a los cuadrados obtenidos, uno formado por los cuadra-dos huecos y el otro no. Pida que los ordenen en forma ascendente o descendente.
Finalmente, pida al alumno que de la figura formada por los dos cuadrados, separe éstos, forme los dos cuadrados sin hueco y los ordene por tamaño adjuntado el otro cua-drado en cuestión. Podremos concluir que, al agregar o sumar los dos primeros cuadra-dos, obtenemos el otro cuadrado. Concluimos además que esta es la única combinación posible que satisface tal situación.
• Una variante de esta actividad es solicitar a los alumnos que tomen cuatro piezas del mismo tamaño de cada grupo de doce y construyan tres cuadrados de cada color sin hueco (esto debe indicarle a los alumnos que es posible construir, tal vez, otro cuadrado pero hueco). Una vez obtenido esto, que los ordenen por tamaño, de menor a mayor. Pida que tomen los dos cuadrados de menor tamaño y, a partir de estás, construyan
Preguntas:
• ¿Las colecciones tienen la misma cantidad de objetos?• ¿Cuál es la justificación de esta última respuesta (puede ser numérica o no)?
Preguntas:
• En ambos grupos existen piezas que son del mismo tamaño (una debe ser hueca y la otra no) ¿Equivalentemene, abarcan las mismas áreas (no la cubren)?. En caso afirmativo sepárelas del resto del grupo.• Indique que del grupo de figuras no huecas, una de éstas puede introducirse en una pieza hueca y cubrir el hueco. En caso afirmativo separe y complete la pieza.
Hemos aquí probado el Teorema de Pitágoras, y nunca se mencionó.
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Corta y construye a Pitágoras
Indique al alumno que tome cuatro de los triángulos rectángulos cuyos ángulos son de 30° y 60°. Solicite que construya con ellos una figura, de tal forma que sea posible obtener el cuadrado que se consigue a partir de los cuadriláteros de tamaño mediano. La figura que obten-ga debe ser como la que se muestra a continuación. El alumno observará que el corte resulta relativamente simple, a partir de dicha construcción.
un cuadrado. Aquí se desarrollan habilidades como las que se refieren a ensambles y desensambles. Lo anterior permite al alumno poner a prueba diversas combinaciones entre las piezas. En este punto, el color de las piezas ya no implica una restricción en la construcción, lo cual puede ser un obstáculo para el objetivo del alumno (sin embargo, aquí es importante puntualizar que se estimula el razonamiento, pues, a partir de
ciertas condiciones, debemos determinar la viabilidad o imposibilidad de lograr el obje-tivo). Una vez logrado el propósito, se soli-cita al alumno que coloque una de las piezas sobre la otra. Si el maestro desea facilitar el procedimiento, él puede efectuar toda esta actividad, solicitando al alumno que mire con atención todo el procedimiento (arma-
do y desarmado), ya que él realizara el mismo posteriormente.Solicite a los alumnos que nos comenten acerca de la actividad desarrollada (estamos
estimulando su proceso de razonamiento, el cual tendrá como resultado la obtención de una conclusión).
Puede solicitar que calculen el área de cada uno de los cuadrados, sumen y comparen las mismas.
Hemos obtenido una demostración formal del Teorema de Pitágoras, que no requiere de ningún procedimiento de cálculo numérico. Es suficiente con realizar un corte o disec-ción de cada uno de los cuadrados para lograr nuestro propósito. El problema se reduce entonces a determinar cómo se efectúa el corte. La siguiente actividad nos permitirá obtener dicho corte.
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No debemos cortar siempre para construir a Pitágoras
Efectuaremos de nuevo la actividad anterior, pero utilizando las piezas del tangram, es decir, haremos uso de triángulos isósceles. Observaremos que para este ejemplo, a dife-rencia del ejemplo anterior, no se requiere hacer de ningún tipo de corte, es decir, no se construye ningún cuadrilátero, sino que, en el caso de los triángulos isósceles, ellos mis-mos funcionan para duplicar áreas. Tal como lo muestran las siguientes figuras:
Ejercicio:
Preguntas:
• ¿El cuadrilátero construido tiene dos lados del mismo tamaño?• ¿Qué medidas tienen los ángulos interiores del cuadrilátero?• ¿Cuántos ángulos rectos tiene el cuadrilátero?• ¿Los lados adyacentes a uno de los ángulos rectos son iguales?• ¿Por qué este cuadrilátero tiene un ángulo agudo y un obtuso? • ¿Qué medida tiene el ángulo agudo y qué medida el ángulo obtuso?• ¿El triángulo que se obtiene al hacer la bisección es un triángulo semejante al trián-gulo original? Determinen la proporcionalidad de ambos.• ¿Cuál es el tamaño de los lados de los triángulos rectángulos, que permiten obtener al cuadrilátero pequeño y al cuadrilátero grande?. Pueden utilizar aquí la técnica de prolongar los lados adyacentes al ángulo recto y estimar los lados del triángulo rectán-gulo, o utilizar la proporcionalidad obtenida en el ejercicio anterior.• ¿Es la proporcionalidad constante independiente del triángulo rectángulo que se utilice para efectuar el corte?• ¿Cuál es el área del triángulo que se obtiene?•¿Qué tipo de triángulo resulta?
Solicite que, utilizando regla graduada, lápiz y transportador, indiquen las carac-terísticas particulares del cuadrilátero construido a partir de esta técnica.
Actividad 171.7
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Construye un triángulo rectángulo
1.- Obtenga los tres cuadrados descritos en la ac-tividad 14. Utilicemos ahora uno de los lados de cada cuadrado y construyamos un triángulo, el cual tiene la particularidad de tener dos lados del mis-mo tamaño. Mencione que un triángulo con tales características se llama isósceles.
2.- Construyan las siguientes variantes del Teorema de Pitágoras, utilizando las piezas del tangram.
Solicite a los alumnos que tomen los 2 cuadrados o los 4 triángulos isósceles pequeños
o un cuadrado y 2 triángulos isósceles pequeños. Agregue a cualquiera de las colecciones anteriores un par de triángulos rectángulos isósceles medianos. Construya, en caso de ser necesarios, los tres cuadrados que pueden formarse, tal como se muestra en la siguiente figura:
Ejercicios:
Verifiquen que el área total que cubren los 2 cuadrados pequeños es igual al área del cuadrado grande (el alumno debe concluir que elegir los 4 triángulos isósceles pequeños facilita lo solicitado). Finalmente, como en la actividad anterior, solicite que construyan el triángulo isósceles correspondiente, a partir de las pie-zas que satisfacen lo previamente solicitado.
3.- Ahora, reproduzca una construcción similar a alguna de las anteriores, utilizando para ello 4 triángulos medianos y 2 triángulos grandes. Nueva-mente verificamos Pitágoras. Podemos seguir realizando construcciones de esta naturaleza si consideramos piezas del tangram gigante.
Actividad 181.5
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Áreas y Pitágoras
Utilizando los acetatos, solicite a los alumnos que con las piezas adecuadas construyan las figuras que se muestran a continuación:
Pregunte al resto del grupo si ambos cuadrados son del mismo tamaño (áreas iguales). En caso de no obtener una respuesta afirmativa general, puede utilizar el procedimiento
Preguntas:
• ¿Cuál es el cuadrado más grande que puede construirse utilizando un solo tan-gram?, • Tomando en cuenta el cuadrado del tangram, determine el número de veces que cabe en el cuadrado que se indica en el inciso anterior.• Utilice ahora el tangram gigante para determinar el cuadrado más grande que pueda construirse.• ¿Utilizando dos cuadrados es posible construir a partir de ellos siempre un cuadrado?
En particular, esta construcción nos permite conocer un procedimiento para
duplicar áreas de cuadrados, tal como lo muestran las siguientes figuras:
4.- Compare las áreas utilizando fracciones.
Ejercicio:
Actividad 191.5
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de medición (comparación) directa, donde puede usar regletas o un cordón. Tome ahora el triángulo rectángulo que se utiliza para efectuar este ejercicio. Muéstreselo a los alumnos e indíqueles que tomen cuatro piezas iguales.
Pida que coloquen dichos triángulos para cubrir la parte del otro cuadrado, poniendo los mismos sobre las figuras que son iguales a ellos (figuras del mismo tamaño y forma). Podemos concluir así que el área no cubierta es de menor tamaño (o área) a la figura inicial. Acto seguido, solicite que retiren los triángulos del cuadrado y ahora los coloque en el otro cuadrado, utilizando las mismas indicaciones que para el primero. Finalmente, pídales que expresen sus comentarios sobre el procedimiento que se trabajo.
El recíproco de Pitágoras
La parte interesante de esta actividad es que haremos la prueba del recíproco del Teorema de Pitágoras5. Utilizaremos para nuestro propósito los cuadrados utilizados en la actividad 13. Solicitemos que utilicen uno de los lados de cada uno de los tres cuadrados y que, a partir de ellos, construyan un triángulo. Utilizaremos ahora una escuadra y mencionaremos que la misma forma la figura plana del menor número de lados rectos, siendo ésta la de un triángu-lo, pero con la particularidad de que este triángulo puede colocarse de tal forma que un par de sus lados pueden colocarse y estar en contacto, al mismo tiempo, uno con el piso y el otro con la pared. Es esta característica la que permite llamar a este triángulo, de manera particular, triángulo rectángulo, porque posee un ángulo recto. Colocando la escuadra sobre el triángulo construido, uno concluye que el triángulo formado por los cuadrados utiliza-dos en la actividad 13 forman un triángulo rectángulo.
En función de esto, podemos decir que los triángulo utilizados en la actividad 14 son todos triángulos rectángulos.
Ejercicio:
Preguntas:
• ¿Qué figuras son las que no se cubren con los triángulos?• ¿Cuántos cuadrados hay en el primer dibujo?• ¿Cuántos en el segundo?• ¿Por qué son cuadrados? • Puede utilizar otros 4 triángulos rectángulos, para cubrir el área respectiva del otro cuadrado. ¿Las áreas no cubiertas son iguales?
5 Nos referimos a que el teorema tiene dos implicaciones: una necesidad y una suficiencia.
Actividad 201.5
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Construyendo teselas a partir de Pitágoras
Aquí se trabajan figuras planas de cuatro lados. Si observamos a nuestro alrededor, veremos la importancia de las mismas. Por ejemplo, las puertas, las ventanas, las paredes, nuestros libros y cuadernos y muchos otros objetos creados por el hombre tienen la for-ma de cuadrilátero. Ello se debe a que estas figuras se hacen fácilmente y también se unen fácilmente sin dejar huecos (ocurre algo similar con los triángulos).
Utilizaremos el tangram. Solicite a los alumnos que construyan, o indiquen entre las piezas, los siguientes cuadriláteros: el cuadrado, el rectángulo, el paralelogramo, el trape-cio, etc. tal como se muestra en las siguientes figuras:
Ejercicio:
Preguntas:
• ¿Los triángulos del tangram son rectángulos? • ¿Los ángulos del cuadrado son rectos?
La conclusión es que todo triángulo rectángulo satis-face la condición del Teorema de Pitágoras y que todo triángulo que satisface el Teorema de Pitágoras es un triángulo rectángulo.
Observación:
a) b)
d)c)
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Las figuras que embonan sin dejar huecos o espacios se llaman teselas. Por ejem-plo, los azulejos es las casas son teselas. Los cuadriláteros idénticos siempre embonan sin importar su forma. Estos son ejemplos de teselas:
Solicite que construyan las siguientes figuras:
Pregunta:
• ¿Qué relación hay entre las figuras? ¿Se parecen o hay huecos entre ellas?
Ejercicio libre 1
Considere los siguientes tres cuadrados:
Colóquelos de mayor a menor (o de menor a mayor), utilizando los criterios de tama-ño (área) o color. Puede aplicarse lo mismo a los 36 cuadriláteros.
En el caso de los cuadrados, solicite a los alumnos que proporcionen otro criterio de comparación para obtener la misma colocación de pie-zas, según se haya indicado.
Sugerencia: Utilice tres cordones de diferentes tamaños, tales que el contorno de cada pieza se cubra totalmente. Aplique lo mismo para cada cuadrilátero.
• Consideren los 36 cuadriláteros: ¿cuántas colecciones de tres piezas de diferente tamaño se forman?
a)
b) c)
Actividad 222.4
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• Tome dos colecciones del inciso b). Coloque primero una de las colecciones de cuadriláteros de menor a mayor, y enseguida, la otra de mayor a menor. Solicite
que dibujen el punto de simetría de la figura resultante.
Aplique ahora el ejercicio a las piezas del tangram, considerando las adecuaciones co-rrespondientes en el ejercicio, así como en la pregunta.
Ejercicio libre 2
Considere cada uno de los tres cuadrados y construya para cada uno un cuadrado de área doble, respectivamente.
Puede sugerir al alumno que construya un triángulo rectángulo isósceles. Más aún es posible, bajo este procedimiento, construir una sucesión de cuadrados cuyas áreas sean el doble de la anterior.
Ejercicio libre 3
Construya los tres cuadrados de interior hueco. Complete cada uno de ellos y comple-te el correspondiente triángulo rectángulo en cada caso.
Ejercicio libre 4
Para probar que las figuras de cuatro lados siempre embonan, solicite que dibujen el cuadrilátero que deseen y apilen 12 hojas. La hoja superior deberá tener la figura dibujada para que la corten, a fin de obtener 12 piezas iguales. Usen los recortes para hacer el pa-trón y obtener las teselas correspondientes.
Construyan teselas utilizando triángulos, rombos, paralelogramos, etcétera.
Ejercicio libre 5
Construyan las figuras propuestas para el tangram. Obtengan sus simetrías (en caso de ser posible), los valores de sus ángulos y sus perímetros. ¿Qué podemos decir del área de cada figura? ¿Cómo es ésta?
Ejercicio libre 6
Consideren los cuadriláteros de los tres tamaños distintos. Comparen sus áreas y sus perí-metros. Puede establecerse una relación entre estas cantidades. Comparen los ángulos de los mismos. ¿Cómo son entre sí? Apliquen lo mismo para los triángulos isósceles del tangram.
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Ejercicio libre 7
Muestre que la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero suman 360 grados y que la suma de los ángulos interiores de un triángulo suman 180 grados.
Ejercicio libre 8
Determine todos los cuadrados que pueden construirse utilizando el tangram, y los cua-driláteros. Muestre que estas figuras son a escala. Determine esta proporción consideran-do área, perímetro y diagonales de las mismas.
Ejercicio libre 9
Aplique lo descrito en el ejercicio 8, pero para los triángulos del tangram.
Ejercicio libre 10
Aplique lo anterior para los cuadriláteros y las teselas. Es posible establecer está proporción. Justifique su respuesta.
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Relaciones entre bloquestemáticos y actividades
En los nuevos planes y programas de estudio de sexto grado de primaria (únicamente se han renovado los planes de 1ero. y 6to.) los bloques temáticos facilitan la exposición de temas durante el año lectivo. El trabajo se desarrolla de forma más específica además de permitir abordar los siguientes contenidos: eje, tema, subtema, conocimientos y habili-dades, orientación didáctica. Las actividades contenidas en la guía se diseñaron en forma progresiva y en función de la naturaleza de los materiales didácticos, complementan y refuerzan contenidos específicos, para facilitar la relación de la actividad con los bloques temáticos se añadió anotaciones numéricas y abreviaturas que permiten establecer la re-lación.
La siguiente figura muestra la lectura del encabezado de cada actividad.
Se enlistan a continuación la relación de las actividades con los bloques temáticos, se consideró y estableció sólo una relación de uno a uno, pero el maestro o el lector puede establecer en función de su experiencia y habilidad didáctica más relaciones si es que lo considera conveniente, además las modificaciones que implementen a las actividades le permitirán establecer más relaciones con los bloque temáticos.
Actividad1.4
eje temáticoconocimiento y habilidad número de actividad
Actividad 1 Eje: SN y PA (Sistema numérico y pensa-miento algebraico.)Tema: Significado y uso de los números.Subtema: Números naturales.Conocimiento y habilidad: 1.1 Lectura, escritura y comparación de números de diferente cantidad de cifras.
Actividad 2Eje: SN y PA (Sistema numérico y pensa-miento algebraico.)Tema: Estimación y cálculo mental.Subtema: Números naturales.Conocimiento y habilidad: 1.4 Realizar las operaciones con números naturales con diferentes recursos: mental, con algo-ritmo o con calculadora.
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Actividad 3Eje: MI (Manejo de la información.)Tema: Análisis de la información.Subtema: Relaciones de proporcionalidad.Conocimiento y habilidad: 2.8 Resolver problemas de valor faltante que requieran aplicar dos o más factores constantes de proporcionalidad enteros o un factor no entero (fracción o porcentaje).
Actividad 4Eje: FEM (Forma, espacio y medida.)Tema: Figuras.Subtema: Figuras planas.Conocimiento y habilidad: 1.6 Trazar polígonos regulares inscritos en una cir-cunferencia, mediante el ángulo central.
Actividad 5Eje: FEM (Forma, espacio y medida.)Tema: Figuras.Subtema: Rectas y ángulos.Conocimiento y habilidad: 1.7 Identi-ficar, definir y trazar rectas paralelas, rectas secantes y perpendiculares en el plano. Iden-tificar ángulos rectos, agudos y obtusos.
Actividad 6 Eje: SN y PA (Sistema numérico y pensa-miento algebraico.)Tema: Significado y uso de los números.Subtema: Números naturales.Conocimiento y habilidad: 3.1 Deter-minar múltiplos de números naturales.
Actividad 7Eje: FEM (Forma, espacio y medida.)Tema: Ubicación espacial.Subtema: Representación.Conocimiento y habilidad: 1. 9 Describir ru-tas, la más corta, la más larga, equivalentes, para ir de un lugar a otro, con ayuda de un mapa.
Actividad 8Eje: SN y PA (Sistema numérico y pensa-miento algebraico.)Tema: Significado y uso de los números.Subtema: Problemas multiplicativos.Conocimiento y habilidad: 3.3 Resolver problemas de conteo mediante procedi-mientos informales.
Actividad 9Eje: MI (Manejo de la información)Tema: Análisis de la información.Subtema: Relaciones de proporcionalidad.Conocimiento y habilidad: 5.3 Resol-ver problemas que involucren constantes de proporcionalidad particulares; resol-ver problemas en que se requiera tener en cuenta unidades de medida diferentes.
Actividad 10Eje: SN y PA (Sentido numérico y pensa-miento algebraico.)Tema: Significado y uso de las operaciones.Subtema: Problemas multiplicativos.Conocimiento y habilidad: 5.1 Resolver problemas que involucren la búsqueda de divisores o múltiplos comunes o varios números.
Actividad 11Eje: SN y PA (Sentido numérico y pensa-miento algebraico.)Tema: Estimación y cálculo y mental.Subtema: Números naturales.Conocimiento y habilidad: 1.4 Realizar las operaciones con números naturales con diferentes recursos: mental, con algo-ritmo o con calculadora.
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Actividad 12Eje: SN y PA (Sentido numérico y pensa-miento algebraico.)Tema: Significado y uso de los números.Subtema: Problemas multiplicativos.Conocimiento y habilidad: 3.3 Resolver problemas de conteo mediante procedi-mientos informales.
Actividad 13Eje: FEM (Forma, espacio y medida.)Tema: Figuras.Subtema: Figuras planas.Conocimiento y habilidad: 1.5 Clasifi-car los cuadriláteros.
Actividad 1Eje: FEM (Forma, espacio y medida.)Tema: Figuras.Subtema: Figuras planas.Conocimiento y habilidad: 1.5 Clasifi-car los cuadriláteros.
Actividad 15Eje: FEM (Forma, espacio y medida.)Tema: Figuras.Subtema: Figuras planas.Conocimiento y habilidad: 1.5 Clasifi-car los cuadriláteros.
Actividad 16Eje: FEM (Forma, espacio y medida.)Tema: Figuras.Subtema: Rectas y ángulos.Conocimiento y habilidad: 1.7 Identificar, definir y trazar rectas paralelas, rectas secan-tes y perpendiculares en el plano. Identificar ángulos rectos, agudos y obtusos.
Actividad 17Eje: FEM (Forma, espacio y medida.)
Tema: Figuras.Subtema: Rectas y ángulos.Conocimiento y habilidad: 1.7 Identificar, definir y trazar rectas paralelas, rectas secan-tes y perpendiculares en el plano. Identificar ángulos rectos, agudos y obtusos.
Actividad 18Eje: FEM (Forma, espacio y medida.)Tema: Figuras.Subtema: Figuras planas.Conocimiento y habilidad: 1.5 Clasificar los cuadriláteros.
Actividad 19Eje: FEM (Forma, espacio y medida.)Tema: Figuras.Subtema: Figuras planas.Conocimiento y habilidad: 1.5 Clasificar los cuadriláteros.
Actividad 20Eje: FEM (Forma, espacio y medida.)Tema: Figuras.Subtema: Figuras planas.Conocimiento y habilidad: 1.5 Clasificar los cuadriláteros.
Actividad 21Eje: FEM (Forma, espacio y medida.)Tema: Figuras.Subtema: Cuerpos.Conocimiento y habilidad: 2.4 Construir y armar patrones de primas y pirámides.
Actividad 22Eje: FEM (Forma, espacio y medida.)Tema: Figuras.Subtema: Cuerpos.Conocimiento y habilidad: 2.4 Construir y armar patrones de primas y pirámides.
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