RELACION Y OPERACIÓN ENTRE CONJUNTOS. Para indicar si un elemento pertenece o no a un conjunto se...
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RELACION Y OPERACIÓN ENTRE CONJUNTOS
Para indicar si un elemento pertenece o no a un conjunto se utiliza el símbolo de pertenencia ( ).
-5 Z ( se lee: -5 pertenece a Z )
su negación es
5/2 Z ( se lee: 5/2 no pertenece a Z)
Relación de pertenencia
Nota:
Cabe aclarar que la relación entre elementos y conjuntos es de pertenencia, y la relación que se puede dar entre conjuntos es de inclusión.
Conjuntos iguales
El conjunto A es igual al conjunto B, si y sólo si, cada elemento de A pertenece a B y viceversa.
A = B ↔ A B y B A
Ejemplo:• G = {x N / 3 < x < 10} = {4, 5, 6, 7, 8, 9}
H = {x Z / 4 ≤ x ≤ 9} = {4, 5, 6, 7, 8, 9}
entonces G = H
Decimos que dos conjuntos A y B son iguales (A = B ) si todos los elementos de A pertenecen a B
IGUALDAD DE CONJUNTOSRe
laci
ones
Ent
re C
onju
ntos
A= { x, y } B= { y, x }
Esto es:A=B,
entonces x є A, implica que x є B y
Que y є B, implica que y є A.
Ejemplo de Igualdad de Conjuntos……………
IGUALDAD DE CONJUNTOSRe
laci
ones
Ent
re C
onju
ntos
Si
M= { 1, 3, 5, 7, 9 } y
L= {x/x es impar ^ 1 ≥ x ≤ 9 }
Esto significa que
M=L
Si cada elemento de un conjunto A es también elemento de un conjunto B,
entonces A se llama Subconjunto de BTambién decimos que A, esta contenido en B
SU SIMBOLO ES:
SUBCONJUNTO
Rela
cion
es E
ntre
Con
junt
os
Ejemplo:SUBCONJUNTO
Rela
cion
es E
ntre
Con
junt
os
Considere los siguientes conjuntos:A={ 1, 3, 4, 5, 8, 9 } B={ 1, 2, 3, 5, 7 } C={ 1, 5 }
Podemos decir que:
C A y C B, Ya que 1 y 5 los, elementos de C, también son elementos de A y B
B A Ya que algunos de sus elementos como el 2 y 7 no pertenecen a Ao se que no todos lo elementos de B son elementos de A
Ejemplo:SUBCONJUNTO
Rela
cion
es E
ntre
Con
junt
os
Considere los siguientes conjuntos:
B={ x/x es un ave} H={ y/y es una paloma}
Podemos decir que:
H B H es un subconjunto de B
Ejemplo:SUBCONJUNTO
Rela
cion
es E
ntre
Con
junt
os
Considere el siguiente conjunto:
A={ x/x є N es par} y B={ y/y є N y es múltiplo de 2}
Podemos decir que…………
B A
A B
B = A
A = B
DIAGRAMA DE VENN (Euler)Re
laci
ones
Ent
re C
onju
ntos
Si A={ 1, 2, 3,} B= { 1 } C={ 8,9 } D={ 8}
UA
B
C
D
A U C UB U D U
B A D C
CONJUNTOS DISJUNTOSDos conjuntos son disjuntos cuando no tienen elementos comunes.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA :
A B
1
7
5 3
9
2
4
8
6
Como puedes observar los conjuntos A y B no tienen elementos comunes, por lo tanto son CONJUNTOS DISJUNTOS
CONJUNTOS INTERSECANTES
U
A BA y B son conjuntos
intersecantes
Los conjuntos A y B son INTERSECANTES si y sólo si A y B tienen al menos un elemento común.
Rela
cion
es E
ntre
Con
junt
os
OPERACIONES CON CONJUNTOSO
pera
cion
es c
on C
onju
ntos
Operaciones con Conjuntos
Unión
Intersección
Diferencia
Diferencia Simétrica
Complemento
UNION DE CONJUNTOSO
pera
cion
es c
on C
onju
ntos
La unión de dos conjuntos A y B, denominada por A U B que se lee A unión B, es el nuevo Conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o B o a ambos conjuntos
A U B ={ x/ (xЄ A) V (x Є B)}
U
A B
En el diagrama de Venn, la región sombreada corresponde al conjunto A U B
UNION DE CONJUNTOSO
pera
cion
es c
on C
onju
ntos
Ejemplo
A U B ={ a, b, c, d, e, f}
U
A B
Si A={ a, b, c, d } B= { c, d, e, f }Entonces:
REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA UNIÓN DE CONJUNTOS
Si A y B son no comparables Si A y B son comparables
Si A y B son conjuntos disjuntos
U
U
U
A
A
A B
B
B
AUB AUB
INTERSECCION DE CONJUNTOSO
pera
cion
es c
on C
onju
ntos
A ∩ B ={ X / (XЄ A) Λ (x Є B) }
U
A B
La intersección de dos conjuntos A y B, denotada A ∩ B, que se lee A intersección B.
Es el nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B, es decir, por los elementos comunes a ambos conjuntos
En este diagrama de Venn la región
sombreada corresponde al conjunto A ∩B
INTERSECCION DE CONJUNTOSO
pera
cion
es c
on C
onju
ntos
A U B También se llama suma lógica de los conjuntos A y BA ∩ B Se denomina también el producto lógico de los conjuntos Ay B
Si A={ a, b, c, d } B= { c, d, e, f }
Dos conjuntos que no tienen nada en común se llaman
DISYUNTOS
Observe que los elementos c y d pertenecen simultáneamente a los conjuntos A y B
A ∩ B = { c, d }
INTERSECCION DE CONJUNTOSO
pera
cion
es c
on C
onju
ntos
Si A={ a, b, c, d }
B= { c, d }A ∩ B = { c, d }
UA
B
UA
B
Si A={ a, b, c, d }
B= { m, p, q }A ∩ B = Ø
A ∩ B = Ø, A y B son disyuntos A ∩ B =B porque B A
REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
Si A y B son no comparables Si A y B son comparables
Si A y B son conjuntos disjuntos
U
U
U
A
A
A B
B
AB AB=B
B
AB=Φ
DIFERENCIA DE CONJUNTOSO
pera
cion
es c
on C
onju
ntos
A - B ={ X/X Є A Λ x Є B }
La Diferencia de dos conjuntos A y B, denotada A – B, que se lee A menos B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y que no pertenecen a B
Simbólicamente:
UA
B
UA B
DIFERENCIA DE CONJUNTOSO
pera
cion
es c
on C
onju
ntos
Simbólicamente: A - B ={ X/X Є A Λ x Є B }
UA
B
U A B
U AB
REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA DIFERENCIA DE CONJUNTOS
Si A y B son no comparables Si A y B son comparables
Si A y B son conjuntos disjuntos
U
U
U
A
A
A B
B
A - B A - B
B
A - B=A
INDICE
DIFERENCIA DE CONJUNTOSO
pera
cion
es c
on C
onju
ntos
Ejemplo 1:
Si A={ a, b, c } B= { c, d} A-B={ a, b }
Ejemplo 2:
Si A={ 3, 4, 5, 6 } B= { 4, 5 } A-B={ 3, 6}
Ejemplo 3:
Si A={ 1, 2, 3 } B= { 6, 7 } A-B={1, 2, 3 }
COMPLEMENTEOS DE UN CONJUNTOSO
pera
cion
es c
on C
onju
ntos
El complemento de un conjunto A con respecto al conjunto U, denota
A΄, es el conjunto de elementos de U que no pertenecen a A
Simbólicamente: A΄={ X/X Є A U Λ x A }
UA
A΄= U – A Ejemplo:
A = { X/X es un numero natural par}
Sea U = N (el conjunto de los números naturales)
A΄ = { X/X es un numero natural impar}=U -A
IGUAL
SIMBOLOGIARe
laci
ones
Ent
re C
onju
ntos
ELEMENTO PERTENECE
ES SUBCONJUNTO
єє
NO ES SUBCONJUNTO
ELEMENTO NO PERTENECE
=
CONJUNTO VACIO { } o Ø
CONJUNTO UNIVERSAL UCONJUNTO DE PARTES P{A }
UNION
INTERSECCION
DIFERENCIA SIMETRICA
∩
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO
DIFERENCIA
U
CONJUNTOS NUMERICOS
NNATURALES
___
’
ZENTEROS
QRACIONALES
IRRACIONALES
rREALES
Q΄
CCOMPLEJOS
DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOSO
pera
cion
es c
on C
onju
ntos
Simbólicamente:
La Diferencia Simétrica de dos conjuntos A y B, denotada A B, que se lee A diferencia B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B pero no pertenecen simultáneamente a ambos conjuntos
A B ={ X/X Є A V x Є B Λ x Є A ∩ B}
DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOSO
pera
cion
es c
on C
onju
ntos
Simbólicamente:
La Diferencia Simétrica de dos conjuntos A y B, denotada A B, que se lee A diferencia B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B pero no pertenecen simultáneamente a ambos conjuntos
A B ={ X/X Є A V x Є B Λ x Є A ∩ B}
A diferencia simétrica de B es igual ax Tal que x pertenece a A o x pertenece a B, y x pertenece
a A intersección B
DIFERENCIA SIMETRICA DE CONJUNTOSO
pera
cion
es c
on C
onju
ntos
Simbólicamente: A - B ={ X/X Є A Λ x Є B }
UA B
En el siguiente grafico se muestra A B
Observe que las regiones a la izquierda y a la derecha corresponden a los
conjuntos A-B y B-A
Por eso también
A B={ A – B } U { B- A }
A B={ A U B } - { B ∩A }
A={ 1, 2, 3, 4 } B= { 4, 5 } A B = { 1, 2, 3, 5 }
PROBLEMA 1 PROBLEMA 2 PROBLEMA 3 PROBLEMA 4
Dados los conjuntos:
A = { 1 , 3 , 5 , 7 , ... , 15 }
B = { 2 , 4 , 6 , ... , 14 }
C = { -3 , -2 , -1 , 0 , ... , 12 }
a) Expresar B y C por comprensión
b) Calcular: n(B) + n(A)
c) Hallar: A U B , C – A
a) Expresamos B y C por comprensión
A = {x/x N, x es impar, x<16 }
B = {x/x N, x es par y x <15 }
Solución
b) Hallamos : n (A) = 8 n (B) = 7
Por lo tanto : n (A) + n (B) = 15
c) Hallamos la unión de A y B
A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 }
C – A = { - 3, - 2, - 1, 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12 }
Si : G = { 1 ; {3} ; 5 ; {7;10} ;11 }
Determinar si es verdadero o falso:
a) Φ Gb) {3} Gc) {{7};10} Gd) {{3};1} Ge) {1;5;11} G
Observa que los elementos de A son:
1 ; {3} ; 5 ; {7;10} ; 11
Entonces:
FALSO
FALSO
VERDADERO
VERDADERO
FALSO
Expresar la región sombreada en términos de operaciones entre los conjuntos A,B y C.
A B
C
A B
C
A B
CA
B
C
AB
C
[(A B) – C]
[(B C)–A]
[(A C) – B]
Según las preferencias de 420 personas que ven los canales A,B o C se observa que 180 ven el canal A ,240 ven el canal B y 150 no ven el canal C, los que ven por lo menos 2 canales son 230 ¿cuántos ven los tres canales?
El universo es: 420
Ven el canal A: 180 Ven el canal B: 240No ven el canal C: 150Entonces si ven el canal C: 420 – 150 = 270
A B
C
a
d
(I) a + e + d + x =180
be
xf
(II) b + e + f + x = 240
c
(III) d + c + f + x = 270
Dato: Ven por lo menos dos canales 230 ,entonces:
(IV) d + e + f + x = 230
(I) a + e + d + x =180(II) b + e + f + x = 240(III) d + c + f + x = 270
Sumamos las ecuaciones (I),(II) y (III)
Sabemos que : a+b+c+d+e+f+x =420230
entonces : a+b+c =190
a + b + c + 2(d + e + f + x) + x = 690 190 230
190 + 460 + x = 690 x = 40
Esto significa que 40 personas ven los tres canales
CONJUNTOS NUMERICOSCo
njun
tos
Num
éric
os
Números Naturales NEs la colección de Objetos matemáticos representados por los símbolos 1, 2, 3, 4, …., etc. Llamados números para contar.
N= {1, 2, 3, 4, ….}
Números Enteros ZLos números enteros abarca los números negativos incluyendo en cero y los números positivos. Y se representa
Z= {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ….}
CONJUNTOS NUMERICOSCo
njun
tos
Num
éric
os
Números Racionales QEs el conjunto de los números de la forma donde p y q son enteros, con q ≠ 0, se representa mediante el símbolo.
Q= { ,q Є Z Λ q ≠ 0}
Números Irracionales Q’Es el conjunto de los números que no pueden ser expresados como el cociente de dos números enteros
Q’
Entre los mas conocidos esta el π
pq
CONJUNTOS NUMERICOSCo
njun
tos
Num
éric
os
Números Reales REs el conjunto formado por todos los números racionales e irracionales
R = Q U Q’
Números Complejos cEs la colección de números de la forma a + bi, donde a y b son números reales, e i es la unidad imaginaria que cumple con la propiedad.
i2=-1
Números Naturales ( N ) N={1;2;3;4;5;....}
Números Enteros ( Z ) Z={...;-2;-1;0;1;2;....}
Números Racionales (Q) Q={...;-2;-1; ;0; ; ; 1; ;2;....}
Números Irracionales ( I ) I={...; ;....}
Números Reales ( R )R={...;-2;-1;0;1; ;2;3;....}
Números Complejos ( C )C={...;-2; ;0;1; ;2+3i;3;....}
N
ZQ
I
R
C