INGENIEROS INDUSTRIALES Y DE TELECOMUNICACIONES

CURSO CERO DE MATEMATICAS

Apuntes elaborados por Domingo Pestana Galvan

y Jose Manuel Rodrguez Garca

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID

Escuela Politecnica Superior

Departamento de Matematicas

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1. Polinomios y fracciones algebraicas

1.1. Definiciones y resultados previos

Definicion 1.1. Un polinomio (con coeficientes reales) en la variable x es cualquier expresion (con unnumero finito de sumandos) de la forma

P (x) = anxn + an1xn1 + + a1x+ a0 , donde a0, a1, . . . , an R .

El coeficiente a0 es el termino independiente del polinomio, mientras que an se llama el coeficiente principalo director de P (x). Si an 6= 0, el numero n se denomina el grado del polinomio y se dice que P (x) tienegrado n. Finalmente cada sumando ajxj recibe el nombre de termino o monomio de grado j.

Observacion. De acuerdo con el numero de terminos no nulos suelen tambien distinguirse binomios ytrinomios como aquellos polinomios que tienen, respectivamente, solo dos o tres terminos no nulos.

Definicion 1.2. Sean los polinomios

P (x) = anxn + an1xn1 + + a1x+ a0 , (1)Q(x) = bmxm + bm1xm1 + + b1x+ b0 . (2)

Se dice que ambos polinomios son iguales si ambos son del mismo grado (n = m, an 6= 0, bm 6= 0) y soniguales los coeficientes de los terminos de igual grado: ai = bi, para todo i = 0, 1, . . . , n.

Operaciones con polinomios. La suma de los polinomios

P (x) = anxn + an1xn1 + + a1x+ a0 ,Q(x) = bnxn + bn1xn1 + + b1x+ b0 ,

donde estamos suponiendo que ambos polinomios tienen el mismo grado puesto que en caso contrario bastaraanadir a uno de ellos terminos nulos, se define como el polinomio

P (x) +Q(x) = (an + bn)xn + (an1 + bn1)xn1 + + (a1 + b1)x+ a0 + b0 .

El opuesto del polinomio P (x) se escribe P (x) y verifica que P (x) + (P (x)) = 0. Es claro que suscoeficientes son los opuestos de los coeficientes de P (x).

La resta o diferencia entre P (x) y Q(x) se obtiene sumando a P (x) el opuesto de Q(x).El producto de los monomios aixi, bjxj es el monomio aibjxi+j . Dados los polinomios (1) y (2), su

producto es el polinomio obtenido sumando todos los productos de cada monomio de P (x) por cada monomiode Q(x), es decir

P (x)Q(x) = a0b0 + (a0b1 + a1b0)x+ (a0b2 + a1b1 + a1b0)x2 +

Ejemplo. (x3 1)(x2 + x+ 1) = x5 + x4 + x3 x2 x 1.Observacion. En particular, puesto que los numeros reales pueden considerarse como polinomios de gradocero, el producto de un numero real por un polinomio P (x) se obtiene multiplicando por cada coeficientede P (x),

P (x) = a0 + a1x+ + anxn .

Es conveniente recordar las siguientes propiedades de la potenciacion:

(P (x)Q(x))n = (P (x))n(Q(x))n ,

(P (x))n(P (x))m = (P (x))n+m ,[(P (x)n]m = (P (x))nm .

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1.2. Potencias y productos notables

La lista siguiente reune algunos resultados que suelen ser usados frecuentemente y que son validos nosolo para el producto de numeros, sino tambien para el de polinomios:

(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2 , (a b)2 = a2 2ab+ b2 , (a+ b)(a b) = a2 b2 ,(a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3 , (a b)3 = a3 3a2b+ 3ab2 b3 .

1.3. Binomio de Newton

La siguientes formulas, que se conocen como Binomio de Newton, permiten calcular las potencias naturalesde a+ b y a b,

(a+ b)n =(n0

)an +

(n1

)an1b+ +

(n

n 1)abn1 +

(nn

)bn , (3)

(a b)n =(n0

)an

(n1

)an1b+ + (1)n1

(n

n 1)abn1 + (1)n

(nn

)bn , (4)

donde el coeficiente que ocupa el lugar j + 1 es el numero combinatorio definido como(nj

)=

n!j!(n j)! , m! = m(m 1) 3 2 1 . (5)

Es conveniente recalcar que los signos de los coeficientes en el desarrollo de (a b)n son alternativamente +y , y que el termino (j + 1)-esimo es (1)j(nj)anjbj .1.4. Divisibilidad de polinomios

Si P (x) y Q(x) son dos polinomios, se dice que Q(x) divide a P (x) o que P (x) es divisible por Q(x),si existe un tercer polinomio C(x) tal que P (x) = C(x)Q(x). Evidentemente, para que esto sea posible esnecesario que el grado del polinomio P (x) sea mayor o igual que el grado de Q(x).

En general, no siempre un polinomio P (x) es divisible por otro Q(x), pero siempre existen dos unicospolinomios C(x) y R(x) (el cociente y el resto de la division) tales que

P (x) = C(x)Q(x) +R(x) , gradoR(x) gradoQ(x) .

Por tanto, si R(x) = 0 la division es exacta y el polinomio P (x) es divisible por Q(x).El procedimiento para calcular los polinomios cociente y resto es el mismo que empleamos para la division

de numeros: comenzamos dividiendo el termino de mayor grado de P (x) por el de mayor grado de Q(x) paraobtener el termino de mayor grado del cociente C(x). A continuacion, multiplicamos el termino as obtenidopor todo el divisor Q(x) y el resultado se resta del dividendo P (x), obteniendo un nuevo dividendo parcial.El proceso se repite hasta que el grado del dividendo parcial sea menor que el de Q(x).

Ejemplo. Para dividir el polinomio P (x) = 6x4+4x2+x5 entre el polinomio Q(x) = 2x21, el algoritmoes como sigue:

6x4 + 4x2 + x 5 2x2 16x4 3x2 3x2 + 7/2

7x2 + x 57x2 7/2x 3/2

Por tanto, el cociente es C(x) = 3x2 + 7/2 y el resto es R(x) = x 3/2.

Un caso muy importante de la division es aquel en que el divisor es un polinomio de primer grado:Q(x) = x a. En esta situacion, el polinomio cociente es de un grado una unidad inferior al grado delpolinomio divisor, y el resto es un polinomio de grado cero, es decir, un numero.

Existe un procedimiento rapido, conocido como regla de Ruffini, que permite calcular facilmente el restoy los coeficientes del polinomio cociente:

1) El coeficiente director del polinomio cociente es igual al coeficiente director del dividendo.

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2) Los restantes coeficientes del polinomio cociente se obtienen multiplicando por a el coeficiente deltermino de grado una unidad superior y sumando a continuacion el coeficiente del termino del mismo gradodel dividendo: ck = ack+1 + dk+1.

3) El resto se obtiene de forma similar: R = ac0 + d0.Los calculos se suelen disponer de la siguiente forma: por ejemplo, para dividir 3x3 5x2 + 2x 7 entre

x 2, disponemos los coeficientes en una tabla de la forma:3 -5 2 -7

2

El primer paso es bajar el primer coeficiente, 3, multiplicarlo por 2 y sumarselo a 5: entonces resulta2 3 5 = 1,

3 -5 2 -72 6

3 1

para, a continuacion multiplicar nuevamente por 2 el resultado obtenido, 1, y despues sumarlo a 2: resulta2 1 + 2 = 4,

3 -5 2 -72 6 2

3 1 4

y finalmente, multiplicamos por 2 el ultimo resultado, 4, y lo sumamos con el ultimo coeficiente, 7: resulta2 4 7 = 1,

3 -5 2 -72 6 2 8

3 1 4 1

Esto nos dice que el polinomio cociente es el que tiene por coeficientes (3, 1, 4), es decir, 3x2+x+4, mientrasque el resto es 1, el ultimo numero de la ultima fila.Observacion. Si hubieramos querido dividir el polinomio 5x3 x+2, la primera fila de este procedimientohubiera estado formada por sus coeficientes (5, 0,1, 2), puesto que si no aparece x2 en el polinomio esporque su coeficiente es cero.

1.5. Valores numericos y races de polinomios

Definicion 1.3. Dado el polinomio P (x) = anxn + an1xn1 + + a1x+ a0 y un numero real arbitrario, se llama valor o valor numerico de P (x) en el punto x = al numero real que se obtiene sustituyendoen el polinomio la indeterminada x por el valor :

P () = a0 + a1+ + ann .Definicion 1.4. El numero real r es una raz del polinomio P (x) si el valor numerico de P (x) en r es nulo,es decir si P (r) = 0.

El famoso teorema fundamental del Algebra dice que todo polinomio con coeficientes numeros complejostiene tantas races complejas como su grado. En particular, todo polinomio de grado n con coeficientes realestiene como maximo n races reales.

El resultado siguiente se conoce como teorema del resto y se utiliza con mucha frecuencia.

Teorema 1.1. (Teorema del resto.) El resto de la division del polinomio P (x) por x coincide con P (),el valor numerico de P (x) en x = .

Teorema 1.2. El polinomio P (x) es divisible por x si y solo si P () = 0.

1.6. Calculo practico de las races de un polinomio

Dada la ecuacion polinomica con coeficientes enteros

anxn + an1xn1 + + a1x+ a0 = 0 ,

sus races enteras deben ser divisores del termino independiente a0 y sus races fraccionarias p/q debenverificar que p es divisor de a0 y q de an.

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1.7. Descomposicion de un polinomio en factores

Hemos visto que si el polinomio P (x) (de grado n) tiene la raz r1, forzosamente tiene que ser divisiblepor x r1, con lo que P (x) = (x r1)C1(x) para un cierto polinomio C1(x) de grado n 1. Si P (x) tieneotra raz r2, esta tambien debe ser raz de C1(x) y, por tanto, debemos tener que C1(x) = (x r2)C2(x), esdecir, P (x) = (x r1)(x r2)C2(x). Repitiendo este argumento las veces que sea necesario, vemos que:

Si el polinomio P (x) de grado n tiene las races r1, . . . , rm, entonces P (x) puede descomponerse en laforma

P (x) = (x r1)(x r2) (x rm)Cm(x) ,donde Cm(x) es un polinomio de grado nm. En particular, si n = m, es decir, si P (x) tiene tantas racescomo su grado, y an es su coeficiente principal,

P (x) = an(x r1) (x rn) .

Definicion 1.5. Un polinomio se dice irreducible si no puede descomponerse en producto de dos o maspolinomios de grado mayor o igual que uno.

En consecuencia, todos los polinomios de grado cero (los constantes) y de grado uno son irreducibles.Por otro lado, es facil convencerse de que los polinomios irreducibles de grado mayor o igual que dos noadmiten ninguna raz real, ya que si r fuera una tal raz, ya sabemos que P (x) se podra descomponer comoP (x) = (x r)C(x), con lo que sera reducible. De hecho, se verifica que no hay polinomios irreduciblesde grado mayor o igual que tres, y por tanto, los polinomios irreducibles de grado mayor que uno son lospolinomios de grado dos sin races reales, como por ejemplo P (x) = x2 + 1.

As pues, podemos concluir que todo polinomio puede descomponerse en producto de factores irreducibles,es decir, de polinomios, o bien de grado uno, o bien de grado dos sin races reales.

1.8. Maximo comun divisor y mnimo comun multiplo de polinomios

La definicion y el calculo del maximo comun divisor y el mnimo comun multiplo de dos o mas polinomioses similar al caso de los numeros enteros.

Definicion 1.6. Se llama maximo comun divisor de los polinomios P1(x), . . . , Pn(x) a un polinomio degrado maximo que sea divisor de todos ellos. El mnimo comun multiplo es un polinomio de grado mnimodel cual todos ellos sean divisores.

Ambos estan determinados salvo por la multiplicacion por un polinomio de grado cero, es decir, unaconstante.

Un metodo, que es util en muchos casos, para calcular el maximo comun divisor y el mnimo comunmultiplo consiste en lo siguiente:

1) En primer lugar descomponemos los polinomios en factores irreducibles. Para ello, buscamos todas lasraces reales de los polinomios y/o usamos igualdades conocidas como por ejemplo las vistas en la Seccion1.2.

2) Ahora el maximo comun divisor de los polinomios es el producto de los factores irreducibles comunes(a todos los polinomios) elevados al menor de los exponentes con que aparezcan en dichos polinomios.Analogamente, el mnimo comun multiplo es el producto de los factores irreducibles (comunes y no comunesa todos los polinomios) elevados al mayor de los exponentes con que aparezcan en los polinomios.

1.9. Fracciones algebraicas

La division de dos polinomios solamente es otro polinomio cuando es exacta. En otro caso, el resultadode la division de P (x) entre Q(x) (donde Q(x) 6= 0) no es un polinomio, sino que es una fraccion algebraica(tambien llamada funcion racional) que escribimos P (x)/Q(x). Decimos que dos fracciones algebraicas soniguales (o que son equivalentes) si

P (x)Q(x)

=R(x)S(x)

P (x)S(x) = R(x)Q(x) .

Esta definicion de igualdad permite dividir el conjunto de todos los polinomios en clases (de equivalencia). Enel subconjunto (la clase de equivalencia) formado por todas aquellas fracciones algebraicas que son iguales a

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una dada, P (x)/Q(x), podemos elegir una que sea lo mas sencilla posible en un cierto sentido. Esta fraccioncanonica se obtiene descomponiendo los polinomios P (x) y Q(x) en factores irreducibles y eliminando acontinuacion en P (x) y Q(x) los factores comunes. Este procedimiento recibe el nombre de simplificacion.

Ejemplo. Las fracciones algebraicas

x2 1x3 1 y

x+ 1x2 + x+ 1

son iguales, puesto que

x2 1 = (x 1)(x+ 1) y x3 1 = (x 1)(x2 + x+ 1) ,con lo que la segunda es una forma simplificada de la primera y, de hecho, es la forma canonica, ya que tantosu numerador como su denominador son polinomios irreducibles.

1.10. Reduccion de fracciones algebraicas a comun denominador

Dadas dos fracciones algebraicas siempre podemos encontrar otras dos fracciones iguales a las de partidaque tengan el mismo denominador. De hecho, podemos conseguir que el denominador comun sea el polinomiomnimo comun multiplo de los dos denominadores iniciales.

Ejemplo. Podemos reducir las fracciones algebraicas 1/(x 1) y 1/(x+ 1) a comun denominador haciendoque este sea el mnimo comun multiplo de x 1 y x + 1 que, en este caso, es (x 1)(x + 1) = x2 1, delsiguiente modo:

1x 1 =

x+ 1(x+ 1)(x 1) =

x+ 1x2 1 ,

1x+ 1

=x 1

(x 1)(x+ 1) =x 1x2 1 .

1.11. Suma de fracciones algebraicas

Las fracciones algebraicas se suman (o se restan) exactamente igual que las fracciones numericas ordi-narias:

P (x)Q(x)

R(x)S(x)

=P (x)S(x)Q(x)R(x)

Q(x)S(x).

Sin embargo, con frecuencia es mas sencillo usar el siguiente procedimiento para sumar dos o mas fraccionesalgebraicas: en primer lugar las reducimos a comun denominador. La fraccion algebraica suma es, entonces,aquella cuyo numerador es la suma de los numeradores obtenidos tras la reduccion y cuyo denominador esel comun denominador de los denominadores iniciales.

Ejemplo. Para sumar las fracciones

x

x3 1 ,1

x2 + x+ 1y

x2

x 1observemos que podemos reducirlas primero al denominador comun x3 1 = (x 1)(x2+ x+1), por lo que

x

x3 1 +1

x2 + x+ 1+

x2

x 1 =x

x3 1 +x 1x3 1 +

x2(x2 + x+ 1)x3 1

=x+ (x 1) + x2(x2 + x+ 1)

x3 1=

x4 + x3 + x2 + 2x 1x3 1 .

1.12. Producto de fracciones algebraicas

Como en el caso de la suma, las fracciones algebraicas se multiplican (o dividen) exactamente igual quelas fracciones numericas ordinarias:

P (x)Q(x)

R(x)S(x)

=P (x)R(x)Q(x)S(x)

,P (x)Q(x)

:R(x)S(x)

=P (x)Q(x)

S(x)R(x)

=P (x)S(x)Q(x)R(x)

.

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