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SECCIÓN 3.3 Ecuaciones generales 109

87. Consumo El costo total de una cena fue de $97.52. Esto incluyó una propina de 15% calculada sobre el costo de la cena después de un impuesto sobre ventas de 6%. Calcula el costo de la cena antes de la propina y del impuesto.

88. Negocios Un minorista decide incrementar 10% el precio original de cada artículo en la tienda. Después del incremento en el precio, el minorista observa una disminución significativa en las ventas, de manera que decide reducir 10% el precio actual de cada artículo en la tienda. ¿Los precios han vuelto a los precios originales? De no ser así, ¿los precios son más altos o más bajos que el precio original?

89. Si una cantidad se incrementa 100%, ¿cuántas veces es el nuevo valor su valor original?

90. El siguiente problema no contiene la información suficiente: “¿Cuántas horas re-quiere volar de los Ángeles a Nueva York?” ¿Qué información adicional necesitamos con el fin de responder a la pregunta?

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO

91. Población de Estados Unidos La gráfica circular de la derecha muestra la pobla-ción de Estados Unidos, en millones, por región (Fuente: Oficina del Censo de Estados Unidos).

a. ¿Qué porcentaje de la población de Estados Unidos vive en cada región? Redondea a la décima más cercana.

b. ¿Qué región tiene la mayor población? ¿En qué región vive el mayor porcentaje de la población?

Según la Oficina del Censo, California tiene la mayor población de todos los estados, con 38 millones. Wyoming, con 0.1683% de la población de Estados Unidos, tiene el menor número de residentes.

c. ¿Qué porcentaje de la población de Estados Unidos vive en California? Redondea a la décima de porcentaje más cercana.

d. ¿Cuántos residentes viven en Wyoming? Redondea a la decena de millar más cer-cana.

e. ¿Qué porcentaje de la población de Estados Unidos vive en el estado donde tú vives?

92. Pagos hipotecarios mensuales Supongamos que tienes una hipoteca de $100,000 a 30 años. ¿Cuál es la diferencia entre el pago mensual si la tasa de interés sobre tu préstamo es de 7.75% y el pago mensual de la tasa de interés es 7.25%? (Sugerencia: necesitarás comentar la pregunta con un agente en un banco que proporcione servicios hipotecarios, con un agente de bienes raíces, o encontrar y utilizar la fórmula para determinar el pago mensual de una hipoteca.

Noreste

55.8

Medio oeste

67.4

Oeste

72.2Sur

113.6

Población de Estados Unidos por

región (en millones de residentes)

3.3 Ecuaciones generales

OBJETIVO 1 Resolver ecuaciones de la forma ax 1 b 5 c

Al resolver una ecuación de la forma ax 1 b 5 c, la meta es reescribirla en la forma variable = constante. Esto requiere aplicar las propiedades aditiva y multiplicativa de las ecuaciones.

110 CAPÍTULO 3 Solución de ecuaciones y desigualdades

en resolver una ecuación de la forma ax 1 b 5 c

Resuelve: 2

5x 2 3 5 27

Suma 3 a cada lado de la ecuación.

Simplifica.

Multiplica cada lado de la ecuación por

el recíproco del coeficiente 25.

Simplifica. Ahora la ecuación está

en la forma variable = constante.

Escribe la solución.

Resuelve: 3x 2 7 5 25

Solución 3x 2 7 5 25

3x 2 7 1 7 5 25 1 7 • Suma 7 a cada lado de la ecuación.

3x 5 2 • Simplifica.

3x

35

2

3 • Divide entre 3 cada lado de la ecuación.

x 52

3

• Simplifica. Ahora la ecuación está en la

forma variable = constante.

La solución es 23. • Escribe la solución.

Problema 1 Resuelve: 5x 1 7 5 10

Solución Revisa la página S6.

Intenta resolver el ejercicio 21, página 117.

Resuelve: 5 5 9 2 2x

Solución 5 5 9 2 2x

5 2 9 5 9 2 9 2 2x • Resta 9 a cada lado de la ecuación.

24 5 22x • Simplifica.

24

22522x

22 • Divide entre 22 cada lado de la ecuación.

2 5 x • Simplifica.


Problema 2 Resuelve: 11 5 11 1 3x



Concéntrate

2

5x 2 3 5 27

2

5x 2 3 1 3 5 27 1 3

2

5x 5 24

5

2#2

5x 5

5

21242

x 5 210

Comprobación 2

5x 2 3 5 27

2

512102 2 3 27

24 2 3 27

27 5 27

La solución es 210.

EJEMPLO 1

†

EJEMPLO 2

†


Revisa en el Ejemplo 4, en la sección de Introducción a las ecuaciones, que la ecuación original 12 5 y 1

23, contenía fracciones con denominadores 2 y 3. El mínimo común múlti-

plo de 2 y 3 es 6. El mínimo común múltiplo tiene la propiedad de que tanto 2 como

3 se dividen igualmente entre él. Por consiguiente, si ambos lados de la ecuación se

multiplican por 6, ambos denominadores se dividirán igualmente entre 6. El resultado

es una ecuación que no contiene ninguna fracción. La multiplicación de una ecuación

que contiene fracciones por el mcm de los denominadores se llama despejar deno-

minadores. Es un método alterno de resolver una ecuación que contiene fracciones.

Despejar denominadores es un método de solución de ecuaciones. El proceso aplica sólo

a ecuaciones, nunca a expresiones.

en resolver una ecuación despejando primero los denominadores

Resuelve: 1

25 y 1

2

3

Multiplica ambos lados de la ecuación por 6,

el mcm de los denominadores.

Simplifica cada lado de la ecuación. Utiliza

la propiedad distributiva en el lado derecho

de la ecuación.

Observa que la multiplicación de ambos lados

de la ecuación por el mcm de los denominadores

elimina las fracciones.

Resuelve la ecuación resultante.

Resuelve: 2

31

1

4x 5 2

1

3

Solución 2

31

1

4x 5 2

1

3

• La ecuación contiene fracciones.

Calcula el mcm de los denominadores.

12a2

31

1

4xb 5 12a21

3b • El mcm de 3 y 4 es 12. Multiplica

por 12 cada lado de la ecuación.

12a2

3b 1 12a1

4xb 5 24 • Utiliza la propiedad distributiva

para multiplicar por 12 el lado

izquierdo de la ecuación.

8 1 3x 5 24 • La ecuación ahora no contiene

fracciones. 8 2 8 1 3x 5 24 2 8

3x 5 212

3x

35212

3 x 5 24

La solución es 24.

Concéntrate

1

25 y 1

2

3

6a1

2b 5 6ay 1 2

3b

3 5 6 1y2 1 6a2

3b

3 5 6y 1 4

3 2 4 5 6y 1 4 2 4

21 5 6y

21

65

6y

6

21

65 y


EJEMPLO 3


Problema 3 Resuelve: 5

22

2

3x 5

1

2



Resuelve: x

21

2

35

1

6

Solución x

21

2

35

1

6 • La ecuación contiene fracciones. Calcula el

mcm de los denominadores.

6ax

21

2

3b 5 6a1

6b • El mcm de 2, 3 y 6 es 6. Multiplica por 6

cada lado de la ecuación.

6ax

2b 1 6a2

3b 5 1

• Utiliza la propiedad distributiva en el lado

izquierdo de la ecuación.

3x 1 4 5 1 • La ecuación ahora no contiene fracciones.

3x 1 4 2 4 5 1 2 4

3x 5 23

3x

3523

3

x 5 21

La solución es 21.

Problema 4 Resuelve: x

41

3

25

3x

8



OBJETIVO 2 Resolver ecuaciones de la forma ax 1 b 5 cx 1 d

Al resolver una ecuación de la forma ax 1 b 5 cx 1 d, la meta es reescribirla en la forma

variable = constante. Empieza por reescribir la ecuación de manera que sólo haya un tér-

mino variable en ella. Después reescríbela de manera que sólo haya un término constante.

en resolver una ecuación de la forma ax 1 b 5 cx 1 d

Resuelve: 4x 2 5 5 6x 1 11

Resta 6x a cada lado de la ecuación.

Simplifica. Ahora sólo hay un término

variable en la ecuación.



constante en la ecuación.

Divide cada lado de la ecuación entre 22.

Simplifica. Ahora la ecuación está en

la forma variable = constante.


†

EJEMPLO 4

†

Concéntrate

4x 2 5 5 6x 1 11

4x 2 6x 2 5 5 6x 2 6x 1 11

22x 2 5 5 11

22x 2 5 1 5 5 11 1 5

22x 5 16

22x

225

16

22

x 5 28

Comprobación 4x 2 5 5 6x 1 11

4 1282 2 5 6 1282 1 11

232 2 5 248 1 11

237 5 237

La solución es 28.

e


Resuelve: 4x 2 3 5 8x 2 7

Solución 4x 2 3 5 8x 2 7

4x 2 8x 2 3 5 8x 2 8x 2 7 • Resta 8x a cada lado de la ecuación.

24x 2 3 5 27 • Simplifica. Ahora sólo hay un tér-

mino variable en la ecuación.


24x 5 24 • Simplifica. Ahora sólo hay un tér-

mino constante en la ecuación.

24x

24524

24

• Divide entre 24 cada lado de la

ecuación .

x 5 1 • Simplifica. Ahora la ecuación está

en la forma variable = constante.


Problema 5 Resuelve: 5x 1 4 5 6 1 10x

Solución Revisa la páginas S6–S7.


OBJETIVO 3 Resolver ecuaciones que contienen paréntesis

Cuando una ecuación contiene paréntesis, uno de los pasos para resolverla requiere utili-

zar la propiedad distributiva. Esta propiedad se utiliza para eliminar los paréntesis de una

expresión algebraica.

a 1b 1 c2 5 ab 1 ac

en resolver una ecuación que contiene paréntesis

Resuelve: 4 1 5 12x 2 32 5 3 14x 2 12Utiliza la propiedad distributiva para

eliminar los paréntesis.

Simplifica.

Resta 12x a cada lado de

la ecuación.


variable en la ecuación.



constante en la ecuación.

Divide entre 22 cada lado de

la ecuación.

Simplifica. Ahora la ecuación está en

la forma variable = constante.


EJEMPLO 5

†

Concéntrate

Toma notaComo se muestra a continuación,

podríamos haber reescrito la

ecuación en la forma constante =

variable restando 4x a cada lado,

sumando 7 a cada lado y después

dividiendo cada lado entre 4.

4x 2 3 5 8x 2 7

23 5 4x 2 7

4 5 4x

1 5 x

La solución es 1.

Comprobación 4 1 5 12x 2 32 5 3 14x 2 12 4 1 5 32 1242 2 3 4 3 34 1242 2 1 4 4 1 5 128 2 32 3 1216 2 12 4 1 5 12112 3 12172 4 2 55 251

251 5 251

La solución es 24.

4 1 5 12x 2 32 5 3 14x 2 12 4 1 10x 2 15 5 12x 2 3

10x 2 11 5 12x 2 3

10x 2 12x 2 11 5 12x 2 12x 2 3

22x 2 11 5 23

22x 2 11 1 11 5 23 1 11

22x 5 8

22x

225

8

22

x 5 24


En el capítulo 2 discutimos el uso de una calculadora graficadora para evaluar las

expresiones algebraicas. El mismo procedimiento se puede utilizar para comprobar

la solución de una ecuación. Considera el ejemplo anterior. Después de que dividi-

mos entre 22 ambos lados de la ecuación, la solución parece ser 24. Para compro-

bar esta solución, guarda el valor de x, 24, en la calculadora. Evalúa la expresión en

el lado izquierdo de la ecuación original: 4 1 5 12x 2 32 . El resultado es 251. Ahora

evalúa la expresión en el lado derecho de la ecuación original: 3 14x 2 12 . El resultado

es 251. Debido a que los resultados son iguales, la solución 24 es correcta. Revisa el

Apéndice para una descripción de los procedimientos para utilizar las teclas.

Resuelve: 3x 2 4 12 2 x2 5 3 1x 2 22 2 4

Solución 3x 2 4 12 2 x2 5 3 1x 2 22 2 4 3x 2 8 1 4x 5 3x 2 6 2 4 • Utiliza la propiedad distributiva

para eliminar los paréntesis.

7x 2 8 5 3x 2 10 • Simplifica.

7x 2 3x 2 8 5 3x 2 3x 2 10 • Resta 3x a cada lado de la

ecuación. 4x 2 8 5 210


4x 5 22

4x

4522

4


ecuación.

x 5 21

2 • La ecuación está en la forma

variable = constante.


Problema 6 Resuelve: 5x 2 4 13 2 2x2 5 2 13x 2 22 1 6



Resuelve: 3 32 2 4 12x 2 12 4 5 4x 2 10

Solución 3 32 2 4 12x 2 12 4 5 4x 2 10

3 32 2 8x 1 4 4 5 4x 2 10 • Utiliza la propiedad distributiva

para eliminar los paréntesis.

3 36 2 8x 4 5 4x 2 10 • Simplifica dentro de los

corchetes.

18 2 24x 5 4x 2 10 • Utiliza la propiedad dis-

tributiva para eliminar los

corchetes.

18 2 24x 2 4x 5 4x 2 4x 2 10 • Resta 4x a cada lado de la

ecuación. 18 2 28x 5 210

18 2 18 2 28x 5 210 2 18 • Resta 18 a cada lado de la

ecuación. 228x 5 228

228x

2285228

228

• Divide entre 228 cada lado

de la ecuación.

x 5 1

La solución es 1.

Problema 7 Resuelve: 22 33x 2 5 12x 2 32 4 5 3x 2 8



EJEMPLO 6

†

EJEMPLO 7

†


OBJETIVO 4 Resolver problemas de aplicación utilizando fórmulas

Una empresa utiliza la ecuación V 5 C 2 6000t para determinar

el valor depreciado V, después de t años, de una fresadora que ori-

ginalmente costó C dólares. Si una fresadora costó originalmente

$50,000, ¿en cuántos años su valor depreciado será de $38,000?

Estrategia Para determinar el número de años, sustituye C por 50,000 y V por

38,000 en la ecuación dada y resuelve para t.

Solución V 5 C 2 6000t

38,000 5 50,000 2 6000t

38,000 2 50,000 5 50,000 2 50,000 2 6000t

212,000 5 26000t

212,000

26000526000t

26000 2 5 t

El valor depreciado de la fresadora será de $38,000 dentro de

2 años.

Problema 8 El valor V de una inversión de $7500 a una tasa de interés simple

anual de 6% está dado por la ecuación V 5 450t 1 7500, donde

t es la cantidad de tiempo, en años, que se invierte el dinero. ¿En

cuántos años el valor de una inversión de $7500 será de $10,200?



A continuación se muestra un sistema de palanca. Consiste en una palanca, o barra; un punto

de apoyo; y dos fuerzas, F1 y F2. La distancia d representa el largo de la palanca, x representa

la distancia de F1 al punto de apoyo y d 2 x la distancia de F2 al punto de apoyo.

F1 F2

palancapunto

de apoyo

x d – x

d

Un principio de la física dice que cuando el sistema de palanca se equilibra,

F1x 5 F21d 2 x2

Una palanca tiene 10 pies de largo. Una fuerza de 100 libras se

aplica a un extremo de la palanca y una fuerza de 400 libras

se aplica al otro extremo. Cuando el sistema se equilibra, ¿qué tan

lejos está el punto de apoyo de la fuerza de 100 libras?

EJEMPLO 8

• V 5 38,000, C 5 50,000

• Resta 50,000 a cada lado

de la ecuación.

• Divide entre 26000 cada

lado de la ecuación, el

coeficiente de t.

†

EJEMPLO 9

Toma nota

10 pies

46

60 lb 90 lb

Este sistema se equilibra debido

a que

F1x 5 F2 1d 2 x260 162 5 90 110 2 6260 162 5 90 142

360 5 360


Estrategia Traza un diagrama de la situación.

10 – xx

10 pies

400 libras

100 libras

La palanca tiene 10 pies de largo, de manera que d 5 10. Una fuerza

es de 100 libras, de manera que F1 5 100. La otra fuerza es de 400 libras,

de manera que F2 5 400. Para calcular la distancia que hay del punto de

apoyo a la fuerza de 100 libras, sustituye las variables F1, F2 y d en la

ecuación del sistema de palanca con los valores dados y resuelve para x.

Solución F1x 5 F2 1d 2 x2 100x 5 400 110 2 x2 100x 5 4000 2 400x

100x 1 400x 5 4000 2 400x 1 400x

500x 5 4000

500x

5005

4000

500 x 5 8

El punto de apoyo está a 8 pies de la fuerza de 100 libras.

Problema 9 Una palanca tiene 14 pies de largo. A una distancia de 6 pies del punto

de apoyo, se aplica una fuerza de 40 libras. ¿Qué tan grande debe ser una

fuerza aplicada en el otro extremo de manera que el sistema se equilibre?



• Utiliza la propiedad distributiva.

• Suma 400x a cada lado de la

ecuación.


ecuación, el coeficiente de x.

†

Ejercicios3.3

REVISIÓN DE CONCEPTOS 1. Asocia cada ecuación con el primer paso para resolverla.

a. 3x 2 7 5 5

b. 4x 1 7 5 25

c. 7x 2 5 5 2

d. 27x 1 5 5 22

i. Suma 7 a cada lado.

ii. Suma 5 a cada lado.

iii. Resta 7 de cada lado.

iv. Resta 5 de cada lado.

Indica si la expresión es verdadera o falsa.

2. El mismo término variable se puede sumar a ambos lados de una ecuación sin cambiar

la solución de la misma.

3. El mismo término variable se puede restar de ambos lados de una ecuación sin cambiar

la solución de la misma.

4. Una ecuación de la forma ax 1 b 5 c no se puede resolver si a es un número negativo.

5. La solución de la ecuación x3 5 0 es 0.


6. La solución de la ecuación x0 5 3 es 0.

7. Al resolver una ecuación de la forma ax 1 b 5 cx 1 d, la meta es reescribirla en la

forma variable = constante.

Resolver ecuaciones de la forma ax 1 b 5 c (Revisa las páginas 109–112).

PREPÁRATE

8. El primer paso para resolver la ecuación 5 1 8x 5 29 es restar ? a cada

lado de la ecuación. El segundo paso es dividir entre ? cada lado de la

ecuación.

9. Para despejar denominadores de la ecuación x9 1 2 5

16, multiplica cada lado de

la ecuación por ? , el mínimo común múltiplo de los denominadores 9 y 6.

Realiza los ejercicios 10 y 11 sin encontrar realmente las soluciones.

10. ¿La solución de la ecuación 15x 1 73 5 2347 es positiva o negativa?

11. ¿La solución de la ecuación 17 5 25 2 40a es positiva o negativa?

Resuelve y comprueba.

12. 3x 1 1 5 10

16. 5 5 4x 1 9

20. 2 2 x 5 11

24. 25d 1 3 5 212

28. 213 5 211y 1 9

32. 1 2 3x 5 0

36. 6a 1 5 5 9

40. 5 2 6m 5 2

44. 5y 13

75

3

7

48. 1

2a 2 3 5 1

52. 22

3x 1 1 5 7

56. 2x

32 1 5 5

60. 17 5 7 25

6t

64. x

22

1

55

3

10

13. 4y 1 3 5 11

17. 2 5 5b 1 12

21. 4 2 3w 5 22

25. 28x 2 3 5 219

29. 2 5 7 2 5a

33. 23m 2 21 5 0

37. 3m 1 4 5 11

41. 7 2 9a 5 4

45. 9x 14

55

4

5

49. 1

3m 2 1 5 5

53. 23

8b 1 4 5 10

57. 3c

72 1 5 8

61. 2

35 y 2

1

2

65. 2x

151 3 5 2

1

3

14. 2a 2 5 5 7

18. 13 5 9 1 4z

22. 5 2 6x 5 213

26. 27n 2 4 5 225

30. 3 5 11 2 4n

34. 7x 2 3 5 3

38. 9 2 4x 5 6

42. 2y 11

35

7

3

46. 4 5 7 2 2w

50. 2

5y 1 4 5 6

54. x

42 6 5 1

58. 4 23

4z 5 22

62. 3

85

5

122

1

3b

66. 4

51

3x

105

1

2

15. 5m 2 6 5 9

19. 9 5 7 2 c

23. 8 2 3t 5 2

27. 212x 1 30 5 26

31. 235 5 26b 1 1

35. 8y 1 3 5 7

39. 7 2 8z 5 0

43. 3x 25

65

13

6

47. 7 5 9 2 5a

51. 3

4n 1 7 5 13

55. y

52 2 5 3

59. 3 24

5w 5 29

63. 2

35

3

42

1

2y

67. 5x

122

1

45

1

6

†

†

†

†

68. 7 52x

51 4

71. 5y 1 9 1 2y 5 23

74. 21 5 5m 1 7 2 m

77. 1.2x 2 3.44 5 1.3

69. 5 24c

75 8

72. 2x 2 6x 1 1 5 9

75. 8 5 4n 2 6 1 3n

78. 3.5 5 3.5 1 0.076x

70. 6a 1 3 1 2a 5 11

73. b 2 8b 1 1 5 26

76. 0.15y 1 0.025 5 20.074

79. 26.5 5 4.3y 2 3.06

1


Resuelve.

80. Si 2x 2 3 5 7, evalúa 3x 1 4.

82. Si 4 2 5x 5 21, evalúa x22 3x 1 1.

81. Si 3x 1 5 5 24, evalúa 2x 2 5.

83. Si 2 2 3x 5 11, evalúa x21 2x 2 3.

Resolver ecuaciones de la forma ax 1 b 5 cx 1 d (Revisa las páginas 112–113).

PREPÁRATE

84. Para resolver la ecuación 7x 2 4 5 2x 1 6, restamos 2x y sumamos 4 a cada lado de

la ecuación. La ecuación resultante es ? 5 ? . La solución de la ecuación es ? .

85. Para resolver 16x 2 7 5

34x, empezamos por despejar los denominadores.

( ? )a1

6x 2 7b 5 ( ? )a3

4xb • Multiplica cada lado de la ecuación por

el mcm de los denominadores, 6 y 4.

12a1

6xb 2 1122 172 5 9x • Utiliza la propiedad ? en el lado izquierdo

de la ecuación. Simplifica el lado derecho.

? x 2 ? 5 9x • Simplifica.

2x 2 ? 2 84 5 9x 2 ? • Resta 2x a cada lado de la ecuación.

284 5 ? x • Simplifica.

284

75

7x

7 • ? cada lado de la ecuación entre ? .

? 5 x • Simplifica.

Realiza los ejercicios 86 y 87 sin encontrar realmente las soluciones.

86. Describe el paso que te permitirá reescribir la ecuación 2x 2 3 5 7x 1 12 de manera

que tenga un término variable con un coeficiente positivo.

87. Si reescribes la ecuación 8 2 y 5 y 1 6 de manera que tenga un término variable en

el lado izquierdo de la ecuación, ¿cuál será el coeficiente de la variable?


88. 8x 1 5 5 4x 1 13

91. 11n 1 3 5 10n 1 11

94. 12y 2 4 5 9y 2 7

97. 7a 2 5 5 2a 2 20

100. 2x 2 3 5 211 2 2x

103. m 1 4 5 3m 1 8

106. 4y 2 8 5 y 2 8

109. 10 2 4n 5 16 2 n

112. 8m 5 3m 1 20

115. 8 2 4x 5 18 2 5x

118. 8b 1 5 5 5b 1 7

121. 10x 2 3 5 3x 2 1

124. 1

5d 5

1

2d 1 3

127. 4

5c 2 7 5

1

10c

130. 8.7y 5 3.9y 1 9.6

89. 6y 1 2 5 y 1 17

92. 5x 2 4 5 2x 1 5

95. 13b 2 1 5 4b 2 19

98. 3x 1 1 5 11 2 2x

101. 4y 2 2 5 216 2 3y

104. 4x 2 7 5 5x 1 1

107. 5a 1 7 5 2a 1 7

110. 2x 2 4 5 6x

113. 9y 5 5y 1 16

116. 6 2 10a 5 8 2 9a

119. 6y 2 1 5 2y 1 2

122. 5n 1 3 5 2n 1 1

125. 3

4x 5

1

12x 1 2

128. 1

2y 5 10 2

1

3y

131. 4.5x 2 5.4 5 2.7x

90. 7m 1 4 5 6m 1 7

93. 9a 2 10 5 3a 1 2

96. 15x 2 2 5 4x 2 13

99. n 2 2 5 6 2 3n

102. 2b 1 3 5 5b 1 12

105. 6d 2 2 5 7d 1 5

108. 6 2 5x 5 8 2 3x

111. 2b 2 10 5 7b

114. 2x 2 4 5 23x 2 16

117. 5 2 7m 5 2 2 6m

120. 7x 2 8 5 x 2 3

123. 8a 2 2 5 4a 2 5

126. 2

3a 5

1

5a 1 7

129. 2

3b 5 2 2

5

6b

132. 5.6x 5 7.2x 2 6.4

†

2


Resuelve.

133. Si 5x 5 3x 2 8, evalúa 4x 1 2.

135. Si 2 2 6a 5 5 2 3a, evalúa 4a22 2a 1 1.

134. Si 7x 1 3 5 5x 2 7, evalúa 3x 2 2.

136. Si 1 2 5c 5 4 2 4c, evalúa 3c22 4c 1 2.

Resolver ecuaciones que contienen paréntesis (Revisa las páginas 113–114).

PREPÁRATE

137. Utiliza la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis de la ecuación

4x 1 3 1x 1 62 5 74: 4x 1 ? 1 ? 5 74.

138. Utiliza la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis de la ecuación

9x 2 5 14 2 x2 5 2 1x 1 22 : 9x 2 ? 1 ? 5 ? 1 ? .

139. En cada una de las siguientes ecuaciones, y es el mismo número entero positivo.

¿Para cuáles ecuaciones tendrá x la misma solución?

i) 5 2 2 1x 2 12 5 y ii) 3 1x 2 12 5 y

iii) 5 2 2x 1 2 5 y iv) 5 2 2x 1 1 5 y

140. Al resolver la ecuación 9 2 18 2 x2 5 5x 2 1, ¿cuántas veces utilizarás la pro-

piedad distributiva para eliminar los paréntesis?


141. 5x 1 2 1x 1 12 5 23

144. 12 2 2 14x 2 62 5 8

147. 5 13 2 2y2 1 4y 5 3

150. 5y 2 3 5 7 1 4 1y 2 22

142. 6y 1 2 12y 1 32 5 16

145. 7 2 3 13a 2 42 5 10

148. 4 11 2 3x2 1 7x 5 9

151. 4 2 3a 5 7 2 2 12a 1 52

143. 9n 2 3 12n 2 12 5 15

146. 9m 2 4 12m 2 32 5 11

149. 10x 1 1 5 2 13x 1 52 2 1

152. 9 2 5x 5 12 2 16x 1 72 153. 3y 2 7 5 5 12y 2 32 1 4

155. 5 2 19 2 6x2 5 2x 2 2

157. 3 32 2 4 1y 2 12 4 5 3 12y 1 82 159. 3a 1 2 32 1 3 1a 2 12 4 5 2 13a 1 42 161. 22 34 2 13b 1 22 4 5 5 2 2 13b 1 62 163. 0.3x 2 2 11.6x2 2 8 5 3 11.9x 2 4.12

154. 2a 2 5 5 4 13a 1 12 2 2

156. 7 2 15 2 8x2 5 4x 1 3

158. 5 32 2 12x 2 42 4 5 2 15 2 3x2 160. 5 1 3 31 1 2 12x 2 32 4 5 6 1x 1 52 162. 24 3x 2 2 12x 2 32 4 1 1 5 2x 2 3

164. 0.56 2 0.4 12.1y 1 32 5 0.2 12y 1 6.12

†

†

Resuelve.

165. Si 4 2 3a 5 7 2 2 12a 1 52 , evalúa a2 1 7a.

167. Si 2z 2 5 5 3 14z 1 52 , evalúa z2

z 2 2.

166. Si 9 2 5x 5 12 2 16x 1 72 , evalúa x2 2 3x 2 2.

168. Si 3n 2 7 5 5 12n 1 72 , evalúa n2

2n 2 6.

Resolver problemas de aplicación utilizando fórmulas (Revisa las páginas 115–116).

Física El hielo negro es una cubierta de hielo sobre las carreteras, la cual es especialmente difícil de ver y, por consiguiente, es en extremo peligrosa para los automovilistas. La dis-

tancia a la que se deslizará un automóvil que viaja a 30 mph después de aplicar los frenos

se relaciona con la temperatura exterior por la fórmula C 514D 2 45, donde C es la tem-

peratura Celsius y D la distancia en pies que se deslizará el automóvil.

169. Calcula la distancia que se deslizará un automóvil sobre el hielo negro cuando la

temperatura exterior es de –3 °C.

170. Calcula la distancia que se deslizará un automóvil sobre el hielo negro cuando la

temperatura exterior es de –11 °C.

3

4


Física La presión a cierta profundidad en el océano se puede aproximar por la ecuación

P 512D 1 15, donde P es la presión en libras por pulgada cuadrada y D la profundidad en pies.

171. Calcula la profundidad de un buzo cuando la presión sobre él es de 35 lb/pulg2.

172. Calcula la profundidad de un buzo cuando la presión sobre él es de 45 lb/pulg2.

Ciencia forense Los científicos forenses han determinado que la ecuación H 5 2.9L 1 78.1

se puede utilizar para aproximar la estatura H, en centímetros, de un adulto sobre la base del

largo L, en centímetros, de su húmero (el hueso que se extiende desde el hombro hasta el codo).

173. Utiliza esta fórmula para aproximar la estatura de un adulto cuyo húmero mide 36 cm.

174. Según esta fórmula, ¿cuál es el largo del húmero de un adulto cuya estatura es de 168 cm?

Física La distancia s, en pies, a la cual caerá un objeto en t segundos está dada por

s 5 16t2 1 vt, donde v es la velocidad descendente inicial del objeto en pies por segundo.

175. Calcula la velocidad inicial de un objeto que cae 80 pies en 2 s.

176. Calcula la velocidad inicial de un objeto que cae 144 pies en 3 s.

Negocios La tarifa F que le cobrará a un cliente una compañía de taxis se calcula utilizan-

do la fórmula F 5 2.50 1 2.30 1m 2 12 , donde m es el número de millas recorridas.

177. A un cliente le cobran $14.00. ¿Cuántas millas lo transportaron?

178. A un cliente le cobran $20.90. Calcula el número de millas que lo transportaron.

Árboles campeones American Forests es una organización que lleva el registro na-

cional de árboles grandes, una lista de los árboles más grandes en Estados Unidos. La

fórmula utilizada para otorgarle puntos a un árbol es P 5 c 1 h 114s, donde P es el punto

total para un árbol con una circunferencia de c pulgadas, una altura de h pies y una ex-

pansión promedio de la copa de s pies. Utiliza esta fórmula para los ejercicios 179 y 180.

(Fuente: www.amfor.org).

179. Calcula la expansión promedio de la corona del ciprés calvo descrito en el artículo de

la derecha.

180. Uno de los árboles más pequeños en Estados Unidos es el Crossopetalum de Florida

en Key Largo Hammocks State Botanical Site. Este árbol se yergue a 11 pies de altu-

ra, tiene una circunferencia de apenas 4.8 pulg y se anota 16.55 puntos utilizando la

fórmula de American Forests. Calcula la expansión promedio de la corona del árbol.

(Fuente: championtrees.org).

Empleo La velocidad de mecanografiado precisa de una persona se puede aproximar por

la ecuación S 5W 2 5e

10 , donde S es la velocidad de mecanografiado preciso en palabras

por minuto, W el número de palabras mecanografiadas en 10 minutos y e el número de

errores cometidos.

181. Después de hacer un examen de mecanografía de 10 minutos, le dijeron a un aspi-

rante a un empleo que tenía una velocidad precisa de 35 palabras por minuto. Había

mecanografiado un total de 390 palabras. ¿Cuántos errores cometió?

182. Una aspirante a un trabajo hizo una prueba de mecanografía de 10 minutos y le dije-

ron que tenía una velocidad precisa de 37 palabras por minuto. Si había mecanogra-

fiado un total de 400 palabras, ¿cuántos errores cometió?

Húmero

†

El Senator en Big Tree Park

Sem

inole County Governm

ent

En las noticias

El Senator es un campeónLos cipreses calvos se

encuentran entre los árboles

más antiguos de América

del Norte. El ciprés calvo de

3500 años de edad conocido

como el Senator, ubicado en

Big Trees Park, Longwood,

es el espécimen campeón de

Florida de su especie. Con una

circunferencia de 425 pulg y

una altura de 118 pies, este rey

de los bosques pantanosos se

ganó un total de 55714 puntos

bajo el sistema de puntos

utilizado por el Nacional

Register of Big Trees.

Fuente: www.championtrees.org


Negocios Para determinar el punto de equilibrio, o el número de unidades que se debe vender para que

no se produzca utilidad o pérdida, un economista utiliza la ecuación Px 5 Cx 1 F, donde P es el precio

de venta unitario, x el número de unidades vendidas, C el costo de fabricar cada unidad y R el costo fijo.

183. Un economista ha determinado que el precio de venta unitario de un televisor es $550. El costo de

fabricar un televisor es $325 y el costo fijo $78,750. Calcula el punto de equilibrio.

184. Un ingeniero de manufactura determina que el costo unitario de un DVD es $10.35 y el costo fijo

$13,380. El precio de venta del DVD es $21.50. Calcula el punto de equilibrio.

Sistema de palancas Utiliza la ecuación del sistema de palancas F1x 5 F2 1d 2 x2 . 185. En la ecuación del sistema de palancas F1x 5 F2 1d 2 x2 , ¿qué representa x? ¿Qué representa

d? ¿Qué representa d 2 x?

PREPÁRATE

186. Dos niños se sientan en un sube y baja que tiene 12 pies de largo. Un niño pesa 85 libras y

el otro 65. Si x es la distancia del niño de 65 libras del punto de apoyo cuando el sube y baja

se balancea, indica el valor de cada una de las otras variables en la fórmula del sistema de

palancas F1x 5 F2 1d 2 x2 : F1 5? , F2 5

? y d 5 ? .

Para los ejercicios 187 a 189, utiliza la siguiente información: dos personas se sientan en un sube

y baja que tiene 8 pies de largo. El sube y baja se equilibra cuando el punto de apoyo está a 3 pies de

una de las personas.

187. Qué tan lejos está el punto de apoyo de la otra persona?

188. ¿Qué persona pesa más, la que está a 3 pies del punto de apoyo o la otra?

189. Si las dos personas cambian de lugar, ¿el sube y baja se seguirá balanceando?

190. Supongamos que un niño que pesa 80 libras está sentado en un extremo de un sube y baja de 7

pies y un niño que pesa 60 libras está sentado en el otro extremo. El niño de 80 libras está a 3 pies

del punto de apoyo. Utiliza la ecuación del sistema de palancas para explicar por qué se balancea

el sube y baja.

191. Dos niños están sentados a 8 pies de distancia en un sube y baja. Un niño pesa 60 libras y el segun-

do 50. El punto de apoyo ésta a 3.5 pies del niño que pesa 60 libras. ¿El sube y baja se balancea?

192. Un adulto y un niño están en un sube y baja que tiene 14 pies de largo. El adulto pesa

175 libras y el niño 70. ¿A cuántos pies del niño se debe colocar el punto de apoyo de

manera que el sube y baja se balancee?

193. Una palanca de 10 pies de largo se utiliza para balancear una roca de 100 libras. El

punto de apoyo está colocado a 2 pies de la roca. ¿Qué fuerza se debe aplicar en el

otro extremo de la palanca para balancear la roca?

194. Un peso de 50 libras se aplica en el extremo izquierdo de un sube y baja que tiene

10 pies de largo. El punto de apoyo está a 4 pies del peso de 50 libras. Un peso de

30 libras se aplica en el extremo derecho del sube y baja. ¿El peso de 30 libras es

adecuado para balancear el sube y baja?

195. En preparación para un acto, dos acróbatas están de pie sobre una tabla que tiene 18

pies de largo. Un acróbata pesa 128 lb y el segundo 160. ¿Qué tan lejos del acróbata

de 128 lb se debe colocar el punto de apoyo de manera que los acróbatas se balanceen

en la tabla?

196. Un destornillador de 9 pulg de largo se utiliza como palanca para abrir una lata de

pintura. La punta del destornillador se coloca debajo del borde de la tapa con el punto

de apoyo a 0.15 pulg del borde. Se aplica una fuerza de 30 lb en el otro extremo del

destornillador. Calcula la fuerza sobre el borde de la tapa.

†

2 pies

F2 100 lb

F10.15 pulg

9 pulg

30 lb


APLICACIÓN DE CONCEPTOSResuelve. Si la ecuación no tiene solución, escribe “no hay solución”.

197. 3 12x 2 12 2 16x 2 42 5 29

199. 3 34 1w 1 22 2 1w 1 12 4 5 5 12 1 w2 198.

1

5125 2 10b2 1 4 5

1

319b 2 152 2 6

200. 2 15x 2 62 2 3 1x 2 42

75 x 1 2

201. Una mitad de cierto número es igual a dos terceras partes del mismo número. Encuen-

tra el número.

202. ¿La frase “Resuelve 3x 2 4 1x 2 12” tiene sentido? ¿Por qué?

203. La ecuación x 5 x 1 1 no tiene solución, mientras que la solución de la ecuación

2x 1 1 5 1 es cero. ¿Existe alguna diferencia entre no hay solución y una solución

de cero?

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO 204. Estoy pensando en un número. Cuando resto 4 de ese número y después tomo 300%

del resultado, mi nuevo resultado es igual al número original. ¿Cuál es el número

original?

205. Si s 5 5x 2 3 y t 5 x 1 4, calcula el valor de x para el cual s 5 3t 2 1.

206. La población de la ciudad de Hampton aumentó 10,000 personas durante la década de

1990. En la primera década del nuevo milenio, la población de Hampton disminuyó

10%, en cuya época la población tenía 6000 personas más que a principios de la década

de 1990. Calcula la población de Hampton a principios de la década de 1990.

Índice de precios al consumidor El índice de precios al consumidor (IPC) es un

porcentaje que se escribe sin el signo de porcentaje. Por ejemplo, un IPC de 160.1 significa

160.1%. Este número significa que un artículo que costaba $100 entre 1982 y 1984 (los

años base) ahora costaría 160.10. La determinación del costo es una aplicación de la ecua-

ción básica del porcentaje.

• 160.1% 5 1.601

La tabla de la derecha proporciona el IPC para

varios productos en marzo de 2010.

207. De los artículos listados, ¿hay algunos ar-

tículos que cuestan más de tres veces en

2010 de lo que costaban durante los años

base? De ser así, ¿cuáles son?

208. De los artículos listados, ¿hay algunos ar-

tículos que costaban más de una y media

veces más en 2010 de lo que costaban du-

rante los años base, pero menos del doble

de lo que costaban durante los años base?

De ser así, ¿cuáles son?

209. Si un automóvil nuevo costaba $30,000 en 2010, ¿cuánto habría costado un automó-

vil nuevo comparable durante los años base? Utiliza la categoría de transporte.

210. El IPC para todos los artículos en el verano de 1971 era 39.0. ¿Qué sueldo en 2010

habría tenido el mismo poder adquisitivo que un sueldo de $10,000 en 1970?

Producto IPC

Todos los artículos 217.6

Alimentos y bebidas 219.4

Vivienda 216.0

Ropa 122.1

Transporte 192.1

Cuidado médico 387.1

Energía 210.0

=

=

=

PB A

IPC( )(costo en el año base) costo hoy

1.601(100) 160.1

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