1 LA RADIACIN ELECTROMAGNTICA El trmino radiacin se refiere a la emisin continua de energa desde la superficie de cualquier cuerpo, esta energa se denomina radiante y es transportada por las ondas electromagnticas que viajan en el vaco a la velocidad de 3 108 m/s. Las ondas de radio, las radiaciones infrarrojas, la luz visible, los rayos ultravioleta, los rayos X y los rayos gamma (), constituyen las distintas regiones del espectro electromagntico. Recordemosqueunaondaelectromagnticaconsisteenlaoscilacindeuncampoelctricoyotromagnticoen direcciones perpendiculares, entre s, y a su vez, perpendiculares ambos a la direccin de propagacin. Laradiacinelectromagnticavienedeterminadaporsufrecuenciaoporsulongituddeonda,relacionadas entre s por: = c/ Espectro de la radiacin electromagntica Entre 1850 y 1870 James Clerk Maxwell desarroll la teora electromagntica la que condujo a la prediccin y posterior descubrimiento de las llamadas ondas electromagnticas. A la emisin deestaclasedeondasseledaelnombrederadiacinelectromagntica.Unaondaelectro-magntica se caracteriza por las vibraciones de su campo elctricoE y su campo magnticoB, que oscilan en planos mutuamente perpendiculares. La direccin de propagacin, y por lo tanto su velocidad de propagacin, es perpendicular a las direcciones de los dos campos, tal como se ilustra en la figura 1. Figura 1. Representacin de una onda electromagntica donde E es el campo elctrico, B es el campo magntico y c es la velocidad de propagacin. Una caracterstica espacial de la onda electromagntica es su longitud de onda y su frecuencia de oscilacin . Como para las dems ondas, el producto de su frecuencia por su longitud de onda es igual a su velocidad de propagacin, que para la onda electromagntica en el vaco es: = c donde c tiene el valor de 3 108 m/s, lo que corresponde, nuevamente, a la velocidad de la luz en el vaco. Sisesuponeunaondaelectromagnticaviajandoenelvacoenladireccinx,sepuederecurriralasiguiente expresin general: E = E0 sen(kx t + ) 2 con k = 2/, = 2y un ngulo de fase arbitrario. E0 representa la amplitud. Porconsiguiente,larelacinentrefrecuenciaylongituddeondaesinversa:amayorfrecuenciamenorlongitudde onda y viceversa. La longitud de onda (o frecuencia) de una onda electromagntica puede tomar cualquier valor dentro deunrangodado.Alconjuntodeposiblesvaloresdelalongituddeonda(ofrecuencia)llamamosespectrodela radiacin electromagntica (figura 2). Conelnombredeespectrodesignamos,engeneral,ladistribucindevaloresquepuedetomarcualquiercantidad fsica.Elespectroelectromagnticoeselconjuntodetodaslasradiacioneselectromagnticasdesdemuybajas longitudes de ondas como los rayos (1012 m) hasta kilmetros (ondas de radio). Lasondaselectromagnticasmsconocidassonlasqueocupanunareginmuypequeadelespectro,denominada reginvisible,quecorrespondealasfrecuencias(olongitudesdeonda)quepuederesolverelojohumanoyque llamamos colores. El rango de valores de la longitud de onda en esta regin va desde 7 107 m (rojo) hasta 4 107 m (violeta). Cuando vemos un arco iris estamos observando la parte visible del espectro electromagntico. Aambosladosdelareginvisibledelespectroseencuentranotrasregiones.Amedidaquelalongituddeonda disminuye ( ) encontramos primero la regin ultravioleta, luego la regin de los rayos X y finalmente la regin de los rayos gamma () cuya longitud de onda es del orden de 1012.m. Figura 2. Espectro de la radiacin electromagntica (figura no hecha a escala). Alaizquierdadelareginvisible( )seencuentraprimerolaregindelinfrarrojo,quesedivideentressub-regiones:infrarrojocercano,medianoylejano;luegoestlaregindelasmicroondasyalfinaldelespectroestla regin de las ondas de radio cuyas longitudes de onda son del orden de 103 m. En la figura 2 se muestran estas regiones o bandas como tambin suelen llamarse. En el espectro de las ondas electro-magnticas no es posible separar una regin de otra. Por ejemplo, en el arco iris no podemos decir exactamente en qu puntoterminauncolorycomienzaelsiguiente.Unespectroconestacaractersticasedenominaespectrocontinuo; todos los valores de la cantidad fsica que se emplea para describir el espectro son posibles. Cadaunadelasregionesantesmencionadastienediferenteorigenyaplicabilidad.Deacuerdoconlafuenteque produce la radiacin electromagntica, sta tendr una longitud de onda que se localizar en alguna de las regiones del espectro. En la tabla 1 se encuentran las principales fuentes de radiacin electromagntica y la regin en la cual se encontrar la radiacin correspondiente. 3 Finalmente,paraterminarestebreverepasosobrelaradiacinelectromagntica,hayquerecordarqueunaonda electromagntica transporta energa y una medida de sta es el denominado vector de Poynting. Adems, la intensidad de una onda electromagntica es proporcional a la amplitud de oscilacin, como en cualquier movimiento ondulatorio. Tabla 1. Principales fuentes de radiacin electromagntica Ondas de radioMicroondasInfrarrojoLuz visible UVRayos XRayos (nm)> 1106< 1102700 - 1106380 750 20 - 3800,01 - 20< 0,01 (Hz)> 300106> 3108> 1201012> 3841012> 1,51015>301015>301018 E (J) >201026> 21024> 791021> 2551021>9931021>201018>201015 Fuentes Astr. Tpicas E en campos magnticos Planetas, polvo, nubes del medio interestelar Estrellas calientes y fras, Gigan-tes rojas Estrellas muy calientes Gas en cmulos Reacciones nucleares, Ncleos estelares Fuentes Osciladores elctricos Osciladores deelectrones dentro de una cavidad (Klystron) magetrn Transiciones electrnicas en molculas Transicioneselectrnicas en tomos Cargaselc-tricasbrusca-mentedesce- leradas (radia cindefrena do).Transi-cioneselec- trnicaspro-fundas Transiciones enelncleo atmico o ra-diacinemi-tidaporn-cleosatmi-cos Radiacin emitida por molculas y tomos Elserhumanopuedeverelcolordelosobjetosporquealincidirsobreellosluzblanca,reflejanluzdecierta frecuencia.Recuerdenquelaluzblanca(radiacinelectromagnticavisible)estcompuestaporluzdetodaslas frecuencias posibles que van desde el rojo hasta el violeta. Entonces, un objeto se ver blanco cuando refleja toda la luz que incide sobre l; se ver verde cuando refleja luz cuya frecuencia corresponde a ese color; y cuando absorbe toda la luz que incide sobre l se ver negro. Un objeto que absorbe toda la radiacin electromagntica que incide sobre l es un cuerpo negro. Radiacin trmica Uncuerpo,porelhechodeestaraunadeterminada temperatura,emiteradiacin. Se sabeque la radiacin es emitidaentodaslasfrecuenciasperoemitemsintensa-menteparaunafrecuenciaespecficaquesepuede calcularsabiendosutemperatura. Espor eso quevemos lasestufasderesistenciaponersealrojocuandolas encendemos. Elanlisisdelaradiacintrmicaesunodelostemas importantes en la fsica ya que su estudio crtico llev a la necesidaddepostularnuevosconceptosqueasuvez abrieronelcaminohacialafsicamoderna.Paracom-prender esta radiacin se va a utilizar un ejemplo claro y sencillo. Figura 3. Resistencia de una estufa elctrica Consideremos una estufa elctrica comn: una resistencia por la que pasa una corriente cuya intensidad aumenta segn laposicindelinterruptor(bajo,medioyalto).Sabemosquealpasarcorrienteporlaresistenciasedisipaenella energa en forma de calor (Figura 3). 4 Cuandoelinterruptorsecolocaenbajo,despusdeciertotiemposepuedenotarfcilmentequelaresistenciaseha calentado;esdecir,seencuentraaunatemperaturaquellamaremosTb.Alpasarelinterruptoralasegundaposicin (medio), se aumenta la corriente que pasa por la resistencia y sedisipa ms calor que en el caso anterior. Adems, la resistencia toma un color rojizo. Entonces, la resistencia se encuentra a una temperatura Tm, Tm > Tb, y hay emisin de luz en el rango visible. Alpasaralaltimaposicin(alto),lacorrienteenlaresistenciaestodavamayory,porlotanto,tambinloesla cantidad de calor disipado. Ahora la resistencia se encuentra a una temperaturaTa, Ta > Tm > Tb, y toma un color rojo amarillentoquesignificaquelaluzemitidaesdemayorfrecuenciaqueenloscasosanteriores.Silaresistencia permitiera el paso de una corriente todava mayor, sin quemarse, observaramos que adems de la disipacin de calor la resistencia tomara un color azuloso tendiendo a blanco. Resumiendolosresultadosobtenidosennuestroexperimento,vemos que al aumentar la intensidad de la corriente que pasa por la resistencia aumenta la temperatura de la misma y la frecuencia de la luz a la cual seemiteradiacin.Enrealidadseestemitiendoradiacincuya distribucin es continua. La manifestacin de lo caliente que se pone laresistenciadelaestufa,esunaclarademostracin deemisinenel infrarrojo. Tambin se encontrar emisin por encima del visible. Esto es,alcalentaruncuerpohayemisinderadiacinelectromagntica cuya frecuencia aumenta al aumentar la temperatura. Enelprimerpasodenuestroexperimentonoseveemisinde luz; pero esto se debe a que la frecuencia de la radiacin emitida seencuentraenlaregindelinfrarrojoynolapodemosver (pero si detectar). Algraficarlaintensidaddelaluzemitidaenfuncindela frecuenciaparacadatemperaturaconsiderada,seobtienen curvas como las mostradas en la figura 4. Como el ojo humano discriminasolamenteelcolormsintensopresenteenuna radiacindevarioscolores,enelexperimentoslovemosun color a una temperatura dada; pero con el instrumento adecuado se la puede descomponer en las diferentes frecuencias presentes, obtenindose las curvas continuas mostradas en la figura. Sepuedeconcluir,entonces,queloscuerposmaterialesauna temperaturadiferentede0Kemitenondaselectromagnticas. Tal emisin se denomina radiacin trmica. Figura 4. Curvas tpicas de la radiacin trmica. RADIACIN DEL CUERPO NEGRO Laradiacindelcuerponegrofueunproblematericopuntualqueestudiabalainteraccindelcampoelectro-magntico con lamateria. Para suresolucin senecesit el uso delatermodinmica y delamecnicaestadstica.Su importanciaradicaenserelprecursordelateoracunticayaqueparasucorrectasolucinsehizonecesariala cuantificacin de la energa lo cual dio origen a dicha teora, que tanto revolucion la ciencia del siglo XX. Durante la segunda mitad del siglo XIX, se estudi extensamente la radiacin emitida por cuerpos calientes y para ello se utiliz cierta clase de objetos que tienen la propiedad de emitir la misma radiacin trmica cuando se encuentran a la misma temperatura, independientemente del material que los compone. A estos objetos se llam cuerpos negros y a la radiacin trmica que emiten, radiacin del cuerpo negro. 5 Elnacimientodelacunticageneralmentesesitael14deDiciembrede1900.EsedaMaxPlanckdiounacharla acercadelcuerponegrodondehabaquecambiarlavisinquesetenahastaelmomentodelainteraccindela materia con la radiacin. El cuerpo negro es un sistema fsico (ideal) que absorbe toda la luz y toda la energa radiante (en todas las frecuencias) que incide sobre l. Nada de la radiacin incidente se refleja o pasa a travs del cuerpo negro. A pesar de su nombre, el cuerpo negro emite luz y constituye un sistema fsico idealizado para el estudio de la emisin de radiacin electromagntica. El problema del cuerpo negro fue enunciado por Gustav Kirchhoff en 1859, que demostr usando sloconceptostermodinmicosquelaemisividaddeuncuerpocalienteenequilibriodebeser igual a la absorbancia y que sta slo depender de la temperatura absoluta del cuerpo y no de la naturaleza ni del tamao de ste. Debemos recalcar que en aquella poca an no se haba descubierto ni la existencia de loa radiacin electromagntica (por lo que se desconoca la naturaleza de la radiacin trmica) ni la constitucin de la materia. Idealizando este caso, podemos denominar cuerpo negro a un sistema cuya emisividad y absorbancia sea iguala uno. No obstante, Kirchhoff no pudo llegar a obtener una funcin de esta radiacin con respecto a la frecuencia o longitud de onda, dejando el problema abierto para la bsqueda de una solucin. ElcuerponegroimaginariodeKirchhofferaunsimplerecipienteoscuroconunpequeoorificioenunadesus paredes.Unavezenelinterior,laradiacinsufrediversasreflexionesenlasparedesdelacavidadhastaqueacaba siendocompletamenteabsorbida.Elagujerotambinactacomoemisorperfecto,puestoquelasradiacionesque escapan a travs de l muestran todas las longitudes de onda presentes, a esa temperatura, en el interior del recipiente. A partir de esta construccin mental y valindose de las matemticas, Kirchhoff demostr que el rango y la intensidad de la radiacin en el interior del recipiente nicamente dependan de su temperatura. La tarea que se impuso consista en dar con la frmula que reprodujese la distribucin espectral de la radiacin del cuerpo negro a cada temperatura y acabconocindosecomoproblemadelcuerponegro.lmismo,muyprontofueconscientedequesinpoder experimentarconun cuerponegrorealnopodraavanzarmsaniveltericoensureto,perosutrabajofuedegran ayudaparaaquellosquepudiesendisponerdel.Si,talycmohabaprobado,ladistribucinslodependadela temperatura, la ansiada frmula slo deba tener dos variables: la temperatura del cuerpo negro y la longitud de onda de la radiacin emitida. a.Absorbedorperfecto(pequeo orificio),reflectorperfecto(el resto del cubo de cartulina b.Al incidir la radiacin electromag-ntica el cuerpo se comporta como un cuerpo negro c.Calentamiento del cuerpo anterior Figura 6. Esquema de un reflector perfecto y un cuerpo negro. Evidentemente este sistema tiene que estar cerrado para que el equilibrio trmico sea posible. Sin embargo, podemos pensar que hacemos un agujero minsculo por el que la radiacin escapa de muy poco en poco y eso nos permite ver qu frecuencias y con qu intensidad est la radiacin dentro del cuerpo negro. 6 Figura 7. Curvas del espectro de radiacin del cuerpo negro Densidad de energa (luminosidad) E() vs. Longitud de onda () Ascomounobjetoblancoesunreflectorperfectode luz,uncuerponegroesunabsorbedorperfecto;pero tambinpuede ser un emisor perfecto. Si en un cubo de cartulinablancahacemosunpequeoorificio,stese vernegrodebidoaquelaradiacinelectromagntica que entra por l no puede volver a salir; pero el resto del cubo refleja toda la radiacin que incide sobre l. Por lo tanto,tenemosalmismotiempounabsorbedorperfecto (el pequeo orificio) y un reflector perfecto (el resto del cubo de cartulina) (figura 6a.). Ahoraconsideremosunmaterialcualquieradentrodel cualhayunacavidadconectadaalexteriormedianteun pequeoorificio,sobreelcualincideunhazdeluz (figura6b.).Alentrarlaradiacinenlacavidad,choca contra su pared y es en parte absorbido por la pared y en partereflejadohaciaotropuntodelacavidaddonde nuevamenteesenparteabsorbidoyenpartereflejado. Esteprocesoserepitehastaquetodalaradiacines absorbidaporelmaterial.Entonces,elorificiosever negroporqueporlnosaleradiacinelectromagntica, y por consiguiente, se comporta como un cuerpo negro. Alcalentarestemismomaterial(figura6c.),lacavidademitirradiacinelectromagnticaquesaldrpor elorificio. Como este se comporta como un cuerpo negro la radiacin que sale por l se denomina radiacin del cuerpo negro. Necesariamentelacantidaddeenergaemitidaenformaderadia-cinelectromagnticaserigualalacantidaddeenergasuminis-trada al calentar el material. En estas condiciones el sistema est en equilibriotrmicoylaradiacinemitidaslodependerdela temperatura del material. Enconsecuencia,sepuededefinirunaestrella,el sol porejemplo, como un cuerpo negro. A baja resolucin espectral,el espectro del sol se superpone al de un cuerpo negro de temperatura 5777 K. Sin embargo, nada es menos negro que el sol! Es necesario hacer una definicinmsprecisadelcuerponegro...enlaquestepueda tener color. Al graficar la densidad de energa (energa por unidad de volumen), enfuncindelafrecuenciaseobtienenlascurvastpicasdela radiacin trmica (figura 8). Figura 8. Curvas del espectro e la radiacin del cuerpo negro Figura9.Unaestrellacomonuestrosoltiene caractersticasdecuerponegrocomoemisorde energaqueseliberaenunprocesodefusin nuclear en su interior. Ntese que a medida que aumenta la temperatura del cuerpo, el mximo de la densidad de energa va siendo mayor, tanto en el valor de la densidad deenergaemitida,comoenelvalordela frecuencia a la que ocurre el mximo. De los resultados experimentales se dedujeron tres leyes empricas, que son las siguientes: 7 Ley de Rayleigh-Jeans Enfsica,laLeydeRayleigh-Jeans,primeramentepropuestaporloscomienzosdelsigloXX, obedece a los intentos de describir la radiacin espectral de la radiacin electromagntica de todas las longitud de onda de un cuerpo negro a una temperatura dada. Paradeducirlaleyquerigeelcomportamientodelaradiacindelcuerponegro,elbarnde Rayleigh,Lord John James StruttySir James Hopwood Jeans hicieron clculos sobre ladensidad de energa de radiacin del cuerpo negro partiendo de las siguientes consideraciones: 1.La fsica clsica debe poder describir tericamente la distribucin espectral emitida por un cuerpo negro. 2.El cuerpo negro y la radiacin que emite deben estar en equilibrio trmico. 3.Al calentar un cuerpo negro, los electrones de los tomos que lo constituyen, oscilan alrededor desuposicindeequilibrioy,deacuerdoconlateoraelectromagntica,estascargasen movimientoemitenradiacinelectromagnticadeigualfrecuenciaalafrecuenciade oscilacin. Lord Rayleigh Sir Jeans Grosso modo, esta ley nos dice que la forma de emitir el cuerpo negro es el producto de la frecuencia de la radiacin al cuadrado por la temperatura del cuerpo (2T ) Para la longitud de onda , es: donde c es la velocidad de la luz, k es la constante de Boltzmann y T es la temperatura absoluta. En trminos de frecuencia , la radiacin es: . La ley es derivada de argumentos de la Fsica clsica. El barn de Rayleigh obtuvo por primera vez el cuarto grado de ladependenciadelalongituddeondaen1900.Unosaosmstarde,llegaronaotraexpresinpormediodeun procedimiento distinto. Aunaron la fsica de Newton, Maxwell y Boltzmann para dividir la energa de la radiacin del cuerpo negro entre las diferentes longitudes de onda presentes dentro de la cavidad. El uso del teorema de equiparticin nosatisfacademasiadoaRayleighquecreaquesloeravlidoenciertascondiciones,sinembargoreconocaque aunque la doctrina falla, en general, por alguna razn an sin explicar, parece posible que pueda aplicarse a los modos ms graves donde por modos ms graves ser refera a las vibraciones de longitud de onda largas, las nicas a las que en su opinin poda aplicarse la ecuacin. Segn el teorema de equiparticin, la energa de un gas debe hallarse equitativamente distribuida entre sus molculas y repartida de igual modo entre las diferentes formas en las que estas pueden moverse. Los tomos slo son libres para moverseentresdireccionesdiferentesycadaunadeellas,denominadasgradodelibertad,esunaformaindepen-diente en la que puede recibir y almacenar energa. En el caso de una molcula compuesta de dos o ms tomos, a parte de estos tres movimientos de traslacin existen tres tipos de rotacin en torno a los ejes imaginarios que unen los tomos. As pues, se obtienen un total de 6 grados de libertad. La ley clsica de la equiparticin de la energa dice que la energa promedio,, de cada uno de estos osciladores, que se encuentran en equilibrio trmico dentro del cuerpo negro a una temperatura T, es igual a: = k T donde kB es la constante de Boltzmann cuyo valor es 1,38 1023 J/K y Tla temperatura absoluta del cuerpo negro. 8 Haciendo un desarrollo matemtico y terico riguroso y teniendo en cuenta la equiparticin de la energa, Rayleigh yJeans encontraron la siguiente relacin para la densidad de energa radiada por un cuerpo negro: () = (8/c3)(kBT 2) Unaderivacinms completa, la cual incluaunaconstante deproporcionalidad, fue presentada por LordRayleighy SirJamesJeansen1905;staagregabaunasmedidasexperimentalesparalongitudesdeonda,sinembargo,sta predecaunaproduccin deenerga que tendaalinfinitoyaque la longitud de onda se haca cadavez mspequea. Esta leypredice unaproduccin deenerga infinita a longitudes deondamuy pequeas.El resultado indica quepara frecuencias altas la emisin de energa se va a infinito. Lo cual va en contra de toda evidencia experimental y cotidiana. De ser esto cierto, cualquier cuerpo emitira una energa infinita.La frmula anterior conduce a un resultado absurdo para frecuencias grandes. Se prevea un aumento infinito de la energa en la regin del ultravioleta que sera conocido, aosmstarde,comocatstrofeultravioleta.HayquesealarquetantoRayleighcomoJeanssedieroncuentaen seguidaqueaquello notenaningnsentido.Entreotras cosasporquelavidahumananohubiesesidoposibleenun universosumidoenunocanoderadiacinultravioleta.Estasituacinquenosecorroboraexperimentalmentees conocida como la catstrofe ultravioleta1 (nombre puesto por Eherenfest). Figura 9. Curvas del espectro de radiacin del cuerpo negro. Radiacin de Planck y la Cattrofe ultravioleta La lnea punteadanosmuestraqueyendo afrecuencias ms altas (longitudesde ondams bajas) laley de Rayleigh-Jeans implica un comportamiento catastrfico. Hiptesis de Planck Enelao1900MaxPlanckformulquelaenergaasociadaalaradiacinelectromagnticavieneenpequeas unidadesindivisiblesllamadascuantos.Avanzandoeneldesarrollodeestateora,descubriunaconstantede naturalezauniversalqueseconocecomolaconstantedePlanck.LaleydePlanckestablecequelaenergadecada cuanto es igual a la frecuencia de la radiacin multiplicada por la constante universal. Se trata de una ley fundamental de la teora cuntica, ya que con ella se describe la cuantificacin de la radiacin electromagntica. Lo que hizo Planck fue simple y llanamente interpolar entre las frmulas de Rayleigh-Jeans y la de Wien. Literalmente forz la mquina para encontrar la joroba de la curva del cuerpo negro.

1 La denominacin que le puso el fsico austraco Paul Ehrenfest de catstrofe ultravioleta puede parecer un tanto exagerada pero no dejaba de serbastantecatastrficoqueelempleodelmodelotericoestablecido hastaentoncesdieseunaprediccintotalmenteerrneaque nadatena que ver con la realidad. 9 Simple, efectivo y maravilloso. Pero claro, toda accin tiene una consecuencia y cuando uno tiene unafrmulanuevatienequeintentarexplicarporquesas. Yelproblemaesqueparalograr encontrar esta joroba, Planck tuvo que hacer dos cosas: 1.Meter una constante nueva que tena que ser universal, la misma para todos los materiales y para todas las formas del cuerpo negro. La conocida como constante de Planck. 2.Parainterpretarestafrmulaqueobtuvotuvoqueadmitirquelaradiacinsecomportaba como paquetes de energa cuando interaccionaba con la materia. Es decir, la materia slo podatragar(absorber)ovomitar(emitir)radiacinenenergasqueeranelproductodesuconstanteporla frecuencia de la radiacin (h). Esto tiene dos consecuencias. Primera consecuencia: Hasta ese da todo el mundo crea que la radiacin vendra descrita por las leyes de Maxwell del electromagnetismoclsicoyqueseraemitidayabsorbidadeformacontinua.Yesoeraconsistenteconunavisin puramenteondulatoriadelaradiacin. Conlanuevaimagen,habaqueentenderporqualgoquedeberadeser ondulatorio al interaccionar con la materia se comportaba como partculas de una energa muy definida. Segunda consecuencia: Aparece una constante universal nueva y eso implica que hay que entender su significado y la fsica que se esconde detrs de su rango de aplicabilidad. Hasta la fecha nadie haba necesitado esa constante y eso se entiendeporquedichaconstante(condimensionesdeEnergaTiempo)esmuymuypequea(enlasunidades normales del sistema internacional). Por lo tanto, todo esto abra una nueva ventana de la fsicaque nos mostraba un nuevo paisaje que todava no hemos explorado del todo, la mecnica cuntica. Sin embargo algo s sabemos, la cuntica no deja de sorprendernos. Desde la antigedad se haba podido observar en la vida cotidiana que los cuerpos calientes emitan luz de diferentes coloresenfuncindesutemperatura.Sinirmslejos,losalfareroscontabanconunaguaquedeterminabalas diferentes tonalidades que se obtenan conforme calentaban los materiales. Pero fue a finales del siglo XIX, que el auge delaastrofsicajuntoalincipientealumbradopblicohizoqueelintersporencontrarlabasecientficadeesta relacin se incrementase. La constante de Planck, simbolizada con la letra h (o bien = h/2, en cuyo caso se conoce como constante reducida dePlanck),esunaconstantefsicaquerepresentaalcuantoelementaldeaccin.Eslarelacinentrelacantidadde energa y de frecuencia asociadas a un cuanto o a una partcula. Desempea un papel central en la teora de la mecnica cuntica y recibe su nombre de su descubridor, Max Planck, uno de los padres de dicha teora. La constante de Planck relaciona la energa E de los fotones con la frecuenciade la onda lumnica (letra griega ni nu) segn la frmula: E = h Dado que la frecuencia , longitud de onda , y la velocidad de la luz c estn relacionados por = c, la constante de Planck tambin puede ser expresada como: Ley de Planck (Modelo cuntico) La intensidad de la radiacin emitida por un cuerpo negro, con una temperatura T en la frecuencia , viene dada por la ley de Planck: 10 donde I (, T ) es la cantidad de energa por unidad de rea, unidad de tiempo y unidad de ngulo slido emitida en el rango de frecuencias entre y + ; h es una constante que se conoce como constante de Planck; c es la velocidad delaluz;esunaconstante,llamadaconstantedePlanck,cuyovalores6,6261034 Jsykeslaconstantede Boltzmann2. Se llama Poder emisivo de un cuerpo E (, T ) a la cantidad de energa radiante emitida por la unidad de superficie y tiempo entre las frecuencias y +

La longitud de onda en la que se produce el mximo de emisin viene dada por la ley de Wien; por lo tanto, a medida que la temperatura aumenta, el brillo de un cuerpo va sumando longitudes de onda, cada vez ms pequeas, y pasa del rojo al blanco segn va sumando las radiaciones desde el amarillo hasta el violeta. Lapotencia emitida por unidad de rea viene dada por la ley de Stefan-Boltzmann. Figura 10. Espectro de emisin del cuerpo negro, mostrando un mximo segn la frmula de Wien Enlafigura11seencuentranresumidosenformagrficalosresultadostericosquese tenanafinesdelsigloXIX para la radiacin del cuerpo negro. En 1900 Max Planck obtuvo una relacin diferente, conocida como la Ley de Planck. Esta Ley expresada en trminos de longitud de onda = c /. La intensidad de la radiacin emitida por un cuerpo negro con una temperatura T viene dada por la ley de Planck:

2 La constante de Boltzmann (kB) es la constante fsica que relaciona temperatura absoluta y energa. Se llama as por el fsico austriaco Ludwig Boltzmann,quienhizoimportantescontribucionesalateoradelamecnicaestadstica,enlaqueestaconstantedesempeaunpapelfunda-mental. Su valor es (en SI): k 1,3806504 1023 J/K = 1,3806504 1016 ergios/K. 11 donde I() es la cantidad de energa por unidad de rea, unidad de tiempo y unidad dengulo slido emitida en el rango de frecuencias entre y +, h es la constante de Planck. La ley de Planck no sufre lacatstrofe ultravioleta siguiendo los datos experimentales, pero su pleno significado slo se aprecia desde hace varios aos ms tarde. En el lmite de temperaturas muy altas o largas longitudes de onda, en el trminoexponencial seconvierte enel pequeo, por lo que el denominador se convierteenaproximadamentehc/kT serie de potencias de expansin, al contrario que la ley de Rayleigh-Jeans. Figura 11. Comparacin de la Ley de Rayleigh-Jeans con la Ley de Wien y la Ley de Planck, por un cuerpo de temperatura de 8 mK. Aqu representamos la energa radiada en funcin de la longitud de onda de la radiacin. Recordemos que el producto delalongituddeondaporlafrecuenciadelaradiacinnosdalavelocidaddelaluz.Amayorfrecuenciamenor longitud de onda y viceversa. Seobservaquehayunaemisincontinuaentodaslasfrecuencias(longitudesdeonda)yquehayunmximode intensidad de la radiacin (el pico de la joroba de las curvas (que depende de la temperatura del cuerpo). En el siglo XIX los fsicos ya tenan a su disposicin el electromagnetismo de Maxwell y la termodinmica.Esto es lo quehacefaltaparaestudiarelequilibriodeunsistemaconradiacinelectromagntica,comoeselcaso.Asquese pusieron a buscar frmulas que dieran el comportamiento que vemos en el cuerpo negro, a saber: 1Emite en todas las frecuencias de forma continua. 2Tiene un pico de emisin (mximo de intensidad) que se desplaza a frecuencias ms altas (longitudes de onda ms bajas) conforme mayor es la temperatura del cuerpo. 3El sistema cuerpo-radiacin est en equilibrio. Estoestodoloquenecesitabanparaaplicarsusteorasyencontrarlafrmulaquenosdieralaintensidadparacada frecuencia emitida, por ejemplo. 12 Ley del desplazamiento de Wien Enfebrerode1893,elfsicoalemnWilhelmWien,con29aos,nodioconlafrmulapero descubriunasencillarelacinmatemticaquedescribaelefectodelcambiodetemperaturaenel espectrodelaradiacinemitidaporelcuerponegro.Enunprincipioempleexperimentos mentalesperoviendoquenoleaportabaninformacinsuficiente,incorporelusodemtodosy conceptosestadsticos.Comoresultadodesuestudioencontrqueconformeelcuerponegroseva calentando,elmximodelespectrodeladistribucinsedesplazahacialongitudesdeondams cortas.Estosignificaba,algotanreveladorcomoquelalongituddeondadelmximoderadiacin multiplicada por la temperatura de un cuerpo negro es siempre una constante. Es decir, que una vez calculadalaconstantenumrica,midiendolalongituddeondadelpicodeemisinaunadeterminadatemperatura, poda calcularse la longitud de onda mxima para cualquier otra temperatura. El resultado de Wien se denomina ley del desplazamiento porque muestra cmo la curva de densidad de energa se desplaza a medida que cambia la temperatura de la cavidad. Los fsicos dieron por bueno el razonamiento de Wien y la ley del desplazamiento se convirti en una herramienta de uso comn en la primera dcada del siglo. No deja de ser sorprendente que tuviese tan buena acogida ya que por aquel entonces mucha gente no acababa de entender el segundo principio de termodinmica, las ecuaciones de Maxwell justo empezaban a establecerse entre la comunidad cientfica y la radiacin de cuerpos calientes era terreno exclusivo de los fsicos experimentales. La aproximacin de Wien es una ley de la fsica utilizada para describir el espectro de la radiacin trmica (a menudo llamada la funcin de cuerpo negro). Mientras diseaba junto a Otto Lummer un nuevo y mejorado cuerpo negro vaco capaz de calentarse a temperatura uniforme, buscaba por su cuenta la frmula de Kirchhoff. Finalmente, en 1896 vio la luzsuecuacinparaladistribucindelaradiacin delcuerponegro.Pocodespus,FriedrichPaschenconfirmque coincida con los datos experimentales que podan obtenerse por aquel entonces, para las longitudes de onda cortas. Sin embargo,serequeranmedicionesenunrangomsamplioyelevadodetemperaturasyparaelloeraimprescindible construiruncuerponegromejor.OttoLummertrabajandoenunprimermomentoconFerndinandKurlbaumy, posteriormente,conErnstPringsheim,tarddoslargosaosenobteneruncuerponegroperfeccionadodeltima generacin.Conlobtuvieronelespectroparaestudiarlavalidezdelaleydedesplazamientoascomolaleyde distribucindeWien.Estaecuacinencajaconprecisinlosfenmenos,enunalongituddeondacorta(dealta frecuencia)delespectrodeemisintrmicadelosobjetos.Peronodescribeconexactitudlosdatosexperimentales para longitudes de onda larga (baja frecuencia) de emisin. Ambos presentaron sus resultados en un encuentro celebrado el 3 de febrero de 1889 en la Sociedad de Fsica Alemana de Berln. Explicaron que, si bien los descubrimientos parecan confirmar la ley del desplazamiento de Wien, existan ciertas discrepancias en la regin infrarroja del espectro. Estas podan deberse a errores experimentales pero slo haba una manera de saberlo a ciencia cierta, ampliar an ms el intervalo de longitudes de onda y temperaturas. Tres meses ms tarde, Friedrich Paschen anunci triunfante que sus datos, a temperaturas inferiores a las de Lummer y Prignsheim, coincidan con las predicciones de la ley de distribucin de Wien. Como se puede observar en la figura 6, a medida que aumenta la temperatura absoluta del cuerpo negro, el mximo de densidaddeenergasevacorriendohaciafrecuenciasmayores.Estoes,lafrecuenciaparalacualladensidadde energaradiadaesmxima,esproporcionalalatemperaturaabsolutaT.EsteresultadoseconocecomolaLeydel desplazamiento de Wien y generalmente se expresa en la siguiente forma: maxT = constante El valor de la constante se determina experimentalmente y es igual a 0,2898 102 mK. Ley de Wien En1893WilhelmWienestablecilasiguienterelacinparacalcularladensidaddeenergaradiadaporuncuerpo negro en funcin de la frecuencia y a una temperatura dada: 13 () = C1 3/eC2/T donde C1 y C2 son dos constantes arbitrarias que se ajustan de tal manera que la curva terica y la curva experimental coincidan lo mejor posible. La Ley de Wien es una ley de la fsica. Especifica que hay una relacin inversa entre la longitud de onda en la que se produce el pico de emisin de un cuerpo negro y su temperatura. max = (0,0028976 mK)/T donde T es la temperatura del cuerpo negro en Kelvin (K) y max es la longitud de onda del pico de emisin en metros. frmula funciona bastante bien para frecuencias grandes; pero para frecuencias pequeas la curva terica se aleja de la curva experimental (figura 9b.). Como ya se dijo, las tres leyes anteriores fueron deducidas empricamente aunque para la ltima se utilizaron algunos elementos de la termodinmica. Peroen1899porprimeravezsetratdededucirlasleyesquerigenelcomportamientodelaradiacindelcuerpo negro,apartirdelasleyesfsicasestablecidas.LasconsecuenciasdelaleydeWienesquecuantamayorseala temperatura de un cuerpo negro menor es la longitud de onda en la cual emite. Por ejemplo, la temperatura de la fotos-fera solar es de 5.780 K y el pico de emisin se produce a 475 nm = 4,75 107 m. Como 1 angstrom (1 ) = 1010 m = 104 micras resulta que el mximo ocurre a 4.750 . Como el rango visible se extiende desde 4.000 hasta 7.400 , esta longitud de onda cae dentro del espectro visible siendo un tono de verde. Sin embargo, debido a laDispersin de Rayleigh de la luz azul por la atmsfera, la componente azul se separa distribuyndose por la bveda celeste y elSol aparece amarillento. Deduccin de la Ley de Wien SellamaPoderemisivoespectraldeuncuerpoE(,T)alacantidaddeenergaradianteemitidaporlaunidadde superficie y tiempo entre las frecuencias y + . Se trata por tanto de una potencia. Consideremos el intervalo de frecuencias entre y + y sea dE el poder emisivo del cuerpo en el intervalo de frecuencias. dE = E(, T ) d considerando que la longitud de onda se relaciona con la frecuencia: y, por tanto Esta ley fue formulada empricamente porWien. Sin embargo, hoy se deduce de la ley de Planck para la radiacin de un cuerpo negro de la siguiente manera: donde las constantes C1 y C2 valen en el Sistema Internacional de Unidades o sistema MKS: C1 = 2hc2 = 3,724 1016 W m2 14 Para hallar el mximo la derivada de la funcin con respecto a tiene que ser cero. Basta con utilizar laregla de derivacin del cociente y como se tiene que igualar a cero, el numerador de la derivada ser nulo es decir: Si definimos entonces Estaecuacinnosepuederesolvermediantefuncioneselementales.Comounasolucinexactanoesimportante podemos optar por soluciones aproximadas. Se puede hallar fcilmente un valor aproximado para x: Si x es grande resulta que aproximadamente ex = 0 as que x est cerca de 5. As que aproximadamente x = 5(1 e5) = 4,9663. Utilizando el mtodo de Newton o de la tangente: x = 4,965114231744276 De la definicin de x resulta que: As que la constante de Wien es 2.897,6 m por lo que: mx T = 2.897,6 m K LaleydeWiennosdicecmocambiaelcolordelaradiacincuandovaralatemperaturadelafuenteemisora,y ayuda a entender cmo varan los colores aparentes de los cuerpos negros. Los objetos con una mayor temperatura emiten la mayora de su radiacin en longitudesde onda ms cortas; por lo tanto parecern ser ms azules. Losobjetosconmenortemperaturaemitenlamayoradesuradiacinenlongitudesdeondamslargas;porlo tanto parecern ser ms rojos. Adems, en cualquiera de las longitudes de onda, el objeto ms caliente irradia ms (es ms luminoso) que el de menor temperatura. La ley de Wien se utiliza para determinar las temperaturas de las estrellas a partir de los anlisis de su radiacin. Puede utilizarse tambin para representar las variaciones de temperaturas en diferentes regiones de la superficie de un objeto, lo que constituye una termografa. Si la densidad de energa radiada fuera proporcional al cuadrado de la frecuencia a grandes valores de sta, la densidad de energa sera gigantesca, lo que contradice la realidad, puesto que para , se tiene () 0. Como se muestra en la figura 10, la curva terica y la curva experimental slo coinciden para valores pequeos de la frecuencia; por lo tanto slo es vlida para frecuencias pequeas. 15 a. Todorangodefrecuencias.Laregin1correspondeabajas frecuencias,laRegin2alultravioleta,ylaregin3alasaltas frecuencias. b.Para bajas frecuencias. Figura 12. Resultado terico de Wien y curva experimental para radiacin del cuerpo negro. Referentealallamadacatstrofeultravioleta,Wienseempeenencontrarunresultadomejorquevalierapara frecuencias altas (longitudes de onda bajas).Y lo consigui, pero no del todo. El caso es que lo que Wien encontr es quealbajarenfrecuencias(subirenlongitudesdeonda)otravezseproducaunacatstrofeyseencontrabauna emisin infinita de energa de nuevo.A esta se la llam Catstrofe Infrarroja: Figura 13. Catstrofe ultravioleta e infrarroja frente al comportamiento real de un cuerpo negro. Esto era una clara evidencia que con la fsica conocida, lo que hoy llamamos fsica clsica, no haba forma de entender este sistema a priori tan simple. Tendramos que esperar a que alguien llegara y lo desbaratara todo. Ejemplo: El Tungsteno (wolframio) es el metal que tiene a la vez la temperatura ms alta de fusin 3.680 K y el menor grado de evaporacin. El carbono soporta temperaturas ms elevadas antes de fundirse pero se evapora rpidamente. Enlaprctica,latemperaturamsaltaquesoportaunalmparaincandescenteordinariafabricadaconfilamentode volframioesde2.900K.Aestastemperaturassolamente,unapequeafraccindedelaenergaemitidaestenla regin visible, menos del 11%, la mayor parte es radiacin infrarroja. Por lo que las lmparas incandescentes son poco eficientes en la emisin de luz visible. 16 Elsiguientepasoenlaresolucindelproblemavinodelamanodelfsico,matemticoypoetaJosefStefan.Este propusoen1879unarelacin queestablecaqueladensidad deenergade laradiacin del cuerpo negro erapropor-cional alacuartapotencia delatemperatura absoluta. Dicha expresin se haba extrapolado apartir deexperimentos preliminares y mostraba una buena correlacin con los resultados que se obtenan para un amplio intervalo de tempera-turas. ElgranfsicoaustracoLudwigEdwardBoltzmannfueelencargadodeconferircuerpotericoalaleydeStefan basndose en el segundo principio de la termodinmica y en la teora electromagntica de la luz de Maxwell. Por esta razn, la ley obtenida por Stefan se conoce como ley de Stefan-Boltzmann. Ley de Stefan-Boltzmann En 1878 el fsico esloveno Josef Stefan y el fsico austriaco Ludwig Edward Boltzmann, a partir delascurvasexperimentalesdelespectrodelaradiacindelcuerponegro,establecieronla siguientefrmulaparacalculartericamentelaenergatotalradiadaporuncuerponegropor unidaddesuperficieyporunidaddetiempo(intensidad)queseencuentraalatemperatura absoluta T, es proporcional a la cuarta potencia de su temperatura absoluta: E = Te4 DondeTeeslatemperaturaefectivaosealatemperaturaabsolutadelasuperficieyesla constante de Stefan-Boltzmann y su valor es igual a 5,67 108 W/(m2 K4). LaenergatotalradiadaporunidaddereaytiempoparacadatemperaturaTabsolutadela superficie,essimplementeelreadebajodelascurvascorrespondientesenlafigura6.Esta energa se denomina radiancia y su relacin con la densidad de energa es: Ahora, la radiancia, en funcin de esta energa, por unidad de rea y tiempo, viene dada por: Lapotenciaemisivasuperficialdeunasuperficierealesmenor queel deuncuerpo negroalamismatemperaturay est dada por: E = Te4 17 Donde psilon () es una propiedad radiactiva de la superficie: es la distribucin espectral de la energa que fluye por unidadderea,enfuncindelalongituddeonda,denominadaemisividadespectral,tambinllamadaemitancia espectral, y con frecuencia, radiacin espectral. Con valores en el rango 0 1, esta propiedad es la relacin entre la radiacin emitida por una superficie real y la emitida por el cuerpo negro a la misma temperatura. Esto depende marcadamente del material de la superficie y de su acabado, de la longitud de onda, y de la temperatura de la superficie. La ley de Stefan-Boltzmann establece tambin que un cuerpo negro emite radiacin trmica con una potencia emisiva superficial (W/m) proporcional a la cuarta potencia de su temperatura. La intensidad total Ide la energa irradiada por unidad de rea, por unidad de tiempo y por unidad de longitud de onda para la longitud de onda , de un cuerpo negro a la temperatura absoluta T, viene dada por la expresin: Lapotenciatotalporunidaddereadelaradiacindeuncuerponegro,sepuedeobtenerintegrandolafrmulade radiacindePlancksobre todas las longitudes deonda.La potencia irradiada por unidadde reacomo funcin dela longitud de onda es La intensidad (energa por unidad de rea y unidad de tiempo) por unidad de frecuencia para la longitud de onda , de un cuerpo negro a la temperatura absoluta T, viene dada por la expresin. Su unidad es W/m2m Ahora, La intensidad (energa por unidad de rea y unidad de tiempo) por unidad de frecuencia para la frecuencia , de un cuerpo negro a la temperatura absoluta T, viene dada por la expresin. 0Su unidad es Ws/m2. Demostracin matemtica Esta ley no es ms que la integracin de la distribucin de Planck a lo largo de todas las longitudes de onda: Donde las constantes valen en el Sistema Internacional de Unidades o sistema MKS: C1 = 2hc2 = 3,742 1016 W m2 C2 = hc/k = 1,439 102 mK Puede demostrarse haciendo la integral que: 18 Por lo que la constante de Stefan-Boltzmann depende de otras constantes fundamentales en la forma: Experimento del cubo de Leslie3 La ley de Stefan-Boltzmann queda bastante clara con el experimento del cubo de Leslie: En general en la emisin radiante a altas temperaturas se desprecia el efecto de la temperatura del orden de la tempera-tura ambiente a la que se encuentran los objetos circundantes. Sin embargo debemos tener en cuenta que esta prctica estudiaestaleyabajastemperaturasparalascualesnosepuedeobviarlatemperaturaambiente.Estohaceverque comoeldetectordelsensorderadiacin(unatermopilanoesta0K)irradiaenergaradianteyunaintensidad proporcionalastaeslaquemide,luegosiladespreciamosestamosfalseandoelresultado.Suradiacinsepuede cuantificar de forma proporcional a su temperatura absoluta a la cuarta potencia: De esta forma podemos conocer la radiacin neta que mide a partir del voltaje generado por el sensor sabiendo que es proporcional a la diferencia de radiacin entre la absorbida y la emitida, es decir: Rnet = Rrad Rdet = (T 4 Tdet4) Por ltimo haciendo una serie de suposiciones, como puede ser evitar que el sensor se vea influenciado por la radiacin delcubodeLesliecuandonoseanecesario,tomarmediciones(podemosalejarlo),ysloentoncespodremos considerar que la temperatura del detector es la del ambiente. Con alejarlo cuando sea innecesario esta hiptesis puede ser suficiente. Figura14.Grficadeunafuncindelaenergatotalemitidaporun cuerponegroj*,proporcionalasutemperaturatermodinmicaT.En azulestlaenergatotaldeacuerdoconlaaproximacindeWien,jW*= j*/(4) = 0,924T 4.

3ElcubodeLeslieesunartefactoqueseusaparamedir,osimplementemostrar,laenerga radiadapordistintassuperficies.Elcubofueinventadoen1804porJohnLeslie(*1766 +1832), fsico y matemtico escocs. Tambin sirve para comparar las emisividades de caras de distintos colores o de caras pulidas y speras. El fsico irlands John Tyndall describi un experimento en el que de las cuatro caras verti-calesdelcubo,unaestabacubiertaporunacapadeoro,otraporplata,otraporcobreyla cuartaestababarnizadaconcola.Cuandoelcubosellenconaguacaliente,eldetector trmico (a la derecha en la figura) mostr que la cara barnizada con cola emita mucho ms que las otras tres. Una cara del cubo es blanca, otra negra, una brillante y otra spera. Exponiendo las caras a la radiacin trmica, el termmetro mide los distintos poderes de absorcin de las superficies. 19 Ejercicios Una superficie metlica de 10 cm2 de rea, se encuentra a una temperatura de 2.500 K y emite durante un minuto una energa trmica de 4 104 J. Encuentre: a) la energa emitida por la superficie si fuera un cuerpo negro, y b) la razn de la radiancia de esta superficie a la de un cuerpo negro de igual reay a la misma temperatura. Solucin: a)Si se comporta como un cuerpo negro = 5,67 10-8 W/(m2K4) A = 10 cm2 = 103 m2 T = 60 s E = t A T 4= (5,67 108)(60)(103)(2.500)4 = 1,33 105 J b)Energa trmica emitida por la superficie: 4 104 J Energa trmica emitida si se comporta como un cuerpo negro: 1,328906250 105 J Porcentaje: Primera determinacin de la temperatura del Sol Utilizando su ley Stefan determin la temperatura de la superficie del Sol. Tom los datos del fsico-qumico suizo Charles Soret (*1854 +1904) quien determin que la densidad del flujo de energa del Sol es 29 veces mayor que la densidad del flujo de energa de una fina placa de metal caliente. Puso la placa de metal a una distancia del dispositivo delamedicinquepermitaverlaconelmismonguloqueseveraelSoldesdelaTierra.Soretestimquela temperaturadelaplacaeraaproximadamente1900Ca2000 C.StefanpensqueelflujodeenergadelSoles absorbido en parte por la atmsfera terrestre, y tom para el flujo de energa del Sol un valor 3/2 veces mayor, a saber 29 3/2 = 43,5. Lasmedidasprecisasdelaabsorcinatmosfricanoserealizaronhasta1888y1904.LatemperaturaqueStefan obtuvo era un valor intermedio de los anteriores, 1.950 C (2.223 K). Como X 4 = 43,5 X = 2,57 , la ley de Stephan nosdicequelatemperaturadelSoles2,57vecesmayorquelatemperaturadeunaplacademetal,asqueStefan consigui un valor para la temperatura de la superficie del Sol de 5.713 K (el valor moderno es 5.780 K). ste fue el primer valor sensato para la temperatura del Sol. Antes de esto, se obtuvieron valores tan pequeos como 1.800 C o tan altos como 1,3 107 C. El valor de 1800 C fue hallado por Claude Servais Mathias Pouillet (1790-1868) en 1838. Si nosotros concentramos la luz del Sol con una lente, podemos calentar un slido hasta los 1.800 C. Las temperaturas y radios de las estrellas Latemperaturadelasestrellaspuedeobtenersesuponiendoqueemitenradiacincomouncuerponegrodemanera similar que nuestro Sol. La Luminosidad L de la estrella vale: L = 4r2T 4 Donde es la constante de Stefan-Boltzmann, r es el radio estelar y T es la temperatura de la estrella. Estamismafrmulapuedeusarseparacomputarelradioaproximadodeunaestrelladelasecuenciaprincipalypor tanto similar al Sol: 20 Donde r es el radio solar. Con la ley de Stefan-Boltzmann, los astrnomos pueden inferir los radios de las estrellas fcilmente. La ley tambin se usa en la termodinmica de un agujero negro en la llamada radiacin de Stephen Hawking. I ntensidad de la radiacin solar en la rbita terrestre SepuedeconsiderarelSolcomouncuerponegroderadio6,96108 mcuya superficie est a una temperatura de 6.500 K. Calcular la energa emitida por el Sol en cada segundo. -Constante de Stefan-Boltzmann = 5,67 108 W/m2K4 -Radio del Sol, r = 6,96 108 m -Distancia entre la Tierra y el Sol, d = 1,49 1011 m -Intensidad de la radiacin solar medida en la rbita terrestre supuesta circular Para determinar la temperatura de la radiacin de un cuerpo negro o de unaestrella de la misma temperatura se mide la longitud de onda m a la cual el cuerpo negroemite con intensidad mxima. Aplicando la ley de Wien m T = 2,898 103 m K se determina la temperatura de dicho cuerpo. Por ejemplo, si el mximo est en la longitud de onda m = 0,5 106 m, la temperatura del cuerpo negro es de 5.800 K, tal como se muestra en la figura. La radiacin Sol es absorbida por la atmsfera de la Tierra, por lo que no es fcil determinar la longitud de onda a lacual se produce la mxima intensidad. OtraformademedirlatemperaturadelSol,eslaaplicacindelaleydeStefan-Boltzmann.Laenergaemitidapor unidad de tiempo en todo el espectro por un cuerpo negro a la temperatura T es P= AT 4 21 donde A es el rea de la superficie del cuerpo. La temperatura T efectiva del Sol ser la de un cuerpo negro de la misma rea A que emita la energa P por unidad de tiempo del Sol.Supongamos que el Sol es una esfera de radio r, y que medimos la intensidad de la radiacin solar a una distancia r del centro del Sol, por ejemplo en la Tierra. La energa emitida por el Sol, supuesto un cuerpo negro a la temperatura T es P= 4 r2T 4 Sisuponemosque el Sol emiteen todas las direcciones de formaistropa.La intensidad de la radicacin solar auna distancia r del centro del Sol es Segn la ley de Stefan-Boltzmann la energa que emite un cuerpo negro a la temperatura Tpor unidad de tiempoy por unidad de rea es proporcional a la cuarta potencia de su temperatura absoluta. I = T 4(W/m2) Sustituyendo las variables por los valores, se obtiene It = 2.205,7 W/m2 La temperatura de la Tierra Se puede calcular la temperatura de la Tierra Te igualando la energa recibida del Sol y la energa emitida por la Tierra. El Sol emite una energa por unidad de tiempo y rea que es proporcional a la cuarta potencia de su temperaturaTs. A la distancia de la Tierra a0 (unidad astronmica), esa potencia ha disminuido en la relacin entre la superficie del Sol y lasuperficiedeunaesferaderadioa0.AdemseldiscodelaTierrainterceptaesaradiacinperodebidoalarpida rotacin de la Tierra es toda la superficie de la Tierra la que emite la radiacin a una temperaturaT con lo que dicha potencia queda disminuida en un factor 4. Por ello: Donde rs es el radio del Sol. Por ello Resulta una temperatura de 5 C. La temperatura real es de 15 C. Resumiendo: La distancia del Sol a la Tierra es 215 veces el radio del Sol, reduciendo la energa por metro cuadrado por un factor que es el cuadrado de esa cantidad, es decir 46.225. Teniendo en cuenta que la seccin que interfiere la energatieneunreaquees1/4desusuperficie,vemosquedisminuyeen184.900veces.Larelacinentrela temperatura del Sol y la Tierra es por tanto 20,7, ya que (20,7)4 es 184.900 veces. EstomuestraaproximadamenteporquT~278Keslatemperaturadenuestromundo.Elcambiomsligerodela distancia del Sol podra cambiar la temperatura media de la Tierra. En el clculo anterior hay dos defectos. Parte de la energa solar es reflejada por la Tierra que es lo que se denomina albedoyestodisminuyelatemperaturadelaTierrahechoporelclculoanteriorhasta18 Cypartedelaenerga radiada por la Tierra que tiene una longitud larga, entre 3 y 80 micras, es absorbido por los gases de efecto invernadero 22 calentandolaatmsferahastalatemperaturaactual.Elefectoinvernaderoesenprincipiobueno,noloeselefecto invernadero causado por el hombre que nos lleva a un calentamiento global de efectos imprevisibles. Para calcular la constante solar o energa emitida por el Sol por unidad de tiempo y rea a la distancia de la Tierra basta con dividir esta energa por 46.225 resulta:

Rta.: T = 5.790 K Variacin de la temperatura de un pequeo cuerpo en el seno de una cavidad Suponiendo un pequeo cuerpo esfrico de radio r, suspendido en el interior de una gran cavidad en la que se ha hecho el vaco y cuyas paredes se encuentran a la temperatura T0. SilatemperaturainicialdelabolaesfricaesTalcabodeunciertotiempo,sehabr alcanzadoelequilibrioen elquelatemperaturadelaesferaserlamismaqueladelas paredes de la cavidad. Comosehavistoalestudiarlaspropiedadesdelasuperficiedeuncuerpo,elvalordel coeficiente de absorcin a est comprendido entre 0 (para un reflector perfecto) y 1 (para una superficie idealmente negra). En vez de a, se suele emplear la denominada emitanciarelativa e de la superficie que es numricamente igual a a. 1.Energa radiante emitida por el pequeo cuerpo La cantidad de energa radiante emitida por unidad de rea y por unidad de tiempo desde la superficie de un cuerpo a temperatura T, viene dada por la expresin I = eT 4 (W/m2) La ley de Stefan-Boltzmann es tambin vlida para cualquier otro cuerpo (gris) cuya superficie tenga un coeficiente de absorcin (o emitancia) independiente de la longitud de onda. Multiplicandoporelreadelasuperficiedelpequeocuerpo,obtenemoslaenergaPequepierdeelcuerpoenla unidad de tiempo debido a la emisin de la radiacin. Pe = 4r2eT 4 2.Energa radiante absorbida por el cuerpo Tambin incide energa radiante sobre la superficie del cuerpo. Una parte de la energa incidente es absorbida Pa que se obtiene multiplicando la intensidad de la radiacin por el rea de su superficie, por la fraccin a de la energa incidente que es absorbida. Como hemos dicho, este factor a es numricamente igual a e. Pa = 4r2eT04 3.Variacin en la temperatura del cuerpo con el tiempo La cantidad de energa neta por unidad de tiempo (perdida o ganada) es igual a la diferencia entre la energa radiante absorbida y la emitida. Lacantidaddeenergaradianteganada(perdida)se empleaenaumentar(disminuir)latemperaturadelcuerpo.Siel calor especfico del cuerpo cv es y su masa m, escribimos dQ = mcvdT 23 Latemperaturadelcuerpo varaconeltiempohastaqueseestableceelequilibriotrmicoalatemperaturaT0delas paredes de la cavidad. donde se ha sustituido la masa m por el producto de la densidad r por el volumen de la pequea esfera de radio r. 4.I ntercambios radiactivos entre cuerpos negros El flujo de calor se obtiene de la siguiente manera: q = A1 E = A Te2

Paraelclculodeintercambiosradiactivosdedoscuerposnegros,hayqueafectaralaexpresinanteriorporel llamadofactordeformaF,elcualindicaquefraccindelaenergatotalemitidaporunasuperficieesinterceptada (absorbida, reflejada o transmitida) por otra superficie, es un concepto puramente geomtrico. La expresin final es de la forma: q1-2 = A1 F12 T14 q2-1 = A2 F21 T24 q12 = q1-2 - q2-1 = A1 F12 (T14 - T24) Hay que tener en cuenta que se cumpleA1 F12 = A2 F21

Para superficies reales (con emisividad menor a 1) hay que tener en cuenta que adems de emitir, la superficie refleja energa, para ello se define J como la radiosidad, que es la suma de la energa emitida y la reflejada. q1-2 = A1 F12 J1 q2-1 = A2 F21 J2 q12 = q1-2 - q2-1 = A1 F12 (J1 - J2) En el caso particular de un cuerpo negro se cumple que J = E.