S14 valor esperado y varianza de variables aleatorias continuas
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Valor esperado y Varianza de variables aleatorias
continuasPROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
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Valor esperado de v.a continuas Suponga que X es una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad
La media o valor esperado de X, denotada como o es
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Ejemplo Para la medición de la corriente en el alambre de cobre la media de X será:
Interpretación : El promedio de la corriente medida en un alambre delgado de cobre es de 10 miliamperios.
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Varianza de v.a continuas La varianza de X, denotada como o , es
La desviación estándar de X es
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Ejemplo Para la medición de la corriente en el alambre de cobre la varianza de X será:
Desviación estándar :
Interpretación : Existe una variación en la medición de corriente en el alambre de cobre con respecto a la media de 5.77 miliamperios
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Ejemplo Para la operación de taladrado del ejemplo anterior el valor esperado de X es
Puede aplicarse la integración por partes .
Interpretación : el diámetro promedio que hay en la operación de taladrar un agujero es de 12.55 milímetros .
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Ejemplo Para la operación de taladrado la varianza de X es
Puede integrarse por partes dos veces y ver que 0.0025
Desviación estándar :
Interpretación : Existe una variación en el diámetro de un agujero realizado con taladro con respecto a la media de 0.05 milímetros
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Propiedades de medias y varianzas de variables aleatorias
Si a y b son constantes entonces :
El valor esperado de la suma o diferencia de dos o más funciones de una v.a X es la suma o diferencia de valores esperados de las funciones. Es decir,
Sean X y Y dos variables independientes. Entonces,
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Otras propiedades del valor esperadoEl valor esperado tiene ciertas propiedades que se presentan a continuación, las cuales son de utilidad para aplicaciones futuras. Sean a y b dos constantes cualesquiera y sea X una variable aleatoria. Entonces:
1. E(a) = a
2. E(bX) = b E(X)
3. E(X + a) = E(X) + E(a) = E(X) + a
4. E(a + bX) = E(a) + b E(X) = a + b E(X)
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Debido a que la varianza se define en términos del valor esperado, también ella posee propiedades, algunas de las cuales se presentan a continuación.
Sean “a” y “b” dos constantes cualesquiera y sea X una variable aleatoria.
Entonces: 1. Var (X) no puede ser negativa2. Var (a) = 03. Var (X + a) = Var (X) + Var(a) = Var(X)4. Var (bX) = b2 Var (X)5. Var (a + bX) = b2 Var (X)
Las propiedades de la desviación estándar son las mismas que las de la variancia y lo único que se debe hacer es tomar la raíz cuadrada de los valores de la variancia.
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Ejercicio 1. Dada una variable aleatoria definida en el intervalo [2,3] con
función de densidad obtener media y varianza.
2. La pdf de ventas semanas de grava X fue :
Calcular media y varianza.