Probabilidad y Estadistica 3

Probabilidad y Estadstica

1

Probabilidades

Qu es estadstica?

2

Probabilidades

Qu es estadstica? La ciencia utiliza modelos para describir fenmenos.

3

Probabilidades


Un modelo es una explicacin terica del fenmeno objeto de estudio. Esta explicacin suele expresarse en forma verbal, muchas veces mediante ecuaciones matemticas.

4

Probabilidades


Un modelo es una explicacin terica del fenmeno objeto de estudio. Esta explicacin suele expresarse en forma verbal, muchas veces mediante ecuaciones matemticas. Existen modelos determinsticos y modelos no determinsticos.5

Probabilidades

Qu es estadstica? Modelo determinstico:

6

Probabilidades

Qu es estadstica? Modelo determinstico: Es posible conocer un valor preciso de la variable de inters a partir de otras.

7

Probabilidades

Qu es estadstica? Modelo determinstico: Es posible conocer un valor preciso de la variable de inters a partir de otras. Modelo no determinstico:

8

Probabilidades

Qu es estadstica? Modelo determinstico: Es posible conocer un valor preciso de la variable de inters a partir de otras. Modelo no determinstico: No es posible determinar un valor preciso de la variable de inters pues est presente la incertidumbre.

9

Probabilidades

No determinsticos

10

Probabilidades

No determinsticos Duracin de la batera de litio de una laptop.

11

Probabilidades

No determinsticos Duracin de la batera de litio de una laptop. Cantidad de personas que compran con tarjeta de crdito en una tienda en un perodo determinado.

12

Probabilidades

No determinsticos Duracin de la batera de litio de una laptop. Cantidad de personas que compran con tarjeta de crdito en una tienda en un perodo determinado. Promedio de notas en los estudios universitarios (conocido el promedio de notas en secundaria).13

Probabilidades

Qu es estadstica?La Estadstica nos ensea cmo realizar juicios inteligentes y tomar decisiones en presencia de incertidumbre.

Los mtodos estadsticos estn ideados para permitir evaluar el grado de incertidumbre de los resultados.La Estadstica se ocupa de fenmenos no determinsticos. modelos y14

Probabilidades

Qu es estadstica?Asociado a modelos no determinsticos est el concepto de probabilidad.

Existe la Estadstica Descriptiva Estadstica Inferencial.

y

la

15

Probabilidades

Qu es estadstica?Estadstica Descriptiva: Tcnicas para describir o representar conjuntos de datos (grficos y clculo de medidas numricas). Estadstica Inferencial: Mtodos para derivar conclusiones acerca de un gran grupo de objetos al observar una parte de ellos.16

Probabilidades

Cierto tipo de dispositivos electrnicos se envan en lotes de 50. Se seleccion una muestra de 60 lotes y se determin el nmero de dispositivos en cada lote que no cumplan con las especificaciones de diseo y se obtuvieron los datos siguientes:2 1 2 4 0 1 3 2 0 5 3 3 1 3 2 4 7 0 2 3

0 5

4 0

2 2

1 3

3 2

1 1

1 0

3 6

4 4

1 2

2 1

3 6

2 0

2 3

8 3

4 3

5 6

1 1

3 2

1 317

Probabilidades

a) Qu proporcin de lotes muestreados tienen a lo sumo 5 dispositivos electrnicos que no cumplen con las especificaciones? b) Qu proporcin tiene menos de 5? c) Qu proporcin tienen por lo menos 5 unidades que no cumplen con las especificaciones?

18

Probabilidades

Histograma de frecuencias16 14

12

10

8

6

4

2

0 0 1 2 3 4 5 6 7 8

19

Probabilidad

20

Probabilidades

MODELOS

21

Probabilidades

MODELOSCuando utilizamos la Matemtica para estudiar fenmenos observables se intenta construir modelos matemticos.

22

Probabilidades


Los modelos pueden ser determinsticos o probabilsticos.

23

Probabilidades


Los modelos pueden ser determinsticos o probabilsticos.Modelo determinstico: resultados. Se pueden predecir los

24

Probabilidades


Los modelos pueden ser determinsticos o probabilsticos.Modelo determinstico: resultados. Se pueden predecir los

Modelo probabilstico: No pueden predecirse los resultados, solo se expresan las probabilidades de los resultados posibles. Tambin se le llama no determinstico o estocstico.25

Probabilidades

EXPERIMENTO ALEATORIO

26

Probabilidades

EXPERIMENTO ALEATORIOLos modelos probabilsticos son apropiados para fenmenos que se pueden denominar experimentos aleatorios.

27

Probabilidades

EXPERIMENTO ALEATORIOLos modelos probabilsticos son apropiados para fenmenos que se pueden denominar experimentos aleatorios. En un experimento aleatorio se cumple:

28

Probabilidades

EXPERIMENTO ALEATORIOLos modelos probabilsticos son apropiados para fenmenos que se pueden denominar experimentos aleatorios. En un experimento aleatorio se cumple: Todos los resultados se conocen de antemano.

29

Probabilidades


No es posible predecir el resultado.

30

Probabilidades


No es posible predecir el resultado. El experimento condiciones. puede repetirse bajo idnticas

31

Probabilidades

EXPERIMENTO ALEATORIO - Ejemplos

32

Probabilidades

EXPERIMENTO ALEATORIO - EjemplosEjemplo 1: Lanzar un dado equilibrado (no cargado) y ver el nmero que sale.

33

Probabilidades


Ejemplo 2: Lanzar una moneda cuatro veces y contar el nmero de caras.

34

Probabilidades


Ejemplo 2: Lanzar una moneda cuatro veces y contar el nmero de caras. Ejemplo 3: Contar la cantidad de fumadores en una seccin de alumnos determinada.

35

Probabilidades


Ejemplo 2: Lanzar una moneda cuatro veces y contar el nmero de caras. Ejemplo 3: Contar la cantidad de fumadores en una seccin de alumnos determinada.Ejemplo 4: Contar el nmero de artculos defectuosos producidos en un da.

36

Probabilidades

ESPACIO MUESTRAL

37

Probabilidades

ESPACIO MUESTRAL

Es el conjunto de todos los resultados posibles del experimento aleatorio.

38

Probabilidades

ESPACIO MUESTRAL

39

Probabilidades

ESPACIO MUESTRALEjemplo 1: U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

40

Probabilidades

ESPACIO MUESTRALEjemplo 1: U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Ejemplo 2: U = { 0, 1, 2, 3, 4 }

41

Probabilidades


Ejemplo 3: U = { 0, 1, 2, 3, , n }

donde n es la cantidad de alumnos de la seccin

42

Probabilidades


Ejemplo 3: U = { 0, 1, 2, 3, , n } Ejemplo 4: U = { 0, 1, 2, 3, , n }

donde n es la cantidad de alumnos de la seccin donde n es la cantidad de artculos producidos43

Probabilidades

SUCESO o EVENTO

44

Probabilidades

SUCESO o EVENTO

Es un subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio.

45

Probabilidades

SUCESO o EVENTO

46

Probabilidades

SUCESO o EVENTOEjemplo 1: A: sali un nmero par

A = { 2, 4, 6 }

47

Probabilidades

SUCESO o EVENTOEjemplo 1: A: sali un nmero par Ejemplo 2: B: salieron tres caras

A = { 2, 4, 6 }B={3}

48

Probabilidades


A = { 2, 4, 6 }B={3}

Ejemplo 3: C: hay 5 fumadores en la seccin

C={5}

49

Probabilidades


A = { 2, 4, 6 }B={3}

Ejemplo 3: C: hay 5 fumadores en la seccin

C={5}

Ejemplo 4: D: se producen menos de 10 artculos defectuosos D = { m entero | 0 m < 10 }50

Probabilidades

SUCESO COMPLEMENTARIO

51

Probabilidades


Para todo suceso se puede definir un suceso complementario de modo que la unin de ambos sucesos sea todo el espacio muestral.

52

Probabilidades


Para todo suceso se puede definir un suceso complementario de modo que la unin de ambos sucesos sea todo el espacio muestral.El suceso complementario o complemento de A se denota por Ac A53

Probabilidades


54

Probabilidades

SUCESO COMPLEMENTARIOEjemplo 1: A: sali un nmero impar

A = { 1, 3, 5 }

55

Probabilidades

SUCESO COMPLEMENTARIOEjemplo 1: A: sali un nmero impar Ejemplo 2: B: no salieron tres caras

A = { 1, 3, 5 }B = { 0, 1, 2, 4 }

56

Probabilidades


A = { 1, 3, 5 }B = { 0, 1, 2, 4 }

Ejemplo 3: C: en la seccin hay una cantidad de fumadores distinta de 5 C = { x entero | x 5 }

57

Probabilidades


A = { 1, 3, 5 }B = { 0, 1, 2, 4 }

Ejemplo 3: C: en la seccin hay una cantidad de fumadores distinta de 5 C = { x entero | x 5 }Ejemplo 4: D: se producen al menos 10 artculos defectuosos D = { 10, 11, 12, , n }

58

Probabilidades

SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES

59

Probabilidades

SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTESDos sucesos son mutuamente excluyentes si no tienen elementos comunes, su interseccin es vaca.

60

Probabilidades


Dos sucesos mutuamente excluyentes no pueden ocurrir al mismo tiempo, si uno ocurre no ocurre el otro.

61

Probabilidades


Dos sucesos mutuamente excluyentes no pueden ocurrir al mismo tiempo, si no ocurre no ocurre el otro.Ejemplo 1: Al lanzar un dado A: sale el 3 y

B: sale un nmero par

62

Probabilidades


Dos sucesos mutuamente excluyentes no pueden ocurrir al mismo tiempo, si no ocurre no ocurre el otro.Ejemplo 1: Al lanzar un dado A: sale el 3 y

B: sale un nmero par

Ejemplo 2: Dos sucesos complementarios siempre son mutuamente excluyentes.

63

Probabilidades

PROBABILIDAD

64

Probabilidades

PROBABILIDADHay varias maneras probabilidad: de definir el concepto de

65

Probabilidades

PROBABILIDADHay varias maneras probabilidad: Definicin clsica de definir el concepto de

66

Probabilidades

PROBABILIDADHay varias maneras probabilidad: Definicin clsica Definicin frecuencialista de definir el concepto de

67

Probabilidades

PROBABILIDADHay varias maneras probabilidad: Definicin clsica Definicin frecuencialista Definicin axiomtica de definir el concepto de

68

Probabilidades

PROBABILIDADDefinicin clsica:

69

Probabilidades

PROBABILIDADDefinicin clsica: La probabilidad p(A) de un suceso A es el cociente de la cantidad de casos favorables al suceso entre la cantidad de casos posibles.

70

Probabilidades

PROBABILIDADDefinicin clsica: La probabilidad p(A) de un suceso A es el cociente de la cantidad de casos favorables al suceso entre la cantidad de casos posibles. Ejemplo: Sea A: sale un nmero par mayor que 3 al lanzar un dado

71

Probabilidades

PROBABILIDADDefinicin clsica: La probabilidad p(A) de un suceso A es el cociente de la cantidad de casos favorables al suceso entre la cantidad de casos posibles. Ejemplo: Sea A: sale un nmero par mayor que 3 al lanzar un dado

p(A) =

26

=

1372

Probabilidades

PROBABILIDADDefinicin frecuencialista:

73

Probabilidades

PROBABILIDADDefinicin frecuencialista: La probabilidad p(A) de un suceso A la frecuencia relativa del suceso.

74

Probabilidades

PROBABILIDADDefinicin frecuencialista: La probabilidad p(A) de un suceso A la frecuencia relativa del suceso. Ejemplo: En una cadena de supermercados se venden dos marcas de un producto. Se sabe (por observacin) que el 25% de los clientes compra la marca M1 y el 75% la marca M2 .

75

Probabilidades

PROBABILIDADDefinicin frecuencialista: La probabilidad p(A) de un suceso A la frecuencia relativa del suceso. Ejemplo: En una cadena de supermercados se venden dos marcas de un producto. Se sabe (por observacin) que el 25% de los clientes compra la marca M1 y el 75% la marca M2 . 1 p(un cliente compre M1) = 4 76

Probabilidades

PROBABILIDADDefinicin frecuencialista: La probabilidad p(A) de un suceso A la frecuencia relativa del suceso. Ejemplo: En una cadena de supermercados se venden dos marcas de un producto. Se sabe (por observacin) que el 25% de los clientes compra la marca M1 y el 75% la marca M2 . 1 p(un cliente compre M1) = p(compre M2) = 0.75 4 77

Probabilidades

PROBABILIDADDefinicin axiomtica: Sea E un experimento y U espacio muestral asociado a E. Para cada suceso A se define p(A) y se llama probabilidad del suceso A si se cumplen las propiedades: 1. 2. p(A) 0 p(U) = 1

3.

Si A y B son sucesos mutuamente excluyentes entonces p(A U B) = p(A) + p(B)78

Probabilidades

PROBABILIDADDe la definicin axiomtica se deduce: 4. p() = 0 ( es el suceso imposible)

5. p(A) 1 para todo A 6. p(A ) = 1 p(A) 7. Si A est contenido en B entonces p(A) p(B) 8. p(A U B) = p(A) + p(B) p(A B)79

c

Probabilidades

-lgebra

80

Probabilidades

-lgebraUna familia de subconjuntos de X es una -lgebra si:

81

Probabilidades

-lgebraUna familia de subconjuntos de X es una -lgebra si: 1. El conjunto vaco pertenece a la familia

82

Probabilidades

-lgebraUna familia de subconjuntos de X es una -lgebra si: 1. El conjunto vaco pertenece a la familia 2. Si un subconjunto pertenece a la familia tambin su complemento pertenece

83

Probabilidades

-lgebraUna familia de subconjuntos de X es una -lgebra si: 1. El conjunto vaco pertenece a la familia 2. Si un subconjunto pertenece a la familia tambin su complemento pertenece 3. Si A1, A2, A3, pertenecen a la familia entonces UAi tambin pertenece84

Probabilidades

Si tenemos un experimento y un espacio muestral, la familia de todos los eventos es una -lgebra.

85

Probabilidades


(S, , P)

86

Probabilidades


(S, , P)

87

Probabilidades


(S, , P)

Espacio muestral (sucesos elementales)

88

Probabilidades


(S, , P)


89

Probabilidades


(S, , P)


Conjunto de todos los sucesos (-lgebra)

90

Probabilidades


(S, , P)



91

Probabilidades


(S, , P)



Medida de probabilidad o funcin de probabilidad

92

Probabilidades


(S, , P)




93

Probabilidades


(S, , P)




P(A) 0

94

Probabilidades


(S, , P)




P(A) 0 P(S) = 1

95

Probabilidades


(S, , P)




P(A) 0 P(S) = 1 P(UAi) = P(Ai)96

Probabilidades


(S, , P) es un espacio de probabilidad




P(A) 0 P(S) = 1 P(UAi) = P(Ai)97

Ejercicios

98

Probabilidades

EJERCICIO 1

99

Probabilidades

EJERCICIO 2

100

Probabilidades

EJERCICIO 3La distribucin de grupos sanguneos en Estados Unidos es de casi 41% del grupo A, 9% del grupo B, 4% del grupo AB y 46% del tipo O. Una persona llega a una sala de emergencias y es necesario indagar su grupo sanguneo. Cul es la probabilidad que sea A, B AB?

101

Probabilidades

EJERCICIO 4Consideremos un sistema de tres componentes idnticos conectados en serie:

Cada componente tiene probabilidad de un 90% de no fallar. El sistema falla cuando al menos uno de los componentes falla. Cul es la probabilidad de que el sistema falle?

102

Probabilidades

EJERCICIO 5Considrese un sistema en el que el motor principal tiene un motor de respaldo. Ambos motores estn diseados para funcionar independientemente. El sistema funciona si uno u otro motor funciona. Un sistema as se dice que tiene los motores en paralelo. Suponga que cada motor es 90% confiable, o sea, tiene probabilidad 0.9 de no fallar. Cul es la probabilidad de que el sistema no falle?

103

Probabilidades

EJERCICIO 6Un qumico analizar muestras de agua de mar en bsqueda de dos metales pesados: plomo y mercurio. La experiencia indica que existen valores txicos de plomo o mercurio en el 38% de las muestras obtenidas cerca de la desembocadura de un ro, sobre cuyo margen se localizan numerosas plantas industriales: 32% con concentraciones txicas de plomo y 16% con concentraciones txicas de mercurio. Cul es la probabilidad de que una muestra seleccionada aleatoriamente contenga solo valores txicos de plomo?104

Probabilidades

EJERCICIO 7Cuando una computadora se bloquea existe una probabilidad de 75% de que se deba a una sobrecarga y de 15% de que sea un problema de software. La probabilidad de que se origine una sobrecarga o un problema de software es de 85%. a) Cul es la probabilidad de que se deba a ambos problemas? b) Cul es la probabilidad de que haya un problema de software sin sobrecarga?105

Probabilidades

EJERCICIO 8Considere que en un ejercicio militar de dos unidades, Roja y Azul, existe probabilidad de 60% de que la unidad Roja cumpla sus objetivos y 70% de que lo haga la unidad Azul. La probabilidad es de 18% de que solo tenga xito la unidad Roja. a) Cul es la probabilidad de que ambas unidades logren sus objetivos? b) Cul es la probabilidad de que una u otra lo alcancen, no as ambas?106

Probabilidades

EJERCICIO 9La muerte puede sobrevenir cuando una persona se ve expuesta a la radiacin. Entre los factores que afectan el pronstico estn la magnitud de la dosis, la duracin e intensidad de la exposicin y la composicin biolgica del individuo. La sigla DL50 se usa para denotar la dosis que suele ser letal en 50% de las personas expuestas a ella. Suponga que en un accidente nuclear 30% de los trabajadores tiene exposicin a DL50 y fallece, que 40% de los trabajadores muere y que 68% tiene exposicin a DL50 o fallece. a) Cul es la probabilidad de que un trabajador seleccionado al azar haya sido expuesto a DL50 ? b) Cul es la probabilidad de que un trabajador seleccionado al azar tenga exposicin a DL50 y no fallezca? c) Cul es la probabilidad de que muera un trabajador sin exposicin a DL50 ?107

Probabilidad Condicional

108

Probabilidades

109

Probabilidades

DOLOR DE CABEZA

110

Probabilidades

DOLOR DE CABEZA

GRIPE

111

Probabilidades

DOLOR DE CABEZA

GRIPE

40

10

50

100

112

Probabilidades

a) Total de personas?

DOLOR DE CABEZA

GRIPE

40

10

50

100

113

Probabilidades

a) Total de personas? b) Con dolor cabeza? de

DOLOR DE CABEZA

GRIPE

40

10

50

100

114

Probabilidades


c) Con gripe?DOLOR DE CABEZA

GRIPE

40

10

50

100

115

Probabilidades



GRIPE

40

10

50

d) Se elige una persona al azar. Sea A: la persona tiene dolor de cabeza. Calcule P(A).

100

116

Probabilidades



GRIPE

40

10

50

d) Se elige una persona al azar. Sea A: la persona tiene dolor de cabeza. Calcule P(A). e) Sea B: la persona tiene gripe. Calcule P(B).

100

117

Probabilidades



GRIPE

40

10

50

d) Se elige una persona al azar. Sea A: la persona tiene dolor de cabeza. Calcule P(A). e) Sea B: la persona tiene gripe. Calcule P(B).

100

f)

Se sabe que la persona tiene gripe. Probabilidad de que tenga dolor de cabeza? 118

Probabilidades

Probabilidad condicional Para dos eventos cualesquiera A y B con P(B)>0 la probabilidad condicional de A dado que B ha ocurrido se define por: P(A|B) =P(A B)

P(B)

119

Probabilidades

EJERCICIO 1Se seleccionan dos semillas aleatoriamente, una por una, de una bolsa que tiene 10 semillas de flores rojas y 5 semillas de flores blancas. a) Cul es la probabilidad de que la primera semilla sea de una flor roja? b) Cul es la probabilidad de que la segunda semilla sea de una flor blanca dado que la primera semilla fue de una flor roja?120

Probabilidades

EJERCICIO 2Suponga que de todas las personas que compran cierta cmara digital 60% incluye una tarjeta de memoria opcional en su compra, 40% incluyen una batera extra y 30% incluyen tanto una tarjeta como una batera. a) Dado que una persona elegida al azar adquiri una batera extra, cul es la probabilidad de que haya adquirido una tarjeta opcional? b) Cul es la probabilidad de que haya adquirido una batera extra dado que adquiri una tarjeta opcional?121

Probabilidades

EJERCICIO 3Una revista publica tres columnas tituladas Arte, Libros y Cine. Los porcentajes de lectores que leen con regularidad las diferentes columnas son:

ColumnaArte Libros Cine Arte y Libros

Porcentaje14% 23% 37% 8%

Arte y CineLibros y Cine Arte, Libros y Cine

9%13% 5%

a) Cul es la probabilidad de que un lector seleccionado al azar lea la columna Arte dado que lee la columna Libros? b) Cul es la probabilidad de que lea la columna Arte dado que lee la columna Libros o la columna Cine? c) Cul es la probabilidad de que lea Arte o Libros dado que lee Cine? d) Cul es la probabilidad de que lea la columna Arte dado que lee por lo menos una de las tres?122

Independencia

123

Probabilidades

REGLA DE LA MULTIPLICACION

P(A B) = P(A|B) P(B)

124

Probabilidades

EJERCICIOInvestigaciones recientes muestran que casi el 49% de las infecciones se deben a bacterias anaerobias. Adems, el 70% de todas las infecciones anaerobias son polimicrobianas, es decir, resultan de dos o ms bacterias anaerobias. Cul es la probabilidad de que una infeccin dada se deba a bacterias anaerobias y tambin sea polimicrobiana?

125

Probabilidades

INDEPENDENCIA

Los eventos A y B son independientes si P(A|B) = P(A) y son dependientes en caso contrario.

126

Probabilidades

INDEPENDENCIA

Si los eventos A y B son independientes entonces P(A|B) = P(A) y tambin P(B|A)=P(B).

127

Probabilidades

Relacin entre sucesos mutuamente excluyentes y sucesos independientes

128

Probabilidades

Relacin entre sucesos mutuamente excluyentes y sucesos independientesConsidere una gasolinera con seis bombas: B1, B2, B3, B4, B5 , B6 . Supongamos que la bomba B1 es utilizada por el 10% de los clientes, la B2 por el 15%, la B3 por el 25%, la B4 por el 25%, la B5 por el 15% y la B6 por el 10%. Consideremos un cliente definido al azar y definamos los eventos: A = el cliente selecciona una de las bombas B2, B4, B6 B = el cliente selecciona una de las bombas B1, B2, B3 C = el cliente selecciona una de las bombas B2, B3, B4, B5 Bi = el cliente selecciona la bomba Bi para i=16129

Probabilidades

Relacin entre sucesos mutuamente excluyentes y sucesos independientesSi A y B son dos eventos NO MUTUAMENTE EXCLUYENTES pueden o no ser INDEPENDIENTES

130

Probabilidades

Relacin entre sucesos mutuamente excluyentes y sucesos independientesSi A y B son dos eventos NO MUTUAMENTE EXCLUYENTES pueden o no ser INDEPENDIENTES Si A y B son MUTUAMENTE EXCLUYENTES no pueden ser INDEPENDIENTES

131

Probabilidades

EJERCICIOSe sabe que el 30% de las lavadoras de cierta compaa requieren servicio mientras se encuentran dentro de garanta, en tanto que solo el 10% de sus secadoras necesitan dicho servicio. Si alguien adquiere una lavadora y una secadora fabricadas por esta compaa, cul es la probabilidad de que ambas mquinas requieran servicio de garanta?132

Probabilidades

EJERCICIOa) Cul es la probabilidad de obtener 3 caras en tres lanzamientos de una moneda?

b) Cul es la probabilidad de obtener cuatro 6 y luego otro nmero al lanzar un dado cinco veces?

133

Probabilidades

EJERCICIOCada da, de lunes a viernes, un lote de componentes enviado por un proveedor arriba a una instalacin de inspeccin. Dos das a la semana tambin arriba un lote de un segundo proveedor. El 80% de todos los lotes del proveedor 1 son inspeccionados y el 90% de los del proveedor 2 tambin lo son. Cul es la probabilidad de que, en un da seleccionado al azar, dos lotes sean inspeccionados? Se supone que en los das en que se inspeccionan dos lotes, si el primer lote pasa es independiente de si el segundo tambin lo hace.134

Ley de la Probabilidad Total y Teorema de Bayes

135

Probabilidades

En ocasiones el resultado de un experimento depende de lo que sucede en varias etapas intermedias

136

Probabilidades

EJEMPLOLa terminacin de un trabajo de construccin se puede retrasar a causa de una huelga. Las probabilidades son 0.60 de que habr huelga, 0.85 de que el trabajo de construccin se termine a tiempo si no hay huelga y 0.35 que el trabajo de construccin se termine a tiempo si hay huelga. Cul es la probabilidad de que el trabajo de construccin se termine a tiempo?137

Probabilidades

HUELGA

NO HUELGA

138

Probabilidades

HUELGAB1

NO HUELGA

B2

A

139

Probabilidades

Esta idea se puede generalizar

140

Probabilidades

A

B1

B2

B3141

Probabilidades

A

B1

B2

B3

B4142

Probabilidades

LEY DE LA PROBABILIDAD TOTALSi los eventos B1, B2, , Bk constituyen una particin del espacio muestral S y P(Bi)0 para i=1, 2, , k entonces para cualquier evento A en S se cumple:P(A) = P(A|B1) P(B1) + P(A|B2) P(B2) + + P(A|Bk) P(Bk)

143

Probabilidades

EJERCICIO 1Los miembros de una empresa de consultora rentan automviles en tres agencias de renta de automviles: 60% de la agencia 1, 30% de la agencia 2 y 10% de la agencia 3. Si 9% de los automviles de la agencia 1 necesitan una afinacin, 20% de los autos de la agencia 2 necesitan una afinacin y 6% de los autos de la agencia 3 necesitan una afinacin, cul es la probabilidad de que un automvil rentado, entregado a la empresa, necesite una afinacin?

144

Probabilidades

EJERCICIO 2Si un vehculo rentado entregado a la empresa necesita afinacin, cul es la probabilidad de que haya venido de la agencia de renta 2?

145

Probabilidades

TEOREMA DE BAYESSi los eventos B1, B2, , Bk constituyen una particin del espacio muestral S y P(Bi)0 para i=1, 2, , k entonces para cualquier evento A en S tal que P(A) 0 se cumple: P(Br|A) = = P(Br A)

P(A)

P(A|Br) P(Br)

P(A|B1) P(B1) + P(A|B2) P(B2) + + P(A|Bk) P(Bk) P(A|Br) P(Br) P(A|Bi) P(Bi)146

=

Probabilidades

EJERCICIO 1Un taller repara tanto componentes de audio como de video. Sea A el evento en que el siguiente componente trado a reparacin es un componente de audio y sea B el evento en que el siguiente componente es un reproductor de discos compactos (as que el evento B est contenido en A). Suponiendo que P(A)=0.6 y P(B)=0.05, cul es la P(B|A)?147

Probabilidades

EJERCICIO 2En una gasolinera, 40% de los clientes utilizan gasolina regular (A1), 35% usan gasolina plus (A2) y 25% utilizan premium (A3). De los clientes que utilizan gasolina regular, solo 30% llenan sus tanques (evento B). De los clientes que utilizan plus, 60% llenan sus tanques, mientras que de los que utilizan premium, 50% llenan sus tanques. a) Cul es la probabilidad de que el siguiente cliente pida gasolina plus y llene el tanque (A2 B)? b) Cul es la probabilidad de que el siguiente cliente llene el tanque? c) Si el siguiente cliente llena el tanque, cul es la probabilidad que pida gasolina regular?, plus?, premium?

148

Probabilidades

EJERCICIO 3Por experiencia se sabe que en una cierta industria 60% de todos los litigios entre los trabajadores y la administracin son por los salarios, 15% por las condiciones de trabajo y 25% son sobre aspectos de prestaciones. Tambin 45% de los litigios por salarios se resuelven sin huelgas, 70% de los litigios por condiciones de trabajo se resuelven sin huelgas y 40% de los litigios acerca de prestaciones se resuelven sin huelgas. Cul es la probabilidad de que un litigio entre trabajadores y la administracin se resuelva sin una huelga?149

Probabilidades

EJERCICIO 4El 70% de las aeronaves ligeras que desaparecen en vuelo en cierto pas son posteriormente localizadas. De las aeronaves que son localizadas, 60% cuenta con un localizador de emergencia, mientras que 90% de las aeronaves no localizadas no cuentan con dicho localizador. Suponga que una aeronave ha desaparecido. a) Si tiene un localizador de emergencia, cul es la probabilidad de que no sea localizada? b) Si no tiene un localizador de emergencia, cul 150 es la probabilidad de que sea localizada?

Probabilidades

EJERCICIO 5Las garrapatas de venados pueden ser portadoras de la enfermedad de Lyme o de la Erhlichiosis granuloctica humana (HGE, por sus siglas en ingls). Con base en un estudio reciente, suponga que 16% de todas las garrapatas en cierto lugar portan la enfermedad de Lyme, 10% portan HGE y 10% de las garrapatas que portan por lo menos una de estas enfermedades en realidad portan las dos. Si se determina que una garrapata seleccionada al azar ha sido portadora de HGE, cul es la probabilidad de que la garrapata seleccionada tambin porte la enfermedad de Lyme?151

Probabilidad y Estadistica 3

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