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curso, aplicadas en el año 2002, privilegiando la información sobreel nivel de competencia que exigen y estableciendo la relación conel tópico al cual se han asociado:

1.2.1 Grado Tercero

1.2.2 Grado Quinto

1.2.2 Grado Quinto

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1.2.3 Grado Séptimo

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1.2.4 Grado Noveno

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1.3 Análisis general sobre complejidad, porgrados, niveles y grupos de preguntas

La complejidad de la prueba es diversa, pues como todo instrumentode evaluación, pretende poder diferenciar a los individuos que sonevaluados por medio de ésta. Así, incluye preguntas que requierendistintos niveles de logro, desde preguntas de un nivel básico hastapreguntas que corresponderían a un nivel deseable de competencia(que podría interpretarse como mejores y más complejascomprensiones sobre los objetos matemáticos y sus usos).

Para poder comprender dichas complejidades, parece pertinente,retomar la definición de niveles por grados, presentada en losmarcos de interpretación de las pruebas:

“los niveles de logro de la competencia matemática sediferencian en las posibilidades de los niños y jóvenespara comprender, representar y relacionar informaciónofrecida en las diferentes situaciones problema que seles presenta, la creatividad e ingenio para establecerplanes de resolución, las estrategias de estimación yaproximación que utilizan, las destrezas de cálculo delas que hacen uso, la complejidad y pertinencia delconocimiento matemático que han logrado construir”

y aludir nuevamente, las estructuras de prueba presentadas en elapartado anterior.

Preguntas incluidas en la calificación por niveles de logro.

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Con estos elementos, se podría llevar a cabo un análisis acerca dela complejidad de las preguntas, tomando preguntas de uno yotro nivel y observando las diferencias conceptuales existentes ylas exigencias que las preguntas le imponen al resolutor.

Se retoma aquí algunas situaciones, relacionadas con los tópicosde estadística y álgebra, como ejemplo de esta posibilidad.

1.3.1 Análisis en el tópico de estadística. En este apartado, se presentaun análisis de grupos de preguntas sobre este tópico, a través de losdiferentes grados, destacando los aspectos que determinan ciertoincremento en su complejidad; complementado con algunasapreciaciones que podrían aportar elementos al docente para realizarinterpretaciones sobre posibles procesos implicados en la escogenciade una determinada opción de respuesta.

Para responder las preguntas 6 y 7 de la prueba de grado tercero elestudiante debe, además de interpretar la información que le ofrececada uno de los tipos de representación, establecer conexionescon otras representaciones; algunos autores llaman a esta actividadcognitiva “transformación de conversión”.

Los niños y niñas de grado tercero durante la semana recogieronenvases de jugo reciclables. La información la registraron en lasiguiente gráfica de barras

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6.

El día en que se recogió la MENOR cantidad de envases fue

A. lunesB. miércolesC. juevesD. viernes

La primera pregunta exige al estudiante la interpretación de lainformación que se presenta en el diagrama de barras, estainterpretación la pude llevar a cabo a través de la visualización delas barras de la gráfica directamente, asociando la de menor alturacon menor cantidad.

La segunda pregunta implica una transformación de conversiónde la representación inicial

7.

¿Cuál de las siguientes tablas registra la información dada en lagráfica de barras?

A. B.

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C. D.

Esta pregunta exige al estudiante, además de considerar la relaciónentre los datos de los ejes vertical y horizontal, reconocer la escalautilizada en el eje vertical y utilizar la graduación de la escala comounidad patrón para determinar el valor que corresponde al díajueves, así mismo, le exige tener conocimiento sobre cómo sedisponen los datos en la representación tabular, para representarla relación existente entre ellos.

En grado quinto se presenta la siguiente situación

A 15 personas se les pregunta cuál es el deporte que practican. Elresultado se presenta en la siguiente tabla

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1.

De acuerdo con los datos presentados en la tabla, se puede afirmar que

A. 6 personas practican voleibol

B. 10 personas practican fútbol

C. 2 personas practican voleibol

D. 5 personas practican baloncesto

Esta pregunta se ubica en el primer nivel de competenciamatemática, le implica al estudiante establecer la frecuencia conla que se presenta la preferencia de determinado deporte medianteel conteo del número de personas que lo eligieron, es un nivel deinterpretación básico, en el que toda la información que elestudiante requiere para responder a la pregunta se encuentraexplícita en la situación.

Mientras que la pregunta 10, referida a la siguiente situación,aunque pertenece al mismo tópico de estadística y probabilidad,se ubica en el nivel C de competencia matemática, como puedeapreciarse, la representación en la que se presenta la informaciónes más compleja que la representación tabular, implica el manejode la representación en el plano, en la que es necesario reconocerla relación entre los datos de cada uno de los ejes, además, entanto presenta dos series simultáneamente, debe establecer tambiénlas relaciones entre las dos. La comprensión de las convencionesestablecidas es indispensable para que el estudiante pueda darsolución a la pregunta formulada.

Una compañía internacional decidió evaluar el rendimiento dedos de sus traductoras de Inglés, para lo cual analizaron durante 7

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días los minutos invertidos por cada una en traducir una página.Los resultados fueron presentados en la siguiente gráfica:

10.

¿En qué día las dos traductoras tuvieron el mismo rendimiento?

A. cuarto díaB. quinto díaC. sexto díaD. séptimo día

Un hecho interesante que puede analizarse es el posible incrementoen las exigencias que la pregunta 11 le impone al estudiante eneste mismo tópico, teniendo en cuenta que esta pregunta se ubicaen el mayor nivel de complejidad, de los establecidos para estaprueba, en este grado (nivel D).

Los distintos niveles de complejidad se pueden apreciar tanto enlas preguntas de la prueba para un determinado grado, como entrelas distintas pruebas a medida que aumenta el grado de escolaridad;por ejemplo, en las preguntas a las que se ha hecho alusión enapartados anteriores (preguntas 6 y 7 de la prueba de tercer grado),puede apreciarse cómo la interpretación y conversión que los

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estudiantes deben realizar entre la representación gráfica de barrasy la representación tabular, resultan más sencillas que las requeridaspara el análisis de la gráfica que se presenta en la pregunta 10 delgrado quinto. Estas diferencias en el nivel de complejidad puedenestar relacionadas, entre otros aspectos, con la experiencia de losestudiantes en el uso de estos tipos de representación2, con elnúmero de variables y la cantidad de información dispuesta quedebe relacionarse en cada situación, y específicamente, porejemplo, con la presentación simultánea de datos numéricos enlos dos ejes.

Así, podría analizarse qué aspectos aumentan la complejidad enlas preguntas 16, 17 y 18 de la prueba de séptimo grado, o de laspreguntas 18, 19 y 20 de la prueba de grado noveno, en lo que serefiere a la interpretación de distintas representaciones con lasque se presenta la información.

1.3.2 Análisis en el tópico de álgebra. Con este apartado se pretendeque los docentes aprecien algunos aspectos del álgebra en los cualessus estudiantes mostraron avances, así como otros en los que seevidencia cierta dificultad o insuficiencia de elementos paraabordar las situaciones planteadas.

Los mejores desempeños de los estudiantes se observaron ante lalectura de información presentada en una gráfica cartesiana y antela conversión al lenguaje algebraico de una situación expresada enlenguajes natural y pictográfico, mientras que las mayoresdificultades se manifestaron cuando se requería reconocer lavariación en dos conjuntos de datos sobre la gráfica cartesiana deuna función lineal para hacer la conversión a su representaciónmediante una ecuación, también se apreció una gran limitación

2 En la escuela, y en cierta información presentada por los medios decomunicación, suele privilegiarse la representación mediante diagramas debarra o circulares.

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en la posibilidad de relacionar y hacer conversiones al lenguajesimbólico algebraico desde otros tipos de representaciones comolos textos escritos en el lenguaje natural, las gráficas de figuras olas gráficas cartesianas.

En cuanto a las conversiones entre distintos lenguajes como elnatural, los esquemas pictográficos, el figural (gráficas de figurasy cuerpos geométricos, gráficas cartesianas), el aritmético, o elalgebraico, se observa que los estudiantes tuvieron un mejordesempeño cuando debían expresar en lenguaje aritmético unarelación presentada en una gráfica, por ejemplo, en la pregunta35, prueba grado 9º, clasificada en el nivel de complejidad C, serequería interpretar la gráfica cartesiana para ubicar un valor enun intervalo del recorrido y así encontrar el intervalocorrespondiente en el dominio

A continuación se presenta la gráfica que muestra la relación entreel consumo mensual en metros cúbicos y la tarifa de pago mensual,del servicio de agua

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35.

Si un usuario pagó 37.000 pesos por el consumo mensual, elnúmero de metros cúbicos que consumió en dicho mes está entre

A. 0 y 20B. 20 y 40C. 40 y 50D. 50 y 60

Respecto a la misma situación de la pregunta anterior, hubo unincremento en el nivel de complejidad cuando se exigió hacerconversión al lenguaje algebraico desde una representación gráfica,(en la pregunta 34 que se ubicó en el nivel E), pues para responderlaera indispensable identificar en la gráfica cartesiana de la funciónlineal tanto la pendiente como las coordenadas de uno o dos puntoso el intercepto con el eje vertical, y usar esos datos para representarla función mediante una ecuación. Sin embargo cerca de las trescuartas partes de los estudiantes (73%) escogió como respuestalas opciones B y C cuyas ecuaciones no incluían la pendiente perosí un valor que se podía leer sobre la gráfica (el 22.000).

34.

Si x representa el consumo mensual en metros cúbicos, la expresiónque representa el costo mensual para consumos menores de 40metros cúbicos es

A. 500xB. 22.000xC. 22.000 + xD. 22.000 + 500x

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Otro factor que incrementó la dificultad está relacionado con ladiversidad de interpretaciones que de los símbolos, particularmentede las letras, hacen los estudiantes, en contextos matemáticos. Porejemplo, en los últimos grados de la básica primaria y primerosde secundaria, el uso privilegiado que se da a las letras suele sercomo etiquetas que representan unidades (por ejemplo, 5m, pararepresentar 5 metros), como nombres de conjuntos, puntos uobjetos (conjunto A, puntos M y N, segmento AB), es decir, laletra es vista como representante de un objeto, o incluso como elobjeto propiamente dicho, interpretación que, en otros contextoscomo el algebraico, suele ser insuficiente e incluso inapropiadapara abordar algunas situaciones.

Para que el profesor comprenda tanto los procesos como lasrespuestas que los estudiantes dan a ciertos problemas, es pertinenteque disponga de elementos de análisis ante preguntas como: ¿Quéotras interpretaciones de la letra, en contextos matemáticos, puedenhacer los estudiantes y cuáles son las requeridas en la resoluciónde problemas específicos? Algunos estudios3 dan cuenta de seisinterpretaciones distintas realizadas por los estudiantes:

Letra evaluada. A la letra se le asigna un valor numéricoespecífico desde el inicio del proceso, por ejemplo, cuandoal representar un segmento con la letra x, a ésta se le asignael valor de la medida del segmento o cuando una letra,como la a se reemplaza por el número 1, al asociar su valorcon la posición ocupada dentro del alfabeto.Letra ignorada o no usada. Se reconoce y operaprioritariamente con los números antes que con las letraspresentes en una expresión, por ejemplo, cuando al plantearuna situación en la cual se incluye una representación gráfica

3 Las categorías de interpretación de las letras aquí presentadas fueronpropuestas por Küchemann a partir de estudios realizados con estudiantesde Inglaterra.

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de un segmento de longitud m, el estudiante toma lamedida del segmento y realiza operaciones con tal número.

Letra como objeto. La letra es considerada como un nombrepara un objeto o como el objeto mismo, por ejemplo,cuando en la situación :“Se compran m manzanas y cada una cuesta $400. Entoncesla expresión 400m representa…”Los estudiantes que interpretan la letra como objeto creenque 4m representa 400 manzanas.Ante expresiones simbólicas como “2m + 3m” losestudiantes pensarían en “2 manzanas y 3 manzanas” quecorresponderían a 5 manzanas. Esta manara de operar conlas letras, aunque eficiente para algunos casos (como en lasuma de términos semejantes), puede carecer de significadopara otros, [como, por ejemplo, ante la necesidad deencontrar una equivalencia para el cubo de un binomio,como (x + y)3]

Letra como incógnita. La letra es vista como un númerodesconocido pero específico, por ejemplo, cuando ante lapregunta:“¿En cuales casos se verifica la igualdad L + M + P = L +N + P?Los estudiantes responden que nunca pues M y N sondistintas.

Letra como número generalizado. La letra se ve comorepresentante de un conjunto de valores más que como unvalor específico y se le reconoce las propiedades del conjuntoal cual pertenecen los valores representados, por ejemplo,cuando ante la pregunta:“¿Qué puede decir de C, si se sabe que C + D = 10 y C esmenor que D?Los estudiantes responden que C es menor que 5.

34

Letra como variable. La letra representa un rango de valoresque varían dependiendo funcionalmente de otros, porejemplo, cuando ante la pregunta:“Se sabe que a = b + 3 ¿Qué le pasa a a si b es incrementadoen 2?Los estudiantes responden que “a es siempre 3 más que b”.

Tales interpretaciones, constituirían una escala jerárquica4 según lacual los primeros niveles corresponden a las interpretaciones en loscuales se ignoran o evalúan las letras, continuando con las letrascomo objetos, y como incógnitas, hasta avanzar a niveles donde lasletras se interpretan como números generalizados o como variables.En tal sentido el nivel de interpretación de la letra exigido por lapregunta, se constituye en un factor que incrementa la complejidadde las preguntas de la prueba, pues los porcentajes de estudiantesque respondían correctamente disminuyeron si la pregunta requeríade un nivel superior en la interpretación de las letras.

Considerando los niveles de interpretación de las letras requeridospara responder la pregunta, se observa que los desempeños de losestudiantes fueron mejores cuando la pregunta requería de lainterpretación de la letra como objeto, mientras que las mayoresdificultades se manifestaron ante la exigencia de interpretar lasletras como incógnitas, números generalizados o ante la necesidadde reconocer la variación entre dos conjuntos de valores, esto es,cuando las letras se deben interpretar como variables. Acontinuación se explican estas apreciaciones a partir del análisisde las respuestas a algunas preguntas:

4 Küchemann (1978) apoyado en los estudios de Collis (1975), con un marcode referencia Piagetiano, propuso un orden jerárquico para talesinterpretaciones, que asocia a las interpretaciones de letra evaluada y nousada el nivel bajo de las operaciones concretas, a la letra como objeto elsuperior de las operaciones concretas, a las letras como incógnita y númerogeneralizado el bajo de las operaciones formales y a la variable el superior delas operaciones formales

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Cerca de la mitad de los estudiantes alcanzaron buen desempeñoen la pregunta 6 de la prueba de grado 9º, clasificada en el nivelde complejidad D, en la cual se requería interpretar la letra comorepresentante de un objeto, en este caso la distancia entre dosestaciones consecutivas, en cuanto a los tipos de representacionespresentes, se partía de una representación en lenguajes natural ypictórico para hacer su conversión al algebraico.

El siguiente diagrama muestra el croquis de una carretera entre 5ciudades (A,B,C,D,E). En la carretera se ubican estaciones de servicio;la distancia entre cada estación de servicio y la siguiente, es la misma.

6.

Si la distancia entre cada estación de servicio es de z kilómetros,¿cuál de las siguientes expresiones representa la distancia porcarretera entre las ciudades A y C en kilómetros?

A. 7 + zB. z7

C. 7zD. 7z

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Sin embargo, aunque cerca de la mitad de los estudiantes prefirióla opción que desde la matemática es considerada correcta, espreciso destacar un hecho que ocurre en las etapas iniciales delaprendizaje de un lenguaje, relacionado con la dificultad demantener la corrección en las reglas que rigen la construcción deexpresiones (reglas sintácticas) aunque se tenga comprensión delos significados de las expresiones construidas (dominio de aspectossemánticos); es probable que cerca de la tercera parte de losestudiantes consideren que siete veces z, se representasimbólicamente como z7, y así, escoger como respuesta la opciónB (z7) aunque sería incorrecto desde un punto de vista sintáctico,podría ser coherente en su significado.

Reconocer que en el aprendizaje de un nuevo lenguaje (como lalengua materna, una segunda lengua e incluso un paqueteinformático) los procesos de enculturación, con el uso de lossímbolos y sus combinaciones para resolver necesidades específicasde comunicación con otras personas o con la máquina, son previosal estudio de las reglas sintácticas y gramaticales; por tanto esnecesario que los docentes tengan en cuenta orientacionescurriculares según las cuales el estudio de los sistemas algebraicosy analíticos y el desarrollo del pensamiento variacional deberíantener un espacio en los diferentes grados de la educación básica ymedia y así se dispondría de tiempos para reconocer y usarsímbolos, y realizar conversiones desde distintos lenguajes alalgebraico y viceversa, antes de asumir la tarea de producirexpresiones bien formadas en lenguaje algebraico.

Ante la exigencia de interpretar las letras como incógnitas específicas,menos de la tercera parte de los estudiantes alcanzó la corrección,posiblemente porque para resolverla era necesario, asociar alvolumen del prisma cuadrangular una expresión simbólica a partirdel lado del cuadrado de la base, y por otra parte, encontrar elvalor del lado (incógnita específica) para el cual se obtendría el

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volumen pedido, esta interpretación es requerida, por ejemplo,para responder a la pregunta 28, clasificada en nivel F, el mayornivel de complejidad,

Las figuras representan dos sólidos rectangulares cuyas bases soncuadrados

28.

Si el volumen de la figura 2 es igual a 3cm3, el lado de la base esA. 1

B.

C.

D.

Al tener que hacer uso de las letras como números generalizados,como en la pregunta 25 de la prueba de grado 9º clasificada en elnivel de complejidad F, la corrección ya sólo fue alcanzada por ladécima parte de los estudiantes, pues responderla exigía reconocer

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un patrón para la variación de la longitud del radio respecto delorden de la figura, ya sea por recursión:

r2 =3/2 rr3 = r2 + ½ r = 3/2 r + ½ r = 2rr4 = r3 + ½ r = 2r + ½ r = 5/2rr5 = r4 + ½ r = 5/2r + ½ r = 3rrn = rn-1 + ½ r = [rn-2 + ½ r]+ ½ r = í[rn-3 + ½ r]+ ½ r ý +½ r = r + ½ r+ … +½ rrn = r/2 [n+1]

y luego determinar la incógnita específica para la cual esta expresiónequivale a 10r. Es necesario destacar que aunque esta pregunta seubicó en el tópico de geometría y medición, los procesos que suresolución exige, también están vinculados con la generalización.

Resulta interesante realizar análisis al interior de cada uno de losgrados, indagando por los requerimientos de la pregunta quepermiten asociarla con cierto nivel de complejidad. Algunoscriterios o aspectos a considerar en el análisis serían:

Las palabras utilizadas en la situación propuesta y en lapregunta formulada (de uso común, especializadas, ambiguaso susceptibles de ser asociadas con diferentes contextos)El número y los tipos de representación que aparecen en lasituación presentada. (icónica, gráfica, tabular, numérica,algebraica, en lenguaje natural, entre otras).Las traducciones entre diversas formas de representación,así como las transformaciones y relaciones que es necesarioestablecerLas estrategias y razonamientos que requiereEl conocimiento matemático (conceptual y procedimental)que exige poner en juegoLa relación entre la situación presentada y las experienciastrabajadas en el ámbito escolar (referidas exclusivamente alconocimiento matemático o a contextos significativos).Las diversas interpretaciones que posibilita el contexto dela situación presentada o la manera en que se formula lapregunta.