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Procesamiento Digital de Señales:
Ecuaciones Diferenciales y en Diferencias
2
Objetivo
Exponer las relaciones de la transformada de Laplace con las ecuaciones diferenciales y lineales de orden n junto con las ecuaciones en diferencias.
Interpretar el significado físico de la Transformada de Laplace y sus propiedades, y contextualizarlo respecto a las señales discretas.
Representar las funciones racionales en el plano S e introducir el concepto de estabilidad.
El alumno deberá entender las las diversas propiedades de la transformada de Laplace con particular atención en las interpretaciones físicas respectivas y aplicarlas a los sistemas discretos.
Al finalizar esta unidad el alumno deberá ser capaz de manejar las transformaciones y poder definir sistemas en base a estas mismas.
Antecedentes
Ecuaciones Diferenciales
Ecuación Diferencial
Se dice que una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes, con respecto a una o más variables independientes, es una ecuación diferencial.
Las ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales se utilizan en la descripción matemática de sistemas físicos en el dominio del tiempo.
Las ecuaciones diferenciales se clasifican en función de:
– TIPO.
– ORDEN.
– GRADO.
– LINEALIDAD.
Clasificación de las ec. diferenciales
Clasificación por tipo
Si una ecuación diferencial contiene sólo derivadas ordinarias de una o mas variables dependientes con respecto a una sola variable independiente se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (EDO).
Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias:
dydx
+2y=ex d
2y
dx2
−dydx
+3y=0 dxdt
+dydt
=2x+ y
Clasificación por tipo…
Si una ecuación diferencial contiene derivadas parciales de una o mas variables dependientes con respecto a dos o más variables independientes se dice que es una ecuación diferencial parcial.
Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales:
∂2u
∂ x2 +
∂2u
∂ y2 =0 ∂
2u
∂ x2=∂
2u
∂ t2
−∂u∂ t
∂u∂ x
=−∂ v∂ y
Clasificación según el orden
El orden de una ecuación diferencial (ya sea ordinaria o parcial) es el orden de la derivada mayor en la ecuación.
La ecuación:
Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden.
xeydx
dy
dx
yd
22
3
2
2
Clasificación según el orden…
Una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden se puede expresar mediante la forma general:
F (x, y, y´, y´´, . . ., y(n)) = 0
Donde F es una función de valores reales de n+2 variables x, y, y´, y´´, ..., y(n).
Clasificación según el orden…
Es posible despejar de una ecuación diferencial ordinaria en forma única la derivada superior y(n) en términos de las n+1 variables restantes.
La ecuación diferencial:
Donde f es una función continua de valores reales, se denomina forma normal.
).,..´´,´,,,( )( 1 n
n
n
yyyyxfdx
yd
Clasificación según el grado
El grado de una ecuación diferencial (ya sea ordinaria o parcial) es el exponente de la mayor derivada contenida en la ecuación.
La ecuación:
Es una ecuación diferencial ordinaria de grado uno.
xeydx
dy
dx
yd
22
3
2
2
Clasificación según el grado ...
Para la ecuación:
Para clasificarla es necesario que el exponente de la variable dependiente sea un número entero, por lo que la ecuación se debe reescribir como:
Ecuación diferencial ordinaria de grado dos.
Adh(t )
dt= Cq a√2gh
( A dh(t )dt )
2
= C q2 a2
(2gh )
Clasificación según la linealidad
Se dice que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal si está formada por la suma de términos lineales, definidos estos como:
● La variable dependiente y todas sus derivadas son de grado 1 (e.g.: y, y´, y´´, . . ., y(n).)
● No hay productos de las variables dependientes● No hay funciones trascendentes (e.g. cos, log, ) en
relación con las variables dependientes
an( x )dn ydxn
+an−1 ( x )d n−1 ydxn−1
+. ..+a2 ( x )d2 ydx2
+a1( x )dydx
+a0( x ) y=g( x )
Clasificación según la linealidad
En las ecuaciones diferenciales lineales de primero y segundo orden (n=1 y n=2):
y
se puede observar las características de una ecuación diferencial lineal:
– La variable dependiente y y todas sus derivadas y´, y´´, . . ., y(n) son de primer grado, es decir, la potencia de cada término en que interviene y es 1.
– Los coeficientes a0, a1, …, an de y´, y´´, . . ., y(n) dependen sólo de la variable independiente x.
– No hay funciones trascendentes
)()()( xgyxadx
dyxa 01 )()()()( xgyxa
dx
dyxa
dx
ydxa 012
2
2
Las siguientes ecuaciones diferenciales son NO lineales:
El coeficiente de y´ depende de y
Función Trascendente (no lineal) en y
Potencia de y diferente de grado 1
(1− y ) y ´ +2y=ex
d2 ydx2
+ln y=0
d5 ydx5
+3y3=2x
Clasificación según la linealidad
Clasificación según la homogeneidad
Una ecuación diferencial es homogénea si la variable dependiente y sus derivadas están en todos y cada uno de los términos de la ecuación; de lo contrario se dice que la ecuación diferencial es NO homogénea
Homogénea
No Homogénea
an( x )dn ydxn
+an−1 ( x )d n−1 ydxn−1
+. ..+a2 ( x )d2 ydx2
+a1( x )dydx
+a0( x ) y=0
M⋅d2 x
dt 2 + b⋅dxdt
= F (t )
Clasificación ecuaciones diferenciales
Determine el orden, grado, linealidad y homogeneidad de las siguientes ecuaciones:
Ld 2 qdt 2
+Rdqdt
+1C
q=v (t)
( A dh(t)dt )
2
= Cq2 a2(2gh)
a2∂2u
∂ x2=∂
2u
∂ t2
Determine el orden, grado, linealidad y homogeneidad de las siguientes ecuaciones:
Orden=1, Grado=2, No lineal (Grado>1) y Homogénea
Ld 2 qdt 2
+Rdqdt
+1C
q=v (t)
( A dh(t)dt )
2
= Cq2 a2(2gh)
a2∂2u
∂ x2=∂
2u
∂ t2
Clasificación ecuaciones diferenciales
Determine el orden, grado, linealidad y homogeneidad de las siguientes ecuaciones:
Orden=1, Grado=2, No lineal (Grado>1) y Homogénea
Orden=2, Grado=1, Lineal y NO Homogénea
Ld 2 qdt 2
+Rdqdt
+1C
q=v (t)
( A dh(t)dt )
2
= Cq2 a2(2gh)
a2∂2u
∂ x2=∂
2u
∂ t2
Clasificación ecuaciones diferenciales
Determine el orden, grado, linealidad y homogeneidad de las siguientes ecuaciones:
Orden=1, Grado=2, No lineal (Grado>1) y Homogénea
Orden=2, Grado=1, Lineal y NO Homogénea
Orden=2, Grado=1, Lineal y Homogénea
Ld 2 qdt 2
+Rdqdt
+1C
q=v (t)
( A dh(t)dt )
2
= Cq2 a2(2gh)
a2∂2u
∂ x2=∂
2u
∂ t2
Clasificación ecuaciones diferenciales
Una ecuación diferencial de orden n es de la forma:
en la cual los coeficientes son variables.
Si los coeficientes an(t), an-1(t), ... , a1(t), a0(t) son constantes, la expresión resultante será una ecuación diferencial lineal de orden n con coeficientes constantes:
an( t )d n y
dtn +an−1( t )dn−1 y
dtn−1 +.. .+a2( t )d 2 y
dt 2 +a1( t )dydt
+a0( t ) y=b0 x ( t )
an
dn y
dtn +an−1
d n−1 y
dtn−1 +. ..+a2
d2 y
dt 2 +a1
dydt
+a0 y=b0 x( t )
Ecuaciones diferenciales lineales
(and n
dtn+an−1
dn−1
dtn−1+.. .+a2
d 2
dt2+a1
ddt
+a0) y = b0 x( t )
Ecuaciones diferenciales lineales
El término que hace no homogénea a una ecuación diferencial es de suma importancia en los sistemas de control ya que b0x(t) representa la entrada que se le aplica al sistema y la interacción entrada-salida produce la salida y(t)
(and n
dtn+an−1
dn−1
dtn−1+.. .+a2
d 2
dt2+a1
ddt
+a0) y = b0 x( t )
Ecuaciones diferenciales lineales
Entrada
El término que hace no homogénea a una ecuación diferencial es de suma importancia en los sistemas de control ya que b0x(t) representa la entrada que se le aplica al sistema y la interacción entrada-salida produce la salida y(t)
(and n
dtn+an−1
dn−1
dtn−1+.. .+a2
d 2
dt2+a1
ddt
+a0) y = b0 x( t )
Ecuaciones diferenciales lineales
EntradaSalida
El término que hace no homogénea a una ecuación diferencial es de suma importancia en los sistemas de control ya que b0x(t) representa la entrada que se le aplica al sistema y la interacción entrada-salida produce la salida y(t)
El término que hace no homogénea a una ecuación diferencial es de suma importancia en los sistemas de control ya que b0x(t) representa la entrada que se le aplica al sistema y la interacción entrada-salida produce la salida y(t)
(and n
dtn+an−1
dn−1
dtn−1+.. .+a2
d 2
dt2+a1
ddt
+a0) y = b0 x( t )
Ecuaciones diferenciales lineales
EntradaSalida Sistema g(t)
El término g(t) representa al sistema y corresponde a la descripción matemática de las características físicas de un determinado proceso físico.
Resolver una ecuación diferencial supone determinar una expresión para la variable dependiente y(t) libre de derivadas
(and n
dtn+an−1
dn−1
dtn−1+.. .+a2
d 2
dt2+a1
ddt
+a0) y = b0 x( t )
Ecuaciones diferenciales lineales
Sistema g(t)
La transformada de Laplace convierte una función g(t) definida para tiempos mayores o iguales a cero en una función G(s) propia del dominio s mediante la integral impropia:
De esta forma, si la integral existe, se dice que G(s) es la transformada de Laplace de la función g(t). El factor s es el número complejo s = σ + jω, por lo cual la función G(s) puede representarse en el plano complejo
Solución de ec. diferenciales lineales
L {g( t)} =∫0
∞
g( t)e−st dt = G (s)
Plano s
Si un sistema g(t) es lineal, su correspondiente función racional polinomial G(s) , denominada función de transferencia, tendrá la forma:
Solución de ec. diferenciales lineales
G(s)= K(bm sm+bm−1 sm−1+...+b1 s+b0)
(an sn+an−1 sn−1+...+a1 s+a0)e−T
σ
jω
Plano s
Si un sistema g(t) es lineal, su correspondiente función racional polinomial G(s) , denominada función de transferencia, tendrá la forma:
Solución de ec. diferenciales lineales
G(s)= K(bm sm+bm−1 sm−1+...+b1 s+b0)
(an sn+an−1 sn−1+...+a1 s+a0)e−T
σ
jω
Polinomio del numerador de grado m
Plano s
Si un sistema g(t) es lineal, su correspondiente función racional polinomial G(s) , denominada función de transferencia, tendrá la forma:
Solución de ec. diferenciales lineales
G(s)= K(bm sm+bm−1 sm−1+...+b1 s+b0)
(an sn+an−1 sn−1+...+a1 s+a0)e−T
σ
jω
Polinomio del numerador de grado m
Polinomio del denominador de grado n
Plano s
Si un sistema g(t) es lineal, su correspondiente función racional polinomial G(s) , denominada función de transferencia, tendrá la forma:
Con K como constante del sistema y T el atraso en el tiempo (en caso de que el sistema no reaccione instantáneamente a una entrada)
Solución de ec. diferenciales lineales
G(s)= K(bm sm+bm−1 sm−1+...+b1 s+b0)
(an sn+an−1 sn−1+...+a1 s+a0)e−T
σ
jω
La transformada de Laplace convierte una ecuación diferencial de orden n en una ecuación algebraica de grado equivalente al orden de la ecuación diferencial, por lo que los polinomios del numerador y denominador de G(s) pueden representarse por medio de sus respectivas raíces:
A las raíces del polinomio numerador se les llama ceros, representados por círculos en el plano s, mientras a las raíces del denominador se les denomina polos y son representados por cruces.
Solución de ec. diferenciales lineales
G(s)= K(s+z0)(s+z1) ...
(s+p0)(s+ p1) ...
Ec. diferenciales lineales
Un problema típico
• Dada una señal de entrada x(t), ¿Cual es la señal de salida del sistema y(t) después de pasar por él?
Recurrimos a las transformaciones para evitarnos complicaciones
• Si tenemos un filtro pasa bajos de primer orden con un resistor R y un capacitor C:
• El sistema se describe mediante la ec. diferencial:
RCy' ( t )+y( t )=x ( t )
Un problema típico
Recurrimos a las transformaciones para evitarnos la integración de la respuesta del sistema
Convolución
• Operador matemático (*) que combina 2 funciones de entrada, e.g.: x(t) y h(t) para producir una tercera: y(t)
• La cual expresa la magnitud del traslape de la función x(t) y la función h(t) a medida que una señal se recorre sobre la otra.
dhtxthtxty )()()()()(
Suavizado
Convolución
Delta de Dirac (t)
Convolución con la delta de Dirac (t)
• La convolución de una señal con la delta de Dirac (t) produce simplemente la misma señal a la salida
• La convolución con una delta recorrida (t-) produce un corriemiento (retardo) de la señal original (x(t-)).
(t-)
Convolución como operador de retardo
Propiedades de la Convolución
• Debido a que la convolution es un operador lineal, entonces posee las típicas propiedades lineales:
– Conmutatividad
– Asociatividad
– Distributividad
– Multiplicación escalar
Resolviendo usando la convolución
• El filtro pasa bajos de primer orden:
• El sistema se describe por su respuesta al impulso:
• Solución: Convolución con la respuesta al impulso x(t)
• La Convolución es tardada y costosa para calcularse.
• Sugerencias de salidas y(t).
Resolviendo usando la convolución
Transformada de Laplace
Transformada de Laplace
• Definición:
• En comparación con la de Fourier:
• Diferencias:– Integral de 0 a to for Laplace (sistemas causales)
• f(t) para t<0 no se toma en consideración
– -s = (+j) en lugar de sólo - j (señales no períódicas)
L[ f ( t ) ]=F (s )=∫0
∞f ( t )e−st dt
F (ω )=∫−∞
∞f ( t )e− jωt dt
• Similar a la transformada de Fourier :– Aditividad y multiplicación escalar
– Convolución
– Derivación
t
sFsFdτ(ττ)f(tf0
2121 )()()
)()()]()([ 2121 sbFsaFtbftafL
)0()()(
fssFtfdt
dL
Propiedades : Transformada de Laplace
Función de Transferencia H(s)
• Definición– H(s) = Y(s) / X(s)
• Relaciona la salida de un sistema linear (o alguna de sus partes) a la entrada.
• Describe como un sistema lineal responde a un impulso.
• Todas las operaciones lineales se puede aplicar – Escala, suma, multiplicación.
H(s)X(s) Y(s)
Regresando al circuito RC
RC y( t)+y (t )=x (t)
Entrada H(s)Entrada Respuesta del sistema
Concepto intuitivo de estabilidad
En el dominio del tiempo se dice que un sistema g(t) es estable si existe el límite cuando t→∞:
Considerando sistemas representados por g(t) con coeficientes de magnitud A y definidos para tiempos mayores o iguales que cero se tienen lo siguientes casos:
limt →∞
g(t) ≠ ∞
Concepto intuitivo de estabilidad
1) Para el Sistema:
g(t)=A
σ
jω
t
xG(s)= As
Concepto intuitivo de estabilidad
1) Para el Sistema:
g(t)=A
σ
jω
t
xG(s)= As
limt →∞
g (t ) = A
Concepto intuitivo de estabilidad
2) Para el Sistema:
g(t)=At
σ
jω
t
xxG(s)= As2
Concepto intuitivo de estabilidad
2) Para el Sistema:
g(t)=At
σ
jω
t
xxG(s)= As2
limt →∞
g (t ) = ∞
Concepto intuitivo de estabilidad
3) Para el Sistema:
g(t)=A e- a t
σ
jω
t
xG(s)= As+a
−a
Concepto intuitivo de estabilidad
3) Para el Sistema:
g(t)=A e- a t
σ
jω
t
xG(s)= As+a
−a
limt →∞
g (t ) = 0
Concepto intuitivo de estabilidad
4) Para el Sistema:
g(t)=A e a t
σ
jω
t
xG(s)= As−a
a
Concepto intuitivo de estabilidad
4) Para el Sistema:
g(t)=A e a t
σ
jω
t
xG(s)= As−a
a
limt →∞
g (t ) = ∞
Concepto intuitivo de estabilidad
5) Para el Sistema:
g(t)=A sen ωt
σ
jω
xG(s)= A ω
s2+ω2
j ω
x − jω
t→
Concepto intuitivo de estabilidad
5) Para el Sistema:
g(t)=A sen ωt
σ
jω
xG(s)= A ω
s2+ω2
j ω
x − jω
t→
Sistemamarginalmente
estable
Concepto intuitivo de estabilidad
6) Para el Sistema:
g(t)=A cos ωt
σ
jω
xG(s)= A s
s2+ω2
j ω
x − jω
t→
O
Concepto intuitivo de estabilidad
6) Para el Sistema:
g(t)=A cos ωt
σ
jω
xG(s)= A s
s2+ω2
j ω
x − jω
t→
O
Sistemamarginalmente
estable
Concepto intuitivo de estabilidad
7) Para el Sistema:
g(t)=Ae- a t sen ωt
σ
jω
xG(s)= A ω
(s+a)2+ω2
−a j ω
x −a − j ω
t→
−a
Concepto intuitivo de estabilidad
7) Para el Sistema:
g(t)=Ae- a t sen ωt
σ
jω
xG(s)= A ω
(s+a)2+ω2
−a j ω
x −a − j ω
t→
Sistemaestable
−a
Regresando a la solución de Ec. diferenciales
Dado un sistema g(t) lineal, su correspondiente función racional polinomial G(s) o función de transferencia, tendrá la forma:
Misma que puede representarse de la forma:
Dejando claro los ceros (raíces del polinomio numerador ) y los polos ( raíces del denominador ).
G(s)= K(bm sm+bm−1 sm−1+...+b1 s+b0)
(an sn+an−1 sn−1+...+a1 s+a0)
G(s)= K(s+z0)(s+z1) ...
(s+p0)(s+ p1) ...
Estabilidad
El concepto de estabilidad se puede visualizar
fácilmente en el dominio del plano complejo s.
● Un sistema es estable si todos sus polos están a la izquierda del eje jω o bien, si existe un polo simple en el origen; cualquier otra combinación de polos hará que el sistema se considere inestable.
σ
jω
Estabilidad
El concepto de estabilidad se puede visualizar
fácilmente en el dominio del plano complejo s.
● Un sistema es estable si todos sus polos están a la izquierda del eje jω o bien, si existe un polo simple en el origen; cualquier otra combinación de polos hará que el sistema se considere inestable.
● Un sistema inestable tiene cuando menos un polo a la derecha del eje jω, si tiene polos complejos repetidos dos o más veces en el eje jω, o más de un polo origen.
σ
jω
Estabilidad
El concepto de estabilidad se puede visualizar
fácilmente en el dominio del plano complejo s.
● Un sistema es estable si todos sus polos están a la izquierda del eje jω o bien, si existe un polo simple en el origen; cualquier otra combinación de polos hará que el sistema se considere inestable.
● Un sistema inestable tiene cuando menos un polo a la derecha del eje jω, si tiene polos complejos repetidos dos o más veces en el eje jω, o más de un polo origen.
● Un sistema es marginalmente estable si tiene polos complejos conjugados simples en el eje jω (i.e. Parte real = 0)
σ
jω
Nombre: f(t) F(s)
Impulso
Escalón
Rampa
Exponencial
Seno
1
s
1
2
1
s
as 1
22 s
1)( tf
ttf )(
atetf )(
)sin()( ttf
00
01)(
t
ttf
Seno Amortiguado
22)(
as)sin()( tetf at
Polos
0
0 (doble)
n/a
-a
-i,i
-a-i,-a+i
Estabilidad
Polos:
• Componente real negativa:
• Señal con decaimiento exponencial
• Componente real positiva:
• La señal crece exponencialmente
• Si su parte imaginaria 0:
• La señal oscila con una frecuencia
Estabilidad
Efecto de los polos en la Estabilidad
Región Inestable
Ecuaciones en Diferencias
Modelo de cantidadcantidad en tiempo discreto:
n = 0,1,2,3,4… (entre 0 y 1 no hay tiempo)
Valor de y(n) cantidad en el tiempo n
Valor inicial y(0) cantidad en el instante 0
Introducción: Ec. de Diferencias
n-1 n n+1
y(n-1) y(n) y(n+1)
Valores
INSTANTES
Modelo de cantidadcantidad en tiempo discreto:
• La cantidad se duplica:
y(n) = 2y(n-1) ↔ y(n+1) = 2y(n)
• La cantidad se reduce a la mitad:
y(n) = ½ y(n-1) , y(n+1) = ½ y(n)
• La cantidad aumenta un 10%:
y(n) = y(n-1) + 0.1 y(n-1), y(n+1) = 1.1 y(n)
Introducción: Ec. de Diferencias
Orden de la ecuación en diferencias:
• y(n+1)=2y(n) → orden 1
• y(n)-3y(n-1)=0 → orden 1
Determinamos la magnitud de la diferencia
• y(n+1)-3y(n-1)=0 →
• y(n+1)=5y(n-2) →
• y(n+m)+y(n+m-1)-3y(n+m-2)+…+5y(n)=0 →
Introducción: Ec. de Diferencias
orden 2
orden m
orden 3
Tipo de Ecuaciones de diferencias:
1) Ecuación HOMOGÉNEA
y(n+1)-2y(n)=0
y(n+2)+y(n)-2y(n-1)=0
y(n)=3y(n-1)
2) Ecuación COMPLETA
y(n+1)-2y(n)=3
y(n+1)-2y(n)=3n+2
y(n+1)-2y(n)=2n
Introducción: Ec. de Diferencias
Forma general de una recurrencia lineal:
Xn = an1Xn1 + an2Xn2 + … anmXnm + a0
Los coeficientes ai no dependen de n, en este caso
se dice que la ecuación tiene coeficientes constantes
● Una ecuación de primer orden se representaría entonces por:
Xn+1 = a Xn
Introducción: Ec. de Diferencias
Forma general de una recurrencia lineal:
● La solución de la ecuación de primer orden
Xn+1 = a Xn
Se obtiene mediante :
Xn+1 = a Xn = a(a Xn1) = … = a(a(a...X0)))
Xn = anX0
Introducción: Ec. de Diferencias
Forma general de una recurrencia lineal:
Xn = anX0
Introducción: Ec. de Diferencias
Forma general de una recurrencia lineal:
Xn = anX0
Solución no homogenea :
Xn+1 = aXn+ b
Introducción: Ec. de Diferencias
● Una ecuación general de segundo orden se puede escribir como:
Xn+2 + a Xn+1 + b Xn = 0Su solución se obtiene mediante :
Xn = c1 λ1n + c2 λ2
n
con λ1 y λ2 como soluciones de:
λ2 + aλ +b = 0
Introducción: Ec. de Diferencias
Introducción: Ec. de Diferencias
El comportamiento dependerá de los valores que tomen λ1 y λ2 :
Solución de la Ecuación Homogénea:● Grado 1
y(n+1)-2y(n)=0
x - 2 = 0 (ec. característica) → x=2
Solución:
y(n) = c 2n
Introducción: Ec. de Diferencias
Solución de la Ecuación Homogénea:● Grado 2 y(n+2)-2y(n)+3y(n-1)=0
x2 – 2x + 3 = 0 (ec. característica)
Solución:
i) Dos raíces reales distintas: s1, s2 → y(k) = c1sn1+c2s
n2
ii) Una raíz doble: s → y(n) = c1 sn + c2 k sn
iii) Dos raíces complejas conjugadas: s1=a+jb, s2=a-jb
Introducción: Ec. de Diferencias
y(n) = c1rncos(αn+c2)r = √(a2+b2)α = arctg(b/a)