RELACIONES BINARIASProf. Ofelia Nazario Bao

PRODUCTO CARTESIANOProf. Ofelia Nazario Bao

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EJEMPLOS: Hallar los valores de x e y que satisfacen las siguientes igualdades: 1. (5x + 2y, -4 ) = ( -1 , 2x y )2. (2x+y,1) = (3,2x-y)3. ( 7/4, 2x-y ) = ( x2-y2, -5/2 )TEOREMA: Dos pares ordenados son iguales si y solo si son iguales sus primeras y segundas componentes. Simblicamente:(a,b)=(c,d) a=c b=dProf. Ofelia Nazario Bao

DEFINICION: Sean A y B conjuntos. Llamaremos producto cartesiano de A y B, al conjunto formado por todos los pares ordenados (a , b) de tal manera aA y bB. Se denota por AXB. Simblicamente: A x B = ( a ,b):a A b B Es decir: (a ,b) A x B a A b BPRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOSProf. Ofelia Nazario Bao

OBSERVACIONES: Si A B A x B B x A. Si A y B son conjuntos finitos:

n (A x B) = n (A).n (B)3) A2= A x AProf. Ofelia Nazario Bao

1) Si A B entonces, A x B B x A2) A x = x A = 3) A x (B C) = A x B A x C A x (B C) = A x B A x C A x (B-C)=(A x B)-(A x C) Si A B ( A x C) (B x C) Si A C y B D A x B C x D Si C A x C=B x C entonces A=B. (A x B) (C x D)=(A C) x (B D) (A x B) (C x D) (A C) x (B D)

PROPIEDADESProf. Ofelia Nazario Bao

Ejercicios:Si:

Cules de las siguientes afirmaciones son falsas? Tiene 4 pares ordenados Posee 24 pares ordenados

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2. Dados los conjuntos:

Hallar: a) b)

3. Si:

a)b)

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EJEMPLOS: Hallar la Diagonal de los siguientes conjuntos:1)A={x Z: | | x |+2| x2}2)B={x R:[[x]] 1}

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RELACIONES BINARIASProf. Ofelia Nazario Bao

DEFINICION: Sean A y B dos conjuntos no vacos, llamaremos relacin binaria de A en B o relacin entre elementos de A y B a todo subconjunto R del producto cartesiano A x B. Simblicamente:R es una relacin binaria de A en B R A x BRELACIONES BINARIASNOTA: Si R es una relacin binaria de A en B se escribir R: A B, y A se llamara el conjunto de partida de R y B el conjunto de llegada de R.Prof. Ofelia Nazario Bao

Sean A=1,2,3 y B= -1,1, entonces

los siguientes conjuntos son relaciones de A en B pues son subconjuntos de A x B. R1 = R2 = A x B R3 = (x , y) A x B/ x+y =2 R4 = R5 = R6 =EJEMPLOS:Prof. Ofelia Nazario Bao

OBSERVACIN: Si A y B son conjuntos finitos, el nmero de relaciones binarias que se pueden definir de A en B es :2n(A).n(B)En nuestro caso:n (A)=3 y n (B) = 2# relaciones binarias =

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DOMINIO DE UNA RELACION:Se llama dominio de una relacin R: A B al conjunto de todas las primeras componentes de los pares ordenados de la relacin. Se denota por Dom (R).Simblicamente:R: AB, Dom (R)={xA/ y B, (x,y) R}Es decir: x Dom (R) y B/(x,y) RProf. Ofelia Nazario Bao

RANGO DE UNA RELACION:Se llama rango de una relacin R:AB al conjunto de todas las segundas componentes de los pares ordenados de la relacin. Se denota por Ran (R).Simblicamente:R:AB, Ran (R)={yA/xA, (x,y) R}Es decir: yRan(R) xA/(x,y)RProf. Ofelia Nazario Bao

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Sean R y S dos relaciones de A en B,entonces se cumplen las siguientespropiedades:Dom (RS)=Dom (R ) Dom(S)Dom (RS) Dom(R ) Dom(S)Ran (RS)= Ran(R) Ran(S)

4. Ran (RS) Ran (R) Ran(S)PROPIEDADESProf. Ofelia Nazario Bao

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EJEMPLO: Determinar la inversa de las siguientes relaciones:1. R1 = (x,y)NxN:2x+y =92. R2 = (x,y)RxR:y= x2-6x-5PROPIEDADES DE LA RELACIN INVERSA1. (RS)-1 = R-1 S-12. (RS)-1 = R-1 S-13. (R-S )-1 = R-1 - S-1Prof. Ofelia Nazario Bao

OBSERVACIN: Tambien:RoS={(x,z)CxB/ yDA:(x,y)S(y,z)REs decir:(x,z)RoS yDA : (x,y)S (y,z)RProf. Ofelia Nazario Bao

OBSERVACION: 1. SoR se lee: R compuesta con S.2. Si Ran(R)Dom(S) entonces SoR 3. SoR es una relacin de A en D

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1.Dadas las relaciones en Z: R1 =(x,y)/ x2-2y=3 y R2=(x,y)/xy xy , hallar R1 - R2.

Sean A=2,3,8,9 y B=4,6,7; R1=(x,y)AxB/x2-y=2,

R2=(x,y)BxA/x y.Hallar Ran(R1) Dom(R2).

3. Dada la relacin R=(x,y)RxR/ xy2-x2=y2 , Hallar Ran(R) Dom(R).EJERCICIOS DE APLICACINProf. Ofelia Nazario Bao

4. En Z de definen las relaciones: R1={(x,y):x-3y=12}, R2={(x,y):2x+y=5} Si la relacin R en Z es tal que: (x,y)RwZ:(x,w)R1 (w,y)R2; hallar la relacion R.

5. Dada la relacin R=(x,y)RxR/ yx2-4y-x2=0 . Hallar R-1, indicando su dominio

6. Dadas las relaciones definidas de R en R: R=(x,y)/y = (x+1)2 y S=(x,y)/x2+y2=4. Hallar SoR indicando su dominio y rango.Prof. Ofelia Nazario Bao

7. Dado el conjunto A = xR:x 9 N y las relaciones R =(x,y)A2:y = x2 , S=(x,y)A2 :x 4 y 7 . Hallar R-1o S o R.8. Dadas las relaciones en Z: R=(x,2):x4-810 y S=(x,x):1-x5, hallar RoS-1. Prof. Ofelia Nazario Bao

CLASES DE RELACIONES DEFINIDAS EN UN CONJUNTO

R es una relacin definida en A si y solo si RA2.Dado que todo subconjunto de A2 es un elemento de las partes de A2, podemos decir tambin que:R es relacin definida en ARP(A2)RELACIONES DEFINIDAS EN UN CONJUNTODEFINICINProf. Ofelia Nazario Bao

GRAFO DE UNA RELACIONSea A un conjunto finito y R una relacin en A. Si para cada elemento de A, se dibuja un circulo (llamado vrtice) y se traza una lnea dirigida (llamada arista) del vrtice x al vrtice y, si y solo si (x,y)R, la grafica resultante se llama grafo dirigido de R. EJEMPLO:Sea A={1,2,3} y R={(1,2),(1,3),(2,1)(2,3),(2,2),(3,2)}Prof. Ofelia Nazario Bao

Una relacin R:AA es Reflexiva si y solo si, para todo xA, (x,x)R.Formalmente:R:AA es Reflexiva xA:(x,x)RTambin: R:AA es Reflexiva D(A)RCLASES DE RELACIONES RELACIN REFLEXIVAEl grafo de una relacion reflexiva tiene para cada elemento x de A una arista que une x con si mismo.Prof. Ofelia Nazario Bao

EJEMPLOS:Dado A={2,3,4} y las relaciones en A:

R1={(2,2),(3,3),(3,4),(4,4)}R2={(2,2),(4,4),(2,3)}, tenemos que R1 es Reflexiva y R2 no los es.2. La D(A) es una relacin Reflexiva definida en A.3. La relacin R={(x,y):xy} es una relacion Reflexiva definida en R.Prof. Ofelia Nazario Bao

Una relacion R:AA es Simtrica si y solo si, (x,y)R implica que (y,x)RFormalmente:R:AA es Simtrica(x,y)R(y,x)RTambin:R:AA es SimtricaR=R-1.RELACIN SIMTRICASi en el grafo de una relacin simtrica existe una arista del vrtice x al vrtice y, entonces existe una arista del vrtice y el vrtice x.Prof. Ofelia Nazario Bao

EJEMPLOS:Dado el conjunto A={1,2,3,4} y las

relaciones definidas en A:R1={(1,1),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(2,2)} R2={(1,2),(2,1),(3,3),(4,4),(3,4)}, tenemos que R1 es Simtrica y R2 no.2. Los conjuntos D(A) y A2 son relaciones Simtricas definida en A.3. La relacin R={(x,y):x=y} definida enZ es Simtrica.Prof. Ofelia Nazario Bao

Una relacin R:AA es Transitiva si y solo si,(x,y)R y (y,z)R implica que (x,z)R.Formalmente:R:AA es Transitiva(x,y)R(y,z)R (x,z)RTambin:R:AA es Transitiva (RoR) RRELACIN TRANSITIVASi en el grafo de una relacin transitiva existe una arista del vrtice x al vrtice y, y del vrtice y al vrtice z, entonces existe una arista del vrtice x al vrtice z.Prof. Ofelia Nazario Bao

EJEMPLOS:Dado el conjunto A={1,2,3,4} y las

relaciones definidas en A:R1={(1,1),(1,2),(2,2),(3,1),(4,2),(4,3)}R2={(1,1),(2,1),(2,2),(1,2),(2,3)}tenemos que R1 es Transitiva y R2 no.2. Los conjuntos D(A) y A2 son relacionesTransitivas definidas en A.3. El conjunto R={(x,y):xy} es una relacion Transitiva definida en A.Prof. Ofelia Nazario Bao

Una relacion R:AA es Antisimtrica si y solo si, si (x,y)R y (y,x)R, implica que x=y. Formalmente:R:AA es Antisimtrica (x,y)R(y,x)R x=yO tambien:R:AA es Antisimtrica RR-1D(A)RELACIN ANTISIMETRICAEn el grafo de una relacin antisimetrica para vrtices x e y distintos no puede haber simultneamente una arista del vrtice x al vrtice y, y una arista del vrtice y al vrtice x.Prof. Ofelia Nazario Bao

EJEMPLOS:Dado el conjunto A={1,2,3} y las relaciones en A R1={(1,1),(1,2),(2,3),(2,2)} y R2={(1,2),(3,3),(1,3),(2,1)}, tenemos que R1 es antisimetrica y R2 no.Las conjuntos D(A) es una relacin antisimetrica definida en A.El conjunto R={(x,y):xy} es una relacin antisimetrica.

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Una relacion R:AA es de Equivalencia si y solo si, R es Reflexiva, Simtrica y Transitiva.RELACIN DE EQUIVALENCIA EJEMPLOS: Dado el conjunto A={1,2,3},la relacin R={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)} es de equivalencia.Los conjuntos D(A) y A2 son relaciones de equivalencia definidas en A.

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RELACIN DE ORDENUna relacion R:AA es de Orden si y solo si, R es Reflexiva, Antisimtrica y Transitiva.EJEMPLOS:El conjunto D(A) es una relacin de Orden definida en A.El conjunto R={(x,y):xy} es una relacin de Orden definida en R.

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Dado el conjunto A = 3,5,6,7 y

las relaciones R =(x,y)A2 / x y , S = (x,y)A2 / x2 y2 25 Determinar cuales de las siguientes relaciones definidas en A son de equivalencia:a)R S b)S R

Sea A=1,2,3,4,5 y R una relacin de equivalencia definida en A. Si

R=(1,1),(3,2),(2,2),(5,5),(4,2),(4,4) ,(3,4),(3,x),(y,x),(z,x),(z,y)Hallar S=(a,b)R/ a=3.EJERCICIOS DE APLICACION

3. Dada la relacin: S=(x,y)Z2 / x-y = 2k, kZ+ Verificar que S es Transitiva.

4. Verificar que la relacin definida en Z:S=(x,y) / x y es antisimtrica.

5. Sea T=(x,y)ZxZ/ xy es par una relacin definida en Z. Determinar el valor de verdad de la siguiente proposicin: T es Reflexiva; T es Simtrica y la vez Transitiva.

6. Determinar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:a) Una relacin definida en A puede ser de Equivalencia y de Orden.b) La relacin R=A2 es de orden.c) La relacin R= A2 es simtrica y antisimetrica.d) Si R es una relacin definida en A, entonces RR-1 es simtrica.e) La relacin R={(x,y)R2:x+2y=1} es de equivalencia.