REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA · UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA...

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL

UNEFA NUCLEO MERIDA

APUNTES DE FÍSICA I Movimiento en el Plano y en el Espacio Profesor: José Fernando Pinto Parra

APUNTES DE FÍSICA I

Profesor: José Fernando Pinto Parra

UNIDAD 3

MOVIMIENTO EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO

Cinemática de la partícula, movimiento, vector posición y trayectoria.

La Cinemática estudia el movimiento de los cuerpos, sin preocuparse de las causas que lo

originan. Por ejemplo, al analizar el desplazamiento de un automóvil, diremos que se

mueve en línea recta, que su rapidez es de 60 km/h y que luego aumenta a 100 km/h, etc.,

pero no trata de explicar las causas de cada uno de estos hechos. Sin embargo, en estos

apuntes el cuerpo o móvil será tratado como una partícula, o sea, no interesan sus

dimensiones, forma, masa, etc.

Movimiento

El movimiento de un cuerpo visto por un observador, depende del punto de referencia en el

cuál se halla situado. Suponga que un avión que vuela horizontalmente deja caer una

bomba. Si se observara la caída de la bomba desde el interior, observaría que cae en línea

recta, verticalmente. Por otra parte, si se estuviera de pie sobre la superficie de la tierra

observando la caída de la bomba, se advertiría que describe una curva llamada parábola. Lo

que nos permitirá decir que el movimiento es relativo.

En la vida cotidiana, se encuentran varios ejemplos de esta dependencia del movimiento en

relación con el punto de referencia. Analicemos el caso de un observador (A) sentado en un



UNEFA NUCLEO MERIDA


camión en movimiento hacia el este y otro (B) de pie en tierra, los cuales observan una

lámpara fijada en el techo de la cabina. Para el observador B la lámpara se encuentra en

movimiento. Por otra parte, para el observador A sentado en la cabina del camión, la

lámpara esta en reposo y B se desplaza en sentido contrario al movimiento del vehículo. En

otras palabras, A se desplaza hacia la derecha con respecto al observador B, y B lo hace

hacia la izquierda en relación con el observador A.

El problema surge en la elección de ejes coordenados que estén en reposo absoluto, a los

cuales referir todos los movimientos. Esto, en realidad, es imposible, ya que no disponemos

de ningún punto de referencia que sea inmóvil. En nuestro estudio que veremos a

continuación, consideraremos ejes coordenados ligados a tierra, porque, generalmente

estamos acostumbrados a considerar el movimiento de los cuerpos suponiendo la Tierra en

reposo.

Finalmente debemos resumir este aparte en lo siguiente, un fenómeno que siempre está

presente y que observamos a nuestro alrededor es el movimiento. La cinemática es la parte

de la Física que describe los posibles movimientos sin preocuparse de las causas que lo

producen. No es lícito hablar de movimiento sin establecer previamente ''respecto de que''

se le refiere. Debido a esto, es necesario elegir un sistema de referencia respecto del cual se

describe el movimiento. El sistema de referencia puede ser fijo o móvil.

¿Qué es el movimiento?

El movimiento puede definirse como el cambio de posición de los cuerpos desde un punto

de referencia.

La naturaleza ha sido el modelo para que las personas imiten sus formas y diseñen mejores

transportes.



UNEFA NUCLEO MERIDA


Los animales vuelan y nadan porque en su cuerpo hay energía que se transforma para darles

la fuerza necesaria y mover las alas o las aletas; las personas también tienen que aplicar

fuerza cuando quieren mover algo.

Para empujar una caja por el pasillo del salón, es necesario empujarla con fuerza para

arrastrarla. Si la caja está pesada, se necesitará aplicar más fuerza y el cuerpo habrá

empleado mayor cantidad de energía para moverla. La fuerza es necesaria para empujar,

para jalar o para detener algo que está en movimiento.

Cuando las superficies son lisas, el movimiento se realiza con mayor facilidad que si son

rugosas, porque las lisas oponen menor resistencia, eso se debe a la fuerza de fricción. La

fricción es lo que hace que los cuerpos se frenen y dejen de moverse. Si la superficie es lisa,

hay menos fuerza de fricción y si es rugosa, las mismas irregularidades del material hacen

que se dificulte el movimiento. La fricción es muy útil porque sin ella, las cosas se

moverían sin parar.

Los frenos de los coches actúan gracias a la fricción, igualmente la fricción que se da entre

el suelo y las suelas de los zapatos permiten caminar. También la fricción hace que se

produzca calor. Cuando se frota una mano contra la otra, se sienten calientes. Si se repitiera

esta acción pero con las manos enjabonadas, no se calentarían igual porque el jabón reduce

la fricción.

Las sustancias que disminuyen la fricción se llaman lubricantes, como los aceites y las

grasas por ejemplo, los que se usan en los motores de los automóviles o las cadenas de las

bicicletas. En un boliche, las superficies sobre las que se lanzan las pelotas son muy lisas,

para reducir la fricción y hacer que la bola ruede mejor.

Es importante resaltar que el movimiento es relativo, por eso, cuando se menciona que un

cuerpo se mueve, hay que especificar con relación a qué se está moviendo, por ejemplo,

usualmente se toma la Tierra como sistema de referencia, pero la Tierra también se mueve

alrededor del Sol, y éste, junto con todo el sistema solar, alrededor del centro de la galaxia

y con relación a otras galaxias, etc.

Por esta razón, señalamos que el Vector que une el origen O

del sistema de referencia con el punto P del espacio en el

cual está la partícula se conoce como Vector de posición,

para el sistema ortogonal cartesiano x, y, z el vector posición

se identifica por el trío ordenado (x, y, z), que cuando lo

conocemos se conoce exactamente la posición de la

partícula, su ecuación es:

𝒓 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘



UNEFA NUCLEO MERIDA


Cuando los cuerpos se mueven, tienen que recorrer un

camino, desde un punto inicial hasta un punto final, a ese

camino se le llama trayectoria. Por tanto, se puede decir

que la trayectoria es la línea que une las distintas

posiciones por las cuales pasa un móvil. Se clasificar en

rectilínea y curvilínea, veamos los siguientes ejemplos: Si

un carro en la Ciudad de Mérida fuera por la Avenida

Urdaneta entre Pie del Llano y el Aeropuerto, recorrería

una trayectoria recta, en cambio, si va desde Santa Juana a

la Urb. Carabobo tiene una trayectoria curva. Por otro lado

si al salir de la Vuelta y toma la Redoma y luego se avanza

por la avenida Universidad, su trayectoria es circular.

Por eso es que para que la gente maneje segura, en las carreteras y caminos se colocan

señales y signos que indican cómo es la trayectoria, para que los conductores estén

preparados

Expresión analítica del vector posición y sus componentes como función del tiempo.

Cuando un objeto se mueve su vector posición cambia con el tiempo, por lo que es función

del tiempo. La ecuación que expresa el vector de posición como una función del tiempo se

llama ecuación de posición:

𝒓 𝑡 = 𝒙 𝑡 𝒊 + 𝒚 𝑡 𝑗 + 𝒛 𝑡 𝒌

Las componentes del vector posición en función del tiempo x (t); y (t) y z (t) se las

denomina ecuaciones paramétricas de la trayectoria:

𝑥 = 𝒙 t

y = 𝒚 t

z = 𝒛(t)

Ecuaciones paramétricas de la trayectoria a partir del vector posición.

Las ecuaciones anteriores nos permiten determinar la posición del punto en un instante

cualquiera por medio de sus tres coordenadas cartesianas. Por ello diremos que estas tres

ecuaciones es la expresión paramétricas de la trayectoria en función del tiempo.

Para determinar la ecuación analítica de la trayectoria bastaría eliminar el escalar tiempo

entre ellas lo que daría lugar a dos ecuaciones en coordenadas cartesianas: 𝑓1 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0

𝑓2 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0

Las cuales representan evidentemente una línea, la trayectoria, definida como intersección

de dos superficies.



UNEFA NUCLEO MERIDA


Relación entre el vector posición y trayectoria, su expresión en el espacio, en el plano y

en una dirección.

Partiendo d la siguiente figura realizaremos el análisis el vector posición y trayectoria tal

como se puede ver, la posición de una partícula en un plano se describe con un vector de

posición r, trazado desde el origen de algún sistema de referencia hasta el punto donde se

localice la partícula.

En el tiempo ti la partícula se encuentra en un punto P, y en algún instante posterior tf la

partícula está en Q. Cuando la partícula se mueve de P a Q en el intervalo de tiempo

∆t = tf − ti el vector de posición cambia de ri a rf, el vector desplazamiento es igual a la diferencia entre el vector de posición final y el vector de posición inicial:

∆r = rf − ri En un espacio tridimensional, esta ecuación se expresa de la forma siguiente:

∆r = ∆xi + ∆yj + ∆ zk

Otro elemento importante que define

el movimiento es el desplazamiento,

en muchos casos confundimos

trayectoria y desplazamiento, pero como se observa en la siguiente

figura, la trayectoria corresponde a

lis diversas posiciones que ocupa la

partícula en la medida que se mueve,

mientras que el desplazamiento

corresponde a la longitud del

segmento orientado desde la posición

inicial hasta la posición final que

ocupa el móvil.



UNEFA NUCLEO MERIDA


Longitud recorrida sobre la

trayectoria, es la distancia recorrida, S,

a lo largo de la trayectoria, medida

siempre positivamente en la dirección

en que avanza la partícula,

analíticamente se representa con la

siguiente ecuación:

𝑨𝑩 = ∆𝑺 = 𝑆𝐴 − 𝑆𝐵

De manera general:

𝑆 = ∆ 𝑆𝑖

Y de forma analítica Cada ∆𝑆𝑖 se considera positiva, independientemente del signo de cada

desplazamiento:

∆𝑆𝑖 = ∆𝑥𝑖2 + ∆𝑦𝑖

2 + ∆𝑧𝑖2

En el límite: 𝑠 = 𝑑𝑠 donde 𝑑𝑠 = 𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2 + 𝑑𝑧2.

Se cumple que 𝑆 ≥ ∆𝑟 . En el SI se expresa en metros (m).

Velocidad instantánea; rapidez características, unidades.

Velocidad

Como se observa en la figura la velocidad

representa la rapidez con que un móvil

cambia de posición, en este caso se trata de

un movimiento unidimensional, es decir, la

velocidad de una partícula representa la

medida del cambio de su posición con

respecto al tiempo. Excepto que en un

plano, el cambio de posición involucra las

dos componentes del vector de posición.

Definimos la velocidad del móvil como la derivada del vector de posición con respecto del

tiempo: 𝒗 =𝑑𝑟

𝑑𝑡 En general el vector velocidad será también una función del tiempo:

𝒗 = 𝑣 𝑡

La velocidad es un vector. En el SI se expresa en metros por segundo (m/s).



UNEFA NUCLEO MERIDA


La velocidad promedio de una partícula se define

como la razón de su desplazamiento ∆𝑟 entre el

intervalo de tiempo transcurrido, ∆𝑡

𝒗 =∆𝑟

∆𝑡=

𝑟𝑓 − 𝑟𝑖

𝑡𝑓 − 𝑡𝑖

La velocidad promedio o velocidad media es una

cantidad vectorial dirigida a lo largo de ∆𝑟, mide el

desplazamiento por unidad de tiempo, a ritmo

constante, con el que se logra el mismo

desplazamiento en el mismo tiempo que el

movimiento real para el intervalo analizado.

La velocidad instantánea, v, se define como el límite de la velocidad promedio 𝒗 =∆𝑟

∆𝑡,

cuando ∆𝑡 tiende a 0, es decir: 𝑣 = lim∆𝑡→0∆𝑟

∆𝑡

La dirección del vector de velocidad instantánea en cualquier punto de una trayectoria está

a lo largo de la línea tangente a la trayectoria en ese punto y apunta en la dirección del

movimiento. Cuando el movimiento es rectilíneo se trabaja como un escalar, con 𝑣𝑥

como la única componente del vector velocidad: 𝑣 = 𝑣𝑥 donde 𝑣𝑥 =𝑑𝑥

𝑑𝑡.

Pero cuando analizamos movimientos curvilíneos el vector velocidad se expresa como:

𝑣 = 𝑣𝑥 + 𝑣𝑦 + 𝑣𝑧

Donde: 𝑣𝑥 =𝑑𝑥

𝑑𝑡 𝑣𝑦 =

𝑑𝑦

𝑑𝑡 y 𝑣𝑧 =

𝑑𝑧

𝑑𝑡.

Como ya se ha señalado, la velocidad instantánea es el Límite de donde se desprende que:

𝒗 = lim∆𝑡→0

∆𝑟

∆𝑡=

𝑑𝑟

𝑑𝑡

Con lo que la velocidad la definiremos:

𝒗 = 𝑑𝑟𝑑𝑡

La Rapidez es la magnitud del vector de velocidad instantánea, es decir, el módulo del

vector velocidad.

𝒗 = 𝑑𝑟

𝑑𝑡 ó 𝑣 =

𝑥

𝑡



UNEFA NUCLEO MERIDA


Vector aceleración media e instantánea, características, unidades.

Cuando la velocidad de una partícula cambia con el tiempo, se dice que la partícula está

acelerada.

Para realizar el análisis de la aceleración

describiremos la siguiente figura, en ella so

puede observar la trayectoria que sigue un

móvil, el cual varía su velocidad

instantánea pasando de la velocidad inicial

𝑣𝑖 a la velocidad final 𝑣𝑓 en un instante de

tiempo ∆𝑡, esto permite señalar que la aceleración promedio de la partícula es el

cociente entre la diferencia de la velocidad

instantánea y el intervalo de tiempo,

representado en la siguiente ecuación:

𝒂 =∆𝑣

∆𝑡=

𝑣𝑓 − 𝑣𝑖


Siguiendo el análisis, señalaremos que la Aceleración Instantánea corresponde al límite de

la aceleración media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.

𝒂 = lim∆𝑡→0

∆𝑣

∆𝑡=

𝑑𝑣

𝑑𝑡

Con lo que la aceleración la definiremos como: 𝒂 = 𝑑𝑣

𝑑𝑡

En otras palabras, la aceleración instantánea es igual a la derivada del vector velocidad

respecto al tiempo. Sus características son:

1. La aceleración de una partícula que se mueve en un plano o en el espacio

tridimensional puede aparecer producida por tres circunstancias:

a. Cuando la magnitud del vector velocidad (la rapidez) cambia con el tiempo.

b. Cuando la dirección del vector velocidad cambia con el tiempo, aunque su

magnitud (rapidez) permanezca constante, ejemplo el movimiento circular.

c. Cuando tanto la magnitud como la dirección del vector velocidad cambian. 2. La aceleración es un vector que apunta en la dirección en que cambia el vector

velocidad en cada instante, si es positiva aumenta la velocidad y si es negativa

disminuye la velocidad, es decir, se está frenando.

En el SI se expresa en metros por segundo cuadrado 𝑚

𝑠2.



UNEFA NUCLEO MERIDA


Componentes tangencial y normal de la aceleración.

Hasta el momento se ha utilizado para establecer la

posición de la partícula un sistema de referencia

ligado a tierra. Consideremos ahora otro sistema de

referencia: un sistema de referencia ligado a la

partícula, de manera que se mueve junto con ella a lo

largo de la trayectoria.

Los ejes coordenados de este sistema de referencia se

toman de forma que uno de ellos es tangente a la

trayectoria en cada instante, y el otro es perpendicular

a esa tangente. Se introducen, además, el vector

unitario tangente τ (tau) y el vector unitario normal N, éste último dirigido hacia la parte

cóncava de la curva, es decir, hacia el centro de la trayectoria. El vector τ se puede expresar

en función de la velocidad de la partícula, que también es tangente a la trayectoria, como:

𝝉 =𝒗

𝑣

Expresando la aceleración en función de τ:

𝒂 = 𝑑

𝑑𝑡 𝑣𝜏

De donde:

𝒂 = 𝑑𝑣

𝑑𝑡𝜏 + 𝑣

𝑑𝜏

𝑑𝑡

El primer término 𝑑𝑣

𝑑𝑡 es la variación de la rapidez a lo largo de la curva, y tiene la dirección

del vector tangente, por tanto se denomina aceleración tangencial 𝑎𝑡 a la siguiente expresión:

𝑎𝑡 =𝑑𝑣

𝑑𝑡

Por otro lado se tiene que el vector dτ

dt tiene la dirección del vector unitario normal N, lo que

permite escribir:

dτ

dt=

dτ

dt 𝑵

Es decir, hasta el momento hemos logrado expresar la aceleración de la siguiente forma:

𝒂 = 𝑑𝑣

𝑑𝑡𝜏 + 𝑣

dτ

dt 𝑵



UNEFA NUCLEO MERIDA


Relación entre: aceleración velocidad y los componentes normal y tangencial de la

aceleración.

Para continuar estudiando el vector dτ

dt,

analicemos la siguiente figura, se

percibe que la trayectoria podría

corresponder a una circunferencia, que

genera un triángulo isósceles el cual ∆τ

es el vector resultante de la diferencia

entre τ y 𝜏0, que partiendo del límite

cuando ∆𝑡 → 0, permite obtener la

expresión:

dτ

dt = lim

∆t→0 ∆τ

∆t ≈

∆τ

∆t

Como el segmento 𝑣𝑚∆𝑡, es componente principal del triángulo conjuntamente con R se

cumple que por la proporcionalidad entre lados homólogos de triángulos semejantes: ∆τ

vm ∆t=

τ

R=

1

R→

∆τ

∆t=

vm

R

Como ya se ha señalado que: dτ

dt ≈

∆τ

∆t

Entonces: dτ

dt=

vm

R por lo que se puede reescribir la aceleración como: 𝒂 =

𝑑𝑣

𝑑𝑡𝜏 +

𝑣2

𝑅𝑵

Donde el término vm

R es la componente normal de la aceleración𝑎𝑁 , o simplemente,

aceleración normal.

En resumen, cuando nos referimos a un sistema de referencia que se mueve junto con la

partícula a lo largo de la trayectoria, es posible expresar la aceleración por la expresión:

𝒂 = 𝑎𝜏𝜏 + 𝑎𝑁𝑵

𝑎𝜏 =𝑑𝑣

𝑑𝑡 ; 𝑎𝑁 =

vm

R

Es de hacer notar que 𝑎𝑁 es siempre positiva, mientras que 𝑎𝜏 puede ser positiva o

negativa, según sea que la partícula vaya aumentando o reduciendo su velocidad a lo largo

de la trayectoria.



UNEFA NUCLEO MERIDA


Movimiento rectilíneo uniforme.

Si 𝒂 =𝑑𝑣

𝑑𝑡= 0, entonces necesariamente 𝒗 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒.

Si la velocidad es constante (módulo, dirección, sentido) el

movimiento tiene que ser a lo largo de una recta. Y en ese

caso resulta conveniente escoger el eje x de forma que

coincida con la dirección del movimiento.

Esto permite señalar que como la velocidad es

constante, el móvil recorre distancia iguales en

intervalos de tiempos iguales, si denotamos la

distancia como x y ∆𝑡 como t, entonces la

velocidad la podemos escribir como:

𝑣 =𝑥

𝑡

Si analizamos el movimiento en un intervalo en el cual se parte de una posición inicial 𝑥𝑖 y

𝑡𝑖 = 0, la expresión de la velocidad instantánea se reescribe de la forma siguiente:

𝒗 =∆𝑥

∆𝑡=

𝑥𝑓 − 𝑥𝑖


Quedando:

𝑥 = 𝑥𝑖 + 𝑣𝑡

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

En un movimiento con

aceleración constante en el

tiempo, la velocidad cambia a

razón constante, es decir, que

cuando el movimiento se

acelera la velocidad aumenta,

por el contrario se desacelera la

velocidad disminuye.

En el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA), el móvil realiza

variaciones de velocidades en intervalos de tiempos iguales:

𝒂 =∆𝑣

∆𝑡=

𝑣𝑓 − 𝑣𝑖




UNEFA NUCLEO MERIDA


Pero, se señaló en párrafos anteriores y considerando la derivada como un cociente de

infinitesimales un instante antes de alcanzar el límite, tenemos: 𝒂 = 𝑑𝑣

𝑑𝑡

Es posible trabajar con los diferenciales como si fueran números reales. Por tanto,

despejando en la ecuación anterior: 𝑑𝑣 = 𝑎. 𝑑𝑡

La igualdad debe mantenerse cuando se integra a ambos lados de la expresión,

considerando que para el instante inicial 𝑡𝑖 la velocidad de la partícula tenía el valor 𝑡𝑖 y que la aceleración es constante y se puede sacar fuera de la integral:

𝑑𝑣

𝑣𝑓

𝑣𝑖

= 𝑎 𝑑𝑡

𝑣𝑓

𝑡𝑖

Integrando ambas expresiones y haciendo 𝑡𝑖 = 0, se llega a la ecuación de la velocidad en

el movimiento rectilíneo uniformemente variado:

𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 ± 𝑎. 𝑡

La función desplazamiento es la integral de la velocidad 𝒗 = 𝑑𝑥

𝑑𝑡, por tanto: 𝑑𝑥 = 𝒗. 𝑑𝑡

Al sustituir la ecuación del MRUV, en el despeje anterior:

𝑑𝑥 = 𝑣𝑖 ± 𝑎𝑡 𝑑𝑡 Al realizar la integración, obtiene:

𝑑𝑥

𝑥𝑓

𝑥𝑖

= 𝑣 ± 𝑎𝑡 𝑑𝑡

𝒕𝒊

𝒕𝒊

= 𝑣𝑑𝑡

𝒕𝒊

𝒕𝒊

± 𝑎 𝑡𝑑𝑡

𝒕𝒊

𝒕𝒊

La integración definida de la expresión anterior, considerando 𝑡𝑖 = 0 como se ha hecho anteriormente, conduce a:

∆𝑥 = 𝑣𝑖𝑡 ±1

2𝑎𝑡2 o 𝑥 = 𝑥𝑖 + 𝑣𝑖𝑡 ±

1

2𝑎𝑡2

En el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, existen otras ecuaciones de interés,

entre ellas tenemos la que relaciona la variación de velocidad y la variación de los

desplazamientos:

𝑣𝑓2 = 𝑣𝑖

2 ± 𝑎. ∆𝑥

Ecuación que no depende del tiempo y puede ser de utilidad en muchos casos.



UNEFA NUCLEO MERIDA


Caída libre de los cuerpos

Si permitimos que un cuerpo caiga en vacío, de modo

que la resistencia del aire no afecte su movimiento,

encontraremos un hecho notable: todos los cuerpos

independientemente de su tamaño, forma o

composición, caen con la misma aceleración en la

misma región vecina a la superficie de la Tierra. Esta

aceleración, denotada por el símbolo 𝑔 , se llama

aceleración en caída libre.

Si bien hablamos de cuerpos en caída, los

cuerpos con movimiento hacia arriba

experimentan la misma aceleración en

magnitud y dirección. El valor aproximado de

la aceleración de la gravedad en caída libre es

𝑔 = 9,81𝑚

𝑠2, pero este valor varía con la

latitud y con la altitud.

Las ecuaciones vistas en el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado pueden ser

aplicadas a la caída libre, con las siguientes variaciones, establecemos la dirección de la

caída libre como el eje 𝒚; se reemplaza en las ecuaciones a la aceleración por−𝑔, quedando, de la forma siguiente:

𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 − 𝑔. 𝑡

∆𝑦 = 𝑣𝑖𝑡 −1

2𝑔𝑡2 𝑜, 𝑦 = 𝑦𝑖 + 𝑣𝑖𝑡 −

1

2𝑔𝑡2

𝑣𝑓2 = 𝑣𝑖

2 − 𝑔. ∆𝑡

Hasta ahora se han analizado los movimientos de forma horizontal y vertical, pasemos a

revisar los movimientos en el plano con los lanzamientos parabólicos.



UNEFA NUCLEO MERIDA


Movimiento Parabólico

Cualquiera que haya observado una pelota de

béisbol, un balón de futbol o de baloncesto en

movimiento (o cualquier objeto lanzado al

aire) ha observado el movimiento parabólico,

entonces, llamaremos movimiento parabólico

a la trayectoria de un objeto que describe un

vuelo en el aire después de haber sido lanzado

desde un punto cualquiera en el espacio.

Esta forma muy común de movimiento es

sorprendentemente simple de analizar si se

hacen la siguiente suposición, si el objeto

tiene una densidad de masa suficientemente

grande, podemos despreciar la resistencia

del aire y suponer que la aceleración del

objeto es debida sólo a la gravedad.

Este movimiento se caracteriza por ser

compuesto, ya que cuando el proyectil va de

subida posee un movimiento retardado en la

vertical y un MRU en la horizontal y cuando

el proyectil va de bajada, posee un

movimiento acelerado en la vertical y un

MRU en la horizontal, vamos a definir el eje x

como horizontal y el eje y en la dirección

vertical hacia arriba.

Analizando la figura anterior podemos deducir que este movimiento se caracteriza por los

siguientes parámetros:

𝑣0: 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙; 𝜃: á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑜 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑛𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜

𝑦𝑚á𝑥 : 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑙𝑐𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑙, 𝑐𝑜𝑖𝑛𝑐𝑖𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛 ∆𝑦

𝑥𝑚á𝑥 : 𝑎𝑙𝑐𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑙, 𝑐𝑜𝑖𝑛𝑐𝑖𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛 ∆𝑥

𝑡𝑚á𝑥 : 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑎𝑟𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑙 𝑒𝑛 𝑙𝑙𝑒𝑔𝑎𝑟 𝑎 𝑙𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎

𝑡𝑣: 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑜 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑎𝑟𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑙 𝑒𝑛 𝑙𝑙𝑒𝑔𝑎𝑟 𝑎𝑙 𝑎𝑙𝑐𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜

Al realizar la descomposición de la velocidad inicial, como se

aprecia en la figura se obtiene que sus componentes sean:

𝑣0𝑥 = 𝑣0 cos 𝜃 y 𝑣0𝑦 = 𝑣0 sin 𝜃



UNEFA NUCLEO MERIDA


Movimiento en la horizontal, es decir, en el Eje x

Como en este tipo de movimiento la única aceleración que actúa es la de la gravedad, que

no tiene componente en el eje x, como ya se ha señalado, el movimiento en el eje x es con

velocidad constante, a lo largo de una recta, por tanto, las expresiones a utilizar son las

mismas del Movimiento Rectilíneo Uniforme, tomando la componente de la velocidad

inicial a lo largo del eje x:

1. La velocidad en cualquier punto de la trayectoria:

𝑣𝑥 = 𝑣0 cos 𝜃

2. La recorrido en cualquier punto de la trayectoria:

∆𝑥 = 𝑣0 cos 𝜃 . 𝑡

3. Alcance máximo:

𝑥𝑚á𝑥 =𝑣0

2 sin 2𝜃

𝑔 ó 𝑥𝑚á𝑥 = 𝑣0 cos 𝜃 . 𝑡𝑣

Movimiento en la vertical, es decir, en el Eje y

En este eje se ve fácilmente que las expresiones serán las mismas que las de caída Libre

(movimiento en el eje y con aceleración de la gravedad), donde:

1. La velocidad en cualquier punto de la trayectoria, tomando en cuenta que cuando

sube es negativo:

𝑣𝑦 = 𝑣0 sin 𝜃 ± 𝑔. 𝑡 2. La altura en cualquier punto de la trayectoria, tomando en cuenta que cuando sube

es negativo:

∆𝑦 = 𝑣0 sin 𝜃 𝑡 ±1

2𝑔𝑡2

3. Tiempo máximo y tiempo de vuelo:

𝑡𝑚á𝑥 =𝑣0 sin 𝜃

𝑔

𝑡𝑣 = 2𝑡𝑚á𝑥 , 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟, 𝑡𝑣 =2𝑣0 sin 𝜃

𝑔

4. Altura máxima:

𝑦𝑚á𝑥 =𝑣0

2 sin2 𝜃

2𝑔



UNEFA NUCLEO MERIDA


Velocidad relativa.

Volvamos a la siguiente figura, como

podemos observar, existen dos sistemas de

referencia, uno debido un observador fuera

del móvil y otro en él, cuando un objeto cae

del un móvil la descripción del movimiento

que proporciona un observador en el móvil

usualmente difiere de la descripción que

ofrece un observador en tierra.

El observador en el móvil verá que el objeto se aleja de

sí en línea recta hacia la tierra, mientras que el

observador en tierra verá que sigue al móvil en su

movimiento, describiendo una parábola.

Interesa, por tanto, encontrar la relación que hay entre el movimiento visto por ambos

observadores. Con este fin, consideraremos una partícula en movimiento y dos sistemas de

referencia, uno fijo a tierra 𝑆 𝑥, 𝑦 y otro ligado a un sstema móvil 𝑆′ 𝑥′ , 𝑦 ′ que se mueve

con velocidad constante respecto al sistema fijo 𝑆.

Como se observa en la figura, los vectores 𝒓 y 𝒓′ son los vectores de posición de la partícula P respecto a cada sistema

de referencia. El vector 𝒓𝜇 es el vector de posición del

sistema móvil respecto al sistema fijo. Según las reglas de la

suma de vectores, 𝒓 = 𝒓′ + 𝒓𝝁.

Como la partícula está en movimiento, y el sistema móvil

suponemos que se mueve con velocidad constante, los tres

vectores están variando continuamente su posición con el

transcurso del tiempo.

Derivando en la expresión anterior con respecto al tiempo, se obtiene: 𝒅𝒓

𝒅𝒕=

𝒅𝒓′

𝒅𝒕+

𝒅𝒓𝝁

𝒅𝒕

𝒗 = 𝒗′ + 𝒗𝒓 Donde: 𝒗 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜𝑠 𝑎𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑓𝑖𝑗𝑜 𝑆 𝒗′ 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜𝑠 𝑎𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑚ó𝑣𝑖𝑙 𝑆′

𝒗𝒓 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑚ó𝑣𝑖𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜𝑠 𝑎𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑓𝑖𝑗𝑜 𝑆, 𝑜 𝑣𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎.

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA · UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA...

Documents

Transcript of REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA · UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA...