Manual de corrección de los problemas propuestos de la Ficha 4

Indicadores de evaluación:

Diferencia y usa modelos basado en cuerpos geométricos compuestos y de revolución al

plantear y resolver problemas.

Representa gráficamente el desarrollo de cuerpos geométricos truncados y sus

proyecciones.

Selecciona la estrategia más conveniente para resolver problemas que involucran el

cálculo del volumen y áreas de troncos de formas geométricas.

SITUACIÓN PROBLEMÁTICA: “SÓLIDOS GEOMÉTRICOS DE REVOLUCIÓN EN

NUESTRA VIDA DIARIA”

Pregunta 1: Los estudiantes responden libremente. Posibles respuestas: Orientar el desvió

de los carriles para el paso de los vehículos en ambos sentidos en una vía, indicar el peligro

ante un desagüe abierto, peligro ante un derrumbe y brindar seguridad a los trabajadores

públicos.

Pregunta 2: Los estudiantes responden libremente. Posibles respuestas: en los simulacros

de sismo para las rutas de evacuación, ante un peligro por paredes inestables, en lugares

donde están realizando reparaciones de infraestructura, en educación física para determinar

los circuitos que se deben realizar.

Pregunta 3: Son conos de revolución, que no tienen la parte superior, y reciben el nombre

de cono truncado o tronco de cono.

Pregunta 4: Para resolver la situación necesitamos primero construir el grafico y colocar la

información dada.

48cm

8cm

36cm

12cm

10cm

4cm

18 cm

r

R

12

10

4

18

48

4 A

M

B C

N

r

R

a

b

g

14

P Q

Aplicamos el teorema de Pitágoras

en ABC:

Por semejanza de triángulos:

Del AMN ABC determinamos “a”

12

𝑎=

50

14 a = 3,36

Entonces: r = 4 + 3,36 = 7,36

Del APQ ABC determinamos “b”

22

𝑏=

50

14 b = 6,16

Entonces: R = 4 + 6,16 = 10,16

Para calcular el área cubierta por la banda reflexiva se emplea la fórmula del área lateral de

un tronco truncado.

𝐴𝐿 = 𝜋 (𝑅 + 𝑟) 𝑔 𝐴𝐿 = 𝜋 (10,16 + 7,36) 50

𝐴𝐿 = 876 𝜋

ANALIZAMOS

1. A partir de la escala 1: 2000, determinamos las medidas que se utilizan en la elaboración

de la maqueta.

Diámetro del cráter: 840 𝑚 = (840 ) (100)

2000 = 42 𝑐𝑚

Diámetro de la base del volcán: 1800 𝑚 = (1800) (100 )

2000 = 90𝑐𝑚

(ℎ𝑖𝑝) 2 = (𝑐𝑎𝑡)2 + (𝑐𝑎𝑡)2

𝑔2 = (48)2 + (14) 2

𝑔2 = 2304 + 196

𝑔2 = 2500

g = 50

Se observa que el ABC es un

triángulo pitagórico:

24K = 48

K = 2

14

48

7K

24k25k

25(2) = 50

Construir el grafico y colocar la información dada.

Calculamos:

Volumen de la cantidad de arcilla color naranja

Volumen de la cantidad de arcilla color marrón

𝑉 = 𝜋 𝑅2ℎ 𝑉 = 1

3𝜋 ℎ[ 𝑅2 + 𝑟2 + 𝑅. 𝑟 ] − 𝜋 𝑅2ℎ -

𝑉 = 𝜋 212. 18 𝑉 = 𝜋 . 441. 18 𝑉 = 7938𝜋 𝑐𝑚3

𝑉 = 1

3𝜋 . 18[ 452 + 212 + 45.21 ] − 7938𝜋

𝑉 = 6𝜋 [ 2025 + 441 + 945 ] − 7938𝜋 𝑉 = 6𝜋 [3411 ] − 7938𝜋 𝑉 = 20466𝜋 − 7938𝜋 𝑉 = 12528𝜋 𝑐𝑚3

La cantidad de arcilla de color marrón excede a la cantidad de arcilla de color naranja en

12528𝜋 − 7938𝜋 = 4590𝜋 𝑐𝑚3

Calculamos la altura a través de

ABC:

4K = 24

K = 6 Entonces:

h = 3(6) h = 18

42cm

90cm

R = 45

r =21

h

37°

42 2424

AB

C

37°

244k

3k = h5k

53°

2. Se construye un gráfico para ubicar la información proporcionada en el problema.

A

B

C

M N6cm

12cm12cm

12cm

h

3h

xV

V

9V

64V

Establecemos la relación entre el volumen del Cono MBN

y el cilindro, cuyas base son iguales:

𝑉𝑐𝑜𝑛𝑜

𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜=

𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 . ℎ3

𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 . (3ℎ) →

𝑉𝑐𝑜𝑛𝑜

𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜=

1

9

Comparamos volumen total con el volumen de las partes:

𝑉𝑐𝑜𝑛𝑜 𝐴𝐵𝐶 = 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑜 𝑀𝐵𝑁 + 𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 + 𝑉𝑥

64V = V + 9V + 𝑉𝑥

64V = 10V + 𝑉𝑥

54V = 𝑉𝑥

Luego: 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 = (122 . 𝜋) 12

3 = 576 𝜋 =

Entonces: 64V = 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟

64V = 576 𝜋

V = 9 𝜋

Reemplazamos en el 𝑉𝑥 : 𝑉𝑥 = 54 𝑉

𝑉𝑥 = 54 (9 𝜋) = 486 𝜋 𝑐𝑚3

El volumen del solido es 486 𝜋 𝑐𝑚3

Por semejanza de

conos:

(𝐶𝑜𝑛𝑜

𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟) (𝑀𝐵𝑁) ~ (

𝐶𝑜𝑛𝑜𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟

) (𝐴𝐵𝐶)

Entonces todos sus elementos

homólogos son proporcionales.

Razón de sus bases:

𝐵𝑎𝑠𝑒𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟

𝐵𝑎𝑠𝑒𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟

=6

24=

1

4

Entonces:

𝑉𝑐𝑜𝑛𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟

𝑉𝑐𝑜𝑛𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟

=13

43=

1

64

Volumen del cono:

𝑉 =𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 . ℎ

3 =

𝜋 𝑟2 ℎ

3

Volumen del cilindro:

𝑉 = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 . ℎ = 𝜋 𝑟2 ℎ

3.

4. a) Para calcular el volumen de la madera a utilizar en la elaboración del porta cuchillo,

primero construimos el grafico y luego ubicamos los datos proporcionados.

El volumen de la madera es 437,50 𝑐𝑚3

b) Para determinar la cantidad de lámina que se utiliza para forrar un porta cuchillos se

calcula el área lateral.

Vista de frente Vista de arribaVista lateral

15cm20cm

10cm

5cm

h

𝑉 = 𝜋 𝑅2 (𝐺 + 𝑔

2)

𝑉 = 𝜋 .52 (20 + 15

2)

𝑉 = (3,14)(25)( 17,5) 𝑉 = 437,50 𝑐𝑚3

𝐴𝐿 = 𝜋 𝑅 (𝐺 + 𝑔) AL = (3,14) (5) (20 + 15)

AL = 549,5 𝑐𝑚2

,

1

4

)

(

5

)

Como se elaboran 8 porta

cuchillos será necesario:

(549,5) (8) = 4396 𝑐𝑚2

,

1

4

)

(

5

)

PRACTICAMOS Pregunta 1:

Respuesta Adecuada.- El estudiante reconoce el desarrollo de los cuerpos geométricos

truncados al relacionar cada solido con su respectivo desarrollo.

Respuesta parcial.- El estudiante solo reconoce el desarrollo de los cono truncados

cortados por un plano horizontal paralelo a la base del cono.

Respuesta inadecuada.- El estudiante no reconoce el desarrollo de los tronco de cono.

Pregunta 2:

Respuesta Adecuada.- El estudiante representa gráficamente la proyecciones de un cuerpo

geométrico truncado en tres vistas: de frente, de arriba y lateral.

Vista de Frente Vista de arriba Vista latera

Respuesta parcial.- El estudiante solo representa gráficamente una de las proyecciones del

cuerpo geométrico truncado, en este caso la más simples es la vista lateral.

Respuesta inadecuada.- El estudiante no representa gráficamente la proyecciones de un

cuerpo geométrico truncado.

Pregunta 3

Respuesta Adecuada.- El estudiante representa gráficamente la proyecciones de un cuerpo

geométrico truncado en tres vistas: de frente, de arriba y lateral.

Vista de Frente Vista de arriba Vista lateral

Respuesta parcial.- El estudiante solo representa gráficamente una de las proyecciones del

cuerpo geométrico truncado.

Respuesta inadecuada.- El estudiante no representa gráficamente la proyecciones de un

cuerpo geométrico truncado.

Pregunta 4

Respuesta Adecuada.- El estudiante representa gráficamente como se genera el sólido a

partir de la rotación de una región en el plano.

Respuesta parcial.- El estudiante solo representa gráficamente uno de los sólidos

generados a partir de la rotación de una región en el plano.

Respuesta inadecuada.- El estudiante no representa gráficamente como se genera los

sólido a partir de la rotación de una región en el plano.

Pregunta 5

Respuesta Adecuada.- El estudiante representa gráficamente como se genera el sólido a

partir de la rotación de una región en el plano.

Respuesta parcial.- El estudiante solo representa gráficamente la región plano de los

sólidos generados a partir de la rotación de una región en el plano.

M

N

M

N

Respuesta inadecuada.- El estudiante no representa gráficamente como se genera los

sólidos a partir de la rotación de una región en el plano.

CLAVES

N° pregunta Clave

1 ---

2 ---

3 ----

4 ---

5 ---

6 B

7 A

8 C

9 B

10 A

11 D

12 C

13 A

14 D

15 B

Pregunta 6

Volumen del sólido geométrico generado en el eje M : 𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 + 𝑉𝑇𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑜

Volumen del cilindro Volumen del tronco de cono

𝑉 = 𝜋 𝑅2ℎ 𝑉 = 1

3𝜋 ℎ[ 𝑅2 + 𝑟2 + 𝑅. 𝑟 ]

𝑉 = 𝜋 𝑎2 . 𝑎 𝑉 = 𝑎3𝜋

𝑉 = 1

3𝜋 . 𝑎[ (2𝑎)2 + 𝑎2 + 2𝑎. 𝑎 ]

𝑉 = 1

3𝜋 .𝑎[ 4𝑎2 + 𝑎2 + 2𝑎2 ]

𝑉 = 1

3𝜋 .𝑎[ 7𝑎2 ]

𝑉 = 7

3𝜋 .𝑎3

Área total = 𝑎3𝜋 + 73

𝜋 .𝑎3 = 10

3 𝜋 𝑎3

a

2a

a a

Volumen del sólido geométrico generado en el eje N: 𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 + 𝑉𝑇𝐶

Volumen del cilindro Volumen del tronco de cono

𝑉 = 𝜋 𝑅2ℎ 𝑉 = 1

3𝜋 ℎ[ 𝑅2 + 𝑟2 + 𝑅. 𝑟 ]

𝑉 = 𝜋 (2𝑎)2 . 2𝑎 𝑉 = 8 𝑎3𝜋

𝑉 = 1

3𝜋 . 𝑎[ (2𝑎)2 + 𝑎2 + 2𝑎. 𝑎 ]

𝑉 = 1

3𝜋 .𝑎[ 4𝑎2 + 𝑎2 + 2𝑎2 ]

𝑉 = 1

3𝜋 .𝑎[ 7𝑎2 ]

𝑉 = 7

3𝜋 .𝑎3

Área total = 8𝑎3𝜋 - 73

𝜋 . 𝑎3 = 17

3 𝜋 𝑎3

La relación entre el volumen del solido generado por el eje M y N.

𝑉𝑒𝑗𝑒 𝑀

𝑉𝑒𝑗𝑒 𝑁

=

103

173

= 10

17

Pregunta 7

Para determinar cual tiene mayor capacidad, calculamos su volumen.

Resp.: Envase 1= 144𝜋𝑐𝑚3

Envase 1: Volumen del cilindro:

𝑉𝐶𝐼𝐿𝐼𝑁𝐷𝑅𝑂 = 𝜋 . 𝑟2 .ℎ

𝑉𝐶𝐼𝐿𝐼𝑁𝐷𝑅𝑂 = 𝜋 . 62 .4 = 144 𝜋 𝑐𝑚3

Envase 2: Volumen del tronco de cono

𝑉𝑇𝐶 =1

3 𝜋 . ℎ [𝑅2 + 𝑟2 + 𝑅. 𝑟]

𝑉𝑇𝐶 =1

3 𝜋 .8 [42 + 32 + 4.3]

𝑉𝑇𝐶 =1

3 𝜋 . 8 [16 + 9 + 12]

𝑉𝑇𝐶 =1

3 𝜋 . 8 [37] =

296

3𝜋 𝑐𝑚3

2aa

a

2a

a

Pregunta 8

Calculamos el área lateral de los envases.

Resp. :Envase 2 = 56,42 𝜋𝑐𝑚2

Pregunta 9

Área lateral del envase 1 Área lateral del envase 2 AL = 2𝜋 . r . h

AL = 2 𝜋 (6) (4)

AL = 48 𝜋 𝑐𝑚2

AL = 𝜋 (R + r) g

AL = 𝜋 (4 + 3) (8,06)

AL = 56,42 𝑐𝑚2

8cm

6cm

6cm

3

4

Volumen del vaso (tronco de cono:TC)

𝑉𝑇𝐶 =1

3 𝜋 . ℎ [𝑅2 + 𝑟2 + 𝑅. 𝑟]

𝑉𝑇𝐶 =1

3 𝜋 .6 [42 + 32 + 4.3]

𝑉𝑇𝐶 = 2 𝜋 [16 + 9 + 12]

𝑉𝑇𝐶 = 2 𝜋 [37] = 74𝜋 𝑐𝑚3

Volumen del helado (esfera)

𝑉 =4

3 𝜋 . 𝑟3

𝑉 =4

3 𝜋 . (3)3 = 36 𝜋 𝑐𝑚3

Como son 3 bolas de helado:

36 𝜋 𝑥 3 = 108 𝑐𝑚3

Resp.: Si se rebasa porque el

volumen de las tres bolas de helado

al derretirse es mayor al volumen del

vaso.

𝑉𝐻𝐸𝐿𝐴𝐷𝑂 > 𝑉𝑉𝐴𝑆𝑂

Pregunta 10

Entonces, la cantidad de tela necesaria para 3 instrumentos es: 697 (3) (3,14) =

6565,74𝑐𝑚2

Pregunta 11

El volumen de tierra utilizado por cada maceta es:

𝑉 =1

3 𝜋 .ℎ [𝑅2 + 𝑟2 + 𝑅. 𝑟]

𝑉 =1

3 (3,14) (16) [212 + 92 + 21.9]

26cm

8cm

40

4

4

9A

B

c

(ℎ𝑖𝑝) 2 = (𝑐𝑎𝑡)2 + (𝑐𝑎𝑡)2

𝑔2 = (9) 2 + (40)2

g = 41

Aplicamos el teorema de

Pitágoras en ABC:

g

El área latera del ashiko es:

AL = (R + r) g

AL = (13 + 4) 41 = 697 𝜋𝑐𝑚2

9 18

Ra

10

10

10

30

AB

C

P Q

h

Por semejanza de triángulos:

Del ABC QPC determinamos

“a”

18

30=

𝑎

20 a = 12

Entonces: R = 9 + 12 = 21

Determinamos la “h” en el QPC, con

el teorema de Pitágoras.

(ℎ𝑖𝑝)2 = (𝑐𝑎𝑡)2 + (𝑐𝑎𝑡)2 (20)2 = ℎ2 + (12)2

h = 16

𝑉 = 11906,88 𝑐𝑚3

Si 1kg <> 1000 𝑐𝑚3, entonces: 11906,88 𝑐𝑚3 <> 11,91kg

En 30 macetas se necesita: 11,91 (30) = 357,30 kg.

Como cada bolsa de tierra contiene 5kg, entonces serán necesario: 357,30 : 5 = 71,46.

Se comprará 72 bolsas.

Pregunta 12

Pregunta 13

Pregunta 14

2 4

C

1 2

g

15,5

8,5

78,5

A B

D H

En el BHC, calculamos la generatriz (g),

aplicando el teorema de Pitágoras:

(ℎ𝑖𝑝)2 = (𝑐𝑎𝑡) 2 + (𝑐𝑎𝑡)2 𝑔2 = (24) 2 + (7)2

g = 25

El papel reciclado que se requiere para la

confección de la pantalla será:

AL + Apestaña

(R +r) g + b. h

(24) (25) + 25. 2

600 + 50 = 50(12+1) 𝑐𝑚2

+

12

2

10

O

En el trapecio ABCD, calculamos la

base media, que sería el radio mayor

del armazón para la bombilla.

𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 =15,5 + 8,5

2= 12

Los radios están en relación de 1 a 6,

entonces el radio menor es 2.

La cantidad de alambre para el armazón es:

𝐿 𝐶𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 + 𝐿𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 + 6 .10

2 (12) + 2 (2) + 60

28 + 60 = 4(7+15)

Pregunta 15

El tacho de mayor capacidad es el tacho 2, con 12636𝜋 𝑐𝑚3

11 9

41

AB

C

h

11

En el ABC, aplicamos el teorema de Pitágoras:

ℎ2 = (41)2 − (9)2

h = 40

El volumen de tacho 1 es:

𝑉 =1

3 𝜋 . ℎ [𝑅2 + 𝑟2 + 𝑅. 𝑟]

𝑉 =1

3 (40) [202 + 112 + 20.11]

𝑉 = 9880 𝑐𝑚3

El volumen de tacho 2 es:

𝑉 = 𝜋 .𝑟2 (𝐺 + 𝑔

2)

𝑉 = 𝜋 . (18)2 (39)

𝑉 = 12636𝜋 𝑐𝑚3