RAZONES Y PROPORCIONES Se quiere preparar una salsa rosada para emparedados de pollo. Según la receta, se debe mezclar por cada tres cucharadas de salsa de tomate, cucharadas de mayonesa. Represente la relación entre las cantidades. Solución

La relación entre la cantidad de cucharadas de salsa de tomate y de mayonesa es 3 es a 5. Esta relación 3 Esas cinco se puede expresar como 3:5 se llama razón y se lee " 3 es a 5”. Los términos de una razón 𝒂: 𝒃, son dos: 𝒂 es el antecedente y 𝒃 es el consecuente Para preparar un termo de café con leche, se vierten tres tazas de café y una taza de leche. Exprese la razón entre el número de tazas de café y tazas de leche.

En cada situación exprese la razón correspondiente en la forma 𝒂: 𝒃.

Por cada 4 niñas hay 3 niños. Razón entre niñas y niños 4:3

Por cada 3 niños hay 4 niñas. Razón entre niños y niñas 3:4

Valor de una razón

Dada la razón 𝒂: 𝒃, al dividir 𝒂 ÷ 𝒃 = 𝒂

𝒃 se obtiene el valor de la razón.

Ejemplo Encuentre el valor de las siguientes razones:

a) 𝟏𝟎: 𝟏𝟓 Solución

𝟏𝟎 ÷ 𝟏𝟓 = 𝟏𝟎

𝟏𝟓=

𝟐

𝟑

b) 𝟏𝟐: 𝟑 Solución

𝟏𝟐 ÷ 𝟑 = 𝟏𝟐

𝟑= 𝟒

Razones Equivalentes y Razón en su Mínima Expresión Observe las figuras: a) Utilizando la forma 𝒂: 𝒃 exprese las razones de borradores a lápices qué

corresponden. b) Encuentra el valor de las razones halladas en el inciso a) c) Compare el valor de las razones, ¿es diferente?, ¿es igual? Solución

a) 𝟐: 𝟑

b) 𝟐: 𝟑 → 𝟐 ÷ 𝟑 =𝟐

𝟑

c) El valor de las razones es igual.

𝟒: 𝟔

𝟒: 𝟔 → 𝟒 ÷ 𝟔 = 𝟒

𝟔=

𝟐

𝟑

Razón Equivalente Dos o más razones son equivalentes y tienen el mismo valor. Una razón es equivalente a otra si existe un número distinto de cero, tal que al multiplicar o dividir por ese número términos de una, obtengo la otra.

Ejemplo Encuentre todas las razones equivalentes menores a 12: 18

Respuesta: Las razones equivalentes son 6: 9. 4:6 y 2:3

Un vehículo recorre 240 km en 4 horas. Exprese la razón de su velocidad. Solución

𝟐𝟒𝟎: 𝟒 → 𝟐𝟒𝟎 ÷ 𝟒 =𝟐𝟒𝟎

𝟒= 𝟔𝟎 𝒌𝒎/𝒉

PAGINA 1

Una razón es simplificada cuando se encuentra una razón equivalente donde ambos términos son números naturales, los más pequeños posibles.

Encuentre la razón simplificada de:

a) 15: 20 → 15: 20 = 3: 4

c)

b) 1.2: 0.7 → 1.2: 0.7 = 12: 7

TRABAJO PROPUESTO #1

Nombre completo: _____________________________ curso: 7° Sección: __

Encuentra el valor de las siguientes razones 1) 2:5 2) 6:9 3) 12:3

Escriba la razón entre las siguientes situaciones y encuentra su valor: 1) Razón del largo y del ancho de la piscina, sí de largo mide 25 m y

ancho 10 m.

2) Razón entre el peso de 400 gramos de azúcar y 1000 gramos de harina.

Encuentra la razón simplificada de: 1) 3:9 2) 8:20 3) 13:39 4) 18:36

En el salón de clases hay 22 niños y 13 niñas, encuentre y simplifique la razón entre el número de niñas y niños.

Encuentra la razón simplificada de:

a) 1.3:1.7 b) 1.1:3 c) 0.4:1.4 d) 2

3:

5

3 f)

4

5:

3

5

PROPORCIONES Una proporción es la igualdad entre dos razones. La proporción 𝟐: 𝟑 = 𝟒: 𝟔 se interpreta como “el valor de la razón 𝟐: 𝟑 es igual al valor de la razón 𝟒: 𝟔".

Propiedad Fundamental de las Proporciones

En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios. A la propiedad fundamental de las proporciones se le conoce más comúnmente como “regla de tres”.

En la proporción

Extremos

Medios

Si un término de una proporción es desconocido, se puede utilizar la propiedad fundamental de las proporciones para encontrarlo.

Ejemplo Encuentra el valor de 𝒙 en las siguientes proporciones. a) 𝟔: 𝟏𝟎 = 𝟑: 𝒙 Solución 6 × 𝒙 = 10 × 3 6𝑥 = 30

𝑥 =30

6

𝑥 = 5 Respuesta: 𝑥 = 5

b) 𝟏. 𝟖: 𝒙 = 𝟑: 𝟐 Solución 1.8 × 2 = 𝒙 × 3 3.6 = 3𝑥 3𝑥 = 3.6

𝑥 =3.6

3

𝑥 = 1.2 Respuesta: 𝑥 = 1.2

APLICACIÓN DE LA PROPORCIÓN Ejemplo En un salón de clases por cada cinco niñas hay 4 niños. Si en el salón de clases hay 30 niñas, ¿cuántos niños hay?

Respuesta: 24 niños

÷ 5

÷ 5

× 10

× 10

× 4

× 4

3

4:5

4 →

3

4:5

4= 3: 5

al multiplicar los extremos y los medios entre sí, se tiene que:

Son iguales

*Utilizando la propiedad fundamental de las proporciones sea igual al producto de los extremos y

el producto de los medios.

Solución

5: 4 = 30: 𝒙

5 × 𝒙 = 4 × 30

5𝑥 = 120 → 𝑥 =120

5

𝑥 = 24

PAGINA 2

TRABAJO PROPUESTO #2

Nombre completo: _____________________________ curso: 7° Sección: __ Resuelve los siguientes problemas utilizando proporciones:

1) Las edades de Juan y Pedro están a razón 5:6, la edad de Pedro es 24 años. ¿Cuál es la edad de Juan?

2) Dos números están en razón 3:4 si el mayor es 32. ¿Cuál es el menor?

3) En una fiesta la razón de niños a niñas de 5:3, si en total asistieron 30 niñas, ¿cuántos niños llegaron?

4) Dos hermanos se repartieron cierta cantidad de lempiras en una razón 3:4

si el hermano menor recibió 180 lempiras Qué es la parte menor parte cuánto recibió el hermano mayor.

5) Entre la velocidad del tren y del avión es 2:15 si la velocidad del avión es

de 600 kilómetros por hora Cuál es la velocidad de tren.

TRABAJO PROPUESTO #3

Nombre completo: _____________________________ curso: 7° Sección: __ Determine si los siguientes casos son directa e inversamente proporcionales. 1)______________________La sombra y altura de los árboles a las 10: 00 am. 2)______________________La distancia recorrida y el tiempo empleado. 3.______________________Número de obreros trabajando y el tiempo empleado en hacer una obra. 4)______________________Número de personas y días Qué comen los alimentos en la misma cantidad cada uno. 5)______________________Costo de un artículo y número de artículos que se compran con una cantidad fija. 6)______________________Número de personas y alimentos necesarios. 7)______________________Cantidad de postre y azúcar empleada. 8)______________________Radio y longitud de la circunferencia. 9)______________________Velocidad de un auto y tiempo en recorrer determinada distancia. 10)_____________________Galones de pintura y área a pintar.

PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA PROPORCIONALIDAD DIRECTA Dada dos cantidades 𝒙 y 𝒚, se dice que 𝒚 es directamente proporcional a 𝒙 si hay una constante distinta de cero tal que 𝒚 = 𝒂𝒙 ; donde 𝒂 es la constante de proporcionalidad.

¿Cuándo dos Magnitudes Directamente Proporcionales?

Cuando, al multiplicar o dividir una de ellas por un número cualquiera, la otra queda multiplicada o dividida por el mismo número.

Cuando, a medida que una cantidad aumenta, la otra también aumenta en la misma proporción, o viceversa (si una disminuye, la otra cantidad también disminuye).

PROPORCIONALIDAD INVERSA Dada dos cantidades 𝒙 y 𝒚, se dice que 𝒚 es inversamente proporcional a 𝒙 si hay

una constante tal que 𝒚 =𝒂

𝒙 ; donde 𝒂 es la constante de proporcionalidad.

¿Cuándo dos Magnitudes Directamente Proporcionales?

Cuando, al multiplicar o dividir una de ellas por un número, la otra queda dividida o multiplicada por el mismo número.

Cuando, al aumentar una, disminuye la otra en la misma proporción.

NOTA: Desarrolle el trabajo propuesto #3

PAGINA 3

APLICACIÓN DE LA PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA.

Proporcionalidad Directa

Ejemplo En 2 horas un bus recorre 140 km. Si la velocidad es constante, cuánto habrá recorrido el bus al cabo de 5 horas? Solución Paso 1: Definir 𝒙 y 𝒚

Tiempo (𝑥) Distancia redorrida (𝑦)

2 horas 5 horas

140 km 𝒚

Paso 2: Encontrar la constante de proporcionalidad Cuando 𝑥 = 2 𝑦 = 160

𝟏𝟒𝟎 = 𝒂(𝟐)

𝒂 =𝟏𝟒𝟎

𝟐

𝒂 = 𝟕𝟎 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝒚 = 𝟕𝟎𝒙

Y Pasó 3: utilizar la fórmula para la proporcionalidad directa

𝒚 = 𝟕𝟎𝒙 𝒚 = 𝟕𝟎(𝟓) 𝒚 = 𝟑𝟓𝟎

Respuesta: 𝑨𝒍 𝒄𝒂𝒃𝒐 𝒅𝒆 𝟓 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔, 𝒆𝒍 𝒃𝒖𝒔 𝒉𝒂𝒃𝒓á 𝒓𝒆𝒄𝒐𝒓𝒓𝒊𝒅𝒐 𝟑𝟓𝟎 𝒌𝒎.

TRABAJO PROPUESTO #4

Nombre completo: ____________________________ curso: 7° Sección: __ Resuelva los siguientes Problemas usando los pasos del ejemplo 2:

1. Un campesino se tarda 5 días en sembrar dos manzanas de maíz. Si el número de días que tarda es directamente proporcional al número de manzanas sembradas ¿cuántos días se tardará en sembrarse 6 manzanas de maíz?

2. Se quiere preparar una cena para 16 personas. Pero la receta dice una libra de carne para cuatro personas. Si las libras de carne son directamente proporcional al número de personas, ¿Cuántas libras de carne se necesitarán para la nueva receta?

3. Para pintar una pared de 30 metros cuadrados se necesitan 5 galones de pintura. ¿Cuántos galones de pintura se necesitan para pintar 42 m2?

APLICACIÓN DE LA PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA.

Proporcionalidad Inversa

Ejemplo

En una excursión que viaja de Tegucigalpa a San Pedro Sula con una velocidad constante de 100 Km por hora y se llega en 3 horas. Si se hace el mismo viaje a diferentes velocidades, los tiempos de llegada también son distintos. Tiempo 𝒚 es inversamente proporcional a la velocidad 𝒙. observe la tabla y responda:

a) Encuentre la constante de proporcionalidad 𝒂 y exprese el valor de 𝒚 en

términos de 𝒙. b) Si se viaja a 60 km/hora, ¿En cuántas horas se llegó? c) Si se llegó en 6 horas, ¿A qué velocidad se viajó? Solución

a) Como se trata de una proporcionalidad Inversa, se usará la fórmula 𝒚 =𝒂

𝒙

Se trata de dos cantidades: 𝒙: 𝒗𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 (Km/h) 𝒚: 𝑻𝒊𝒆𝒎𝒑𝒐 (horas)

𝟑 =𝒂

𝟏𝟎𝟎

𝒂 = 𝟑(𝟏𝟎𝟎) = 𝟑𝟎𝟎

Respuesta: 𝒚 =𝟑𝟎𝟎

𝒙

b) 𝒚 =𝟑𝟎𝟎

𝟔𝟎

𝒚 = 𝟓

Respuesta: 𝑺𝒆 𝒍𝒍𝒆𝒈ó 𝒆𝒏 𝟓 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔.

c) 𝟔 =𝟑𝟎𝟎

𝒙

𝟔𝒙 = 𝟑𝟎𝟎

𝒙 =𝟑𝟎𝟎

𝟔

𝒚 = 𝟓0

Respuesta: 𝑺𝒆 𝒗𝒊𝒂𝒋ó 𝒂 𝒖𝒏𝒂 𝒗𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝟓𝟎 𝑲𝒎/𝒉.

Como se trata de una proporcionalidad directa, se usará la fórmula:

𝒚 = 𝒂𝒙

Sustituir los valores de x e

y en la fórmula: 𝒚 = 𝒂𝒙

Sustituyendo los valores

conocidos en la fórmula

Cuando 𝑦 = 6, se tiene que

Cuando 𝑥 = 60, se tiene que

PAGINA 4

TRABAJO PROPUESTO #5

Nombre completo: ____________________________ curso: 7° Sección: __ Resuelva los siguientes Problemas usando los pasos del ejemplo:

1. Sí tres hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo ¿cuántos días se emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo?

2. Una cisterna tarda en llenarse 15 minutos si se echan 4 L de agua por minuto. Si se echan 6 litros de agua por minuto, ¿Cuántos minutos tardará en llenarse la cisterna?

3. Para descargar un furgón cargado de café en 4 horas se necesitan 6 personas. Si el gerente del beneficio de café contrata2 empleados más, ¿cuánto tiempo se tardará en Descargar el furgón

PORCENTAJE O TANTO POR CIENTO

Se denomina Porcentaje o Tanto por Ciento, al número de unidades que se

toman de cada 100.

El porcentaje proviene del latín “per centum” que significa “por ciento” o “por

cada 100”

Tanto por ciento

Unidades de cada 100

Ejemplo:

25 de cada 100, expresado en porcentaje sería 25% (se lee “25 por ciento”)

Por tanto, 𝟐𝟓

𝟏𝟎𝟎= 𝟐𝟓%

𝟐𝟓

𝟏𝟎𝟎

𝟐𝟓 ÷ 𝟏𝟎𝟎 = 𝟎. 𝟐𝟓 𝟐𝟓%

CÁLCULO DEL TANTO POR CIENTO DE UN NÚMERO

Ejemplo

El 20% de los alumnos de una sección sacó una nota sobresaliente en

matemáticas. Si en la sección hay 35 alumnos. ¿Cuántos son los alumnos?

Solución Datos

Sobresalientes

Total

Porcentajes

20%

100%

Cantidades

𝒙

35

Cálculos

20: 100 = 𝑥: 35

100𝑥 = 20(35)

𝑥 =700

100

𝑥 = 7

Respuesta: 𝑯𝒂𝒚 𝟕 𝒂𝒍𝒖𝒎𝒏𝒐𝒔 𝒔𝒐𝒃𝒓𝒆𝒔𝒂𝒍𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔.

PORCENTAJE DE UNA CANTIDAD RESPECTO A OTRA

Ejemplo

¿Qué Porcentaje es 30 de 120?

Solución Datos

Parte

Total

Porcentajes

𝒙 %

100%

Cantidades

30

120

Cálculos

𝑥: 100 = 30: 120

120𝑥 = 30(100)

𝑥 =3000

120

𝑥 = 25

Respuesta: 𝟐𝟓%

TRABAJO PROPUESTO #6

Nombre completo: ____________________________ curso: 7° Sección: __

Resuelva los siguientes problemas. 1) El 55% del peso de una persona adulta es agua. ¿Cuántos Kg de agua

tendrá una persona que pesa 60 Kg? 2) María ha leído el 25% de las páginas de un libro que tiene 120 páginas,

¿Cuántas paginas ha leído? 3) El 60% de lo recaudado en la venta de comida, será destinado a la compra

de pintura. Si se recaudaron L.2400. ¿cuánto es?

Calcule: a) 25% de 60 b) 50% de 120

Resuelva. a) ¿Qué porcentaje es 8 de 16? c) ¿Qué porcentaje es 12 de 12? b) ¿Qué porcentaje es 2 de 5?

PAGINA 5

Instituto “Genaro Muñoz Hernández” Siguatepeque, Comayagua

Tel. 2773-0128

GUÍA DIDÁCTICA DE REFORZAMIENTO Y ASIGNACIONES

CUARTO PARCIAL

MATEMÁTICAS

Grado: 7°

DOCENTES RESPONSABLES:

ANA VELÁSQUEZ CEL. 3176-2204

AGUSTÍN BENAVIDEZ

ELMER MEDINA

OSCAR GARCÍA

YOVANI DURÓN

FECHA DE ENTREGA AL DOCENTE: 27 DE NOVIEMBRE DE 2020 LUGAR: CASETA DE VIGILANCIA IGMH

ESTIMADO PADRE DE FAMILIA Y ALUMNO: El área de matemática de esta prestigiosa institución, ha preparado el siguiente material con mucha dedicación,

con el objetivo de que usted tenga una segunda oportunidad para la aprobación del año escolar; conociendo las

circunstancias mundiales y del país, tanto ustedes como nosotros debemos hacer un sacrificio y esfuerzo extra

para salir adelante. Es por ello que de usted depende el éxito de su rendimiento académico.

En el presente instructivo, encontrará una serie de temas desarrollados a lo largo del parcial y que fueron

impartidos mediante WhatsApp; usted deberá leer el contenido y analizar cada ejemplo planteado para mayor

comprensión de la temática, luego, debe responder de forma clara, limpia y ordenada cada uno de los 6 trabajos

propuestos que se le presenta al final de cada tema. La presentación de estos trabajos, deberá ser en un informe

con su respectiva portada y el desarrollo de cada uno de los trabajos propuestos.