Ruiz Basto, J. (2008). Matemáticas I. Álgebra en acción ...

Ruiz Basto, J. (2008). Matemáticas I. Álgebra en acción (1ra.

reimpr). México: Grupo editorial Patria. P.p. 14-15, 18-19, 22-

23, 26-28 y 30-32.

MATEMÁTICAS 1Algebra en acción

BACHILLERATO GENERAL

Joaquín Ruiz Basto

PRIMERA REIMPRESIÓNMÉXICO, 2008

GRUPO EDITORIAL PATRIA

Para establecer comunicacióncon nosotros puede hacerlo por:

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Fotografías: Jupiterlmages, Perla López Romo y sus cedentes de licencia,

José Luis Garrido, Juan José Morín

Ilustraciones: José Luis Mendoza Monroy. Perla López Romo, Leopoldo Trejo

Reproducciones autorizadas por el Instituto Nacional de Antropología

e Historia. México. pág. 66. 75. 100. 103.

Agradecemos al Prof. Vázquez Conde por la fotografía de la pág. 51.

Representación de las esculturas Reloj de sol de Almussafes y Reloj de sol de Ontinyeni

proporcionados por los escultores Joan Olivares Alfonso y Rafael Amorós. Pag. 74.

Agradecemos las facilidades que otorgó el Zoológico de Chapultepec

a esta casa editorial. Fotografía de la pág. 129.

Matemáticas I para Bachillerato General. Álgebra en Acción

Derechos reservados respecto a la primera edición:

2007, Joaquín Ruiz Basto

© 2007, GRUPO EDITORIAL PATRIA; S.A. DE C.V.

Renacimiento Núm. 180. Colonia San Juan Tlihuaca

Delegación Azcapotzalco . Código Postal 02400 , México, D.F.

Miembro de la Cámara Nacional de la industria Editorial Mexicana

Registro Núm. 43

ISBN: 978-970-817-083-3

Queda prohibida la reproducción total o parcial del contenido de la presente obra en

cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por

escrito del editor.

Impreso en México

Printed in Mexico

Primera edición: 2007

Primera reimpresión: 2008

Capítulo 1

áb^t-eé a~

Introducción al álgebra

1.1 Aritmética y números positivos ........................................... 6

1.2 Números y variables ............................................................ 10

1.3 Los números reales .............................................................. 14

1.4 Adición y sustracción de números reales ............................ 18

1.5 Multiplicación y división de números reales ....................... 22

1.6 Razones, tasas y proporciones ............................................. 26

o 1.7 Variación directa e inversa ................................................... 30

1.8 Sucesiones y series aritméticas ............................................ 34

1.9 Sucesiones y series geométricas ......................................... 38

Complemento teórico ................................................................. 42

Capítulo 2 1 Polinomios en una variable

2.1 Propiedades de las igualdades ............................................. 52

2.2 Potencias y raíces ... .............................................................. 56

2.3 Suma , resta y multiplicación de polinomios ....................... 60

2.4 Productos de binomios (Productos notables ) ...................... 64

2.5 Potencias de binomios ( Binomio de Newton ) ..................... 68

2.6 Conversión a productos (Factorización ) .............................. 72

2.7 Factorización de trinomios ... ... . .... . ............... . ................ . ..... 76

2.8 Simplificación de expresiones racionales(Fracciones algebraicas) ...................................................... 80

2.9 División de polinomios ........................................................ 84

Complemento teórico ................................................................. 88

VI

1

Ecuaciones lineales

3.1 Solución de ecuaciones lineales ........................................ 96

3.2 Funciones y ecuaciones lineales ........................................ 104

3.3 Solución gráfica de sistemas lineales ................................ 108

• 3.4 Solución de sistemas lineales 2 x 2 .................................. 112

• 3.5 Determinantes de sistemas lineales 2 X 2 ......................... 116

3.6 Solución de sistemas lineales 3 X 3 .................................. 120

Comp l emento teórico ............................................................... 124

Ecuaciones cuadráticas

4.1 Solución de ecuaciones cuadráticas sencillas ................... 132

4.2 Solución general de ecuaciones cuadráticas ..................... 136

4.3 Funciones y ecuaciones cuadráticas .................................. 140

4.4 La fórmula cuadrática ....................................................... 144

Complemento teórico ............................................................... 148

Soluciones a los ejercicios impares ...................................... 153

Capítulo 3

Capitulo 4

LOS NÚMEROS REALES

1. Los números reales se pueden describircorno:

a) Todos los números con signo (enteroso con fracciones).

b) Los números racionales e irraciona-

les.

2. Es posible distinguir un racional de un

irracional mediante su escritura decimal:

Un númeroRacional: tiene fracción decimal periódica

1.25=1.250=1.249, 4=4.0=3.9

Irracional : su fracción es no periódica

J= 1.41421..., 7r= 3.14159...

Verifica tu avance

Dos números simétricos: ¿Poseen signosdistintos? ¿Tienen igual valor absoluto?

9/ Observaciones

importantesEn la recta numérica:

1. El punto es la gráfica del número, y éstees la coordenada del punto.

2. Punto y número se usan como sinóni-

mos.

3. Graficar el número es ubicar el punto.

4. Los números se ordenan como sigue:

Todo punto a la derecha de otrorepresenta un número mayor (>).

- 1 es mayor que - 3

- 1 >-3

2 es mayor que -1

2>-1

-3 -2 -1 0 1 2

Verifica tu avance

¿Por qué todo número positivo es mayorque cualquier número negativo?

14

Los números que se utilizan en álgebra son los números reales . Éstos son el cero ytodos los números positivos y negativos.

- 2, 7, 1.25, 0.16, 12, - ir = -3.14159...

Los números reales pueden dibujarse como puntos sobre una recta llamada rectanumérica . Los puntos representan números negativos si están a la izquierda delpunto marcado 0 (origen), y positivos si están a su derecha.

Mediante divisiones iguales se sitúan los enteros, y entre éstos, las fracciones

-2/x-1 3+0.5/\4+0.3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Los números simétricostienen igual distancia al origen.

El valor absoluto 11del número es su distancia al origen.

-3y 3,-j'2 yj'2-, -0.4y0.4

131=3, -31 =3, 101 =0

Los números reales están formados por dos tipos de números:

Números racionales Números como 3.5 = 2 _ 2 = _ ! , 5 = ,

que se escriben como razón de dos enteros.

Números irracionales Números como /2, - 15, 1 que noJ2 '

pueden escribirse como razón de dos enteros.

Los racionales contienen a los naturales y a los enteros y, por supuesto , a todas lasfracciones comunes.

Ejemplo 1. Ordenando números reales

Graficar los siguientes números y determinar el orden entre ellos

a) 1, - 2, 0, -6 b) -,r2, l 34, -2.5, 5

Solución

a)-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

- J -1.4

b) .

-3 1-2 -1-2.5

0 11 2

5 = 0.s

1>0>-2>-6

3 414>5>-V>-2.5

Ejemplo 2. Simétricos y distancias al origen

Encontrar el simétrico de cada número y su distancia al origen.22

a) - 4 b) 2.5 c) - 7

Solución

Simétrico Distancia al origena)4; 1- 4 4

1 b) -2.5; 12.51 =2.5

221 22 _ _

71 7

Ejemplo 3. Identificando números reales

Determinar cuáles números son racionales y cuáles irracionales.

a) 25 b) - 4-9 c)3

Solución

a) Racional b) Racional c) Irracional

25 = 5 4.9 _ 49 = 2.23607....

3 30

Ejemplo 4. Modelando con desigualdades y variables

Decir: 4 es mayor que 3, equivale a decir: 3 es menor que 4. Usando variables y lossignos de desigualdad mayor que ( > ) y menor que (< ), indicar cuándo:

a) Un número es negativo.

b) Un número es positivo.

c) Un número es mayor que otro.

Solución

a) x < 0 b) x > 0 c) x > Y. También: x - y > 0.

Ejemplo 5. Temperaturas en el país

Una de las regiones más frías del país se localiza en el estado de Chihuahua, en elmunicipio de Temósachic donde la temperatura llega a alcanzar en invierno medicionesbajo cero, como muestra el registro de normales climatológicas.

a) Ordénalas de menor a mayor.

b) ¿Cuál fue la menortemperatura registrada?

c) ¿Cuál la mayor?

Ejemplo 1 b)

/ Observacionesimportantes

1. Mediante divisiones de la unidad (de 10en 10 en el sistema decimal -sucesivas-,u otras divisiones: cuartos, tercios, etc.)ubicas racionales que consideras comoun irracional (- 1.4, -1.41, -1.414 sonaproximaciones a -,F2 ).

2. A veces las fracciones decimales sóloaproximan fracciones comunes(1/3 z 0.3)

SimétricosEl simétrico de un número se obtiene

cambiándole el signo al número.

Verifica tu avance

Escribe una lista de cinco enteros suce-sivos a partir del cero, y sus simétricos.Ordénala.

Ejemplo 4

Fíjate enn • lo siguiente...

Todo número negativo está a la izquierda del0, es decir, es menor que 0:x < 0Un número es mayor que otro s: al restarleeste último se obtiene un número positivo:

7>3porque7-3 >0.

Verifica tu avance

¿Cuál es el simétrico de x? ¿y el de -x?Evalúa cada una de estas expresiones paravalores positivos y negativos de la variable.¿Qué observas sobre el signo -¿Cuál es el simétrico del 0? ¿Por qué?

Observacionesimportantes

1. Un signo - delante de una variable noindica necesariamente un valor negativo.Si x = - 5 entonces su simétrico -Y = 5

2. Para indicar que una variable x represen-ta un número positivo, o uno negativo, locorrecto es ubicarlo respecto a 0:

x > 0 ( positivo); x < 0 (negativo)

1

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓNDE NÚMEROS REALES

Fíjate enlo siguiente...

1. El orden en que ejecutas la suma noafecta el resultado (es la propiedad con-mutativa ), es decir, a + h = b + a.

2. Para sumar varios números, los asociasde dos en dos (esta es la propiedad aso-ciativa).

a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c).

Verifica tu avance

• ¿Qué ocurre cuando sumas el 0? (pro-piedad del neutro aditivo)

• ¿Qué ocurre si sumas dos simétricos?(propiedad del inverso aditivo)

Describe con una expresión algebraicaestas otras dos propiedades de la adición.

3. La propiedad de cerradura indica quela suma y los sumandos pertenecen almismo conjunto o tipo de números.

Verifica tu avance3 + 5 es un natural , lo mismo que 3 y 5.

¿Ocurre lo mismo con 3 - 5'?¿y con 3 - 3?

Ejemplo 1


1. La resta se interpreta como suma en losincisos b) y e).

2. Esto equivale, cuando hay dos signos -seguidos, a cambiarlos por un signo +(como ocurre en el inciso c).

3. Si hay un solo signo - entre ambosnúmeros, (como en el inciso b), puedeconsiderarse, por la misma razón ante-rior, como signo del segundo número.

18

En la recta numérica puedes sumar números con signo. Ubica uno de los puntos. Deallí avanzas una longitud igual a la del otro número, a la derecha si éste es positivoo a la izquierda si es negativo.

(-3)+5

-5 4 3 2 1 0 1 2 3 4

5 + (-3)

Si vas a sustraer dos números procedes igual:

Sustracción

Para sustraer b de a, suma el simétrico de b

a - b = a + (-b)

Así, toda sustracción es en realidad una suma:

5-2= 5+(-2); 8-(-3)=8+3; -10-(-1)=-10+1

Las sumas en la recta numérica conducen a las dos siguientes reglas:

Suma de números con signo

1. Si los números poseen signos iguales se suman sus valores absolutos y se poneel signo común.

2. Si poseen signos distintos se restan sus valores absolutos y se pone el signodel que tiene mayor valor absoluto.

Así: 3+4=7; -3- 4=-7 Reglal

En cambio, 3 + (- 2) = 1; - 3 + 2 = - 1 Regla 2

Ejemplo 1. Sumando en la recta numérica

Realizar las siguientes adiciones en la recta numérica.

a) 2 + (-6) b)-1.5- 3.5 c)-5-(-4)

Solución

a) 2 + (-6) = -4

b) -1.5-3.5 =-1.5+(-3.5)=-5

-6

1-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6

L-

+2

-3.5

-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6

1.5

c)-5-(-4)=-5+4= -1+

111

i -6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6

-5

Ejemplo 2 . Usando reglas y propiedades de la adición

Efectúa las sumas siguientes.

1 1a)3-(-12)-7- 10 b) -6 -2

Solución

a) 3 - (-12) - 7 - 10 Escribe la expresión

=3+12-7-10 Cambia -(-12)por+12

15 - 17 Suma positivos y suma negativos

- 2 Resta ; signo negativo (17 > 15).

b) -6-2

3

Escribe la expresión

Suma valores absolutos; antepón signo común

Suma fracciones y simplifica

Ejemplo 3. Piñatas navideñas

En un negocio familiar de piñatas navideñas, las producciones y ventas en las últimascinco semanas del año presentaron los movimientos que se muestran en la tabla.

a) ¿Qué existencias hubieron al finalde cada semana? Piñatas

Semanas

b) ¿Hubo alguna semana donde la =ademanda superó las existencias? Elaboradas 33 24

e) ¿Quedaron piñatas al final de latemporada?

Solución

Estrategias para resolver etproblema1. Haz un modelo verbal2. Construye una tabla

Vendidas 19 37

aA61 40

62 43

Ejemplo 2a)

Observacionesimnortantes

1. En la práctica, para sumar números consigno es útil sumar por un lado positivosy por otro negativos.

3+12 -7-10

15 -17

2. Este proceso puede realizarse mental-mente o por escrito. En este último casopuede optarse por abreviar pasos (comose hizo) o por explicitar las reglas y pro-piedades:

3 + 12 - 7 - 10

= 3 + 12 + (- 7) + (-10 ) Sustracción

= (3 + 12) + (-7 + (-10)) Asociatividad

= 15 + (-17) Regla 1

_ - 2 Regla 2

Ejemplo 2b)


38 1. Como 6 -2 =6)+( -2^

31 1 1

-6 - 2 es la suma de dos negativos.

2. Por esta razón usas la regla 1 al sumar-los.

Recuerda

Para sumar fracciones iguala denominado-

res:

a) Saldo Saldo 1 1_ 1 3 4Piñatas - anterior Vendidas semanal 6+2 6+6 6

elaboradas1 T

Fracción equivalente

PiñatasSemanas

Simplifica el resultado:4- =

Zx2=

2-

-m 3 4 5 6 Z" x 3 3

Elaboradas 33 . 24 4 61 40 38 (Consulta Complemento teórico del capí-

Vendidas -19 -37 /

^

-62/ -43/ -31 tulo)

Saldo 14 1 0 -3 4

b) En la cuarta semana. Quedaron pendientes de entregar tres piñatas.

c) Cuatro piñatas.

19

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓNDE NÚMEROS REALES

Puedes multiplicar un número positivo con uno negativo mediante una suma.

Observaciones

2(-4) = (-4) + (-4) _ -8

3(-3) = (-3) + (-3) + (-3) = -9

importantes

1. Como el cero no tiene recíproco, la

Cuaocu

ndo uno drrirá si am

e los factobos factore

res es negativo notamos ques son negativos? Veamos pr

el producoductos e

to es negativo. ¿Quén tablas:

división entre 0 no está definida. Intenta 3(-4) =-12 3(-3) = -9dividir por 0:

2(-4) = -8 Se suma 4 2(-3) = -6 Se suma 3

a) 0 0 = 2, 0, -1, - 0.5, [2, 34 , ... etc. 1(-4)al an

_ -4terior

1(-3)al an

_ -3terior

0(-4) = 0 0(-3) = 0

b) 4 = No existe resultado. Seguiría : (-1)(-4) = 4 Seguiría: (-1)(-3) = 30

2. En el primer caso hay infinitas solucio- (-2)(-4) = 8 (-2)(-3) = 6nes (pues todo número multiplicado por0 da 0) y en el segundo ninguna. Toda

operación debe producir un único resul-

tado.

Verifica tu avance

El producto de un número y su recíprocodebe dar 1. ¿Por qué 0 no posee recíproco?

La multiplicación posee propiedades aná-logas a la adición. Enúncialas (son cinco)e ilustra cada una con tres ejemplos.

llOWJ9 Fíjate enlo siguiente. ..

Cóm11111 La siguiente propiedad dice cómo hacerlo:

Distribución del producto

a(b + c) = ab + ac

Ejemplo: 6(10 + 5) = 6(10) + 6(5)

6(10 - 5) = 6(10) - 6(5)

Ejemplo 1

Recuerda

Producto de fraccionesa n an-x-=-b s hs

Si un factor es entero:

o multiplicar si un factor es una suma?

3x 14

3 1-x-1 4 4

Multiplicación de números con signo

1. Si los números poseen signos iguales el producto es positivo.

2. Si poseen signos distintos el producto es negativo.

Al dividir dos números en realidad multiplicas : 3 - 2 = 3 x 2 . El divisor 2 lo cam-1 2

bias por su recíproco 2 ("invierte" el número 1 y tienes su recíproco 1 ).

El producto de recíprocos es 1. Todo número real tiene recíproco , excepto el O.

División

Para dividir a entre b , multiplica por el recíproco de ba 1b =axfi

En la división aplicas las reglas de los signos de la multiplicación.

Ejemplo 1. Productos con dos factores

Efectuar las siguientes multiplicaciones.

a) (-2)(8) b) (-4)x

Solución

c) (-x)(6) d)-5)( 3)

a) (-2)(8) = -(2 X 8) = -16

b) (-4)x = -(4x) = -4x

(6)_ -6x 6x

e) (-x) 7 7 7

d) ( 5)( 3) 5 x 3

2 - 2

15

22

Ejemplo 2 . Productos con varios factores

Efectuar las siguientes multiplicaciones.

a) (-4)(2)(-3) b) ( 1)(_ 5)(7)

Solución

a) (-4)(2)(-3 ) = 4(2)(3) = 24

b) ()(_ )(7)- ( )(7)

14

131 5 1 5

d) (-x)3 = (-x)(-X)(-X) = -x3

e) (-x)4 = (-x)(-x)(-x)(-x) = X4

Ejemplo 3. Distribuyendo factores

Utilizar la propiedad distributiva y simplificar

a) 5(6 + 2 ) b) 8(12 - 27) c) -3(4 + x) d) -x(-5 - 7)

SoluciónDistribución del producto

a) 5(6 + 2) = 5(6) + 5(2 ) 30 + 10 = 40

b) 8(12 - 27 ) = 8(12) - 8(27 ) 96 - 216 = - 120

c) -3(4 + x) _ -3(4) + (-3)x -12 - 3x

d) -x(-5 - 7) = (-x)(-5) - (-x)(7) 5x + 7x

Ejemplo 4. Cambiando divisiones a multiplicaciones

Expresar cada división como una multiplicación

Ejemplo 2------ - - --------


1. Determina el signo del producto antes demultiplicar.

El producto tendrá signo

+ si hay un número par de factores consigno -.- si hay un número impar de factorescon signo -.

2. Exponente par > Número par defactores

Verifica tu avance

¿Por qué cualquier número elevado a unexponente par da una potencia positiva?

¿Expresan lo mismo -x2 y (-x)2?

Ejemplo 3


1. Aunque -3(4 + x) -3(4) + (-- 3)x

=-12-3xpor lo regular el primer paso se hace

mentalmente , y sólo se escribe el último.

2. La distribución a(b + (-) = ab + ac,

leída de derecha a izquierda , nos per-mite simplificar:5x+7x=x(5+7)=12z.

Ejemplo 4

/ Observacionesimportantes

Números recíprocos

Tienen igual signo. Uno es el inversodel otro.

- 15 = - (15 = 7). Por las reglas para dividir7 15 -15 15

números con signo- _ - = 7 , es

decir:

-(15-7)=(-15)=7= 15=(-7).

23

RAZONES , TASAS Y PROPORCIONES

Es posible comparar dos números, o dos cantidades, mediante un cociente.

Números: 8 = 2 8 es el doble de 4.4

2 kg 1Cantidades: 2 kg es la quinta parte de 10 kg.

10 kg 5

$60 $20= - Promedio de $20 por hora.

3h lh

Las cantidades son números acompañadosde una unidad de medida. Cuantifican mag-nitudes.

Cantidad 3.2 km 60 km/h $100Magnitud Distancia Velocidad Precio

Términos de una proporción

1'---> a c f- 3°

2°- b d 4°

Extremos a, d; Medios b, c.

Los dos primeros cocientes son llamados razones, y el último, tasa.

Razón

Si a, b, son números , o cantidades con igual unidad de medida,

bes la razón de a a b. (a, b 0).

Tasa

Si a, b, son cantidades con distinta unidad de medida,

a es la tasa promedio de a por b. (a, b 0)b

En esta proporción : Pero escrita así:

3 _ 6 6 3

4 8 8 4

Extremos: 3 y 8 Extremos: 4 y 6

Medios: 4 y 6. Medios: 3 y 8

Verifica tu avance

¿Cómo se llama al primero y al últimotérmino de una proporción? ¿Y a losintermedios?

¿De qué dependen estos nombres?

Ejemplo 1


a), b) La razón de a a b compara el tamañode a respecto al de b.

6 3 1_ 2

3 6 2

6 es eldoble de 3

3 es la

mitad de 6

Cuando dos razones o dos tasas son iguales, se forma una proporción.

8 _ 2 $60 _ $20

4 1 y 3h 1h

son proporciones porque 8 X 1 = 4 X 2 y 60 X 1= 3 X 20.

Proporción

La igualdad á = - es una proporción ad = bcb d

(a, b, c, d 0).

Ejemplo 1 . Escribiendo razones

Hallar e interpretar:

a) La razón de 6 a 3 b) La razón de 3 a 6 c) La razón de 15 cm a 2 m

Solución

Razón Interpretación

a) 6 = 23

26

6 es dos veces mayor que 3.

3 1b) 6=2=0.5 3 es un medio de 6.

I c)cpf

=0.011200 c)it

Ejemplo 2 . Interpretando tasas

15 es aproximadamente 11 milésimos de 2 m

Interpretar cada una de las tasas siguientes:

a) Rendimientode tu auto

22.3 km

1 It

b) Velocidad de

descenso

5m

1 S

e) Efectividad deun antibiótico

_ 50, 000 bacterias

3 horas

Solución

a) Tu auto recorre en promedio 22.3 km por cada litro de gasolina.

b) El objeto desciende 5 metros cada segundo.

e) El antibiótico destruye 50 mil bacterias cada 3 horas.

Ejemplo 3 . Resolviendo una proporción

Obtener el término que falta en la proporción 2 = 143 x

Solución

2 14

3 xProporción dada

2x = 42 Productos cruzados 2(x) = 3(14)

x = 21 Dividiendo ambos lados por 2

Ejemplo 4. Turismo y promedios

La tabla muestra cuánto gastan los turistas en vacaciones . Los datoscorresponden a 2,427,000 turistas durante 12 días de un año.

a) ¿Cuánto gastó en promedio cada persona en transporte?

b) ¿Cuál fue la tasa diaria de erogación en alimentos?

e) ¿Cuál fue el gasto promedio diario, por persona, en hospedaje?

Transporte

$1.840'758.150

Solución

Alimentos

$11,027'802,600

$ 1,840'758,150 _ $ 758.45e) Transporte

. 2,427'000 personas 1 persona

bl Alimentos . $11,02T802,600 $918'983,550

12 días 1 día

Hospedaje

$ 9,967'689,000

e) Usas la misma medida en las cantida-des (cm) para compararlas medianteuna razón.

Puedes también expresarlas en metros:

cnr 2.236 crn= _ 0.02236 0= 0.01 1

2 ni 2 m 2 pf


1. Una tasa o razón no siempre es una frac-ción común, (como muestra el ejemplol e).

Razones y fracciones

b Razón , tasa , si a y b son reales

Fracción común , si a y b son enteros

(a, b 0)

Verifica tu avance

¿Indica unidad de medida la razón de dosnúmeros o dos cantidades? ¿Y la tasa?

¿Por qué las razones de números realesincluyen a los racionales?

2. Resolver una proporción significa hallar

el valor desconocido de un término.

a c ad=bcb \d

Se comprueba tomando productos cruza-dos:

2 = 14 ya que 2(26) = 3(14) (= 52)3 26

27

Resolución de una proporción

Productos cruzados

Ejemplo 4

Cómo leer grandes númeroso cantidades

1) Separa las cifras de derecha a izquierda

en grupos de tres, alternando comas y

naturile,:

3245 1 , 697 1 500, 000

2) Donde haya una coma lee: mil; dondehaya un 1: millones; un 2: billones,etc.

Verifica tu avance

¿Cómo se lee el número anterior?

¿Cómo lees cada número de la tabla?


b) Aquí la tasa expresa el gasto diario en

alimentos efectuado por el total de turis-

tas.

c) Los dos cocientes del gasto promediodiario, por persona , pueden reducirse auno:

Monto

Personas

a

h) a Monto

Días c bc Personas X Días

Ejemplo 5

Recuerda

1. Artículos al 2 X 1 significa que adquie-

res dos artículos por el precio de uno.

2. También : 1< 2, ya que 1 X 3< 2 X 2.2 3

3. Los porcentajes son fracciones decima-les. Indican cuántas partes tomas, de cienen que divides al número o cantidad.

50% = 50 = 0.50100

JIrD# Fíjate enlo siguiente...

Las variables P, p, representan el precio decada clase de artículos. Observa que no inte-resa su valor, pues se cancelan.

c) Hospedaje. Gasto promedio por persona:

En el periodo : $ 9,967' 689, Otx) $ 4,107

2.427' 000 personas 1 persona

$ 4,107 $342.25En un día: = ( una persona).

12 días 1 día

Ejemplo S . Tiendas de autoservicio

¿Qué te conviene más en la promoción de dos artículos en una tienda de autoservi-cio: comprar los que se ofertan al 2 X 1 ,o los que están al 3X 2?

Solución

Y Estrategia para resolver el problema' Construye un modelo verbal

Hay que comparar el costo por oferta respecto al costonormal, para conocer el beneficio que se obtiene encada caso. Costo = Cantidad X precio

Costo con oferta

Costo normal 1 xka,

= 1 =050=_50% 2x=?=0.6=66.66%2xr 2 3x7 3

Al 2 X 1, cada artículo te sale al 50°% de su valor (la mitad). Al 3 X 2 pagas el66.66% (dos tercios) de su valor. Te convienen más las ofertas al 2 X 1.

Ejercicios 1.6En los ejercicios 1 a 4, el primer número es a y el segundo es b.

a) ¿Qué tanto es a de b? b) ¿Qué tanto por ciento es a de b?

1. 1 de 4 2. 2 de 10 3. 29.25 de 6.5 4. 55 de 25

En los ejercicios 5 a 8, interpreta cada cociente sucesivo.

5. Crecimiento de una planta 6. Costo de camisas

cm 7 _ 3.5 Costo $ 1,000 _ 500 250

día 2 1 Camisas 4 2 1

7. Depreciación de un equipo 8. Pérdida de peso

Valor (miles) $ -45 _ -9 _ -4.5 Kilos 1.8 _ 0.9 _ 0.45

años l0 2 1 Semanas 4 2 1

En los ejercicios 9 a 12, escribe cada expresión como una razón o una tasa.

9. 12 es el cuádruplo de 3 10. 5 es la sexta parte de 30

11. Un crecimiento semestral de 0.12 cm; 12. Un interés del 0.4% bimestral

28

VARIACIÓN DIRECTA E INVERSA

IIII Observacionesimportantes

1. En la variación directa ambas canti-dades aumentan o disminuyen por elmismo factor ("si una aumenta -o dis-minuye- la otra también").

2. En la variación inversa una cantidad semultiplica por un factor y la otra se divi-de entre este factor ("al aumentar unala otra disminuye -o viceversa-").

3. Estos comportamientos de aumento ydisminución se observan sólo si ambascantidades son positivas (o ambas nega-tivas).

4. En las aplicaciones las variables tomancasi siempre valores positivos (con locual k > 0).

¡ir Dop Fíjate enlo siguiente...

1. Los cocientes o productos por columna

dan la constante de variación k, de toda

la tabla.

2. También puedes formar proporciones conlos términos de los renglones, así:

Directa Inversa:

1 -- 2 15 .4---- 45

50 f- 100 9 --► 3

2-100-' 45-y=3

1 50 15 3

3. Para cada proporción, este cociente por

renglones es su razón de proporciona-

li(1W/.

4. Constituyen el factor por medio del cual

pasas, por renglones, de una columna a

otra. X2 X1.5

Directa:

Inversa:

30

X2 X 1.5

_45 90 180

3 1.5 0.75

=3 '2 -2

Las magnitudes pueden tener valores cambiantes o fijos. Los primeros se expresancon variables y los otros mediante constantes. Por ejemplo:

1. El tiempo es una magnitud variable; sus valores se denotan con la letra t.

2. La aceleración de la gravedad es una magnitud constante; su valor es

9.8 m/s2

Dos magnitudes variables pueden estar relacionadas de modo que, sin importar susvalores, sus cocientes o productos resultan siempre iguales.

Variación directa

x 2 3 4

y 10 15 20

y

Cocientes iguales Productos iguales

101520 5 1 X9=2x4.5=3X3=9

2 3 4

Tales igualdades permiten escribir una proporción entre los valores de dos columnas,tomándolos directamente en el primer caso, y en cruz en el segundo.

Proporción directa 2 = 310 15

Proporción inversa 1 = 24.5 9

Modelos de variación proporcional

Las variables x, y varían

Directamente Inversamente

Si -Y= k, o y=kx. Sixy=k,o y=x x

k 0 0, es la constante o tasa de variación.

Estas variaciones se llaman proporcionales porque generan proporciones.

Ejemplo 1. Identificando variaciones

Identificar en las siguientes tablas cuál variación es directa y cuál inversa.

b)17-- 2 3 x

50 100 150

x = Horas laboradas

y = Pago en pesos

Solución

Variación inversa

15 45 90 180

9 3 1.5 0.75

x = Rapidez de tu auto en km/h

y = Tiempo en horas

e) Directa. 50 _ 100 _ 150 _ 50 Constante de variación k = 50.1 2 3

b) Inversa . 15x9 = 45X3 = 90X 1.5 = 180x0.75 = 135. Constante k = 135.

Ejemplo 2 . Estableciendo proporciones Ejemplo 2

resan A partir de la información, hallar los valores que faltan en cada tabla. Fíjate en

gr es

arsus

a) .Y varía directamente con y b) x varía inversamente con Y

x 8 4 3 _ x 1 4

y 10 5 b y 10 20

x = Número de gorras x = Horas de viaje

y = Costo (cientos de pesos) y = Reserva de gasolina (lts)

Solución

4 3a) Escribimos 5

= b. De aquí: 4b = 15, b = 3.75. Tres gorras cuestan $375.

12 ab) De la proporción cruzada 20 = 10 , se tiene 20a = 120; a = 6 hrs.

12 4Para hallar b escribimos 6 = 10 -; 4b = 120, b = 30 lts.

Ejemplo 3. Construyendo modelos de variación

a) Escribir un modelo algebraico para cada tabla del ejemplo 2.

b) Predecir Y para x = 10. Interpretar y agregar los valores a la tabla.

Solución

a) Variación directa. En cualquier columna, y = 1.25. El modelo es y = 1.25x.x

120Variación inversa. En las columnas, xy = 120. El modelo es y = - .

xb) Modelo y = 1.25x

x = 10: y = 1.25( 10) = 12.5

10 gorras costarán $1250

Modelo y = 1201x.

x = 10: y = 120/10 = 12

x

y

Reserva en 10 horas: 12 litros.

Ejemplo 4. Computadoras y rapidez de captura

Deseas salir al cine con una amiga, pero antes debes escribirun trabajo en la computadora, que te tomará 50 minutos. Tuamiga te ofrece ayuda con su computadora portátil, mientrastú trabajas en la tuya. ¿En cuánto tiempo concluirán ambos eltrabajo, si tu amiga lo haría sola en 30 minutos?

Solución

Exlraleglas para rrxalver el problema.1. Construye modelos verbales y algebraicos2. Elabora una tabla

lo siguiente...

1. Al escribir las proporciones puedestomar los cocientes por renglón (razón)o por columna (tasa), en cualquierorden : de abajo a arriba; derecha aizquierda, o a la inversa.

2. En la variación directa las propor-ciones se escriben por renglones ocolumnas siguiendo el mismo ordeno sentido.

Renglón: 4 5 3 b

3 b' 4 5

4 3 5 bColumna: 5 b' 4 3'

Aunque de una proporción a otra los cocien-tes son distintos. en todas 4b = 15.

3. En la variación inversa las proporcio-nes se escriben con renglones en senti-dos opuestos, o columnas cruzadas.

Renglón: 12 = 20a l0'

12 aColumna• _ -

'

a 10

12 20

1020

20 10 a 12 '

Aunque de una proporción a otra los cocien-tes son distintos, en todas 20a = 120.

Ejemplo 3

Observaciones^^ importantes

1. En los modelos de variación directa, laconstante de variación es el cociente

k = -Y (en ese orden).x

2. El modelo y = kv permite hallar y cuan-do se conoce el valor de x (basta multi-plicar éste por la constante k).

3. En el ejemplo 3a), la constante de varia-ción k = v/x es el precio individual decada gorra: k = 1.25 = $125.

4. Los modelos evitan calcular proporcio-nes y permiten efectuar predicciones.

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Ejemplo 4


d

II1. La fórmula R =yes análoga de v = - .

t tP

2. Para hallar el tiempo puedes usar t = .REn este caso:

t=-(7

P l\1 = 75 =18.75min5min

(Esto evitaría la tabla y la proporción)

3. Lo anterior muestra que los problemas

de obtención del tiempo de opera-

ción conjunta (variación directa), seresuelven en dos pasos:

a) Se suman las rapideces

b) Se toma su recíproco (éste es eltiempo)

Usas la ley distributiva para simplificar

R =p50+ 10)

=p 3+5 8 _ 4PI 150 ]=p(150 75min

(150 es el mcm de 30 y 50. Para fraccio-nes consulta el Complemento teórico)

Ejemplo 5

Recuerda

Usas la ley distributiva para simplificar:

300 + 0.12(300) = 1(300) + 0.12(300)

= 300(1 + 0.12)


1. d es una variable con un solo valor (des-conocido, pero fijo). En tal caso se diceque representa una constante. (Al contra-rio de x, y, que son variables con diversosvalores)

2. Con los datos de una columna y eltipo de variación puedes hallar

el modelo general. Esto evita escribirproporciones.

Ejemplo : Con 300 y 7 escribes xv = 300(7)

= 2100. Si x = 336, y= 2100 = 2100 = 6.25 días.,a- 336

Modelos verbales

Rapidez de trabajo = ProducciónTiempo

Rapidez conjunta = Rapidez de uno + Rapidez del otro

Identifica variables

Ri = tu rapidez de captura R2 = rapidez de captura de tu amiga

P = producción total (palabras) R = rapidez conjunta

Modelos algebraicos

P _ P P P 4P

R'

_

50 min R` 30 min R 50 +

_

30 75 min

Esta tasa indica que, escribiendo simultáneamente, producirían cuatro de estos tra-bajos en 75 minutos. ¿Cuánto tiempo requerirá producir un trabajo?

Tabla de datos Proporción directa

Producción P 4 1

1 Tiempo minutos 75 ; T

4 _ 1- • 4T = 75; T = 18.75 minutos

'75 T

Les tomará cerca de 19 minutos concluir el trabajo, antes de poder ir al cine.

Ejemplo 5. Consumo de alimentos

Un hotel estima una provisión de alimentos suficiente para un total de 300 huéspedesdurante una semana. Sin embargo, la demanda del servicio aumenta 12% sobre loprevisto.

a) ¿Cuántos días antes de que termine esta semana deberáel hotel reabastecer su despensa?

b) Encuentra un modelo para determinar, bajo el mismoestándar de consumo, el número de días que durará ladespensa del hotel para cualquier cantidad x de comen-sales. ¿Cuánto durará con 250 huéspedes?

Solución

Estrategia para resolver el problema:Organiza los datos en una tabla

a) La cantidad real de huéspedes será 300 + 0 .12(300) = 300(1.12) = 336.

Huéspedes x 300 i 336

Tiempo que dura la reserva de alimentos y (días) 7 d

Proporción inversa: 300 _ 336 ; 336d = 2100; d = 6.25 días.d 7

El hotel deberá reabastecer su despensa un día antes , el sexto día.

2100b) Modelo de variación inversa: xy = 300(7) = 2100, o bien, y =

Para 250 comensales la reserva duraría: y 2100= 250 = 8.4 días.

x

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Ruiz Basto, J. (2008). Matemáticas I. Álgebra en acción ...

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