presentasi relasi

8/18/2019 presentasi relasi

1/36

Relasi Part IIAtika Kautsar Ilaf

Dwiki Raynaldo E

Hudi Javariawan

Mutia Sayyidah

S. Abdurrahan


2/36

Jenis-Jenis Relasi

Misalkan R adalah suatu relasi !adahi!unan A. R disebut relasi yan"

• Re#eksi$

• Sietris

• %ransiti$

• Irre#eksi$

• Asietris

• Antisietris


3/36

Petun'uk(ntuk en"etahui 'enis)'enis relasi dala bentuk"ra$* !etun'uknya +

• Jika relasi refeksi * aka ada loop !ada tiaptitik . Sedan"kan irrefeksi semua titiknyatidak memiliki loop. Jika tidak keduanya aka

disebut relasi tidak re#eksi$ dan tidak irre#eksi$ • Jika relasi simetris* aka tia! garis yan"

menghubungkan 2 titik eru!akan "aris dalam 2 arah. Sedan"kan asimetris tia! garis

ya" menghubungkan 2 titik eru!akan "arisdalam 1 arah. Jika tidak keduanya aka disebutrelasi tidak sietris dan tidak asietris

• Jika relasi transiti * aka eiliki si$at* 'ika a

berhubun"an den"an b* b berhubun"an den"an,* aka a berhubun"an den"an ,


4/36

-ontoh

Misal A/0*1*2*34. Relasi R* S* dan %didefnisikan !ada hi!unan A seba"ai berikut

• R/50*06*50*16*50*36*51*06*51*16*52*26*53*06*53*364

• S/50*06*50*26*50*36*52*364

• %/50*16*52*364

Manakah diantara relasi)relasi tersebut bersi$at

re#eksi$* sietris* dan transiti$7


5/36

Relasi R

• Re#eksi$ iya

• Sietris iya

• %ransiti$ tidakMetode !ebuktian +

isal +

ada an""ota R yan" berbentuk

x R y dan x R z 5se!erti 50*06dan 50*166 sehin""a !reis !benar* teta!i tidak ada an""otaR yan" berbentuk x R z . Karena!reis 8 salah akakesi!ulannya salah* sehin""a

relasi tersebut tidak transiti$

R/50*06*50*16*50*36*51*06* 51*16*52*26*53*06*53*364


6/36

Relasi S

S/50*06*50*26*50*36*52*364

• Re#eksi$ tidak

• Sietris tidak

• %ransiti$ iyaMetode !ebuktian +

isal +

ada an""ota R yan" berbentuk x R y dan x R z 5se!erti 50*06dan 50*266 sehin""a !reis !

benar* dan ada an""ota R yan"berbentuk x R z 5se!erti 50*266aka !reis 8 benar. Karena!reis ! dan 8 benar akakesi!ulannya benar* sehin""arelasi tersebut transiti$

0 1

23


7/36

Relasi %

• %/50*16*52*364 • Re#eksi$ tidak• Sietris tidak

• %ransiti$ Metode !ebuktian +

isal +

Karena tidak ada an""ota Ryan" berbentuk x R y dan x R

z aka !reis ! salah* dantidak ada an""ota R yan"berbentuk x R z aka !reis8 benar. Karena !reis ! * 8salah aka kesi!ulannyabenar* sehin""a relasitersebut transiti$

0 1

23


8/36

-ontoh

Misal A /Mahasiswa !eserta kuliah Matdis4

Suatu relasi R didefnisikan !ada A den"anaturan berikut +

A!akah R bersi$at re#eksi$7 Sietris7 %ransiti$7

•


9/36

Jawab

• R re#eksi$ berarti bahwa setia! ahasiswa !esertakuliah Matdis lebih tua dari dirinya sendiri )9 salah*sehin""a R tersebut tidak re#eksi$

• R sietris berarti bahwa 'ika ahasiswa : lebih tua

dari ahasiswa y 5 x R y 6 aka ahasiswa y lebihtua dari ahasiswa : 5 y R x 6 )9 salah * karena 'ikaahasiswa : lebih tua dari y aka ahasiswa ylebih uda dari ahasiswa :* sehin""a R tersebuttidak sietris

• R transiti$ berarti bahwa 'ika ahasiswa : lebih tuadari ahasiswa y (x R y 6, ahasiswa y lebih tua dariahasiswa ; (y R z 6, aka ahasiswa : lebih tuadari ahasiswa ; 5 x R z 6* sehin""a relasi R tersebuttransiti$


10/36

Relasi Ekuivalensi• Salah satu alat yan" di!akai dala !roses

abstraksi* yaitu eniadakan !erbedaan)!erbedaan tidak relevan yan" ter'adi danen"abil si$at !entin" yan" dibutuhkan.

• 2 ob'ek dikatakan ekuivalen a!abila!erbedaan diantara keduanya tidakdi!ersoalkan. -ontoh !ebayaran di kasir

• Ekuivalensi ter"antun" konteks. -ontoh

!enyi!anan uan" dala do!et.• Ekuivalensi da!at diartikan 'u"a seba"ai

,ara eba"i sesuatu en'adi bebera!akelas yan" berbeda.


11/36

•


12/36

-ontoh

Misal A/0*1*2*3*=4. Relasi R !adadidefnisikan sbb>

R/50*06*50*=6*51*16*51*36*52*265=*0653*36*53*16*5=*=64

%un'ukan R relasi ekuivalensi dan ,arilah seuakelasnya.


13/36

Jawab

• Akan ditun'ukkan bahwa R eru!akanekuivalensi.

a. Re#eksi$ 9R re#eksi$ karena seuaeleen dala A berelasi den"an dirinyasendiri* yan" ditun'ukkan den"an adanyaloo! !ada setia! eleen tersebut.

b. Sietris9%a!ak bahwa seua "arisyan" ehubun"kan 2 titik berbeda selalu

ber!asan"an 5isalnya 0 dan => 1 dan 36,. %ransiti$9Den"an elihat !ada seua

keun"kinan dala R* a!abila : R y dany R ; 55:*;6 an""ota R.


14/36

• ?0@ /: A B : R 04 /0*=4

• ?1@ /: A B : R 14 /1*34

• ?2@ /: A B : R 04 /24

•

?3@ /: A B : R 04 /1*34• ?=@ /: A B : R 04 /0*=4

%erlihat bahwa ?0@ ?=@ dan ?1@ ?3@sehin""a kelas)kelas ekuivalen yan" berbeda

dala R adalah /0*=4*/1*34 dan /24. Dilihatdari "ra$nya* kelas ekuivalen eru!akanba"ian ba"ian yan" ter!isah.


15/36

-ontoh

Misal A/a*b*,*d4. Relasi R !ada didefnisikansbb>

R/5a*a6*5a*d6*5a*,6*5,*a6*5d*a65,*,6*5d*d6*5b*b64

%entukan a!akah relasi R tersebut eru!akanrelasi ekuivalensiC


16/36

Jawab

• Re#eksi$9ta!ak bahwa ada loo! !adasetia! titik* 'adi R re#eksi$.

• Sietris9ta!ak bahwa "arisyan"ehubun"kan 2 titik berbeda selalu dala 2arah* 'adi R sietris.

• %ransiti$ 9ada "aris dari , ke a dan a ke d. 'ika R transiti$* aka harus ada "aris dari , ked* teta!i tidak ada "aris dari , ke d* aka R

tidak transiti$.


17/36

Tutupan (Closure

• Kadan" suatu relasi R diko!osisikan den"an

dirinya sendiri* dan dilakukan berkali)kali.• Rk relasi R diko!osisikan den"an dirinya

sendiri sebanyak k kali.

R1 R dan Rk Rk)1 R* untuk k 1

Kadan" suatu relasi tidak transiti$* untukebuat transiti$

harus dilakukan !enabahan an""ota)an""otatertentu (tutupan

Transiti ! R " Tutupan transiti refeksi (R#* di!eroleh

den"an ,ara

en""abun"kan tutu!an transiti$ den"an

seua eleen yan"


18/36

1.Misalkan A/a*b*,*d4 dandidefnisikan seba"ai

R /5a*b6*5b*,65,*d64

-arilah tutu!an transiti$ dan tutu!an transiti$re#eksi$nya

-ontoh

AxA R ⊆


19/36

Jawab

R /5a*b6*5b*,65,*d64

R2 /5a*,6*5b*d64

R3 R2.R /5a*d64

R=

/5 64 Jadi Rk / 4 untuk k9 3

Maka RF R(R2(R3(G/5a*b6*5b*,6*5,*d6*5a*,6*

5b*d6* 5a*d64

RH/5a*b6*5b*,6*5,*d6*5a*,6*5b*d6* 5a*d6*5a*a6*5b*b6*5,*,6*5d*d64


20/36

-ontoh

Misal A/a*b*,*d*e4. Relasididefnisikan sbb

R/5a*a6*5a*b6*5b*,6*5,*d6*5,*e6*5d*e64

-arilah tutu!an transiti$ se,ara lan"sun" danelalui "ra$

AxA R ⊆


21/36

Jawab

Se,ara lan"sun"

R /5a*a6*5a*b6*5b*,65,*d6*5,*e6*5d*e64

R2 /5a*a6*5a*b6*5a*,6*5b*d6*5a*e6*5b*e64

R3

/5a*a6*5a*b6*5a*,6*5a*d6*5a*e6*5b*e64R= R2.R /5a*a6*5a*b6*5a*,6*5a*d6*5a*e6*4

RI R2.R /5a*a6*5a*b6*5a*,6*5a*d6*5a*e6*4

RFR(R2(R3(G/5a*a6*5a*b6*5b*,65,*d6*5,*e6*

5d*e6*5a*,6*5b*d6*5b*e6*5a*d6*5a*e64


22/36

Misal R relasi biner yan" didefnisikan !adahi!unan A.

R relasi !artial order 'ika dan hanya 'ika Rre#eksi$*

antisietris dan transiti$. Sibol + .

Hi!unan A beserta relasi !artial order disebut !artial ordet

set 5!oset6

-ontoh

Misalkan relasi BL adalah relasi !eba"i !adahi!unan

bilan"an bulat !ositi$ A.

5aBb berarti adalah $aktor dari b atau bkeli!atan dari a6

$artial %rder &et dan Total %rder

( ) baaRb Aba |, ⇔∈∀


23/36

-ontoh

Misal A/2*3*N*O4 dan adalah relasieba"iL !ada A* aka /52*26*52*N6*52*O6*53*36*53*N6*5N*N6*5O*O64

%entukan a!akah relasi R tersebut eru!akanrelasi !artial orderC


24/36

Jawab

• Akan ditun'ukkan bahwa R eru!akanekuivalensi.

a. Re#eksi$ 9R re#eksi$ karena seuaeleen dala A berelasi den"an dirinyasendiri* yan" ditun'ukkan den"an adanyaloo! !ada setia! eleen tersebut.

b. Antisietris9 'ika aRb dan bRa akaab

,. %ransiti$9Den"an elihat !ada seuakeun"kinan dala R* a!abila : R y dany R ; 55:*;6 an""ota R.


25/36

'iagram asse

Perhatikan relasi BL !ada hi!unan

A/1*2*3**1O4.Qabar "ra$ 53N26.

Qra$ relasi !artial order selalu euat loo! !adasetia!

titiknya dan euat "aris yan" bisa di,a!ai lewatsi$at transiti$.

Qra$ yan" dihasilkan ruit. Ada "ra$ yan" lebihsederhana

dia"ra Hasse-ara ebuat dia"ra Hasse.

1. Mulai den"an "ra$ berarah relasi diana seua!anah enu'u ke te!at yan" lebih atas

2. Hilan"kan loo! !ada setia! titik


26/36

-ontoh

Misalkan A/a*b*,4 dan P5A6 adalah hi!unankuasa dari

hi!unan A. Perhatikan relasi hi!unanba"ian5 6 yan"

didefnisikan sbb+

uatlah dia"ra Hassenya.

⊆

( ) ( )( )V xU x xV U A P V U ∈⇒∈∀⇔⊆∈∀

)(,


27/36

Dia"ra Hasse

Dala relasi !artial order* 2 buah eleen un"kinberelasi

5da!at dibandin"kanko!arabel6 un"kin 'u"a tidakberelasi

5tidak da!at dibandin"kannon)ko!arabel6.

Jika seua eleen dala relasi !artial order berelasi total

order.

Misalkan 5A* 6 adalah !oset.

1. a Є A disebut eleen aksial bila dan hanya bila a

seua eleen yan" ko!arabel den"an a 5daladia"ra Hasse letaknya lebih atas6

2. a Є A disebut eleen terbesar 5greatest 6 dala A biladan hanya bila a seua eleen A


28/36

Dia"ra Hasse

3. a Є A disebut eleen inial bila dan hanya bila a seua eleen yan" ko!arabel den"an a.

=. a Є A disebut eleen terke,il 5least 6 dala A biladan hanya bila a seua eleen A

-ontohMisalkan A/a*b*,*d*e*$*"*h*i4. Relasi !artial order

yan"

didefnisikan !ada hi!unan A di"abarkan dala

dia"raHasse berikut+ 5hal 3NN6

-arilah eleen)eleen aksial* inial* "reatestdan least


29/36

• Perluasan dari konse! aksial* inial*least* dan "reates dari hi!unan)hi!unanba"ian !oset.

Jika a*b dua eleen !oset 5A*6.

• , Є A disebut batas atas dari a dan b 'ikadan hanya 'ika a , dan b ,.

• , Є A disebut batas atas dari a dan b 'ikadan hanya 'ika a , dan b ,.

.

)atti*e


30/36

-ontoh + Perhatikan Poset den"an dia"ra Hassedibawah ini

'

h

k

$

i

"

b , e

a

d

- atas atas dari $ dan "adalah h* i* '* k.

- atas bawah dari $ dan" adalah a.


31/36

atti,e

, Є A disebut batas atas terke,il 5least upperbound(6 dari a dan b 'ika dan hanya 'ika+

, batas atas dari a dan b Jika d batas atas dari a dan b yan" lain* aka ,

d

, Є A disebut batas bawah terbesar 5greatestlower boundQ6Dari a dan b 'ika dan hanya 'ika+

, batas bawah dari a dan b Jika d batas atas dari a dan b yan" lain* akad ,.

Dala suatu !oset* kalau!un ada(Q !asti tun""al.

Suatu !oset disebut atti,e a!abilasetia! eleen dala hi!unannyaeiliki ( dan Q.


32/36

atti,e

-ontoh '

h

k

$

i

"

b , e

a

d


33/36

atihan

1. Misalkan A/1*2*34 dan relasi R ditun'ukkandala atriks dibawah ini. A!akah relasitersebut bersi$at re#eksi$* sietris* dantransiti$7

2. Manakah di yan" antara ke)N 'enis relasiyan" ter!enuhi dala relasi R yan"dinyatakan dala "ra$ "abar dibawah ini7

•


34/36

atihan

3. Manakah di antara relasi !ada /0*1*2*34berikut yan" eru!akan relasi Ekuivalensi7

%entukan syarat relasi Ekuivalensi yan" tidakdi!enuhi !ada relasi yan" bukan relasi

EkuivalensiCa6 /50*06*51*16*52*26*53*364

b6 /50*06*50*26*52*06*52*26*52*36*53*26*53*364

,6 /50*06*51*16*51*26*52*16*52*26*53*364

d6 /50*06*51*16*51*36*52*26*52*36*53*16*53*26*53*364

e6 /50*06*51*16*50*26*51*06*51*16*51*26*52*06*52*26*53*364


35/36

atihan

=. Misalkan A /51*36*52*=6*5)=*)O6*53*6*51*6*53*N64. Didenifsikan relasi biner R !ada Asbb+untuk seua 5a*b6*5,*d6TA* 5a*b6R5,*d6

adb, %entukan a!akah R eru!akan relasiEkuivalensi. Jika ya* ,arilah kelas)kelasekuivalensinyaC

. -arilah tutu!an transiti$ relasi dari /51*16*51*36*52*16*52*36*52*=6*53*26*53*=6*5=*164

N. -arilah tutu!an re#eksi$ dari /51*26*52*36*52*=6*53*164 !ada hi!unan /1*2*3*=4


36/36

presentasi relasi

Documents

Transcript of presentasi relasi