RM 8
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CRONOM ETRA8A. PROBLEMAS SOBRE CAMPANADAS O AFINES
Cuando nos referimos a un evento que implica una accin, como campanadas golpes, contactos seguidos a velocidadconstante, debemos considerar que el tiempo transcurrido es propiamente el de los periodos comprendidos entrecontacto y contacto, y no la duracin del contacto.
Ejemplo 1En el campanario de una iglesia se hace oscilar el pndulo dando tres campanadas en seis segundos. En cuntossegundos se dieron 7 campanadas?
Resolucin :1er mtodo :Graficando tenemos
1C 2C 3Ci i
Se observa que en tres campanadas hay 2 intervalos de tiempo (I) 2I = 6 seg
I = 3 segAhora en 7 campanadas habr 6 intervalos de tiempo, entonces el tiempo pedido ser :
6(3) = 18 seg.Finamente se deduce :
Nmero de intervalos de tiempo (I)
Nmero de campanadas
= 1
2 mtodo :
N de campanadas N de intervalos Tiempo37
26
6 seg x seg
DP
2x = 6(6)x = 18seg
Ejemplo 2Un reloj de pared indica la hora con igual nmero de campanadas; para indicar las 6 : 00 p.m. demora 9 segundos.Qu hora indica si dicho reloj ha tocado campanadas durante 18 segundos?
Resolucin :
Hora N de campanadas N de intervalos Tiempo
El reloj indica las
-
Raz. Matemtico
B. PROBLEMAS SOBRE CALENDARIOS
El calendario a lo largo de la historia :
* Todos los calendarios estn basados en los movimientos de los astros, principalmente el sol, la tierra y la luna.* A lo largo de la historia las diferentes civilizaciones han propuesto distintas soluciones al problema del cmputo del
tiempo, vindose obligadas siempre a establecer mecanismos de correccin. Segn el predominio de uno u otrociclo, los calendarios se pueden clasificar en lunares, solares y lunisolares. He aqu algunos ejemplos :
CALENDARIO DIS TRIBUCIN DEL AO CORRECCIN O DES VIACIN EGIPCIO 12 meses de 30 das + 5 das
festivos. Cada 1461 a os se retrasa 1 a o.
GRIEGO 12 meses de 29 das y 30 das. Cada 36 u 8 a os se a ade 1 mes. AZTECA 18 meses de 20 das + 5 das. Correcciones discrecionadas.
ISLMICO 12 meses de 29 das y 30 das. Ciclo de 30 a os con 12 bisiestos. HEBREO 50 semanas y 3; 4 5 das. Correccin por criterios lit rgicos. CHINO 12 meses de 29 y 30 das. A os bisiestos de 13 meses.
Observacin :En los problemas a tratar debemos tener a consideracin los aos bisiestos, los cuales son todos aquellos cuyas dosltimas cifras dan un nmero mltiplo de 4.
Ejm :
1932 32 4 si es bisiesto
1942 42 no es 4 no es bisiesto
Adems en aquellos aos que terminan en 2 ceros slo ser bisiesto si es que es mltiplo de 400.
Ejm :
1900 no fue bisiesto1600 si fue bisiesto
Ejemplo 3El 1 de Enero de cierto ao fue martes. Qu da fue el 24 de Enero de ese mismo ao?
Resolucin :De los datos se plantea lo siguiente :
Martes Mircoles Jueves Viernes S bado Domingo Lunes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
E N E R O 22 23 24
el 24 de Enero fue Jueves.
Observacin :Del cuadro se observa que los grupos de 7 das son de Martes a Lunes, y nos damos cuenta que de el 1 de enero al 24de enero, hay 3 grupos de 7 das ms 3 das, esto se consigue haciendo lo siguiente :
24 721 3 grupos de Martes a Lunes3
Ma Mi Jueves
-
Ejemplo 4Si el 8 de enero de 1912 fue Jueves. Qu da fue en ese ao el 10 de Junio?
Ejemplo 5Si el 2 de febrero de 1935 fue Viernes. Qu da fue en ese mismo ao 26 de Diciembre?
Ejemplo 6Si el 12 de Febrero de 1980 fue Mircoles. Qu da ser el 12 de Febrero del ao 2010?
Ejemplo 7Si el 16 de Octubre del ao 2004 fue Sbado. Qu da ser 25 de Noviembre del ao 2080?
C. PROBLEMAS SOBRE TIEMPO TRANSCURRIDOLa referencia en ste caso es a problemas que en su enunciado establezcan una relacin entre un intervalo de tiempotranscurrido y otro que falte por transcurrir; de tal manera que ambos intervalos sumen un periodo conocido como sonlas 24 horas de un da, los 7 das de la semana, los 30 das del mes de Abril, los 365 das de un ao ordinario, etc.He aqu algunos ejemplos :
Ejemplo 8Si el tiempo que falta transcurrir del da es la tercera parte del tiempo transcurrido. Qu hora es?
-
Raz. Matemtico
Resolucin:De los datos se hace del siguiente diagrama :
Hora(x) (24 x)
Tiempo transcurrido
Tiempo que falta transcurrir
24 horas
Del enunciado :
3x)x24(
72 - 3x = x72 = 4x18 = x
La hora es 18 : 00 h < > 6 p.m.
Ejemplo 9Si fuera 5 horas ms tarde de lo que es, faltaran para acabar el da, el triple de las horas que haban transcurrido hastahace 3 horas.Qu hora es?
Resolucin :Sea "x" el tiempo transcurrido hasta hace 3 horas. Entonces "3x" ser el tiempo que faltar para acabar el da dentro de5 horas.Ahora veamos el siguiente esquema :
Hora
3h 5hx 3x
24 horas
Del grfico se deduce : x + 3 + 5 + 3x = 24Resolviendo : x = 4
La hora es : x + 3 = 7 : 00 h
Ejemplo 10
A qu hora los 32
de lo que queda del da es igual al tiempo transcurrido?
Ejemplo 11Cuando sean 2 horas ms tarde de lo que es, faltarn para las 14 : 00 h el doble del nmero de minutos transcurridodesde las 10 : 00 h. Qu hora ser dentro de 20 minutos?
-
Ejemplo 12Trilcito se cas en 1997 cuando la mitad del tiempo transcurrido de aquel ao era igual a la cuarta parte de lo quefaltaba por transcurrir. En qu fecha y hora se cas?
D. RELACIN ENTRE LOS RECORRIDOS DEL HORARIO Y MINUTEROObservamos el siguiente esquema :
12
3
6
9
4
5
8
7
10
11 1
2
30
M
H 5 divisiones
En la circunferencia de un reloj hay :60 divisiones < > 60 minutos < > 360
Simplificando se obtiene :
1 divisin < > 1 minuto < > 6
Cada hora :Espacio recorrido por el horario = 5 divisiones(E R H)Espacio recorrido por el minutero = 60 divisiones(E R M)
Se deduce :
121
ERMERH
Observacin :
n
x
321
Esta relacin respecto a los espacios
recorridos1212n
12x
362412
H M 12
-
Raz. Matemtico
Ejemplo 13Qu hora indica el reloj mostrado?
12
3
6
9
4
5
8
7
10
11
2M
H
2
Ejemplo 14A qu hora entre las 7 y las 8, el minutero ha pasado a la marca de las 9 tantas divisiones como el triple de lasdivisiones que le falta al horario para llegar a las 8?
F. USO DE LA FRMULA GENERAL
)H(30)M(2
11
Ejemplo 15Qu ngulo forman las manecillas del reloj a las siguientes horas?I. 08 : 26 h
II. 02 : 48 h
III. 12 : 18 h
Ejemplo 16A qu hora entre las 4 y las 5 las agujas del reloj forman un ngulo de :I. 80 por primera vez.
-
II. 80 por segunda vez
Ejemplo 17A qu hora entre la 1 y las 2, las agujas del un reloj forman un ngulo de 100 por segunda vez?
-
Raz. Matemtico
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Un reloj da 6 campanadas en 8 segundos.Cuntas campanadas dar en 24 segundos?
a) 14 b) 15 c) 16d) 17 e) 18
02. Un reloj da 7 campanadas en 20 segundos.En cuntos segundos dar 13 campanadas?
a) 40 b) 45 c) 35d) 30 e) 32
03. Un reloj toca tantas campanadas en cada hora como lahora marca en ese instante.Cuntas campanadas tocar en 3 das?
a) 465 b) 463 c) 348d) 460 e) 468
04. El 12 de Enero de 1960 fue Martes.Qu da fue el 18 de Mayo de ese mismo ao?
a) Martes b) Juevesc) Lunes d) Viernese) Mircoles
05. El 9 de Abril de 1996 fue Sbado.Qu da fue el 24 de Octubre de ese mismo ao?
a) Martes b) Mircolesc) Lunes d) Domingoe) Sbado
06. Si el 19 de Febrero de 1992 fue Viernes, entonces el15 de Marzo de 1997 fue :
a) Lunes b) Sbadoc) Mircoles d) Domingoe) Martes
07. Si el 8 de Enero de 1926 fue Lunes, entonces el 15 deMarzo de 1975 fue :
a) Lunes b) Mircolesc) Jueves d) Martese) Viernes
08. Ricardo naci en 1972 a las 06 : 00 h, de un da tal que
los das transcurridos eran 51
de los das que faltan
transcurrir de ese ao.En qu da naci Ricardo, si el 1 de Enero de ese aofue Lunes?
a) Lunes b) Mircolesc) Sbado d) Martese) Jueves
09. Kike le dice a Flor : "Nos encontraremos en el lugar de
siempre, cuando las horas transcurridas del da sean
53
de las horas que faltan transcurrir"
A qu hora fue el encuentro?
a) 08 : 00 b) 09 : 00 c) 10 : 00d) 08 : 30 e) 09 : 30
10. Si el 14 de Febrero de 1992 fue Sbado.Qu da fue el 19 de Agosto de ese mismo ao?
a) Mircoles b) Martesc) Jueves d) Viernese) Sbado
11. Un reloj da tantas campanadas en cada hora como lahora marca en ese instante.Cuntas campanadas dar en 2 das?
a) 256 b) 312 c) 144d) 272 e) 324
12. Si el 7 de Enero de 1972 fue Viernes.Qu da fue el 16 de Abril de ese mismo ao?
a) Sbado b) Viernesc) Domingo d) Lunese) Martes
13. Un reloj de manecillas da tantas campanadas como lahora marca en ese instante y adems da 1 campanadaal primer cuarto de hora, 2 campanadas el segundocuarto de hora y 3 campanadas para indicar el tercercuarto de hora.Cuntas campanadas dar en 1 da completo?
a) 280 b) 300 c) 228d) 310 e) 296
14. Son ms de las 8:00 a.m., pero an no son las 9:00a.m. Dentro de 25 minutos el tiempo que faltar para
las 10:00 a.m. ser 35
del tiempo que ha transcurrido
desde las 8:00 a.m. hasta hace 15 minutos.
Qu hora es?
a) 8 : 25 a.m. b) 8 : 30 a.m.c) 8 : 35 a.m. d) 8 : 40 a.m.e) 8 : 45 a.m.
15. Un reloj demora 1m2 segundos en tocar 2mcampanadas.Cuntas campanadas tocar en (m 1) segundos?
-
a) 1 b) m c) 3md) 4 e) 2m
16. Si el 5 de Mayo de 1970 fue Lunes.Qu da fue el 5 de Agosto de 1999?
a) Martes b) Juevesc) Lunes d) Mircolese) Domingo
17. Si el 19 de Agosto de 1968 fue Domingo.Qu da fue el 19 de Agosto de 1989?
a) Lunes b) Martesc) Viernes d) Domingoe) Jueves
18. Se sabe que el campanario de un reloj toca 2
campanadas cada vez que transcurre 41
de hora, pero
cuando sucede una hora en punto la indica con unnmero de campanadas igual al cuadrado de la horaque seala.Cuntas campanadas tocar desde las 12:00 de lanoche hasta el medio da de hoy?
a) 600 b) 720 c) 872d) 722 e) 572
19. El 28 de Julio de 1950 fue Mircoles.Qu da fue el 28 de Julio de 1986?
a) Jueves b) Viernesc) Mircoles e) Sbadoe) Domingo
20. Si el 12 de Octubre de 1964 fue Sbado, entonces el25 de Diciembre de 1992 fue :
a) Sbado b) Domingoc) Mircoles d) Martese) Viernes
21. Qu ngulo forman las agujas de un reloj a las 09 : 26h?(Dar como respuesta el ngulo menor)
a) 127 b) 125 c) 120d) 117 e) 140
22. Qu ngulo forman las agujas de un reloj a las 04 : 38h?
a) 250 b) 88 c) 88,5d) 271 e) 90
23. A qu hora entre las 4 y las 5, las agujas de un relojforman un ngulo cuya medida es de 60 por primeravez?
a) 04h 10min b) 04h min111013
c) 04h min111010 d) 04h 05min
e) 04h min11912
24. A qu hora entre las 2 y las 3, las agujas de un relojforman un ngulo cuya medida es de 130 por segundavez?
a) 02h min11852 b) 02h 50min
c) 02h min11349 d) 02h 51min
e) 02h min10347
25. Qu hora es en el grfico mostrado?
12
3
6
9
4
5
8
7
10
11
M
H
2
a) 06h min7511 b) 06h 11min
c) 06h 10min d) 06h min7612
e) 06h 13min
26. Qu hora marca el reloj de la figura?
12
3
6
9
4
5
8
7
1
2M
H
a) 05h 43min b) 05h min13246
c) 05h min8345 d) 05h min
11242
e) 05h 47min
-
Raz. Matemtico
27. A qu hora inmediatamente despus de las 2, el horarioadelanta a la marca de las 12 tanto como el minuteroadelanta al horario?
a) 02 : 24 h b) 02 : 32 hc) 02 : 25 h d) 02 : 28 he) 02 : 30 h
28. Qu hora marca el reloj de la figura?
12
3
6
9
4
5
8
7
1
2MH
a) min11148h2 b) min
13249h2
c) min11149h2 d) min
11348h2
e) min13246h2
29. A qu hora entre las 3 y las 4 de la maana las agujasde un reloj se oponen?
a) min11149h3 b) min
11247h3
c) min11349h3 d) min
13148h3
e) min13249h3
30. A qu hora entre las 3 y las 4, las agujas de un relojestn superpuestas?
a) min11612h3 b) min
11215h3
c) min11516h3 d) min
11416h3
e) min11216h3
31. Qu hora es en el grfico mostrado?
12
3
6
9
4
57
10
11 1
2
MH
2
a) min11441h5 b) 5h 42min
c) min11442h5 d) 5h 43min
e) min11543h5
32. A qu hora entre las 4 y las 5, las agujas de un relojforman 90 por primera vez?
a) min1156h4 b) min
1175h4
c) min1136h4 d) min
1135h4
e) min1155h4
33. Cul es el menor ngulo que forman las agujas delreloj a las 6:30 h?
a) 0 b) 15 c) 10d) 20 e) 18
34. Segn el grfico, qu hora es?
12
3
6
9
5
8
7
10
11 1
2
M
H
Siendo : 40
a) min11318:2 b) min
11317:2
c) 2 : 18 min d) min11218:2
e) min11319:2
35. Qu ngulo forman las agujas de un reloj a las18:16 h?
a) 90 b) 93 c) 87d) 95 e) 92
36. Qu hora marca el reloj de la figura?
12
3
6
9
4
5
8
7
1
2M
H
-
a) 6h min11555 b) 6h min
13555
d) 6h min11254 d) 6h min
11354
e) 6h min13755
37. Qu ngulo forman las agujas de un reloj a las 02:32h?
a) 114 b) 124 c) 108d) 144 e) 116
38. A qu hora inmediatamente despus de las 06:00 h,el minutero aventaja al horario 12 divisiones?
a) min11345h6 b) min
11945h6
c) min11248h6 d) min
11545h6
e) min11344h6
39. Qu hora es en el siguiente grfico?
12
3
6
9
4
5
10
11 1
2
M
H
3
a) 2:36 min b) 2:37 minc) 2:36.5 min d) 2:38 mine) 2:35.5 min
40. Qu hora indica el reloj mostrado en la figura?
12
3
6
9
8
7
10
11 1
2
M
H
a) min11327:2 b) min
11723:2
c) min11227:2 d) min
7221:2
e) min11322:2
41. A qu hora inmediatamente despus de las 3 de lamaana, el minutero adelanta al horario tanto como elhorario adelanta a la marca de las 12?
a) 03:36 h b) 03:24 hc) 03:48 h d) 03:32 he) 03:30 h
42.A qu hora entre las 2 y las 3, las agujas de un relojforman un ngulo de 120 por segunda vez?
a) min11653h2 b) min
11655h2
c) min11654h2 d) min
11354h2
e) min11754h2
43. Qu hora es .............. si hace 5 horas el tiempo quehaba transcurrido del da fue dos veces menos que eltiempo que restara para acabar el da dentro de 7 horas?
a) 8 a.m. b) 8 p.m. c) 10 a.m.d) 12 m. e) 2 p.m.
44. Segn el grfico, qu hora es?
12
3
6
9
4
5
8
7
10
11 1
23
a) 11325:08 h b)
11227:08 h
c) 08 : 27 h d) 11327:08 h
e) 08 : 26 h
45. Un reloj en lugar de tener 12 divisiones tiene 9 y da lavuelta una vez alrededor de su eje.Qu hora marcar dicho reloj a las 4 de la tarde?
a) 6 b) 4 c) 3d) 7 e) 9
46.La figura muestra el reflejo de un reloj en un espejo.
Espejo
MH
-
Raz. Matemtico
Indique la hora que es, si el menor ngulo que se formaes 80.
a) 1119:11 h b)
1125:10 h
c) 1173:10 h d)
1163:10 h
e) 1153:10 h
47. En un ao comn celebr mi cumpleaos el 26 deSetiembre, queremos saber qu da fue y para ello slosabemos que este ao hay ms das Lunes que otros.Qu da ser la vspera de mi cumpleaos?
a) Lunes b) Martesc) Mircoles d) Domingoe) Sbado
48. Qu hora es segn el grfico?
16
4
8
12M
H
4 div.
a) 4 : 05 h b) 15304:4 h
c) 4 :06 h d) 15104:4 h
e) 15404:4 h
49. Un nuevo reloj tiene 16 divisiones horarias y el horariogira una sola vez en torno a su eje en un da, ademspor cada divisin horaria que avanza el horario, elminutero da una vuelta completa.Qu ngulo formarn las manecillas de dicho reloj, sien un reloj normal son las 6:00 p.m.?
a) 80 b) 120 c) 60d) 100 e) 90
50.Un reloj indica la hora con tantas campanadas como elnmero de horas transcurridas hasta ese instante.Sabemos que para tocar tantas campanadas como eltriple del tiempo que demor entre campanada ycampanada tard 70 segundos.Cuntas campanadas dar en 40 segundos?
a) 8 b) 9 c) 5d) 7 e) 6
51. Si el 25 de Agosto de 1948 fue Viernes.Qu da fue el 14 de Febrero de ese mismo ao?
a) Lunes b) Domingoc) Martes d) Juevese) Mircoles
52. Qu hora es en la figura mostrada?
12
3
6
9
8
7
10
11 1
2
M
H3 /2
a) 2h 20min b) min11220h2
c) min11421h2 d) min
11121h2
e) min11320h2
53. A qu hora entre las 7 y las 8 de la noche las agujas deun reloj forman un ngulo de 100 por segunda vez?
a) min11256h7 b) min
11358h7
c) min13357h7 d) min
11456h7
e) min11556h7
54. A qu hora inmediatamente despus de las 16:00 h elhorario adelanta al minutero tanto como el minuteroadelanta a la marca de los 12?
a) min23710h4 b) min
231010h4
c) min11312h4 d) min
111011h4
e) min23512h4
55. Un reloj de pared seala la hora con igual nmero decampanadas a la hora respectiva, si emplea 6 segundosen indicar las 16 horas.Calcule la medida del ngulo menor que forman elsegundero con el minutero al terminar de indicar las18 horas.
a) 60 b) 59 c) 54d) 29 e) 11
-
56. Qu hora ser dentro de 415 horas si se sabe que en
estos momentos el tiempo transcurrido es excedido en5 horas por lo que falta transcurrir del da?
a) 3 : 45 p.m. b) 3 : 25 p.m.c) 3 : 20 p.m. d) 2 : 20 p.m.e) 2 : 45 p.m.
57. En una maana de sol un rbol de m310 altura,arroja una sombra de 10m de longitud.Qu hora es?
a) 10:20 h b) 10:00 h c) 09:50 hd) 09:48 h e) 10:10 h
58. Los relojes de "A", "B" y "C" se sincronizaron a las 12:00horas. Si el reloj de "A" se atrasa 3 minutos por hora, elde "B" se adelanta 3 minutos por hora y el de "C" marchacorrectamente.Dentro de cunto tiempo los horarios de los 3 relojesequidistarn entre s?
a) 48 horas b) 60 horas c) 72 horasd) 80 horas e) 96 horas
59. Cuando sean dos horas ms tarde de lo que es, faltarnpara las 2:00 p.m. el doble del nmero de minutostranscurridos desde las 10:00 a.m.Qu hora ser dentro de veinte minutos?
a) 11:00 a.m. b) 12:00 a.m.c) 1:00 p.m. d) 2:00 p.m.e) 10:40 a.m.
60. Qu hora es segn el grfico?
Si : 2153
12
3
6
9
4
5
8
7
1
2M
H
a) 7:56 min b) 7:53 minc) 7:57 min d) 7:54 mine) 7:59 min
-
Raz. Matemtico
Claves Claves
c
a
e
e
c
a
d
c
b
c
b
c
b
e
b
d
c
d
e
c
a
d
c
a
d
b
a
e
a
d
b
e
b
d
e
b
e
b
a
a
a
c
a
d
c
c
b
e
e
b
a
a
d
b
a
e
b
d
a
c
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
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