CLASE N° 9

RELACIONES

PAR ORDENADODefinición.- Es un conjunto de dos elementos ordenados de acuerdo a como aparecenSe representan por (a, b) donde:

a : primer elemento b : segundo elemento

Pares ordenados iguales(a, b) = (c, d) si y solo si a = c y b = dEjemplo: Hallar el valor de x e y si (3x + 2y, -5) = (11, 3x – 2y)Solución 3x + 2y = 11

3x - 2y = -5Resolviendo el sistema de ecuaciones:Se obtiene x = 1

y = 4

3x + 2y = 11 (1)3x - 2y = -5 (2)6x = 6

x = 6/6 = x =1En (1) Reemplazando x=13(1) + 2y = 11

3 + 2y = 11 2y = 11 – 3

2y = 8 y = 8/2 y = 4

PRODUCTO CARTESIANO A x BDefinición.- El producto cartesiano de dos conjuntos no vacíos A y B se define como el conjunto de todos los pares ordenados (a; b) donde a pertenece al conjunto A y b pertenece al conjunto BSe representa por:Ejemplo Sean los conjuntos : A = { 1; 3; 5} y B = {r; s} entonces:

A x B = {(1, r),(1, s),(3, r),(3, s),(5, r),(5, s)}Representación:

1) Con diagrama de árbolA B A x B1 r (1, r)

s (1, s)3 r (3, r)

s (3, s)5 r (5, r)

s (5, s)

}/);{( BbAabaAxB

2) Utilizando tabla

3) Utilizando diagrama de flechas

1 r2 s3

A B r S

1 (1, r) (1, s)

3 (3, r) (3, s)

5 (5, r) (5, s)

A B

4) Utilizando el plano cartesiano B

A

Número de elementos de un producto cartesianoSi los conjuntos A y B son finitos y tienen m y n elementos respectivamente entonces el producto cartesiano A x B tienen m x n elementos

Ejemplo: sean A = { 1; 3; 5} y B = {r; s}Luego n(A x B) = 3 x 2 = 6

RELACIONESRelación es un subconjunto de un producto cartesiano Definición.- Es una correspondencia entre el primer conjunto llamado DOMINIO y el segundo conjunto llamado RANGO, de modo que a cada elemento del dominio le corresponde uno o más elementos del rango. Simbólicamente se define como:

R = {(x,y) є AxB / xRy}

Dominio de una relación Dom(R) Es el subconjunto de A, formado por todos los primeros componentes de los pares ordenados que pertenecen a la relación. Dom(R) = { x є A / (x, y) є R}Rango de una relación Ran((R).- Es el subconjunto de B, formado por todos los segundos componentes de los pares ordenados que pertenecen a la relación Ran(R) = { y є B / (x, y) є R}

AxBR

CLASES DE RELACIONES1. Relaciones Reflexivas.- Cuando un elemento está relacio-nado

consigo mismo . Si Ѵa є A, (a, a) є R, 2. Relaciones Simétricas.- Una relación es simétrica si Ѵ(a,b) єR se

cumple que el par ordenado (b, a) є R3. Relaciones transitivas.- Una relación es transitiva si Ѵ(a,b) y (b,c)

є R, se cumple que el par ordenado (a,c) є R4. Relación de equivalencia .- Una relación es de equivalencia

cuando es reflexiva, simétrica y transitiva5. Relaciones antisimétricas.- Una relación es antisimétrica cuando

si Ѵ(a;b) y (b;a) є R, se cumple que a = b6. Relaciones de orden.- Una relación es de orden si es reflexiva,

antisimétrica y transitiva7. Relaciones inversas.- R-1 cuando se determina invirtiendo el orden

de las componentes de las parejas ordenadas en la R

• R-1 = { (b;a)/ (axb) є R• Ejemplo: La relación R = { (a,a), (b,b), (c,c)} establecida en el

conjunto A = {a, b, c} es una relación reflexiva ya que todos los elementos de A están relacionados consigo mismos.

1.Relaciones Reflexivas

ab

c

2. Relaciones SimétricasEjemplo.- Dado el conjunto A = { 1, 2, 3 } con la relación R = {(2, 3),(3, 2),(2, 1),(1, 1)(1, 2)}

Se observa que:• El elemento (2, 3) tiene su elemento inverso (3, 2) y están en R• El elemento (3, 2) tiene su elemento inverso (2, 3) y están en R• El elemento (2, 1) tiene su elemento inverso (1, 2) y están en R• El elemento (1, 2) tiene su elemento inverso (2, 1) y están en R• El elemento (1, 1) tiene su elemento inverso (1, 1) y están en R

3. Relaciones transitivas

Ejemplo.- Sea el conjunto B = {1, 2, 3, 6} y la relaciónR = {(x, y) є BxB / x divide a y}

• R en pares ordenados es :R = {(1, 1),(1, 2),(1, 3),(1, 6),(2, 2),(2, 6),(3, 3)(3, 6)(6,6)}

• Se podrá verificar que: Si x divide a y e y divide a z, entonces x divide a z

4. Relación de equivalenciaEjemplo.- Sea el conjunto A = {a, b, c} y la relaciónR = {(a, a),(b, b),(c, c),(b, a),(a, b)}

Se cumple:1) Es reflexiva porque para todo elemento de A está

reacionado consigo mismo. Los pares (a, a), (b, b) y (c, c)

2) Es simétrica porque todo par (x, y) tiene su par inverso (y, x)El par (b, a) tiene su par inverso (a, b)El par (a, a) tiene su par inverso (a, a)El par (b, b) tiene su par inverso (b, b)El par (c, c) tiene su par inverso (c, c)

3. Es transitiva porque si los pares (x, y) y (y, z) están en R, entonces el par (x, z) también está en R

Así tenemos los pares:(b,b),(b,b) y (b,b) están en R(b,b),(b,a) y (b,a) están en R(b,a),(a,a) y (b,a) están en R(a,a),(a,a) y (a,a) están en R(c,c), (c,c) y (c,c) están en R(a,b),(b,b) y (a,b) están en R(b,a), (a,b) y (b,b) están en R(a,a), (a,b) y (a,b) están en R

5. Relaciónes antisimétricasEjemplo.- Dado el conjunto A = {d, e, f} y la

relación R = {(d, e),(e, f)(d, f)} Esta relación es sntisimétrica porque:Existe (d,e), pero no existe (e, d) en RExiste (e,f), pero no existe (f, e) en RExiste (d,f), pero no existe (f, d) en R

6. Relaciones de ordenEjemplo sean el conjunto A = {a, b, c}y la relación R = {(a, b), (a, a), (b, b), (c, c)}Se cumple:

A) Es reflexiva.- prque todo elemento de A está relacionado consigo mismo. Los pares (a, a), (b, b) y (c, c)

B) Es antisimétrica.- porque para elementos (x, y) de R con x ≠ y, el par (y, x) no se halla en R. En nuestro ejempl el único elemento que cumple con esta propiedad es el par (a, b), cuy inverso (b, a) no se encuentra en R.

C) Es transitiva porque se encuentran los pares:(a, b), (b,b) y (a,b)(a,a), (a,b), (a,b)(a,a), (a,a), (a,a)(b,b), (b,b), (b,b)(c,c), (c,c), (c,c)

7. Relación Inversa ( F-1)EJEMPLO.-

EVALUACIÓN DE LA PRACTICA 1. Si el producto cartesiano BxB tiene 36 elementos, Cuántos elementos tiene el conjunto B?

2. Si n(AxB) = 72, n(A) + n(B) = 17. ? Cuántos Elementos tiene el conjunto A?

3. Escribe por comprensión la relación R = {(0, 0),(1, ½ ),(2, 2), (4, 8),(6, 18)} y = x2/2

4. Sean A = {2, 3, 8, 9} y B = {4, 6, 7} y R1 = {(x, y)/ є AxB/x2 – y = 2} y R2 = {(x, y) є BxA/ x < y }

5. Trazar la gráfica de la relación R = {(x, y) є R2 / 2x – y = 2}

6. Sean los conjuntos A = {x є Z / -2 ≤x < 3} y B = {x є N / 3 ≤x < 7} y la relación R = {(x, y) є AxB / 1<2x< 8}

7. Hallar el dominio y el rango de R