Probabilidad.I.DIFERENCIACIÓN ENTRE

PERMUTACIÓN Y COMBINACIÓN

QUIZAS, UNO DE LOS MAYORES PROBLEMAS AL ENTRAR EN LAS TECNICAS DE CONTEO ES EL DE SABER DIFERENCIAR ENTRE UNA PERMUTACIÓN Y UNA COMBINACIÓN .VEAMOS LOS CONCEPTOS QUE SOBRE ELLOS TENEMOS:

PERMUTACIÓN:ES UN ARREGLO EN UN ORDEN PARTICULAR DE LOS OBJETOS QUE FORMAN UN CONJUNTO .

COMBINACIÓN: UNA COMBINACIÓN DE LOS OBJETOS DE UN CONJUNTO ES UNA SELECCIÓN DE ESTOS SIN IMPORTAR EL ORDEN. SE ENTENDERA POR EL NÚMERO DE COMBINACIONES DE R OBJETOS , AL NÚMERO DE SELECCIONES DISTINTAS EN LAS

QUE CADA UNA DE ESTAS CONTIENE R OBJETOS.

LA DIFERENCIA ENTRE UNA PERMUTACIÓN Y UNA COMBINACIÓN RADICA , EN QUE EN LA PRIMERA , EL INTERÉS SE CENTRA EN CONTAR TODOS LOS POSIBLES ARREGLOS

DE ESTOS , EN LOS CUALES IMPORTA EL ORDEN EN QUE SE SELECCIONEN .

MIENTRAS QUE EN UNA COMBINACIÓN , EL INTERÉS SOLO RECAE EN CONTAR EL NÚMERO DE SELECCIONES DIFERENTES. VEAMOS ALGUNOS EJEMPLOS.

¿De cuantas formas diferentes pueden situarse las letras a , b ,c y tomando 2 de ellas sin repetición de letra?

SLN : ab , ac , ba , bc , ca y cb .6 maneras a lo que igual hubiésemos podido hacer :

P(N,R) = N!/(N-R)! CON N =3 Y R = 2 ENTONCES : 3!/(3-2)! = 3X2X1/1 =6.

ESTE MISMO PROBLEMA COMO UNA COMBINACIÓN SERIA ¿ Cuantas combinaciones distintas podría hacerse con las letras a , b y c tomando dos de ellas ?Sln : recordemos que debemos encontrar las selecciones diferentes , en este caso , ab , seria igual que ba , (ó lo mismo que si a = José b=roberto . Entonces , jose y roberto= roberto y jose . y no habría una selección diferente . Por tanto las únicas soluciones serían : ab, ac y cb .Por la fórmula tendríamos :

(n/r)= n!/ (n-r)! r!= (3)!/(3-2)!x(2)! = 6 ÷ 2 =3 combinaciones como efectivamente se vió

.

POR LA FÓRMULA : (N,R)= 5!/(5-3)!X(3)! = 10 COMBINACIONES.

PROBLEMA 2.Se decide premiar a 3 estudiantes de una universidad . Si los estudiantes opcionados son: Pedro , Pablo , Felipe , Rodrigo ,

y Juan . ¿Cuáles son las diferentes opciones que resultarían? Sln: 1.pedro , pablo , Felipe. 2. pedro , pablo , Rodrigo. 3.pedro , pablo ,juan 4. pablo , felipe , juan . 5. felipe, rodrigo , pedro. 6. felipe, rodrigo , pablo. 7. juan , pedro , felipe. 8. juan , pedro , rodrigo. 9. rodrigo , juan , felipe. 10. rodrigo, juan , pablo.

Permutaciones con repetición :Dado un conjunto de n elementos , el número de permutaciones que pueden formarse con ellas de manera que el primer elemento este repetido k1 veces , el segundo k2 veces , el tercero k3 veces y el k-ésimo , kn veces esta dado por la fórmula :

Ejemplo: ¿Cuántas permutaciones se pueden hacer con las letras de la palabra Mississippi ?Sln: algunas formas serían: mssssiiiipp, iimssiisspp , ssssiiiimpp etc .N=11 letras i = 4 veces repetida , s=4 veces repetida , p=2 veces repetida.

=34.650 formas

Variaciones con repetición : cuando en las permutaciones de n elementos tomamos (r ) de ellas y se admite que en cada grupo formado se repitan elementos se habla de variaciones con

repetición .El número de variaciones con repetición que pueden formarse en un conjunto de n elementos , tomados en grupos de r es P(n,r)=

Ejemplo: ¿Cuántas formas puedo obtener de las letras ae si las puedo repetir?Sln: aa , ae , ea , ee , por fórmula tendríamos : p(n,r)= = 4 formas .

Combinaciones con Repetición : Las combinaciones con repetición es el número de selecciones distintas en las que se compone de m objetos ,tomados de n admitiendo la repetición de sus elementos .

La fórmula de las combinaciones con repetición esta dada por la fórmula:

CR = =Ejemplo : ¿Cuántas combinaciones ó selecciones diferentes pueden obtenerse con las cifras :

1 2 3 3 2 1. usando 4 de ellas ? Sln : algunas de las cantidades que podríamos formar serian: 2 331,1133, 1212, 3322 etc. Al hacer la fórmula tenemos entonces :

CR = = = 126 selecciones ó cifras diferentes admitiendo la repetición de números.

Elementos de la probabilidad.

Experimento aleatorio:experimentos cuyos resultados no pueden predecirse antes de su realización.Suceso elemental: Es el resultado de cada una de las realizaciones del experimento aleatorio.Espacio Muestral: es el conjunto de posibilidades del evento ó suceso .se representa por la letra (s)

DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE PROBABILIDAD: Dado un experimento aleatorio con su respectivo espacio muestral , al considerar un evento E , se tiene que la probabilidad de ocurrencia de E , notada P(E) es el cociente entre el número de elementos del evento y el número de elementos del espacio muestral , así :

P(E) : NÚMERO DE ELEMENTOS DEL EVENTO (CASOS FAVORABLES) ESPACIO MUESTRAL (CONJUNTO DE TODAS LAS POSIBILIDADES) Con esta definición se puede trabajar infinidad de ejercicios como por ejemplo : en una bolsa se tienen 40 bolas , clasificadas de la siguiente forma : 15 son chinas , 2 son colombianas , 4 son bolonchos . 6 son plateadas ,9 son amarillas y el resto son azules.calcule la probabilidad de que al sacar una bola esta sea :a) china b) azul c) boloncho d) plateada e) colombiana f ) amarilla.

PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD:

1ª Si A y B son dos sucesos tales que A C B , entonces P(A) ≤ P(B) .2ª. P(A’) = 1 – P(A) 3ª . P(ø) = 0 4ª . Para cualquier suceso A , se tiene que 0 ≤ P(A) ≤ 1.5ª. Si los dos sucesos A y B son compatibles , es decir , su intersección es no vacía , la probabilidad de la unión es

P(AUB) =P(A) + P(B) – P(A ∩ B) . 6ª la probabilidad del espacio muestral es igual a la suma de los eventos que lo componen es decir , si S= { E1 , E2, E3, …….En } entonces P(S) = { P(E1) + P(E2) + P(E3) +………+ P(En) } = 1.

PROBABILIDAD CONDICIONAL .Dados dos eventos A y B , se define la probabilidad condicional P(A/B) , como la probabilidad de que ocurra el evento A, dado que ya ocurrió el evento B , y se lee : ‘ probabilidad de A dado B’ .Ejemplo : Un estudiante contesta un examén con 4 preguntas en las cuales se puede responder falso ó verdadero .¿ Cual es la probabilidad de que conteste a la segunda pregunta verdadero dado que a la primera pregunta contestó falso ?Sln : veamos el espacio muestral que se tenía antes de empezar el exámen: si se considera V al contestar verdadero y F , falso , entonces

s = { VVVV , VVVF , VVFV , VFVV, FVVV, VVFF, VFVF, FVVF, VFFV, FFVV,FVFV, VFFF,

FVFF, FFVV, FFFV, FFFF } Si llamamos al evento A ‘’Contestar la primera pregunta falso’’ y B ‘Contestar la segunda pregunta con verdadero entonces , de acuerdo al enunciado , se tiene que el evento A ya sucedió . Es decir , ya se contestó a la primera pregunta con falso , y por tanto , se debe calcular la probabilidad de que contesté verdadero la segunda dado que contestó f la primera es decir P(B/A).El espacio muestral del evento A esta formado por A= { FVVV, FVVF, FVFV , FFVV , FFFV ,FFVF ,FVFF, FFFF } .La ocurrencia del evento B depende del espacio muestral de A puesto que ya ocurrió por lo tanto : B= { FVVV, FVVF, , ,FVFF, FVFF } entonces ,

P(B/A) = #B = 4 / 8 = 0,5 =50% .Es decir que la probabilidad de que el estudiante habiendo #A contestado la primera pregunta falsa ,conteste a la segunda pregunta de manera verdadera es del 50%.

Conclusión: Al calcular la probabilidad de un evento , dado que ha ocurrido otro , lo que se tiene realmente es una restricción en el espacio muestral . El nuevo espacio muestral estará formado por todos los elementos del evento que ha sucedido

primero. Por tanto , de la definición de dos eventos A Y B la probabilidad de A dado B es (ó viceversa) :P(A/B)=P(A∩B)/P(B) ó P(B/A)= P(B∩A) / P(A) .

INDEPENDENCIA DE EVENTOS : Dados dos eventos A y B , se tiene que A y B son independientes si se cumple que :

P(A/B)=P(A∩B) / P(B) =P(A) Y P(B/A)= P(B∩A) / P(A) =P(B) .Calcular la probabilidad de ocurrencia de A dado B , es igual a calcular la probabilidad de A y por tanto el evento B no es una condición que afecte directamente la ocurrencia del evento A. En términos del cálculo de probabilidades , para que A y B sean independientes , además de que se cumpla la definición , debe existir la probabilidad de ocurrencia de la intersección de los dos .podemos demostrar la independencia de dos eventos a través de una ilustración sencilla veamos :Se lanza un par de dados de diferente color y se anota el resultado obtenido en cada uno de ellos . Se determinan entonces los eventos A : ‘ El resultado del primer dado es par ‘ y B : ‘El resultado del segundo dado es menor que 3 ’. Son A y B eventos Independientes?Veamos : el espacio muestral de este experimento es :S= { (1,1) , (1,2), (1,3) , (1,4) , (1,5) ,(1,6) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) ,(2,5) , (2,6) ,(3,1), (3,2), (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6) ,(4,1), (4,2) ,(4,3) , (4,4) (4,5) , (4,6) , (5,1) , (5,2) , (5,3) (5,4) , (5,5) ,(5,6) , (6,1) (6,2) ,(6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) }

Los eventos A y B están formados por :A= {(2,1 ) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) ,(2,6) , (4,1) ,(4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) (4,6) ,(6,1) , (6,2) (6,3) , (6,4),(6,5) , (6,6) }B= {(1,1) , (1,2) , (2,1) ,(2,2) ,(3,1), (3,2) , (4,1) , (4,2) , (5,1) , (5,2) , (6,1) , (6,2) }

La Intersección entre A y B es : P(A∩B)= { (2,1) , (2,2) , ( 4,1) ,(4,2) , (6,1) , (6,2) }

Por tanto , P(A) = 18/36= , P(B) = 12 / 36 , P(A∩B)= 6 / 36 . Al considerar las probabilidades condicionales se tiene que :

P(A/B)=P(A∩B) / P(B)= (6 / 36) / ( 12 / 36) = ( 6 / 12 ) = 18 / 36 = P(A) .

P(B/A)= P(B∩A) / P(A)= (6 / 36) / ( 18 / 36) = ( 6 / 18 ) = 12/ 36 = P(B) .Entonces se puede afirmar que A y B son eventos Independientes.!!!!!!!!!!

Por ultimo y para finalizar esta presentación , como consecuencia de lo anterior : ‘ SI dos eventos son independientes , entonces P(A∩B) = P(A) * P(B) . Una ecuación sencilla y bastante útil en el cálculo de probabilidades.