1.1

1. FUNDAMENTOS DE SEMICONDUCTORES

Introducción. Descripción cualitativa. Distinción metal-aislante-semiconductor. Semiconductores tipo N y P.

M Mayoría de semiconductores de interés: sólidos cristalinos.M Niveles de energía del electrón en un cristal: resolución de la ecuación de Schrödinger.- Funciones de onda monoelectrónicas: funciones de Bloch, caracterizadas por vector de onda k.

)r(ue knrki

knr

rrr

r =Ψ

Átomo aislado Molécula Red periódica

- Niveles de energía distribuidos en bandas E(k).

M Distinción metal-aislante-semiconductor: bandas superiores ocupadas por electrones.

0K

Banda prohibidaEC

EVEG

Banda de valencia

Banda de conducción

1.2

M 0K

EC

EVEG EG

Metales

Conducción por electrones

Aislantes y semiconductores

No conducción

EC

EV

M T>0, T.ambiente

EC

EV

EG

EC

EVEG-

Semiconductor.Conducción por

e- y huecosAislante

F.0F>0

M Diferencia metal-semiconductor por vía experimental:- Dependencia térmica de σ

F

T

F

TMetal Semiconductor

- Por el signo de los portadores de carga medido por efecto Hall.

M Modelo de enlace covalente. Concepto de HUECO. Si

Si Si

Si

Si12

Si

Si Si

Si

Si12

1.3

EFECTO HALLConducción por electrones.

EB

J--q·E

-q·v Bv

v

ECampo resultante

H

Acumulación deelectrones

Bqv--qE=F ∧Conducción por huecos.

EB

J+v q·E

q·v BvAcumulación dehuecos

ECampo resultante

H

1.4

SEMICONDUCTORES TIPO NEjemplo: Silicio dopado con fósforo en posición sustitucional

Si

Si

Si

Si

Si

P Si

Si

Si

EC

ED

EV

-

- Ión fijo positivo Y Impureza donadora

- Se crean electrones sin huecos Y n>p

Y - semiconductor tipo N- conducción mayoritaria por electrones

electrones: mayoritarios.huecos: minoritarios

SEMICONDUCTORES TIPO PEjemplo: Silicio dopado con boro en posición sustitucional

Si

Si

Si

Si

Si

Si

Si

Si B

EC

EAEV

-- Boro ionizado fijo positivo Y Impureza aceptadora

- Se crean huecos sin electrones Y p>n

Y - semiconductor tipo P- conducción mayoritaria por huecos

huecos: mayoritarios.electrones: minoritarios

1.5

Electrón libre: Electrón en cristal:

?? dt

dp=am=qE- ¿¿

ma=...=F+-qE=F*

*

int

2mk=

2mp=E

ma=dt

k)d(=dtdp=-qE=F

222h

h

E

k 000k

100

E

EC

EV

..+)k-(kdk

Ed21+)kE(=E(k) 2

02

2

0

CONCEPTO DE MASA EFECTIVASi los electrones y huecos se sitúan en torno a los extremos de las bandas podemos desarrollar E(k) respecto a ellos. En primera aproximación tenemos unas bandas parabólicas:

...+m2k+E=)k(E

...+m2

)k-k(+E=)k(E

*p

p22

vpp

*n

2n

2

cnn

h

h min

m2p

+E=E

m2p

+E=E

k=p

)k-k(=p

:tocuasimomenDefinición

*p

2p

vp

*n

2n

cn

pp

nn ⇒h

h min

Fdk

Ed1=dtdk

dkEd1=

dKdE

dtd1=

dtdv=a

dtk)d(=F dt;

dkdE1

F=vdtF=dE ;dKdE1=v

ext2

2

22

2

extextext

hhh

h

hh

1.6

DENSIDADES DE ELECTRONES Y HUECOS EN SEMICONDUCTORESFinalidad: calcular la conductividad del semiconductor

N1 de electrones en una banda:- Densidad de estados por unidad de energía.- Ocupación de cada estado.

M Densidades de estados:EC

EV

mc )E-E(c=(E)g

mc )E-(Ec=(E)g

*p 2

3

p21

vpp

*n 2

3

n21

cnn

∝

∝

M Función de ocupación de Fermi-Dirac

EE» 0,

E=E ,21

EE« 1,

=e+1

1=f(E)

F

F

F

KTE-E F

M Relación de la posición del nivel de Fermi con la concentración de electrones y huecos:

EC

EV

EC

EV

EF

EF

g(E) f(E) g(E)·f(E)

g(E)·(1-f(E))½ 1

½ 1

f(E)g(E)

1.7

M Densidad de electrones y huecos

f(E))dE-(E)(1gp(E)f(E)dEg=n p

E

En

E

E

v

v

c

c

= ∫∫min

max

! Caso particular: semiconductores no degenerados Ev<EF<Ec

a) En banda de conducción E$Ec>EF

Tcte=(T)N eN=n

2e)(KTc=dueue)(KTc=n

KTE-Eu

dEe)E(Ec(E)f(E)dEg=n

ef(E) 1e

cKTE-E-

c

KTE-E-

nu-

0KT

E-E-n

c

KTE-E

-cn

En

E

E

KTE-E

-KT

E-E

Fc

Fc23

21Fc

23

F21

c

c

c

FF

-

23

max

⋅

≡

≈

≈⇒>>

∫

∫∫

∞

∞∞→

π

Nc=densidad efectiva de estados en la banda de conducción.

b) En la banda de valencia: E#Ev<EF

2

23

min

'

iKTE-

vc

vKTE-E

v

u-

0KT

E-Ep

v

KTE-E

vp

E

-p

E

E

KTE-E

KTE-E

ne(T)N(T)N=np

Tcte=(T)N eN=p

dueue)(KTc=p

KTE-Eu

dEe)EE(cf(E))dE-(E)(1g=p

e-1f(E) 1e

G

Fv

21Fv

23

F21vv

v

FF

-

=

⋅

≡

≈⇒<<

∫

∫≈∫

∞

∞

(Ley de acción de masas)

1.8

M SEMICONDUCTORES INTRÍNSECOS n=p=ni

e(T)N(T)N=n 2KTEG-

vci

Depende del material y de la temperaturani(Si,300K).1010cm-3

- Posición del nivel de Fermi:

12meV-2

E+EE 1.12eV=E

3cm101.1=N

3cm102.8=N :300K=T Si,En

NN

2KT+

2E+E=E

eN=eN p=n

vcFi

G

-19v

-19c

c

vvcFi

KTE-E

vKTE-E-

cFivFic

≈⇒⋅

⋅

⇒⇒

ln

M SEMICONDUCTORES EXTRÍNSECOS: n≠p, n⋅p=ni2

! Tipo N: n=p+ND+

-Generación de electrones: n=n1+n2- banda a banda n1=p- desde impurezas n2=ND

+

-Grado de ocupación del nivel creado por las impurezas: función de ocupación de Fermi-Dirac.

e+1

1=NN

e+1

1=NN

KTE-E

D

D+

KTE-E

D

Do

DFFD

-Hipótesis: a temperaturas de interés ND+.ND

en casos prácticos ND>>ni Y n>>p

-Ejemplo: ND=1016cm-3 en Si (((1ppm!!), T=300Kn=p+ND

+. ND=1016cm-3 p=ni2/n=104cm-3

p<<n pero p≠0Ec-EF=KTln(Nc/n)=205.6meV

Advertencia: a bajas temperaturas ND≠ ND

-Ejemplo: Ec-ED=40meV. Calcular temperatura para que ND+= ND/2

1.9

! Tipo P: p=n+NA-

-Generación de huecos: p=p1+p2- banda a banda p1=n- desde impurezas p2=NA

-

-Grado de ocupación del nivel creado por las impurezas: función de ocupación de Fermi-Dirac.

e+1

1=NN

e+1

1=NN

KTE-E

A

Ao

KTE-E

A

A-

AFFA

-Hipótesis: a temperaturas de interés NA- ≈NA>>ni Y p>>n Y

p≈NA n ≈ ni2/NA

- Advertencia:( COMPROBAR SIEMPRE LAS HIPÓTESIS!

-Ejemplo: NA=1016cm-3 en Si , T=300K, EA-Ev=40meVp=n+NA

- ≈ NA=1016cm-3

n=ni2/p=104cm-3

n<<p pero n≠0EF-Ev=KTln(Nv/p)=181.4meVNA

-=0.996 NA (99.6%)

EC

EAEV

EF

!Semiconductores parcialmente compensados:

N-NN P tipo N<N siN-NN N tipo N>N si

+D

-A

-A

-A

+D

-A

+D

+D

-A

+D

→⇒

→⇒

Ecuación de neutralidad general:

N+p=N+n +D

-A

1.10

CONCENTRACIONES DE PORTADORES DE CARGA EN DESEQUILIBRIO . GENERACIÓN-RECOMBINACIÓN.

- En desequilibrio no es aplicable el nivel de Fermi.

- Electrones en equilibrio entre sí.- Huecos en equilibrio entre sí.

- Definición de un nivel de Fermi para cada tipo de partículas y con carácter local.

eN=)rp( eN=)rn( KT)r(E-)r(E

vKT)r(E-)r(E-

cFpvFnc

EFn, EFp: pseudoniveles de Fermi.

Situaciones:

n<np 0<V defecton>np 0>V exceso

en=np

eeNN=eNeN=np

2inp

2inp

KT

qV2i

KTE-E

KTE-E-

vcKTE-E

vKTE-E

c

np

FpFnvcFpvcFn

⇒

⇒

⋅

- Agente causante de desequilibrio Y reacción del semiconductor.

exceso Y activación de mecanismos de recombinación.defecto Y activación de mecanismos de generación.

-)Con qué rapidez responde un semiconductor?

Definición de la probabilidad de generación recombinación.

1.11

Probabilidad de generación recombinación.N1 de pares electrón hueco que se generan- n1 de pares que se recombinan por unidad de tiempo.

1)-e(n=n-np U- KT

qV2i

2igr

np∝

exceso: np>ni2 Y Ugr<0, domina recombinación

defecto: np<ni2 Y Ugr>0, domina generación

- Caso particular: desequilibrio de bajo nivel (los mayoritarios apenas se ven afectados)

a) TIPO N:

τδ

δδ

δ

pgr

pD0D0D2i

D

2i

02i000D

p-=U

N=pN-p)+p(N=n-npNn=p ,n=pn p,+p=p ,Nn

⇒

⋅≈

b) TIPO P:

τδ

δδ

δ

ngr

nA0A0A2i

A

2i

00A0

n-=U

N=nN-n)+n(N=n-npNn=n n,+n=n ,N=pp

⇒

≈

- Si se mantiene el agente externo causante de la generación:

τδ

τδ

ngr

pgr

n-G=U ó p-G=U

τn,τp: constantes de tiempo de recombinación.

- Aumento de la velocidad derespuesta de los dispositivosmediante la introducción deimpurezas metálicas que favorecenla generación-recombinaciónabsorbiendo momento (El oro en silicio es la más usada)

000k

100

E

EC

EV

1.12

TRANSPORTE DE ELECTRONES Y HUECOS. CONTRIBUCIONES A LA CORRIENTE.

M Aplicación de un campo eléctrico a un semiconductor

cte+-qV(x)=(x)Edx

dV(x)-=E(x)

c

! Durante un vuelo libre

dtkd=qE(x)- nh

E(x)

ECEFn

EV

-

! Interrupciones del vuelo libre(mecanismos de dispersión):

- vibraciones de la red- impurezas ionizadas- defectos- otros portadores, etc

! jn=qnvn vn: velocidad mediade los portadores.

! vn=µnE transporte óhmico µn: movilidad de los electrones

(depende de los mecanismos de dispersión, "scattering")

! Corriente de arrastre: jn=qnµnE=σnEjp=qnµpE=σpEj=jp+jn=(σp+σn)E

M Existencia de un gradiente de concentración de portadores.Y Flujo de portadores en sentido contrario al gradienteY Corrientes de difusión de electrones y de huecos:

(Dn,Dp: coeficientes de difusión)

dxdpqD-=J

dxdnqD=J ppnn

M Corriente total

J+J=JdxdpqD-Eqp=J

dxdnqD+Eqn=J

pn

ppp

nnn

µ

µ

1.13

Relaciones de Einstein:

dxdEp=J general en

qKT=D equilibrio En

dxEd

KTp

Dq+)DKTq+(-

dxdVqp=

=dx

dE-dx

dV(x)q-KTDpq-

dxdV(x)-qp=J

dxdE-

dxdV(x)q-p

KT1=

dxdp eN=p

dx

dEn=J

equilibrio del fuera incluso válida suponese

qKT=D

0=DKTq+-

dxdV(x)qn

0=J ,0=dxEd equilibrio En

dxdEDKT

qn+dx

dV(x)DKT

qn+dx

dV(x)-qn=J

dxdE-

dxdV(x)q-

KTn-=

dxdn

dxdE-

dxdEn

KT1-=

dxdn eN=n

Fppp

p

p

Fpppp

Fpppp

FpKT

(x)E-(x)Ev

Fnnn

n

n

nnn

nFn

Fnnn

2

nn

Fn

FncKT

(x)E-(x)E-c

Fpv

Fnc

µ

µ

µ

µ

µ

µ

µµ

µ

⇒

⇒

•

•

1.14

M Variación de portadores en un elemento de volumen=

Los que entran - los que salen + los que se generan - los que se recombinan.

M Análisis unidimensional (por unidad de área):

! Entran por unidad de área y tiempo:

(x)Jq1- n

x x+)x

)x

! Salen por unidad de área y tiempo:

τ

τδ

n

0n

n

nnn

nnn

n-n-G+xJ

q1=

tn

xn-G+xxJ

q1-(x)Jq

1--(x)Jq1-=x

tn

xxJ

q1-(x)Jq

1-x)+(xJq1-

∂∂

∂∂

∆

∆

∂∂

∆∂∂

⇒∆∂∂

≈∆

! De forma similar para huecos:

τ

τδ

p

0p

p

ppp

p-p-G+

xJ

q1-=

tp

xp-G+xxJ

q1+(x)Jq

1-(x)Jq1=x

tp

∂∂

∂∂

∆

∆

∂∂

∆∂∂

M Ecuación de Poisson:

ερ

s2

2 (x)-=dxV(x)d

1.15

Caso particular:

τ n

02

2

n

2

2

nn

nn

n-n-xn

D=tn

xn

Dq=xJ

dxdn

Dq=J 0=G 0,=E

∂∂

∂∂

⇒∂∂

∂∂

⇒

EJEMPLO:

G

situación estacionaria pero no homogénea:

eB+eA=(x)n

n-xn

L=0 DL

n-xn

D=0 n-nn

0xn 0,=

tn

Lx

Lx-

2

22nnnn

n2

2

n

nn′

′∂

′∂⇒≡

′∂

′∂⇒≡′

≠∂∂

∂∂

τ

τ0

Si el semiconductor es infinitamente largo

eLD(0)n-q=

xn

Dq=J

eA=(x)n

Lx-

n

nnn

Lx-

n

n

′∂∂

′

En la superficie:

ττ

n

n

G=(0)n=n

n-G=0

′′

′