RAÍCES CUADRADAS
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CORPORACIÓN MUNICIPAL DE DESARROLLO SOCIAL DE CALAMA LICEO MINERO AMÉRICA ASIGNATURA: MATEMÁTICA
PROFESOR: GUILLERMO CRUZ SAIRE [email protected] (2° A, B)
HÉCTOR COCA MAMANI [email protected] (2° C, D)
MIRNA CARVAJAL MIRANDA [email protected] (2° E, F)
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MATERIAL EDUCATIVO N° 3 RAÍCES CUADRADAS
APELLIDO PATERNO : % EXIGENCIA : 60
APELLIDO MATERNO: % EVALUACION : 60%
NOMBRE : PTJE. IDEAL :
R.U.T. : PTJE. REAL :
CURSO : 2° FECHA : / /2020 PTJE. OBTENIDO :
Unidad N° 1
Nombre de la Unidad: Números reales
Objetivo de Aprendizaje:
Realizar cálculos y estimaciones que involucren operaciones con números reales:
Utilizando la descomposición de raíces y las propiedades de las raíces. Combinando raíces con números racionales. Resolviendo problemas que involucren estas operaciones en contextos diversos.
Criterios o Indicadores de Evaluación:
Operan con números racionales e irracionales. Utilizan la descomposición de raíces y las propiedades de las raíces. Representan números irracionales como puntos sobre la recta real. Determinan la existencia de raíces de manera concreta, pictórica y simbólica. Resuelven problemas que involucren raíces en diferentes contextos.
Retroalimentación y Consultas a través de Plataforma meet google.
Profesora Mirna Carvajal: [email protected]
Profesor Héctor Coca: [email protected]
Profesor Guillermo Cruz: [email protected]
Material de apoyo audio visual: (sugerencia)
Simplificación de raíces cuadradas:
https://www.youtube.com/watch?v=B3j4L2KrnaY
https://www.youtube.com/watch?v=V-51dVyFknM
Suma de raíces cuadradas:
https://www.youtube.com/watch?v=DmFAhGxLYPI
Cálculo de diagonales
https://www.youtube.com/watch?v=l31AivdmK9M
Racionalización
https://www.youtube.com/watch?v=6ACzZyn99v8
https://www.youtube.com/watch?v=eGoiGnI0ZGw
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NÚMEROS REALES Los números reales son el conjunto que incluye los números naturales, enteros, racionales e irracionales. Se representa con la letra ℝ. Es decir: ℝ = ℚ ∪ 𝕀 ORDENAR NÚMEROS IRRACIONALES En el caso de las raíces cuadradas, dos o más raíces cuadradas se pueden ordenar observando su
cantidad subradical. Así, si 𝑎 < 𝑏, se cumple que √𝑎 < √𝑏, con 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ+ EJEMPLO
Ordenar de menor a mayor los siguientes números irracionales: 2√5, 4√2, 2√3, 4√3 Lo primero que debemos hacer es elevar al cuadrado cada número:
(2√5)2
= 22 ∙ (√5)2
= 4 ∙ 5 = 20
(4√2)2
= 42 ∙ (√2)2
= 16 ∙ 2 = 32
(2√3)2
= 22 ∙ (√3)2
= ∙ = 12
(4√3)2
= ∙ ( )2 = ∙ =
Ahora ordenamos los números obtenidos de menor a mayor 12 < 20 < 32 < 48
Finalmente, ordenamos los números irracionales en el mismo orden 2√3 < 2√5 < 4√2 < 4√3 RESUELVE
Ordenar de menor a mayor los números 2√6, √19, 5√2 1° Elevar al cuadrado cada número
2√6 = ∙ ( )2 = ∙ =
√19 = ( )2 =
5√2 = ∙ ( )2 = ∙ = 2° Ordenar los numero obtenidos: 3° Ordenar los números irracionales:
Recuerda que el 2 y la √6 se deben elevar al cuadrado
Aquí la √19 no está multiplicado por ningún número,
por lo tanto, solo elevas al cuadrado a la √19
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ACTIVIDAD 1 a) Ordena de menor a mayor según corresponda:
1) 3√5, 2√3, 3√2, √17
2) 2√7, 5√3, √29, 6√2
b) Ordenar de mayor a menor según corresponda
3) 3√3, 2√3, √28, 3√2
4) 10√3, 7√2, 5√3, √320
Solucionario
1) 2√3 < √17 < 3√2 < 3√5 2) 2√7 < √29 < 5√3 < 6√2
3) √28 > 3√3 > 3√2 > 2√3 4) √320 > 10√3 > 7√2 > 5√3
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OPERACIONES CON RAÍCES
DESCOMPONER RAÍCES CUADRADAS No todas las raíces cuadradas son exactas, por ejemplo
√16 = 4 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 4 ∙ 4 = 16
√49 = 7 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 7 ∙ 7 = 49
√169 = 13 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 13 ∙ 13 = 169
√8 = √4 ∙ 2 = √4 ∙ √2 = 2√2
√18 = √9 ∙ 2 = √9 ∙ √2 = 3√2
√20 = √4 ∙ 5 = √4 ∙ √5 = 2√5
√32 = no hay un número que elevado al cuadrado nos dé como resultado 32 ¿qué debemos hacer en estos casos? Descomponer la raíz en factores primos. PROCEDIMIENTO
Finalmente,
√32 = √16 ∙ 2 = √16 ∙ √2 = 4√2
1
2
3
Recuerda que el conjunto de números
primos tiene los siguientes elementos
Primos = {2, 3, 5, 7, 11, 13 17, 19…}
Como 32 es número par empezamos por el primer
número primo que es 2, dividimos 32 : 2 = 16, fíjate
el 16 se coloca debajo del 32, como 16 sigue siendo
par volvemos a dividir por 2 y así seguimos hasta
llegar a 1
Como son raíces cuadradas, vamos
eligiendo de a dos factores y los
multiplicamos 2 ∙ 2 = 4
Luego, multiplicamos 𝟒 ∙ 𝟒 = 𝟏𝟔,
como en la columna de los factores
primos quedó un 2 libre, podemos
escribir 𝟑𝟐 = 𝟏𝟔 ∙ 𝟐 y 16 tiene raíz
cuadrada, siempre uno de los
factores debe tener raíz cuadrada
exacta.
La raíz de 16, 49 y 169 son raíces exactas
La raíz de 8, 18 y 20 no son exactas en
estos casos factorizamos de tal forma que
uno de los factores tenga raíz cuadrada,
por ejemplo 4 ∙2 = 8 y el 4 tiene raíz
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Descomponer √180 =
Finalmente, escribimos
√180 = √4 ∙ 9 ∙ 5 = √4 ∙ √9 ∙ √5 = 2 ∙ 3 ∙ √5 = 6√5 ACTIVIDAD 2 Descomponer las siguientes raíces cuadradas
a) √12 =
b) √24 =
c) √27 =
d) √45 =
e) √50 =
f) √108 =
g) √200 =
h) √252 =
i) √396 =
j) √675 = Solucionario
a) 2√3 b) 2√6 c) 3√3 d) 3√5 e) 5√2
f) 6√3 g) 10√2 h) 6√7 i) 6√11 j) 15√3
Empezamos dividiendo por el primer número
que es 2, porque 180 es número par 180 : 2 =
90, luego, dividimos 90 : 2 = 45.
El 45 no se puede dividir por dos, entonces
dividimos con el siguiente número primo que
es 3 (45 es divisible por 3, porque 4 + 5 = 9 y 9
es divisible por 3) 45 : 3 = 15, luego, dividimos
15 : 3 = 5 y 5 : 5 = 1
Como son raíces cuadradas multiplicamos de a
dos factores iguales y nos queda 2 ∙ 2 = 4 y
3 ∙ 3 = 9, el 5 queda libre no tiene raíz
cuadrada
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ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE RAÍCES Para resolver adiciones y sustracciones que involucren raíces cuadradas, se puede aplicar un procedimiento similar a la reducción de términos semejantes agrupando aquellas que tengan la misma cantidad subradical y sumando sus factores enteros.
𝟑√𝟏𝟏
EJEMPLO 1
Resuelve 3√2 + 5√2 − 2√2
8√2 − 2√2
6√2 EJEMPLO 2
Resuelve √18 + 2√2 − √8 =
√9 ∙ 2 + 2√2 + √4 ∙ 2 =
√9 ∙ √2 + 2√2 + √4 ∙ √2 =
3√2 + 2√2 + 2√2 =
7√2 ACTIVIDAD 3 Resuelve las siguientes expresiones
a) √2 + 2√2 + 3√2 b) 4√6 − 3√5 − 5√6 + 2√5
c) 4√48 − 2√27 d) 3√7 + 2√28 − 6√63
Solucionario
a) 6√2 b) −√5 − √6 c) 10√3 d) −11√7
11 es la cantidad subradical 3 es el factor entero
Misma cantidad subradical
Sumamos los factores enteros positivos: 3 + 5 = 8
Luego, restamos 8 – 2 = 6
Conservamos la cantidad subradical √2
Recuerda que para sumar o restar raíces éstas deben
tener la misma cantidad subradical
Al descomponer las raíces, nos queda
Al extraer las raíces exactas, resulta
Como todos los sumandos tienen la misma cantidad
subradical, podemos sumar sus factores enteros y
conservamos √2
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DIAGONAL DE UN CUADRADO EJEMPLO 1
Aplicando el teorema de Pitágoras calcula la diagonal del cuadrado
El teorema de Pitágoras dice: 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
Los pasos para la resolución son los siguientes:
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
Primero se calcula el cuadrado de cada cateto
𝑥2 = 12 + 12
𝑥2 = 1 + 1 Segundo, se suman los cuadrados 𝑥2 = 2 Tercero, se calcula la raíz cuadrada
𝑥 = √2
Luego, la hipotenusa es √2 EJEMPLO 2 Calcular el valor de x cuando uno de los catetos es una raíz cuadrada
El teorema de Pitágoras dice: 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
Primero se calcula el cuadrado de cada cateto
𝑥2 = 12 + (√2)2
𝑥2 = 1 + 2
Segundo, se suman los cuadrados
𝑥2 = 3 Tercero, se calcula la raíz cuadrada
𝑥 = 3
Luego, la hipotenusa es 3
Recuerda que, en un triángulo
rectángulo como el de la figura,
los lados menores forman el
ángulo recto se llaman catetos y
el lado mayor se llama
hipotenusa, entonces, x es
hipotenusa, 1 es cateto y el otro
1 también es cateto
En este caso los catetos
son 1 y √2, la hipotenusa
es 𝑥
El cuadrado
elimina la raíz
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ACTIVIDAD 4 Calcular el valor de x en las siguientes figuras
a) b) c) d) Solucionario
a) 2√2 b) 3√2 c) 2 d) √5
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RACIONALIZACIÓN
Consiste en eliminar las raíces que se encuentran en el denominador de una fracción.
Dependiendo de las operaciones involucradas dentro de ese denominador pueden presentarse diversos casos:
a) Denominador contiene una raíz cuadrada, sin adiciones ni sustracciones.
Ejemplo 1
Racionalizar 8
√2
Para racionalizar, amplificamos la fracción por el valor del denominador, en
este caso √2 , de la siguiente manera:
8
√2=
8
√2∙
√2
√2=
8 ∙ √2
√2 ∙ 2=
8√2
√4=
8√2
2= 4√2
Ejemplo 2
Racionalizar √2
2√3
√2
2√3=
√2
2√3∙
√3
√3=
√2 ∙ 3
2√3 ∙ 3=
√6
2√9=
√6
2 ∙ 3=
√6
6
ACTIVIDAD 5 Racionaliza las siguientes expresiones
a) 1
√5 b)
6
√2
c) 3
2√3 d)
5
2√2
Solucionario
a) √5
5 b) 3√2 c)
√3
2 d)
5√2
4
Denominador
Amplificando por √2 Multiplicamos
las cantidades
subradicales
Siempre
queda una
raíz exacta
√4 = 2
Finalmente, al
dividir 8 ∶ 2 = 4
Fíjate que solo se
amplifica por √3
Denominador
Multiplicamos
las cantidades
subradicales
Raíz
exacta
√9 = 3
2 ∙ 3 = 6
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b) Denominador contiene una raíz cuadrada, con adiciones o sustracciones.
Cuando el denominador es un binomio, se amplifica la fracción por su conjugado. Si se trata, por
ejemplo, de √3 + √2 se amplifica por √3 − √2. La idea es formar el producto de la suma por la
diferencia que es igual a la diferencia de los cuadrados, con lo cual se consigue eliminar las raíces.
Ejemplo 1
Racionalizar 8
2−√2
8
2 − √2∙
2 + √2
2 + √2=
8 ∙ (2 + √2)
(2 − √2)(2 + √2)=
16 + 8√2
4 − √2 ∙ 2=
16 + 8√2
4 − √4=
16 + 8√2
4 − 2=
16 + 8√2
2=
16
2+
8√2
2= 8 + 4√2
EJEMPLO 2
Racionalizar √3
5+√2
√3
5 + √2∙
5 − √2
5 − √2=
√3 ∙ (5 − √2)
(5 + √2)(5 − √2)=
5√3 − √3 ∙ √2
25 − √2 ∙ 2=
5√3 − √3 ∙ 2
25 − √4=
5√3 − √6
25 − 2=
5√3 − √6
23
Amplificamos por el
conjugado de 2 − √2
que es 2 + √2
Se forma una suma
por su diferencia
Multiplicamos
2 ∙ 2 = 4
− ∙ + = −
√2 ∙ √2 = √2 ∙ 2 = √4
√4 = 2 4 − 2 = 2 16 ∶ 2 = 8
8 ∶ 2 = 4
Amplificamos por el
conjugado de 5 + √2
que es 5 − √2
Suma por su diferencia Multiplicamos
5 ∙ 5 = 25
+ ∙ − = −
√2 ∙ √2 = √2 ∙ 2 = √4
√4 = 2 25 − 2 = 23
√3 ∙ 2 = √6
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ACTIVIDAD 6 Racionaliza las siguientes expresiones
a) 1
√2+1=
b) 5
4−√3=
c) √3
3+√3=
d) 5
√5−√2=
e) 4
√6+√12=
Solucionario
a) √2 − 1 b) 20+5√3
13 c)
√3−1
2 d)
5√5 + 5√2
3 e)
4√12−4√6
6
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MATERIAL EDUCATIVO N° 3 NÚMEROS IRRACIONALES (𝕀)
APELLIDO PATERNO : % EXIGENCIA : 60
APELLIDO MATERNO: % EVALUACION : 60%
NOMBRE : PTJE. IDEAL :
R.U.T. : PTJE. REAL :
CURSO : 2° FECHA : / /2020 PTJE. OBTENIDO :
Nivel: 2° MEDIOS: Taller de Resolución de Problemas – Artes Visuales
Unidad 1: Números Irracionales
Objetivos de Aprendizajes:
Realizar cálculos y estimaciones que involucren operaciones con números reales.
Indicadores:
Ordenar números irracionales y representarlos en la recta numérica.
Breve descripción de actividad formativa:
Se utilizará juegos didácticos involucrando la aplicación de propiedades de los
números Reales.
Instrucciones:
Lea cuidadosamente cada enunciado.
El dibujo realizado debes enviarlo en una foto al profesor que corresponda a través del
correo institucional, colocando en “ASUNTO” claramente su NOMBRE, APELLIDOS y
CURSO.
Horarios de Consultas:
Se realizarán por plataforma google meet
ROMINA NAVARRO: [email protected] (2° F)
GUILLERMO CRUZ: [email protected] (2° A, B)
HÉCTOR COCA: [email protected] (2° C, D, E)
Sugerencia:
https://www.youtube.com/watch?v=IY-d7Colwfc
ARTES VISUALES: Se evaluará la creación del dibujo y decoración. Lo
puede realizar en su croquera u hoja de block. Enviar la fotografía al correo de
la profesora Rosa Guerrero [email protected]
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LA ESPIRAL DE TEODORO
,ACTIVIDAD: Formaremos “La Espiral de Teodoro” para ello, necesitarán una
regla o escuadra y un transportador.
La Espiral de Teodoro, también conocida como caracola pitagórica, espiral
pitagórica, o espiral de raíces cuadradas, es una espiral formada por triángulos
rectángulos adyacentes (uno al lado de otro) donde parte con un triángulo
rectángulo de lado 1 de unidad de medida
Con regla y transportador construye la caracola siguiendo las instrucciones:
‣ Dibuja un triángulo rectángulo de catetos de 1 centímetro cada uno.
‣ Sobre la hipotenusa dibuja el siguiente triangulo rectángulo considerando esta
hipotenusa como cateto y el otro cateto de 1 centímetro.
‣ Repite la acción anterior sobre cada una de las hipotenusas hasta la raíz de 13.
Una vez que haya realizado la espiral deberás agregar un toque artístico como
verás en los siguientes ejemplos:
Estimado(a) alumna y alumno lo invito a responder en el siguiente link; debe
copiar y pegar la dirección en la barra de navegación, allí encontrarás está
evaluación, Evaluación Formativa N°3, debes subir tu imagen, foto al
Formulario para su revisión y enviar.
2° A, B https://forms.gle/kMoE6VviLRuW7VH59
2° C, D, E https://forms.gle/yYPwRTwueayMsg1f9
2° F https://forms.gle/za5WJKgHcWx3ijjGA