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UNIVERSIDAD PEDAGÒGICA NACIONAL

UNIDAD AJUSCO

“PROPUESTA DIDÁCTICA COMPUTACIONAL PARA FORTALECER EL APRENDIZAJE DE LA MULTIPLICACIÓN EN ALUMNOS DE CUARTO

GRADO DE PRIMARIA”

T E S I N A

QUE PARA OBTENER EL DIPLOMA DE ESPECIALIZACIÓN EN COMPUTACIÓN Y EDUCACIÓN

P R E S E N T A :

LIC. JOSÉ MANUEL LUNA TORRES

ASESOR:

MTRO. RAUL CUEVAS ZAMORA

México, DF. FEBRERO 2011.

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AGRADECIMIENTOS.

“Muchas gracias a dios por haberme dejado concluir una etapa más en mi vida profesional y por otra oportunidad de vivir”

Agradezco profundamente a mi madre por el apoyo que me brinda. Es nuestro ejemplo vida.

A mis hermanos por ayudarme en momentos difíciles y de alegrías. Siempre tratan de estar a mi lado incondicionalmente.

Gracias a mis colegas y ahora amigos de la especialidad, pues de ustedes aprendí mucho.

Al profesor Raúl Cuevas por su apoyo y paciencia en la conclusión de este trabajo.

A TODOS LOS QUE SIEMPRE HAN ESTADO A MI LADO…..MIL GRACIAS POR ESTAR SIEMPRE CONMIGO.

Lic. José Manuel Luna Torres.

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ÌNDICE INTRODUCCIÓN………………………………………………………………....................... 1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA………………………………………………………. 3 JUSTIFICACIÓN………………………………………………………………………………. 8 CAPÍTULO 1. LA ENSEÑANZA Y EL APRENDIZAJE DE LA MULTIPLICACIÓN DESDE EL PARADIGMA CONSTRUCTIVISTA…………………………………………. 10 1.1. La multiplicación en la escuela primaria………………………………………...13 1.2. La enseñanza de la multiplicación desde el paradigma constructivista… 19 1.3. Proceso de aprendizaje en los niños…………………………………………… 31 1.4. Noción del maestro bajo el paradigma constructivista……………………… 37 1.5. Estrategias de aprendizaje……………………………………………………….. 38 2. MANUAL DE OPERACIÓN Y SUGERENCIAS DIDÁCTICAS……………………40 2.1. Características básicas del equipo de cómputo, para operar la

propuesta…………………………………………………………………………..... 41 2.2. Actividades de la propuesta……………………………………………………… 43 3.- PROTOCOLO DE INVESTIGACIÓN…………………………………………………. 54 3.1. Objetivo de la investigación……………………………………………………….. 54 3.2. Pregunta de investigación………………………………………………………….. 54 3.3. Hipótesis de investigación………………………………………………………….. 54 3.4 Variables………………………………………………………………………………. 55 3.5. Indicadores…………………………………………………………………………… 55 3.6. Tipo de investigación……………………………………………………………….. 55 3.7. Tipo de muestra……………………………………………………………………… 56 3.8. Análisis de datos…………………………………………………………………….. 56 ANEXO 1…………………………………………………………………………………….. 60 ANEXO 2…………………………………………………………………………………….. 62 Fuentes referenciales…………………………………………………………………….. 65

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INTRODUCCIÓN.

En el ámbito nacional la educación ha jugado un papel importante en el desarrollo del

país, ha venido generando cambios importantes en los últimos años. Particularmente en

educación básica y específicamente en la educación primaria, dado que ha promovido

la inserción de la tecnología y que son vistas en la educación como recursos y

herramientas que organizan y estimulan el aprendizaje en las aulas. Particularmente la

computadora, que es vista y se ha convertido en una herramienta para coadyuvar a la

enseñanza de los contenidos. Es decir, el docente utiliza este recurso1 para poder

complementar o apoyarse para enriquecer sus clases. No como un recurso motivador e

ilustrativo, sino como una ayuda para construir y generar conocimiento.

La presente propuesta de trabajo tiene como finalidad ayudar a los alumnos de cuarto

grado de educación primaria a fortalecer el aprendizaje de la multiplicación. Por lo que

este trabajo contiene una serie de actividades que permitirán al usuario interactuar y

poner en práctica sus conocimientos previos.

Durante mucho tiempo el método convencional que se ha utilizado para la enseñanza

de la multiplicación y de las tablas de multiplicar ha sido a través de la repetición y

memorización, pero con el paso del tiempo se olvidan con facilidad las tablas y su

aplicación en la resolución de problemas. Esto le ocasiona problemas al alumno, ya que

en el cuarto grado de primaria debería aplicar sin dificultad esta operación básica, y es

lo contrario, se ha observado que tienen dificultad en la comprensión, razonamiento y

en el procesamiento de esta operación.

Es por esto, que he tenido la inquietud de construir una propuesta, que permita al

alumno desarrollar ciertas competencias que le ayuden a comprender y resolver

problemas donde la multiplicación este presente, permitiendo con ello que además el

1 En educación, se entiende por recursos cualquier medio, personal, material, procedimiento, etc, que con una finalidad de apoyo se incorpora en el proceso de aprendizaje para que cada alumno alcance el límite superior de sus capacidades y potenciar su aprendizaje.

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alumno lo vea interesante y divertido, que despierte su interés y con ello propicie la

construcción de su aprendizaje.

Esto no quiere decir, que el método convencional sea inadecuado para sus

aprendizajes, ya que estoy convencido de que la memorización de las tablas de

multiplicar se da de manera significativa, esto se observa a través de su uso constante,

o al intentar resolver problemas y no por la repetición mecánica de ellas.

El presente documento esta integrado de la siguiente manera:

En el capítulo 1 se desarrolla la fundamentación teórica que sustenta la propuesta y que

se explica desde el paradigma constructivista.

El capítulo 2 explicar el Manual de Sugerencias Didácticas, el cual es una herramienta

imprescindible para la utilización de la propuesta. Este capítulo está integrado por la

presentación del interactivo por cada una de sus rutinas, objetivos y descripción de las

actividades, así como sugerencias para las mismas.

El capítulo 3 presenta el Protocolo de Investigación, parte importante de la propuesta

debido a que nos permite observar los alcances e impacto de la propuesta en la

realidad. El protocolo inicia con una introducción, objetivos, la pregunta de

investigación, hipótesis, variable, tipo de variable, una metodología y finalmente por un

análisis de los datos.

Por último se presenta la bibliografía utilizada. Así como se incluye el apartado de

anexos.

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PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA.

En los últimos años, la escuela primaria ha experimentado cambios significativos, en

todos sus ámbitos. Esto ha traído consigo un cambio en la forma de enseñar y aprender

por parte del profesor, permitiendo con ello lograr un aprendizaje significativo en los

alumnos.

Los problemas que he detectado en los alumnos de 4º. grado son bastos y complejos.

Teniendo en cuenta que la resolución de problemas es el punto neurálgico del enfoque

actual de la enseñanza de las matemáticas.

Una de las operaciones básicas es la multiplicación, que es donde se enfocara la

propuesta, en ayudar al alumno con los problemas que tiene la operación de la

multiplicación. Ya que es a partir de este grado cuando los alumnos empiezan a calcular

áreas de rectángulos poco a poco se dan cuenta que existen otros problemas que

también se resuelven con la multiplicación.

Convencionalmente la enseñanza de las operaciones en la escuela primaria se inicia

con el algoritmo y después se aplica en las situaciones problemáticas. La enseñanza

del algoritmo se da casi en forma mecánica, al alumno se le va diciendo paso a paso

como realizar la operación sin que el alumno encuentre ningún sentido o necesidad por

hacerla, ya que no se hace referencia a ninguna situación concreta.

La enseñanza del algoritmo no debería de ser punto de partida, sino de llegada, porque

una operación va más allá de una representación simbólica; su enseñanza debería ser

en otro sentido, con formas de expresión y resolución de problemas reales. Tal vez esto

al alumno le resulte significativo y comprensivo.

Una de las funciones de la escuela es brindar situaciones en las que los niños utilicen

los conocimientos que ya tienen para resolver ciertos problemas, y que, a partir de sus

soluciones iniciales, comparen sus resultados y sus formas de solución. Eso es lo que

la escuela debe de realizar, sin embargo la realidad es otra.

Al docente encargado de la cuestión pedagógica dentro del aula le toca en este sentido,

crear ambientes propicios para el aprendizaje de la multiplicación, donde el alumno

pueda ser capaz de organizar sus conocimientos y habilidades que le permitan

comprender y dar respuesta a los problemas que su medio le plantea o a sus mismas

necesidades.

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Es a partir de segundo grado donde se empieza la introducción al tema de la

multiplicación mediante resolución de problemas, y que al finalizar el ciclo lectivo los

alumnos, tendrían que adquirir y dominar el aprendizaje de las tablas de multiplicar del

1 al 10 para su aplicación en los problemas; más aún, en tercer grado los alumnos

deberían aplicar la multiplicación en el planteamiento y resolución de problemas

diversos, que para los alumnos son difíciles de enfrentar, comprender y manejar sino

han entendido bien el concepto de la multiplicación.

Fernández, Llopis y Pablo (1999) señalan que la multiplicación, aunque se realice de

modo mecánico, exige el aprendizaje memorístico (previo de las tablas), lo que no

siempre consiguen los alumnos con dificultades de aprendizaje o mal aprendizaje de las

mismas. Por lo que es habitual que los alumnos multipliquen consultando las tablas. Este procedimiento dispersa su atención, lentifica la ejecución y corta la continuidad en la realización de la operación.

Es decir, algunos alumnos al no saberse las tablas, confunden la operación y no

deberían tener dificultad en cuarto grado con la multiplicación. Pero la realidad es que

un porcentaje de alumnos tiene problemas al presentársele un planteamiento y

resolución de problemas con este algoritmo, tiene problemas para resolverlos o no

entiende el procedimiento que va a realizar. Pero también es posible que el alumno

tenga problemas con la comprensión del texto, es decir que sencillamente no entiende

lo que se le dice en un problema, y con ello no tiene claro lo que va a realizar. Así

mismo, desencadena con ello la mala ordenación de los datos necesarios para hallar la

solución del problema.

Un ejemplo de ello es cuando al alumno se le dicta “Luís compró 20 lápices y cada uno

le costó 6 pesos. ¿Cuánto pagó en total por los lápices?; el alumno no puede distinguir

qué operación va a realizar. Así como al identificar lo que va a hacer, no lo hace

correctamente ya que acomoda posicionalmente mal los números.

Debiendo haber colocado

2 0X 6

2 0X 6

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También es frecuente que al no ser capaces de retener las unidades que se llevan,

escriban el número correspondiente sobre la cifra del multiplicador que sigue

inmediatamente. Pero además otra dificultad que se presenta reside en que los niños

no tienen una cabal comprensión del Sistema Numérico Decimal, lo cual obstaculiza,

principalmente la adecuada disposición de los dígitos de los productos parciales, por

ejemplo:

En vez de

En este caso, el alumno no comprende que el 72 hace referencia a 720 unidades, en

función de lo cual el hueco corresponde al cero, que se elimina al respetar el valor

posicional en relación al número superior.

Hay alumnos capaces de analizar los problemas y explicar los pasos que hay que hacer

para una solución, pero es mucho más frecuente que no sepan realizarlo o hacerlo

adecuadamente.

Por lo que el problema a trabajar es la enseñanza de la multiplicación, mediante una

serie de actividades y ejercicios que formalmente se deben desarrollar en cuarto grado,

ya que el alumno tiene problema con la aplicación de esta operación en la resolución de

problemas. Los alumnos tienen grandes dificultades para resolver adecuadamente

problemas matemáticos cotidianos que tienen que ver con la multiplicación. Muchas

veces el alumno al realizar el ejercicio, no lee el problema y se precipita a aplicar una

operación aritmética, por lo que no tiene una comprensión y por ende presenta un

desarrollo inadecuado de la operación.

Es importante mencionar que algunos docentes enseñan la multiplicación de un modo

convencional y que a veces dejan fuera recursos y estrategias que le permitirían

apoyarse para lograr un mejor aprendizaje, o simplemente no toman en cuenta estos

aspectos.

2 43 6X

2 43 6X

1 4 427

4 4127

2 1 6 8 6 4

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La forma convencional se caracteriza por un acto de repetición y mecanización, donde

son utilizadas técnicas de repetición para aprender las tablas de multiplicar del 1 al 10, y

después trasladarlos a los planteamientos de problemas donde esta la multiplicación,

sin tener en consideración qué tan significativo es para el alumno y más aún, que tan

importantes le serán las tablas en el transcurso de su vida cotidiana.

En la práctica el alumno tiene problemas para memorizar las tablas de multiplicar, más

aun este problema se ve cuando el alumno tiene que resolver problemas, ya que se le

dificulta demasiado su aplicación. Es decir, lo único que realiza el niño es memorizar y

repetir las tablas, sin que haya un razonamiento y reflexión del mismo. Es un problema

que se arrastra y que se vuelve muy serio ya que en el transcurso de la primaria

tendrán problemas si no resuelven está deficiencia. Más aún, si los niños no tienen la

estimulación contribuirá tener un bajo desempeño académico.

Ávila (2006), menciona que en la enseñanza tradicional, considerada por muchos como

la que describe lo que acontece en las aulas, el profesor tradicional acepta escasas

responsabilidades; transmitir u ostentar las nociones, repetir, ejercitar; quien no asume

la responsabilidad efectiva de que sus alumnos aprendan. Esto también lo podemos

llamar convencional como ya lo habíamos mencionado, pero era necesario explicarlo.

Es importante también decir que la manera de enseñar la multiplicación se inicia con la

mecanización y memorización ya que es necesario tener presente las tablas de

multiplicar para que las utilice en la resolución de problemas. Pero al no comprender

completamente las razones de cada paso, el aprendizaje estará lleno de rigidez, de una

excesiva automatización y carente de significado para el niño, ya que no lo ve como

significativo para su entorno.

En el aprendizaje del algoritmo de la multiplicación suele enfatizarse la memorización

de la técnica y de manera paralela la de las tablas de multiplicar, ocasionando que el

niño no realice un aprendizaje que lo lleve a comprender el significado de las acciones

que esta operación implica.

Por lo general la escuela pone énfasis en la mecanización de los algoritmos, pero esto

no garantiza que el niño pueda aplicarlas en la resolución de un problema, ya que es

necesario comprender las operaciones que tiene que realizar.

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La práctica que realiza la mayoría de docentes es escribir en el pizarrón gráficamente

las tablas, para que los alumnos copien en su cuaderno y repitan cuantas veces puedan

con la finalidad de memorizarlas. Esto no quiere decir que sea una técnica incorrecta

sino que posteriormente al alumno al presentársele planteamientos de problemas no

razona lo que va a realizar y además le cuesta trabajo la comprensión del enunciado del

problema y de su organización para multiplicar los datos que le son dados, así como a

veces cae en el error de acomodarlos incorrectamente como ya lo mencionamos.

Por lo que no hay una reflexión de lo que va a realizar. Esto más lo he observado

cuando a los niños se les presentan una serie de problemas, ya que se realiza a través

de una serie de enunciados, y donde al alumno tiene que identificar la operación que va

a realizar, y más cuando colocan erróneamente los números posicionalmente.

La forma en que se enseña podría estar dificultando el aprendizaje de los educandos,

pues algunos docentes ponen mayor énfasis en que el alumno realice un problema de

forma mecánica, restándole importancia al razonamiento. Esto trae consigo que los

niños no reconozcan la funcionalidad ni la aplicación que les pueden dar las tablas de

multiplicar, ya que al realizar problemas mecanizados no tienen una comprensión y

razonamiento de las mismas.

Es decir, cuando el profesor expone un determinado ejercicio en el cual se debe recurrir

a la multiplicación para llegar al resultado o solución, el alumno no es capaz de

reconocer y distinguir los datos con los que se plantea.

En cuarto grado el alumno debería tener bien entendidas y comprendidas las tablas de

multiplicar, para que cuando resolviera problemas no tenga dificultad, pero lo que se

visualiza es que en su mayoría los alumnos no tienen dominio de las tablas y no

emplean el razonamiento cuando se les presenta un problema, sino que quieren

resolverlo mecánicamente.

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Por lo anterior podemos decir que la multiplicación se ha convertido en una constante

repetición y mecanización de los números y resultados, y que lo idóneo es que el

alumno tuviera la capacidad de analizar, reflexionar y razonar el aprendizaje de la

multiplicación; aun teniendo en cuenta que no es simplemente en el aula donde aplicara

este algoritmo, sino durante toda su vida cotidiana.

Permitiendo consigo que el aprendizaje de la multiplicación se vea como una

mecanización, sino por el contrario, debería convertirse en un proceso de razonamiento

que el educando tiene que construir.

Expuesta anteriormente la problemática, considero importante y necesario tratar de

buscar estrategias que permitan mejorar el aprendizaje de la multiplicación para los

alumnos de cuarto grado.

JUSTIFICACIÓN La finalidad de desarrollar esta propuesta es la de ayudar a los alumnos de cuarto

grado para que adquieran la comprensión y el aprendizaje del concepto de la

multiplicación y lo desarrollen en el aula y en la vida diaria. Es importante decir que la

propuesta se enfoca en multiplicaciones de números naturales.

Con la propuesta se busca que el niño tenga la capacidad de reconocer, plantear y

resolver problemas de multiplicación que se le presenten, en donde se sienta participe

de una serie de actividades que le puedan ayudar. Dado a que la forma de enseñar las

matemáticas tiende a ser repetitiva, mecánica y donde el alumno solo es receptor y no

existe una interacción tan intensa. Es decir, el alumno se limita a ser un sujeto que

recibe información, instrucciones y procedimientos que el docente le da; no tiene

oportunidad de pensar, reflexionar. Dicho lo anterior, se busca lograr que con la

propuesta se permita al alumno tener una interacción y manipulación y ver su impacto

en el desarrollo social y académico.

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Considero que al ayudar a construir el conocimiento sobre este algoritmo, permitiría con

ello mejorar su comprensión y aplicación a los problemas que se le planteen, donde se

desarrolla ésta operación. Más aun si consideramos que es por medio de la

computadora donde el alumno tiene una libertad de hacer lo que quiera sin que exista

una presión del docente.

También se realiza para apoyar a los docentes, para que tengan una herramienta

didáctica que les permita enseñar la multiplicación, procurando con ello desarrollar el

tema sin dificultad, evitando que se realice memoristicamente, sino que el alumno

construya su propio conocimiento de este algoritmo, logrando que desarrolle la reflexión

y el razonamiento en el aprendizaje de la multiplicación.

Además de ello creo que también es personal, ya que me permitirá construir una serie

de conocimientos que me permitan desarrollarme profesionalmente y así mismo

contribuir a la educación primaria.

OBJETIVOS DE LA PROPUESTA.

1. Proporcionar por medio de la computadora diversas estrategias didácticas, que

coadyuven a fortalecer el aprendizaje de la multiplicación en alumnos de cuarto grado

de primaria.

2. Despertar el interés de los educandos para que resuelvan diversas multiplicaciones

por medio del algoritmo.

3. Construir una serie de ejercicios de multiplicación para que el alumno mejore sus

conocimientos sobre el terma.

4. Proporcionar a los docentes una herramienta computacional que les ayude a impartir

la enseñanza de la multiplicación.

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1. LA ENSEÑANZA Y EL APRENDIZAJE DE LA MULTIPLICACIÓN DESDE EL PARADIGMA CONSTRUCTIVISTA.

En la vida del ser humano siempre han estado presentes las matemáticas, y han sido

producto de la interacción con su realidad. Muchos desarrollos se han logrado a partir

de esta disciplina, donde además se han resuelto problemas de gran trascendencia

para la humanidad, por lo que es una disciplina tan importante para el ser humano, que

sin ella no se podría simplemente contar o medir o resolver cierto tipo de problemas que

al hombre se le han presentado. Actualmente debe ser vista la enseñanza de las

matemáticas como un instrumento que permita explicar, interpretar y comunicar las

diferentes situaciones de la vida.

Por lo que las matemáticas se han convertido en un mecanismo medular para la

sociedad contemporánea, esto ha permitido enfrentar los nuevos desafíos del mundo

actual, para ello es importante desarrollar estrategias que permitan al docente mejorar

su enseñanza-aprendizaje en esta materia.

Son tan importantes que permiten resolver problemas en todas las áreas y ámbitos

donde está presente el hombre, tales como tecnológico, científico y en la vida cotidiana,

utilizando diferentes estrategias o procedimientos. Aunque si bien todas las personas

construyen conocimientos fuera de la escuela (no convencionales) que les permiten

enfrentar dichos problemas aun cuando algunas veces sean lentos y entretenidos, esos

conocimientos no bastan para actuar eficazmente en la práctica diaria.

Por lo que contar con las habilidades, conocimientos y formas de expresión que la

escuela (convencional) debe proporcionar, permite que se tenga una mejor

comunicación y entendimiento de la matemática y de sus problemas. En matemáticas

es muy importante la relación de los aprendizajes con la vida real de los alumnos. El

acercamiento a los contenidos matemáticos se facilita con el apoyo de actividades

prácticas y en la manipulación de objetos concretos, por lo que la propuesta está

dirigida a que el alumno realice actividades relacionadas con su modo de vivir y por otro

“Las matemáticas son uno de los instrumentos más poderosos que ha creado el hombre para formalizar su pensamiento”

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lado que tenga la visualización de objetos concretos, para que tenga un mejor

entendimiento.

Es importante señalar que con todo lo anterior queda de manifiesto que las

matemáticas deben ser una herramienta útil para los alumnos, haciendo uso de sus

conocimientos previos y generando sus propios recursos podrán enfrentar y resolver

situaciones problemáticas que se les presenten. Porque son las experiencias e

interacción con su medio, las que promueven la construcción de su conocimiento.

La Secretaría de Educación Pública (1993), considera que una de las funciones de la

escuela es brindar situaciones en las que los niños utilicen los conocimientos que ya

tienen para resolver ciertos problemas. Es decir, para los alumnos las matemáticas

serán una herramienta funcional y flexible que les permitan resolver problemáticas que

se les presenten en su acontecer diario, por lo que esta propuesta está encaminada a

coadyuvar al alumno en el aprendizaje del concepto de la multiplicación y pueda

aplicarlo en la resolución de problemas, para que con ello tenga la posibilidad de

construir sus propios planteamientos o pueda resolver los que se le presentan en su

vida cotidiana. Así mismo despierten su interés y su deseo de búsqueda de soluciones

y disfrute al realizar esta operación, desarrollando su creatividad e imaginación.

Vergnaud (2000), hace referencia que partir de un material concreto para enseñar la

multiplicación significa introducir la multiplicación como adición reiterada de una misma

cantidad y, por consecuencia, hacer del multiplicando una medida y del multiplicador un

operador.

Si bien es cierto que convencionalmente en la escuela, la forma en que se introduce a

la multiplicación es por medio de la adición abreviada como lo dice Vergnaud, donde el

multiplicando es una medida y el multiplicador un simple operador. Por ejemplo 3 x 4, es

enseñado 3 veces 4; donde el 3 es la representación de la medida; y el 4 un número sin

dimensión. Esto si bien se hace en el aula, no aplica a todas las propiedades de la

multiplicación, las cuales se abordarán dada a la importancia que tienen.

La multiplicación es un concepto difícil de comprender, aun cuando el alumno ya haya

captado la suma. A partir de ejemplos extraídos de la naturaleza, puede mostrarse

cómo se multiplican las cosas. De tal manera, multiplicar constituye la forma más rápida

de sumar. Sin embargo, a veces como docentes convencionalmente la utilizamos para

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introducir a los alumnos a la multiplicación. Es decir, cuando los sumandos de una

suma son iguales, podemos abreviar la operación recurriendo a la multiplicación.

Suma = 3 +3 + 3 + 3 = 12

Producto = 4 veces 3 = 12

El modo convencional para enseñar y aprender la multiplicación debe ser introducida,

didácticamente como una suma de sumandos iguales. No obstante, una suma no es

una multiplicación. Como se puede apreciar la suma es utilizada para realizar la

multiplicación, siempre y cuando los sumandos sean iguales. Pero cuando se enfrenta

el alumno a otros problemas más complejos donde se involucra este concepto, se le

dificulta resolverlo.

Creo que uno de los problemas que se presenta en el aprendizaje de las matemáticas

se refiere a las cuatro operaciones básicas pero especialmente para la propuesta nos

enfocaremos en la multiplicación. Y bajo esto hay que considerar dos cuestiones

fundamentales.

Una vinculada a la comprensión de lo que es la operación, y otra a la mecánica de la

misma, es decir, cómo debe hacerse.

En cuanto a la comprensión del significado de la operación, es preciso que el niño

previamente haya comprendido en la práctica, a través de actividades manipulativas,

con material estructurado o no, lo que significa la operación: en este caso es multiplicar.

En cuanto a la mecánica de la operación, el niño deberá aprender una serie de reglas

que serán tanto más difíciles cuanto menos interiorizadas tenga las nociones anteriores,

y que abarcan, la estructura espacial de esta operación, ésta se refiere que en la

multiplicación hay que recorrer las cantidades una columna hacia la izquierda en cada

fila, los automatismos para llegar al resultado, hay que aprender las tablas con el

esfuerzo de atención y memoria que esto supone, especialmente para la tabla de

multiplicar, y además, el orden que hay que seguir, por dónde empezar cada operación,

dónde colocar los resultados, cómo expresarlos de forma abreviada y en sentido

horizontal. Por ejemplo al realizar una multiplicación debería saber ya el alumno todos

estos mecanismos, pero la realidad es que hay muchas deficiencias en ese sentido.

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Con la propuesta computacional para fortalecer el aprendizaje de la multiplicación en

alumnos de cuarto grado el niño no sólo deberá saber cómo se realiza la operación de

la multiplicación, sino además se intentará enfocarla para su vida cotidiana y aplicarla

en la resolución de problemas que se le presenten día con día, por ejemplo cuando va

de compras. Esto conlleva saber el valor de cada uno de los productos que va a

comprar así como la operación que va a realizar.

1.1 LA MULTIPLICACIÓN EN LA ESCUELA PRIMARIA. La multiplicación debe entenderse como una operación aritmética entre números

naturales; se expresa con el signo por (x) y con el cual se asocia un par de números;

ahí que se conciba como una aplicación entre el conjunto N X N de parejas ordenadas

de números naturales y el propio conjunto de N, por ejemplo:

N X N N

3 X 4 12

Es decir, existe una cantidad (multiplicando) que es transformada por otra cantidad

(multiplicador) que señala el número de veces que se repite la primera. Multiplicar

quiere decir encontrar a partir de dos números, un tercero que contenga uno de estos

números tantas veces como unidades haya en el otro.

Pero también, la multiplicación puede ser vista como una operación aritmética que se

puede explicar como una manera de sumar números idénticos, es decir, un número se

suma consigo mismo varias veces, a esto se le ha llamado suma repetida. Por ejemplo

la expresión 4 x 3 significa que 4 se ha de sumar consigo mismo 3 veces.

4 Representa el número de veces que se repite el número 3. 3 + 3 + 3 + 3 = 12 Es Importante decir, que al resolver este tipo de operaciones, el niño debe iniciar

manipulando objetos de su entorno como menciona Piaget dentro del estadio de las

operaciones concretas, hasta comprender lo que está haciendo y lograr encontrar el

interés de las actividades que realiza en el aula para que pueda aplicar en su vida

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social. El alumno necesita de materiales que lo estimulen a manipular, ordenar, contar,

contrastar, construir.

La multiplicación es una operación independiente que opera contrariamente a la suma,

Gómez (1991) nos hace notar que la escuela suele enseñar la multiplicación como una

suma abreviada, pero que al sumar, por ejemplo, 3+3+3+3 o multiplicar 4x3, así como

multiplicar 4x3 o 3x4 si bien es lógico y claro para el adulto, para el niño no lo es tanto

puesto que, desde un punto de vista epistemológico y psicológico, la construcción de la

operación de multiplicación comporta un proceso (En cuanto a abstracción

reflexionante) de un mayor nivel de complejidad que el de la adicción.

Gómez (1991) explica que desde hace tiempo se sabe que esta afirmación es falsa, ya

que no se puede identificar la multiplicación con la suma reiterada, sin embargo, los

docentes es la forma que utilizan para la introducción de esta operación. Pero además

la manera en que se ha enseñado la multiplicación en la escuela ha sido de una

manera convencional, ya que se pone énfasis en la mecanización de la multiplicación,

pero esto no garantiza que el niño pueda aplicarlo en la resolución de problemas, ya

que es necesario comprender bien este aspecto.

Es decir, cuando hablamos de la multiplicación solemos hacer referencia a ésta como

una simplificación de la suma (suma reiterada), esto es, una forma más rápida de

obtener el producto. Muchas de las situaciones multiplicativas se puedan resolver

mediante una estrategia de este tipo, lo cual ha llevado a definirla de esa manera. Pero

como ya se mencionó no es correcto presentarla como una suma reiterada, sino que su

construcción va más allá.

Esto se observa al multiplicar el número cero con un número natural, el cero se

convierte en un elemento absorbente, es decir, que al combinarse con cualquier otro

número lo convierte en sí mismo, por lo que la función del cero en la multiplicación es

exactamente opuesta a la que cumple en el caso de la suma.

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Pero también hay que decir cuando se multiplica el número uno a cualquier número

natural, se obtiene este segundo número. Es decir, que el uno en la multiplicación es un

elemento neutro y cumple la misma función que cumple el cero en el caso de la suma,

por lo que la multiplicación no puede ser vista como una suma reiterada.

A que decir, que dentro del aula, se observa que los alumnos aprenden a multiplicar a

partir del modelo de la suma repetida o reiterada, pero como ya lo explicamos, este

modelo o estrategia no cubre los distintos significados de la multiplicación y los alumnos

presentan dificultad al aplicar la operación. Las limitaciones de este modelo de adición

repetida son evidentes cuando se consideran los diversos significados de la

multiplicación como por ejemplo al realizar la proporcionalidad simple o al realizar

ejercicios donde se desarrollan las medidas.

Cabe señalar que existen diversas propiedades de la multiplicación, pero en la escuela

no se introducen de manera formal, sino se utilizan solamente como herramienta para

realizar, facilitar o explicar cálculos donde se lleva acabo esta operación matemática.

Sin embargo, a continuación se dará un bosquejo de las propiedades de la

multiplicación. Se abordarán la conmutativa, asociativa y distributiva específicamente

con números naturales.

La propiedad conmutativa: En la multiplicación se hace válido el principio que dice “el

orden de los factores no altera el producto”, lo que significa que el multiplicando y el

multiplicador pueden cambiar su función sin que cambie el resultado.

a x b = b x a

4 x 3 = 12 4 x 3 = 3 x 4

Ávila (2006), señala que la propiedad conmutativa se refiere a una cuestión intuitiva y

simple; el hecho de que si multiplicamos, por ejemplo 4 x 3, obtendremos el mismo

resultado que si multiplicamos 3 x 4. Lo mismo ocurre con 7 x 6 y 6 x 7. Como sugieren

estos ejemplos. Si a y b son números naturales, entonces a x b = b x a, como ya se

explico.

19

Vergnaud (2000), explica que esta propiedad de la multiplicación, en el plano numérico

permite perfectamente, que el aprendiz visualice la función que desempeña el

multiplicador y el multiplicando; para lograrlo es necesario tener cierta precaución

pedagógica, para conseguir que los alumnos acepten tal conmutatividad.

4 multiplicando

X3 multiplicador

12 Producto

Es importante decir, que las multiplicaciones mas simples son estas, donde el

multiplicador solo tiene una cifra, ya que el alumno no tiene mucha dificultad para

resolverlas, dado que no implica mayor dificultad en su pensamiento lógico-matemático.

Dado lo anterior se puede decir que la multiplicación es la operación que tiene por

objeto hallar el producto de dos números, un tercero que contenga uno de estos

números tantas veces como unidades haya en el otro. Esto siempre y cuando los

dos factores multiplicando y multiplicador, sean números naturales.

En el caso de los números enteros serán vistas dentro de las propiedades de la

multiplicación que posteriormente se explicaran.

La propiedad Asociativa: Como la multiplicación es una operación binaria, sólo puede

realizarse con dos números al mismo tiempo, pero para encontrar el producto de tres o

más números, es necesario encontrar primero el de dos; por ejemplo, para hallar el

producto de 6 x 5 x 8, primero se multiplica 6 x 5=30; luego se multiplica 30 x 8 y se

obtiene el producto total que es 240.

x 5 x 8 =

(6 x 5) x 8 =

( 30 ) x 8 = 240

20

La propiedad distributiva: Esta propiedad es necesaria a partir del momento en que se

introduce la multiplicación por un número de dos cifras. Por ejemplo 24 x 15, que

verticalmente quedaría así:

24

X 15 (15= 10 +5)

120 (24 x 5) = 120

24 (24x10) = 240

360 360

Esta propiedad debe necesariamente ser explicada a los niños, si se quiere que

comprendan la regla operativa de la multiplicación. Contrariamente a lo que se podría

pensar, dicha regla no esta fuera de la capacidad de los niños, dado a que como

explica Piaget el sujeto entre (7-11 años) se encuentra en el estadio de operaciones

concretas, donde se desarrolla el pensamiento lógico matemático, pero requiere de

ciertas precauciones pedagógicas que el docente debe tener en cuenta para que el

alumno comprenda y haga suyo este concepto de la multiplicación. Sin embargo, la

principal dificultad que se ha observado en la aplicación de esta propiedad no reside

tanto en la distributividad, si no en el hecho de que es el multiplicador el que está

descompuesto aditivamente y no el multiplicando. Es decir, el 15 veces= 10 veces + 5

veces. Ejemplo:

15 15 veces = 10 veces + 5 veces

X3

Dentro de la aritmética también existen procedimientos para simplificar operaciones y

en la multiplicación las tablas de multiplicar es uno de ellos. Las tablas de multiplicar

consisten en adicionar reiteradamente cada dígito en orden progresivo ascendente de

cero a diez veces consigo mismo, y se representan como una adición reiterativa de un

número (multiplicando), tantas veces como lo indique otro (multiplicador) para obtener

un resultado final (producto). Por ejemplo:

21

4 x 3 = 12 Multiplicando Producto. Multiplicador

El aprendizaje de las tablas de multiplicar es asociado habitualmente a la

memorización. Por ejemplo, las tablas se aprendían de memoria ordenándolas

sucesivamente (del 1 al 10), pero esto no garantiza que lo recuerde y comprenda

adecuadamente el alumno como ya se menciono anteriormente.

Esto con respecto a la tabla de multiplicar, pero además en el aprendizaje del algoritmo

de la multiplicación suele enfatizarse la memorización de la técnica y de manera

paralela la de las tablas de multiplicar, ocasionando que el alumno no realice un

aprendizaje que lo lleve a comprender el significado de las acciones que esta operación

implica.

El algoritmo permite resolver, mediante una serie de pasos, una operación aritmética

determinada. Constituye un proceso determinado que puede ser ejecutado y repetido

con el mismo éxito por cualquier persona y permite, además, resolver problemas de un

mismo tipo. Avila (2006), explica que el algoritmo es utilizado en matemáticas para

referirse a los procedimientos que se siguen para resolver una operación con dos

números, cuando el resultado no es evidente de inmediato.

22

1.2. LA ENSEÑANZA DE LA MULTIPLICACIÓN DESDE EL PARADIGMA CONSTRUCTIVISTA.

En este apartado se habla de las dos corrientes pedagógicas que van a soportar la

propuesta “aprendiendo y jugando con la multiplicación”, para iniciar es importante

decir, que la postura constructivista en el aspecto educativo se cimienta bajo diversas

corrientes psicológicas, pero para la propuesta “aprendiendo y jugando con la

multiplicación” solo se enfocara en el paradigma psicogenético de Piaget y en el

aprendizaje significativo de Ausubel. Si bien es cierto son teóricos que tienen

diferencias, ambos comparten la importancia de la actividad constructiva del alumno en

la acción de sus aprendizajes.

De acuerdo con Coll (citado por Díaz Barriga y Hernández 2002), la concepción

constructivista está organizada en torno a tres ideas fundamentales:

1) El alumno es el responsable de su propio proceso de aprendizaje; el educando

reconstruye sus conocimientos; cuando el sujeto está activo es cuando manipula,

explora, descubre o inventa.

2) La actividad mental constructiva del alumno se aplica a contenidos que poseen

ya un grado considerable de elaboración. Es decir, que el sujeto no construye a

cada momento su conocimiento. Ya que el conocimiento es resultado de un

procesos de construcción y hay veces que ya está definido buena parte de este.

3) La función del docente es unir los procesos de construcción del alumno con el

saber colectivo culturalmente organizado; la función del docente no es solo crear

las condiciones para que el alumno realice una actividad mental constructiva,

sino que debe orientar, guiar dichas actividades.

La concepción constructivista establece que el sujeto cognoscente construye el

conocimiento, o sea que cada sujeto tiene que construir sus propios conocimientos y no

recibirlos construidos por otros. La construcción es una tarea individual, o sea, se da al

interior del sujeto y solamente él la puede realizar, aunque no es una actividad aislada,

El principal objetivo de la educación es crear personas capaces de hacer cosas nuevas, no simplemente repetir lo que otras generaciones han hecho. El segundo objetivo de la educación es formar mentes críticas, con capacidad de verificación, que no acepten sin más todo lo que se les da.

Jean Piaget

23

se da conjuntamente con los demás sujetos. Es decir, el conocimiento es resultado de

la reorganización de un conocimiento previo, y de un nuevo conocimiento que es

asimilado-acomodado para que llegue a un equilibrio y con ello un aprendizaje.

Mediante la realización de aprendizajes significativos, el alumno construye, modifica,

diversifica y coordina sus esquemas de conocimiento, que con ello enriquecen su

mundo físico y social.

Esta construcción de conocimiento es un largo y laborioso proceso; no sólo se modifica

lo que ya se tenia como conocimientos previos, sino también se interpreta el nuevo

conocimiento de forma peculiar, de manera que se pueda integrarlo y hacerlo propio.

Cuando se da este proceso, decimos que estamos aprendiendo significativamente,

construyendo un significado propio y personal para un objeto de conocimiento que

existe. Es decir, no es un proceso que conduzca a la acumulación de nuevos

conocimientos, sino a la integración, modificación, establecimiento de relaciones y

coordinación entre esquemas de conocimientos que uno posee y que son modificados

con la nueva información que se tiene.

El aprendizaje de la multiplicación y de las tablas de multiplicar es un hito para todos los

estudiantes de educación básica. Tradicionalmente la multiplicación y las tablas de

multiplicar se han enseñado de modo memorístico, aunque con la revolución de las

matemáticas modernas se están implementando nuevos métodos de enseñanza para el

aprendizaje de las mismas.

Entre memorizar y aprender hay una gran diferencia, porque si el alumno memoriza no

aprende, mientras que sí aprende cuando se pone de relieve el proceso de

construcción de significados como elemento central del proceso de enseñanza y de

aprendizaje; el alumno aprende un contenido en este caso la multiplicación cuando es

capaz de asignarle un significado. Cuando el alumno no puede atribuirle significado

alguno, se dice, entonces que es un aprendizaje puramente memorístico. Porque el

contenido lo repite o lo utiliza mecánicamente sin entender en absoluto lo que dice o

hace.

Piaget (citado por Tovar 2001) explica que el sujeto construye su conocimiento y lo

transforma sin cesar, en relación con el mundo que le rodea, cambiando a la vez su

manera de pensar. Esto se puede transpolar al ámbito educativo y decir que el alumno

24

explora activamente su entorno, creando a partir de sus acciones, estructuras internas

que le permiten ir conociendo el mundo de forma cada vez más estable y objetiva, con

ello va construyendo su conocimiento. Es importante decir, que el niño para entender y

aprender también está influido y determinado por el medio en el que se encuentra. Es

un sujeto que manipula, explora, descubre o inventa con su entorno y los objetos que lo

rodean.

Es necesario tener en cuenta que los niños no son entes pasivos y contemplativos y

menos, que el conocimiento sea innato, ya dado en el niño con anterioridad a la

experiencia, sino todo lo contrario éste conocimiento es producto de una interacción

constante entre el sujeto y el objeto. Según la posición constructivista, el conocimiento

no es una copia fiel de la realidad, sino una construcción del ser humano. Es decir, la

construcción del pensamiento ocupa el lugar más importante.

Piaget, (citado por Tovar 2001) explica que el conocimiento se va construyendo, y por lo

tanto, el desarrollo cognitivo es también una larga y continua construcción de formas

nuevas de conocimiento, las cuales no están presentes en el sujeto (como ocurre con

los reflejos) ni están en el entorno (ya sea en los objetos o en formas transmitidas social

y culturalmente). Hay que entender como docentes que la adquisición del conocimiento

es un proceso continuo. Es decir, el conocimiento no es una copia de la realidad,

conocer un objeto no es simplemente verlo, y hacer una copia mental de él, es actuar

sobre el objeto, donde haya una manipulación o transformarlo.

Por lo que los maestros deben dejar de transmitir conocimientos a los alumnos en

formas preestablecidas y en vez de eso, fomentar su propio proceso constructivo; la

función del maestro desde la perspectiva piagetiana es ayudar al niño a construir su

propio conocimiento guiándolo para que esa experiencia sea fructífera, no es transmitir

conocimientos ya elaborados para vertirlos sobre el alumno (CONALTE, 1993).

Piaget, (1969) postuló que el desarrollo cognitivo tiene lugar a través de una secuencia

de etapas desde la infancia hasta la juventud. El desarrollo intelectual se manifiesta en

cuatro etapas y varias subetapas, pero cabe mencionar que en distintas oportunidades

Piaget formuló sus etapas de manera diferente a las que a continuación se mencionan,

pero no se trata de una discrepancia porque igualmente las divisiones se refieren a las

mismas observaciones.

25

Piaget, (citado por Tovar 2001) distinguió cuatro estadios o períodos de desarrollo; cada

una de estas etapas tiene características muy específicas. Pero para esta investigación

es relevante el tercer estadio, que es el de las operaciones intelectuales concretas

(aparición de la lógica) y de los sentimientos morales y sociales de cooperación. La

edad en que se presenta en los niños es de los 7 a los 11 años.

De acuerdo con Piaget, las capacidades del niño para entender, aprender y por

supuesto la forma en que el niño ve el mundo como totalidad, están determinadas por el

estadio particular de desarrollo en el que se encuentra, por lo que se describen a

continuación los cuatro estadios que establece, los cuales tienen características

propias.

1- Sensoriomotriz (desde el nacimiento hasta el año y medio y los dos años), en

el transcurso del cual se organizan los esquemas sensorio-motores hasta llegar a actos

de inteligencia práctica por comprensión inmediata (utilización del palo, del hilo, etc.) y

las subestructuras prácticas de las futuras nociones (esquema del objeto permanente,

de los desplazamientos espaciales, causalidad sensorio-motriz, etc.)

2- Preoperacional (de dos a siete años), que se subdivide en preconceptual

inicial (de dos a cuatro años) e intuitiva final (de cuatro a siete años) un periodo que

comienza con la aparición de la función semiótica (lenguaje, símbolos del juego,

imágenes).

Los niños entre las edades de los siete y los once años de acuerdo a los postulados de

Piaget, se encuentran en el periodo de las operaciones concretas. Es decir, pasaron de

un pensamiento preoperacional al de operaciones concretas.

3- Operacional concreta (de siete a once años), el niño experimenta una serie de

fenómenos como: se interesa por el origen o causa de los hechos; ubica la posición

espacial; adquiere el concepto de la conservación numérica y entiende las operaciones

inversas; y puede dar diversas soluciones a un mismo problema ya que su pensamiento

es más lógico.

Pero además, es capaz de realizar acciones mentalmente, es decir, son

definidas como acciones interiorizadas, reversibles y coordinadas entre sí. Se puede

decir, que el niño deja de ser intuitivo, egocéntrico y desarrolla un pensamiento más

lógico, lo que permite que pueda plantear y resolver problemas de tipo concreto.

26

Son reversibles en el sentido que puede regresar al inicio de la actividad que

inició. Por ejemplo cuando el niño de estas edades despliega una operación (suma dos

números, reúne varios objetos por su semejanza o compara un objeto menor con otro

mayor) es capaz de desplegar la operación en sentido contrario (resta un número de

otro, quita objetos, compara el mayor con el menor). Por lo que la reversibilidad del

pensamiento es fundamental.

Los niños en esta etapa pueden operar en pensamiento, lo que significa que pueden

reemplazar las acciones reales por acciones virtuales. Pero si bien ya lo hacen es

preciso tener en cuenta que los niños necesitan todavía la presencia concreta de los

objetos para poder razonar.

También en este estadio aparecen operaciones como las siguientes: clasificaciones,

seriaciones, correspondencias y número que realizan los niños, los cuales se manejan

sobre objetos concretos. La clasificación se refiere a las relaciones entre objetos,

semejanzas y diferencias de equivalencia. Desarrollar la destreza de clasificación es

fundamental en este estadio, ya que el niño a través de esta puede clasificar objetos

sobre la base de combinaciones complejas de muchas dimensiones como su color,

forma, tamaño o peso; seriación entendida como la cantidad y correspondencia de

grupo; conservación vista como poder concluir que un número dado de elementos es

independiente a la configuración perceptiva de estos. Por ejemplo, los dedos de las

manos tendrán igual número de dedos independientemente si están juntos o

separados.

Piaget (citado por Avila, 2006), menciona que el niño no aprende los signos

convencionales mediante la asociación con objetos, sino mediante la asimilación. Los

niños de esta etapa asimilan los signos a las ideas que han construido mediante la

abstracción reflexionante. Es decir, cuando el niño todavía no puede construir una

relación de jerarquía, asimila 3 X 4 =12 pero tiene que ser por medio de objetos

concretos. Posiblemente esta aquí una de las dificultades y me refiero que a lo largo de

todo el proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas afloran dificultades que

unas veces son consecuencia de aprendizajes anteriores mal asimilados.

Podemos decir que alrededor de los siete años comienza este estadio, donde la

característica principal consiste en que el niño es capaz de pensar lógicamente ante los

27

objetos físicos. El sujeto interviene activamente para aprender y modificar al medio y

modificarse a sí mismo. El niño es capaz de manejar conceptos abstractos como los

números, se caracteriza por un pensamiento lógico, es decir trabaja las operaciones

lógicas, pero siempre utilizando símbolos referidos a objetos concretos y no abstractos.

La principal limitación de los niños de este estadio es que sólo pueden resolver

problemas sobre la base de la experiencia que en realidad han tenido sobre objetos

concretos, ya sea objetos físicos, biológicos, morales o afectivos. Y aún no pueden

resolver problemas abstractos (hipótesis o enunciados formales) como ya se mencionó,

ya que será parte del pensamiento hipotético-deductivo propio de los adolescentes.

El niño de 6-12 años en este estadio desarrolla un razonamiento lógico-concreto, tiene

además la capacidad de inducir de lo particular a lo general y de lo general a lo

particular; entiende que las operaciones pueden invertirse o negarse mentalmente, ya

no basa su juicio en la apariencia de las cosas, como ya mencionamos anteriormente,

ya tiene la capacidad de clasificar; de utilizar el conteo y la seriación.

Estas operaciones mentales proporcionan al niño, entre los 7 y 11 años, la capacidad

de entender nociones de conservación. Por ejemplo, que la cantidad de líquido

contenida en un recipiente con una capacidad determinada es la misma que hay en otro

recipiente, con la misma capacidad aunque el recipiente tenga formas distintas. Es

decir, que modificar la apariencia de algo no modifica sus restantes propiedades. Esta

propiedad se le llama conservación.

Para entender esto, el niño tiene que representar o interiorizar la transformación al

pasar el líquido de un recipiente a otro, y al revés, por lo cual implica una reversibilidad.

Cabe señalar que, aunque el niño durante este periodo puede resolver correctamente

problemas de conservación, su pensamiento, se califica como concreto porque todavía

necesita la experiencia sensorial directa para resolver esta clase de problemas, lo que

es importante que en el aula el alumno conozca los objetos y los manipule, así los

podrá llevar al plano cognitivo y lo interiorizará, dando como resultado que sea

significativo ese aprendizaje.

Las operaciones del pensamiento son concretas porque sólo alcanzan a la realidad

susceptible de ser manipulada o la posibilidad de recurrir a una representación viva.

28

Los conceptos de espacio, tiempo y velocidad, constituyen un proceso complejo y lento

en su adquisición; el único espacio que existe es el ocupado por un objeto, el tiempo lo

entiende al representar recorridos.

En este periodo (7-11 años), también se desarrolla la base lógica de la matemática, lo

que es importante ya que la propuesta que se va a desarrollar está enfocada a alumnos

de 9 a 10 años. La lógica matemática es explicada bajo una forma de una serie de

esquemas lógicos. Es decir, antes de que el niño haya desarrollado los conceptos

fundamentales del número, puede memorizar 1+1=2, eso lo realiza por mecanismos de

asociación de memoria. Cabe señalar que este tipo de aprendizaje está al margen de

las estructuras mentales o esquemas. Y si esto lo trasladamos a la multiplicación,

también el niño aunque no tenga bien entendida la multiplicación puede hacer ese

mecanismo, esto no quiere decir, que lo comprenda y que lo interiorice.

Avila (2006), señala que se entiende como el concepto de número a la cantidad de

elementos que integran un grupo o conjunto, por ejemplo: pelota, bicicleta son los

juguetes de Jorge; por tanto, Jorge tiene 2 juguetes, es el numeral 2 que nos

proporciona la idea de cantidad.

Una vez elaborado el concepto del número, el aprendizaje del 1+1= se integra a los

esquemas matemáticos y sobreviene el aprendizaje con comprensión. Y esto también

se da con el aprendizaje del concepto de la multiplicación. Para lograr esto, es

conveniente la construcción del concepto de número y para ello se requerirá en primer

momento realizar acciones físicas, es decir, a través de objetos, donde el niño pueda

juntar, ordenar y manipular. Por lo que la propuesta está diseñada para trabajar con

objetos para que el niño comprenda lo que está realizando y poco a poco ir retirándolos

ya que haya comprendido e interiorizado el concepto, ya que el aprendizaje en esta

etapa comienza siempre en el nivel concreto, después pasa al semiconcreto, simbólico

y finalmente a los niveles abstractos.

Avila (2006), explica que si los niños han construido la idea de la multiplicación,

mediante la abstracción constructivista, representarán este esquema para si mismos

con el numeral o un dibujo como ya se mencionó, por lo que la propuesta está enfocada

a enseñarle al niño a través de este enfoque, es decir, primero lo concreto y poco a

poco irlo llevando a lo abstracto.

29

4 - Operacional formal final (de once a dieciséis años) está caracterizada por la

liberación del sujeto ante la dependencia de lo concreto, es capaz de razonar sobre los

hechos, así como también sobre hipótesis propias del pensamiento.

Las etapas anteriores constituyen un proceso secuencial, pues no es posible

llegar a las operaciones concretas sin pasar por una preparación sensorio-motriz, es

decir, esta secuencia de etapas y subetapas en la que cada una es necesaria y en la

que cada una es resultado necesariamente de la anterior excepto la primera, y dichas

etapas preparan para la siguiente excepto la última, dicho de otra manera, la etapa

inferior está coordinada e integrada a la etapa próxima superior.

También es necesario señalar que para que podamos hablar de estadios hace

falta, según Piaget, cumplan tres condiciones: El orden de sucesión de los estadios

debe ser constante para todos los sujetos, esto quiere decir que no se pueden saltar un

estadio sin que se haya concretado el anterior; un estadio ha de poder caracterizarse

por una forma de organización (estructura de conjunto): y por último la maduración, la

experiencia con los objetos y la experiencia con las personas son imprescindibles para

explicar el desarrollo. Pero para lograrlo es necesaria la equilibración, lo cual permite

asegurar un equilibrio de los intercambios entre sujeto y medio ambiente.

Considera el aprendizaje como un proceso evolutivo que se logra mediante el

equilibramiento, que para él es una herramienta mental para coordinar la maduración, la

experiencia física y la experiencia social del individuo. Piaget, (citado por Ausubel y

Sullivan, 1997) postula cuatro factores principales para explicar el paso de una etapa a

otra:

1) la maduración, la cual determina las posibilidades e imposibilidades en una etapa

dada, para que esas posibilidades se concreten; es indispensable la presencia

de un ambiente social particular, es decir, su concreción puede acelerarse o

retardarse en función de las condiciones culturales y educacionales.

2) La interacción social, la cual concreta el desarrollo de las etapas por medio de la

transmisión, en el amplio sentido del lenguaje y educación.

3) La experiencia física, consiste en actuar sobre los objetos y extraer algún

conocimiento de ellos, dicho conocimiento es derivado de las acciones

efectuadas sobre él.

30

4) Equilibración, considerada por Piaget como la más importante que incluye a

todas las demás, y definida como la organización interior progresiva del

conocimiento de un modo gradual. La organización comprende la constante

reorganización e integración de lo que Piaget denomina esquemas que son tipos

de programas o estrategias que el individuo tiene a su disposición cuando

interactúa con su ambiente.

Este proceso se puede representar cuando el niño pone en entredicho sus esquemas

mentales previos; en ese instante el niño requiere de crear otro nuevo esquema

integrando datos nuevos al conocimiento anterior (asimilación) y alterando sus

categorías básicas de pensamiento o acciones (adaptación). Para lograrlo, es necesario

considerar tres elementos que según Piaget son fundamentales, la asimilación, la

acomodación y el equilibrio.

La adaptación comprende dos procesos invariables: la asimilación y la

acomodación.

La asimilación es la acción del sujeto (organismo) sobre los objetos que lo

rodean (medio ambiente), para incorporarlos a los esquemas de interacción del sujeto

(conducta). Por lo que podemos decir, que la asimilación es considerada como el

proceso por el cual el sujeto incorpora la nueva información haciéndola parte de su

conocimiento.

La acomodación es el cambio en las estructuras intelectuales (esquemas) que

son necesarias para que el individuo se ajuste a las exigencias del ambiente. Esta

también es entendida como el proceso mediante el cual la persona transforma la

información que ya se tiene en función de la nueva que le es proporcionada.

La interacción de estos dos procesos (asimilación y acomodación) da como

resultado un proceso de equilibrio.

El equilibrio es un factor interno, es decir, es un proceso de autorregulación.

Implica también una estabilidad entre los dos procesos invariables de asimilación y

acomodación. Cuando se produce un desequilibrio, el organismo se ve forzado a

modificar sus esquemas (estrategias) para adaptarse a las demandas del ambiente

(adaptación). Cuando el organismo trata de ajustarse al medio con esquemas

preexistentes, se dice que opera la asimilación. La desequilibración o inestabilidad se

31

produce cuando la asimilación no tiene éxito. La acomodación es el resultado de la

desequilibración, siguiendo luego la alteración o aparición de nuevos esquemas.

El niño no solo asimila experiencias en su entorno existente, sino que también

acomoda las estructuras que da como resultado de su experiencia.

Tovar (2001), señala que el conocimiento es explicado por la función adaptativa

de los sujetos en su interacción con el medio. A través de los esquemas, quedan

asimilados los nuevos aspectos de la realidad, y en caso de dificultad de encaje, se

produce el equilibrio necesario que suscita la modificación de esquemas (estrategias),

hasta lograr su acomodación.

La conducta humana está gobernada por representaciones internas conocidas

como esquemas o unidades de conocimiento, cuyo incremento se puede representar

mediante una gran espiral, en donde cada círculo o esquema es más amplio que el

anterior. En cada uno de los niveles se produce un estado de equilibrio. Es decir, los

nuevos esquemas descansan sobre la base de los anteriores, y los conocimientos

aparecen organizados jerárquicamente.

En la vida, el ser humano constantemente se adapta al medio a través de las

funciones de asimilación y acomodación, estos movimientos se repiten constantemente

y esta repetición tiene como resultado facilitar la adaptación. Los esquemas se pueden

automatizar y de esta manera las acciones se realizan rápidamente, así también se

pueden modificar y cada modificación de un esquema provoca una acomodación que

permite la asimilación de situaciones más complejas. La generalización de dichos

esquemas se traducirá en un aprendizaje real y significativo. Pero además hay que

considerar que el aprendizaje es un proceso interno, por lo tanto, no se puede observar.

El estudiante demuestra cuando aprende a través de sus conductas, éstas si se pueden

observar. Pero, el aprendizaje es un proceso interno que no puede ser programado

desde afuera para ayudar a los estudiantes a comprender y aprender un tema. Lo que

sí se puede hacer es estimularlo disponiendo las condiciones externas esenciales para

que este proceso se produzca

Bajo esto y dentro del aula el alumno no copia la realidad tal como se le

representa a sus sentidos, ya que es capaz de relacionar e interpretar la información

32

que le llega del exterior y adaptarla a su marco de referencia intelectual, construyendo

así su propio conocimiento

Cuando los esquemas son aplicados a situaciones idénticas, lo único que el

sujeto tiene que hacer es repetir el esquema y de este modo la acción se automatiza, lo

importante es que los esquemas se pueden aplicar a situaciones diferentes.

Los niños de cuarto grado de primaría se encuentran en la etapa de las

operaciones concretas. En esta etapa el niño alcanza formas de organización de su

conducta muy superior a la que le antecede. El tipo de organización que el niño logra en

esta etapa le permite entender mejor las transformaciones. Para llegar a comprender la

realidad es necesario que el niño construya representaciones adecuadas de ella,

alejándose de los datos que recibe a través de la percepción. La organización mental

que el niño ha alcanzado en este periodo de desarrollo son las clasificaciones,

seriaciones y la noción de número.

El niño, a partir de las experiencias que va teniendo con los objetos de la

realidad, construye progresivamente su conocimiento por lo que es importante tomar en

cuenta que la relación sujeto-objeto es fundamental ya que el niño desde muy pequeño

y en forma gradual va construyendo su conocimiento al interactuar con el mundo que lo

rodea y puede considerarse el conocimiento bajo tres dimensiones (Piaget, 1995):

o El físico que resulta de la construcción cognoscitiva de las características de los

objetos; tamaño, color, forma, estructura.

o El conocimiento social que es producto de la información recibida en la interacción

del sujeto con el mundo que le rodea, el que le permite saber el nombre

convencional que se le ha asignado a cada cosa según el contexto.

o El conocimiento lógico-matemático que no está dado con exclusividad directa por

los objetos sino por la relación mental que el sujeto establece entre ellos y las

situaciones.

33

Por lo tanto, el niño comienza a ser capaz de manejar las operaciones lógicas

esenciales, pero siempre que los elementos con los que se realicen sean referentes

concretos, no símbolos de segundo orden, entidades abstractas como las algebraicas,

carentes de una secuencia directa con el objeto (Delval, 1994). Solo el conocimiento

operativo permite comprender las transformaciones de forma, sin que pueda reducirse

al conocimiento figurativo. Éste puede servir de apoyo a la comprensión, es decir, si el

niño interactúa con objetos concretos, le ayudará a razonar y comprender el

conocimiento que se le presente a diferencia de presentarle únicamente el conocimiento

simbólicamente.

La práctica docente, por parte de algunos maestros en el proceso de enseñanza

aprendizaje no toma en cuenta estos aspectos y obliga al niño a repetir y mecanizar

números pensando que son conceptos que el alumno debe aprender únicamente en la

escuela.

Es un grave error pensar que el niño adquiere la noción de número y otros

conceptos matemáticos exclusivamente en la escuela, ya que en la vida cotidiana el

niño se enfrenta a situaciones reales donde en forma espontánea adquiere experiencias

que le hacen reflexionar y apropiarse de conceptos matemáticos atravesando por un

proceso de construcción del conocimiento, similar al proceso histórico de las

matemáticas, las cuales a pesar de ser abstractas, tienen su origen en lo concreto.

El niño para que pueda construir el concepto de número debe construir como

prerrequisito, relaciones lógicas, correspondencia uno a uno, seriación, clasificación,

conservación de cantidad. Por tal motivo tratar de imponer el aprendizaje de conceptos

matemáticos al niño antes de tiempo es un error, esto sólo lleva a la memorización y

mecanización de los mismos, pues el verdadero aprendizaje se propicia únicamente

con el desarrollo mental, el cual obedece a la construcción del conocimiento.

34

1.3 PROCESO DE APRENDIZAJE EN LOS NIÑOS. Dentro de la postura constructuvista se rechaza la concepción del alumno como un

mero receptor o reproductor de los saberes. Sino más bien, el alumno es el que

construye su conocimiento y su proceso de aprendizaje. Él es quien construye los

saberes, convirtiéndose en un sujeto activo que manipula, explora, descubre, o inventa.

En la escuela se puede observar esto, dado que los niños aprenden en la práctica de

forma intuitiva o en situaciones que se les presentan dentro del aula, lo interpretan, lo

estructuran y lo asimilan formando su conocimiento.

La psicología genética en la educación está centrada en los métodos activos basados

en el alumno; señala que el alumno tiene un lugar protagónico y central en las

actividades; la tarea docente estaría, hasta cierto punto, subordinada al diseño de ese

contexto constituido por situaciones y experiencias. La presente propuesta está

enfocada a que el alumno desarrolle y adquiera habilidades relacionadas con el

concepto de la multiplicación y en la resolución de problemas donde esta presente esta

operación y no solo la habilidad de memorizar y mecanizar los procesos de la

multiplicación. Esto no quiere decir, que no funcione la memorización y mecanización,

sino más bien que el alumno entienda cómo se realiza éste, comprenda, reflexione,

sobre el concepto de la multiplicación.

Bajo este paradigma enseñar es plantear problemas a partir de los cuales sea posible

reelaborar los contenidos escolares y es también proveer toda la información necesaria

para que los alumnos puedan avanzar en la reconstrucción de esos contenidos.

Enseñar es promover la discusión

Es brindar la oportunidad de coordinar diferentes puntos de vista.

Es orientar hacia la resolución cooperativa de las situaciones problemáticas

Es propiciar redefiniciones sucesivas hasta alcanzar el conocimiento.

El niño actualmente debe implicarse en la construcción de su propio conocimiento, que

se generará como consecuencia del procesamiento de la nueva información a partir de

otros conocimientos anteriores, y deja de ser un mero receptor pasivo de la información,

convirtiéndose en un sujeto constructor de su conocimiento.

35

La función del docente es engarzar los procesos de construcción del alumno con el

saber colectivo. Es decir, el maestro no solo se limita a crear condiciones óptimas para

que el alumno despliegue su actividad, sino que deba orientar y guiar explicativamente

y deliberadamente dicha actividad.

C. Coll (citado por Fernández, Lopis y Pablo 1999), pues explica que la concepción

constructivista se caracteriza por situar la actividad mental constructiva del alumno en

base a los procesos de desarrollo personal que trata de promover la educación. Esto

mediante una serie de aprendizajes significativos, el alumno construye, modifica,

diversifica y coordina sus esquemas de conocimiento, estableciendo de este modo

redes de significados que enriquecen sus conocimientos.

Díaz Barriga y Hernández (2002), explican que el Aprendizaje Significativo es aquel que

conduce a la creación de estructuras de conocimiento mediante la relación sustantiva

entre la nueva información y las ideas previas de los alumnos.

Las estructuras están integradas por esquemas de conocimiento, son abstracciones

que los individuos hacen a partir de objetos, hechos y conceptos y de su interacción que

se realicen entre estos. Más aún, los esquemas no solo son una asimilación de la nueva

información, sino que implican una modificación, reestructuración de las nuevas

relaciones y conexiones que aseguren el significado de lo aprendido.

El aprendizaje significativo es aquel en el que la nueva información (conocimiento) se

relaciona de manera sustantiva, es decir, no arbitraria, no al pie de la letra, con los

conocimientos que el alumno ya tiene, produciéndose una transformación de los propios

conocimientos que ya tenía con los nuevos. El aprendizaje, desde esta concepción,

debe ser una actividad significativa para la persona que aprende y dicha significatividad

está directamente relacionada con la existencia de relaciones lógicas entre el

conocimiento nuevo y el que ya posee el alumno y lo que trata la propuesta es esto,

que el alumno pueda utilizar lo que aprendió en una situación problemática o

simplemente en situaciones donde pueda aplicar este aprendizaje.

Ausube citado por Díaz Barriga y Hernández, (2002), considera que deben existir tres

condiciones fundamentales para que exista el aprendizaje significativo:

36

a) El sujeto debe manifestar una actitud y disposición ante el material nuevo que se

va a aprender, las cuales están en relación directa con el interés y la motivación

que el alumno presente ante la experiencia de aprendizaje.

b) La relación substancial y no arbitraría con la estructura cognoscitiva está en

función de la intencionalidad del aprendizaje, la cual se presenta en dos sentidos.

1. Como captación y asimilación de las ideas esenciales y de las

expresiones simbólicas del material nuevo, en lugar de la retención de

información textual y al pie de la letra, como sucede en el aprendizaje

mecánico o memorístico.

2. Como asociación del material que se va a aprender con la estructura

cognoscitiva del aprendiz.

c) Los conocimientos que ya existen en la estructura cognoscitiva, están

representados por los conceptos que ha adquirido el alumno en sus experiencias

previas de aprendizaje. Algunos de estos estarán relacionados con el material

nuevo, por lo tanto, cumplirán la función de integrar dicho material con los

elementos de conocimientos existentes en la estructura cognoscitiva del niño.

Estas tres condiciones, tienen como punto central que el aprendizaje significativo es un

proceso que depende en forma principal de las ideas relevantes que ya posee el sujeto,

y se produce a través de la interacción con la nueva información. El resultado de esta

interacción será una asimilación ente los viejos y nuevos significados para formar un

nuevo conocimiento.

Ausubel (citado por Tovar 2001) proporciona una definición de aprendizaje significativo.

Explica que ocurre cuando la información nueva, por aprender, se relaciona con la

información previa, ya existente en la estructura cognitiva del alumno, de forma no

arbitraria ni al pie de la letra; para llevarla a cabo debe existir una disposición por parte

del alumno, así como significación lógica en los contenidos o materiales de aprendizaje.

Ausubel considera que el aprendizaje y la enseñanza deben basarse sobre todo en la

práctica secuenciada y en la repetición de elementos divididos en pequeñas partes,

aprender es sinónimo de comprender.

37

El en marco del aprendizaje significativo, se definen al aprendizaje y la enseñanza

como (Villalobos 2002):

Enseñanza: Es una serie de actividades intencionales y planificadas que

se llevan a cabo con el objetivo de lograr el aprendizaje significativo

Aprendizaje: Es la adquisición conciente y pensada de los rasgos

característicos que configuran una realidad sociocultural.

El aprendizaje significativo se da cuando el nuevo conocimiento puede incorporarse a

las estructuras de conocimiento que posee la persona. Es decir, cuando el nuevo

material adquiere significado para el educando a partir de su relación con conocimientos

anteriores. Por lo que es necesario que el conocimiento que se adquiera tenga

significado.

El educando en la actualidad es el protagonista de su propio proceso de aprendizaje.

Cuando aprende se da cuenta de que es capaz de hacer cosas, de los cambios, de las

adquisiciones conceptuales y la generación de actitudes o el desarrollo de habilidades,

en los procedimientos, la actividad física o mental que realiza mientras está

aprendiendo. Aun más para lograr lo anterior es necesario que el niño tenga un interés

y una disposición ante el nuevo conocimiento, para relacionarlo con los conceptos que

ya existen en su estructura cognoscitiva del niño.

Cuando el educando conoce los procedimientos para procesar la información gracias al

nivel de relación que logra establecer, la nueva información también se relaciona con lo

que ya se sabe, de modo que la estructura del conocimiento se modifica, reestructura y

autorregula y el resultado es un aprendizaje significativo. Es decir, le significa al

educando, le estigmatiza, le deja marcado, le cobra relevancia lo aprendido para la vida.

Sin embargo, hay actividades escolares en las que el alumno recibe una información

que sólo puede relacionar de manera memorística con sus conocimientos previos, como

puede ser el caso de aprender las tablas de multiplicar y después aplicarlas a la

resolución de problemas donde está implicada la multiplicación. De ahí que los

conocimientos previos que tenga el niño serán fundamentales para que construya su

conocimiento.

38

Pero también Ausubel (citado por Tovar 2001) explica que el aprendizaje significativo,

se presenta o conecta con el conocimiento previo de los alumnos. De ahí, los

organizadores previos como materiales introductorios, genéricos e incluyentes del

aprendizaje a ser desarrollado, sirven de puente, entre lo que el alumno ya conoce y lo

que él necesita conocer, antes de que él pueda aprender significativamente la tarea

propuesta.

Para Ausubel citado por Díaz Barriga y Hernández (2002), hay varios tipos de

aprendizaje de acuerdo a dos criterios:

Respecto a la formación de conceptos.

Por repetición Significativo

En este tipo de aprendizaje la mayoría de las nociones adquiridas por el alumno, tanto

dentro como fuera del aula, no las descubre por sí mismo sino que le son dadas.

Respecto a la resolución de problemas.

Verbal No verbal

La mayor parte del aprendizaje se presenta de forma verbal. Puede haber también

aprendizaje por recepción no verbal, que no es necesariamente mecánico.

Ausubel (citado por Castro, 1996) hace especial hincapié en el aprendizaje significativo,

y se puede decir que es el motivo central de su obra. En esencia, se trata de relacionar

las ideas expresadas simbólicamente con lo que el alumno ya sabe, es decir, con algún

aspecto esencial de su estructura de conocimiento. Es importante señalar que bajo este

aprendizaje, también existen tres tipos distintos de aprendizaje significativo: De

representaciones; de proposiciones; de conceptos.

El aprendizaje significativo de representaciones consiste en captar el significado de los

símbolos, generalmente palabras, y entender lo que representan. Así, el aprendizaje de

las operaciones se realiza mediante el empleo de un tipo especial de representaciones

llamadas “modelos”. Por ejemplo. Una representación de la multiplicación se hace

39

mediante el modelo cardinal que emplea el diagrama de conjuntos. Por ejemplo, 2 x 3 =

6 se representa mediante el “modelo”

Mientras que en el aprendizaje de proposiciones se trata de captar el significado de

nuevas ideas, expresadas en forma proposicional, se realizan distintas

representaciones de una misma operación de modo significativo por parte del alumno.

El cúmulo de información que aportan se sintetizó en un hecho numérico: 3 por 2 igual a

6. Este aprendizaje significativo sirve para lograr el dominio de los números y sus

operaciones.

El aprendizaje de conceptos desde el punto de vista del aprendizaje significativo

también se da al estudiar las operaciones. Se considera que un niño ha logrado el

concepto de la multiplicación cuando sabe conocer y utilizar dicha operación en los

diferentes contextos numéricos en los que se presenta. Es posible que este sea un

elemento que no ha integrado el docente a su práctica, es decir, no se le da a entender

cuándo, dónde y por qué va a emplear la multiplicación. Y algunas veces los profesores

solamente pedimos que realicen las cuentas de multiplicar repetitivamente, sin que

haya razonamiento profundo de este.

Es por ello, que es de gran relevancia enseñar la multiplicación desde el punto de vista

del aprendizaje significativo, consiste en la asimilación de nueva información, en el

proceso de modificar la información recientemente adquirida y la estructura

preexistente.

En el ámbito educativo el aprendizaje significativo es aquel que tiene sentido para el

individuo y puede transferir a situaciones similares, esto implica la transformación de

nociones y conceptos a partir de experiencias, intereses, habilidades y actitudes, que

dentro de mi propuesta nos enfocaremos a fomentar ciertas habilidades en el concepto

de la multiplicación aplicado a la resolución de problemas.

Dentro del aprendizaje significativo se pueden observar tres tipos de contenidos como

lo explican Díaz Barriga y Hernández (2002): Declarativo (el saber); procedimental

(saber hacer); y actitudinal-valoral (el saber ser). El primero son los contenidos

X = 6

40

conceptuales, es decir los datos, hechos, sucesos, fórmulas, clasificaciones, etc.; el

segundo son los contenidos procedimentales, es decir, las estrategias, habilidades,

destrezas, metas, procedimientos, resolución de problemas y por último son los

contenidos actitudinales y se refieren a las normas, actitudes, valores y reglamentos. En

el caso de la propuesta utilizare los dos primeros tipos de contenido ya que son

fundamentales para la comprensión de la multiplicación.

Podríamos decir que el aprendizaje de conceptos aplicado a la propuesta está enfocado

a que el alumno comprenda el concepto de la multiplicación, teniendo en cuenta que

tiene conocimientos previos y que serán fundamentales para la construcción de su

nuevo conocimiento.

Y por otro lado, el saber procedimental se observará en la propuesta, por medio de la

aplicación de los procedimientos en el uso del concepto de la multiplicación en la

resolución de problemas y en las actividades que se realicen en la propuesta, por medio

de la ejercitación.

1.4. NOCIÓN DEL MAESTRO BAJO EL PARADIGMA CONSTRUCTIVISTA El maestro debe encaminar sus esfuerzos hacia promover el desarrollo psicológico y la

autonomía de los educandos. El profesor debe asumir la tarea fundamental de

promover una atmósfera de reciprocidad, de respeto y autoconfianza para el alumno y

debe dar la oportunidad de que el aprendizaje autoestructurante de los educandos

pueda desplegarse sin tantos obstáculos. En pocas palabras crear las condiciones para

que se realicen adecuadamente todas las actividades educativas

Hernández y Sancho (1996) señalan que el docente debe ayudar al alumno a construir

su propio conocimiento, guiándolo para que sea una experiencia fructífera y no sólo le

transmita conocimientos ya elaborados; debe ser un promotor del desarrollo y de la

autonomía de los alumnos. Pudiera ser que esto no se de, pues el maestro deberá

incitar a la actividad haciéndose participe de cada unas de las actividades que se

realizan. Más aún debe ser un moderado, coordinador, facilitador, mediador.

Pero además debe conocer los intereses de los alumnos; las necesidades de cada uno

de ellos; todo esto para que el alumno construya su conocimiento.

41

El profesor debe evitar el uso arbitrario de las recompensas y el castigo y tendrá que

promover que el mismo alumno construya sus propios valores morales, y en caso muy

necesario utilizar lo que Piaget llamó sanciones por reciprocidad. Estas sanciones son

las que están directamente relacionadas con el acto acreedor de la sanción.

El papel que deberá tener el docente para que el proceso de enseñanza-aprendizaje

sea significativo, es que el alumno logre por lo menos observar, experimentar, se haga

preguntas y conjeture (proceso inductivo y construcción del conocimiento). Lograrlo

dependerá de las estrategias aplicadas por cada uno de los docentes, cuidando

siempre las necesidades y el contexto del alumno.

1.5. ESTRATEGIAS DE APRENDIZAJE. En el ámbito pedagógico una estrategia es la selección y secuenciación de acciones

(actividades) de enseñanza y aprendizaje y su relación con un conjunto de recursos de

apoyo que son necesarios para cumplir los objetivos educativos.

Beltran (citado por Villalobos (2002) menciona que las estrategias son grandes

herramientas del pensamiento puestas en marcha por el estudiante cuando tiene que

comprender un texto, adquirir un conocimiento o resolver problemas.

De acuerdo con Saturnino (2000), una estrategia es la organización secuenciada de la

acción como procedimiento adaptativo, por el que organizamos secuenciadamente la

acción en orden a conseguir las metas previstas. Sin embargo, aunque apuntan a una

finalidad, no siempre se desarrollan a un nivel consciente o deliberado.

Díaz Barriga (2002), menciona que las estrategias de aprendizaje son procedimientos

(conjuntos de pasos, operaciones o habilidades) que un aprendiz emplea en forma

consciente, controlada e intencional como instrumentos flexibles para aprender

significativamente y solucionar problemas.

Fainholc (1998), denomina estrategias de aprendizaje a aquellos procedimientos,

procesos, mecanismos y estrategias que el aprendiz aplica, consciente o inconsciente,

al mejoramiento de su proceso de enseñanza-aprendizaje. Estas estrategias influyen en

el procesamiento, almacenamiento, recuperación y aplicación de conocimientos y

destrezas en un sentido amplio.

42

Pero también pueden ser entendidas las estrategias de aprendizaje como los procesos

que sirven de base a la realización de las tareas intelectuales. Las estrategias

representan habilidades de un orden más elevado que controlan y regulan las

habilidades más específicas referidas a las tareas o más prácticas. Pero además una

estrategia de aprendizaje está encaminada a regular el trabajo académico y a producir

un desempeño exitoso del estudiante. Por lo que se puede percibir, las estrategias de

aprendizaje son hechas por el aprendiz (alumno), siempre que le requiera aprender,

recordar o solucionar problemas sobre algún contenido de aprendizaje.

Para lograr un mejor aprendizaje de los conocimientos es importante lograr desarrollar y

ejecutar una serie de estrategias didácticas que permitan y coadyuven a la construcción

de los conocimientos de los alumnos.

Ahora bien, González (2003), señala que las estrategias de aprendizaje se entienden

como un conjunto interrelacionado de funciones y recursos, capaces de generar

esquemas de acción que hacen posible que el alumno se enfrente de una manera más

eficaz a situaciones generales y especificas de su aprendizaje; que le permiten

incorporar y organizar selectivamente la nueva información para solucionar problemas

de diverso orden. Podemos decir que son entendidas como secuencias integradas de

procedimientos o actividades que se eligen con el propósito de facilitar la adquisición,

almacenamiento y la utilización de la información.

Las estrategias aplicadas a la propuesta “Aprendiendo y jugando con la multiplicación”,

tienen la intención de recuperar primeramente conocimientos previos, que les permitan

dar soluciones a los problemas que se les presentan y que a través de esto el alumno

desarrolle competencias que le permitan enfrentar los problemas que en la vida tendrá

que afrontar.

Si bien las estrategias presentadas en la propuesta tienen la finalidad de coadyuvar en

la enseñanza- aprendizaje de la multiplicación por medio de la computadora, no quiere

decir, que por el sólo hecho de utilizar la computadora la práctica educativa mejorará.

43

2. MANUAL DE SUGERENCIAS DIDÁCTICAS.

El siguiente manual tiene la finalidad de apoyar al docente en el proceso de enseñanza-

aprendizaje de sus alumnos, con el apoyo de este manual podemos lograr un mejor

resultado si se siguen las indicaciones de cómo utilizarlo, además de las estrategias

didácticas que se mencionan en éste.

Se pretende que la propuesta computacional “Aprendiendo y jugando con la

multiplicación”, permita al alumno comprender el concepto de la multiplicación y su

aplicación en el entorno que lo rodea. Una de las ventajas de enseñar a través de la

computadora es que se provoca una mayor actividad por parte del estudiante

procurando con ello tratar de ayudar en su instrucción. Considero que uno de los restos

más importantes es que la propuesta logre dotar de herramientas a los alumnos que les

permitan transformar la información que están recibiendo en conocimiento y que a su

vez, les sea significativo para su vida, es decir, que le sea relevante, con sentido y que

vaya relacionado con la vida y el desarrollo personal del niño.

Actividades previas a la utilización del interactivo.

El docente deberá trabajar con los alumnos los conocimientos previos, es decir, para

entrar al tema de la multiplicación el alumno debe dominar la suma, así como

desarrollar actividades en donde los niños pongan en práctica los saberes previos que

ya tienen, para enfrentar y resolver los problemas que se les plantean.

La sugerencia es que se desarrollen actividades donde se vea en un primer momento la

suma, para posteriormente entrar a la multiplicación, con la finalidad de que el alumno

desarrolle este algoritmo y posteriormente entrar de lleno al tema central. El empleo de

objetos, dedos, palitos, etc., puede constituir un buen apoyo para la introducción del

tema. Posteriormente, a medida que se capta el significado y se consigue una fluidez en

El niño necesita que se le den ideas que lo motive, que lo muevan a hacer cosas. Ideas que, por así decirlo, le hagan cosquillas en las manos y remolinos de imágenes en la cabeza. CIRCO, MAROMA Y BRINCO (CONAFE).

44

la realización mecánica de la operación, dejan de utilizarse los objetos y se van

sustituyendo por signos representativos, hasta llegar al cálculo mental.

Antes de iniciar el interactivo (propuesta) es necesario que realicen actividades previas,

ya que estas tienen la finalidad de preparar y alertar al alumno de qué y cómo va a

aprender el concepto de la multiplicación. Esencialmente se trata de observar a través

de los ejercicios y actividades qué conocimientos previos tienen los alumnos.

La propuesta computacional “Aprendiendo y jugando con la multiplicación” permitirá al

alumno interactuar y analizar los problemas que se le presenten de una manera

simbólica y gráfica, de tal forma que el alumno tenga elementos para resolver el

problema, a diferencia de la enseñanza convencional que es más informativa que

formativa, ya que el niño aprende mecánicamente utilizando procedimientos y para

algunos no es significativo para su vida cotidiana. En este caso, de las operaciones

aritméticas como las multiplicaciones, el alumno memoriza las tablas del 1 al 9, lo cual

le lleva mucho tiempo, y no lo dejamos reflexionar porqué 3 x 4 son 12. Más aún,

algunas veces el niño al aprender la multiplicación no encuentra ningún sentido o

interés para utilizarla, sin darse cuenta que en la vida cotidiana las utiliza en gran parte

de sus actividades, la propuesta intenta atraer la atención, por medio de juegos,

problemas que tienen la finalidad de que el alumno arrastre objetos, o simplemente

observe y analice los problemas para darles solución.

Se recomienda que el profesor realice en el salón de clases actividades de cálculo

mental. Las estrategias que utilice el docente dependen de las habilidades con las que

se cuente para transformar los datos y las operaciones de la situación planteada.

Este manual tiene como finalidad guiar al docente en la aplicación de la propuesta;

primero que nada es necesario explicar que para iniciar el programa es importante

considerar las siguientes recomendaciones. No se puede aplicar la propuesta en un

grupo determinado sin antes ser evaluado o trabajado por el docente.

45

Características básicas del equipo de cómputo, para operar la propuesta. Mediante la computadora y el software que sustenta la propuesta se pretender que el

alumno acceda a manipular, analizar y comprender la información para el aprendizaje

de la multiplicación.

El software interactivo pretende constituirse como un material de apoyo en el proceso

de enseñanza y aprendizaje de la multiplicación. Cabe señalar que nunca se sustituirá

la labor del docente porque la propuesta es una herramienta que se puede utilizar en el

proceso educativo. Esta herramienta es sólo un medio para despertar el interés,

mantener la motivación y la participación activa en el proceso de enseñanza-

aprendizaje.

A continuación se presentan las características del equipo de cómputo.

‐ Un procesador de 486 a 6 Mhz o superior.

‐ Sistema Operativo 95 ó superior.

‐ Unidad lectora de Disco CD ROM

‐ Ratón.

‐ Bocinas

‐ El monitor deberá estar configurado:

1. Colores: Color de alta densidad (16) bits.

2. Área de pantalla 800 x 600 pixeles.

En inicio se va iniciar dado la presentación del trabajo, se le tiene que dar un clic para

continuar. Aparece el menú el cual está dividido en tres submenús: Aprendiendo a

multiplicar, Jugando multiplicando y Problemas usando la multiplicación.

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ACTIVIDADES DE LA PROPUESTA. Inicio. Apw. Se inicia el interactivo con la presentación de la propuesta que tiene como finalidad que el alumno conozca el titulo de la propuesta.

Dentro de esta rutina Inicio apw.; se da entrada para que el alumno pueda elegir o salir del programa.

El alumno tiene dos opciones al dar clic en salir, el programa está programado para salir del interactivo. Pero si el niño da clic en el de entrar automáticamente le da la bienvenida a Entrada. apw.

47

En esta rutina el alumno(a) deberá escribir su nombre, para posteriormente dar un enter para que el interactivo se dirija al menú. El propósito de que el alumno escriba su nombre es para que se sienta especial, además para el docente servirá en ciertas actividades para llevar un registro de lo que realice el alumno.

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Menu. Apw. Objetivo: El alumno observará las partes en las que esta constituido el interactivo a fin de facilitar la navegación del mismo, para esto deberá dar clic a una opción y así poder ingresar a la opción que eligió. Descripción: En la pantalla se muestran las tres opciones del programa, el usuario deberá ubicar el cursor sobre el dibujo y dar clic para poder acceder a la opción que le agrade. Sugerencias: Es importante que el docente le enseñe al alumno como poderse mover en el menú, ya que esto permitirá lograr un mejor aprovechamiento del interactivo.

El menú está integrado en tres partes básicas. La primera parte se denomina Aprendiendo a multiplicar; la segunda Jugando multiplicando; y por último Problemas usando la multiplicación. El alumno tendrá oportunidad de elegir cualquiera de estas opciones. La intención es que el alumno se dé cuenta de las diferentes formas que se le presentan para aprender la multiplicación. Los materiales presentados así como sus contenidos pretenden estimular el proceso de enseñanza-aprendizaje.

49

Subm1. apw. Al darle clic en “Aprendiendo a multiplicar”, el interactivo se dirigirá a un submenú el cual tiene dos opciones solamente; la primera se refiere a la seriación y la segunda se llama tablas de multiplicar.

La actividad de seriación tiene la intención de que el alumno busque e identifique los números que conoce mediante la actividad de seriación, esto implica identificar y analizar la relación que mantienen los números para saber cuales faltan o complementar la serie. Además esto ayudará a que el alumno vaya entendiendo la construcción de las seriaciones.

SERI7.APW

50

Descripción: El alumno tendrá que construir las seriaciones; es importante señalar que las rutinas tienen la intención de ir de menos a más en la construcción de la seriación. El niño puede manipular y poner a prueba sus conocimientos previos y así poder resolver la seriación. Se le presentará otra actividad que será la construcción de series numéricas por ejemplo (Contar de 3 en 3 o 6 en 6) hasta llegar al resultado, donde la intención es que el alumno analice cuál de las posibles respuestas es la correcta. Sugerencias didácticas: Que los alumnos realicen una serie antes de iniciar la rutina, es importante que no sea larga y que implique ordenar los números y compararlos e identificar la secuencia que lleva, entre otros. Efectuar ejercicios de secuencias numéricas en el cuaderno, utilizando objetos, colores, figuras geométricas con material concreto y gráfico. Para posteriormente llevarlos a la propuesta permitiéndoles ejercitarlo.

SER6.APW

51

También se presenta otra actividad denominada “Las tablas de multiplicar” y tiene la intención de que el alumno comprenda y desarrolle la comprensión de las tablas de una manera que él o ella pueda manipular, clasificar; posteriormente se le presentará una actividad donde realice una serie de multiplicaciones que en la pantalla observará, permitiendo que tenga una mejor comprensión del número y el algoritmo. Mult6. apw. Y Mult7 y así sucesivamente. Descripción: La intención de esta rutina es que el alumno tenga un mejor aprendizaje de las tablas de multiplicar, si bien es cierto, que la memorización de las tablas ha sido fundamental, ahora también ha sido un lugar de enfrentamiento o de oposiciones dado a que el alumno no comprende sino sólo memoriza. Sin embargo, aprender las tablas es importante para que los alumnos puedan resolver los problemas. Y no debe ser visto como hay que enseñar las tablas de memoria, porque es un aprendizaje mecánico y sin sentido, por el contrario, en las rutinas se buscará que el alumno interactúe, así como desarrollar el concepto de multiplicación. Sugerencias didácticas: Antes de iniciar esta rutina se sugiere al docente que realice en el cuaderno ejercicios donde se apliquen las tablas de multiplicar con un digito, para posteriormente reforzarlo con esta actividad.

52

Subm2. apw. Como sabemos los juegos forman parte de la vida de todas las personas, y en el caso de los niños, es un componente fundamental en su desarrollo. Es por ello que el programa “Aprendiendo y jugando con la multiplicación” tiene la intención de que el alumno comprenda la multiplicación a través del juego. Se ha tomado en cuenta el juego ya que se ha convertido en una herramienta de aprendizaje porque permite a los niños, abordar la multiplicación de una manera diferente y divertida, procurando llamar la atención e interés por parte del alumno. Ahí se desarrollan tres juegos donde se ve la multiplicación y que fueron adaptados con el prepósito que el alumno se divierta. El primero de ellos es el domino, el segundo el cálculo mental y por último el memorama.

53

Domino. Apw.

El domino tiene el propósito de que el alumno construya por medio de las fichas las tablas de multiplicar. Se sugiere que se trabaje con este juego, estableciendo una serie de fichas hechas de papel y así poder manipular y con ello construir el concepto de multiplicación.

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CALCULO MENTAL El cálculo mental, se caracteriza por el uso exclusivo de procesos mentales, no utiliza lápiz ni papel, ni se apoya en otros dispositivos como la calculadora. Este cálculo puede ser exacto o estimado, pero las actividades incluidas aquí se refieren solamente al cálculo exacto. La enseñanza del cálculo mental no debe centrarse en la rapidez con la que se ejecuta, sino en mejorar la comprensión de la multiplicación. Descripción: Esta actividad consiste en que el alumno desarrolle un conjunto de cálculos sencillos para posteriormente realizar otros más complejos. Por ejemplo, es necesario saber que 6 x 7 = 42. Teniendo en consideración que la disponibilidad en memoria de ciertas relaciones numéricas es un recurso útil para los niños. Pero esto no significa que la memorización sea el punto de partida de la enseñanza de las estrategias del cálculo, ni tampoco que el trabajo de memorización sea realizado como una actividad puramente mecánica. Para que el alumno adquiera un cierto dominio en el cálculo mental precisa contar con un nivel cognitivo suficiente a la vez que ha tenido que asimilar e interiorizar la comprensión y mecanización de la multiplicación. Sugerencias didácticas: Antes de entrar a interactuar con esta actividad, es importante realizar en el aula actividades que tengan como objetivo la realización de cálculos multiplicativos. Se sugiere que el docente al azar realice preguntas donde esté implicado el cálculo multiplicativo.

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Subm3. apw.

Este subm3 tiene la intención de desarrollar en el alumno habilidades de cálculo mental mediante el planteamiento de situaciones problemáticas que generalmente se utilizan en la vida cotidiana. En este caso la proporcionalidad como significado del concepto de multiplicación de números naturales. En la resolución de problemas, la interacción de alumnos juega un papel muy importante, ya que cada uno de los participantes aporta sus ideas o estrategias de solución, discute y analiza los diferentes puntos de vista hasta encontrar los resultados con ello se enriquecen los conocimientos, se obtienen mejores resultados y se avanza significativamente. Se desarrollarán actividades que implican la elaboración de tablas de variación proporcional, donde se manejan dos magnitudes que varían ejemplo:

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Propo1. apw. Proponemos estas rutinas ya que por lo general, en los libros de texto, los problemas de multiplicación pertenecen a este tipo de problema, aun cuando no suelen considerarse como problemas de proporcionalidad. La mayoría de los problemas que los alumnos resuelven en la escuela y en la vida cotidiana pertenecen a este tipo de problemas. El objetivo no es que el alumno reconozca las propiedades de la proporcionalidad, pero sí que empiece a utilizarlas intuitivamente para resolver problemas como éstos. En estas actividades las situaciones en las que interviene la multiplicación aparecen dos conjuntos, claramente definidos, y una relación constante (cajas y manzanas, bollos y pesos, autobuses, pasajeros). Cuando el niño realiza esta actividad debe saber el significado de lo que hace; de este modo su ejecución adquiere un sentido para él.

Propo0.apw.

57

Todas las actividades contenidas en el interactivo tienen la intención de ayudar al

alumno en su aprendizaje y al maestro desde el punto de vista de proporcionarle esta

herramienta, que le permita interactuar conjuntamente con el alumno. Son actividades

que pueden impulsar y ayudar al alumno, pues la finalidad es dotar al alumno de

recursos que le ayuden a comprender la multiplicación y que permita un mejoramiento

en su comprensión y aplicación en los problemas que enfrenta en su vida cotidiana.

Sólo resta agradecer el entusiasmo, apoyo y orientación de mis profesores para la

creación y conclusión de éste material. Así también agradecer a todas las personas que

estuvieron a lo largo de este proceso.

58

3. PROTOCOLO DE INVESTIGACIÓN.

La propuesta es una alternativa que pretende coadyuvar en el proceso enseñanza-

aprendizaje, para que en alumno de cuarto grado de primaria comprenda el concepto

de multiplicación y lo aplique a su vida cotidiana, por lo que es necesario averiguar si la

propuesta cumple con los objetivos planteados.

Una vez de haber realizado la propuesta “Aprendiendo y jugando con la multiplicación”,

se quiere llevar acabo una investigación de tipo experimental y comparativo con la

finalidad de verificar si la propuesta cumple con el objetivo que es que el alumno

comprenda y entienda el concepto de la multiplicación, y que lo utilice en su entorno.

Para esto a continuación se presentan los elementos del Protocolo de investigación.

Siempre que se elabora un material, es necesario establecer un protocolo de la

investigación pertinente que permita llevar a cabo su estudio.

3. 1. Objetivos de la investigación Averiguar si la propuesta “Aprendiendo y jugando con la multiplicación” favorece la

comprensión del concepto de la multiplicación en alumnos de cuarto grado de primaria,

en comparación con el método convencional.

3.2. Preguntas de investigación: ¿Las actividades que se desarrollan en la propuesta contribuyen significativamente a

comprender y a fortalecer el aprendizaje de la multiplicación en los niños de cuarto

grado, en comparación con el método convencional?

3.3. Hipótesis de la investigación: Averiguar si con la aplicación de la propuesta, el alumno de cuarto grado desarrolla y

comprende mejor el concepto de la multiplicación, en comparación con el modo

convencional utilizado en el aula.

59

3.4. Variables de la investigación: Una variable es una propiedad que puede variar y cuya variación es susceptible de

medirse u observarse. La variable se aplica a un grupo de personas u objetos, los

cuales adquieren diversos valores o manifestaciones respecto a la variable. A

continuación se presentan las variables que se utilizaran para la propuesta.

-Construyen sin problemas los problemas que se le presentan en la propuesta.

-El grado de desarrollo de los alumnos al construir las actividades.

-Consolida la comprensión el concepto de la multiplicación y su aplicación en la

resolución de problemas.

-Nivel de logro de respuestas correctas e incorrectas antes de después de la propuesta.

-Existe durante las actividades interés del alumno.

-El tiempo que tardan para construir problemas de multiplicación.

3.5. Indicadores de la investigación:

-Se analizara por medio del acierto y error.

-Se analizara por medio de tiempo utilizado.

3.6. Tipo de investigación Para constatar esta hipótesis con la realidad, es necesario en primera instancia

escoger el tipo de investigación, por lo que vaya de acuerdo

El tipo de estudio que se utilizara será el experimental y comparativo. Para efectuar una

investigación adecuada y considerando que esta propuesta persigue la comprensión del

concepto de la multiplicación en los alumnos de cuarto grado de educación básica, es

necesario utilizar cuestionarios y guías de observación que serán fundamentales para

esta investigación y su interpretación.

Experimental: Se pretende verificar si la propuesta que se realizo para niños de cuarto grado de

educación primaria es pertinente o mejor que la forma convencional de enseñar el

concepto de multiplicación en la resolución de problemas.

60

Comparativo: Esta se realizara confrontando dos grupos, una es el grupo de control y el otro el grupo

experimental

Definición de la población de la investigación. Se pretende que esta investigación sea aplicada a cualquier población escolar de

cuarto grado de primaria, ya que esto no deberá ser una limitante para el estudio.

3.7 Tipo de muestra. La población con la que se trabajara se refiere a los niños y niñas de cuarto grado de

educación primaria, que tienen edades que oscilan entre 9 a 10 años.

3.8. Análisis de Datos. Se considerara para el análisis de datos la Prueba de t de student, con muestras

independientes, donde existen dos grupos de personas que han sido seleccionadas en

forma independiente. Según Sampieri (1998), la diferencia es significativa entre dos

grupos cuando t es mayor a 1.96. Cuando es menor a 1.96 la diferencia no es

significativa.

Para realizar el análisis cuantitativo de los datos se utilizó el estadístico de prueba “t de

Student” que nos permite comparar los promedios obtenidos en las distintas mediciones

realizadas. Dicho estadístico se aplicó en las siguientes modalidades:

• Prueba t para grupos independientes en el pretest. Este análisis nos permite comparar los promedios obtenidos en los dos grupos (experimental y de comparación) antes de aplicar la propuesta para determinar su equivalencia numérica.

• Prueba t para grupos independientes en el postest. Se comparan los promedios

obtenidos en la evaluación final de los dos grupos después de aplicar la propuesta.

Prueba t para grupos relacionados. Aquí se analizan los promedios obtenidos en el pretest y en el postest en el grupo experimental.

• Prueba t para grupos relacionados. Aquí se analizan los promedios obtenidos en el

pretest y en el postest en el grupo comparación.

61

En este caso la formula utilizada será el estadístico de proporciones t, pretende hallar la

diferencia entre los grupos experimental y de contraste en el pre-test y pos-test de cada

uno de ellos, con el fin de analizar si hay o no diferencia significativa entre ambos.

t = X1 – X2

Sx2 + Sy

2

Nx Ny

Donde S= (n1 – 1)Sx

2 + (n2-1)Sy2

Nx + Ny -2 Donde: X1 = Media del primer grupo. X2 = Media del segundo grupo. Sx

2 = Varianza del primer grupo. Sy

2 = Varianza del segundo grupo.

Nx = Número de casos en el primer grupo. Ny = Número de casos en el segundo grupo. Prueba t para grupos independientes en el pretest

Con los puntajes obtenidos en la evaluación inicial se obtienen los siguientes datos:

Grupos Promedio Desviación Estándar

n

Propuesta

Convencional

Hipótesis estadísticas:

62

Ho: μ1 - μ2 ≤ 0 H1: μ1 - μ2 > 0 Estadístico de prueba: “t de Student” Regla de decisión. Con ∞ = .05, el valor encontrado en la tabla de distribución “t de student” con n1 + n2 – 2 = 50 grados de libertad es t(50) = 1.684. A partir de estos datos se definen las regiones de rechazo y no rechazo de Ho como sigue: No se rechaza Ho si tc � �– ∞, 1.684]

Se rechaza Ho si tc � [1.684, ∞⟩ Cálculos: El valor de tc calculado es: tc = 5.325 Interpretación: Como se rechazo Ho: μ1 - μ2 ≤ 0 con ∞= .05 hay evidencia para considerar con 95% de

confianza que las calificaciones obtenidas en el postest del grupo experimental son

mayores que las obtenidas en el pretest del mismo grupo.

63

ANEXO 1 Nombre de la escuela: __________________________________ Entidad: __________________________________ Nombre del alumno: __________________________________________________ Sexo________ Edad_________ Grado: _________ Grupo__________ Lee con atención y resuelve cada uno de los problemas que a continuación se te presentan: 1.- En el cumpleaños de María había cincuentas y siete bolsas de dulces, le dio 23 bolsas de dulces a Carmen. ¿Cuántas bolsas tiene María? 2.- ¿Cuánto dinero pago Paco por todos sus aviones, si compró 8 coches a veinticinco pesos cada uno? 3.- Ricardo tiene setenta y dos canicas. Juan tiene dos veces más canicas que Ricardo. ¿Cuántas canicas tiene Juan? 4.- Margarita fue a la papelería y compró 34 libretas a 12 pesos cada uno. ¿Cuánto dinero pagó por todas las libretas? 5.- Saúl tiene 17 lápices; Lupita tiene treinta y cuatro lápices más que Saúl. ¿Cuántos lápices tiene Lupita?

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6.- En el restaurante hay 5 mesas para 6 personas. ¿Cuántas personas podrán sentarse? 7.- Cuando llegó el repartidor, Juan ayudó a bajar la mercancía. Bajó 24 cajas con 6 frascos de mayonesa en cada una. ¿Cuántas mayonesas hay en total? 8.- Manuel tiene dieciséis balones de fútbol Olga tiene 23 más. ¿Cuántos balones de fútbol más tiene Manuel que Olga? 9.- En el salón de clases, hay 12 filas de sillas. En cada filas hay 12 sillas. ¿Cuántas sillas tiene el salón?

10.-Ofrecen una enciclopedia de nueve tomo. Se puede pagar con 24 mensualidades

de 142 pesos cada una. ¿Cuánto costara la enciclopedia finalmente?

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Guía de observación del anexo 1

Escuela ___________________________________________________ Nombre del alumno__________________________________________________ Sexo________ Edad_______ Grado: _______ Grupo________

Instrucciones: marca con una X de acuerdo a las conductas presentadas por el alumno.

Conducta Nunca Algunas veces Casi siempre Siempre

Identifica la operación a emplear en cada problema

Efectúa correctamente la multiplicación involucrada

Termina correctamente los 10 problemas

Utiliza la suma y llega al resultado

Utiliza la multiplicación e identifica errores y corrige

Pide ayuda al docente en la resolución del problema

Utiliza la multiplicación directamente llegando al resultado

No lo pudo resolver (no hizo el intento por resolverlo)

Valores 1 2 3 4

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ANEXO 2 Nombre de la escuela: __________________________________ Entidad: __________________________________ Nombre del alumno: __________________________________________________ Sexo________ Edad_________ Grado: _________ Grupo__________

INSTRUCCIONES: Realiza las operaciones que se te presentan a continuación.

13 456 298 297 x 7 x 4 x 8 x 6 560 701 32 67 x 45 x 6 x 12 x 9 13 456 298 297 x 8 x 7 x 09 x 36

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INSTRUCCIONES: Realiza los siguientes problemas que a continuación se te presentan. 1.- Mario hace 8 canastas en un día ¿cuántas canastas realiza en 9 días? Lo sabrás si completas los siguientes cuadros. Días 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Canastas 8 16 24

2.- En una tienda hay 10 cajas con 18 galletas cada una ¿cuántas galletas hay en total? Anota la operación con la que puedes encontrar los resultados.

CAJAS GALLETAS

1 18

2

3

4

5

6

7

8

9

10

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GLOSARIO.

Algoritmo: procedimiento que permite realizar una operación. Una preinscripción efectuada paso a paso para alcanzar un objetivo particular. Aritmética: Se define literalmente como el arte de contar: Del griego arithmétike: arithmos, que significa número y techné, arte o habilidad. Así, la aritmética se convierte en el arte o habilidad para utilizar, manejar o combinar los números. Cognición: Proceso activo e interactivo (un ir y venir entre el sujeto y el medio). Dialécticamente es un proceso que nunca acaba de construirse internamente y, también es un mecanismo de regulación que conecta a la persona con el ambiente, o sea el sujeto afecta al ambiente, pero, al mismo tiempo, el ambiente influye sobre la persona. Multiplicación: Es una operación binaria en que dados dos números llamados factores se les asocia por medio de una regla, un único elemento al cual se llama producto. Multiplicador: Es el número que indica las veces que se toma el multiplicando. Multiplicando: Es el número que se quiere multiplicar. Producto: Solución de una multiplicación. Valor posicional de los números: Comprende la noción de que cada cifra, según su posición, tiene un valor determinado, las cifras para expresar el número representan diferentes agrupamientos de los que derivan su valor.

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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.

AUSUBEL, David Paul y SULLIVAN, Edmund V. (1997) El desarrollo infantil, México. Editorial PAIDOS. AVILA, Alicia. (2006) Transformaciones y costumbres en la matemática escolar. PAIDOS, México. CASTRO MARTINEZ, Encarnación, RICO ROMERO, Luís y CASTRO MARTINEZ, Enrique (1996), Número y operaciones: Fundamentos para una aritmética escolar. SINTESIS, España. CONALTE (1993) Implicaciones educativas de seis teorías psicológicas, México, SEP. DELVAL, J. (1994) Desarrollo Humano, Editores, S.A. Madrid. DIAZ BARRIGA ARCEO, Frida y HERNÁNDEZ ROJAS, Gerardo (2002). Estrategias docentes para un aprendizaje significativo. Una interpretación constructivista. Ed. Mcgraw-Hill, México. FAINHOLC, Beatriz (1998). Nuevas tecnologías de la información y la comunicación en la enseñanza. AIQUE. Argentina. FERNANDEZ BAROJA, Fernanda; LLOPIS PARET, Ana María; y PABLO MARCO, Carmen (1999). Matemáticas básicas: Dificultades de aprendizaje y recuperación. Ed. AULA XXI, Santillana. España. GOMEZ GRANELL, Carmen (1981). “Procesos cognitivos en el aprendizaje de la multiplicación, en Infancia y aprendizaje, No. 15. (Pablo del Río Editor). Madrid. GONZALEZ ORNELAS, Virginia (2003). Estrategias de enseñanza y aprendizaje. Ed. PAX. México. HERNANDEZ, Fernando y SANCHO, Juana María (1996). Para enseñar no basta con saber la asignatura. Ed. PAIDOS, México. HERNANDEZ SAMPIERI, Roberto. FERNÁNDEZ COLLADO, Carlos. BAPTISTA LUCIO, Pilar (1998). Metodología de la investigación. Mc Graw – Hill. México D.F, PIAGET.J. (1969), Biología y conocimiento, España, siglo XXI EDITORES. PIAGET.J. (1995), Seis estudios de psicología. Colombia, Editorial Labor. SATURNINO, T. (2000). Estrategias didácticas innovadoras. Octaedro. España. SEP (1993). Plan y programas de estudio. México, SEP.

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TOVAR SANTANA, Alfonso (2001). El constructivismo en el proceso enseñanza-aprendizaje. IPN, México. VERGNAUD, Gerard (2000). El niño, las matemáticas y la realidad. Problemas de la enseñanza de las matemáticas en escuela primaria. Ed. Trillas, México. VILLALOBOS PEREZ-CORTES, Elvia Marveya (2002). Didáctica integrativa y el proceso de aprendizaje. Ed. Trillas. México.