Probabilidades - Colegio 24hs

7/21/2019 Probabilidades - Colegio 24hs

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3

Matemática

Probabilidades



4

ÍNDICE

1. Probabilidades ....................................................... 6 Ejercicios 1-1 ........................................................14 Hoja de respuestas 1-1 ........................................ 17

Ejercicios 1-2 ........................................................20 Hoja de respuestas 1-2 ........................................ 22 Ejercicios 1-3 ........................................................24 Hoja de Respuestas 1-3 ....................................... 27

2. Probabilidad total................................................29 Ejercicios 2-1 ........................................................34 Hoja de Respuestas 2-1 ....................................... 38 Ejercicios 2-2 ........................................................40 Hoja de respuestas 2-2 ........................................ 42

3. Probabilidad condicionada ................................ 44 Ejercicios 3-1 ........................................................48 Hoja de respuestas 3-1 ........................................ 50 Ejercicios 3-2 ........................................................51

Hoja de respuesta 3-2 ..........................................54 4. Función de probabilidad.................................... 56

Ejercicios 4-1 ........................................................63 Hoja de Respuestas 4-1 ....................................... 67

5. Variable aleatoria binomial.Ejercicios 5-1........................................................ 71

Hoja de respuestas 5-1 ........................................ 73



6. Esperanza de variable aleatoria ......................... 74 Ejercicios 6-1 ........................................................76 Hoja de Respuestas 6-1 ....................................... 78

7. Varianza de una variable aleatoria ....................79 Ejercicios 7-1 ........................................................82 Hoja de respuestas 7-1 ........................................ 84



6

1. PROBABILIDADES

EXPERIMENTOS ALEATORIOS

Se llaman experimentos aleatorios a aquellos

en el que el conocimiento de las condiciones ini-ciales del experimento, no permiten conocer el

resultado de éste, si bien se conocen todos los

resultados posibles.

Ejemplos:

- Se arroja un dado y se anota el resultado (sin

contar la posibilidad remota de que el dado quede

apoyado en un vértice o en una arista).

- En un grupo de 10 alumnas se cuenta cuán-tas tienen ojos celestes.

- Se arroja una moneda reiteradamente hasta

que salga cara y se anota el número de tiradas rea-

lizadas.



7

- Se invierte un recipiente sin tapa, que contie-

ne un líquido.

ESPACIO MUESTRAL

Se llama espacio muestral de un experimentoaleatorio, al conjunto E formado por todos losresultados posibles de dicho experimento.

Ejemplo:

Determinar el espacio muestral de los dosprimeros experimentos anteriores.

- Al arrojar un dado los resultados posiblesson: 1,2,3,4,5,6,

Luego E = {1,2,3,4,5,6}

- Si en un grupo de 10 alumnas, contamos

cuántas tienen ojos azules puede ocurrir que:o

Ninguna tenga ojos celestes. En este caso,el resultado del experimento es 0.

o Todas tengan ojos celestes. En este caso,

el resultado del experimento es 10.



8

o Algunas tengan ojos celestes, En este caso,

los resultados posibles son1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Luego E = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

SUCESOS O EVENTOS

En general, dado un experimento, cuyo espa-cio muestral es E, un suceso o evento A es unsubconjunto de E.

Se dice que un suceso A ocurre, si, al realizarel experimento, el resultado es un elemento de A.

Ejemplo:

E = {1,2,3,4,5,6}

Puede ser que al arrojar un dado se obtengacomo resultado un número impar, es decir, que el

21

3

4

5

6 E



9

resultado sea algún elemento del conjunto I (nú-meros impares menores que 6).

I = {1,3,5}

I es un subconjunto de E.

I ocurre, si al arrojar el dado el resultado es

número impar, es decir, un elemento de I.

Al suceso ! (conjunto vacío), se lo llama su-ceso imposible pues nunca ocurre en la realiza-

ción de un experimento. ! " E

Al suceso E (el mismo espacio muestral), se lo

llama suceso seguro pues ocurre en cada realiza-ción del experimento. E " E

Al suceso formado por un solo elemento, se lo

llama suceso elemental.

24

613

5E

E I "



10

A

E AE

E suceso seguro

E siempre ocurre

B

Siempre que ocurre A, ocurre B

E

A # B

A # B ocurre si ocurre A o B A $ B ocurre si ocurre A y B

E

$

sucesosuceso

A - B

suceso

A – B ocurre si ocurre A y no ocurre B

A

A’

E

A’: suceso comple-

mentario

A’ ocurre si sólo sí no ocurre A

A y B son exclu-

yentes

A y B no pueden ocurrir simultánea-



11

Probabilidad:

Sea E = {e 1,e2,e3,....,en} el espacio muestral fi-

nito correspondiente a un experimento aleatorio y

sea P una función que a cada suceso A " E le

asigna un número real P(A).

P es una función de probabilidad y P(A) es la

probabilidad del suceso A , si se verifica:I. La probabilidad de un suceso es un número real

no negativo menor o igual a 1.

II. La probabilidad del suceso seguro es 1.

III. La probabilidad de la unión de sucesos mutua-

mente excluyentes es igual a la suma de las pro-

babilidades de los sucesos.

0 %P(A)%1 & A " E

P(E) = 1

P(A1# A2 # ....# An) = P(A1)+P(A2)+...+P(An)



12

FÓRMULA DEL APLACE

La fórmula de Laplace sólo es aplicable si elespacio muestral es finito y si todos los sucesoselementales son igualmente probables.

Ejemplos1) Calculá la probabilidad de obtener un número

mayor que 3 al arrojar un dado equilibrado.

E = {1,2,3,4,5,6}

A: “sale un número mayor que 3”

A = {4,5,6}

P(A) = posiblescasos

favorablescasos =6

3

2) Dada una urna que contiene 6 bolillas blancas

y 4 bolillas negras se extrae una bolilla al azar.

Calcular la probabilidad de que la bolilla ex-

traída sea blanca.

P(A) =

)(

)(

posiblescasos E deelementosdenúmero

favorablescasos Adeelementosdenúmero



13

A: “sale una bolilla blanca”Casos posibles: 10 (número total de bolillas)

Casos favorables: 6 (número de bolillas blan-

cas)

P(A) =106

3) ¿Cuál es la probabilidad, en un grupo de 5

personas, de que no haya 2 que cumplan años

el mismo día?

Casos posibles: 3655 (hay 365 opciones para

cada persona)

Casos favorables: V 365,5

La probabilidad de pérdida es

P = 5

365

361.362.363.364.365 ' 0,97

365 365 365 365 365

365 364 363 362 361



14

EJERCICIOS 1-1

1) En un dado cargado cada número impar tiene

igual probabilidad de salir. Si la probabilidad

de salir de cada número par es el doble de la

probabilidad de cada impar, ¿cuál es la proba-

bilidad de sacar un as?

2) Dos equipos A y B se enfrentan en un torneo.

Si A tiene el doble de probabilidades de ganarque B, calcular la probabilidad de que A pier-

da.

3) Se extrae una carta al azar, de un mazo de

cartas españolas (48). Calculá la probabilidadde que la carta extraída:

a) sea un oro

b) sea rey o espada

c) no sea un as



15

d) sea un número menor que 6

e) sea un rey.

4) De una caja que contiene 6 bolillas blancas, 7

negras y 5 azules se extrae al azar una bolilla.

Calculá la probabilidad de que la bolilla extraí-

da:a) no sea negra

b) sea blanca o negra

(Importante: recordá que la probabilidad del

azar es 0,5)

5) Se arrojan 3 monedas equilibradas. Calculá la

probabilidad de obtener:

a) 3 caras

b) 2 caras y 1 ceca

c) al menos 2 caras

6) En una caja hay 4 botones rotos y 16 sanos. Se

extraen 3 botones al azar. Calculá la probabili-

dad de que:



17

HOJA DE RESPUESTAS 1-1

1)

91

1222

;2)()().(2)(

()(*****)

()((

p p p p p p p

p p P p I P Si I P p P

A: “sale un as”

P(A) =91

2)

31

32

1)(;31

122)(;)(

(+(()

(*)((

A P p

p p p A P p B

3)

a)41

b)165



18

c)1211

d)125

e)121

4)

a)1811

b)1813

5)

a)81

b) 83

c)21



19

6)

a)958

3

20

2

416

(

,, - .

//0 1

,, - .

//0 1

b)5728

c)258284

7)

a)92

b)95



20

EJERCICIOS 1-2

E JERCICIO 1:

Teniendo un mazo de 40 cartas ! Calculá la probabilidad de sacar un as.

E JERCICIO 2:

Si se sabe que una rifa tiene 100 números.! Calculá la probabilidad de que salga un

número par.

E JERCICIO 3:

La probabilidad de que una persona no haya teni-

do operaciones a partir de una cierta edad es de

3/5. Los números de casos que se tomaron fueron

500.



21

! ¿Cuántas personas de esta muestra tenían

alguna operación?.

E JERCICIO 4:

Se tiene una bolsa que contiene los núme-

ros del 0 al 59! ¿Cuál es la probabilidad que tiene Javier de

sacar un múltiplo de 3 o de 8?

E JERCICIO

5:En dos extracciones sin reposición de un

mazo de cartas españolas! ¿Cuál es la probabilidad de obtener un as y

un rey?



22


E JERCICIO 1:

1/10

E JERCICIO 2:

½

E JERCICIO 3:

300 personas.

E JERCICIO 4:

25/60



23

E JERCICIO 5:

4/195.



24

EJERCICIOS 1-3

E JERCICIO 1

Para ganar el primer premio, en un pro-

grama de televisión, es necesario dar con latarjeta ganadora. Consiste en elegir 4 númerosdel 1 al 50 (sin repetir ninguno).

! ¿Cuál es la probabilidad de ser el ga-nador, si sólo se pueden enviar trestarjetas por persona?

E JERCICIO 2

Se extraen 4 cartas de un mazo de 40 car-tas (una detrás de otra con reposición)

!

¿Cuál es la probabilidad de sacar almenos una carta de copa?



25

E JERCICIO 3

Se quieren acomodar 6 libros, uno al ladodel otro, en una biblioteca.

! ¿Cuál es la probabilidad de que el libro

de Historia quede al lado de el de

Geografía?

E JERCICIO 4

En una granja hay 8 animales, dos de ellosson caballos. Se deben elegir 3 animales alazar.

! ¿Cuál es la probabilidad de que en el

trío estén los 2 caballos?

E JERCICIO 5

En un cajón hay 7 pares de medias blan-cas y 6 pares de medias negras. Si se los ex-trae sin reponerlos



26

! ¿cuál es la probabilidad de que el se-

gundo par de medias sea negro?



27


E JERCICIO 1

.000013,0 apróx

E JERCICIO 2

.68,0 apróx

E JERCICIO 3

31

E JERCICIO 4

.053,0 apróx



28

E JERCICIO 5

.46,0 apróx



29

2. PROBABILIDAD TOTAL

Recordemos:En general, dado un experimento, cuyo espa-

cio muestral es E, un suceso o evento A es unsubconjunto de E.

Se dice que un suceso A ocurre, si, al realizarel experimento, el resultado es un elemento de A.

Sea E = {e 1,e2,e3,....,en} el espacio muestral fi-nito correspondiente a un experimento aleatorio ysea P una función que a cada suceso A " E leasigna un número real P(A).

P es una función de probabilidad y P(A) es la probabilidad del suceso A , si se verifica:I. La probabilidad de un suceso es un número

real no negativo menor o igual a 1.

II. La probabilidad del suceso seguro es 1.

0 %P(A) %1 & A " E

P(E) = 1



30

III. La probabilidad de la unión de sucesos mu-tuamente excluyentes es igual a la suma delas probabilidades de los sucesos.

# A # B puede expresarse como unión de 2

sucesos excluyentes: A - B y B.

O sea:

2 3 B B A B A #+(# E

A - B

A

B

P(A1 # A2 # .... # An) = P(A 1)+P(A2)+...+P(A n)

Probabilidad Total:

Si A y B son dos sucesos cualesquiera, entonces:

2 3 2 3 2 3 2 3B APBP APB AP $+*(#



31

# Luego, por axioma de probabilidad es

2 3 2 3 2 3 B P B A P B A P *+(# (1)

# Por otra parte, A puede expresarse como

unión de los sucesos excluyentes A – B y

A $ B, es decir

2 3 2 3 B A B A A $#+(

# Luego, por axioma de probabilidad

2 3 2 3 2 3 B A P B A P A P $*+(

# de donde

2 3 2 3 2 3 B A P A P B A P $+(+ (2)

# y reemplazando (2) en (1), resulta2 3 2 3 2 3 2 3 B A P B P A P B A P $+*(#

E JEMPLO1

En un florero hay 3 claveles, 2 rojos y 1

blanco y 4 rosas, 2 rojas y 2 blancas. Si se elige una

flor al azar ¿cuál es la probabilidad de que sea un

clavel o una flor roja?



32

# Consideremos los sucesos

A: se elige un clavel

................................................B: se elige una flor roja

La probabilidad pedida es la probabilidad del

suceso

B A# : se elige un clavel o una flor roja

# Como P(A) =73

, P(B) =74

,

P(A$ B) =72

# resulta

2 3 2 3 2 3 2 375

72

74

73 (+*$+*(# B A P B P A P B A P

CR

CR

CB

RR

RR

RB

RB

E

A

B



33

E JEMPLO2

Se arroja una moneda equilibrada 3 veces¿cuál es la probabilidad de que salga al menos una

cara?

A: sale al menos una cara

A’: sale ceca en los tres tiros

A’ = {(s, s, s)} ) P(A’) =81

# luego

87

81

1)'(1)( (+(+( A P A P

(A’ suceso complementario de A)



34

EJERCICIOS 2-1

1. Una comisión está integrada por 12 mujeres y

14 hombres de los cuales la mitad de las muje-

res y la mitad de los hombres son profesiona-

les. Si se elige una persona al azar ¿cuál es la

probabilidad de que la persona elegida sea una

mujer o sea profesional?

A: persona elegida es mujer

B: la persona elegida es profesional B A# = la persona elegida es mujer o

profesional

2. Se tiran dos dados equilibrados. Calculá la

probabilidad de que el producto de los núme-ros obtenidos sea mayor que 36.

3. De un mazo de 48 cartas españolas se extrae al

azar 1 carta. Si A y B son los sucesos.



35

A: sale un cuatro

B: sale un basto# Calculá:

a) P(A)

b) P(B)

c) P(A $ B)

d) P(A # B)

4. Se tienen 2 mazos de 48 cartas y se extraen al

azar 1 carta de cada uno. Sean A y B los suce-

sos

A: se extraen un rey del primer mazo.

B: se extrae un rey del segundo mazo.# Calculá:

a) A # B

b) P(A # B)

5. La carpeta de Matemática de un alumno tiene

intercaladas hojas rayadas y cuadriculadas,

numeradas con números consecutivos del 1 al



37

¿cuál es la probabilidad de que al menos una

de estas 2 últimas cartas sea un oro?



38


1.2619

2. 3635

3.

a)484

b) 4812

c)481

d)4815

4.

a) 2

2

484

b)14423



39

5.2524

6.1615

7.216215

8. 139

9. Sea A: al menos una de las dos caras es un oro

A’: ninguna de las caras es oro

Casos favorables al suceso A’: ,, - .

//0 1

2

36

casos posibles: ,, - .

//0 1

2

45

P(A’) =117

; P(A) =114

117

1 (+



40

EJERCICIOS 2-2

E JERCICIO 1

Se tiran dos dados equilibrados, uno rojo y

otro blanco.! Calculá la probabilidad de que al menos

salga un número par

E JERCICIO 2De una caja que contiene 10 bolillas blan-

cas, 3 rojas y 8 verdes, se extrae una bolilla.! Calculá la probabilidad de que sea blanca o

roja

E JERCICIO 3

Un talonario tiene 8 recibos numerados

del 5 al 12. Se extrae un recibo al azar.



41

! ¿Cuál es la probabilidad de que salga un

múltiplo de 3?

E JERCICIO 4

De un mazo de 48 cartas se extrae al azar 1

carta.! Calculá la probabilidad de extraer un cua-

tro o basto.

E JERCICIO

5En una canasta hay 8 pomelos y 6 kiwis,

se extraen dos frutas al azar.! ¿Cuál es la probabilidad de que salga al

menos un kiwi?



42


E JERCICIO 1

La probabilidad de que salga al menos par es

3/4

E JERCICIO 2

La probabilidad de que salga blanca o roja es

13/21

E JERCICIO 3

La probabilidad de que sea múltiplo de 3 es

3/8



43

E JERCICIO 4

La probabilidad de extraer un cuatro o bastoes 15/48

E JERCICIO 5

La probabilidad de que salga al menos un kiwi

es de 9/13



44

3. PROBABILIDAD CONDICIONA-DA

Sea un suceso de un espacio muestral tal que

P(B)> 0. La probabilidad de que ocurra un suceso

A, sabiendo que al realizarse el experimento ocu-

rrió B, se llama probabilidad condicional de Adado B y se indica P(A/B).

P(A/B) =)(

)( B P

B A P $

E JEMPLO

Para armar la siguiente tabla se han tenido

en cuenta las calificaciones (N, A, S) obtenidas enuna evaluación de Matemática tomada en un cursode 40 alumnos, compuesto por 19 mujeres y 21

varones.



45

Si entre los 40 alumnos de dicho curso se elige

uno al azar, hallá la probabilidad de que:

a) Haya obtenido A en la evaluación.

Llamemos A al suceso “obtuvo A”

casos posibles: 21 (número total de alumnos)casos favorables: 18 número total de alumno que

obtuvieron A

entonces P(A) =4018

b) Haya obtenido A sabiendo que el alumno

elegido es varón.

Llamando B al suceso: “es varón”, debemos calcu-

lar la probabilidad de que ocurra el suceso A, te-

Mujer Varón Total

N 7 9 16

A 10 8 18

S 2 4 6

Total 19 21 40

SexoCalif.



46

niendo como dato que ha ocurrido el suceso B, es

decir P(A/B)

casos posibles: 21 (número total de varones)

casos favorables: 8 (número total de varones que

obtuvieron A)# luego

P(A/B) =218 (1)

Observemos que:

1º) El hecho de tener como dato que el

alumno elegido es varón redujo a 21 loscasos posibles, es decir, al número de ele-

mentos del suceso B.

2º) El número de casos favorables es el

número de elementos del suceso A $ B,

por lo tanto dividiendo en (1) el numera-

dor y el denominador por 40 (número de

elementos del espacio muestral)

Resulta:



47

P(A/B) = )()(

4021408

B P B A P $

(



48

EJERCICIOS 3-1

1. Se arrojan 3 monedas equilibradas, ¿cuál es la

probabilidad de que todas sean cara si se sabe

que la segunda resultó cara?

2. De una caja que contiene 4 bolillas blancas y 3

verdes, se extraen al azar, sucesivamente y sin

reposición 2 bolillas, ¿cuál es la probabilidad

de que la 2ª sea blanca, si se sabe que la prime-ra extraída resultó blanca?

3. De la misma caja del ejercicio anterior (en su

estado inicial) se extraen de la misma forma 2

bolillas, ¿cuál es la probabilidad de que ambassean de distinto color, sabiendo que la 1ª salió

verde?



49

4. Una caja contiene 15 bombones de licor y 9 de

fruta. Se extraen al azar sucesivamente 2 bom-

bones. Si se sabe que el primer bombón ex-

traído es de fruta, ¿cuál es la probabilidad de

que el segundo sea de licor?

5. De un mazo de 48 cartas se extrae una carta alazar. Si se sabe que la carta extraída es una fi-

gura, ¿cuál es la probabilidad de que sea un

rey?



50


1.41

2. 21

3.32

4.2315

5.31



51

EJERCICIOS 3-2

E JERCICIO 1

Dos alarmas A y B están conectadas. La pro-

babilidad de que funciones A es 0,9 la que funcio-ne B es 0,92 y la que funcionen las dos al mismo

tiempo es 0,85.! Calculá la probabilidad de que funcione B.

E JERCICIO 2

El rendimiento de un alpinista se ve afectado

por el mal tiempo. Cuando llueve, la probabilidad

de que se caiga es de 1/10, mientras que cuando

hace buen es de sólo 1/50. En la temporada de

escaladas la probabilidad de que llueva es de ¼.! Hallá la probabilidad de que no se caiga en

un día de lluvia



52

E JERCICIO 3

Se dispone de dos bolsas A y B. En la bolsa Ahay 3 caramelos de frutilla y 2 de menta; y en la B

hay uno de frutilla y 3 de menta.

Se elige una al azar y de ella se extrae un ca-

ramelo.! Si el caramelo es de frutilla ¿cuál es la pro-

babilidad de que haya sacado de la bolsa

B?

E JERCICIO 4

Una bolsa A, contiene 3 bolas negras y 7 blan-

cas, y otra bolsa, B, contiene 6 bolas negras 5 cin-

co blancas. Una de las bolsas se elige aleatoria-

mente y se extrae de ellas una bola.! Si es la bolsa A la elegida, ¿cuál es la pro-

babilidad de que se saque una bola negra?



53

E JERCICIO 5

Una caja de chocolates contiene 9 chocolatesrellenos y 12 normales. Se elige al zar un chocolate

y después otro.! Hallá la probabilidad de que los dos cho-

colates sean rellenos



54

HOJA DE RESPUESTA 3-2

E JERCICIO 1

La probabilidad de que funcione B es de 0,94

E JERCICIO 2

La probabilidad de que no se caiga un día de

lluvia es 9/40

E JERCICIO 3

La probabilidad de que haya sacado de la bolsa

B es 5/17

E JERCICIO 4

La probabilidad de sacar una bola negra es

3/10



55

E JERCICIO 5

La probabilidad de que los dos chocolatessean rellenos es 11/35



56

4. FUNCIÓN DE PROBABILIDAD

V ARIABLE ALEATORIA

Una variable aleatoria es una función que a

cada suceso elemental de E (espacio muestral) leasigna un valor real.

Por lo tanto, se llama variable aleatoria a cual-

quier función X: E 4 R.

Ejemplo:

A, B, C, D: Sucesos elementales

X es una variable aleatoria que toma los valores

E A

B

CD

1

06

X



57

x1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 6

Imagen de X: Im(X) = {0, 1, 6}

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD

Sea X una variable aleatoria que toma valores

x1, x2, x3, ..., xn, con probabilidades p1, p2, p3, ..., pn respectivamente, se llama función de probabilidad

de X, a la función f definida en el conjunto {x1, x2,

x3, ..., xn}, tal que:

F(xi ) = P(X = x i ) = p i

Es decir, tal que a cada valor de x se le asig-na su correspondiente probabilidad.

EjemploSiguiendo con el ejemplo anterior:

0

1

6

E

42

41

41

f



58

# Pues:

f(0) = P(B,C) = 42

f(1) = P(A) =41

f(6) = P(D) =41

# f puede representarse mediante la si-

guiente tabla:

xi 0 1 6

Pi

4

2

4

1

4

1

5 bien mediante su gráfica:

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0 1 2 3 4 5 6 7

x

f ( x )



59

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL O DEBERNOUILLI

Una variable aleatoria se dice que es unadistribu-ción binomial o de Bernouilli si se cumple que:

(en cada realización del experimento sólo son posibles dos resultados A y B-experimentodicotómico).

5 El resultado obtenido en cada realización

es independiente de los obtenidos en las

anteriores.

5 La probabilidad del resultado A, y por tan-

to la de B, no varía a lo largo del experi-mento.

5 Si llamamos p a la probabilidad de que se

verifique A y q a la de que se verifique B,

entonces p + q = 1 (A y B son sucesos

contrarios).

- Vamos a obtener la función de probabilidad de

una variable aleatorio de tipo binomial, es decir,



60

vamos a calcular la probabilidad de obtener k re-

sultados A si se realizan n pruebas:

Uno de los posibles resultados es:

A, A, A, A,...A, B, B,...B (A repetida K veces y B

repetida n-k veces).

La probabilidad de este suceso es:

P(A).P(A)....P(A).P(B).P(B)...P(B) = p.k.q n-k

Siendo p la probabilidad de que aparezca A y

q=1-p la de que aparezca B.

Pero la aparición de k valores de A pude pro-

ducirse de Cnk maneras. Por tanto, la probabilidad

de que la variable aleatoria que asigna el número

de apariciones de A tome el valor k es:

k nk q pk

n A P +

,,

-

.//

0

1 ( .)( (1)



61

EjemploSobre un espacio muestral E correspondiente

al experimento que consiste en tirar 3 monedas y

sea X la función que a cada elemento de E le asig-

na el número de caras.

X = Número de éxitos

5 Calculá los valores que toma la funciónde probabilidad de X , utilizando la

fórmula (1)

f(0) = P(X = 0) y como P(X = 0) es la proba-

bilidad de obtener 0 éxito en 3 extracciones.

(1,1,1)(1,0,1)(1,1,0)(1,0,0)(0,1,1)(0,0,1)

(0,1,0)0,0,0

3

2

1

0



62

P(X = 0) = 030 .0

3 +,, - .

//0 1

q p = 1.1.q 3 = q 3

f(1) = P(X = 1) = 131 .1

3 +,, - .

//0 1

q p = 3.p.q 2

f(2) = P(X = 2) = 232 .2

3 +,, - .

//0 1

q p = 3.p 2.q 3-2 = 3.p 2.q

f(3) = P(X = 3) = 333 .3

3 +,, - .

//0 1

q p = 1.p 3.q 0 = p 3

k nk q pk

nk x P +

,,

-

.//

0

1 (( .)(

Función de probabilidad de la variable aleatoria

binomial.



63

EJERCICIOS 4-1

1) En un bolillero hay 5 bolillas blancas y 10bolillas negras. Se hacen 7 extracciones su-cesivas con reposición. Calculá la probabi-

lidad de obtener exactamente 4 bolillasblancas.

Ayuda:

éxito: Se extraen una bolilla blanca

fracaso: Se extrae una bolilla negra

entonces: P(1) = 155

= p P(0) = 1510

= q

luego: k = 4, n = 7.

2) Si un matrimonio tiene 4 hijos y la proba-bilidad de tener un hijo varón es igual a laprobabilidad de tener una hija mujer, cal-culá la probabilidad de que 2 sean varonesy 2 sean mujeres.

3) Se tiran dos monedas equilibradas y se ob-serva el resultado obtenido,



64

a) Determiná el espacio muestral E.

b) Sea X la variable aleatoria que

asigna a cada elemento de E el

número de caras obtenidas. Repre-

sentá X utilizando diagramas de

Venn.

c) Construí la tabla de valores co-rrespondiente a la función de pro-

babilidad de X.

4) Se arrojan 2 dados equilibrados, uno blan-

co y uno rojo.a) Sea X la variable aleatoria que

asigna a cada resultado del experi-

mento el menor de los números

obtenidos. Definí por extensión el

conjunto Im(x).b) Representá gráficamente en un sis-

tema de coordenadas cartesianas la

función de probabilidad de X.



65

5) Calculá la probabilidad de obtener 4 éxitos

en 6 extracciones sucesivas con reposición

tales que en cada extracción es P(1) =31

y

P(0) =32

.

6) Se arroja 10 veces una moneda equilibra-

da. Calculá la probabilidad de obtener cara

en 5 tiros. (Utilizá una variable aleatoria

binomial).

7) Se tira 3 veces una moneda cargada en la

cual la probabilidad de salir cara es43

. Sea

X la variable aleatoria que asigna a cada

elemento del espacio muestral el númerode caras consecutivas.

a) Representá X por medio de un

diagrama de Venn.



66

b) Representá en un sistema de coor-

denadas cartesianas la función de

probabilidad de X.

8) Se arroja dos veces un dado equilibrado.

Sea X la variable aleatoria que asigna el

máximo de los 2 números obtenidos. De-terminá la función de probabilidad de X.

9) De un mazo de 48 cartas se extrae una car-

ta al azar. Hallá la función de probabilidad

de la variable aleatoria X que asigna a cada

resultado del experimento un 4 si es oro,

un 3 si es espada, un 2 si es copa y un 1 si

es basto.

10) Calculá la probabilidad de obtener exac-

tamente 3 ases al arrojar 5 veces un dado

equilibrado.



67


1) P(x = 4) =34

474

1510

.155

.4

7.

4

7, - ./

0 1 ,

- ./

0 1

,, - .

//0 1 (,, -

.//0 1 +q p

2) P(X = 2) =22

21.

21.

24 ,

- ./

0 1 ,

- ./

0 1 ,, -

.//0 1

3)

a) E = {(c,c)(c,s)(s,c)(s,s)}

b) X: nº de caras obtenidas

(c,c)(c,s)(s,c)

2

1

0



68

c)

4)a) Im(x) = {1,2,3,4,5,6}

b)

0

0,05

0,1

0,15

0,20,25

0,3

0,35

0 1 2 3 4 5 6 7

x

5)4320

6)25663

xi 0 1 2Pi

41

41

41



69

7) a)

b)

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0 1 2 3 4

x

y

(c,c,c)(c,c,s)(c,s,c)(c,s,s)(s,c,c)(s,c,s)(s,s,c)(s,s,s)

3

2

1

0



70

8)xi 1 2 3 4 5 6

Pi

361

363

365

367

369

3611

9)

10)56

250

xi 0 1 2 3 4

Pi

4812

4812

4812

4812

4812



71

5. VARIABLE ALEATORIA BINO-MIAL. EJERCICIOS 5-1

E JERCICIO 1

En sobre hay 4 tarjetas rojas y 12 tarjetas ver-des. Se retiran 6 tarjetas

! Calculá la probabilidad de obtener exac-tamente 3 tarjetas rojas

E JERCICIO 2

Si un matrimonio tiene seis hijos y la probabi-lidad de tener un hijo varón y una hija mujer es lamisma

! Calculá la probabilidad de que tenganexactamente 3 hijos varones

E JERCICIO 3

Se arroja 5 veces un dado equilibrado! Calculá la probabilidad de obtener exac-

tamente 3 veces el número 2.



72

E JERCICIO 4

Se arroja 4 veces una moneda equilibrada. SeaX la variable aleatoria que asigna el número decaras obtenidas.

! Calculá la probabilidad que al menos tressean caras

E JERCICIO 5

En un curso de 37 alumnos, 20 son mujeres.Se escoge al azar un grupo de 10 alumnos.

! Calculá la probabilidad que se elijan a losumo 2 varones

Recordá:Si X es una variable aleatoria binomial con probabilidad p

k nk p pk

nk X P ++,, -

.//0 1 (( )1()(



73


E JERCICIO 1

0,2343

E JERCICIO 2

0,3125

E JERCICIO 3

0,0321

E JERCICIO 4

0,3125

E JERCICIO 5

0,0894



74

6. ESPERANZA DE VARIABLE ALEATORIA

Sea X una variable aleatoria que toma los valo-res x1, ..., xn, con las

probabilidades p1,..., pn respectivamente, sellama esperanza de X o

valor esperado de X a la siguiente suma:E(X) = x 1 p1 + ... + x n pn

Que indicamos:

E(X) = x p xn

i

(7( 1

11

E JEMPLO1

Consideremos el experimento que consiste entirar un dado equilibrado y sea X la variable alea-toria que indica el número obtenido. Los valoresque toma X y sus correspondientes probabilidadesse indican en el siguiente cuadro:



75

X1 1 2 3 4 5 6

P 1 61

61

61

61

61

61

# Entonces

E(X) = 1 .61

+ 2 .61

+ 3 .61

+ 4 .61

+ 5 .61

+ 6 .61

= 3,5

E(X) = 3,5 es el valor promedio de los va-lores que toma X.



76

EJERCICIOS 6-1

1. De un mazo de 48 cartas se separan 10 cartas,

entre las cuales figuran 4 reyes. De éstas se ex-

traen 3 cartas al azar, sucesivamente y con re-

posición. Si X es la variable aleatoria que asig-

na el número de reyes extraídos, hallá E(X).

2. Se tira 3 veces una moneda cargada en la cual

la probabilidad de salir cara es43 . Sea X = 23,

la variable aleatoria. Calculá E(X).

3. Un jugador tira un dado equilibrado. Si sale un

número par, gana en pesos la cantidad equiva-lente a 3000 veces el número obtenido. Si sale

un número impar pierde $4000. ¿Cuánto de-

berá pagar si se quiere que el juego no resulte

desfavorable ni favorable al jugador?



77

4. Se arroja 4 veces una moneda equilibrada. Sea

X la variable aleatoria que asigna el número de

caras obtenidas. Calculá E(X).



78


1. 56

2. 2,11 (aproximadamente)

3. $4000

4. 2



79

7. VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA

La esperanza de una variable aleatoria permitecalcular el valor promedio que toma dicha varia-

ble.Para medir la dispersión de los valores de la

variable respecto de ese valor promedio, utiliza-remos un valor llamado varianza que se define dela siguiente manera:

Si X es una variable aleatoria que toma los va-lores x

1, ... , x

n con probabilidades p

1, ..., p

n respec-

tivamente y x = E(X), se define la varianzade X mediante la siguiente fórmula:

2 3 2 3 2 3n

2

n1

2

1i

2n

1ii p.xxp.xxpxx)X(Var +**+(+( 7

(

!



80

E JEMPLO1

Consideremos el experimento que consiste entirar un dado equilibrado y sea X la variable alea-toria que indica el número obtenido.

Los valores que toma X y sus correspondien-tes probabilidades se indican en el siguiente cua-dro:

X1 1 2 3 4 5 6P 1

61

61

61

61

61

61

Entonces

E(X) = 1 .61

+ 2 .61

+ 3 .61

+ 4 .61

+ 5 .61

+ 6 .61

= 3,5

E(X) = 3,5 es el valor promedio de los valoresque toma X.

Var(X) = (1 - 3,5) 2 .61

+ (2 - 3,5) 2 .61

+ (3 - 3,5)2 .61

+

(4 - 3,5)2 .61

+ (5 - 3,5)2 .61

+



81

+ (6 - 3,5)2 .61

' 2,9



82

EJERCICIOS 7-1

1. La siguiente tabla de valores corresponde a la

función de probabilidad de una variable alea-

toria X.

X1 1 2 3 4P 1

61

62

62

61

a) Calculá E(X)

b) Calculá Var(X)2. Se arrojan dos dados equilibrados. Sea X la

variable aleatoria que indica la suma de los

números obtenidos.

a) Armá la tabla de valores corres-

pondientes a la función de proba-

bilidad X.

b) Calculá E(X).

c) Calculá Var(X).



83

3. De un mazo de 48 cartas se separan 10 cartas,

entre las cuales figuran 4 reyes. De éstas se ex-

traen 3 cartas al azar, sucesivamente y con re-

posición. Si X es la variable aleatoria que asig-

na el número de reyes extraídos, hallá Var(X).

4. Se tira 3 veces una moneda cargada en la cual la

probabilidad de salir cara es 43

. Sea X = 23, la

variable aleatoria. Calculá Var(X).




1.1211

2. a)

X1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P1 361

362

363

364

365

366

365

364

363

362

361

b) E(X) = 7

c) Var(x) = 5,83

3. 0,72

4. 0,75 (aproximadamente)

Probabilidades - Colegio 24hs

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