RM4to(18 21)Corregido

7/25/2019 RM4to(18 21)Corregido

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Raz. Matemtico

18AnlisisCombinatorioI

Para realizar el estudio del anlisis combinatorio se hacennecesarias algunas herramientas, tales como el factorial deun nmero y los nmeros combinatorios.

FACTORIAL

NOTACIN:

Ejemplos:

Factorial de un nmero es el producto de los nmerosenteros positivos y consecutivos comprendidos desde elnmero 1 hasta el nmero indicado inclusive.

n! = 1 x2 x3 x... xn; n Z+

n = n = n!

Se lee "factorial de n o n factorial"

DESCOMPOSICIN CANNICA DE UN FACTORIAL

2! = 2 = 1x2 = 2

3! = 3 = 1x2

x3 = 6

4! = 4 = 1x2x3x4 = 24

5! = 5 = 1x2x3x4x5 = 120

6! = 6 = 1x2x3x4x5x6 = 720

7! = 7 = 1x2x3x4x5x6x7 = 5 040

Nota

Los factoriales mayores que 5 o igual que 5; siempreterminarn en cero.

* Solamente est definido el factorial para nmeros enterosy positivos as por ejemplo:

8! = 8Factorial de 8

(si existe)

(-6)!= -6Factorial de (-6)

(no existe)

6!2

=62

Un medio factorialde 6 (si existe)

-5! = - 5Menos factorial de

5 (si existe)14

! =14

Factorial de 1/4(no existe)

PROPIEDADES DE LOS FACTORIALES

I. Solamente existe factoriales para nmeros enteros ypositivos.

Es decir: si n = n!

Donde: n: Entero y positivo

II. Por axioma de las matemticas, se define que: 0! = 1; 1! = 1

III. El factorial de un nmero puede ser siempredescompuesto como el producto de factorial deotro nmero menor que l por todos los nmerosconsecutivos a este ltimo; hasta completar dichonmero.

As:

7! = 7 x6 x5! 9! = 9 x8 x7x6! (n-1)! = (n-1) x(n-2) x(n-3)!


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10

4to Secundaria

IV. En factoriales, las siguientes operaciones no secumplen:

(n+m)! n!+m! (n - m)! n! - m!

V. Si a! = b! a = b; donde a y b son diferentes de cero.

(x+3)! = 8! x + 3 = 8 x = 5

mn

! m!n!

Resolucin:

Ejemplo 1:

Halla la suma de cifras de (2x)! si (x+1)! = 24

(x+1)! = 24 = 1 x2 x3 x4(x+1)! = 4! de lo cual se deduce:

x+1 = 4 x = 3

Buscamos (2x)! = 6! = 720Nos pide la suma de cifras:

7+2+0=9

Ejemplo 2:

Calcula "a" en:

a!+(a+1)!+(a+2)!a!

= a!+(a+1)!a

Resolucin:

a!+a!(a+1)+a!(a+1)(a+2)

a!=

a!+a!(a+1)a

a![1+(a+1)+(a+1)(a+2)]

a!

=a![1+(a+1)]

a

a[(a+2)+(a+1)(a+2)] = a![a+2]

Factorizando:a(a+2)[1+(a+1)]= a![a+2]a(a+2) = a!

4 x 6 = 4! a = 4

APLICACIONES DE LAS FACTORIALES

Cantidad de ceros en que termina la factorial de n: (n 5)Para determinar la condicin que nos permita determinarla cantidad de ceros finales de la factorial de n (n 5),analicemos algunos ejemplos.1500=3 x 53 x 22; entoncesN.de ceros=2 = Exponente del 2

2200=11 x 52 x 23 ; entoncesN.de ceros=2 = Exponente del 5

De lo anterior, deducimos que la cantidad de ceros dependedirectamente del exponente de 2 5; en forma ms explcitapodemos afirmar que la cantidad de ceros est dado por elmenor exponente del factor 2 o del factor 5.Una regla prctica sera aplicar divisiones sucesivas.

Determina en cada caso en cuantos ceros termina cadafactorial:

23!; 78! y 700!

Ejemplos:

* 23! = . . . 00 . . . 00

x cifras

Aplicando divisiones sucesivas:

23 5 3 4 N.de ceros = x = 4

* 78! = . . . 00 . . . 00

x cifras


78 5 3 15 5 - 3 N.de ceros = x

=15+3N.de ceros = 18

* 700! = . . . 00 . . . 00

x cifras


N.de ceros = x=140+28+5+1N.de ceros = 174

700 5 - 140 5 - 28 5 3 5 5 - 1

Nota

En el principio de adicin, o bien ocurre un caso

o bien el otro caso, pero nunca pueden ocurrirsimultneamente.


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Raz. Matemtico

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES

I. Principio de Adicin Si el suceso "A" puede realizarse de "m" maneras y el

suceso "B" de "n" maneras, entonces el suceso "A" o el

suceso "B" se puede realizar "(m+n)" maneras.Ejemplo 1:

Si se tiene 3 pares de zapatillas distintas y 5 pares dezapatos diferentes, cuntas maneras de calzar tieneen total?

Resolucin:

Zapatillas (A): A1+A

2+A

3= 3

Zapatos (B): B1+B

2+B

3+B

4+B

5= 5

N.de maneras: 3+5=8

Ejemplo 2:

Proyectamos un viaje y decidimos ir en tren o en microbs.Si hay 3 rutas para el tren y 4 para el mnibus, cuntasmaneras tenemos para decidir nuestro viaje?

Resolucin:

Punto de

partida

Punto de

llegada

Para el tren hay 3 maneras de llegar.

Punto de

partida

Punto de

llegada

Para el microbus hay 4 maneras de llegar.

N.de maneras = 3 + 4 = 7

II. Principio de Multiplicacin Si el suceso "A" se puede realizar de "m" maneras y el

suceso "B" se puede realizar de "n" maneras, entonces lossucesos "A" y "B" se pueden realizar en forma conjunta

de: m xn maneras siempre que se efecte uno despusdel otro.

Nota

Este principio se puede generalizar para ms de dossucesos.

Ejemplo 3:

De una ciudad "A" a otra ciudad "B" hay 4 caminosdiferentes y de la ciudad "B" a la ciudad "C" hay 3 caminosdiferentes. De cuntas maneras se podr ir de "A" a "C"?

Resolucin:

A B C

Hay 4maneras de

ir de A a B

Hay 3maneras de

ir de B a C

Luego, el nmero de maneras de ir de "A" a "C" son:

N.de maneras = 4 x 3 = 12

Ejemplo 4:

Un alumno tiene 3 libros de fsica y una alumna tiene 5 librosde qumica. De cuntas maneras podra prestarse un libro?

Resolucin:

F1

Q1

Q2

Q3

Q4

Q5

F2

F3

3 maneras de

prestar

5 maneras de

prestar

N.de maneras = 3 x 5 = 15

Ejemplo 5:

Si se tiene 5 blusas de distintos colores y 7 pantalones dedistintos colores, de cuntas maneras diferentes podrcombinar sus prendas?

Resolucin:

B1

B2

B3

P1

P2

P3P4

P5

P6

P7

N.de maneras = 3 x 7= 21


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12

4to Secundaria

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3

En la figura, cada lnea representa un camino.

De cuntas maneras distintas se puede ir de la

ciudad 1 a la ciudad 4?

Resolucin:

1 2 3 4

Calcula:

Resolucin:

15!+16!+17!15! x17

E =

Si

calcula:

Resolucin:

(a-2)!+(a-1)!a!

= ;13

(a+1)!(a-2)!

Juan quiere vestirse eligiendo una prenda decada clase y dispone de: 4 polos, 5 pantalones

y 3 pares de zapatillas. De cuntas formas se

puede vestir?

Resolucin:


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13

Raz. Matemtico

Rpta:

5

Rpta:

6

BA

A B

En los siguientes ejercicios, de cuntas mane-

ras se puede llegar de A hasta B sin regresar

en ningn caso.

Resolucin:

Reduce:

K =

Resolucin:

11 x32! x24!2! x33! x23!

7. Halla "a"

(a-5)! x(a-6)!(a-5)!-(a-6)!

= 720(a2-12a+35)

8. Para ir de A a B hay 3 rutas diferentes y para irde B a C hay 5 rutas diferentes. Cuntas rutasdiferentes hay para ir de A a C pasando por B?

9. De cuntas maneras se puede viajar de M a Navanzado?

M C N

A B

D

10. Cuntas de las proposiciones son ciertas?

I. El factorial slo se aplica a nmeros natura-les.

II. -4! = -24III. 3! + 5! = 8!IV. (-a)! no existe si a Z-.

V.ab ! no existe si

a =kb y k N.

11. Si: (x+3)!+(x+1)!(x+2)(x+3)=240, calcula el valor

de:(x+1)!

x!E=

12. Reduce:

100!99!

+99!89!

+98!97!

+...+1!0!

A)

B)


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14

4to Secundaria

1. En cuntos ceros termina el resultado de la si-guiente expresin:

E =(20! x32! x50!)

a) 100 b) 105 c) 23

d) 115 e) 120

2. Efecta:

9! x 3!+5! x8!29 x8!

E =

a) 5 b) 6 c) 9

d) 5! e) 6!

3. Halla el valor de "x" en:

(x-4)! = 120

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

4. Si (n+1)! = (n-2)![125-n], calcula n +1

a) 10 b) 5 c) 6

d) 7 e) 9

5. De cuntas maneras se puede comprar cualquierade los objetos sealados en la lista: 3 camisas; 2pantalones y 4 polos.

a) 24 b) 10 c) 11

d) 9 e) 14

6. Dado que:

A B C

De cuntas maneras diferentes se podr ir yvolver de "A" a "C" si la ruta de regreso debe serdiferente a la de ida?

a) 11 b) 24 c) 23d) 144 e) 132

7. Halla "x". (x+2)(x+1)x! = (5x-58)!

a) 15 b) 13 c) 16

d) 18 e) 19

8. Se desea hacer parejas (varn y mujer)con 8 varones y 5 mujeres. Cuntas parejas sepueden formar?

a) 5 b) 8 c) 13

d) 40 e) 53

9. Katty desea ir a una fiesta para lo cual dispone de3 blusas, 2 faldas y 4 chompas (todas las prendasde diferente color). De cuntas maneras distin-tas se puede vestir Katty considerando los 3 tiposde prenda?

a) 28 b) 16 c) 18

d) 29 e) 24

10. Halla la suma de valores de "n".

(n-8)! = 1

a) 16 b) 17 c) 18

d) 19 e) 20

11. Determina "x" en la igualdad:

x+12

! = 720

a) 1439 b) 11 c) 9

d) 1470 e) 1

12. Reduce:

(3!)!120x6

+(2!)!

2+

(4!)!23!

a) 24 b) 25 c) 26d) 27 e) 28


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Raz. Matemtico

19AnlisisCombinatorio II

Es parte de la matemtica que estudia las diferentes manerasde seleccionar a los elementos de un conjunto.

VARIACIONES O ARREGLOS

Resolucin:

Ejemplo 1:

Variacin es cada una de las ordenaciones que puedenformarse con varios elementos, tomadas con varioselementos, tomadas de uno en uno, de dos en dos, de tresen tres, de modo que dos ordenaciones cualquiera del mismonmero de elementos se diferencien por lo menos, en unelemento o por el orden en que estn colocados.

El nmero de maneras de ordenar a "n" elementos de unconjunto, tomados de "r" en "r" es:

Vnr =

n!(n-r)!

Indica de cuntas maneras se pueden ordenar a doselementos del conjunto:

{a; b; c; d}

V42 =

4!(4-2)!

=12 maneras

Ejemplo 2:

V73 =

7!(7-3)!

=7!4!

=5x6x7= 210

Ejemplo 3:

V52 =

5!(5-2)!

=5!3!

=4 x 5= 20

Ejemplo 4:

Vmm=

m!(m-m)!

=m!0!

=m!1

= m!

Ejemplo 5:

Cuatro alumnos llegan a matricularse a una academia quedispone de 7 aulas. De cuntas maneras se les puededistribuir de modo que siempre ocupen aulas diferentes?

Resolucin:

Sean las 7 aulas, las que muestran en la figura.

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

4 posibilidades5 posibilidades6 posibilidades7 posibilidades

El primer alumno puede ocupar cualquiera de las 7 aulas,existiendo 7 posibilidades de tomarlo.

El segundo alumno puede ocupar cualquiera de las6 aulas que quedan por ocupar, existiendo para estealumno 6 posibilidades de tomarlo.

El tercer alumno puede ocupar cualquiera de las 5 aulasrestantes, existiendo 5 posibilidades de tomarlo.

El cuarto alumno puede ocupar cualquiera de las 4 aulasrestantes, existiendo 4 posibilidades de tomarlo.

Luego: N.de maneras =7x6x5x4 = 840

Por frmula:

Vmn =

m!(m-n)!

Donde: m = 7 y n = 4

Luego:V

74 =

7!(7-4)!

=7!3!

=4x5x6x7= 840

V74 = 840 maneras


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17

Raz. Matemtico

PERMUTACIONES CON LUGARES FIJOS

Si se establece que determinados elementos han de ocuparlugares fijos, el nmero de agrupaciones ser el que se puedeformar con los dems elementos.

Pm-n

= (m-n)!

Donde:

m : Representa el nmero totalde elementos.

n : Representa el nmero deelementos con lugares fijos.

Ejemplo 9:

Cuntos nmeros mayores de 8000 se podrn formar conlas siguientes cifras: 2, 5, 8 y 3?

Resolucin:

Los nmeros mayores de 8000, deben tener como primeracifra (lugar fijo) el 8.

8Existe 1 posibilidadde tomar la cifra

que queda.Existen 2posibilidades detomar las cifrasque quedan.

Existen 3posibilidades detomar las cifrasque quedan.Lugar fijo

Luego:Los nmeros mayores de 8000 que puede tomar con:

2, 5, 8 y 3= 1 x 2 x 3 = 6

Por frmula:

Pm-n

= (m-n)!

Donde:

m = 4 elementos en total stosson: 2, 5, 8 y 3

n = 1 elemento fijo es el 8

Luego:

P4-1

= P3= 3! = 6

PERMUTACIONES CON REPETICIN

Ocurre cuando los elementos a ordenar no son todos ellosdistintos, es decir, hay un elemento o ms de uno que seestn repitiendo una o ms veces.

Con las letras de la palabra MIMI puedo obtener lossiguientes ordenamientos: MMII, MIMI, MIIM, IMMI,IMIM, IIMM (seis ordenamientos).Supongamos que tenemos "n" elementos tales que hay"k

1" elementos repetidos de una clase, "k

2" elementos

repetidos de una segunda clase y as sucesivamente hasta"k

m" elementos repetidos de una ensima clase. Entonces

el nmero de permutaciones de "n" elementos de los cualesse repiten algunos, est dado por:

Pnk

1, k

2,..., k

m=

n!k

1! k

2! k

3! k

m!

Ejemplo 10:

Cuntos ordenamientos diferentes se pueden realizar contodas las letras de la palabra MAMITA?

Resolucin:

2 elementos de la clase "M"2 elementos de la clase "A"1 elemento de la clase "I"1 elemento de la clase "T"

En total seis elementos

Pn2, 2, 1, 1 =

6!2!x2!x1!x1!

=6!

2x2

= 180

Ejemplo 11:

Cuntas permutaciones pueden formarse con las siguientesfiguras geomtricas?

Resolucin:

Por frmula:

nk

1, k

2=

n!k

1!k

2!

P

Donde:

m = 6 (N.total de elementos)m

1= 3 (el tringulo se repite tres

veces)m2

= 2 (el crculo se repite dosveces)


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18

4to Secundaria

Luego:

63, 2 =

6!3!x 2!

P =4x5x6

2!

63, 2 = 4

x5x62

P = 60

Combinaciones

Consideremos "n" elementos distintos, los cuales se agrupande "k" en "k". El nmero de grupos diferentes con "k"elementos disntitos, viene dado por:

Cnk

=n!

k!(n-k)!; n k 0

En una combinacin no interesa el orden de sus elementos.

As por ejemplo:

C53

=51

x42

x33

= 10

o tambin:

C53

=5!

2!x3!= 10=

4 x52

C74

=71

x62

x53

= 35x44

o tambin:

C74

=7!

3!x4!= 35=

5x6x76

Ejemplo 12:

Eymi, Roco, Hugo y Diana son candidatos para integrar unacomisin de dos personas. Cuntas posibles comisionespodrn conformarse?

Resolucin:

n = 4 k = 2

Es una combinacin, pues no interesa el orden.

C42

=4!

2!x(4-2)!=

4!2!x2!

= 6

Ejemplo 13:

Cuntos grupos de tres letras se pueden determinar conlas letras: "a", "b", "c" y "d"?

Resolucin:

C43

=4!

(4-3)!x3!= 4

Diferencia entre Combinaciones y Variaciones

Las combinaciones se diferencian por sus elementos y lasvariaciones por el orden de los mismos.

Ejemplo 14:Dado el conjunto A = {a; b; c; d}, calcula las variacionesy las combinaciones de los elementos de "A" tomados de3 a la vez.

Resolucin:

abc abd bcd

Combinaciones

Variaciones

Si cambiamos el orden de los

elementos se produce unavariacin distinta a la anterior.

abcabdacdbcd

acbadbadcbdc

bacbadcadcbd

bcabdacdacdb

cabdabdacdbc

cbadbadcadcb

Notamos que:

C43

=4!

(4-3)! x3!= 4 y

V43

=4!

(4-3)!= = 24

4!1

PROPIEDADES

1.a El nmero de combinaciones de "m" elementostomados de "n" en "n" es igual al nmero decombinaciones de "m" elementos tomados (m-n) en(m-n)

Cmn

= Cmm-n

CombinacionesComplementarias

2.a

Cm-1n

+ Cm-1n-1

= Cmn

Dos combinaciones sondiferentes slo si difieren porlo menos en un elemento.


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19

Raz. Matemtico

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3Halla "n" en

Resolucin:

Cn2

= 28

Simplifica:

Resolucin:

[(1!)!]![(0!)!]!

+24!(4!)!

+(36+1)!36!+35!

-5!

5x4!

De cuntas formas se pueden ordenar a, b y c

en un mismo estante?

Resolucin:

De cuntos modos pueden disponerse en una

fila, un sargento y 6 soldados, si el sargento

siempre es el primero?

Resolucin:


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20

4to Secundaria

Rpta:

5

Rpta:

6De cuntas maneras los podr combinar si la

camisa crema siempre se la debe poner con el

pantaln azul y viceversa?

Resolucin:

Cuntas permutaciones pueden formarse con

las siguientes figuras geomtricas?

Resolucin:

7. Con las cifras: 1; 2; 3; 5; 7; y 9, cuntos nmerospares de cuatro cifras diferentes se puede formar?

8. Mnica tiene 9 amigas en la academia y quiereinvitarlas a su casa para escuchar msica, perosu mam le ha dicho que slo invite a 5 de ellas.De cuntas maneras podr invitar a las 5 amigas,si de todas maneras debe invitar a Rosa que es sumejor amiga?

9. Una meloda musical debe estar formada porcinco notas diferentes. Cuntas melodas sepueden componer?

10. De cuntas maneras se puede formar unacomisin de 4 alumnos, de un saln que tiene20 alumnos?

11. De cuntas maneras distintas se puede ubicar5 parejas de esposos alrededor de una fogata,tal que cada matrimonio siempre permanezcajunto?

12. De cuntas formas distintas podemos sentara 6 nios alrededor de una mesa circular, demodo que 2 de ellos (M y N) ya determinadospreviamente no estn juntos?


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Raz. Matemtico

1. Simplifica:

48!+47!48!-47!

x 5!-92+8

2x4!+1

a) 12/7 b) 13/9 c) 5/5

d) 20 e) 12

2. De cuntas maneras se pueden disponer cinconios en una fila?

a) 24 b) 36 c) 30

d) 25 e) 120

3. De cuntas maneras se pueden ordenar lasvocales en una fila?

a) 120 b) 36 c) 25

d) 50 e) 100

4. Cuntas palabras de 5 letras se pueden formarcon las letras de la palabra COCOS?

a) 24 b) 30 c)60

d) 120 e) 25

5. En una bodega se venden: fideos, arroz, azcar,frijoles y lentejas. De cuntas maneras unapersona podr llevarse tres de estos artculos?

a) 10 b) 24 c) 12

d) 30 e) 36

6. Un comensal se sirve en cada comida cuatroplatos de los nueve que son de su agrado.Cuntas comidas diferentes puede hacer lapersona?

a) 3024 b) 5! c) 24

d) 126 e) 36

7. Con seis pesas de: 1; 2; 5; 10; 20 y 50 kg, cun-tas pesadas diferentes puede obtenerse, tomandoaquellas de tres en tres?

a) 720 b) 120 c) 20

d) 60 e) N.A.

8. Cuntos nmeros de tres cifras diferentes sepueden formar con: 1; 5; 4, 3; 8 y 9?

a) 120 b) 60 c) 136

d) 142 e) 63

9. En un torneo pugilstico participan 7 boxeadores.Si pelean todos contra todos, cuntas luchas serealizarn?

a) 71 b) 5040 c) 21

d) 42 e) 6

10. Un alumno tiene que responder 10 de 12 pre-guntas en un examen. De cuntas maneraspuede hacerlo?

a) 25 b) 24 c) 12

d) 66 e) 32

11. Cuntas palabras diferentes puedes formar con

las letras de la palabra ACCACCIA?

a) 280 b) 560 c) 140

d) 360 e) 720

12. Cuntos arreglos diferentes se pueden hacercon todas las letras de la palabra JAPANAJA?

a) 8 b) 840 c) 120

d) 12 e) 64


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4to Secundaria

20Probabilidades

El nacimiento de las probabilidades lo encontramosen el inters demostrado por los matemticos en lasprobabilidades que tenan de ganar en sus juegos de azar,en los dados, los naipes, etc. El primero que se ocup de esta cuestin analizando eljuego de dados, fue TARTAGLIA (1500 - 1557). Pero la forma que tiene actualmente el clculo deprobabilidades naci a mediados del siglo XVII, cuando elfrancs De Mer consult sobre el problema de cmo debanrepartirse las apuestas de una partida de dados que debisuspenderse.

SURGI POR LOS JUEGOS DE AZAR

* Lanzar un dado.

Blas Pascal (francs 1623 -1662) conjuntamente con

Pierre de Fermat (francs), aficionado a las cuestionesmatemticas (1601 -1665), arribaron a conclusiones quedieron nacimiento al clculo de probabilidades.

Experimento Aleatorio

Es toda prueba o ensayo cuyo resultado no se puedepredecir con seguridad antes de realizarlo.

Ejemplos:

* Extraer una bola de una caja.

Espacio Muestral ()

Es el conjunto de todos los resultados posibles de unexperimento aleatorio.

Ejemplo :

*Al lanzar un dado.

= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Evento Se llama evento a cualquier subconjunto del espaciomuestral.

Ejemplo :

* Al lanzar un dado.. Entonces el evento "A" ser, tal que: A: Resulta unnmero par.

A= {2; 4; 6}

1. DEFINICIN DE PROBABILIDAD (DEFINICINCLSICA)

"Cuando un experimento aleatorio es simtrico, esdecir, en un nmero muy grande de pruebas, los distintossucesos ocurren con igual frecuencia o todos los eventosson equiprobables, la probabilidad de un suceso seobtiene dividiendo el nmero de casos favorables al sucesoentre el nmero de casos posibles del experimento". Luego, si "A" es un evento de un espacio muestral (),entonces la probabilidad de ocurrencia de A se denotapor P(A) y est dado por:

Nmero de casos favorables

al evento A

Nmero total de casos posibles

(resultado posibles) en

P(A)=

n(A)n()

=

Resolucin:

Esta definicin, debida a Laplace, slo es aplicable alos experimentos aleatorios dotados de simetra y, por lotanto, tiene un alcance de aplicaciones muy restringido.

Ejemplo 1:

Determina la probabilidad de que, al lanzar un dado,el resultado sea un nmero impar.

* Experimento aleatorio (): Lanzamiento de un dado normal


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23

Raz. Matemtico

236

P2=

3

36P1=

P(A)=n(A)n()

36

12

=

Demos ahora una definicin, que de alguna manera yahabiamos adelantado cuando hablamos del dado trucado ycuando extraamos al azar bolitas de una urna.

Ejemplo 2:

Halla la probabilidad de obtener 10, como mnimo, enuna sola tirada con dos dados.

Resolucin:

El nmero de casos posibles en que dos dados pueden caeres:

6 x 6 = 36

* Diez puede sacarse de 3 maneras: (4; 6), (5; 5), (6; 4) Luego, la probabilidad "P

1" de sacar 10 es:

* Once pueden sacarse de 2 maneras: (5; 6), (6; 5) Luego, la probabilidad "P

2" de

obtener 11 es:

136P3=

Ahora, la probabilidad de sacar un nmero no menor de10, es la suma de esas probabilidades parciales.Luego: P = P

1+ P

2+ P

3

P =3

36=

236

136

636

16

+ +

* Doce puede sacarse de 1 manera: (6; 6) Luego, la probabilidad "P

3" de obtener 12 es:

Ejemplo 5:

Se tiene una baraja de 52 cartas y de ella se extrae unaal azar. Halla la probabilidad de que la carta extrada.a. Sea un 7 de espadas.

b. Sea un "as".c. Sea una figura negra.d. Representa su valor con una letra.

Resolucin:

a. En la baraja slo existe un 7 de espadas, luego su

probabilidad P ser: P =

b. En la baraja existen 4 ases, luego la probabilidad es

c. Las figuras negras son 13 espadas y 13 trboles; entoncesla probabilidad que la carta extrada sea negra es:

d. Las cartas que presentan su valor con una letra son elonce "J", doce "Q", trece "K" y el as "A"; como cada unotiene cuatro cartas, en total hay 16; luego la probabilidades:

152

452

1652

413

=

2652

12

=

113

=

= 50x51x52652!49! x 3!C =523 = 22100

Ejemplo 6:

De una baraja de 52 cartas se sacan tres naipes.Determina la probabilidad de que todos sean ases.

Resolucin:

Como se van a extraer tres cartas de 52 en total, tendremoscomo casos posibles:

y como la baraja tiene cuatro ases de los cuales se extraen3, tenemos como favorables:

4!1! x 3!

C =4

3= 4

Por lo tanto, la probabilidad "p" de sacar tres ases en 3extracciones de 52 cartas es:

422 100

P = =1

5 525

Propiedades:

Si A es un evento definido en , entonces:

0 P(A) 1

Si P(A) = 0 A = A es un evento imposible.

Si P(A) = 1 A = A es un evento seguro.

* Espacio muestral (): = {1; 2; 3; 4; 5; 6}; n() = 6

* Evento (A): El resultado es impar:

A = {1; 3; 5} n(A) = 3


16/24

24

4to Secundaria

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3

Cul es la probabilidad de obtener suma de

7 u 11?

Resolucin:

Cul es la probabilidad de obtener una sumamenos que 6?

Resolucin:

Si extraemos al azar dos cartas, cul es

la pr o ba bi l i da d de q ue a m ba s sea n

trboles?(Considera que no se devuelven las

cartas)

Resolucin:

Sin mirar se oprime una de las 27 letras deuna mquina. Halla la probabilidad de que sea

una vocal.

Resolucin:


17/24

25

Raz. Matemtico

Rpta:

5

Rpta:

6Una caja contiene 12 cartas rojas, 6 blancas y

8 negras. Si se saca una sin mirar, cul es la

probabilidad de que la carta sea roja?

Resolucin:

Una caja contiene 4 bolas rojas, 3 azules y 2

verdes. Si se extrae al azar una de ellas, halla la

probabilidad de que la bola extrada no sea azul.

Resolucin:

7. En un saln hay 40 alumnos de los cuales 15son varones. Cul es la probabilidad de que alescoger 5 alumnos, estos resulten varones?

8. Se lanza tres monedas corrientes. Si aparecendos caras y un sello, determina la probabilidadde que aparezca una cara exactamente.

9. Al lanzar un dado legal al aire, cul es laprobabilidad de no obtener un nmero cuyaraz cuadrada sea exacta?

10. Se extrae una bolilla y se devuelve a su lugar, luegose saca otra bolilla. Cul es la probabilidad deque la primera vez se saque una bolilla blanca yla segunda vez se saque una bolilla verde?

11. Se lanza un par de dados. Halla la probabilidadde que la suma de sus nmeros sea 10 o mayor si:

i) Aparece un 5 en el primer dado. ii) Aparece, por lo menos, un 5 en uno de los

dados.

12. En una caja se dispone de 18 bolas numeradasdel 1 al 18. Si se extrae dos bolas al azar, una poruna y sin reposicin.

I. Cul es la probabilidad de obtener dos nmerosprimos?

II. Cul es la probabilidad de obtener dosnmeros impares?


18/24

26

4to Secundaria

1. Cul es la probabilidad de que salgan 2 caras?

a) 1/2 b) 3/4 c) 1/4d) 2/3 e) 1/3

2. Cul es la probabilidad de que salga primero caray luego sello?

a) 1/4 b) 1/3 c) 1/2d) 2/3 e) 3/4

Carlitos lanza 2 monedas, una por una.

Se tiene una baraja de 52 cartas.

A

6

3. Si se extrae una carta, cul es la probabilidadde que la carta extrada sea una "J"?

a) 5/26 b) 3/52 c) 1/13d) 2/13 e) 3/13

4. Si extraemos una carta, cul es la probabilidadde obtener un nmero impar?

a) 1/13 b) 2/13 c) 7/13d) 4/13 e) 6/13

5. Cul es la probabilidad de que al lanzar un dadoresulte 2 3?

a) 1/6 b) 5/6 c) 1/36d) 1/3 e) 1/4

6. En un mnibus viajan 15 varones, 18 damas y 20nios. Cul es la probabilidad de que el primeroen bajar sea un nio?

a) 15/53 b) 18/53 c) 20/53d) 38/53 e) 35/53

7. Se lanza un dado. Si el nmero es impar, cul esla probabilidad de que sea primo.

a) 1/6 b) 1/2 c) 1/3d) 2/3 e) 1/4

8. Si se lanza 2 dados, cul es la probabilidad deobtener 7 puntos?

a) 1/2 b) 5/36 c) 1/9d) 1/6 e) 7/6

9. Si extraemos al azar tres bolas, cul es laprobabilidad de que dos sean blancas y unanegra? (sin reposicin)

a) 2/11 b) 2/15 c) 2/33d) 2/17 e) 20/33

Una urna contiene 12 bolillas rojas, 14 blancas y6 verdes.

10. Si extraemos al azar una bolilla, cul es laprobabilidad de que sea verde o roja?

a) 1/6 b) 1/3 c) 9/16d) 91/6 e) 5/36

11. Se tiene 10 bolas numeradas del 1 al 10. Cul

es la probabilidad de que al escoger dos bolas alazar, una por una y sin reposicin, stas sumen19?

a) 1/45 b) 2/45 c) 2/37d) 3/37 e) 1/10

12. A una seora le diagnosticaron que tendra tri-llizos. Cul es la probabilidad de que el da delparto nazcan 3 varones?

a) 1/6 b) 1/8 c) 1/12d) 1/4 e) 1/3


19/24

27

Raz. Matemtico

21SituacionesGeomtricas

Es la medida de la longitud de la lnea (o lneas) queconforman el borde o contorno de una regin.

FUNDAMENTO TERICO1. PERMETRO

Casos principales

a) Cuadrado

a

a

p = 4a

b) Rectngulo

a

p = 2 a + 2b = 2(a + b)

c) Tringulo

c b

a

p = a + b + c

d) Longitud de la circunferencia

r

L = 2R

r

r

A

B

LAB

= 2r360

2. TEOREMA PITGORAS

a

b

c

c2= a2+ b2

Permetro (borde)

b

3. TRINGULOS RECTNGULOS NOTABLES

a2a

a 3

30

60 45

45

a 2a

a

37

53

5a3a

4a


20/24

28

4to Secundaria

1) Calcula la suma de las longitudes de las semicircunferencias

construidas sobre el dimetro AB = 2; "O" es centro.

Resolucin:

Se cumple que:

L = L

Ahora:

LO

= 2RL =R

donde "R" ser el radio de esta semicircunferencia, yaque: AB = 2R = 1

L = .1 =

2) Halla el permetro de la regin sombreada.

Resolucin:

1u

1u

1u 1u 1u

B

A

C

D

1u

1u21u

Regionunitaria

La regin ABCD contiene 6 veces a la regin unitaria. AABCD

= 6(1u2) = 6u2

Permetro de ABCD: P

P = 2u+2u+3u+3u=10u

3) Halla la longitud de un arco.

a

a

L

Resolucin:

L = 2ax

360

4) Halla el permetro de la regin sombredada.

Resolucin:

NotaLongitud de AB = 2(4)x

Longitud de CD = 2(2)x

Permetro =

289

120360

83

=

40360

49

=

83

+4+4+ +2+24

9

= +12=28+108

9

5) Halla el permetro de la regin sombreada, si el ladode cuadrado es 8 cm; las curvas estn formadas porsemicircunferencias.

Resolucin:

Consideramos el ejemplo anterior (ejemplo 4) concluimosque:

Long. curva AB = =4

Long. curva BC = =4

Long. curva CD = =4

Long. curva DA = =4

Permetro de la regin sombreada: 16.

DA2

CD2

BC2

AB2

A B

44

2

C D40

2

120r1 r2 r3 r4 r5 r6A B

O

A B

CD

4 4

8


21/24

29

Raz. Matemtico

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3Dos postes miden 8 y 15m respectivamente yestn separados 24m. Cul es la distancia entre

sus extremos superiores?

Resolucin:

Halla el permetro de la regin sombreada.

Resolucin:

4

44

En la figura ABCD es un cuadrado de 4 cmde lado. Cul es el permetro de la regin

sombreada?(MNP y Q son puntos medios de

los lados del cuadrado)

Resolucin:

P

Q

A

CD

N B

M

En la figura se muestran los cuadrados "A", "B"

y "C". Halla:

Resolucin:

Permetro de A + Permetro de BPermetro de C

C

A B


22/24

30

4to Secundaria

Rpta:

5

Rpta:

6En el tringulo rectngulo ABC, halla el per-

metro de la circunferencia inscrita.

Resolucin:

AB 16 cm

C

12 cm

En la figura muestra 5 semicrculos con dime-

tros ubicados en la misma recta. El dimetro

del semicrculo mayor es 16 cm, cul es el

permetro de la figura sombreada?

Resolucin:

7. Halla el permetro de la siguiente figura:

c

b

c

b

c

a

8. Calcula el permetro del cuadriltero ABCD.

30

12020cm

40cm

BA

D

C

9. Halla la suma de los permetros de los cuadradossombreados, sabiendo que la diagonal del cua-drado central tiene 5 2 m de longitud.

10. Se muestra 4 cuadrados congruentes de 4 m delado cada uno. Inscrito en cada uno hay unafigura sombreada. Cul de ellas tiene mayorpermetro?

I II

III IV


23/24

31

Raz. Matemtico

1. Halla el permetro de la regin sombreada, si AB= 8m (Obs: los arcos son semicircunferencias)

Permetro de una curva=

a) (4+6)m b) 4(+2)mc) (4+2)md) 4(2+3)m e) (8 +4)m

2030

20

A

B

12. Calcula el menor recorrido del punto A haciael punto B en el slido mostrado.

11. Un ave que se encuentra en el punto "A"

desea llevar hacia "B", un maz de los que se

encuentran en el piso DC. Cul ser el menor

recorrido que dar el ave?

A

B

30cm70cm

D C75cm

A B

AB2

3. En el tringulo equiltero ABC de permetro12 cm, si PM // BC y MQ // AB, cul es elpermetro de la superficie sombreada?

a) 8 cm b) 15 cmc) 18 cmd) 6 cm e) 12 cm

B

Q

P

A CM

2. Halla la longitud de la cadena. AB = 12m.

a) 12m b) 6m

c) 18 md) 15m e) Faltan datos

A B

r3r1

r2

4. Halla el permetro del cuadrado ABCD, si "M"

es punto medio del lado CD y AM = 5.

a) 4 b) 8

c) 6d) 10 e) 12

A

C

D

B

M


24/24

4to Secundaria

5. Halla el permetro de la regin sombreada:

3

5

a) 3m b) 4mc) 5md) 6m e) 16m

6. Las agujas de un reloj miden 5 y 12 cm. Hallala distancia entre sus extremos a las 3 p.m.?

a) 11 cm b) 12 cmc) 13cmd) 14cm e) 15 cm

7. El rea del cuadrado es 144 y la del rectngulo36. CM = MR = RB. Cul es el permetro de lafigura?

M

R

N

S

D

A

C

B

a) 58 b) 66c) 70d) 72 e) 74

8. Siendo ABCD un cuadrado de lado 4 cm, hallael permetro de la regin sombreada (O es el

centro).

0

B C

A D

a) 4(+4)cm b) 2(+2)cm

c) (+1)cmd) 2( -1)cm e) 4(+2)cm

9. Halla el permetro del tringulo rectngulo ABC.

x+1

x+2

x

A C

B

a) 16 b) 15c) 14

d) 12 e) 10

10. Los lados de un tringulo issceles miden 5 cmy 12 cm respectivamente. Entonces el permetrodel tringulo mide:

a) Faltan datos b) 32 cmc) 29 cmd) 25 cm e) 22 cm

11. Halla el permetro de la figura sombreada.

3012

cm

9cm

a) 16 cm b) 15cmc) 14 cm

d)

27

2

cm e)

29

2

cm

12. Sean 3 barriles de radio "R" atados de la forma"A" y "B". En cul se gasta menos alambres ycul es la diferencia?

A

B

a) B, R b) B, 3R e) A, Rc) B, 2R d) A, 2R

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