Probabilidad basica

UNIVERSIDAD VERACRUZANA

FACULTAD DE ESTADÍSTICA E INFORMÁTICA

ESPECIALIZACIÓN EN MÉTODOS ESTADÍSTICOS

NOMBRE DEL CURSO:

PROBABILIDAD BÁSICA E

INFERENCIA ESTADÍSTICA

FERNANDO VELASCO LUNA

MARIO MIGUEL OJEDA RAMÍREZ

XALAPA, VERACRUZ, MÉXICO AGOSTO 2010

Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.

1

CONTENIDO

Pag.

UNIDAD I

Conceptos básicos y álgebra de eventos…………………. 3

I.1 Ensayos aleatorios, espacio muestral y eventos aleatorios……………….. 3

I.2 Álgebra de eventos en espacios muestrales………………..……………... 12

I.3 Probabilidad, reglas de probabilidad………………..……………………. 16

I.4 Probabilidad condicional………………..………………..………………. 23

I.5 Independencia………………..………………..………………..………… 26

UNIDAD II

Variables aleatorias y distribución de probabilidad… 28

II.1 Variable aleatoria y distribución de probabilidades……………………... 28

II.2 Variables aleatorias discretas y continuas………………..……………… 32

II.3. Momentos de variables aleatorias………………..……………………... 36

II.4. Propiedades de la esperanza y la varianza………………..…………….. 39

UNIDAD III

Algunas distribuciones discretas…………………………... 41

III.1. Distribución Bernoulli………………..………………..……………….. 41

III.2. Distribución Binomial………………..………………..……………….. 45

III.3. Distribución Geométrica………………..………………..…………….. 51

III.4. Distribución Poisson………………..………………..………………… 55

III.5. Distribución Hipergeometrica………………..………………..……….. 61


2

Pag.

UNIDAD IV

Algunas distribuciones continuas…………………………. 66

IV.1.1 Distribución Uniforme………………..………………..……………... 66

IV.1.1 Distribución Uniforme Discreta………………..………………….. 66

IV.1.2 Distribución Uniforme Continua………………..………………… 69

IV.2 Distribución Normal………………..………………..…………………. 72

IV.3 Distribución Beta………………..………………..…………………….. 80

IV.4 Distribución Exponencial………………..………………..……………. 85

UNIDAD V

Distribuciones muestrales…………………………………… 90

V.1 Muestras Aleatorias………………..………………..…………………… 90

V.2 Teorema Central del Limite………………..……………………………. 92

V.3 Distribución Ji-Cuadrada………………..………………..……………... 96

V.4 Distribución F de Fisher………………..………………..………………. 101

V.5 Distribución t de Student………………..………………..……………… 107

Referencias 112


3

I. Conceptos básicos y álgebra de eventos

Objetivo: Que el participante conozca, comprenda y maneje los conceptos

relacionados con eventos y probabilidad.

Introducción

El objetivo de estudio de la estadística es explicar el comportamiento de un

fenómeno aleatorio, para lo cual hace uso de herramientas, entre las cuales

se encuentra la probabilidad. El concepto de probabilidad es de suma

importancia. En esta unidad se tratan los conceptos básicos relacionados

con el concepto de probabilidad y la forma de trabajar ésta.

I.1. Ensayos aleatorios, espacio muestral y eventos aleatorios


básicos de ensayo aleatorio, de espacio muestral, tipos de espacio muestral

y eventos.

La primera pregunta que se tiene que formular es ¿qué estudia la

estadística?

lejournaldepaula.blogspot.com digitalmediadesign2009.com


4

albertorayo.wordpress.com jardinplantas.com

nosoyelmismo.wordpress.com clubbycooosmos.com elcinegratis.com

zuzo.blogspot.com dermocosmetica.umh.es nosoyelmismo.wordpress.com

La estadística la mayoría de las veces se define como la ciencia que

tiene que ver con la obtención, tabulación, análisis e interpretación de

datos. Basándose en la definición anterior se tiene que la estadística para su

existencia necesita datos. Para la obtención de datos es necesario llevar a

cabo un experimento o ensayo, es decir, un proceso mediante el cual se

obtiene una observación.

La estadística tratar de explicar las variaciones que se presentan en

diversos problemas, tales variaciones son debidas a influencias que ocurren


5

cuando se realiza un ensayo o experimento. La estadística estudia el

comportamiento de la variable de interés cuando se realiza el ensayo. Al

realizar un ensayo no se sabe con exactitud cual va a ser el resultado que se

obtenga, por ejemplo, un grupo de los más capacitados científicos no

podrían decir exactamente cual va a ser el resultado de su experimento, aun

cuando todo bajo control.

lacomunidad.elpais.com

En la Física se tiene la siguiente relación entre la velocidad de un

objeto, la distancia que a recorrido y el tiempo que tarda en recorre dicha

distancia t

dv , tal relación aunque no es de todo exacta se podría

considerar como tal, a esta clase de ensayos se les conocer como ensayos

deterministas. Por el otro lado fenómenos en los cuales existe

incertidumbre debida a la variabilidad de los datos se les denomina ensayos

aleatorios. Lo anterior da pie a la siguiente definición

Definición 1.1.1 Experimento o ensayo aleatorio es aquel que puede dar

lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza

cuál de éstos va a ser observado en la realización del experimento.

Ejemplos. 1.1.1 Diversos ejemplos de experimentos y de experimentos

aleatorios.


6

Ejemplo (Biología)

D. El color de una margarita

A. Número de hojas en una planta

mojatexchile.ning.com

Ejemplo (Economía)

D. Habrá fluctuación en el tipo de cambio durante un año.

A. Tipo de cambio del respecto al dólar en el mes próximo.

mercado-divisas.com

Ejemplo (Educación)

safa.edu.uy

D. Habrá alumnos de primer grado el próximo año.

A. El número de alumnos que aprobaran el curso


7

Ejemplo (Medicina)

D. Número de hombres que resultaran embarazados mañana.

A. Número de huesos rotos durante una fractura de pie.

el-nacional.com

Ejercicio 1.1.1 Qué el participante de 2 ejemplos de experimentos y 2 de

experimentos aleatorios.

Cuando se realiza un ensayo aleatorio se obtiene un conjunto de

posibles resultados. Lo anterior nos lleva a la siguiente definición:

Definición 1.1.2 El espacio muestral de un experimento aleatorio es el

conjunto formado por todos los posibles resultados del experimento

aleatorio. El espacio muestral es denotado por S.

Ejemplos. 1.1.2

Lanzar una moneda, posibles resultados Cara, Cruz,

cienciainfinita.com

así Cruz Cara,S .


8

Lanzar un dado, posibles resultados, 1, 2, 3 , 4, 5, 6,

parchis.wordpress.com

así 61,2,3,4,5,S .

Presentar un examen, posibles resultados, 5, 6, 7, 8, 9, 10,

Urse.edu.mx

así 105,6,7,8,9,S .

Presentar un examen, posibles resultados, 105, , así 105,S .

Mujeres que compran determinada marca de crema de belleza

wiki.biensimple.com

Así 10000,1,2,...,S


9

Número de dedos rotos al fracturarse las dos manos,

el-nacional.com

así 100,1,2,...,S

Número alumnos de primer grado el próximo año, así

,..1,...,1000S .

Ejercicio 1.1.2

Que el participante de 4 ejemplos de espacio muestral relacionados

con su área de trabajo.

Tipos de espacios muestrales

Ejemplos 1.1.3

Lanzamiento de un dado, los posibles resultados son: 1, 2, 3, 4, 5, 6,

así 61,2,3,4,5,S .

Un agrónomo desea contar el número de bacterias de determinada

plaga en una planta, así el espacio muestral será ,...50...,2,1,0S .

Se desea estudiar el tiempo de vida de un foco de 100 watts, el

espacio muestral será 0tt S .


10

Definición 1.1.3 Un espacio muestral se denomina numerable finito si el

espacio muestral tiene un número finito de elementos, es decir, si el

número de resultados de mi experimento aleatorio es finito.

Definición 1.1.4 Un espacio muestral se denomina numerable infinito si

el espacio muestral tiene un número infinito de elementos pero se puede

contar, y más aún, se puede poner en relación a los números naturales.

Definición1.1.5 Un espacio muestral se denomina no numerable si el

espacio muestral tiene un número infinito de elementos los cuales no se

pueden poner en relación con los naturales.

Ejercicio 1.1.3 Que el participante de 3 ejemplos de cada tipo de espacio

muestral.

Cuando el investigador realiza un experimento aleatorio por lo

general no es de su interés el conjunto total de resultados, sino solamente

un subconjunto de éstos. Al ser el espacio muestral de un experimento

aleatorio un conjunto se pueden formar a partir de este subconjuntos de

resultados, tales subconjuntos nos llevan a la siguiente definición.

Definición 1.1.6 Dado un experimento aleatorio, un evento aleatorio es un

subconjunto del espacio muestral. El evento es denotado por las letras A, B,

etc. Si el evento esta formado por sólo un resultado diremos que es un

evento simple, si por el contrario el evento consta de dos o mas resultados,

definiremos el evento como evento compuesto.

Ejemplos 1.1.4

Lanzamiento de una moneda, Cruz Cara,S .

CaraA , CruzB , Cruz Cara,C , D


11

Lanzar un dado, 61,2,3,4,5,S .

1A , 2,4,6B , 1,3,5C , D , etc.

Presentar un examen, 105,6,7,8,9,S .

7A , 8,9B , 9,10C , D , etc.

Presentar un examen, 105,S .

7A , 7,9.4B , etc.

Ejercicio 1.1.4.

El participante elabora un escrito de 3 imágenes de las imágenes

siguientes donde describa: la característica de interés, el

experimento, el espacio destral y 5 posibles eventos. Además dará

dos ejemplos relacionados con su área de trabajo. .

star110.lacoctelera.net gentedigital.es .

. es.fordesigner.com ptobal.wordpress.com


12

El evento A ocurre si cuando se realiza el experimento el resultado

que ocurre es un elemento del evento. Así en el ejemplo del lanzamiento de

un dado se definen los eventos como 2,4,6B , 1,3,5C y si al llevarse

acabo el experimento el resultado es un 3, entonces, ocurre el evento C, y

no ocurre el evento B.

Definición 1.1.7 Dado un experimento aleatorio, el evento imposible es el

evento que no tiene elementos, mientras que el evento seguro es el

conjunto de todos los posibles resultados, es decir, el espacio muestral S .

I.2. Álgebra de eventos en espacios muestrales finitos

Objetivo: Que el participante conozca y sea capaz de realizar operaciones

relacionadas con el álgebra de eventos.

Definición 1.2.1 Sean By A dos eventos, se dice que estos eventos son

eventos excluyentes si ellos no pueden ocurrir en forma simultanea. Los

eventos n21 AAA ...,,, se denominan eventos mutuamente excluyentes si

cualquier par de estos son eventos excluyentes.

Ejemplo 1.2.1

i) Mujeres que compran determinada marca de crema de belleza

Los eventos 50,1,2,3,4,A y 50,...,200B son excluyentes


13

ii) Se tienen los eventos relacionados al número de hamburguesas que se

come un adulto

todanoticia.com

Sean los eventos 1,2,3A , 3,4,5B , 6,7C , entonces

A y B no son excluyentes,

A y C son excluyentes,

B y C son excluyentes,

A , B y C son mutuamente excluyentes, ya que aunque A y B no lo

son, C si lo es con A, además de B con C.

Cuando se tienen dos o más eventos aleatorios, a partir de éstos se

pueden formar otros eventos, tal como se muestra a continuación.

Definición 1.2.2 Sean By A dos eventos, el evento unión de los eventos

By A es el evento formado por la unión de los subconjuntos By A , es

decir, por la unión de los resultados del evento A o del evento B . El

evento unión se denota por B A .

El evento B A ocurre si ocurre el evento A o el evento B .

El evento B A no ocurre cuando ni ocurre el evento A ni ocurre el

evento B .


14

Ejemplo 1.2.2 Hugo Sánchez anota en un partido de fútbol como máximo

5 goles, así 1,2,3,4,5 0,S . Sean los eventos:

1,2,30, goles 3 más lo a anotaA

3,4,5 goles 3 menos lopor anotaB

4 goles 4 anotaC ,

entonces se tiene que los eventos B A , C B y C A están formados por

5 4, 1,2,3,0,goles 3 menos lopor o goles 3 más lo a anotaBA

3,4,5 goles 4 anota o goles 3 menos lopor anotaCB

4 1,2,3,0,goles 4 anota o goles 3 más lo a anotaCA

colchonero.com

Ejercicio 1.2.1 Dar ejemplos.

Definición 1.2.3 Sean By A dos eventos, el evento intersección de los

eventos By A es el evento formado por la intersección de los subconjuntos

By A , es decir, por la intersección de los resultados del evento A y del

evento B . El evento intersección se denota por B A .

El evento intersección ocurre si ocurre el evento A y ocurre el

evento B .

El evento B A no ocurre cuando

No ocurre el evento A aunque ocurre el evento B ,

Ocurre el evento A pero no ocurre el evento B ,

No ocurre el evento A ni ocurre el evento B .

Es decir, con un evento de los dos que no ocurra, ya no ocurre

el evento intersección.


15





4 goles 4 anotaC ,

entonces se tiene que los eventos B A , C B y C A están formados de

la siguiente manera

3goles 3 menos lopor goles 3 más lo a anotaBA y

4 goles 4 anotay goles 3 menos lopor anotaCB

goles 4 anotay goles 3 más lo a anotaCA

Definición 1.2.4 Sea el evento A , el evento complemento del evento A es

el evento formado por todos los resultados del espacio muestral que no

forman al evento A. El evento complemento del evento A se denota por

CA . el evento complemento de A ocurre cuando no ocurre el evento A. El

evento CA no ocurre cuando ocurre el evento A.





4 goles 4 anotaC ,

entonces se tiene que los eventos CA , CB y CC están formados de la

siguiente manera

5,45) o 4 decir, es 3, de más (anota goles 3 más lo a anota noA C

,2,1,0 2) o 1 0, decir, es 3, de menos (anota goles 3 menos lopor anota noB C

0,1,2,3,5 goles 4 anotanoCC


16

Ejercicio 1.2.2. Dar ejemplos.

I.3. Probabilidad, reglas de probabilidad

Objetivo: Que el participante conozca y comprenda el concepto de

probabilidad y las principales reglas en su aplicación.

Se puede definir la probabilidad desde un punto de vista muy formal

y elegante (ver Ash, Royden), pero para los fines que se persiguen en este

curso es algo completamente innecesario. Aquí el interés es conocer qué es

la probabilidad, conocer su aplicación y de suma importancia adquirir la

capacidad para la interpretación.

Lo primero que se debe de conocer es a que se le aplica la

probabilidad. Para responder la pregunta se trata el siguiente ejemplo: Es

muy común preguntar ¿En el lanzamiento de un dado cuál es la

probabilidad de que el resultado del lanzamiento sea un seis? Aunque no

se dice explícitamente ya se sabe por las secciones anteriores que la frase

“resultado del lanzamiento sea un seis” es un evento.

Del ejemplo anterior se puede ver que se habla de obtener la

probabilidad de un evento. Si se denota el evento “resultado del

lanzamiento sea un seis” por medio de A , se tiene que se desea obtener la

A de adProbabilid . Ahora bien en vez de estar escribiendo la

“ A de adProbabilid ” se tiene una notación para expresar lo anterior la cual es:

AP , la P es una abreviatura de probabilidad, la A representa al evento del

cual se desea obtener su probabilidad de ocurrencia. Cuando se aplica la


17

probabilidad al evento se obtiene un valor numérico el cual es un número

que siempre toma el valor entre cero y uno.

En el ejemplo anterior se tiene que 6

1A P , el porqué de este valor

se basa en la regularidad estadística

¿Qué es la regularidad estadística? Si observamos un experimento aleatorio

un gran número de veces, bajo las mismas condiciones y se calcula el

porcentaje de veces que ocurre un resultado de todos los resultados posibles

esta proporción es prácticamente constante. La probabilidad se basa en la

regularidad estadística. A continuación se dará la idea de probabilidad.

Es una forma matemática de representar la regularidad estadística.

es.fordesigner.com

Un agrónomo desea contar el número de bichos de determinada

plaga en una planta, se sabe de estudios anteriores que a lo mas hay 4

bichos por planta, así el espacio muestral será 43210 ,,,,S . Si la

probabilidad del resultado “existen 2 bichos” se evalúa como 0.12, lo que

se hace es medir el resultado “existen 2 bichos” y el valor 0.12 o 12 por

ciento, indica que si se realiza, bajo las mismas condiciones, el

experimento, se tiene que el resultado “existen 2 bichos” ocurre


18

aproximadamente el 12% de las veces, es decir, si se realiza 100 veces el

experimento en 12 ocasiones se tendrá que existen 2 bichos en la planta. Si

el agrónomo observa una planta determinada y cuenta el número de bichos

en la planta, no se puede predecir si este será de 2 bichos, sólo se puede

decir que el porcentaje de plantas con dos bichos es del 12%.

Se debe hacer notar que podría haberse dado la interpretación

anterior de la siguiente manera: si se realiza 50 veces el experimento en 6

ocasiones se tendrá que existen 2 bichos en la planta. o, si se realiza 25

veces el experimento en 3 ocasiones se tendrá que existen 2 bichos en la

planta.

De lo anterior se tiene que la probabilidad de un evento aleatorio

tiene por objeto evaluar la proporción indicada por la regularidad

estadística, los valores que esta probabilidad puede asumir siempre serán

cantidades entre cero y uno.

Se tienen entonces que la probabilidad es una representación

matemática de la regularidad estadística, para lo cual es necesario llevar a

cabo el experimento aleatorio un número de veces y por cada vez que se

repita el experimento observar el resultado, lo cual lleva a la definición de

la probabilidad desde el punto de vista frecuentista o de frecuencia relativa,

la cual es la definición frecuencial y se expresa formalmente por medio de:

n

nA

n LimAP

donde

A evento el ocurre que vecesde número el es

o,experiment el realiza se que vecesde numero el es

interés de aleatorio evento el esA

LimAP

A

A

n

n

n

n

n


19

La definición de mayor uso en la práctica es la definición clásica de

probabilidad la cual es:

posibles casos Número

favorables casos NúmeroAP

Existe la forma de modelos probabilísticos, la cual se basa en la

representación a través de ecuaciones de un fenómeno aleatorio. Además

existe la idea de probabilidad subjetiva la cual se basa en el grado de

creencia del individuo respecto a la ocurrencia del evento aleatorio de

interés. (Estadística bayesiana)

Sea trrrS ,..., 21 el espacio muestral del experimento aleatorio, tal

que la probabilidad del resultado ir es ip , es decir, ii prP , y sea A

cualquier evento aleatorio, entonces la probabilidad del evento aleatorio A

es definida por

ii prPAP

Air





4 goles 4 anotaC ,

Para obtener la probabilidad del evento 1,2,30,A de acuerdo a la

definición anterior

ii prPAP

Air

Se tiene


20

5,4,3,2,1,0 654321 rrrrrrS

y 1,2,30, goles 3 más lo a anotaA , así

6

4

6

1

6

1

6

1

6

1

PPPPPAP 4321

rrrrri


Ejemplo 1.3.2 Dos agrónomos observan el número de bichos en dos

plantas, una cada agrónomo, y se anota la suma de los dos conteos, se sabe

de ejemplos anteriores que en cada planta hay a lo más 4 bichos, en este

caso el espacio muestral es S , y se tiene la siguiente

relación

ri 0 1 2 3 4 5 6 7 8

pi

ri 0 1 2 3 4 5 6 7 8

pi

25

1

25

2

25

3

25

4

25

5

25

4

25

3

25

2

25

1

Sea 1,2,30, plantas dos lasen bichos 3 más lo a A entonces

,4.025

10

25

4

25

3

25

2

25

1

3P2P1P0PPAP

ir


21

Interpretación la cual tiene una interpretación de la forma siguiente, si los

agrónomos observarán 200 plantas de dos en dos y sumaran el número de

bichos en las dos plantas, entonces, en 40 casos la suma de los bichos en las

dos plantas sería de a lo más 3.

Reglas de probabilidad

Sea A un evento, la probabilidad del evento A cumple las siguientes

propiedades:

La probabilidad de cualquier evento es un valor entre cero y uno,

1AP0

La probabilidad del evento seguro es uno, 1SP .

La probabilidad del evento imposible es cero, 0P .

La suma de las probabilidades de todos los elementos del espacio

muestral o de todos los eventos simples es uno, 1P ii pr .

Sean A y B dos eventos, entonces

La probabilidad del evento unión es igual a la probabilidad del

evento A mas la probabilidad del evento B , menos la probabilidad

del evento intersección BAPBPAPBAP .

La probabilidad del evento complemento es igual a uno menos la

probabilidad del evento, AP1AP c .

Ejemplo 1.3.3 Un maestro desea conocer el número de faltas de ortografía

en una hoja de redacción, se sabe que a lo más hay 6 faltas, así

61,2,3,4,5, 0,S .


22

vivapy.wordpress.com

Sean los eventos:

1,2,30, ortografía de faltas 3 más lo ahayA

3,4,5 ortografía de faltas 5y 3 entrehay B

4,5 ortograíia de faltas 5 o 4hay C ,

Para obtener las probabilidades de los eventos, en primer lugar se deben

tener la probabilidad de cada uno de los posibles resultados del

experimento aleatorio, lo cual se tiene en la siguiente tabla

ri 0 1 2 3 4 5 6

pi

7

1

7

1

7

1

7

1

7

1

7

1

7

1

7

4AP ,

7

3BP ,

7

2CP

El interés del maestro es obtener la probabilidad del evento BA , para lo

cual es necesario obtener la probabilidad del evento BA , en este caso se

tiene BA es el evento que existan exactamente 3 faltas de ortografía en la

redacción, así 7

1BAP , de lo anterior se tiene


23

857107

6

7

1

7

3

7

4

BAPBPAPBAP

.

Interpretación

Si se revisaran 100 hojas de redacción, entonces en aproximadamente 86

hojas se tendrían a lo mas 5 faltas de ortografía o en otras palabras en

aproximadamente 14 hojas se tendrían exactamente 6 faltas de ortografía.

Ejercicio 1.3.2

Obtener probabilidad de CA y BC e interpretar.

Obtener probabilidad de cCAP e interpretar

1.4 Probabilidad condicional

Objetivo: Que el participante conozca y comprenda el concepto de

probabilidad condicional.

Probabilidad condicional

Un doctor desea conocer cual es la probabilidad de que una persona

adulta mejore con un medicamento, si de estudios anteriores se conoce la

siguiente información

Mejora

Edad

Joven Adulta

Total

SI

NO

70 10

80 40

80

120

Total 150 50 200

Este es un problema de restricción ya que se pide la probabilidad de que

una persona que se sabe con anticipación que es adulta mejore en su salud,


24

que es muy distinto a pedir la probabilidad de que una persona no

importando si es adulta o joven muestre mejora después de administrarle el

medicamento.

En el caso de que no importe la edad el espacio muestral esta formado por

todos los posibles resultados, pero en el caso de que se conoce con

anticipación que la persona es adulta el espacio muestral esta formado por

los resultados solamente de las personas adultas.

En general en ocasiones se desea obtener la probabilidad de algún evento A

dado que a ocurrido un evento B, este tipo de probabilidad se denomina

probabilidad condicional (probabilidad condicionada) y se obtiene de la

siguiente manera

Sean A y B dos eventos aleatorios, tal que 0BP se define la

probabilidad condicional de A dado B como

BP

ByAPBA P

Ejemplo 1.4.1. Un doctor desea conocer cual es la probabilidad de que una

persona adulta que sufre de depresión, mejore con el medicamento, si de

estudios anteriores se conoce la siguiente información

hoypadres.com


25

Mejora

Edad

Joven Adulta

Total

SI

NO

70 10

80 40

80

120

Total 150 50 200

En este ejemplo se tienen los eventos MejoreA , adulta Persona B y la

probabilidad de interés es la del evento la persona mejora dado que es

adulta, es decir, se desea obtener la probabilidad del evento A condicionado

al B, tal probabilidad se obtiene a partir de

BP

By A PBA P

para obtener la probabilidad anterior es necesario conocer By A P y

BP . Al hacer uso de la definición de probabilidad frecuencial, se tiene lo

siguiente 050200

10By A P . y 250

200

50BP . , ahora sustituyendo se

obtiene:

20250

050

BP

By A PBA P .

.

.

la cual tiene la siguiente interpretación: si se administra el medicamento a

100 personas adultas en promedio 20 de éstas van a mejorar en su salud.

Ahora si se desea obtener la probabilidad de que la persona sea adulta dado

que se conoce que mejoró:

125040

050

AP

Ay BPA BP .

.

.

la cual tiene la siguiente interpretación: de cada 1000 personas que se sabe

mejoraron en su salud al tomar el medicamento, se tiene que en promedio

125 de éstas son adultas.

Ejercicio 1.4.1 LIBRO


26

I.5. Independencia.

Objetivo: Que el alumno conozca y maneje el concepto de eventos

independientes.

El doctor del ejemplo anterior desea conocer cual es la probabilidad de que

una persona adulta mejore con un medicamento DISTINTO al anterior, si

de estudios anteriores se conoce que la mejora del paciente tomando o no

del nuevo medicamento no presenta relación con la edad del paciente.

Así la ocurrencia del evento “persona es adulta” no altera para nada la

ocurrencia del evento ”mejore” así la probabilidad condicional de

APBA P

Definición 1.5.1 El evento A se dice independiente del evento B si

APBA P

Observación 1.5.1 Al ser el evento A independiente del evento B también

se tiene que el evento B es independiente del evento A, por lo anterior se

dice que los eventos A y B son independientes.

En ocasiones la definición de independencia está dada por lo siguiente:

Definición 1.5.2 El evento A es independiente del evento B si

BPAPBAP

Ejemplo 1.5.1 El INEGI desea hacer un estudio sobre familias con dos

hijos, niño y niña, así el espacio muestral es HH HM, MH, MM,S .


27

ahorrodiario.com

Sean los eventos mujer hijoPrimer A , mujer hijo SegundoB . ¿Son estos

eventos independientes?

Ejercicio 1.5.1

Resolver el problema anterior.


28

II. Variables aleatorias y distribución de probabilidad


relacionados con las variables aleatorias y las distribuciones de

probabilidad.

Introducción

Cuando el investigador lleva acabo un experimento aleatorio es posible

obtener más de un espacio muestral, dependiendo de la característica de

interés bajo estudio. Por ejemplo, dos compañeros de la facultad de

Economía presentan su examen de Inglés, entonces el espacio muestral

asociado con observar el resultado del examen será RRRAARAAS ,,, ,

mientras que si el interés es conocer el número de aprobados el espacio

muestral será 0,1,2S . La asignación de valores numéricos a los

elementos del espacio muestral puede pensarse como una función del

espacio muestral a un conjunto de números reales, tales funciones son

conocidas como variables aleatorias. En esta unidad estudiaremos los

conceptos relacionados con las variables aleatorias.

II.1. Variable aleatoria y distribución de probabilidades

Definición 2.1.1 Una variable aleatoria es una función, del espacio

muestral a los números reales. Es decir, una variable aleatoria asocia a cada

elemento del espacio muestral un número real. Ya que el valor que tome la

variable depende del resultado del experimento aleatorio es por lo cual del

nombre variable aleatoria.


29

Ejemplo 2.1.1 Un jugador lanza dos monedas y observa los resultados. Se

tiene que el espacio muestral es CCACCAAAS ,,,,,,, . Defínase a X

como el número de cruces observadas. Los valores que toma la variable

aleatoria son 210 ,, , los puntos muestrales asociados a cada valor de la

variable aleatoria son

Valor de X 0 1 2

Elementos del espacio muestral AA, CAAC ,,, CC,

Ejemplo 2.1.2 En un laboratorio clínico trabajan tres biólogos y tres

químicos. Se desea formar un grupo de tres científicos para una labor

especial y se decide que la elección sea al azar para no introducir algún

sesgo. El espacio muestral es

QQQBQQQBQQQBBBQBQBQBBBBBS ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

Sea X el número de biólogos en el grupo. Los valores que toma la variable

aleatoria son 3y 210 ,, , los puntos muestrales asociados a cada valor de la


Valor de X 0 1 2 3

Elementos del

espacio

muestral

QQQ ,,

QQB ,,

QBQ ,,

BQQ ,,

QBB ,,

BBQ ,,

BQB ,,

BBB ,,

Ejercicio 2.1.1. Dar 2 ejemplos de variables aleatorias.

Dado un experimento aleatorio y su espacio muestral se puede

definir una variable aleatoria. Esta variable aleatoria por definición toma


30

valores los cuales son números reales. Para cada uno de estos valores que

toma la variable aleatoria se puede obtener la probabilidad de ocurrencia.

Esta probabilidad se obtiene a partir de los elementos muestrales asociados

al valor particular que toma la variable aleatoria.

Notación. Por lo que respecta a la notación, se utilizarán mayúsculas como

X, para denotar variables aleatorias, y minúsculas como x, para denotar

valores particulares que pueda tomar una variable aleatoria.

Notación. Sea X una variable aleatoria cuyos valores son ,...,...,, 21 nxxx la

probabilidad de que la variable aleatoria X tome el valor particular ix es

denotado por ixP X






Valor de X 0 1 2


La probabilidad de que la variable aleatoria X tome el valor 1 está dada de

la siguiente manera. De la tabla anterior se tiene que los elementos

muestrales asociados al valor de 1 son CAAC ,,, , además se tiene que este

es el evento CAACE ,,, cruz una eexactament observa Se y de la unidad I

se tiene 2

1EP , así se tiene que

2

11 XP .


31


El objetivo de la Estadística es explicar el comportamiento de la

variable aleatoria bajo estudio, se puede dar una idea de tal

comportamiento a partir del comportamiento de la muestra que se tiene. El

comportamiento de la muestra se da en términos de los valores de variables

aleatorias, y por eso es imperativo que conozcamos las probabilidades de

estos valores, lo cual nos lleva a obtener probabilidades de eventos. Dado

que ciertos tipos de variables aleatorias ocurren con mucha frecuencia en la

práctica, es útil disponer de la probabilidad para cada valor de una variable

aleatoria. Este conjunto de probabilidades se llama distribución de

probabilidades.

Definición 2.1.2 La función de distribución de probabilidad de la

variable aleatoria X es aquella función que va acumulando las

probabilidades hasta un valor especificado, también se conoce como

función de distribución acumulativa o función de distribución. La

función de distribución de probabilidad se denota por medio de xXF y se

define como

xPx XFX .

Nota. La función de distribución de probabilidades es una probabilidad, así

que debe tomar valores entre cero y uno.







32

Valor de X 0 1 2


La distribución de probabilidades para este caso es

4

10P0P0 XXFX ,

4

3

4

2

4

11P0P1P1 XXXFX ,

.XXXXFX 14

1

4

2

4

12P1P0P2P2

Se tiene que

4

3

4

2

4

11P0P1.74P1.74 XXXFX ,

14

1

4

2

4

12P1P0P23P23 XXXXFX ,

06-P6- XFX .

Nota 2.1.1 La grafica de la función de distribución de probabilidades tiene

una forma escalonada.

II.2. Variables aleatorias discretas y continuas

Objetivo: Que el participante conozca, comprenda y maneje los tipos de

variables aleatorias: discretas y continuas.

Sea X una variable aleatoria cuyos valores son ,...,...,, 21 nxxx , el

conjunto ,...,...,, 21 nxxx puede ser numerable finito, numerable infinito o no

numerable. Dependiendo del tipo de conjunto que sea ,...,...,, 21 nxxx es el

tipo en el cual se etiqueta la variable aleatoria.


33

Definición 2.2.1 Una variable aleatoria, se denomina variable aleatoria

discreta si solamente puede tomar un número finito o numerable infinito

de valores distintos. Es decir, si el conjunto ,...,...,, nxxx 21 es ya sea

numerable finito o numerable infinito.

La probabilidad inducida por la variable aleatoria discreta se obtiene

sumando las probabilidades correspondientes a los elementos del espacio

muestral.

Ejemplo 2.2.1 En el ejemplo del lanzamiento de las dos monedas sea X el

número de cruces observadas, la probabilidad de que la variable aleatoria

discreta X tome el valor 1 está dada de la siguiente manera. Los elementos

muestrales asociados al valor de 1 son CAAC ,,, , además se tiene que este

es el evento CAACE ,,, cruz una eexactament observa Se y de la unidad I

se tiene 2

1EP , así

2

11 XP .

Aunque las variables aleatorias no son eventos se puede hablar de la

probabilidad de ocurrencia de determinado valor de la variable aleatoria.

Cuando se tiene una variable aleatoria discreta la función relacionada

con la probabilidad de ocurrencia de cada uno de los valores de la variable

aleatoria se denomina función de probabilidad, esto es, la función de

probabilidad de la variable aleatoria discreta se define como ixP X y se

denota por medio de if x , así

ii xPxf X

La función de distribución de probabilidad y la función de

probabilidad de una variable aleatoria discreta están relacionadas de la

siguiente manera


34

xxi

f ixxXF

Propiedad. La función de probabilidad cumple las condiciones

0x f

1x f






Valor de X 0 1 2


La función de probabilidad para este caso es

4

10P0 Xf ,

4

21P1 Xf ,

4

12P2 Xf .

Gráfica


35

Ejercicio 2.2.1. Dar un ejemplo

Definición 2.2.2 Una variable aleatoria, se denomina variable aleatoria

continua si el conjunto ,...,...,, 21 nxxx es un conjunto no numerable. Es

decir si su rango de valores que la variable puede tomar es continuo.

Gráfica

Definición 2.2.3 Sea X una variable aleatoria continua, la función xf

cuya gráfica produce la curva anterior se denomina función de densidad

de la variable aleatoria continua.

La función de distribución de probabilidad y la función de densidad

de una variable aleatoria continua están relacionadas de la siguiente manera

a

-

dxxa fXF

Nota 2.2.1. Si X una variable aleatoria continua, entonces

b

a

dxxbaP fX

Nota 2.2.2. Si X una variable aleatoria continua, entonces 0aP X

Propiedad. La función de densidad cumple las condiciones

0x f

1dxx-

f


36

II.3. Momentos de variables aleatorias

Valor Esperado

El objetivo principal de la función de densidad o función de

probabilidad de una variable aleatoria es la de proporcionar información

respecto al comportamiento de tal variable aleatoria. Pensemos en la

calificación de la asignatura de Historia de los alumnos de tercero de

bachillerato en la escuela “López Obrador”. Si el director del plantel

deseara saber cual es el comportamiento de la calificación en forma rápida

no seria aconsejable que se le preguntara a cada estudiante su calificación

en tal asignatura. Una forma rápida y más que otra cosa

REPRESENTATIVA de la variable calificación es la calificación promedio

en Historia de los alumnos de tercer semestre. El ejemplo anterior nos lleva

a la siguiente definición.

Definición 2.3.1 Sea X una variable aleatoria, el valor esperado de la

variable aleatoria X se define como

continua es sixx

discreta es si xx

E

X

X

X

f

f

donde la sumatoria se hace para todos los posibles valores de la variable

aleatoria y la integral se hace sobre todos los posibles valores para los

cuales 0x f .


37

Ejemplo 2.3.1 Sea la variable aleatoria discreta X con función de

probabilidad dada de la siguiente manera

5 si200

4 si200

3 si300

2 si250

1 si050

x

X.

X.

X.

X.

X.

f

Se tiene que X es una variable aleatoria discreta así su valor esperado está

dado por medio de xx f . Para este caso en particular.

053800800900500050

205204300325020501xxE

......

.*.*.*.*.*X

f

Así si se quisiera predecir el próximo valor de la variable aleatoria el valor

más apropiado sería 3.

Ejemplo 2.3.2 Sea la variable aleatoria continua X con función de

densidad

202

xx

xf

entonces

6

8

6dx

2

dx2

xdxxxE

2

0

32

0

2

2

0

xx

xfX

Así si se quisiera predecir el próximo valor de la variable aleatoria el valor

más apropiado sería 6

8.


38

Varianza

El director la escuela “López Obrador” tiene conocimiento de que la

calificación promedio en la asignatura de Historia de los alumnos del

plantel es de 8.5, pero que también la calificación promedio en Historia de

los alumnos del plantel “Calderón” es de 8.5 ¿Es el comportamiento el

mismo en las dos escuelas respecto a la calificación en la asignatura de

Historia?

ddicrociodiaz.blogspot.com

Para responder se necesita la siguiente definición.

Definición 2.3.2 Sea X una variable aleatoria, la varianza de la variable

aleatoria X se define como

continua es sixE-

discreta es si xE-

Var

2

2

XXX

XXX

X

f

f

donde la sumatoria se hace para todos los posibles valores de la variable

aleatoria y la integral se hace sobre todos los posibles valores para los

cuales 0x f .


39

La varianza de una variable aleatoria nos da información respecto a

la dispersión de los valores de la variable aleatoria. El concepto de varianza

de la variable aleatoria es el mismo para variables discretas o continuas.

Observación. De la definición de varianza y de valor esperado de una

variable aleatoria se tiene que

2E-EVar XXX

II.4. Propiedades de la esperanza y la varianza

Propiedades de la esperanza La esperanza tiene las siguientes

propiedades. Sea X una variable aleatoria y c , 1c y 2c números, entonces

ccE

XX cEE c

XX EE 2121 cccc

Propiedades de la varianza La varianza tiene las siguientes propiedades.

Sea X una variable aleatoria y c un número, entonces

0Var c

22 EEVar XXX

XX VarVar 2cc

Ejemplo 2.4.1 Obtener la varianza de la siguiente variable aleatoria

discreta la cual tiene función de probabilidad

5 si200

4 si200

3 si300

2 si250

1 si050

x

X.

X.

X.

X.

X.

f


40

Se tiene en primer lugar que obtener el valor esperado. Para este caso

053E .X , ahora se puede hacer uso de la propiedad

22 EEVar XXX

para la cual se necesita 2E X la cual toma el valor ¿?

30259053EVar22

..XX

Así tenemos que la varianza de la variable aleatoria es y su desviación

estándar toma el valor .

Ejercicio 2.4.1 Por parte de los participantes.


41

III Algunas distribuciones discretas

Objetivo: Que el participante conozca y maneje algunas de las variables

aleatorias discretas, así como la función de probabilidad de cada una de

éstas.

Introducción

Como se estableció en la Unidad II cuando se tiene una variable

aleatoria discreta, información acerca de su comportamiento se puede

obtener a partir de su función de probabilidad. Tal función de probabilidad

puede estar dada en forma de una expresión algebraica. En esta unidad se

tratan las principales variables aleatorias de tipo discreto, así como la

correspondiente función de probabilidad.

III.1. Distribución Bernoulli

La señora López está indecisa si comprar o no la crema antiacné

saludmedicina.com

Su decisión la basara en si tiene menos de 2 infecciones o no.


42

Una industria fármaco bióloga desea sacar al mercado un nuevo

medicamento, para lo cual realiza un experimento y la decisión de sacarlo

al mercado dependerá si el paciente muestra o no mejora respecto a la

enfermedad que presenta.

dermocosmetica.umh.es

El anterior es un problema donde el espacio muestral es numerable

finito, ya que solamente se tienen dos posibles resultados para el

experimento NMSM,S . Sea la variable aleatoria definida de la siguiente

manera

Mejora Nosi0

Mejora si1

:X

así se tiene que el conjunto de valores de la variable aleatoria es 10, por lo

cual la variable aleatoria es una variable aleatoria discreta.

En el ejemplo anterior el rango de la variable aleatoria es discreto,

por lo cual es una variable aleatoria discreta, pero además, la variable

aleatoria solamente puede tomar dos valores. En general existen variables

aleatorias en las cuales sólo existen dos valores en su rango. Lo anterior

nos lleva a la siguiente definición.


43

Definición 3.1.1 Un experimento se denomina Bernoulli si los posibles

resultados del experimento son solamente dos. Comúnmente a uno de los

dos resultados se le denomina éxito (E) y al otro fracaso (F).

safa.edu.uy gentedigital.es

elianayjenniferdesnutri

Observación 3.1.1 Posibles resultados del experimento dos.

Observación 3.1.2 Éxito (EVENTO DE INTERÉS) y fracaso

Nota 3.1.1 Ya sea que se trate como probabilidad de la variable aleatoria o

la probabilidad del evento éxito, ésta se denota por medio de p y al

probabilidad de fracaso por q , la cual por las propiedades de probabilidad

es p-1 ¿Porqué?

Nota 3.1.2 El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria la cual

tiene una distribución Bernoulli están dados por medio de:


44

pXE y p1Var X .

Ejemplo 3.1.1 Un alumno de la facultad de Estadística presenta un examen

de la asignatura de técnicas básicas de muestreo, su interés, como es de

esperarse, es aprobar la asignatura, así que los posibles resultados del

experimento son APROBAR o REPROBAR. RA,S . Lo cual en

términos de la variable aleatoria sería

Repruebasi0

Aprueba si1

:X

con alguna probabilidad de éxito p .

Ejemplo 3.1.2 El maestro de la asignatura técnicas básicas de muestreo,

quien le imparte clases al alumno del ejemplo anterior tiene el interés de

conocer cuál fue la calificación del alumno en el examen, así que los

posibles resultados del experimento son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. el cual

ya no sería un experimento Bernoulli.

Ejemplo 3.1.3 Un alumno de la facultad de Estadística presenta un examen

de la asignatura de técnicas básicas de muestreo

Valor de X 0 1

Probabilidad asociada p-1 p

La distribución de probabilidades para este caso es

p 10P0P0 XXFX , 11P0P1P1 XXXFX ,

p10P0.74P0.74 XXFX ,

.XXXFX 11P0P2P2


45

Grafica de la función de distribución.

Para una variable aleatoria Bernoulli su función de probabilidad está

dada por medio de x-1x p-1pxXPx f , con 10,x . Así

pp-1p1XP1

p1p-1p0XP0

1-11

0-10

f

f

Grafica de la función de probabilidad

Ejercicio. Dar 2 ejemplos de variables aleatorias Bernoulli con valores de

p, con graficas.

III.2. Distribución Binomial

Una industria fármaco bióloga desea sacar al mercado un nuevo

medicamento, para lo cual realiza un experimento. El nuevo medicamento

es probado en 50 pacientes los cuales presentan la enfermedad bajo

exactamente las mismas condiciones. El interés es conocer cuantos

pacientes de los 50 muestran mejora respecto a la enfermedad.


46

El anterior es un problema donde el espacio muestral es numerable

finito. La cantidad de pacientes que mostraron mejora puede tomar 51

posibles valores, así la variable aleatoria toma los valores 0,1,2,…,50.

En el ejemplo de la industria fármaco bióloga el rango de la variable

aleatoria es discreto, por lo cual es una variable aleatoria discreta, pero

además, el experimento consta de experimentos Bernoulli, cada uno de

ellos con la misma probabilidad de mejora (E), digamos p .

Definición 3.2.1 Un experimento se denomina Binomial si éste está

compuesto por n experimentos Berrnoulli, y el interés es el número X de

éxitos en estos n experimentos Bernoulli, los cuales se suponen que son

independientes

nartube.com drgrowonline.com

lila2.blogspot.com cancunforos.com


47

Supuestos

Se realizan n experimentos Bernoulli,

Probabilidad de éxito p ,

Los experimentos son independientes

La variable aleatoria de interés es el número de éxitos en los n

experimentos, por lo cual X puede tomar los valores n,...,2,1,0 .

La función de probabilidad está dada por

x-nx p-1px

nxXPx

f

donde !!

!

xnx

n

x

n

, y !n es el factorial.

Ejemplo 3.2.1 El grupo 302 de la facultad de Estadística el cual tiene 15

alumnos presenta un examen de la asignatura de técnicas básicas de

muestreo, su interés de cada alumno, como es de esperarse, es aprobar la

asignatura, así que los posibles resultados del experimento son APROBAR

o REPROBAR. RA,S . Pero al profesor le interesa conocer la cantidad

de alumnos que aprobaron el examen, así que los posibles valores de la

variable aleatoria son 0, 1, 2,.., 15. Así se tiene

x15-x p-1px

15xXPx

f

Si la probabilidad de aprobar el examen es 0.8, se tiene que la probabilidad

de que exactamente seis alumnos aprueben el examen es

0.0006717

2080123456

101112131415

208096

15

p-1p6

156XP6

96

96

6-156

..*****

*****

..!!

!

f


48

Interpretación. Se tiene que si se tuvieran 100,000 grupos de 15 alumnos

cada uno de éstos y se presentaran un examen de muestreo que tiene una

probabilidad de ser aprobado de 0.8, entonces en aproximadamente 67 de

estos grupos aprobarían exactamente 6 alumnos.

La Probabilidad de que aprueben a lo más 5 alumnos es

.

FX

515-5415-4

315-3215-2

115-1015-0

p-1p5

15p-1p

4

15

p-1p3

15p-1p

2

15

p-1p1

15p-1p

0

155XP5


tiene una distribución Binomial están dados por medio de:

npXE y )(X pnp 1Var .

Ejercicio 3.2.1 Dar 2 ejemplos de variables aleatorias Binomial.

Probabilidad en Excel Los pasos a seguir para obtener la probabilidad de

una variable aleatoria discreta con distribución Binomial son:

1. Entrar a Excel a la pestaña de Insertar, en la parte marcada con función


49

2. Aparece la siguiente ventana

3. Irse a la pestaña de seleccionar una categoría y elegir Estadística

4. Elegir BINOM y aceptar


50

5. Aparece la ventana de la Binomial

6a. Calcular la probabilidad 6f

Resultado


51

6b. Calcular 5FX

Resultado

III.3. Distribución Geométrica

La industria fármaco bióloga anterior desea sacar al mercado otro

medicamento, para lo cual realiza un experimento. El nuevo medicamento

es probado en pacientes los cuales presentan la enfermedad bajo

exactamente las mismas condiciones, pero se desea conocer en cuantos

pacientes se debe probar hasta que ocurra un éxito, estos es hasta que uno

de los pacientes muestre mejora.


52

El anterior es un problema donde el espacio muestral es numerable.

La cantidad de pacientes necesarios hasta que ocurra la primera mejora es

numerable tomando los valores 1,2,…,20,…, así que la variable aleatoria

número de experimentos necesarios hasta que ocurra el primer éxito es una

variable aleatoria discreta, se tiene que el experimento consta de

experimentos Bernoulli, cada uno de ellos con la misma probabilidad de

mejora (E), digamos p .

Definición 3.3.1 Una variable aleatoria se denomina geométrica si el

interés es el número de experimentos necesarios hasta que ocurra el

primer éxito, cada uno de estos experimentos es un ensayo Bernoulli, los

cuales se suponen que son independientes.

Supuestos

Se realizan experimentos Bernoulli hasta obtener un éxito,

Probabilidad de éxito p ,

Los experimentos son independientes.

La variable aleatoria de interés es el número de experimentos necesarios

hasta obtener el primer éxito por lo cual X puede tomar los valores ,...2,1 .

La función de probabilidad está dada por 1-x1 p-1pxPx Xf

donde p denota la probabilidad de éxito y ,...,21x .


tiene una distribución Geométrica están dados por medio de:

p

1E X y

2p

1Var

pX .


53

Ejemplo 3.3.1 El Biólogo Rivas va a analizar cultivos de bacterias hasta

detectar bacterias tipo B1. Se sabe de estudios anteriores que en promedio

se analizan 8 cultivos antes de encontrar bacterias tipo B1. ¿Cuál es la

probabilidad de que el biólogo Rivas analice 3 cultivos para encontrar la

bacteria tipo B1?

digitalmediadesign2009.com

Se tiene a una variable aleatoria geométrica ya que se desea conocer el

número de experimentos necesarios “analizar cultivos” antes de obtener un

éxito “bacterias tipo B1”. El biólogo Rivas cuenta con la información de

que 8E X , de lo cual se obtiene que 8p

1 , así 1250p . . Se desea obtener

la probabilidad de analizar 3 cultivos para encontrar bacterias tipo B1.

Si es necesario analizar 3 cultivos para encontrar bacterias tipo B1, se tiene

que en los 2 primeros cultivos no se encontraron bacterias tipo B1, así

0.096

87501250p-1pp-1p3P2211-31

..X

Interpretación. Así se tiene que si en 1000 ocasiones el biólogo Rivas se

pusiera a analizar cultivos de bacterias hasta encontrar un cultivo de

bacterias tipo B1 en 96 de estas 1000 ocasiones necesitaría analizar 3

cultivos hasta detectar bacterias tipo B1.


una variable aleatoria discreta con distribución Geométrica son:


54

1, 2 y 3 son los mismos que la distribución Binomial

4. Elegir NEGBINOMDIST y aceptar

5. Aparece la ventana de la Binomial Negativa


55

6. Calcular la probabilidad de que sea al tercer ensayo el exito

Resultado

III.4 Distribución Poisson

Una maestra de escuela secundaria desea conocer el número

promedio de faltas de ortografía que existe en cada página del libro de texto

de la asignatura de español. Un agente de transito desea conocer el número

promedio de accidentes automovilísticos que ocurren en la avenida Ávila

Camacho en un día. Un biólogo desea conocer el número promedio de

plagas en una planta.


56

taringa.net mexicotop.com

La maestra no se pondría a escribirle faltas de ortografía a las

páginas del libro. El agente de transito no se pondría a producir accidentes

de autos. El biólogo no se pondría a poner plagas en las plantas. Todos

estos hechos no ocurren como resultado de llevar a cabo un experimento,

sino al azar. No es de interés conocer el número de no faltas de ortografía,

no es de interés conocer el número de no accidentes automovilísticos, así

como tampoco el número de no plagas en una planta.

Ahora se tiene que ha mayor número de palabras en la pagina el

número de faltas de ortografía es mayor. A mayor lapso de tiempo el

número de accidentes es mayor, y a mayor tamaño del la planta el número

de plagas es mayor. O viceversa.

En todos los casos la variable aleatoria es

unidad unaen interés de resultado el ocurre que vecesde númeroX .

Los posibles valores que puede tomar la variable son 0,1,2,3,4,…, el

cual es un conjunto numerable, así que se trata de una variable aleatoria

discreta.


57

La función de densidad está dada por

,...2,1,0

xx

exXPxf

x

!

Definición 3.4.1 Una variable aleatoria X es una variable aleatoria poisson

si tiene la siguiente función de probabilidad

,...,,!

210

xx

exXPxf

x

Supuestos.

La probabilidad de que ocurra más de una vez el resultado de interés

en una unidad muy pequeña es cero.

El número de ocurrencias del resultado de interés es proporcional al

tamaño de la unidad.

El número de ocurrencias del resultado de interés en cada unidad, es

independiente del número de ocurrencias en cualquiera otra unidad.


tiene una distribución Poisson están dados por medio de:

XE y XVar .

Ejemplo 3.4.1 Una maquina despachadora de café, tiene, en promedio, tres

fallas a la semana. ¿Cuál es la probabilidad de que la maquina despache

café sin fallas durante una semana?

chicadelatele.com


58

Se tienen los siguientes componentes del experimento:

semana laen fallas de Número:X

Unidad semana Una

3

Evento semana la durante fallahay No

La función de probabilidad toma la forma

,...,,!

21033

xx

exXPxf

x

y para el caso de interés se tiene 0X , así

0500

300 3

03

.!

X

ee

Pf

Interpretación. Si durante 100 semanas se contaran el número de fallas en

la maquina de café, se tendría que en 5 de estas semanas no ocurriría

ninguna falla en la maquina.

Ejemplo 3.4.2 Una maquina despachadora de café, tiene, en promedio, tres

fallas a la semana. ¿Cuál es la probabilidad de que la maquina despache

café sin fallas durante la mitad de la semana? Los componentes del

experimento son los mismos que los del ejemplo 3.4.1 únicamente con la

excepción que el numero promedio para este caso particular es de 1.5, es

decir, 51. , así la probabilidad de interés es

2200

5100 51

051

.!

.X

..

ee

Pf

Interpretación. Si durante 100 medias semanas se contaran el número de

fallas en la maquina de café, se tendría que en 22 de estas medias semanas

no ocurriría ninguna falla en la maquina.


59

Ejercicio 3.4.1 En la Florida, USA, hay en promedio 6 huracanes cada

ocho meses.

fgarcia.diariolibre.com

¿Cuál es la probabilidad de que en los próximos ocho meses se

presenten 5 huracanes?

¿Cuál es la probabilidad de que en los próximos cuatro meses se

presenten 5 huracanes?

Ejercicio 3.4.2 Dar ejemplos por parte de los participantes de variables

aleatorias Poisson.


una variable aleatoria discreta con distribución Poisson son:


4. Elegir POISSON y aceptar


60

5. Aparece la ventana de la Poisson

6. Calcular la probabilidad de que no falla durante la semana

Resultado


61

III.5 Distribución Hipergeométrica

En una bolsa hay 3 bolas blancas y 2 negras, se extraen dos bolas de

la urna, lo cual puede ser con reemplazo o sin reemplazo. Cuando se hace

CON reemplazo se extrae la bola y se regresa a la urna, por lo cual cada

extracción de bolas sería un evento Bernoulli, con X número de bolas

negras extraídas, lo cual seria un experimento Binomial. Si el experimento

se hace SIN reemplazo la variable aleatoria ya no se distribuye como una

Binomial, sino que es una distribución Hipergeométrica, la cual se basa en

la siguiente definición

acertijosymascosas.com

Definición 3.5.1 Una variable aleatoria X es una variable aleatoria

hipergeométrica si tiene la siguiente función de probabilidad

n210

n

N

xn

DN

x

D

,...,,,X

xxPxf

Supuestos.

En el experimento hay N elementos, de los cuales D tienen la

característica de interés y el resto, N-D, no la tienen.

El experimento es SIN reemplazo

Se extrae una muestra de tamaño n.

La variable aleatoria es el número de elementos con la características

que hay entre los n seleccionados.


62

Nota 3.5.1 El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X la

cual tiene una distribución Hipergeométrica están dados por medio de:

N

DnXE y

1N

nNp-1npVar X .

Ejemplo 3.5.1 En un laboratorio hay 4 químicos y 3 biólogos, se forma un

comité de dos personas.

larioja.com

¿Cuál es la probabilidad de que el comité este formado por dos químicos?

Los datos del experimento son:

comité elen químicos de Número:X

2n4D7N ,, .

Evento: químicosson miembros dos los

de lo anterior se tiene que la función de probabilidad toma la forma

.210

2

7

x2

47

x

4

,,X

xxPxf

y para el caso de interés se tiene 2X , así


63

2907

2

21

6

1*2*1*2*3*4*5

1*2*3*4*5*6*7

11*2*1*2

1*2*3*4

5!2!

7!

12!2!

4!

2

7

0

3

2

4

2

7

22

47

2

4

22

.

**

X

Pf

Interpretación. Si hubiera 100 laboratorios cada uno con 4 químicos y 3

biólogos y se formará en cada laboratorio un comité de dos personas de las

7 disponibles, entonces, en promedio en 29 comités los dos miembros que

forman tal comité serían dos químicos.

Ejercicio 3.5.1 Un comité de 3 personas se forma de un grupo de 2

abogados y 4 contadores. Encontrar la función de probabilidad para el

número de abogados en el comité.

abogadosdeempresa.com.mx

Ejercicio 3.5.2 Dar ejemplos por parte de los participantes de variables

aleatorias Hipergeométrica.


64


una variable aleatoria discreta con distribución Hipergeométrica son:


4. Elegir DIST.HIPERGEOM y aceptar

5. Aparece la ventana de la Hipergeométrica


65

6. Calcular la probabilidad de que en un laboratorio hay 4 químicos y 3

biólogos, se forma un comité de dos personas.

¿Cuál es la probabilidad de que el comité este formado por dos químicos?

Los datos del experimento son:

comité elen químicos de Número:X

2n4D7N ,, .

Evento: químicosson miembros dos los

En excel

Resultado


66

UNIDAD IV. Algunas distribuciones continuas

Objetivo: Que el participante conozca, identifique y maneje las variables

aleatorias continuas más comunes, así como la función de densidad de cada

una de éstas.

Introducción

Como se estableció en la Unidad II cuando se tiene una variable

aleatoria continua, información acerca de su comportamiento se puede

obtener a partir de su función de densidad. Tal función de densidad puede

estar dada en forma de una expresión algebraica. En esta unidad se tratan

las principales variables aleatorias de tipo continuo, así como su

correspondiente función de densidad.

IV.1. Distribución Uniforme

IV.1.1 Distribución Uniforme Discreta

liceorosenthal.edu.co lasescapadas.com

Un alumno del tercer semestre de la licenciatura en Estadística está

interesado en conocer cual es su promedio que lleva de las 15 asignaturas

que ha cursado hasta ese momento, para lo cual anota las 15 calificaciones


67

obtenidas, las suma, y esta suma la divide entre 15, el número total de

asignaturas. ¿Por qué las divide entre 15?

En el ejemplo anterior el rango de la variable aleatoria es discreto,

por lo cual es una variable aleatoria discreta, y le damos la misma

importancia a cada una de las asignaturas, esto lo podemos expresar

diciendo que tratamos en forma uniforme a cada uno de los posibles

valores que puede tomar la variable aleatoria. Lo anterior nos lleva a la

siguiente definición.

Definición 4.1.1.1 Una variable aleatoria X se distribuye en forma

uniforme (caso discreto) si su función de probabilidad está dada por

nxxxn

xf ,...,, 21valoreslosdeunoesxsi1

Notación. nUD~X .

Nota 4.1.1.1 El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria

discreta la cual se distribuye en forma uniforme es

n

E

ixX y

n

Var

2

xExiX

Ejemplo 4.1.1.1 Un alumno de la especialidad en métodos estadísticos

presenta el segundo examen de la asignatura de probabilidad básica. La

escala de calificaciones es del 6 al 9.5 tomando valores de .5 a .5 ¿Cuál es

la probabilidad de que obtenga un 7.5 de calificación?, ¿Cuál es la

probabilidad de que obtenga una calificación entre 7.5 y 9?

Sea X definida como la calificación obtenida por el alumno en el examen,

entonces nUD~X . Para responder la primera pregunta basta con obtener


68

en primer lugar la función de probabilidad de la variable aleatoria, la cual

es en este caso

599588577566valoreslosdeunoesxsi8

1.,,.,,.,,.,xf

así la probabilidad de que la variable aleatoria tome exactamente el valor

de 7.5 es 0.125.8

17.57.5XP f

Interpretación: Si se les aplicara el segundo examen a 1000 alumnos,

donde la escala de calificaciones es del 6 al 9.5 tomando valores de .5 a .5,

en promedio 125 de éstos obtendrían una calificación de 7.5.

Ahora la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor de entre

7.5 y 9 es obtenida de la siguiente manera

2

1

8

4

8

1

8

1

8

1

8

1

98.587.59X7.5P

ffff

Interpretación: Si se les aplicara el segundo examen a 1000 alumnos,

donde la escala de calificaciones es del 6 al 9.5 tomando valores de .5 a .5,

en promedio 500 de éstos obtendrían una calificación de entre 7.5 y 9.

Calificación

0.1

00

.11

0.1

20

.13

0.1

40

.15

f(x)

Grafica de la función de probabilidad


69

Ejercicio 4.1.1.1 Dar 2 ejemplos de variables aleatorias que tengan

distribución uniforme discreta.

IV.1.2 Distribución Uniforme Continua

Un alumno del tercer semestre de la licenciatura en Estadística está

interesado en conocer cual es la probabilidad de que el profesor de

Matemáticas llegue entre los primeros 10 minutos después de la hora de

entrada, si se sabe que éste puede llegar entre las 10:00 y las 10:20 horas.

En el ejemplo anterior el rango de la variable aleatoria es continuo,

por lo cual es una variable aleatoria continuo, y le damos la misma

importancia a cada una de los minutos, esto lo podemos expresar diciendo

que tratamos en forma uniforme a cada uno de los posibles valores que

puede tomar la variable aleatoria. Lo anterior nos lleva a la siguiente

definición.

Definición 4.1.2.1 Una variable aleatoria X se distribuye en forma

uniforme (caso continuo) en el intervalo ba, si su función de densidad

está dada por

caso otro0

bxa si1

abxf

Notación. ba,U~X .

Nota 4.1.2.1 El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria

continua la cual se distribuye en forma uniforme es


70

2

baE

X y

12

a-bVar

2

X .

Ejemplo 4.1.2.1 Dos amigas se ponen de acuerdo para tomar un café y se

quedan de ver entre las cinco y cinco treinta de la tarde, si una de ellas llega

a las cinco en punto

omniyourlife.8m.com

¿Cuál es la probabilidad de que tenga que esperar?

a) a lo mas 10 minutos

b) por lo menos 20 minutos

c) a lo mas 15 minutos

d) entre 10 y 20 minutos.

Sea X definida como la hora en la que la segunda amiga llega al café,

entonces ba,U~X . Es de gran ayuda hace un dibujo de la situación


71

En este caso la función de densidad está dada por 30

1

030

1

xf

Para calcular la probabilidad de que la variable ocurra en un intervalo dado

basta con realizar el producto de la longitud del intervalo por la función de

densidad. Así tenemos los siguientes resultados

a) A lo mas 10 minutos, se desea encontrar 10P X

3

1

30

11010P X ,

así la probabilidad de que la primera amiga tenga que esperar a su

compañera a lo mas 10 minutos es 3

1.

b) Por lo menos 20 minutos, se desea encontrar 20P X

3

1

30

11020P X


compañera por lo menos 20 minutos es 3

1

c) A lo mas 15 minutos, se desea encontrar 15P X

2

1

30

11515P X


compañera a lo mas 15 minutos es 2

1

d) Entre 10 y 20 minutos, se desea encontrar 2010P X

3

1

30

1102010P X


compañera entre 10 y 20 minutos es 3

1.

Ejercicio 4.1.2.1 Interpretación de cada inciso del ejemplo 4.1.2.1.


72

Ejemplo 4.1.2.2 Si un paracaidista cae en un sitio aleatorio de la línea recta

entre los marcadores A y B.

servicioshf.com

Encuentre la probabilidad de que esté más cerca de A que de B. Calcule la

probabilidad de que la distancia respecto de A sea más de tres veces la

distancia con respecto a B.

Ejercicio 4.1.2.2 Dar 2 ejemplos de variables aleatorias que tenga

distribución uniforme continúa.

IV.2 Distribución Normal

Dentro de las distribuciones continuas la más importante de ellas es

la distribución normal, ejemplo de variables aleatorias normales son la

estatura de un ser humano, el peso de las tortugas que llegan a la playa de

Veracruz, la cantidad de gramos de azúcar que se le pone al café, etc. El

comportamiento de una variable aleatoria continua que se distribuye en

forma normal está dado en la siguiente forma:


73

Definición 4.2.1 Una variable aleatoria X que se distribuye en forma

normal tiene la siguiente función de densidad

x

xxf

2

2

exp2

1

Notación. 2,N ~X .

Nota 4.2.1 El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria

continua la cual se distribuye en forma normal son

XE y 2Var X

Grafica

De la grafica anterior se observa que

La curva es simétrica con respecto a su media

La grafica tiene forma de campana

El valor de determina la altura de la curva.

Observación 4.2.1 Se tienen las siguientes relaciones entre intervalos y

probabilidades


74

El intervalo de a tiene una probabilidad de 0.683.

El intervalo de 2 a 2 tiene una probabilidad de 0.954.

El intervalo de 3 a 3 tiene una probabilidad de 0.997.

Observación 4.2.2 Cambios de y de

****Cambios de

****Cambios de


75

Inconveniente. Cuando se trata de encontrar una probabilidad asociada a

una variable aleatoria normal se debe de integrar la función de densidad, lo

cual es complicado.

Afortunadamente existen tablas de probabilidades de la normal, pero

para un tipo particular de parámetros, los cuales son 0 y 1 .

Definición 4.2.2 Una variable aleatoria Z se denomina variable aleatoria

normal estándar si tiene la siguiente función de densidad

zzzf 2exp2

1

Notación. 1,0N~Z .

Ejemplo 4.2.1 Calcular las siguientes probabilidades

0013503ZP .

0.97720.022812ZP12ZP

.0228.02ZP


76

0.47720.0228502ZP502Z0P ..

954404772022Z0P22Z2-P ..

61801.54ZP .


una variable aleatoria continuaa con distribución Normal Estándar son:


4. Elegir DIST.NORM.ESTAND y aceptar


77

5. Aparece la ventana de la distribución Normal Estándar

6. Calcular la probabilidad 0.97720.022812ZP12ZP

Resultado

La forma de obtener una variable aleatoria normal estándar a partir

de una variable aleatoria normal es estandarizando, lo cual se logra

realizando la siguiente operación:

XZ


78

Ejemplo 4.2.2 Sea X una variable aleatoria normal con media 12 y

varianza 9 ¿Cuál es la probabilidad de que X se encuentre entre 10 y 15?

Se desea obtener 1510P X , pero al no ser X una variable aleatoria

normal estándar no se puede ocupar la tabla, por lo cual X se debe

estandarizar lo cual se logra de la siguiente manera

XZ

con 12 y 92 , de lo anterior se obtiene

6703

2

3

12101 .Z

y 1

3

3

3

12152

Z

así se tiene 10.67-P1510P ZX y

590

3413024870

1587050251405010.67-P

.

..

....Z

Interpretación.

Ejemplo 4.2.3 Los resultados del primer examen de probabilidad de la

especialización en métodos estadísticos tiene una distribución normal con

media 7 y desviación estándar de 0.5 ¿Cuál es la probabilidad de que un

alumno obtenga una calificación de entre 8 y 9?


79

Interpretación

Ejercicio 4.2.1 Ejemplos por parte de los participantes.


una variable aleatoria continua con distribución Normal son:


4. Elegir DIST.NOR. y aceptar

5. Aparece la ventana de la distribución Normal


80

6. Sea X una variable aleatoria normal con media 12 y varianza 9 ¿Cuál es

la probabilidad de que X sea menor a 15? Se desea obtener 15XP ,

Resultado

IV.3 Distribución Beta

En ocasiones la variable de interés en el experimento es una proporción,

por ejemplo puede ser de interés el porcentaje de alumnos que obtuvieron

calificación por arriba de 8, o el porcentaje de bichos hembras en una

planta, o el porcentaje de mujeres embarazadas en una comunidad, etc.

La función de densidad Beta es una función de densidad con dos

parámetros definida en el intervalo cerrado 10 x . Como tal se utiliza

frecuentemente como un modelo para fracciones.


81

Definición 4.3.1 Una variable aleatoria X que se distribuye en forma Beta

tiene la siguiente función de densidad

caso otroen 0

1001

11

xxx

xf

;,

donde 1 !

Notación. ,B~X .

Nota 4.3.1 El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria ,B

son

XE y

1Var

2

X

Grafica

Ejemplo 4.3.1 El dueño de una lechería suministra leche cada día sábado,

la leche se almacena en un tanque.

noticiasrurales.com.uy


82

Encuentre la probabilidad de que el dueño venda al menos el 70% de la

leche del tanque durante la semana. Se sabe de estudios anteriores que

4 y 2 .

En este caso la característica de interés es una proporción por lo cual se

trabajara con la distribución Beta, con parámetros 4 y 2 , así la

función de densidad toma la forma

caso otroen 0

1024

1241214

xxx

xf .

Desarrollando se tiene

xx

xx

xxxx

xx

12011*2*3

112345

!1!3

1!5

24

16

24

124

313

1313

1214

*

*****

*

La probabilidad que se desea obtener está dada por

471780026411005020

5

168070

4

24010

5

1

4

120

5420

dx20

dx1207

1

7

54

1

7

43

1

7

3

...

..

.

.

.

.

xx

xx

xxXP

Así la probabilidad de que se venda al menos el 70% de la leche es 0.47, lo

cual tiene una interpretación de que….

Ejercicio 4.3.1 Ejemplos de parte de los participantes


83


una variable aleatoria continua con distribución Beta son:


4. Elegir DISTR.BETA y aceptar

5. Aparece la ventana de la distribución Normal


84

6. Encuentre la probabilidad de que el dueño venda al menos el 70% de la

leche del tanque durante la semana. Se sabe de estudios anteriores que

4 y 2 . Encontrar 7.XP

Resultado

471780026411005020

5

168070

4

24010

5

1

4

120

5420

dx20

dx1207

1

7

54

1

7

43

1

7

3

...

..

.

.

.

.

xx

xx

xxXP


85

IV.4 Distribución Exponencial

Una variable aleatoria se dice que tiene una distribución sesgada

(asimétrica) a la derecha si la mayor parte del área bajo la curva de la

función de densidad se encuentra cerca del origen y la función de densidad

disminuye gradualmente cuando el valor de la variable aleatoria aumenta

Algunas distribuciones aleatorias son siempre no negativas y por

varias razones tienen distribuciones de datos que son sesgadas a la derecha.

Por ejemplo, los intervalos de tiempo entre la descomposturas del motor de

un automóvil, así como los intervalos de tiempo entre la llegada a una fila a

la caja registradora de un supermercado, también los tiempos de espera del

paciente al pasar al dentista, o el tiempo que tarda uno en realizar una tarea.

En la unidad referente a la variable aleatoria poisson se trato el

siguiente ejemplo: Un agente de transito desea conocer el número de

accidentes automovilísticos que ocurren en la avenida Ávila Camacho en

un día. Se definió

unidad unaen interés de resultado el ocurre que vecesde númeroX .

Los posibles valores que puede tomar la variable son 0,1,2,3,4,…, el cual

es un conjunto numerable, así que se trata de una variable aleatoria

discreta. El jefe del agente de transito tiene la inquietud de conocer qué

tiempo transcurre entre cada accidente en la avenida Ávila Camacho en un

día. Definiendo

Poisson oexperiment elen eventos los de espera de tiempoY

se tiene que Y es una variable aleatoria continua.

Las variables X y Y están relacionadas de la siguiente manera


86

Definición 4.4.1 Una variable aleatoria X es una variable aleatoria

exponencial si tiene la siguiente función de densidad

caso otro0

0xe

xf

x

Nota 4.4.1 El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria

exponencial son XE y 2Var X

Ejemplo 4.4.1 El tiempo de espera entre dos llegadas de autobuses de

determinada línea puede asumirse que tiene una distribución exponencial.

estudiosaustralia.freeblog.co.nz

Se conoce de estudios anteriores que el tiempo promedio de espera entre la

llegada de dos autobuses es de 2 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que el

tiempo de espera sea a lo menos de 3 horas?


87

Definiendo la variable autobuses de llegadas dos entre espera de tiempoX . Se

desea encontrar la probabilidad 3 P X

2230111

12

11

13 P13 P

2

3

2

3

2

0

2

3

3

0

23

0

2

3

0

.

XX

eeee

edxe

dxxf

xx

Interpretación.

Ejemplo 4.4.2 El tiempo entre fallas de focos KEY tiene una distribución

exponencial con un promedio de falla de 2 días.

smud.org

¿Cuál es la probabilidad de que la falla entre un foco y el siguiente sea

menor a los 4 días?


88

8650135011

1

2

1

4 P

2

4

2

4

2

0

2

4

4

0

24

0

2

4

0

..

X

e

eee

edxe

dxxf

xx

Interpretación

Ejercicio 4.4.1 Dar ejemplos de variable aleatoria exponencial por parte de

los participantes.


una variable aleatoria continua con distribución Exponencial son:


4. Elegir DISTR.EXP y aceptar


89

5. Aparece la ventana de la distribución Exponencial

6. Definiendo la variable autobuses de llegadas dos entre espera de tiempoX . Se

desea encontrar la probabilidad 3 P X

Resultado

22303 .X P


90

UNIDAD V. Distribuciones Muestrales

Objetivo: Que el participante conozca, y maneje las distribuciones

relacionadas con la media y la varianza muestral.

Introducción

En la estadística tanto teórica como aplicada se trabaja con la media

y la varianza muestral, al ser éstas funciones de la muestra tienen su propia

distribución, y en base a esta distribución es que se toman decisiones sobre

la media y la varianza poblacional.

V.1. Muestra aleatoria

Cuando se lleva a cabo un experimento aleatoria para estudiar el

comportamiento de una característica de interés no se toma en cuenta a

toda la población, sino que tomamos una parte de ésta. Aunque existen

varias formas para obtener la muestra, la elección se lleva a cabo no

violando el concepto de independencia.

Definición 5.1.1 Una muestra aleatoria de tamaño n de una población

Xf es una colección de n variables aleatorias independientes nX,...,X,X 21 ,

cada una teniendo la misma distribución Xf .

Cuando se tiene una muestra aleatoria nX,...,X,X 21 a partir de ella se

pueden obtener nuevas variables, sumando, restando, sumando una

constante, etc. Algunas de las nuevas variables más usadas por su

aplicación son la media muestral y la varianza muestral, las cuales son tipo

de estadísticas, la cual se define a continuación


91

Definición 5.1.2 Dada una muestra aleatoria nX,...,X,X 21 , una estadística

es una función de las observaciones muestrales nX,...,X,X 21 .

Definición 5.1.3 Dada una muestra aleatoria nX,...,X,X 21 , la media muestral

de la muestra aleatoria se define por

n

iiX

nX

1

1.

Definición 5.1.4 Dada una muestra aleatoria nX,...,X,X 21 , la varianza

muestral de la muestra aleatoria se define por

1-n

2

2

XxS i

Ejemplo 5.1.1 Los siguientes son datos de pesos de 10 pájaros de Xico.

zaragozaciudad.net

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

800 900 1000 950 850 900 950 800 900 950

Obtener la media y la varianza muestral del peso de los pájaros de Xico.

n

iiX

nX

1

1=900 y

1-n

2

2

XxS i =66.67


92

Una estadística es una nueva variable aleatoria la cual tiene su propio

comportamiento. Al ser una variable aleatoria tal comportamiento se

estudia en términos de su función de distribución la cual se denomina

distribución muestral.

V.2. Teorema Central del Límite

Una de las estadísticas de mayor uso es la media muestral X .

Relacionado a la media muestral existe un resultado el cual es de suma

importancia, ya que relaciona la media muestral de distribuciones distintas

a la normal con la distribución normal estándar. Los siguientes resultados

están relacionados con la distribución de la media muestral.

El Teorema Central del Límite (TLC) establece lo que pasa cuando

tenemos la suma de un gran número de variables aleatorias independientes.

Este teorema dice que si tenemos un gran número de variables aleatorias

independientes y todas ellas tienen la misma distribución (cualquier

distribución), la suma de ellas se comporta como una distribución normal.

Por ejemplo; se tiene que la variable "tirar una moneda al aire" se

distribuye como una variable Bernoulli. Si lanzamos la moneda al aire 100

veces (en forma independiente), la suma de estas 100 variables tiene el

comportamiento de una distribución normal.

Este teorema se aplica tanto a suma de variables discretas como de

variables continuas


93

Ejercicio. Que cada alumno realice el lanzamiento de la moneda 50 veces

por alumno, y sume el número de caras (1). Observar el comportamiento

grupal.

Resultado 5.2.1 Si nXXX ,...,, 21 son variables aleatorias independientes (de

cualquier distribución) con iXE y 2Var iX . Sea

n

iiX

nX

1

1

Entonces XE y n

X2

Var

.

Resultado 5.2.2 Si nX,...,X,X 21 es una muestra aleatoria de tamaño n de

una distribución Normal con media y desviación estándar , entonces la

distribución de X será normal con media y desviación estándar n .

En una muestra aleatoria nX,...,X,X 21 , de una población arbitraria con

media y desviación estándar , la distribución de X cuando n es grande

es aproximadamente normal con media y desviación estándar n . En

otras palabras,

n

X

Z es aproximadamente 10,N

Nota 5.2.1 El Teorema Central del Límite involucra n, el tamaño de la

muestra, y menciona que el resultado se cumple para n grande. En la

práctica se tiene una buena aproximación cuando n es mayor o igual a 30.

Ejemplo 5.2.1 La longitud de los eslabones de una cadena de mar tiene una

media 5 cm., con una desviación estándar 40. cm. Las normas de la

naval requieren que la longitud de la cadena se encuentre entre 4.9 y 5


94

metros. Si la cadena se elabora con 100 eslabones ¿Cuál es la probabilidad

de que una cadena cumpla con la norma de la naval?

larsvontrier.blogspot.com

Sea iX denotando la longitud de un eslabón y L la longitud de la cadena, es

decir, .

100

1i iXL La probabilidad de interés es 500L490P , la cual se

puede expresar como

.5X4.9P

100

500

100

L

100

490P500L490P

Además

052P

0.04

55

nσ

μX

0.04

5-4.9P5X4.9P

Z.

Así la probabilidad de que una cadena cumpla con la norma de la naval es

de 0.4938

Interpretación.


95

Ejemplo 5.2.2 La cantidad de café por vasito que despacha una maquina de

café presenta una distribución normal con 1 ml. En un día se

despacharon 25 vasitos de café y se midió la cantidad de café en cada

vasito. Determinar la probabilidad de que la media muestral se encuentre a

lo más a 2 ml. de la media real .

chicadelatele.com

En primer lugar se debe identificar que la probabilidad que se desea

obtener es la del evento 2 X . En este caso tenemos n=25. Se tiene

que la media muestral X será normal con media y desviación estándar

n . Es decir, XE y nXVar . Se desea calcular

11P

20

20

nσ

μX

20

0.2-P

2020P20P

Z

XX

.

.

.

...

Interpretación.


96

V.3. Estadístico-variable Ji-Cuadrada

Como se ha visto entre los estadísticos más importantes se encuentran la

media muestral y la varianza muestral. El teorema central del límite se

refiere a la distribución muestral de la media muestral, X . El siguiente

resultado está relacionado con la distribución muestral de la varianza

muestral.

Resultado 5.3.1 Si n21 Z,...,Z,Z es una muestra aleatoria de tamaño n de una

distribución normal estándar, entonces

n

1i

2iZY ,

presenta una distribución ji-cuadrada con n grados de libertad.

Notación. 2n

La función de densidad de esta variable está dada por medio de

0 si

22 2

21

2

yn

eyyf

n

yn

Para 21n , , la grafica de la distribución 2n es semejante a una curva

normal, sesgada a la izquierda


97

El valor esperado de una variable aleatoria Y con distribución 2n está dado

por nYE y la varianza por 2nYVar .

Ejemplo 5.3.1 Obtener el valor de para las siguientes probabilidades

a) 050P 28 . x

Para encontrar el valor de 2n para el cual el área en la cola derecha

de la distribución ji-cuadrada con 8 grados de libertad sea de 0.05, se

observa en la tabla de la 2 el valor que aparece en el renglón de 8

grados de libertad y en la columna de 0.05. En este caso el valor es

de 15.5073, así se tiene que 050507315P 28 .. .

b) 050P 28 . x

Para encontrar el valor de 2n para el cual el área en la cola izquierda

de la distribución ji-cuadrada con 8 grados de libertad sea de 0.05, se

observa que 050P1P 28

28 . xx , así se desea encontrar

950P 28 . x , para lo cual se observa en la tabla de la 2 el valor

que aparece en el renglón de 8 grados de libertad y en la columna de

0.95. En este caso el valor es de 2.73264, así se tiene que

050732642P 28 ..


98

c) 0250P 212 . x


una variable aleatoria con distribución Ji-Cuadrado son:


4. Elegir DISTR.CHI y aceptar


99

5. Aparece la ventana de la distribución Ji-Cuadrada

6. Obtener la probabilidad 5073152

8 .P

Resultado

Valores en Excel Los pasos a seguir para obtener los valores de una

variable aleatoria con distribución Ji-Cuadrado dada la probabilidad son:



100

4. Elegir DISTR.GAMMA.INV y aceptar

5. Aparece la ventana de la distribución Gamma Inversa

6. Obtener el valor de x tal que 0502

8 . xP


101

Resultado

050732642P 28 ..

Resultado 5.3.2 Si 2S denota la varianza muestral para una muestra

aleatoria de tamaño n de una distribución normal con media y desviación

estándar , entonces la variable aleatoria

2

2

1nS

,

presenta una distribución ji-cuadrada con (n-1) grados de libertad.

V.4. Distribución F de Fisher

En ocasiones es necesario verificar si las varianzas poblacionales de dos

muestras aleatorias son similares, los siguientes resultados están

relacionados con la razón de varianzas muestrales.

Resultado 5.4.1 Si 1X y 2X son variables aleatorias independientes las

cuales tienen distribución 2n y 2

m respectivamente, entonces

mX

nXY

2

1

tiene una distribución F con n y m grados de libertad.

La función de densidad de esta variable está dada por medio de


102

caso otro 0

0 xsim

n1

m

n

2

m

2

n

2

mnmn

2

1

12

2xx

xf

nn

Nota 5.4.1 La distribución F tiene dos parámetros, n y m , los cuales se

conocen como los grados de libertad del numerador y del denominador

respectivamente.

Nota 5.4.2 La grafica de la función de densidad F es semejante a la grafica

de la 2 .

Ejemplo 5.4.1 Obtener el valor de f para cual se cumple 050FP 128 ., f

Para encontrar el valor de f para el cual el área en la cola derecha de

la distribución ji-cuadrada con 8 grados de libertad en el numerador

y 12 grados de libertad en el denominador sea de 0.05, se observa en

la tabla de la F el valor que aparece en la columna de 8 grados de

libertad y en el renglón 12 de 0.05. En este caso el valor es de 2.85,

así se tiene que 050852FP 128 ..,

Resultado 5.4.2 αn,,m

α1m,,nF

1F


103

Ejemplo 5.4.2 Obtener el valor de f para el cual se cumple

950FP 812 ., f .

Se tiene del ejemplo anterior que 050852FP 128 .., , es decir,

852F 050128 ..,, , así se tiene que 3502.85

1

F

1F

0.0512,8,

0.9512,8, . lo cual

implica que 950350FP 812 .., .


una variable aleatoria con distribución F son:


4. Elegir DISTR.F y aceptar

5. Aparece la ventana de la distribución F


104

6. Obtener la probabilidad 350812 ., FP

Resultado

950350FP 812 ..,

Valores en Excel Los pasos a seguir para obtener los valores de la variable

aleatoria con distribución F dada la probabilidad son:


4. Elegir DISTR.F.INV y aceptar


105

5. Aparece la ventana de la distribución F Inversa

6. Obtener el valor de f tal que 050FP 128 ., f

Resultado

050852FP 128 ..,

Resultado 5.4.3 Si 21S y 2

2S denotan las varianzas muestrales para dos

muestras aleatorias de tamaño n y m tomadas de dos distribuciones

normales con varianzas 21 y 2

2 respectivamente, entonces la variable

aleatoria


106

22

21

21

22

22

22

21

21Y

S

S

S

S

,

tiene una distribución F con (n-1) y (m-1) grados de libertad.

El resultado 5.4.3 está relacionado con la razón de varianzas muestrales de

muestras aleatorias de poblaciones normales cada una con su propia

varianza poblacional.

Ejemplo 5.4.3 Si 21S y 2

2S denotan las varianzas muestrales para dos

muestras aleatorias de tamaño 6 y 10 respectivamente tomadas de dos

distribuciones normales con la misma varianza poblacional 2 , cual es el

valor de b para el cual se cumple que

95022

21 .b

S

SP ,

Como se puede observar este es un problema de la razón de dos varianzas

muestrales de dos poblaciones normales, por lo cual se puede hacer uso de

que la razón 22

22

21

21

S

S tiene una distribución F con 5 y 9 grados de libertad.

Se tiene que observar que al tener las dos poblaciones la misma varianza

poblacional, la razón 22

22

21

21

S

S será igual a

22

21

S

S la cual es la razón de interés.

Además se tiene que

bb.

22

21

22

21 1950

S

SP

S

SP .

Así el valor b de interés cumple

05022

21 .b

S

SP ,

el cual es 3.48.


107

V.5 Distribución t de Student

En la mayoría de las ocasiones la varianza poblacional es

desconocida y algunos de los resultados anteriores no se pueden utilizar,

afortunadamente está la distribución t de Student.

Una distribución la cual tiene un gran uso en la inferencia estadística

es la distribución t de Student la cual se define a continuación.

Definición 5.5.1 La función de densidad de la variable aleatoria t de

Student está dada por medio de

caso otro 0

x- sin

x1

n2

n

2

1n1n

2

1

2

xf

Las graficas son simétricas.

Nota 5.5.1 El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria t de

Student está dada por medio de

0E X y 2-n

Varn

X .


108

Sea una muestra aleatoria nX,...,X,X 21 de una distribución normal con

media y varianza 2 , se tiene que nσ

μXZ

es aproximadamente 10,N .

En la mayoría de los casos la varianza 2 , es desconocida, en tales

situaciones una estimación de 2 es necesaria. Si la varianza muestral 2S

es usada en vez de 2 , entonces nS

μX se distribuye como una variable t de

Student con (n-1) grados de libertad.

Definición 5.5.2 Si Z denota una variable aleatoria normal estándar y X

denota una variable aleatoria 2n , la cual es independiente de Z , entonces la

variable aleatoria

nX

ZY ,

tiene una distribución t de Student con n grados de libertad.

Notación. nt

Ejemplo 5.5.1 Obtener el valor de t para el cual se cumple

050tP 05012 .. t

Para encontrar el valor de t para el cual el área en la cola derecha de la

distribución t de Student con 12 grados de libertad sea de 0.05, se observa

en la tabla de la t el valor que aparece en la columna de 0.05 y en el renglón

12. En este caso el valor es de 1.782, así se tiene que 0507821tP 12 .. .

Así se tiene que la probabilidad de que una variable aleatoria t con 12

grados de libertad sea a lo menos en valor igual a 1.782 es 0.05

Ejercicio 5.5.1 Obtener el valor de t el cual cumple 10tP 105 .. t


109


una variable aleatoria con distribución t son:


4. Elegir DISTR.T y aceptar

5. Aparece la ventana de la distribución T

6. Obtener la probabilidad 7821.12tP


110

Resultado

0507821 .. 12tP

Valores en Excel Los pasos a seguir para obtener los valores de la variable

aleatoria con distribución T dada la probabilidad son:


4. Elegir DISTR.T.INV y aceptar

5. Aparece la ventana de la distribución T Inversa


111

6. Obtener el valor de t tal que 050tP 05012 .. t

Resultado

0507821tP 12 ..


112

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