PROBLEMA Terminado de Investigacion de Operaciones

7/16/2019 PROBLEMA Terminado de Investigacion de Operaciones

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FIGMM

INVESTIGACION DE OPERACIONES 2013

PROBLEMAS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES

1. Una compaa petrolera quiere conectar distintas ciudades, cuyas distancias (km) aparece en

el cuadro siguiente, con tuberas que vayan directamente entre las ciudades. Cul es el

mnimo de kilmetros necesarios de tubera?

SOLUCION: Utilizando el algoritmo para hallar al rbol de mnima expansin, luego estos

resultados se contrastarn con los resultados del software:

{} {} Tomamos el arco que tiene menor distancia en todos lo

posibles arcos formado por los 2 conjuntos.

Arco de mnima distancia es ( )

{ } {} Arco de mnima distancia es ( )

{} {} Arco de minima distancia es ( )


{} { } Arco de minima distancia es ( )


D M N O P W

B 670 758 427 581 211 369

D 361 252 132 492 680

M 332 493 690 759

N 357 394 431

O 391 650

P 521


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Entonces tenemos como resultado un rbol de mnima expansin cuya longitud es de: L = 1687

Tambin podemos comprobar este resultado en un programa que sigue el mismo algoritmo pero

estos resultados se pueden conseguir de manera inmediata ordenando al software:


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2. Para irrigar las tierras bajas, el agua se transporta a travs de una red de acueductos desde la

presa hasta el valle. A continuacin se muestra una red en la que los arcos representa

acueductos y el nmero en cada arco representa el caudal mximo permitido en kilotoneladas

por hora. Se desea determinar el caudal mximo de la gran presa a las tierras bajas.

a) Formlelo como un modelo de programacin lineal

b) Resuelva el problema aplicando el algoritmo respectivo

SOLUCION: Bueno formulamos este problema de flujo mximo como uno de programacin lineal

para ello primero definimos las siguientes variables:

Presa

100

60 80

Valle

50307050

80 40

90


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La solucin que proporciona el LINDO 6.5 es F = 150

Ahora procederemos a resolverlo con los algoritmos aprendidos en clase:

Tomamos como primer paso etiquetar el primer nodo con [ ].

Seleccionamos las ramas con mayores

flujos y luego hacemos la siguienteseleccin:

{ }

Entonces las nuevas ramas del

recorrido tienen los siguientes

valores: ( )

{ }

{ }

{ }


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Vemos que en esta parte del

problema ya no se puede avanzar por lo

tanto nos quedamos con los dems

el flujo mximo q pasa por la red es:

DE A inicio final flujo

1 2 100 0 100

1 3 80 30 50

2 3 50 10 40

2 4 60 0 60

3 4 70 20 50

3 5 40 0 40

4 5 30 0 30

4 6 80 0 80

5 4 50 50 0

5 6 90 20 70


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3. Un banco pronto empezar a conectar terminales de computadora en cada una de las

sucursales, con la computadora de su oficina principal, usando lneas telefnicas especiales

con dispositivos de telecomunicaciones.

La lnea telefnica que emana de una sucursal no necesita conectarse directamente a la

oficina principal; puede conectarse indirectamente, conectndola con otra sucursal que est

conectado (directa o indirectamente) con la oficina principal. El nico requerimiento es que

todas las sucursales estn conectadas por alguna ruta con la oficina principal.

La carga para las lneas telefnicas especiales es directamente proporcional al nmero de

millas involucradas, en donde la distancia (en millas) entre cada par de oficinas es:

DISTANCIA ENTRE PARES DE OFICINAS

Principal S1 S2 S3 S4 S5

Oficina Principal

Sucursal 1

Sucursal 2

Sucursal 3

Sucursal 4

Sucursal 5

----

160

270

115

70

190

160

----

310

80

220

50

270

310

----

175

120

215

115

80

175

----

140

240

70

220

120

140

----

100

190

50

215

240

100

----

SOLUCION:

Utilizando el algoritmo para hallar al rbol de

mnima expansin, luego estos resultados se

contrastarn con los resultados del software:

{}

{ }Tomamos el arco que tiene menor distancia en todos lo

posibles arcos formado por los 2 conjuntos.

Arco de mnima distancia es ( )

{ } { } Arco de mnima distancia es ( )

{ } { } Arco de minima distancia es ( )


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{ } { } Arco de minima distancia es ( )

{ } {} Arco de minima distancia es ( )

Longitud del rbol de mnima Expansin L = 420 lo cual se puede comprobar con el TORA.

4. JARH tiene una gran refinera localizada en N. La gasolina refinada es enviada de all a tanques

de almacenamiento en P a travs de una red de oleoductos con estaciones de bombeo en S, E,

T, B y A. El oleoducto est construido en segmentos que conectan parejas de estas ciudades. A

lo largo de cada segmento existe un nmero mximo conocido de miles de galones por hora

que pueden enviarse. Estos segmentos y sus respectivas capacidades en miles de galones por

hora son:

En P se espera un aumento en la conduccin en los prximos meses de verano. Antes de

incrementar la tasa de produccin de la refinera, la administracin de JARH desea convencerel nmero mximo de miles de galones de gasolina por hora que pueden enviarse a travs de

la red de oleoductos a los tanques de almacenamiento de P.

De A Capacidad

N S 150

S T 125

T P 130

N B 80

S B 60

B E 100

E A 75

E T 50

A P 90


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SOLUCION:

El problema mostrado se puede

representar como una red de oleoductos

que los arcos representen las distancias

que estn de estaciones de bombeo a otraestacin:

{}

{}

{}

DE A inicio final flujo

N S 150 20 130

N B 80 5 75

S T 125 0 125

B E 100 20 80

T P 130 0 130

E T 50 40 10

E A 75 0 75

A P 90 15 75


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Solucin realizada en el TORA


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5. Las eliminatorias para el mundial se acercan y la seleccin peruana te necesita! Tenemos un

esquema del equipo con 12 posiciones, una por cada jugador (el portero es el nmero 1) ms

una para la portera contraria (que es el nmero 12). Para cada par de jugadores (a, b),

tenemos la probabilidad, P[a, b] (0, 1), de que un pase desde a hasta b salga bien, es decir,

que no lo intercepte el equipo contrario. La matriz no es simtrica, y P[a, 12] indica la

probabilidad de que a marque un gol al patear.

A partir de esas probabilidades bsicas, se puede calcular la probabilidad de una secuencia de

pases, mediante el producto.

La probabilidad de que la secuencia de pases a b c salga bien ser: P[a, b]*P[b, c], y

as sucesivamente. Una estrategia de juego es una secuencia de pases que empieza en nuestro

portero y acaba en gol en la portera contraria.

Utilice algn algoritmo eficiente que encuentre la estrategia de juego ptima, es decir, la

secuencia de pases entre 1 y 12 que maximice la probabilidad de salir bien.

Aplicar el algoritmo, indicando la estrategia ptima y la probabilidad asociada.

SOLUCION:

Modelo de redes, formularemos como un problema de ruta corta aplicando una transformacin

logartmica que convierta la probabilidad en la suma de logaritmos de probabilidades; es decir

P1K = P1 x P2 x P3 x P4 x x Pk es la probabilidad de no ser detenido entonces


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Como queremos la maximizacin de como 0 la maximizacin a su vez equivale a la

minimizacin de .

Transformando cada probabilidad a logartmica

Nodo 1 2 - = 0.04576

Nodo 1 3 - = 0.15490Nodo 2 3 - = 0.22185

Nodo 2 5 - = 1.00000

Nodo 3 4 - = 0.30103

Nodo 3 6 - = 1.00000

Nodo 3 12 - = 0.69897

Nodo 4 1 - = 0.04575

Nodo 4 3 - = 0

Nodo 4 6 - = 0.09691

Nodo 5 12 - = 0.15490

Nodo 6 5 - = 0.52289Nodo 6 12 - = 0.22185

Con el ltimo grafo podemos usar el INVOP para determinar la ruta ms corta entre el jugador 1 y

la portera contraria que es el nmero 12.

Si - = X

= = 0.168

sera la probabilidad ms alta

y el camino seria

1 3 4 6 12


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6. Un taller de tractores se encuentra atendido nicamente por un empleado.

Supongamos que el cuadro de llegadas se corresponde a un proceso de Poisson, de modo que

los tiempos de servicio siguen distribuciones exponenciales. Consideremos que, despus de

observar la evolucin del taller, se estima que la tasa de llegada es de 10 vehculos por da y

que el tiempo de servicio es de 1 hora. Suponiendo que el empleado arregla los tractores por

estricto orden de llegadas y tomando una jornada laboral de 12 horas, se pide contestar a lo

siguiente:

a) Probabilidad de que al llevar el tractor a reparar no lo pueda arreglar en el momento.

b) Nmero medio de tractores en espera a ser reparados, en estado estacionario

c) Tiempo medio que debe esperar cada tractor para ser reparado.

d) Tiempo medio que un vehculo est en el sistema.

SOLUCION:

Datos:

10.vehculos/jornada

12 vehculos / jornada.

0.833

a) Probabilidad de que al llevar el tractor a reparar no lo pueda arreglar en el momento. Porcomplemento: (1- P0) (Probabilidad que sea arreglado en el momento) Siendo: P0 = (1- )

1- (1- ) = = 0.833

b) Nmero medio de tractores en espera a ser reparados, en estado estacionario

166.4

)1012(12

1022

Tractores

c) Tiempo medio que debe esperar cada tractor para ser reparado.

=

()= 0.416 x 12 horas = 4.992 horas

d) Tiempo medio que un vehculo est en el sistema. Siendo: Tiempo en el sistema= tiempode espera + tiempo de servicio

1S

W =

=

= 6 horas


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7. Con rubes y zafiros la joyera Coronas fabrica dos tipos de anillos. Un anillo tipo 1 requiere 2

rubes, 3 zafiros y 1 hora de trabajo de un joyero. Un anillo tipo 2 requiere 3 rubes, 2 zafiros y

2 horas de trabajo de un joyero. Cada anillo tipo 1 se vende a 400 , y cada anillo tipo 2 a

500 Se pueden vender todos los anillos producidos por Coronas. Actualmente, Coronas

dispone de 100 rubes, 120 zafiros y 70 horas de trabajo de un joyero. Se pueden comprar msrubes a un costo de 100 el rub. La demanda del mercado requiere una produccin de por

lo menos 20 anillos tipo 1, y por lo menos 25 anillos tipo 2. Coronas desea maximizar la

ganancia.

Resuelva este problema con la ayuda de un software, por ejemplo LINDO, y conteste a las

siguientes cuestiones:

a) Formularlo como uno de programacin lineal.

b) Estandarizar el programa lineal.

c) Suponga que cada rub cuesta 190 , en lugar de 100 . Todava comprara Coronas

rubes? Cul sera la nueva solucin ptima para el problema?d) Suponga que Coronas solamente tuviera que producir 23 anillos tipo 2. Cul sera la

utilidad de Coronas ahora?

e) Cul es la mxima cantidad que tendra que estar dispuesto a pagar Coronas por otra

hora de trabajo de un joyero?

f) Cul es la mxima cantidad que tendra que estar dispuesto a pagar Coronas por otro

zafiro?

SOLUCION:

a) Formulando como una programacin Lineal la funcin objetivo y las restricciones son:

Definiendo las variables:

Las ganancias es la funcin a optimizar en este caso a maximizar.


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Entonces la cantidad de rubs q se utilizaran ser 100 + donde representa la parte adicional

de lo que dispone.

b) la formulacin se puede estandarizar ingresando variables artificiales:

RESOLVIENDO EN PROBLEMA EN LINDO 6.5

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 5

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 19000.00

VARIABLE VALUE REDUCED COST

X1 20.000000 0.000000

X2 25.000000 0.000000

X3 15.000000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES2) 0.000000 100.000000

3) 10.000000 0.000000

4) 0.000000 200.000000

5) 0.000000 0.000000

6) 0.000000 -200.000000

NO. ITERATIONS= 5


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RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

OBJ COEFFICIENT RANGES

VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

COEF INCREASE DECREASE

X1 400.000000 INFINITY 100.000000

X2 500.000000 200.000000 INFINITY

X3 -100.000000 100.000000 100.000000

RIGHTHAND SIDE RANGES

ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

RHS INCREASE DECREASE

2 100.000000 15.000000 INFINITY

3 120.000000 INFINITY 10.000000

4 70.000000 3.333333 0.000000

5 20.000000 0.000000 INFINITY

6 25.000000 0.000000 2.500000

c) Como los precios de rub aumentan a 190

Vemos que los coeficientes de la funcin objetivo han variado veamos si se encuentra en su rangoadmisible para que la solucin bsica no cambie.

[ ] []

La solucin ptima no cambia dado que los coeficientes de la funcin objetivo se encuentran en

sus rangos admisibles.

d) Si tuviera que producir 23 anillos del tipo 2 entonces cuanto veremos si el restriccin nmero 6

se encuentra en su rango admisible para que la solucin ptima no cambie.

[] [ ]

por lo tanto la solucin ptima sigue siendo la misma entonces la nueva funcin objetivo ser:

()()


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8. Al comenzar un ao un especulador de pisos puede haber comprado o no un piso. Si

lo posee tiene tres alternativas cada ao: no hacer nada con el, venderlo y comprar

otro, o solamente vender el piso. Si no posee un piso puede no hacer nada o comprar

uno nuevo.

Si un piso esta un ao completo en posesin sin hacer cambios, existe un cargo por

gestin de 100 dlares.

En la tabla se dan los precios, en miles de dlares, estimados de compra y venta

durante los prximos cuatro aos.

Determinar la estrategia optima a adoptar en los prximos cuatro aos, sabiendo

que el especulador parte inicialmente con un piso y quiere poseer otro al finalizar el

plazo.

SOLUCION:

Formaremos una matriz de decisin con los acontecimientos y las estaciones los

acontecimientos sern:

NN: No hace Nada

VC: Vender y Comprar

V: Solo Vender

C: Solo Comprar

y lgicamente las estaciones que son los 4 aos respectivos. Las decisiones no necesariamente son

las mismas en los siguientes aos.

Tenemos como restriccin que al finalizar el cuarto ao el especulador termina con otro piso del

que tena inicialmente por lo tanto en el cuarto ao solo tenemos que descartar la posibilidad que

Vender por que se quedara sin piso y ese dato no se encuentra como parte del problema.

Usaremos esta matriz para que nos brinden datos, dibujado el grafo respectivo. ( )

Ao Precio de compra Precio de venta

1

2

3

4

10

12

22

14

15

16

17

15


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Con estos datos podemos

formular nuestra programacin linear para maximizar la ganancia:

SUJETO A:

USANDO EL LINDO 6.5:

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 8

OBJECTIVE FUNCTION VALUE1) 12000.00

VARIABLE VALUE REDUCED COST

NN1 0.000000 5100.000000

VC1 1.000000 0.000000

V1 0.000000 0.000000

NN2 0.000000 4100.000000

VC2 1.000000 0.000000

V2 0.000000 0.000000

C2 0.000000 18000.000000

NN3 0.000000 0.000000

VC3 0.000000 4900.000000

V3 1.000000 0.000000

C3 0.000000 27000.000000

VC4 0.000000 2100.000000

C4 1.000000 0.000000

NN2V1 0.000000 6000.000000

NN3V2 0.000000 5000.000000

Los resultados nos dicen que en el primerao deberamos de Vender y Comprar un

piso. Para el segundo ao tambin Vender y

comprar un piso, para el Tercer ao solo se

debe vender el piso para que al cuarto ao se

compre un piso.

Este sera el plan a seguir para el especulador

ya que as obtendr su mxima ganancia

este problema tambin se puede resolver

mediante rbol de decisiones pero es esta

ocasin decid plantear como una

programacin lineal para as evitar grandes

grficos como era formar el rbol de

decisiones ya que es extenso para poder

dibujarlo.


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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERA

Facultad de Ingeniera Geolgica Minera y Metalrgica

CURSO : INVESTIGACION DE OPERACIONES

TEMA : Modelo de Redes, Programacin Lineal

Teora de Decisiones

PROFESOR : Rosales Jimmy

ALUMNOS : Vera Marques, Jos Rey (20100092I)

Reyes Ayala, Luis (20100258D)

FECHA : 04/03/2013

PROBLEMA Terminado de Investigacion de Operaciones

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