Posicion y Mov d Pryectil

Vectores posicin, velocidad yaceleracin


Sea el vector posicinr


Sea el vector posicin

La curva que describe lapartcula es la trayectoria

r




Defino el desplazamiento:

r

r=r fr i




Defino el desplazamiento:

Defino velocidad promedio:

r

r=r fr i

v =rt


Igual que antes defino la velocidad instantnea:

v=r=d rdt

=limt0rt


Igual que antes defino la velocidad instantnea:

Observamos que la velocidad instantnea es tangente punto a punto a la curva de la trayectoria

v=r=d rdt

=limt0rt


Anlogamente defino la aceleracin promedio y la aceleracin instantnea:

Aceleracin promedio:

Aceleracin instantnea:

a=r=

d2rdt2

=v=d vd t =limt0vt

a=vt


Las mismas ecuaciones de Movimiento Uniformemente Acelerado de antes valen para un movimiento con aceleracin constante

r t =r iv it12at2

a

v t =v iat


Las mismas ecuaciones de Movimiento Uniformemente Acelerado de antes valen para un movimiento con aceleracin constante

a


Es til trabajar con componentes



con

r t =r iv i t12at2=x t iy t j

x t =x iv xi t12 ax t

2

y t =y iv yi t12 ay t

2



Anlogamente:

con

v t =r t =v iat=v x t iv y t j= x t i y t j

v x t = x t =v xiax t

v y t = y t =v yiay t


Ejemplo

Una partcula parte delorigen de coordenadascon velocidad inicialdada por v

x0=20 m/s y

vy0

=-15 m/s.En todo instante suponemosque su aceleracin es constante y horizontal, dada por a

x=4,0 m/s2 (y a

y=0 m/s2).

Queremos hayar la velocidad y la posicin de la partcula comofuncin del tiempo.


Ejemplo

Entonces, como tengomovimiento uniformementeacelerado

x t =x ivxi t12 ax t

2

y t =y ivyi t12 ay t

2=0m15m/st12 0m/s2t2=15m/s t

x t =0m20m/s t12 4,0m/s2t2=20m/st12 4,0m/s

2t2


Ejemplo

Entonces, como tengomovimiento uniformementeacelerado

vx t =vxiax t

vy t =vyiay t=15m/s0m/s2t=15m/s=cte.

vx t =20m/s4,0m/s2t

Movimiento de Proyectiles

Movimiento de Proyectiles Usamos las ecuaciones de movimiento

uniformemente acelerado


uniformemente aceleradoObservamos que el movimiento

es siempre parablico




x t =x0vx0 t

y t = y0v y0 t12

g t 2




La aceleracin horizontal es

nula y la aceleracion vertical

est dada por -g

x t =x0vx0 t

y t = y0v y0 t12

g t 2




Si el mdulo de la velocidad

inicial es y el ngulo

que forma con la horizontal es 0, entonces

x t =x0vx0 t

y t = y0v y0 t12

g t 2

v0=v0

v x0=v0cos 0v y0=v0sin 0


uniformemente aceleradoSustituimos en las leyes horarias:

x t =x0v0cos 0 t

y t = y0v0sin 0t12

g t 2


uniformemente aceleradoSustituimos en las leyes horarias:

Si adems asumimos que

partimos del origen de

coordenadas,

por lo cual las leyes horarias quedan como:

x t =x0v0cos 0 t

y t = y0v0sin 0t12

g t 2

x0=y0=0

x t =v0cos 0 ty t =v0sin 0t12

g t 2



Utilizando la primera ecuacin:

x t =v0cos 0 t

y t =v0sin 0t12

g t 2

t= xv0cos 0




Sustituyendo en la segunda

tenemos:

x t =v0cos 0 t

y t =v0sin 0t12

g t 2

t= xv0cos 0

y=v0sin0xv0cos0

12

g x2

v0cos 02





tenemos:

x t =v0cos 0 t

y t =v0sin 0t12

g t 2

t= xv0cos 0

y= tan 0 x g2v0cos02 x2





tenemos:

x t =v0cos 0 t

y t =v0sin 0t12

g t 2

t= xv0cos 0

y= tan 0 x g2v0cos02 x2 Trayectoria


uniformemente aceleradoSi miramos la ley horaria en

forma vectorial:

Donde hemos supuesto que

r t =v0 t12

g t 2

g=g j



forma vectorial:


Observamos las componentes del desplazamiento, visto como suma de vectores

r t =v0 t12

g t 2

g=g j



forma vectorial:


Observamos las componentes del desplazamiento, visto como suma de vectores

En general, el movimiento de proyectil es una composicin de movimiento rectilneo uniforme en la horizontal, y movimiento uniformemente acelerado en la vertical (cada libre)

r t = v0 t12

g t 2

g=g j


uniformemente aceleradoObservamos los vectores velocidad

y aceleracin en cada punto de la

trayectoria

Movimiento de Proyectiles Alcance horizontal y mxima altura de un

proyectil


proyectilQuiero determinar la mxima altura h a la

que llega el proyectil.



que llega el proyectil. Esta altura se alcanza

cuando la componente vertical de la

velocidad se anula.





velocidad se anula.

v y t =v y0g t=v0sin 0g t





velocidad se anula.

Despejando el instante cuando se anula

la velocidad:


t A=v0sin 0

g





velocidad se anula.


la velocidad:

Sustituyendo en la ley horaria


t A=v0sin 0

g

h= y A=v0sin0 t A12

g t A2





velocidad se anula.


la velocidad:



t A=v0sin 0

g

h=v0sin 0v0sin 0

g1

2g v0sin 0g

2





velocidad se anula.


la velocidad:



t A=v0sin 0

g

h=v0sin0

2

gv0sin 0

2

2g=

v02sin202 g


proyectil Ahora quiero determinar el alcance R,

que es la distancia horizontal a la que se

encontrar el proyectil en un tiempo t B=2 t A




encontrar el proyectil en un tiempo

Sustituyo en la ley horaria:

t B=2 t A

x t B=R=vx0 t B=v0cos 02tA

R=v0cos02 v0sin 0

g




encontrar el proyectil en un tiempo

Sustituyo en la ley horaria:

Utilizando la identidad trigonomtrica

t B=2 t A

x t B=R=vx0 t B=v0cos 02t A

R=v0cos02 v0sin 0

gsin 2=2sincos

R=v02sin20

g


proyectilDe la forma del alcance:

R=

v02sin20

g


proyectilDe la forma del alcance:

Es claro que el alcance mximo se obtiene

cuando , o sea cuando

, lo que corresponde a

R=v02sin 20

g

sin 20=1

20=900=45


proyectilObservamos que para cada posible

valor de R hay 2 posibles ngulos

de la velocidad inicial

(complementarios) para los cuales

el alcance de la trayectoria ser R.


proyectilEjemplo:

Un deportista de salto largo, deja el piso a una velocidad inicial de 11,0

m/s

de magnitud y un ngulo de 20,0 con

respecto a la horizontal. Queremos

saber, en la aproximacin de partcula

puntual, que tan lejos llega en la horizontal.


proyectilEjemplo:

Calculo el tiempo que demora en llegar al piso, que como antes es el doble del tiempo en el que llega al punto ms alto

t B=2 t A

t A=v0sin 0

g=11,0m/ ssin 20,0

9,80m /s2

t A=0, 384 st B=2 t A=20,384 s=0,768 s


proyectilEjemplo:

Sustituyo el tiempo en la ley horaria

de la horizontal:

Lo cual es un valor razonable para un salto de un atleta olmpico.

R=x tB=v0cos 0 tB

R=11,0m/ scos 20,0 0,768 s

R=7,94m

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