CAPÍTULO 4

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES

1. INTRODUCCIÓN

La teoría de las probabilidades tuvo su origen en los problemas relacionados con los juegos de azar (dados, barajas, etc.). Más tarde el concepto de probabilidad, convenientemente modificado, se ha aplicado a los seguros y a los problemas de inferencia estadística. Estos últimos poseen numerosas aplicaciones en la física moderna, la biología, la agricultura, la industria, las ciencias sociales y la economía. De aquí que la teoría de las probabilidades tenga hoy gran interés práctico y teórico y constituya una rama importante de la matemática, ingeniería y de las ciencias sociales.

2. CLASES DE EXPERIMENTOS: DETERMINÍSTICO Y ALEATORIO

Un experimento es determinístico cuando, conocidas las condiciones en que se produce, los resultados que se obtienen están sujetos a dichas condiciones. En general, este tipo de conclusiones corresponden al campo de la física y química. Por ejemplo: Combinando una molécula de oxígeno (O) con dos de hidrógeno (2H), se obtiene la molécula de agua (H2O) indefectiblemente, si se usa como catalizador una chispa eléctrica.

Los datos para una variable pueden obtenerse no solo por experimentos determinísticos, sino también mediante experimentos aleatorios. Un experimento aleatorio se define como aquél que se puede producir de manera indefinida, con las mismas condiciones, sin la posibilidad de determinar de antemano el resultado de una prueba, en observación a dichas condiciones. Ejemplo: fabricación de un bien estándar o defectuoso, lanzar una moneda o un dado, observar un nacimiento y ver el sexo, determinar el día en que una máquina va a fallar, etc. En todos estos ejemplos no se puede saber el resultado preciso antes de realizar los experimentos.

3. EXPERIMENTO ALEATORIO

3.1. Características

Un experimento aleatorio, tiene las siguientes características.

Se puede repetir de manera indefinida, esto asegura que los resultados sean simétricos y que el elemento del experimento sea homogéneo.

Los resultados del experimento son numerables y registrables. No es posible determinar el resultado exacto de un experimento aleatorio antes de que ocurra, pero si obtener

una lista de los posibles. Por el principio de la regularidad estadística (Ley de los grandes números) es posible estimar la probabilidad de

un resultado cualquiera del experimento cuando este se haya realizado muchas veces.

3.2. Espacio muestral

Es el conjunto de resultados posibles o imaginables de un experimento aleatorio. Por ejemplo, lanzar un dado genera el siguiente espacio muestral:

S = S (1, 2, 3, 4, 5, 6) Por extensiónS = S (x N / 1 N 6) Por comprensión

Los espacios muestrales pueden ser finitos o infinitos. Es finito cuando se trata de un conjunto numerable, como por ejemplo los resultados posibles que existen al elegir un número de la lotería de entre 100000 boletos. Es infinito cuando es continuo no numerable, como por ejemplo los resultados posibles que se pueden dar al elegir una persona de entre todas las que hay en el mundo.

3.3. Determinación del espacio muestral

Dado un experimento aleatorio, los resultados posibles o imaginables a que da lugar dicho experimento pueden determinarse utilizando:

El arboligrama (que es el método más versátil),

48

1a extracción 2a extracción

10

20

50

102050

102050

102050

102050

un cuadro de doble entrada (sólo aplicable en el caso de dos intentos o ensayos), aplicando números combinatorios, permutaciones o variaciones (que tan solo entregan el número de posibles

resultados, pero no los resultados en sí),

según el caso del experimento. Cualquiera de los instrumentos señalados es alternativo, con las restricciones descritas.

Ejemplo 1: Experimento aleatorio con reposición o reemplazo

En el bolsillo de un estudiante hay billetes de 10, 20 y 50 bolivianos. Si se obtienen dos billetes, uno tras otro, elegidos al azar, con reposición. ¿Qué resultados pueden obtenerse? Se pretende determinar el espacio muestral.

Resolución

Se observa el tipo de experimento: Se trata de un experimento aleatorio, porque es posible efectuar la extracción de dos billetes, uno tras otro elegidos al azar, de manera permanente y bajo las mismas condiciones, observar los resultados y registrarlos.

Se determina el espacio muestral: Los resultados posibles o imaginables de dicho experimento pueden ser obtenidos mediante un arboligrama, mostrado en la figura 4.3.1.

Figura 4.3.1. Arboligrama de sacar 2 billetes con reposición

S = { 10-10 ; 10-20 ; 10-50 ; 20-10 ; 20-20 ; 20-50 ; 50-10 ; 50-20 ; 50-50 }

Fuente: Elaboración propia

Para construirlo se debe preguntar: ¿cuáles son los posibles billetes que se puede sacar en la primera extracción? La segunda pregunta: habiendo sacado un billete de 10, 20 o 50, ¿qué posibles billetes puedo sacar en la segunda extracción?

Una segunda forma de obtener el espacio muestral, es empleando un cuadro de doble entrada de la siguiente forma. En las columnas se registran los resultados de la primera extracción y en las filas, los de la segunda extracción. El cuerpo de dicha tabla registra los resultados posibles o imaginables, es decir el espacio muestral (ver tabla 4.3.1):

Tabla 4.3.1Espacio muestral de sacar dos billetes con reposición

1a

2a10 20 50

10 10 – 10 10 – 20 10 – 5020 20 – 10 20 – 20 20 – 5050 50 – 10 50 – 20 50 – 50

Fuente: Elaboración propia

49

1a extracción 2a extracción

102050

20

50

10

50

10

20

20

10

50

Ejemplo 2: Experimento aleatorio sin reposición o reemplazo

En el bolsillo de un estudiante hay billetes de 10, 20 y 50 bolivianos. Si se obtienen dos billetes, uno tras otro, elegidos al azar, sin reposición. ¿Qué resultados pueden obtenerse?

Resolución

No se trata del mismo experimento aleatorio del ejemplo 1, porque en este caso se extraen los billetes uno tras otro, pero sin reposición.

Los resultados posibles o imaginables de dicho experimento pueden ser obtenidos mediante un arboligrama (ver figura 4.3.2).

Figura 4.3.2. Arboligrama de sacar 2 billetes sin reposición

S = { 10-20 ; 10-50 ; 20-10 ; 20-50 ; 50-10 ; 50-20 }

Fuente: Elaboración propia

Aquí se realizan las mismas preguntas que en ejemplo anterior. Se observará que basta que una condición del experimento cambie, para que éste tenga otro espacio muestral.

También se puede usar un cuadro de doble entrada de la forma que está mostrada en la tabla 4.3.2. Para ello se han omitido los resultados de la diagonal principal de la tabla.

Tabla 4.3.2Espacio muestral de sacar dos billetes con reposición

1a

2a10 20 50

10 X 10 – 20 10 – 5020 20 – 10 X 20 – 5050 50 – 10 50 - 20 X

Fuente: Elaboración propia

3.4. Eventos o sucesos aleatorios

Un evento es un subconjunto del espacio muestral.

Ejemplo: Si el experimento aleatorio consiste en lanzar al aire una moneda tres veces y observar los resultados conjuntos, un evento puede ser:

50

E1 = obtener tres caras en 3 lanzamientos.E1 = E (c c c)

Otro evento, obtener 3 sellos en tres lanzamientos: E2 = E (s s s), etc.

Un evento es un resultado o varios resultados de un espacio muestral en los que se está interesado, con el propósito de estudiarlos o analizar los resultados.

3.5. Clases de eventos

a) Sucesos simples y compuestos: Los eventos o sucesos aleatorios pueden ser simples o compuestos, según puedan o no descomponerse en otros resultados del experimento. Ejemplo: al lanzar una moneda sale cara o cruz, estos resultados son simples. Al lanzar una moneda 2 veces: cs, cc o ss, se originan eventos compuestos.

b) Sucesos ciertos e imposibles: Un suceso es cierto cuando los resultados que se obtienen cumplen las condiciones del experimento. Ejemplo: al lanzar una moneda, los sucesos ciertos son cara o cruz. El suceso imposible se da cuando el resultado del experimento no cumple las condiciones esperadas. Ejemplo: cuando la moneda cae de perfil.

c) Sucesos mutuamente excluyentes o no: Dos o más sucesos son mutuamente excluyentes cuando la ocurrencia de uno de ellos excluye la aparición de los otros. Ejemplo: al lanzar un dado la aparición de 5 excluye la aparición de 1, 2, 3, 4 y 6. Sin embargo, si se lanzan dos dados dos sucesos que no son mutuamente excluyentes son el evento que sumen 10 y el evento que en uno de ellos aparezca un 4.

d) Sucesos igualmente posibles o no: Dos o más eventos son igualmente posibles cuando ninguno tiene mayor posibilidad de ocurrencia que el otro. Ejemplo: al lanzar una moneda hay la misma posibilidad que salga cara o sello si ésta está bien hecha. Las monedas “cargadas” originan sucesos que no son igualmente posibles.

e) Sucesos dependientes e independientes: Un suceso es dependiente de otro cuando la ocurrencia de uno afecta al resultado del otro. Ejemplo: si se tienen 3 bolas rojas y una azul en una urna y en la primera extracción se eligió al azar una bola roja, el suceso que se extraiga una bola roja en la segunda extracción es dependiente de la primera. Sin embargo, si la bola roja extraída se repone a la urna, la segunda extracción será independiente de la primera.

4. PROBABILIDAD

4.1. Introducción

La probabilidad es una medida del riesgo o de la incertidumbre. Se dice que existe riesgo cuando se conoce el espacio muestral y la probabilidad de aparición de los sucesos. La situación que indica incertidumbre, desconoce la presencia del espacio muestral, la probabilidad de los sucesos o ambos.

Por medio de la probabilidad, podemos medir si un suceso es probable e improbable: el resultado de una elección presidencial, los efectos colaterales de un nuevo medicamento, la durabilidad de una pintura para exteriores, etc.

La probabilidad puede clasificarse en tres tipos.

4.2. Probabilidad a priori o clásica

Es la manera más antigua de medir el riesgo o la incertidumbre de un evento.

La probabilidad de ocurrencia o éxito de un suceso simple A, es el número que se determina mediante el cociente de los casos favorables de la ocurrencia del evento y el número de casos posibles.

P( A )=n( A )n

= Número de casos favorables al evento ANúmero de casos posibles

En la aplicación de esta regla, los términos “favorable” y “éxito” se aplican a cualquier clase de resultado que el investigador esté interesado. Así, favorable puede significar que un televisor no funcione, ya que el interés es detectar los que están defectuosos.

51

M

H

H

M

H

M

H

M

H

M

H

M

H

M

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12P. marginal

P. condicional

P. condicional

P. conjunta = P. Marginal * P. condicional

81

21

21

21

81

21

21

21

81

21

21

21

81

21

21

21

81

21

21

21

81

21

21

21

81

21

21

21

81

21

21

21

1

Algunas propiedades que presentan los sucesos, al hablar de sus probabilidades a priori son:

La suma de probabilidades de dos sucesos independientes es: P (A U B) = P(A) + P(B) La suma de probabilidades de dos eventos mutuamente excluyentes es: P(A’) = 1 - P(A) La probabilidad de cualquier evento presenta los siguientes valores: 0 P(A) 1 Cada resultado debe ser igualmente posible. Se puede determinar la probabilidad de antemano.

Ejemplo 1: ¿Cuál es la probabilidad de sacar un as de un paquete bien revuelto de 52 cartas?

Resolución

Bien revuelto significa que cada carta tiene la misma probabilidad de salir, de modo que se puede aplicar el concepto clásico de probabilidad.

Dado que hay 4 ases entre 52 cartas, la probabilidad de sacar un as sería de:

P( sacar un as )= 452

= 113

=0 .077

Existe una probabilidad de que en 13 extracciones, una sea un as, o existe una probabilidad del 7.7% de sacar un as al elegir una carta.

Ejemplo 2: Supongamos 3 nacimientos. ¿Cuál es la probabilidad de que nazcan 2 varones?

Determinar el sexo del recién nacido, es un experimento aleatorio (Suponiendo que no se cuenta con un ecógrafo).

Los resultados del experimento cuando se observa el nacimiento uno tras otro, en la determinación del sexo se los determina por medio de un arboligrama (Ver figura 4.4.1):

Figura 4.4.1. Arboligrama del sexo de 3 nacimientos

S=S (HHH, HHM, HMH, MHH, HMM, MHM, MMH, MMM)

Fuente: Elaboración propia

Se calcula la probabilidad del evento E1 de que hayan exactamente 2 nacidos hombres (suma de tres probabilidades conjuntas).

P(E1) = P (H,H,M) + P (M,H,H) + P (H,M,H)52

Para el análisis de dichas probabilidades es necesario recurrir a eventos simples: Probabilidad conjunta es la multiplicación de una probabilidad marginal por varias condicionales.

P(H , H ,M )=P(H ) P(H /H ) P(M /H ,H )=( 12 )( 12 )( 12 )=18La probabilidad de 2 nacidos hombres es de 3 veces en 8 nacimientos, o del 37.5%.

Nota: La probabilidad marginal siempre corresponde a un evento simple (por eso corresponden a las primeras ramas del árbol. Ejemplo: P(H): probabilidad de que el recién nacido sea hombre. La probabilidad condicional a un evento que depende de otro, por eso corresponden a las segundas ramas del árbol y así sucesivamente. Ejemplo: P(H/H): la probabilidad de que el segundo nacido sea hombre, dado que el primero fue hombre. La probabilidad conjunta se refiere a eventos que se dan al mismo tiempo, y corresponden a los eventos del espacio muestral. Ejemplo: P(H,H,M): la probabilidad de que dos recién nacidos de tres, sean hombres.

4.2. Probabilidad a posteriori

Una desventaja del concepto clásico de probabilidad es su aplicación limitada, ya que hay muchas situaciones en las que no se pueden considerar las diversas posibilidades como igualmente probables. Ejemplos: la posibilidad de si lloverá en un día determinado, si un empleado obtendrá un ascenso este mes en la empresa, si quisiéramos pronosticar el resultado de una elección o un partido de fútbol, o si quisiéramos determinar si un índice bursátil bajará o subirá. Para estos casos, se usa el concepto de probabilidad a través de la frecuencia o probabilidad a posteriori. Se define de la siguiente manera:

Es la frecuencia relativa observada de un evento durante un gran número de intentos. La fracción de veces que un evento se presenta cuando las condiciones son estables. Advertencia. Tiene una limitación en su uso: Falla cuando los datos son insuficientes.

Ejemplo 1: Según datos históricos se sabe que 20 de 100 taxis sufren choques muy fuertes al año en Cochabamba ¿Cuál es la probabilidad de que se suba a un taxi y éste sufra un choque muy fuerte?

Resolución

Esta es una probabilidad a posteriori, y se la calcula mediante la frecuencia relativa: . Existe una probabilidad del 20% de que el taxi al que se subió sufra un choque fuerte.

Ejemplo 2: Si los registros de una aerolínea demuestran que (en los últimos 6 meses) 468 de 600 de sus jets de Cochabamba a Santa Cruz llegaron a tiempo, ¿cuál es la probabilidad de que si este fin de semana Ud. está yendo a Santa Cruz, llegue a la hora correcta?

Resolución

Ya que en el pasado, 468600

=0 .78 de los vuelos llegaron a tiempo, entonces se puede decir que hay una

probabilidad del 78% de que el avión de este fin de semana llegue a tiempo.

4.3. Probabilidad subjetiva

¿Qué pasa con la probabilidad a posteriori si el evento ocurre muy pocas veces o una sola vez? Ya no es un buen indicador de la ocurrencia del evento. Así que hay una tercera definición de probabilidad que es la subjetiva.

Está basada en las creencias de las personas que efectúan la estimación. Es la probabilidad asignada a un evento por un individuo, basada en la evidencia disponible. Útil cuando los eventos se presentan una vez o pocas veces.

Ejemplo: Un estudiante no realizó ningún esfuerzo en su preparación para rendir su examen de estadística. No fotocopió el texto de la materia, no hizo las prácticas, no estudió los ejercicios propuestos y no atendió al docente en

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las clases dirigidas. Por lo tanto, subjetivamente se puede decir que tiene muy pocas probabilidades de pasar el examen.

5. VARIABLE ALEATORIA

Es una función que permite transformar los diferentes resultados del espacio muestral en puntos del conjunto de los números naturales. Puede ser continua o discreta.

Ejemplo: Supóngase el espacio muestral del sexo de 3 recién nacidos (Ver la figura 4.4.1).

S = S (HHH, HHM, HMH, MHH, HMM, MHM, MMH, MMM)

Corresponde a la situación de observar 3 nacimientos uno tras otro.

Si interesa el número de hombres recién nacidos se puede observar la siguiente relación entre la variable definida y el espacio muestral.

La variable aleatoria es discreta y estaría definida como: X = Número de hombres recién nacidos, generando así los valores de la tabla 4.5.1.

Tabla 4.5.1Valores de la variable aleatoria: número de hombres recién nacidos

Casos del espacio muestral

Valores de la variable aleatoria discreta: (Xi)

MMM X1 = 0 => Los recién nacidos son todos mujeresMMH, MHM, HMM X2 = 1 Significa 1 hombre entre los recién nacidosMHH, HMH, HHM X3 = 2 Significa 2 hombresHHH X4 = 3 Significa 3 hombres

Fuente: Elaboración propia

Si dentro el espacio muestral, teniendo en cuenta la variable aleatoria definida, se define una función de probabilidades que determine la ocurrencia de los diferentes valores de la variable, se dice que se ha definido: P(x en A)

6. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES

6.1. Introducción

Sea un experimento aleatorio que permite definir un espacio muestral, sea x la variable aleatoria y P(x) las probabilidades respectivas. La función de probabilidad se obtiene cuando determinada una variable aleatoria para el espacio muestral, se dispone de las probabilidades correspondientes producidas en el experimento aleatorio.

En el ejemplo anterior, la distribución de probabilidades es la que se muestra en la tabla 4.6.1.

Tabla 4.6.1Distribución de probabilidades del sexo del recién nacido

Variable xi Casos del espacio muestral

P(xi)

x1 = 0 MMM 1/8x2 = 1 MMH, MHM, HMM 3/8x3 = 2 MHH, HMH, HHM 3/8x4 = 3 HHH 1/8

Fuente: Elaboración propia

Esta tabla corresponde a una distribución de probabilidades para variable aleatoria discreta.

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6.2. Función de cuantía

a) Propiedades

La distribución de probabilidades, cuando la variable es discreta, se denomina función de cuantía y debe cumplir con:

Cualquier P(x) debe ser un número real.

La suma de las distintas probabilidades de los valores de la variable debe ser 1: En consecuencia, cualquier P(x) debe estar entre 0 P(x) 1 para x = 0, 1, 2, ..., n.

Para determinar si una función es de cuantía debe cumplir con las condiciones anteriores. Para evaluar la segunda condición: “La suma de la función de cuantía en el recorrido de la variable debe sumar la unidad”, es necesario incorporar una variable de trabajo “k”, tal que:

Si k = 1, entonces la función propuesta es de cuantía. Si k 1, entonces debe corregirse la función de cuantía multiplicándola por dicha constante.

Ejemplo: Sea la siguiente función de cuantía: f ( x )=2 x+1 Para x = 0, 1, 2, 3.

a) Determine si es o no una función de cuantía; si no fuera, entonces corríjala.b) Halle la probabilidad de que x sea menor que 2.c) Halle la función de distribución y verifique el resultado anterior.

Resolución

Se verifica que la función propuesta admite solo valores reales. Debe cumplir la condición: “La suma de la función de cuantía en el recorrido de la variable debe sumar la

unidad". Para verificar esta propiedad se usa una variable constante "k”:

k (1+3+5+7 )=1 k (16 )=1 k= 116

La función propuesta no es de cuantía porque no cumple la segunda propiedad. Por lo tanto debe modificarse.

a) Entonces la nueva función es: para x = 0, 1, 2, 3.

b) Se pide: P( x<2)=P( x=0 )+P (x=1)= 1

16+ 316

= 416

=0 .25

Respuesta: Que la variable x tome un valor menor que dos, ocurre en un 25% de los casos.

c) Se halla la función de distribución y se verifica.

Se sabe que:

donde:

La distribución de cuantía se muestra en la tabla 4.6.2.

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Tabla 4.6.2

Distribución de cuantía de la función: para x = 0, 1, 2, 3.

xi P(xi) Pac(xi)0 1/16 1/161 3/16 4/162 5/16 9/163 7/16 16/16

16/16

Fuente: Elaboración propia

b) Representación gráfica

Las distribuciones de probabilidades para variable aleatoria discreta pueden ser representadas mediante un diagrama de barras, circular o rectangular, usando los valores de probabilidad para el eje y y los valores de la variable para el eje x. También pueden ser representadas mediante diagramas acumulados de probabilidades.

Diagrama de barras

Se muestra en el gráfico 4.6.1 el diagrama de barras para la función del ejemplo anterior.

Gráfico 4.6.1.

Diagrama de barras para la función: para x = 0, 1, 2, 3.

0 1 2 3

0%

10%

20%

30%

40%

50%

xi

P(x

i) [

%]

Fuente: Elaboración propia

6.3. Función de densidad

a) Propiedades

La distribución de probabilidades de una variable aleatoria continua, se denomina función de densidad y debe cumplir con:

f(x) 0 para - < x < La integral de la función en el recorrido de la variable debe ser igual a 1:

∫−∞

∞f ( x ) dx=1

La evaluación de una función de densidad se efectúa determinando el cumplimiento de las condiciones anteriores. La segunda condición requiere incorporar la variable de trabajo “k”.

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Se consideran las condiciones introducidas para el valor de k, a fin de determinar si la función propuesta es de cuantía.

Ejemplo: Se ha descubierto que el tiempo de espera (en minutos) para que una persona pueda acceder a conectarse a internet sigue la siguiente función de densidad:

f ( x )=x2−6 x+10 para 0 .25≤x≤1.5

a) Determine la probabilidad que alguien espere menos de un minuto.b) Determine la probabilidad que alguien espere por lo menos un minuto.

Resolución

Primero se verifica si la función es realmente una de densidad, realizando la comprobación de la propiedad:

∫−∞

∞f ( x ) dx=1

.

k ∫0 .251.5

( x2−6x+10 ) dx=1

k ( x33 −3x2+10x )|0.251.5 =1

k (1355192 )=1 k=1921355

Se verifica que la función no era de densidad, y había que corregirla, del siguiente modo:

f ( x )=192( x2−6 x+10 )1355

para 0 .25≤x≤1 .5

Ahora si se procede a determinar lo que se pide.

a)

P( x<1)=∫0 .251 [192( x2−6 x+10 )1355 ] dx=1921355 ( x33 −3 x2+10 x)|0 .251 =0 .7107

Existe una probabilidad de 71.07% de que una persona se conecte al internet en menos de un minuto.

b)

P( x≥1 )=∫11.5 [192( x2−6 x+10 )1355 ] dx=1921355 ( x33 −3x2+10x )|11.5=0 .2893

Existe una probabilidad de 28.93% de que una persona espere para conectarse al internet un minuto o más tiempo.

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EJERCICIOS DE CLASE

Experimento aleatorio y determinístico

1. Determine cuáles de los siguientes experimentos son determinísticos o aleatorios.

a) Un alumno realiza un examen de opción múltiple, en el cual cada pregunta consta de 3 respuestas, de las cuales sólo una es correcta. Cada pregunta es elegida mediante bolos. El examen consta de 2 preguntas. Se sabe que el alumno no estudió para este examen. ¿Cuál es la probabilidad de que responda correctamente las dos preguntas?

b) Una empresa que fabrica cereales de distinto tipo, quiere probar si su nuevo cereal es significativamente diferente en sabor que los anteriores que ha producido. Para ello, realiza una prueba con varios clientes. A cada uno se les da a probar 5 cereales, de los cuáles uno es el nuevo. De 7 clientes, 6 acertaron al nuevo cereal. ¿Cuál es la probabilidad de que de 3 clientes, uno acierte al nuevo cereal?

c) Se sabe que una máquina para envasar cierto producto líquido, no llena el 100% de las latas con la cantidad de líquido debida: de 20 latas (que constituyen la producción diaria), 4 están mal llenadas. Si se escogieron 4 latas al azar de la producción del día de hoy, ¿qué probabilidad hay que encuentren por lo menos una que esté mal llenada?

Determinación del espacio muestral

2. Determine el espacio muestral de los experimentos de la pregunta 1, que sean aleatorios.

Determinación de una distribución de variable aleatoria discreta

3. Halle la distribución de probabilidades para los experimentos de la pregunta 1 que sean aleatorios y determine las probabilidades que se piden.

4. En La UPB, el jefe de Ciencias Exactas quiere contratar a docentes para que se hagan cargo de los paralelos de Matemáticas para Ingeniería II y para Matemáticas II (ambas se imparten en el mismo horario) en el próximo módulo. Se han presentado 8 personas y obtuvieron el mismo puntaje en la clase magistral: 2 son doctores, 5 son masters y uno es licenciado en Matemáticas.

a) Construya la distribución de probabilidad, donde la variable aleatoria sea el número de masters contratados para las cátedras.

b) Halle la probabilidad de que por lo menos una de las cátedras sea cubierta por masters.c) Halle la probabilidad que ninguna de las cátedras sea cubierta por licenciados.

5. El docente de Estadística tiene un problema de límite de alumnos en su materia este semestre. Tiene 40 alumnos y quiere transferir a 3 alumnos a la clase de la tarde. 30 alumnos no pueden asistir a la clase de la tarde por imposibilidad en sus horarios. Para resolver este asunto, el docente elegirá al azar de los 10 alumnos que no tienen excusa para la transferencia. Sabe que en ese grupo existen 6 personas repitentes.

a) Presente la distribución de probabilidades del número de repitentes.b) ¿Cuál es la probabilidad de que el docente elija a por lo menos un repitente?.

6. Un estudiante se presenta a un examen oral, que consiste de 2 preguntas. El profesor preparó el examen para que el alumno eligiera entre 5 preguntas de distribuciones discretas de probabilidad, 3 preguntas de distribuciones de frecuencia y 4 de distribuciones continuas de probabilidad.

a) Halle la probabilidad de que el alumno tenga que contestar al menos una pregunta sobre distribuciones discretas de probabilidad.

b) Halle la probabilidad de que el alumno tenga que contestar 2 preguntas sobre distribuciones de frecuencia.

Función de cuantía

7. Sea la siguiente función de cuantía: , que determina la probabilidad de la

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demanda diaria de un artículo que se vende a 2 $us. por unidad.

a) Corrija la función, de modo que cumpla las propiedades de una función de cuantía.b) Halle la distribución de probabilidad.c) Realice el diagrama de barras de probabilidades.d) Realice el diagrama acumulado de probabilidades.e) Halle la probabilidad de que la demanda del artículo sea de 4 unidades.f) Halle la probabilidad de que la demanda del artículo sea de a lo más 3 unidades.g) Halle la probabilidad de que la demanda del artículo sea de al menos 2 unidades.

Función de densidad

8. Sea la función de densidad: , que relaciona la probabilidad del precio unitario de un artículo (en $us.).

a) Corrija la función, de modo que cumpla las propiedades de una función de densidad.b) Halle la distribución de probabilidad.c) Realice el histograma de probabilidades.d) Realice la ojiva de probabilidades.e) Halle la probabilidad de que el precio del artículo sea de al menos 3.5 $us.

9. La duración de una batería está dada por la siguiente función (en años):

Si se la instala correctamente y se le realiza un mantenimiento adecuado, la batería generalmente dura 5 años. El comerciante generalmente ofrece una garantía de un año.

a) Construya la tabla de distribución de probabilidad del tiempo de vida de una batería, corrigiendo antes la función de densidad.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la batería falle después de que el tiempo de garantía ha fenecido?c) Hallar la probabilidad que la batería dure más de 4 años.

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EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Dé una lista de los posibles resultados que se consiguen al lanzar dos dados uno tras otro. Dibuje el arboligrama y un cuadro de doble entrada.

2. ¿Cuáles de los siguientes resultados son mutuamente excluyentes en el lanzamiento de dos dados?

a) Un total de 5 y un 5 en un dado.b) Un total de 7 y un número par de puntos en ambos dados.c) Un total de 10 puntos y un 4 en un dado.

3. Una pastelería ofrece pasteles con decoración especial para cumpleaños, bodas y otras ocasiones. También tiene pasteles normales en su tienda. En la tabla que sigue se proporciona el número total de pasteles vendidos al día y las probabilidades correspondientes.

Nº de pasteles vendidos/día

Probabilidad

12 0.2513 0.4014 0.2515 0.10

a) Complete la tabla y diga de qué tipo de distribución se trata.b) Realice una gráfica de la distribución.c) ¿Cuántos pasteles venderá al día, si tomamos en cuenta la mayor probabilidad?

4. Como se sabe, la respuesta a una pregunta de verdadero o falso es correcta o incorrecta. Considere que un examen está formado por 4 preguntas de este tipo y un estudiante no sabe nada sobre el tema.

a) Construya la tabla de distribución de cuantía.b) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante responda todas las preguntas mal?c) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante responda por lo menos una bien?

5. Dada la siguiente función: f ( x )=3 x2+5 x+4 Para 0 x 3

a) Determine si es o no una función de densidad. Si no es, corríjala.b) Halle la probabilidad de que x sea menor que 2.c) Halle la función de distribución y grafíquela.d) Realice los pasos a) hasta c) para el caso de una distribución discreta con x = 0, 1, 2, 3.

6. El Ministerio de Informaciones sobre asuntos políticos emite 17 de cada 20 noticias para evitar la disminución de imagen del gobierno que representa. Se seleccionan 3 noticias emitidas por dicho Ministerio al azar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren 2 noticias que vayan en desmedro de la imagen del gobierno?b) ¿Cuál es la probabilidad de que puedan encontrarse a lo más 2 noticias que cuiden la imagen del gobierno?

7. En Alke se acaba de recibir un embarque de 10 aparatos de TV. Poco después de recibirlos, el fabricante llamó para informar que por descuido habían enviado tres aparatos defectuosos. Se decidió probar dos de éstos. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los dos esté defectuoso?

8. Un profesor tiene un conjunto de 15 preguntas de opción múltiple referente a Estadística I. Cuatro de estas preguntas se relacionan con distribuciones de probabilidades. ¿Cuál es la probabilidad que al menos una de estas preguntas sobre distribuciones de probabilidad aparezca en el examen de tres preguntas del próximo lunes?

9. En un día veraniego muy caluroso, 10% de los trabajadores de producción de una empresa están ausentes del trabajo. Se van a seleccionar al azar 3 obreros para un estudio especial a profundidad sobre el ausentismo.

a) ¿Cuál es la variable aleatoria en este problema?60

b) ¿Tal variable es discreta o continua? ¿Por qué?c) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar al azar 3 nombres de trabajadores y descubrir que ninguno está

ausente?d) Represente la distribución mediante una gráfica.

10. Entre los quince solicitantes para tres puestos en un periódico, diez son graduados de universidad. Si las selecciones se hacen al azar.

a) Determine la distribución de probabilidad, definiendo la variable como el número de graduados de universidad que solicitan los puestos.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que los puestos sean cubiertos por menos de 2 graduados de universidad?

11. El consejo directivo de su empresa está formado por 12 integrantes, 3 de los cuales son mujeres. Se va a redactar un nuevo manual de políticas y procedimientos para la empresa. Debe seleccionarse un comité de 3 en forma aleatoria entre el consejo, para que escriban el manual.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que todos los integrantes del comité sean hombres?b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos un elemento del comité sea mujer?c) Halle la probabilidad de que por lo menos 2 personas sean mujeres.

12. El tiempo de producción en horas, para fabricar un zapato de vestir para varón está dado por la siguiente

ecuación: . Generalmente el tiempo de fabricación de este tipo de zapato está entre 2 y 5 horas.

a) Pruebe si es función de densidad y halle su distribución.b) Cuál es la probabilidad de que un empleado fabrique el zapato en más de 3 horas?

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