GEOMETRIA COMPUTACIONAL

SISTEMA COMPUTACIONAL PARA OBTENER LA ILUMINACIN Y VIGILANCIA PTIMA DE CENTROS COMERCIALES MEDIANTE ALGORITMOS GEOMTRICOSRESUMEN:En el presente proyecto se intenta hacer una transferencia tecnolgica de unos nuevos conceptos en el estudio de la iluminacin, visualizacin y vigilancia. Gracias a los diferentes algoritmos que se implementan, basados todos ellos en La Geometra Computacional, se trata de dar solucin a diversos escenarios en lo referente a la iluminacin, visualizacin y vigilancia. Teniendo en cuenta la disposicin de los focos, en sitios cerrados o con obstculos que dificulten la propagacin de la luz, se debe tener una manera matemtica y procedural de poder calcular la calidad de la iluminacin para su respectiva visibilidad y por consiguiente poder poner en puntos especficos las cmaras para su vigilancia.El planteamiento y objetivo inicial es, adems de tener una herramienta de clculo de la calidad de la iluminacin, de la visualizacin y su vigilancia, cuya complejidad NP-duro. Por ello no permite el diseo de algoritmos que encuentran soluciones exactas u optimas en tiempo razonable, se propone una solucin aproximada utilizando las siguientes tcnicas: t-buena iluminacin para el concepto de iluminacin y visualizacin, y la galera de arte para el concepto de vigilancia.Con dicho planteamiento, se ha desarrollado una herramienta grfica en lenguaje Java, donde se exponga un escenario donde sea capaz mediante algoritmos, calcular las propiedades de iluminacin, las regiones visibles y de vigilancia.

ABSTRACT:In this project we seek to make technology transfer a few new concepts in the study of lighting, visualization and monitoring. Thanks to the different algorithms that are implemented, all based on computational geometry, it is a solution to various scenarios in terms of lighting, visualization and monitoring. Given the arrangement of bulbs, in enclosed or obstacles to the propagation of light, must be a mathematical way of calculating and procedural quality lighting to their respective visibility and therefore be able to take points specific cameras for surveillance.The initial objective approach and is, in addition to having a tool for calculating the quality of lighting, visualization and monitoring, the complexity of NP-hard. Why not allow the design of algorithms that are exact or optimal solutions in reasonable time, we propose an approximate solution using the following techniques: t-good illumination for the lighting concept and visualization, and art gallery to the concept of surveillance. With this approach, we have developed a graphical tool in Java, where exposed a scenario where you can algorithmically, calculate the properties of light, the visible and surveillance.

INDICEI. INTRODUCCIN. ....5II. ANTECEDENTES. ...6III. REALIDAD PROBLEMTICA..7IV. JUSTIFICACIN. ......9V. OBJETIVOS. ...............9VI. MARCO TERICO ..101. CONCEPTOS GENERALES DE ILUMINACIN. .102. VISIBILIDAD DE ALCANCE LIMITADO. ...112.1. ILUMINACIN DE ALCANCE LIMITADO EN ESCALERAS ...112.1.1. ALCANCE MNIMO. ...12 2.1.2. LUCES VRTICE CON ALCANCE L ..122.2. ILUMINACIN DE ALCANCE LIMITADO EN PIRMIDES ..132.2.1. ALCANCE MNIMO. ...142.2.2. LUCES VRTICE CON ALCANCE L 15 3. T-BUENA ILUMINACIN. ......153.1. TBUENA ILUMINACIN SIN OBSTCULOS .........153.2. TBUENA ILUMINACIN EN UN POLGONO .163.2.1. POLGONO CONVEXO ...163.2.2. POLGONO NO CONVEXO..163.3. 1BUENA ILUMINACIN CON OBSTCULO CONVEXO184. ILUMINACIN MLTIPLE EN UN POLGONO...204.1. DEFINICIONES Y PROPIEDADES .204.2. ALGORITMO INCREMENTAL .214.2.1. ALGORITMO DE INTERSECCIN.215. VISIBILIDAD .... ..235.1. GALERAS DE ARTE............236. Procesamiento de Imgenes. ...........6.1 Adquisicin de la Imagen..........6.2 Pre procesamiento de la Imagen.........6.2.1 Pasos.........6.2.2 Obtencion del Borde.........7. METODOLOGA DE DESARROLLO DEL SOFTWARE: ..KENDALL & KENDAL..28 7.1. IDENTIFICACION DE PROBLEMAS, OPORTUNIDADES Y OBJETIVOS 287.2. DETERMINACION DE LOS REQUERIMIENTOS DE INFORMACION.... 287.3. ANALISIS DE LAS NECESIDADES .. 297.4. DISEO DEL SISTEMA RECOMENDADO . 307.5. DESARROLLO Y DOCUMENTACION DEL SOFTWARE . 317.6. PRUEBA Y MANTENIMIENTO DEL SISTEMA . 327.7. IMPLEMENTACION Y EVALUACION DEL SISTEMA 32VII. DESARROLLO..........1. ANLISIS DE LA SOLUCIN.........2. DISEO DE LA SOLUCIN.........VIII. REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS.........IX. ANEXOS.........1. CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES. .......

I. INTRODUCCIN:La visibilidad es un fenmeno natural en la vida cotidiana. Las personas observan los objetos ubicados a su alrededor y luego deciden cmo moverse en ese entorno. Observar un objeto significa identificar sus partes visibles desde una posicin establecida. Un objeto puede no ser completamente visible, algunas de sus partes pueden estar ocultas. Durante la observacin se determinan las formas y el tamao de las partes visibles de los objetos, las cuales pueden cambiar cuando el observador cambia de una posicin a otra. Incluso, desde una posicin se pueden observar varios objetos ubicados en diferentes lugares de modo tal que las partes visibles de estos objetos conforman un entorno para el observador. Este es un procedimiento natural para el observador humano y su sistema visual realiza esta tarea sin ningn esfuerzo. El problema de calcular las porciones visibles de un objeto desde una posicin determinada se ha estudiado ampliamente en informtica grfica. En este mbito, la construccin de un entorno puede involucrar la identificacin de miles de objetos de diferentes formas y tamaos ubicados en distintas posiciones. sta s es una tarea compleja desde el punto de vista computacional.Uno de los principales problemas que se haba encontrado, en su afn por la investigacin en los conceptos de iluminacin y vigilancia para la resolucin de problemas de ingeniera y la fsica, era que los resultados hasta ahora obtenidos no reflejaban totalmente circunstancias reales, y por tanto no eran normalmente aplicables.En el intento de buscar unas definiciones ms prximas a la realidad en los campos de iluminacin y vigilancia, se define el concepto de t-buena iluminacin y el de galera de arte.La idea de la que parten los postulados de la t-buena iluminacin son las de estudiar la iluminacin y la calidad de la misma en puntos y reas del espacio bidimensional, para poder as tener unos conceptos claros de las propiedades de iluminacin.El otro problema en la geometra computacional es el concepto de la vigilancia de galeras de arte. En 1973, V. Klee propuso el problema original de la Galera de Arte a travs del siguiente planteo: Cuntos guardias son suficientes para vigilar completamente el interior de una galera de arte?ste problemas abrieron un nuevo campo de investigacin en el mbito de la Geometra Computacional, donde se engloban todos los problemas que estn relacionados con la iluminacin y vigilancia de cualquier estructura o elemento geomtrico. Estos problemas estn presentes en multitud de campos, tales como la Robtica, Planificacin de Trayectorias, Visin Artificial, Informtica Grfica, Diseo y Fabricacin Asistidas por Computadora, entre otros.Sin embargo en ocasiones, los resultados obtenidos en Geometra Computacional no pueden ser utilizados de forma prctica en estos campos al no reflejar totalmente circunstancias reales.

II. ANTECEDENTES:

1. MTODOS HEURSTICOS EN PROBLEMAS GEOMTRICOS VISIBILIDAD, ILUMINACIN Y VIGILANCIA.

UNIVERSIDAD POLITCNICA DE MADRID - FACULTAD DE INFORMTICATESIS DOCTORALAUTOR: SANTIAGO CANALES CANO - LDO. EN CIENCIAS MATEMTICAS 2004.

Resumen: En este trabajose presentan resultados combinatorios y algortmicos utilizando dos definiciones de iluminacin que aaden condiciones a los conceptos de vigilancia utilizados tradicionalmente: la primera de estas se denomina visibilidad de alcance limitado y aade una restriccin a la distancia mxima de iluminacin desde un determinado punto; la segunda que hemos denominado tbuena iluminacin, se basa en que una estructura geomtrica slo est bien iluminada si todos los puntos que la iluminan estn bien distribuidos alrededor de ella. Respecto a la visibilidad de alcance limitado presentamos resultados combinatorios para polgonos escalera y polgonos pirmide, mientras para la tbuena iluminacin se presentan resultados algoritmos que permiten calcular las regiones iluminadas con esta definicin, por luces situadas en diferentes posiciones respecto a un polgono P.

Aporte: Cabe destacar que esta tesis muestra de manera ordenada y concisa los temas relacionados con la t-buena iluminacin. Es a partir de esos temas que rescatamos los conceptos e ideas generales sobre la t-buena iluminacin que utilizaremos en el presente proyecto. Adems de los conceptos aportados de esta tesis, tambin aprovechamos los algoritmos y la gran variedad de soluciones que se dan a los diferentes tipos de problemas sobre iluminacin.

2. T-Buena Iluminacin en el Plano.

UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS - ESCUELA TCNICA SUPERIOR DE INGENIERA (ICAI) - INGENIERO EN INFORMTICAAUTOR: RODRIGO ECHVARRI YEPES - MADRID, JUNIO DE 2007.

Resumen:En el presente proyecto se intenta hacer una transferencia tecnolgica de unos nuevos conceptos en el estudio de la iluminacin. Se trata de dar solucin a diversos escenarios en lo referente a la iluminacin. Teniendo en cuenta la disposicin de los focos, en sitios cerrados o con obstculos que dificulten la propagacin de la luz, se debe tener una manera matemtica y procedural de poder calcular la calidad de la iluminacin. Tambin se trata de poder contrastar de una manera fidedigna los resultados obtenidos por los diferentes algoritmos de la t-buena iluminacin (entendiendo t como una variable que mide la calidad de la iluminacin en un punto) desarrollados conceptualmente con los resultados reales de la definicin de la t-buena iluminacin.

Aporte: En ese proyecto se presenta la definicin practica y aplicable de la t-buena iluminacin, es decir, nos ayudara a plasmar y aplicar de los conceptos de dicho tema de manera practica y eficaz, en nuestro proyecto. Con todo esto podemos afirmar que las aplicaciones que se muestran en ese proyecto se pueden hacer propias ya que sus ejemplos se orientan hacia temas como nuestro proyecto.

3. El Problema de la Galera del Arte.

UNIVERSIDAD AUTNOMA DE QUERTAROESTUDIANTE DE POSGRADO, FACULTAD DE INFORMTICAQUERTARO, MXICOGONZALO MENA MENDOZA

Resumen:Se describe el problema de encontrar el nmero deguardias necesarios para vigilar un polgono simple. Sepresenta el problema original, los resultados actualessobre la familia de problemas relacionados, sus variantes,los problemas abiertos y sus posibles aplicaciones.

Aporte: En nuestro proyecto tambin se aplica a problemas sobre triangulacin, es por ello que este proyecto sobre el problema de la galera del arte es apropiado para la conceptualizacin y aplicacin de temas referentes a este tipo de problema, ya que nos ayudara en gran manera en el tema de la vigilancia del centro comercial.

III. REALIDAD PROBLEMTICA: Actualmente se ha acrecentado en gran medida el porcentaje de robos en los centros comerciales, por ejemplo, a continuacin se muestran algunos ndices alarmantes sobre los delitos en centros comerciales:El promedio de incidentes relacionados con hurtos en tiendas es de 550.000 por da,En los Estados Unidos, se roban mercaderas por mas de 25.000.000 de dlares diarios,El ao pasado, los comerciantes de Estados Unidos perdieron un estimado de 37.400 millones de dlares (19,5 mil millones de libras) en mercaderas, lo cual representa el 1,6 por ciento del total de las ventas. Estas perdidas son habitualmente conocidas como shrinkage. Resulta muy difcil comparar las tendencias en los diferentes pases del mundo porque las personas encargadas de recolectar y publicar la informacin utilizan distintos mtodos y criterios. Pero este ao, por primera vez, el Informe Baromtrico de Hurtos en Tiendas Minoristas de Europa ha podido efectuar estas comparaciones. Los resultados obtenidos de estas investigaciones incluyen a 24 pases y representan el 18 por ciento de los comercios minoristas de Europa. Del informe surge que el costo de estas perdidas por hurtos en los ltimos doce meses en Europa ha sido de 32.867 millones de euros (22.000 millones de libras). Esta cifra combina el valor de los objetos robados con los costos de seguridad asociados.El porcentaje de perdidas por hurtos en Europa es inferior al mismo porcentaje en los Estados Unidos de Amrica, en un 1,24 por ciento y, el ao pasado cay aproximadamente un 0,01. El Reino Unido, por segundo ao consecutivo registr la cada ms grande, por debajo del 1,77 por ciento en 2002 a 1,33 por ciento en 2006, pero aun contina por encima del promedio. Suiza, Irlanda y Suecia, por otro lado, registraron significativos aumentos en este tipo de delitos.Muchos gerentes de centros comerciales al observar estos ndices alarmantes sobre robos y hurtos en tales, se han convencido que la vigilancia en sus locales debe ser mxima, es decir que no debe quedar ni un solo punto en todo el centro comercial sin ser observado ni correctamente iluminado.Estos son algunos de los temas que nos motivan a proyectarnos hacia una solucin para este tipo de problemas, por ello hacemos un estudio para la solucin mas optima que podamos realizar, pero no todos los centros comerciales constan de un solo patio el cual se deba vigilar, y esto nos lleva a otros problemas de la realidad.Hoy en da las salas de los nuevos museos, galeras, centros comerciales, etc.No tienen, en general, formas que regularicen sus plantas, lo que da lugar a interesantes problemas de iluminacin. Si laplanta fuera un polgono convexo, una nica fuente de iluminacin bastara parailuminar toda la sala, pero la irregularidad impide esta solucin econmica. Asse plantea el problema de minimizar el n de luces que son necesarias parailuminar la planta entera.Los problemas de iluminacin han atrado la mirada de los matemticos desdehace tiempo. Mencionemos aqu tres de ellos:Problema de la Galera de Arte. La cuestin fueplanteada por V. Klee en 1973 en estos trminos: Determinar el mnimo nmerode puntos de un polgono suficientes para ver a todos los restantes. Se puedeinterpretar tambin en trminos de vigilancia de una sala poligonal: Cuntosguardias (o cmaras de vigilancia que cubran 360) son suficientes para vigilar elinterior de un polgono de n lados?Problema de Hadwiger,Cuntos reflectores se necesitan para iluminar el contorno exterior de una figuraplana, compacta, convexa y de borde liso? Boltyanski prob en 1960 que tresreflectores son siempre suficientes.Problema de Strauss, Pensemos en una sala de planta poligonal cuyas paredes son espejos. Es ciertoque basta colocar una fuente luminosa en cualquier punto de la sala para iluminarla completamente?, Habr siempre un punto con esa propiedad? Recientemente Tokarsky [To] ha probado que la respuesta a la primera preguntaes negativa. Pero la segunda parte de la conjetura permanece abierta.Proponemos para ello utilizar mtodos geomtricos primero tenemos que realizar una buena iluminacin, utilizaremos el mtodo de t-Buena Iluminacin, luego verificaremos que dicha iluminacin sea la correcta, y por ltimo se colocaran las cmaras de vigilancia utilizando la triangulacin de polgonos y el coloreado de grafos.

IV. JUSTIFICACIN:

Justificacin Social: Este proyecto servir de ayuda donde se requiera aplicar iluminacin y vigilancia ya sea para cualquier centro comercial, empresas, etc. Y en la reduccin de robos y hurtos que actualmente existen, en centros comerciales como el que se trata en este proyecto, muchas veces por falta una buena vigilancia.

Justificacin Acadmica: Servir de apoyo para posteriores proyectos similares que deseen desarrollar tanto en esta universidad como en otras instituciones, ya sean publicas o privadas, para estudiantes o para trabajadores.

Justificacin Econmica: El presente proyecto se justifica econmicamente porque ayudar a reducir el gasto en la compra de productos de iluminacin (focos) y colocacin de cmaras de vigilancia, porque utilizaremos mtodos (Algoritmos) eficientes que ubicaran de forma correcta y utilizando la menor cantidad de dichos elementos a comparacin con otros mtodos. Justificacin Tcnica: El presente proyecto se justifica tcnicamente porque va a proporcionar una herramienta de apoyo a los especialistas aplicados en esta rama, constituyndose en una importante ayuda para ellos y para el avance tecnolgico.

V. OBJETIVOS:1. Objetivo General:

Desarrollo de un Sistema computacional para obtener la iluminacin y vigilancia optima de centros comerciales mediante algoritmos geomtricos.

2. Objetivos Especficos:

Analizar y adquirir conocimientos del tema a investigar, revisar los planos, imgenes del local para extraer el polgono de la parte del techo. Disear el software y los algoritmos, en base a los datos obtenidos sobre el tema, estructurarlo y formalizarlo de manera que pueda ser usado correctamente. Implementar el software que nos permita realizar una adecuada iluminacin y vigilancia del local. Verificar y realizar pruebas al software de tal manera que funcione correctamente.

VI. Marco Terico:

1. Conceptos Generales de Iluminacin:

Uno de los campos ms estudiados en la Geometra Computacional es el de la Visibilidad, es decir, el conjunto de problemas que estn relacionados con los conceptos de iluminacin y vigilancia en su concepcin ms general. Existe una gran variedad de problemas en este sentido respecto a la zona a iluminar: polgonos convexos, polgonos montonos, polgonos generales, semiplanos etc., y tambin respecto a los objetos que iluminan: luces vrtice, luces-punto, luces-lado, etc.La Visibilidad es una disciplina en la que se combinan la geometra, la informtica y la combinatoria y cuyos resultados tienen aplicaciones en multitud de campos como la robtica, planificacin de trayectorias, visin por ordenador, grficos y arquitectura asistida por ordenador.Bsicamente la idea de visibilidad mantiene el concepto clsico del mismo. Dado un conjunto D en se dice que dos puntos x, y pertenecientes a D son visibles en D cuando el segmento que une x e y est completamente contenido en D. El conjunto D se llamar convexo si cualquier par de puntos del mismo se ven. Un conjunto se dice estrellado si existe un punto que ve a todos los dems. El conjunto de puntos con tal propiedad es el ncleo del mismo. Por tanto un conjunto es estrellado si tiene ncleo no vaco.Se puede entender el concepto de visibilidad de puntos a conjuntos: si U y V son regiones contenidas en D, se dir que U ve fuertemente a V si todo punto de V es visible desde todo punto de U; se dir que U ve dbilmente a V si todo punto de V es visible desde algn punto de U.El concepto de visibilidad clsico en el que aparece el segmento que une dos puntos puede generalizarse o variarse cambiando dicho segmento por otros conjuntos. Asimismo una variante importante del concepto de visibilidad es la visibilidad segn cadenas de k eslabones, denominada Lk-visibilidad: dos puntos x e y son Lk-visibles en D si existe una poligonal de k lados contenida en D que conecta ambos puntos.Una parte importante dentro de la Visibilidad es la que se ha venido llamando Galeras de Arte y que se inicia en 1973 con un problema planteado por Vctor Klee: determinar el mnimo nmero de puntos de un polgono suficientes para ver a todos los dems. Considerando el polgono como planta de una galera de arte y los puntos buscados como guardias o focos, se tiene el nombre de esta importante rama de la Geometra Computacional. Chvtal obtiene la primera respuesta en 1975: [n/3] es el nmero de guardias a veces necesarios y siempre suficientes para iluminar un polgono P con n vrtices. Este resultado se conoce como Teorema de Galeras de Arte y el primer tratado monogrfico fue presentado por ORourke en 1987.

Por tanto [n/3] luces son siempre suficientes para iluminar un polgono P de n vrtices, pero en muchas ocasiones basta con menos. As tiene sentido plantear el problema algortmico siguiente: dado un polgono calcular el mnimo nmero de luces que lo vigilan. Este problema fue estudiado por Lee y Lin.

2. Visibilidad de Alcance Limitado:

2.1. Definiciones:Definiremos en primer lugar lo que se entiende por puntos visibles con alcance L y despus daremos algunas definiciones particulares para polgonos escalera, que nos ayudaran en el desarrollo de este captulo respecto a este tipo de polgonos.a) Definicin Visibilidad de Alcance L:Dos puntos x e y se dicen visibles con alcance L en un polgono P, si el segmento xy est contenido completamente en P y la distancia d (x, y) L, (ver Figura 3).Una vez que conocemos el concepto de visibilidad limitada o de alcance limitado veamos las definiciones propias de los polgonos escalera.

Figura 3: Visibilidad de alcance L

b) Definicin Polgono escalera:Se denomina polgono escalera a todo polgono ortogonal P, tal que existe un lado horizontal h, (respectivamente vertical v), cuya longitud es igual a la suma de las longitudes de los restantes lados horizontales, (respectivamente verticales).Designaremos con la notacin P(V, a1, a2,...., am), al polgono escalera en el que V es la interseccin de h y v y a1, a2,...., am son los restantes vrtices convexos.As si llamamos bi, i = 1, 2,...,m 3 al vrtice cncavo cuya abscisa es la abscisa del vrtice ai1 y cuya ordenada es la del vrtice ai+2, se tiene:a1a2 + mP3 i=1 biai+2 = V am y mP3 i=1 biai+1 + am1am = V a1 (3.1.1)como se muestra en la Figura 4.c) Definicin Radio de una escalera:Dado un polgono escalera P (V, a1, a2,...., am) se llaman radios exteriores de P y se denotan por rk a los segmentos V ak k = 1, 2,..., m. Se llama radio de P y se denota por r al mximo de los radios exteriores de P.r = max (rk) k = 1, 2,..., m. (3.1.2)Para comprender bien la definicin anterior podemos ver la Figura 4, donde se dibujan los radios exteriores de un polgono escalera. Pasemos a estudiar ahora la iluminacin de alcance limitado en este tipo de polgonos, considerando que las luces se sitan sobre los vrtices, es decir considerando luces-vrtice y no luces punto.

Figura 4: Polgono Escalera.2.2. Iluminacin de Alcance Limitado en EscalerasEl problema combinatorio que planteamos en este captulo respecto a los polgonos, escalera consiste bsicamente en encontrar el nmero mnimo de luces-vrtice necesarias para iluminar el polgono. Evidentemente, dado que estamos estudiando la visibilidad de alcance limitado, esta cota depender del alcance L de iluminacin. Formalmente el problema se puede enunciar de la siguiente manera:Nmero de luces-vrtice de alcance L que iluminan un polgono escaleraCombN-v-Es (P,L):ENTRADA: Un polgono P de n vrtices y un alcance de iluminacin L.PREGUNTA: Cul es el nmero mnimo k de luces-vrtice de alcance L necesarias para iluminar el polgono P?Es evidente que si el alcance de iluminacin L es suficientemente grande el polgono se podr iluminar con una sola luz. As si tomamos L r, donde r es el radio del polgono, colocando una luz en el vrtice V tendremos iluminado todo el polgono. Planteamos ahora otro problema distinto, permitiendo colocar una luz en cada vrtice y preguntndonos por el mnimo alcance de iluminacin, (Lmin), necesario para iluminar todo el polgono.

2.2.1. Alcance Mnimo:Dado un polgono P, se define Lmin como el valor ms pequeo para el que colocando luces de alcance Lmin en todos los vrtices del polgono P, ste quede totalmente iluminado. Por tanto,el intervalo de valores significativos para el alcance L resulta ser [Lmin, r]. El primer problemaque se plantea es el clculo de Lmin. Damos respuesta a esta cuestin en la siguiente proposicin.2.2.2. Luces Vrtice con alcance L:Todo polgono escalera P con n vrtices, se puede iluminar con una sola luz de alcance r. Qu ocurre si disminuimos una cantidad pequea el alcance L? Esta cuestin la estudiaremos en el Lema 1.Lema 1: Los vrtices V, a1 y am son necesarios en algunos casos para iluminar el polgono P con luces de alcance r/2.Lema 2: Si es suficientemente pequeo, n 8 y L = r , entonces existe un polgono escalera P (V, a1, a2,...., am) de n vrtices que necesita [n/4] + 2 luces de alcance L para ser iluminado.Lema 3: Si L = r/2, entonces existe un polgono escalera P (V, a1,..., am) de n vrtices que necesita [n/4] +4 luces de alcance L para ser iluminado.Teorema 1: Para todo polgono escalera P con n vrtices, el nmero de luces vrtice de alcance L, a veces necesarias y siempre suficientes para iluminarlo son:

2.3. Iluminacin de Alcance Limitado en Pirmides:Un polgono pirmide puede considerarse una generalizacin de un polgono escalera. Por tanto, tiene sentido plantearse el mismo problema combinatorio estudiado para escaleras. Formalmente el problema que nos planteamos en esta seccin es el siguiente:Nmero de luces-vrtice de alcance L que iluminan un polgono pirmide CombN-v-Pi(P,L):ENTRADA: Un polgono P pirmide de n vrtices y un alcance de iluminacin L..PREGUNTA: Cul es el nmero mnimo k de luces-vrtice de alcance L necesarias para iluminar el polgono P?Para atacar este problema necesitamos tambin un conjunto de definiciones similares a las dadas para polgonos escalera, tales como el radio de una pirmide. Estas definiciones se exponen en la seccin siguiente.a) Definicin Polgono Pirmide: Se denomina polgono pirmide a todo polgono ortogonal tal que existe un lado horizontal cuya longitud es igual a la suma de las longitudes de losrestantes lados horizontales. Si a1,..., am son los vrtices convexos de un polgono pirmideP, lo designaremos por P (a1, a2,...., am).

Figura 5: Un polgono y su grafo de visibilidad.

De forma anloga a como definamos el concepto de radio en un polgono escalera, definiremos radio de una pirmide. Para ello utilizamos el concepto de grafo de visibilidad de un polgono pirmide.b) Definicin Grafo de Visibilidad de una Pirmide: Dado un polgono pirmide P (a1, a2,...., am) se llama grafo de visibilidad de P y de denota por GVP (a1, a2,...., am) al grafo cuyas aristas unen los vrtices visibles de P. Se llama radio de P y se denota r al mximo de la longitud de la aristas del grafo de visibilidad GVP (a1, a2,...., am).

2.3.1. Alcance Mnimo:Dado un polgono escalera P, se define Lmin como el valor ms pequeo para el que colocando luces de alcance Lmin en todos los vrtices del polgono P, ste quede totalmente iluminado. Veremos ms adelante que el intervalo de valores significativos para el alcance L resulta ser [Lmin, r]. Tambin se verifica ahora que Lmin = 1 2r, como probamos a continuacin.Proposicin 2.3.1: Dado un polgono pirmide P(a1, a2,...., am) de radio r, se tiene que Lmin = () r.

2.3.2. Luces Vrtice con Alcance L:Igual que se estudi en los polgonos escalera, analizamos a continuacin el nmero de luces necesarias y suficientes para iluminar el polgono pirmide. En este caso nos restringimos a luces vrtice con alcance L r.Proposicin 2.3.2: Para todo polgono pirmide P con n vrtices, el nmero de luces vrtice de alcance L r, a veces necesarias y siempre suficientes para iluminarlo es [n/6].Proposicin 2.3.3: Todo polgono pirmide P de n vrtices se puede iluminar con n luces de alcance r/2.Por otra parte, como todo polgono escalera se puede considerar un caso particular de polgono pirmide, tomando el ejemplo descrito en el Lema 3.2.3 es evidente que:Proposicin 2.3.4:Si es suficientemente pequeo y L = r , entonces existe un polgono pirmide P de n vrtices que necesita [n/4] + 2 luces de alcance L para ser iluminado.3. T-Buena Iluminacin:

Sea F = {f1, f2,..., fk} un conjunto de k luces o focos en el plano y O un conjunto de obstculos. Un punto p est tbien iluminado por L, 1 t k/2, si todo semiplano con borde en p contiene al menos t focos de L que lo iluminan.

Como se puede observar en la Figura 6 el punto p est 1bien iluminado por los focos f1, f2 y f3, ya que ninguno de los obstculos evita que cualquier semiplano que pasa por p deje focos a ambos lados del mismo. Sin embargo, el punto q no est 1bien iluminado ya que dibujando un semiplano con borde en q que deje a los focos f2 y f3 a un lado y f1 al otro, ste no iluminar a q. Segn la definicin anterior puede darse el caso que un foco fi pertenezca a la recta que genera los semiplanos. En este caso consideraremos que fi ilumina ambos semiplanos.

Figura 6: Un ejemplo de 1-buena iluminacin

El conjunto de puntos del plano tbien iluminados por F en presencia de un conjunto de obstculos O lo llamaremos regin tbien iluminada por F con respecto a O y lo denotaremos con Wt (F, O). Evidentemente la regin tbien iluminada puede ser no conexa. Por tanto hablaremos indistintamente de las regiones o la regin tbien iluminada por un conjunto F de focos.

Ahora bien, qu forma tienen las regiones tbien iluminadas? En la siguiente proposicin demostramos que estas regiones son siempre convexas, independientemente de la posicin de los focos, si el conjunto de obstculos O es vaco.

3.1. T-Buena Iluminacin sin Obstculos:Si no hay obstculos, o los obstculos no intersecan al cierre convexo de F, CH (F), la regin tbien iluminada coincide con el nivel de profundidad t del conjunto F, (tambin llamados niveles de profundidad de Tukey, (depthlevels); ver [98] para los artculos originales de Tukey). En la Figura 4.3 mostramos un ejemplo de esta regin.

Figura 7: Zona 3bien iluminada por focos en posicin general.

Claverol en [1] demostr que se pueden calcular los niveles de profundidad en tiempo ptimo O (n2). Podemos aplicar este resultado para calcular las regiones tbien iluminadas por F, cuando el conjunto de obstculos O no intersecan a CH (F), en tiempo ptimo O (k^2).

3.2. T-Buena Iluminacin en un Polgono:Consideremos un polgono P con un foco en cada uno de sus vrtices {v1, v2,..., vn} y supongamos que queremos calcular la regin de P tbien iluminada por esos focos. Distinguiremos dos casos: que P sea un polgono convexo o que no lo sea. Veremos en el caso convexo que la regin tbien iluminada coincide con el (t 1)-ncleo de P y por tanto se podr calcular en tiempo (n).

3.2.1. Polgono Convexo:Nos planteamos ahora la bsqueda de un algoritmo para el problema BtICon (P), es decir, buscamos la regin tbien iluminada por un conjunto F de focos situados en los vrtices de un polgono convexo P. En [1] se define el r-ncleo de un polgono convexo P de n vrtices en los siguientes trminos:Definicin 3.3.1: Si P es un polgono convexo de vrtices V = {v1,..., vn} y r Z, 0 r n, llamamos r-ncleo de P y lo designamos por Kerr (P) al conjunto

donde la interseccin recorre todos los subconjuntos de r elementos de {1, ..., n} y CH(A) indica el cierre convexo de A.3.2.2. Polgono No Convexo:Si el polgono P no es convexo y t = 2 debemos sustituir la diagonal vivi+2 por el camino geodsico que une vi con vi+2 en el interior de P. Los puntos de la regin poligonal Hi determinada por el camino geodsico de vi a vi+2 y el vrtice vi+1no estn 2bien iluminados, (ver Figura 8). Si z Hi, un semiplano cuyo borde pasa por z y no corta al camino geodsico de vi a vi+2 contiene menos de 2 focos, por lo que no est 2bien iluminado.

Figura 8: Regin Hi sin 2buena iluminacin.

As, la regin 2bien iluminada est contenida en la interseccin de las regiones P \Hi para i = 1, 2,..., n. Pero no coincide con ella segn muestra el siguiente ejemplo: en el polgono de la Figura 4.6, tomando z un punto del tringulo (axd), el semiplano determinado por la recta paralela a da que pasa por z solamente contiene al foco x, por lo que z no es un punto 2bien iluminado. Un tringulo no bien iluminado aparece en cada lado del polgono incidente con el vrtice cncavo.Algoritmo de 2buena iluminacin en un polgono no convexo

ENTRADA:Un polgono P con n vrtices y un conjunto F = {f1,..., fn} de n focos situados en los vrtices de P.

SALIDA:La regin 2bien iluminada en el interior de P por F, W2 (F, P).

1. Construccin de las regiones Hi. Para cada vrtice i trazamos las diagonales correspondientes al camino mnimo desde i al vrtice i + 2. La regin comprendida entre el camino y el vrtice i +1 no est 2bien iluminada, (ver Figura 4.6).2. Construccin de tringulos asociados a lados cncavos. Por cada arista ax incidente en el vrtice cncavo x se elimina una zona no 2bien iluminada construida del siguiente modo, (ver Figura 4.6): Prolongando el lado ax hacia el interior del polgono cortar a un lado de P en un punto t. Girando los segmentos at con centro en a y xt con centro en x y en sentidos contrarios, encontramos los primeros vrtices visibles en ambos casos, que llamaremos i y j respectivamente. Si calculamos ahora el punto de interseccin d de las rectas xj y ai, podemos construir el tringulo (adx) que segn se justifico anteriormente es una regin no bien 2iluminada. En la figura se muestra tambin la otra regin no bien 2iluminada que se obtiene con el otro lado incidente en el vrtice cncavo x.3. Eliminacin de las regiones no 2bien iluminadas. Eliminar de P las regiones Hi construidas en el Paso 1 y los dos tringulos adyacentes a cada vrtice cncavo de P, construidos en el Paso 2.

3.3. T-Buena Iluminacin con Obstculo Convexo:Todo polgono convexo tiene buenas propiedades respecto a la iluminacin o vigilancia. En este sentido podemos aprovechar dichas propiedades en el diseo de un algoritmo que calcule la zona 1bien iluminada por k focos exteriores a l.

Figura 9: Pre proceso para un convexo

Figura 10: Buena 1iluminacin con un obstculo convexo

Algoritmo de 1buena iluminacin para un convexo.

ENTRADA:Un polgono convexo C con n vrtices y un conjunto F = {f1, ...,fn} de n focos exteriores a l.SALIDA:La regin 2bien iluminada por F, W1(F,C).

1. Pre proceso. Determinar las cuas que producen la prolongacin de los lados del convexoy estudiar los focos que pertenecen a cada cua. Este pre proceso se debe realizar tanto enlas cuas hacia la derecha como las cuas hacia la izquierda, (es decir, cuando recorremosC en sentido derecho e izquierdo). En la Figura 9presentamos un ejemplo de ordenacinde focos alrededor del convexo en sentido derecho.Obsrvese que una vez realizada las dos ordenaciones, (en sentido derecho e izquierdo),quedan determinados los focos que vamos encontrando y abandonando al realizar unbarrido por una recta que contiene a cualquier lado de C y gira en sentido negativo alrededor de l. Los focos que aparecern vienen dados por la ordenacin de las cuas derechasy los que desaparecern por la ordenacin de las cuas izquierdas.

2. Clculo: El algoritmo consta de dos partes. La primera de ellas consiste en el clculo deuna zona poligonal A, que es la unin de los cierres convexos dinmicos de los subconjuntosde F linealmente separados de C. La segunda parte consiste en completar A con sectoresinternos de buena iluminacin Si, que no aparecen en la unin de los cierres convexos. As,la zona bien iluminada por los focos de F = {f1, f2,..., fk} ser .Detalladamenteestos son los pasos de esta parte de clculo.

(a) Construccin del primer convexo: Trazar una recta t que contiene a un lado cualquiera de C. Construir el cierre convexo de todos los puntos exteriores a t.(b) Clculo de A. Unin de los cierres convexos dinmicosGirar en sentido negativo la recta t y construir de forma dinmica la unin delos cierres convexos que irn apareciendo en sentido negativo y desapareciendoen sentido izquierdo, (ver Figura 10).(c) Completar con sectores internos S^i: Para cada foco fi construir su recta soporte ri a C. Girar ri en sentido negativo alrededor de C hasta encontrar el primer foco queaparece, fj . Calcular lar recta soporte rj de fj a C. Hallar el sector Si y unirlo a la zona bien iluminada A.

4. Iluminacin Mltiple en un Polgono:

4.1. Definiciones y Propiedades:Damos a continuacin las definiciones bsicas sobre visibilidad que nos ocuparn en el transcurso de este captulo.Definicin 4.1.1: Dado un conjunto D de =4, se traza una diagonal cualquiera que descompone el polgono P en otros dos con menor n de vrtices. Por hiptesis de induccin cada uno de estos polgonos admite una triangulacin lo que proporciona una triangulacin de todo P.

Lema 5. Todo polgono de n vrtices, n>=4 admite una diagonal interna.

a) Demostracin.En primer lugar observamos que todo polgono tiene algn vrtice convexo (por ejemplo, el situado ms a la izquierda). Llamemos A a dicho vrtice y B y C a sus adyacentes. Si el segmento BC est contenido en el polgono P ser la diagonal buscada. Si no es as, en el tringulo ABC habr vrtices de P. Tomamos el ms alejado X de la recta BC. As AX est contenido en P y es la diagonal buscada.

Propiedad 2.Cualquier triangulacin de un polgono es un grafo plano 3-coloreable.a) Demostracin.Sea P un polgono y T(P) una triangulacin de P. Demostraremos el resultado por induccin sobre n, nmero de vrtices de polgono P.Si n=3, la triangulacin coincide con P y la 3-coloracin es obvia.Si n>3 se toma una diagonal uv que parte T(P) en dos polgonos triangulados T(P) y T(P) cuyo n de vrtices es menor que n. Por induccin podemos colorear las triangulaciones de Py P asignando en ambas el color 1 al vrtice u y el color 2 a v. As tenemos una 3-coloracin de T(P).

Este tipo de problema para los diferentes tipos de guardias (cmaras) y los diferentes tipos de polgonos (galeras) pertenece al rea de estudio conocida como Teoremas y Algoritmos de las Galeras de Arte.

6. PROCESAMIENTO DE IMGENES.6.1. Adquisicin de la Imagen. Para la adquisicin de imgenes se utilizan diversos dispositivos como cmaras fotogrficas, cmaras de video, satlites, entre otros, dependiendo del tamao, resolucin de la imagen que necesitamos.

Figuras 18. Instrumentos de captura de de Imgenes

Una imagen natural capturada con una cmara, un telescopio, un microscopio o cualquier otro tipo de instrumento ptico presenta una variacin de sombras y tonos continua. Imgenes de este tipo se llaman imgenes analgicas.

Para que una imagen analgica, en blanco y negro, en escala de grises o a color, pueda ser "manipulada" usando un ordenador, primero debe convertirse a un formato adecuado. Este formato es la imagen digital correspondiente.

Figura 19. Transformacin de Imagen Analgica a Digital.

La transformacin de una imagen analgica a otra discreta se llama digitalizacin y es el primer paso en cualquier aplicacin de procesamiento de imgenes digitales.

6.2. Pre procesamiento de la Imagen6.2.1. Casi todas las imgenes al momento de ser convertidas en Imgenes digitales, poseen una cierta distorsin, ruido para ello se utilizan mtodos de eliminado de ruido, entonces tenemos que hacer un pre procesado de la imagen para dejarla lista solo para utilizar, en nuestro proyecto necesitaremos obtener los bordes de una imagen, entonces cualquier ruido puede modificar la estructura que deseamos.

6.2.2. Obtencin de Bordes.Dada una imagen con la (p,q)-adyacencia (p-adyacencia para negro y q-adyacencia para blanco). El borde de la imagen (en negro) es el conjunto de pxeles en negro que tienen, al menos un q-vecino en blanco. Anlogamente, el borde de la imagen (en blanco), es el conjunto de pxeles en blanco que tienen, al menos, un p-vecino en negro, algunos tipos son:

a) Borde ideal: forman un camino de un pxel de ancho, los que se produce, perpendicularmente, una un cambio en el nivel de gris.b) Borde rampa: forman un conjunto de pxeles conexos en los que se produce, en una determinada direccin, variacin gradual en el nivel de gris. Un punto se dice que es del borde si su derivada primera es mayor que un cierto valor umbral.La idea que subyace en la mayor parte de las tcnicas de deteccin de bordes es el clculo de un operador local de derivacin ya que un pxel pertenece a un borde si se produce un cambio brusco entre niveles de grises con sus vecinos. Incidiremos en las propiedades de los operadores de derivacin que vimos para realce de la imagen, para con la deteccin de bordes y estudiaremos otros no vistos hasta ahora. Un problema a tener en cuenta es que en la bsqueda de los cambios bruscos para detectar los bordes, tambin se detectar, colateralmente, el ruido. En general, podemos decir que los pasos fundamentales en la deteccin de bordes son: Realizar un suavizado de la imagen para reducir el ruido; Detectar los posibles candidatos a ser puntos del borde; Seleccionar, de entre los candidatos, aqullos que pertenecen realmente al borde.

En general, no hay forma de conocer si los pxeles detectados como parte del borde son correctos o no (intuitivamente hablando). Es lo que se llama falso positivo (el detector devuelve un pxel cuando en realidad no perteneca a ningn borde) y falso negativo (el detector no devuelve un pxel cuando en realidad perteneca a un borde). Una manera posible de evaluar si un detector de bordes es bueno o no sera comparando el borde obtenido por el detector con el borde real de la imagen (para lo que, evidentemente, necesitamos conocerlo de antemano). Existen parmetros, como el denominado Figure of Merit, que miden la bondad de un detector de bordes en este sentido. Existen otras aproximaciones que se basan en la "coherencia local". En este caso, no se compara con el borde real de la imagen, sino que se compara cada pxel detectado con sus vecinos.

A) Deteccin de bordes en imgenes en escala de grises: Canny Es el detector de bordes ms potente que existe actualmente. Los pasos principales del algoritmo son: 1. Se realiza una convolucin con un filtro gaussiano. De esta forma la imagen se suaviza (eliminacin de ruidos). 2. Se calcula el gradiente de la imagen suavizada, para determinar los pxeles donde se produce mxima variacin (mayor mdulo del vector gradiente). Tambin se determina la direccin del vector gradiente. 3. La matriz M correspondiente al mdulo del gradiente de la funcin gaussiana tendr valores grandes donde la variacin de la intensidad sea grande. Se eliminan (igualan a cero) aquellos pxeles que no son mximos locales en la direccin del gradiente (que es perpendicular al borde). 4. Se realiza un proceso de doble umbralizacin para determinar los pxeles del borde: se marcan los pxeles con valor por encima de un umbral T1; se marcan aquellos pxeles conectados a los primeros cuyo valor est por encima de un segundo umbral T2 (T2