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PRCTICAS DE SISTEMAS DE CONTROL AUTOMTICO DACI-EPN

Redes de Compensacin 1

Prctica 9

Redes de Compensacin mediante el LGR y la RF

1

Objetivos

Disear redes de compensacin empleando la respuesta temporal y el lugargeomtrico de las races; as como, utilizando la respuesta de frecuencia.

Utilizar las reglas de Ziegler- Nichols para sintonizar controladores PID enplantas en las que el modelo matemtico es complejo o no se conoce.

Familiarizar al estudiante con el empleo del paquete Matlab, orientado al ajustede los compensadores diseados.

Familiarizar al estudiante con el empleo del Control Toolbox de Labview,orientado al ajuste de compensadores diseados.

2 Fundamento Terico

La compensacin es la modificacin de la dinmica del sistema, realizada parasatisfacer las especificaciones determinadas.Los sistemas de control se disean para realizar tareas especficas. Los requerimientosimpuestos sobre el sistema de control se detallan como especificaciones de desempeo.Por lo general se refieren a la precisin, la estabilidad relativa y la velocidad de

respuesta. Para problemas de diseo rutinarios, las especificaciones de desempeo seproporcionan en trminos de valores numricos precisos.Establecer la ganancia es el primer paso encaminado a ajustar el sistema para undesempeo satisfactorio. Sin embargo, en muchos casos prcticos, el solo ajuste de laganancia tal vez no proporcione una alteracin suficiente del comportamiento delsistema para cumplir las especificaciones dadas. Como ocurre con frecuencia,incrementar el valor de la ganancia mejora el comportamiento en estado estable pero

produce una estabilidad deficiente o, incluso, inestabilidad. En este caso, es necesariovolver a disear el sistema (modificando la estructura o incorporando dispositivos ocomponentes adicionales) a fin de alterar el comportamiento general, de modo que elsistema se comporte como se requiere.

Este nuevo diseo o adicin de un dispositivo apropiado se denomina compensacin. Elcompensador modifica el desempeo con dficit del sistema original. El diseadordecide la configuracin bsica del sistema diseado completo y el lugar donde elcontrolador estar colocado en relacin con el proceso controlado.

Compensacin en serie (cascada): (Figura 1) es la ms comnmente utilizada con elcontrolador colocado en serie con el proceso controlado.

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CG

PG

H

ae

CASCADAoSERIE

rcontrolado .instrplanta

controldelazo

r

Figura 1 Compensacin en serie

Compensacin en realimentacin (en paralelo): (Figura 2) el controlador estcolocado en la trayectoria menor de realimentacin.

CG

PG

H

ae

controldelazo

G

CINREALIMENTAoPARALELO

cinrealimentademenorlazo

r y

Figura 2 Compensacin en realimentacin

En general, la compensacin en serie es ms sencilla que la compensacin medianterealimentacin; sin embargo, aqulla requiere con frecuencia de amplificadoresadicionales para incrementar la ganancia y/o ofrecer un aislamiento. (Para evitar ladisipacin de potencia, el compensador en serie se inserta en el punto de bajo nivel en latrayectoria directa.)

Redes de Compensacin

C

GP

Gr ye u

Se trata del diseo del controlador: ps

zsKG

CC

donde: CK = Ganancia de compensacin (ajuste de ganancia)

z = valor del CERO de compensacin

p = valor del POLO de compensacin

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Para bajas frecuencias:

p

zK

ps

zsK CCs 0lim depende dezyp

Para altas frecuencias: CCsK

ps

zsK

lim no depende dezyp

Para: js pj

zjKjG CC

)(

donde:22

1log201log20log20)(

pzp

zKjG Cd bC

ptg

ztgjG

C

11)(

Si:zp, se tiene una Red de Atraso de fase (RED DE ATRASO), puesto que:

p

tgz

tg 11

, ngulo (-)

Enfoque del Lugar Geomtrico de las RacesEl mtodo del lugar geomtrico de las races es un enfoque grfico que permitedeterminar las ubicaciones de todos los polos en lazo cerrado a partir de las ubicacionesde los polos y ceros en lazo abierto conforme algn parmetro (por lo general laganancia) vara de cero a infinito. El mtodo produce un indicio claro de los efectos delajuste del parmetro.El enfoque del lugar geomtrico de las races es muy poderoso en el diseo cuando seincorporan las especificaciones en trminos de las cantidades en el dominio del tiempo,tales como el factor de amortiguamiento relativo y la frecuencia natural no amortiguadade los polos dominantes en lazo cerrado, el sobrepaso mximo, el tiempo delevantamiento y el tiempo de asentamiento.

En la prctica, una grfica del lugar geomtrico de las races de un sistema indica que eldesempeo deseado no puede obtenerse con slo el ajuste de la ganancia. De hecho, en

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algunos casos, tal vez el sistema no sea estable para todos los valores de ganancia. Eneste caso, es necesario volver a construir los lugares geomtricos de las races para

Compensador o Red de Adelanto

Se lo utiliza para mejorar la respuesta transitoria readaptando el lugar geomtrico de lasraces del sistema original.

El cero del compensador de adelanto readapta el lugar geomtrico de las races,mientras que el polo se ubica lo suficientemente lejos a la izquierda para no influir en la

parte readaptada por el cero.

Procedimi ento de diseo de redes de adelanto mediante el lugar geomtr ico de lasraces (LGR)1. De las especificaciones de funcionamiento, se determina la ubicacin deseada de los

polos dominantes en lazo cerrado.2. Trazar el lugar geomtrico de las races para el sistema no compensado cuya funcin

de transferencia es G(s). Determine si con solo ajustar la ganancia se logra obtener ono los polos de lazo cerrado deseados. De no ser posible, calcule la deficienciaangular , este ngulo se debe proporcionar por el compensador en adelanto para

que el nuevo LGR pase por las ubicaciones deseadas.3. Se determinan y T a partir de la deficiencia angular, Kcse determina a partir del

requisito de ganancia de lazo abierto partiendo de la condicin de magnitud.4. Verificar que se hayan cumplido todas las especificaciones de desempeo, de no ser

el caso repetir el procedimiento ajustando el polo y el cero del compensador hastacumplir con todas las especificaciones.

Compensador o Red de Atraso

Se emplea para mejorar la respuesta en estado estable sin modificar la respuesta

transitoria, por lo que pretende no cambiar el lugar geomtrico de las races en lavecindad de los polos dominantes en lazo cerrado.Generalmente se ubican el polo y el cero prximos entre s y cerca del origen

Procedimi ento de di seo de redes de atraso mediante el lugar geomtr ico de las races(LGR)1. Trace el LGR para el sistema no compensado y con base a las especificaciones de la

respuesta transitoria, ubique los polos dominantes en lazo cerrado en el LGR.2. Calcule la constante de error esttico especificada en el problema.3. Determine el incremento necesario en la constante de error esttico para satisfacer

las especificaciones.

4.

Determine el polo y el cero del compensador de atraso que producen el incrementonecesario en la constante de error esttico determinado sin alterar apreciablemente elLGR original.

5. Trace el nuevo LGR del sistema compensado y ubique sobre este los polos en lazocerrado en base a las especificaciones de la respuesta transitoria.

6. Ajuste la ganancia del compensador a partir de la condicin de magnitud, a fin deque los polos dominantes en lazo cerrado se encuentren en la ubicacin deseada.

Enfoque de la Respuesta de Frecuencia

Es importante sealar que, en el diseo de un sistema de control, por lo general lo msimportante es el desempeo de la respuesta transitoria. En el enfoque de la respuesta enfrecuencia, especificamos el desempeo de la respuesta transitoria en una formaindirecta. Es decir, el desempeo de la respuesta transitoria se especifica en trminos del

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margen de fase, el margen de ganancia y la magnitud del pico de resonancia, queofrecen una estimacin a grandes rasgos del amortiguamiento del sistema, la frecuenciade cruce de ganancia, la frecuencia de resonancia y el ancho de banda, que ofrecen unaestimacin a grandes rasgos de la velocidad de la respuesta transitoria y las constantesde error esttico, que aportan la precisin en estado estable. Aunque la correlacin entrela respuesta transitoria y la respuesta en frecuencia es indirecta, las especificaciones en

el dominio de la frecuencia se cumplen adecuadamente en el enfoque de las trazas deBode.El diseo en el dominio de la frecuencia es sencillo y directo. La grfica de la respuestaen frecuencia indica en forma clara la manera en la que debe modificarse el sistema,aunque no sea posible hacer una prediccin cuantitativa exacta de las caractersticas dela respuesta transitoria.Bsicamente hay dos enfoques de diseo en el dominio de la frecuencia. Uno es elenfoque de la traza polar y el otro es el enfoque de las trazas de Bode. Cuando se aadeun compensador, la traza polar no conserva su forma original, por lo que es necesariodibujar una nueva traza polar, esto toma tiempo y, por tanto, no es conveniente. Encambio, agregar las trazas de Bode del compensador a las trazas de Bode originales es

muy simple y, por tanto, graficar las trazas de Bode completas es un asunto sencillo.Asimismo, si vara la ganancia en lazo abierto, la curva de magnitud se mueve haciaarriba o haca abajo sin que se modifique la pendiente de la curva, y la curva de fase nocambia. Por tanto, para propsitos de diseo, es mejor trabajar con las trazas de Bode.En un procedimiento comn de las trazas de Bode, primero se ajusta la ganancia en lazoabierto para cumplir el requerimiento sobre la precisin en estado estable. Acontinuacin se grafican las curvas de magnitud y fase en el lazo abierto sin compensar(con la ganancia en lazo abierto recin ajustada). Si no se satisfacen las especificacionesdel margen de fase y del margen de ganancia, se determina un compensadorconveniente que vuelva a dar forma a la funcin de transferencia en lazo abierto.

Compensador o Red de Adelanto

En una Red de Adelanto: p> z

j

xp

T

1

T

1

z

entonces: 10 1

1

1

1

Ts

TsK

Ts

Ts

Kps

zsKG CCCC

donde: y T se determinan a partir de la deficiencia de ngulo, mientras que CK sedetermina a partir del requisito de la ganancia en lazo abierto.

El diagrama POLAR del Compensador de Adelanto, viene dado por:

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TTj

TjjG

Ts

Ts

G CC

1

1)(

1

1

1

; 10

donde:

)(lim0

jGC

1)(lim

jGC

1)}({ jGe

C

)}({ jGmC

m

02

1 radio

2

1

0

Am

El ngulo mximo viene dado por:

1

1ASen

El valor mnimo de normalmente se toma alrededor de 0.05, para lo cual el adelantode fase mximo del Compensador de Adelanto es de 65.

El diagrama de BODE del Compensador de Adelanto, para 1.0 , Tz

1 y T

p

1 ,

viene dado por:

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dbC jG )(

T

1

T

10

T

10

z pm

][20 db

][0 db

0

)( jGC

90

45

45

Am

1.0

donde: m resulta ser la media geomtrica de las frecuencias de esquina: T

1

y T

1

,por lo que:

TTT mm

11log20

1log20log20

2

1

Por otro lado, al aadir el Compensador en Adelanto, ste desplaza la frecuencia decruce de ganancia hacia la derecha, disminuyendo el margen de fase, por lo que es

necesario adicionar de 5 a 12 al ngulo de adelanto de fase A .

10originalMdeseadoM FFA

donde: )(180 jGoriginalM PF se visualiza en el diagrama de BODE.

1

1ASen

A

A

Sen

Sen

1

1

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Tambin, la cantidad en la modificacin de la curva de magnitud en

T

1 , debido

a la inclusin del trmino 1

1

Ts

Ts

, es:

1

11

11

1

1

1

j

j

TjjT

T

][log101

log20 dbM

La nueva frecuencia del corte C (en el diagrama de BODE) sirve para determinar el

valor de T, esto es:

TC

1 C

T 1

Adems:

11

1

1

TsTsK

Ts

T

s

KG CCC

11 CC KK

T

T

C

j

j

Tj

TjjG

1

1

1

1

1

1)(

Finalmente, disear una Red de Adelanto, usando la Respuesta de Frecuencia, escalcular los valores de y T , mediante una componente analtica y una componentegrfica.

Procedimiento de diseo de redes de adelanto mediante la respuesta de frecuencia

1. Suponga el siguiente compensador de adelanto:

CC KKTs

TsKsG

1

1

2. Determine la ganancia Kque satisfaga el requerimiento sobre la constante de erroresttico solicitado.

3. Con esta gananciaK, trace el diagrama de Bode en lazo abierto y calcule el MF.4. Determine el ngulo de fase necesario a agregar al sistema y calcule a partir de

la ecuacin de m.

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5. Establezca la frecuencia a la cual la magnitud del sistema no compensado es igual a

1log20 . Esta ser la nueva frecuencia. de cruce de ganancia y corresponde

aT

m

1

.

6.

Determine las frecuencias de esquina del compensador (1/T y 1/(T)) y calcule elvalor deKC.7. Verifique el MG para asegurar que sea satisfactorio.

Compensador o Red de Atraso

Su funcin principal es proporcionar una atenuacin en el rango de las frecuencias altasa fin de aportar un margen de fase suficiente al sistema. Es esencialmente un filtro pasa-

bajos.Diagrama de Nyquist

Diagrama de Bode (para =10 yKC=1)

Procedimiento de diseo de redes de atraso median te la respuesta de frecuencia

1. Suponga el siguiente compensador de atraso:

CC KKTs

TsKsG

1

1

2. Determine la ganancia Kque satisfaga el requerimiento sobre la constante de erroresttico solicitado.

3. Con esta gananciaK, trace el diagrama de Bode en lazo abierto y calcule el MF.4. Si el sistema no compensado no satisface la especificacin de MF, encuentre el

punto de frecuencia en el cual el ngulo de fase del sistema en lazo abierto sea iguala -180 ms el MF requerido (generalmente se aumentan de 5 a 12). Esta ser lanueva frecuencia de cruce de ganancia.

5. Para evitar los efectos nocivos del atraso de fase, el polo y el cero del compensador

deben ubicarse mucho ms abajo que la nueva frecuencia de cruce de ganancia(hasta una dcada por debajo).

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6. Determine la atenuacin necesaria para bajar la curva de magnitud a 0dB en lanueva frecuencia de cruce de ganancia. Esta atenuacin es de log20 .

7. Usando el valor deK y de se determina el valor deKC.

3 Trabajo Preparatorio

125,05,2

s

1

12,0

s

s+

-

+-

T(s)

Y(s)X(s)

Figura 3

Considerar T(s)=0

s

1

3.1. Considerando el sistema de la Figura 3:

a. Trace A MANO el LGR del sistema, se deben presentar todos los

clculos requeridos a fin de trazar el LGR.b. Presente grficamente la respuesta paso unitario y rampa unitaria delsistema. Adems mediante una tabla indique los valores de mximosobreimpulso, tiempo pico, tiempo de establecimiento, error de posiciny la ubicacin de los polos en lazo cerrado. Debe emplearse MATLAB afin de obtener estos valores y deben presentarse las pantallas respectivasobtenidas en MATLAB.

c. El sistema es de races dominantes? De ser el caso determine los valoresdel ndice de amortiguamiento equivalente y de la frecuencia naturalamortiguada equivalente. Adems calcule el valor del mximosobreimpulso equivalente y del tiempo de establecimiento equivalente.

d.

Trace A MANOel Diagrama de Bode en lazo abierto del sistema, y enbase a su diagrama determine los valores de MF y MG.

3.2. Disee los siguientes compensadores:a. Un compensador de manera que el mximo sobreimpulso sea 20% y el

tiempo de establecimiento sea 3seg.b. Un compensador de manera que Kv 20 seg-1, sin modificar la

ubicacin de los polos en lazo cerrado originales del sistema.c. Kv 10seg-1, MG 10dB, MF 50.

4

Trabajo experimental

4.1 Utilizando el sisotool de MATLAB, compruebe el funcionamiento de loscompensadores diseados en el trabajo preparatorio. Reajstelos hasta obtenerresultados satisfactorios. Tome nota de los cambios realizados.

4.2 Implemente un VI en LabView de manera que permita comprobar el correctofuncionamiento de los compensadores diseados en el trabajo preparatorio.

5 Informe

a) Para todos los casos realizados en el Trabajo Experimental tabule losresultados obtenidos tanto en MATLAB como en LABVIEW, comparando

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los valores del sistema sin compensar con el sistema compensado (calculo deerrores). Especifique si fue necesario reajustar el compensador medianteMATLAB o LabView e indique el ajuste realizado.

b) Explique por qu no es posible satisfacer especificaciones dadas si es delcaso.

c) Consulte cuales son los pasos para disear un compensador PID, y realice eldiseo de un compensador PID para el sistema del Trabajo Preparatorio a finde que el mximo sobreimpulso sea 25% y el tiempo de establecimientosea 4seg.Debe comprobar y presentar las grficas del funcionamiento desu compensador empleando MATLAB.

d) Consulte las Reglas de Sintonizacin de Ziegler-Nichols paracompensadores PID.

e) Conclusiones y Recomendaciones (individuales).

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Bibliografa

Sistemas de Control Automtico, KUO Benjamn, Sptima Edicin. Ingeniera de Control Moderna, OGATA Katsuhiko, Tercera Edicin.

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